J E S Ú S A B A D C L A V E R
.PROFESOR NUMERARIO DE LA ESCUELADEL MAGISTERIO DE HUESCA
Ampliación
y M e t o c | l > ^ ^
de las
MaGisTEBio natematicas
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Talleres Tipográficos MARTÍNEZ :: Coso Bajo, 4 :: HUESCA
^BIBLIOTECA UNIVERSIDAD DE MALAGA'
ES PROPIEDAD ¿Jif Queda hecho el depósi
to que marca !a Ley.
NÚMEROS
E^J^pf f
-El número natural
N ú m e r o s n a t u r a l e s . — C o n s i d e r e m o s u n m o n t ó n de b o las, los a l u m n o s de la clase, las letras que f o r m a n u n a p a l a -bra; ¿cuántas bolas bay en este m o n t ó n ? ¿ C u á n t o s a l u m n o s en la clase, c u á n t a s letras en la palabra? La respuesta a estas preguntas es u n número, o precisando m á s el concepto, u n número natural.
La idea de n ú m e r o n a t u r a l , resulta por abstracción, d é l a idea de colección de objetos distintos: es i n d e p e n d í e n t e de la naturaleza de estos objetos, que pueden ser semejantes, como las bolas del m o n t ó n o diferentes como las letras de la p a l a -bra, pero que deben ser distintos u n o s de otros y a g r u p a d o s de modo que formen u n a colección o conjunto, u n todo: los objetos distintos, de que se compone la colección, se d e s i g n a n frecuentemente con el n o m b r e de unidades c u a n d o n o se quiere especificar su n a t u r a l e z a .
es menor que el del s e g u n d o , lo que equivale a decir, que el
s e g u n d o c o n j u n t o es m a y o r que el p r i m e r o .
2.° M á s fácil h u b i e r a sido, h a c e r la c o m p a r a c i ó n del
n ú m e r o de e l e m e n t o s de cada g r u p o o c o n j u n t o , contando los objetos de que c o n s t a cada u n o de ellos.
P a r a s a b e r cómo debe d e s i g n a r s e u n a colección, se
pue-d e nt o m a r кпо a a n o los objetos de que c o n s t a , y designarlos s u c e s i v a m e n t e con los n o m b r e s de la serie natural, uno, dos.
tres... que r e p r e s e n t a n las colecciones sucesivamente for m a d a s si a m e d i d a que v a m o s t o m a n d o los objeto,'; del grupo
v a m o s p o n i é n d o l e s r e u n i d o s ; s e g u i r e m o s así b a s t a agotar los
objetos del g r u p o y el n ú m e r o de la serie n a t u r a i,que
corres-p o n d a al ú l t i m o de los e l e m e n t o s , e x p r e s a r á el número cíe
objetos que c o r r e s p o n d e a dicha colección. E s t a es ia
opera-ción de c o n t a r .
P u e s b i e n , p a r a c o m p a r a r los objetos de dos g r u p o s o
colecciones, lo m á s s e n c i l l o será c o n t a r los de cada g r u p o . S i se o b t i e n e p o r r e s u l t a d o el m i s m o n ú m e r o , es que hay
t a n t o s objetos en u n g r u p o como en otro. Si se o b t i e n e n n ú m e r o s diferentes, p o d r á a f i r m a r s e que en el p r i m e r grupo
h a b r á m á s (o m e n o s ) objetos si el n ú m e r o c o r r e s p o n d i e n t e a l p r i m e r g r u p o viene d e s p u é s (o está a n t e s ) q u e el n ú m e r o c o r r e s p o n d i e n t e a l s e g u n d o c o n j u n t o .
R e p r e s e n t a c i ó n g r á f i c a . — S i g n o s = > <C
L a i g u a l d a d de dos n ú m e r o s а у Ъ se expresa gráfica m e n t e m e d i a n t e el s i g n o = ( i g u a l a)
A s í a = b (a i g u a l a b)
L a d e s i g u a l d a d se expresa m e d i a n t e los signos .•
(ma-y o r que) <C ( m e n o r que) Ф ( n o es i g u a l a) D e este m o d o a > b (a m a y o r que b)
b <Ca (b m e n o r que a)
a | b (a n o es i g u a l a b)
S e r i e n a t u r a l . — C o m o y a se h a v i s t o , p a r a f o r m a r u n a colección c u a l q u i e r a de objetos, p u e d e t o m a r s e desde luego, u n solo objeto, d e s p u é s u n i r l e o t r o , luego otro m á s , y así
7
-Inversamente, puede deshacerse u n conjunto, r e t i r a n d o sucesivamente u n o por u n o los objetos que le c o n s t i
-tuyen.
De este modo podremos f o r m a r grupos o conjuntos de
dos., tres, cuatro, etc., objetos, los cuales se d e s i g n a n con los nombres de la serie n a t u r a l de los n ú m e r o s , uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete, ocho..., agregando cada vez uno, al número precedente.
Esta serie se llama indefinida, porque si llegamos a u n término cualquiera de ella se puede, a ñ a d i e n d o uno a este número, formar u n nuevo n ú m e r o , c(ue no se b a b í a obte-nido todavía.
Por extensión, a un solo objeto, se le designa con el nombre de conjunio unitario.
.Símbolo cero.—Al desbacer u n conjunto cualquiera, q u i t a n d o sucesivamente u n o a u n o , los objetos que le cons-tituyen, al retirar el ú l t i m o objeto, allí n o queda n a d a , y por tanto no bay ni conjunto n i t a m p o c o n ú m e r o : no obs-tante, por extensión, decimos que allí existe el conjunto nulo que se designa con la p a l a b r a cero y se representa con el
símbolo 0, que no es n ú m e r o p r o p i a m e n t e h a b l a n d o , pero
que, n o obstante, le i n c l u í m o s en la serie natural., conside-rándole como el n ú m e r o anterior al u n o .
R e p r e s e n t a c i ó n g e o m é t r i c a de los n ú m e r o s n a t u r a
-les. Sobre u n a recta X X ' y a partir de u n p u n t o O , t o
-mado como origen, llevemos hacia la derecha, u n
seg-m e n t om ¡ornado como u n i d a d , u n a , dos, tres... n veces; los
p a n t o s O , A, B, C,... N , r e p r e s e n t a r á n , respectivamente,
el cero, el 1, el 2, el 3... y el n; esta correspondencia, entre
los p u n t o s de la recta y los n ú m e r o s de la serie n a t u r a l es
bíunívoca, es decir, a cada n ú m e r o de la serie n a t u r a l , corresponde u n p u n t o de la recta; y a cada p u n t o de los m a r -cados, corresponde siempre el m i s m o n ú m e r o n a t u r a l .
1 2 3 n
Fundamento d e los sistemas
d e n u m e r a c i ó n
N u m e r a c i ó n . — S e n o s presenta el siguiente problema: cicómo n o m b r a r todos los n ú m e r o s , si la serie n a t u r a l es ilimitada? Fácilmente se comprende, la dificultad de poder n o m b r a r o representar todos los n ú m e r o s , dándoles n o m
-bre o signos distintos sin n i n g u n a relación entre ellos. La numeración tiene por objeto, expresar o representar me-diante un corto número de palabras o signos, todos los nú-meros. El conjunto de reglas y convenios ideados para ex-presar y representar todos los números mediante un corto número de. palabras o signos, combinados de un modo con-veniente v adecuarlo, constituye un sistema de numeración.
Son mucbos los sistemas de n u m e r a c i ó n , pero el artificio en
que se b a s a n es siempre el m i s m o , a saber:
P r i n c i p i o s de la n u m e r a c i ó n h a b l a d a . — 1.° Elegido
un n ú m e r o 6 como base del sistema, b a b r á que dar n o m b r e
a cada u n o de los n u m e r a s n a t u r a l e s , desde el uno b a s
-ta el 6-1.
2.° F o r m a r después distintos grupos o u n i d a d e s
colec-tivas, cada u n a de las cuales se o b t e n d r á siempre con
suje-ción a una ley, en virtud de la que, cada g r u p o t e n d r á b u n i
-dades del grupo i n m e d i a t o inferior, l l a m á n d o s e a este n ú
-mero o (variable en cada sistema de n u m e r a c i ó n ) base del
sistema.
P r i n c i p i o s de la n u m e r a c i ó n escrita.—1.° C r e a r
sig-nos que representen los b-1 primeros n ú m e r o s .
E x p r e s i ó n y r e p r e s e n t a c i ó n de u n n ú m e r o c u a l q u i e -ra.— C l a r o es, que h a b r á t a n t o s sistemas de n u m e r a c i ó n como u n i d a d e s tenga la base. Sea esta la que fuere, las ope-raciones de a g r u p a c i ó n son siempre las m i s m a s y por t a n t o las v a m o s a estudiar, prescindiendo del valor numérico de
la base, que designaremos con la letra b. S u p o n g a m o s c^ue
sea N el n ú m e r o de elementos d e q u e consta un conjunto,
Si los a g r u p a m o s en grupos de b elementos cada u n o ,
forma-r e m o s t a n t o s gforma-rupos como expforma-rese el cociente enteforma-ro de
N: b; sea Ct este cociente y T\ el residuo; tendremos por
t a n t o Ti u n i d a d e s simples y Ci u n i d a d e s de segundo orden.
A l bacer n u e v o s grupos con estas Ci u n i d a d e s de segundo
orden, r e u n i é n d o l a s como antes de b en b, formaremos C2
u n i d a d e s de tercer orden y nos quedaría r-> u n i d a d e s de
se-g u n d o orden, siendo C2 el cociente y r2 el resto de la división
de Ci por b. Procederemos de igual modo con las u n i d a d e s de tercer orden, para f o r m a r las de cuarto orden y así suce-sivamente b a s t a que o b t e n g a m o s u n cociente d (por
ejem-plo) que sea m e n o r que b, en cuyo caso C4 representará las
u n i d a d e s de orden superior.
Véase la disposición de la a n t e r i o r operación.
N b
¡ C ¡ b
r-, ¡ ' !—" - ,
r, C, I b
r; :
C,
Ih
r4 Ci
c — c c c
a © ~a •O -0 -o -a
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0 0 0 0 0
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0 U 0 4) 01 T3 T3 "O -a
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"O 75 "O
'5 ' c 'c ' c c'
3 3 3 O 3
S i e n d o RI, R2, R8, ii t y C 4 todos ellos m e n o r e s que h,
— 11 —
distintas, y b-1 signos o cifras para representarlos. A h o r a
bien, para expresar el orden de cada u n a de esas X\, r?, r3. ., r4
y C4 en la n u m e r a c i ó n Rabiada e m p l e a m o s las d e n o m i n a
-ciones, unidades de primer orden, segundo orden..., etc., y
en la n u m e r a c i ó n escrita, este orden lo m a r c a m o s , teniendo
en cuenta el lugar que ocupa cada cifra a p a r t i r de la que
ocupa el primer lugar de la derecka (Jue se Ka convenido
representa siempre u n i d a d e s simples.
R e p r e s e n t a c i ó n de la u n i d a d de u n o r d e n cualquiera.— Si queremos representar u n a u n i d a d simple en cualquier
sistema escribiremos 1; la u n i d a d de s e g u n d o orden se
es-cribirá 10; la de tercer orden 200, siendo como se ve,
pre-ciso, para esta representación la cifra 1 y el signo cero O
que permite lograr que en cada caso la cifra 2 ocupe el lugar correspondiente a la clase de u n i d a d e s que deseamos repre-sentar.
Si se trata del sistema decimal, 20 r e p r e s e n t a r á diez unidades; pero en el sistema de base 5 r e p r e s e n t a r á cinco unidades simples.
N o es difícil comprender, que si queremos r e p r e s e n t a r u n cierto n ú m e r o de u n i d a d e s de u n orden cualquiera, t a n sólo nos será preciso escribir la cifra que represente a ese cierto n ú m e r o de u n i d a d e s (que será a lo s u m o b — l ) y luego procurar que ocupe el lugar correspondiente m e d i a n t e el empleo de la cifra O.
E x p r e s i ó n p o l i n ó m í c a de u n n ú m e r o . — L a u n i d a d de
segundo orden representa b elementos; u n a u n i d a d de
ter-cer urden representa b u n i d a d e s de s e g u n d o orden, es decir b X b -= h2 u n i d a d e s simples; la u n i d a d de cuarto orden, r e
-presenta b u n i d a d e s de tercer orden; será fe3 u n i d a d e s simples.
P o r lo t a n t o , si un n ú m e r o mnptfst, del sistema base b,
está formado por t u n i d a d e s simples s de segundo orden,
q de tercero, etc., podremos representarlo en forma p o l i n ó
-mica de este m o d o :
m. b5 I n. b4 | p. b3 + q. b3 + s. b + t
S i set r a t a dels i s t e m a d e c i m a l el n ú m e r o 2526 se r e p r e s e n t a r á e n f o r m a p o l i n ó m i c a :
2.10я + 5.10' i 2.10 f 6.
P a s o de u n s i s t e m a a o t r o . — D o s p r o b l e m a s p r i n c i p a les p u e d e n d i s t i n g u i r s e :
1.° D a d o u n n ú m e r o en el s i s t e m a decimal,
represen-t a r l o en o t r o c u a l q u i e r a .
S u p o n g a m o s q u e el n ú m e r o 4265 del sistema decimal
q u e r e m o s r e p r e s e n t a r l o en el sistema de base 7. Nosotros
y a s a b e m o s operar e n el sistema deb a s e 10 y p o rt a n t o nos
b a s t a r á d i v i d i r eln ú m e r o d a d o p o rla n u e v a base; el cociente
o b t e n i d o , p o r l a n u e v a base y a s í s u c e s i v a m e n t e , h a s t a o b t e n e r u n cociente m e n o r que el divisor 7. ЕД ú l t i m o cociente y losr e s t o s sucesivos f o r m a r á n eln ú m e r o p e d i d o .
426,5, 065 (2) с a 7 6o9 49 (o) с ф o 87 17 (3) a O 12 (5) e 43 <0 T) m -o a T3 D 3 <в o и Ю a o "c 3 <D a и a a °e 3 a •a a a
el n ú m e r o pedido s e r á 15.302(7.
2.° P r o b l e m a . D a d o u n n ú m e r o escrito en u n s i s t e m a c u a l q u i e r a p a s a r a l d e c i m a l .
Sea eln ú m e r o 2.043 dels i s t e m a debase 5.
B a s t a r á escribirlo en f o r m a p o l i n ó m i c a y h a l l a r el v a l o r del p o l i n o m i o .
A s í :
— 13
-1 5 3 0 2
7) 7 84 609 4263
1 12 87 6o9 4265
E l paso de u n n ú m e r o de u n sistema cualquiera a otro, se kace valiéndose del sistema decimal que hace de
inter-mediario.
Si queremos escribir el n ú m e r o 4853 (9, en el duodeci-mal, pasaremos en primer lugar al sistema decimal
4 8 5 3
9) 36 396 3609
4 44 4oi 3612
y a c o n t i n u a c i ó n el n ú m e r o 3612 lo expresaremos en base 12.
36l,2, 12
012 301 12
(0) 61 25 12
1 1 2
el n ú m e r o c o r r e s p o n d i e n t e e n el s i s t e m a duodecimal será 2110 (12.
E n la práctica y siguiendo el esquema de las divisiones empleadas en el primer problema, suele seguirse el camino contrario aí que se siguió a n t e s , b a s t a reconstruir el divi-dendo primitivo.
Fijémonos en el ejemplo indicado m á s arriba.
Ya vimos que el n ú m e r o 4265 del s i s t e m a decimal es
igual al 15302 (7.
A b o r a , sigamos el c a m i n o c o n t r a r i o , y d i r e m o s
1 X 7 5 = 12. C o m o este 12 es el cociente en la p e n ú l
-tima división p r o c e d e r e m o s de igual forma y diremos
12 X 7 1 3 — 87, y o p e r a n d o en forma a n á l o g a llegaremos
al 4265 que es el mismo que b u s c a m o s . E n la práctica se
A d i c i ó n
Definiciones.—Xa adición, u operación de s u m a r , tiene
por objeto r e u n i r en u n sólo n ú m e r o las unidades de dos
o más n ú m e r o s dados; los n ú m e r o s que h a n de sumarse se
l l a m a n s u m a n d o s y el r e s u l t a d o suma o total. Para
indi-car la operación se emplea el signo -¡ (más).
Leyes F o r m a l e s de la A d i c i ó n . — 1 .a Ley c o n m u t a t i v a .
La suma de varios números es independiente del orden cié los sumandos.
Este principio evidente, está contenido en la noción del
n ú m e r o , ya que n o es posible que, c o n t a n d o en u n orden
variable los objetos de u n a colección, se p u e d a n hallar n ú -meros diferentes.
2.a L e y . Asociativa.—La suma de varios números no
cambia cuando se reemplazan dos o más sumandos, por su suma efectuada; o i n v e r s a m e n t e , cualquier s u m a n d o puede descomponerse en t a n t a s partes como se quiera, considerán-dolos como n u e v o s s u m a n d o s .
E s t a m b i é n fácil de comprender, recordando la noción de n ú m e r o .
E j e m p l o :
4 + 3 + 2 ; 7 = 4 ; (3 2) \ 7 = 4-1 - 5 • 7
a + b + c + d = a + (b \- c) 4 d
E l paréntesis indica s u m a efectuada.
3 .a Ley de U n i f o r m i d a d . —S u m a n d o miembro a
miem-bro dos o más igualdades resulta otra igualdad. L a expresión analítica de esta ley es:
Si a = a' y b = b' se t e n d r á a | b a t b'
4.a Ley de M o n o t o n í a . - Si a los dos miembros de una
— i 5
-E x p r e s i ó n analítica:
Si a T - b entonces a f c "> b -f- c
y en consecuencia y r e u n i e n d o con la u n i f o r m e nos da que
Si a = b, t a m b i é n será a -f c = b | c
< <
Uso del paréntesis.—Si c o n v e n i m o s en que el poner entre el parénteeis dos o m á s t é r m i n o s , significa que es
pre-ciso considerar su suma realizada, entonces la 2.a ley ( A s o
-ciativa), la expresamos así:
3 ! 4 | 7-í 2 = ( 3 + 4) i (7 + 2)
a - | b ! c -f d = (a + b) + (c
4
d)R e p r e s e n t a c i ó n G e o m é t r i c a de la s u m a . — S e t o m a u n a recta indefinida y a p a r t i r de u n p u n t o dado de ella y siem-pre en el mismo sentido, se van t o m a n d o sucesivamente los segmentos que representan a los diversos s u m a n d o s ; el seg-mento comprendido entre el p u n t o de origen y el extremo
del último s u m a n d o r e p r e s e n t a r á la s u m a .
Ejemplo: Si el segmento OA r e p r e s e n t a la u n i d a d , la s u m a de 3 ¡- 2 ¡ 4 vendrá r e p r e s e n t a d a por el segmen-to OC.
O A C
. i i i
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
M ó d u l o de la Adición.—Se l l a m a módulo de u n a
ope-ración, al n ú m e r o que tiene la p r o p i e d a d , de que efectuada la operación correspondiente con dicbo m ó d u l o y otro n ú -mero, el resultado de ella es este ú l t i m o n ú m e r o .
Así el m ó d u l o de la adición es 0 porque 4 4" 0 = 4
ope-ración que e s t u d i a m o s , la mejor prueba será volver a s u m a r
en otro sentido, distinto de aquél en que realizamos la
ope-ración directa.
S u s t r a c c i ó n
Se l l a m a sustracción, la operación que tiene por objeto b a i l a r la diferencia entre dos n ú m e r o s .
Diferencia entre dos n ú m e r o s , l l a m a d o s minuendo y
s u s t r a e n d o , es el n ú m e r o que b a y que agregar al sustraendo
para que nos dé el m i n u e n d o . P a r a indicar la operación se
emplea el signo — ( m e n o s ) .
De la definición se deduce fácilmente que
m i n u e n d o = s u s t r a e n d o f diferencia
P r o p i e d a d e s de la S u s t r a c c i ó n . —Fácilmente se deducen de la definición las siguientes propiedades:
1.a La diferencia de dos números no cambia si se
agre-ga a cada uno de ellos el mismo número.
S u p o n g a m o s la diferencia 8 — 5 = 3
C o m o y a sabemos, el m i n u e n d o 8 es igual al sustraen-do 5 m á s la diferencia 3
8 = 5 | 3
S u m e m o s a los dos miembros de esta igualdad un mismo n ú m e r o , 7, y t e n d r e m o s
8 + 7 = 5 - 3 + 7
o bien 8 4 - 7 = (5 4~ 7) 4 3 de donde
(8 4 7) — (5 4 7) = 3 que prueba la propiedad.
2 .a La diferencia de dos números no varía restando
del minuendo y sustraendo el mismo número
Sea la diferencia 9 — 4 y queremos p r o b a r que si de los dos t é r m i n o s , r e s t a m o s el m i s m o n ú m e r o , 2, por ejem-plo, dicba diferencia n o variará; es decir que
EL NUMERO ENTERO
í M a g n i t u d . — Se l l a m a n m a g n i t u d e s , las cualidades de los seres a objetos, que son susceptibles de a u m e n t o o dis-minución; estas magnitudes se l l a m a n matemáticas, cuando entre ellas se puede establecer con precisión su igualdad y su s u m a , bien o n v e n c í o n a l m e n t e (valor de las cosas), por su-perposición (longitudes), mediante la b a l a n z a ( p e s o s ^ e t c , etc.
>, J K mJU'Á&x <x
* x < » ^ ' i ,
^ C a n t i d a d . Se l l a m a cantidad, la m a g n i t u d m a t e m á t i c a que corresponde a un objeto d e t e r m i n a d o . A s í , el v o l u m e n es una magnitud matemática, porque se puede apreciar cuán-do cuán-dos objetos dacuán-dos tienen igual v o l u m e n y c u á n d o u n cuer-po tiene un volumen igual a la s u m a de los volúmenes de oíros dos; a b o r a bien, el v o l u m e n que tiene u n cuerpo dado es la cantidad de la m a g n i t u d volumen, que le corresponde.
^ M a g n i t u d e s a b s o l u t a s y relativas.—Se l l a m a n m a g n i -tudes absolutas, ciertas cualidades de los objetos que sólo pueden presentar u n a m o d a l i d a d o m o d o de ser; vg. el peso,
el color, etc.; magnitudes relativas, las que p u e d e n presentar
dos modalidades o sentidos opuestos. E j e m p l o : la
tempera-tura de u n cuerpo, que puede ser sobre o bajo cero; las feckas de ios sucesos históricos, que pueden ser anteriores o poste-riores al comienzo de la E r a C r i s t i a n a d l a s variaciones del capital de un negocio, por efecto de las g a n a n c i a s y las pér-didas; el trayecto recorrido a partir de u n p u n t o sobre u n camino, que puede ser a la derecha o a la izquierda, etc., etc.
M ó d u l o de u n a c a n t i d a d . — E s la m i s m a cantidad, pres-cindiendo del sentido en que se h a t o m a d o . ^
-n i t u d relativa, a u -n o de ellos se le llama positivo y al otro negativo; las cantidades de sentido positivo, se l l a m a n
posi-tivas y \SLS de sentido negativo, se l l a m a n negativa^ Si dos
cantidades t i e n e n igual m ó d u l o , pero distinto signo, se lla-m a n opuestas. E s t a s consideraciones, nos indican Ja necesi-dad de a m p l i a r el campo n u m é r i c o de los n ú m e r o s naturales, i n t r o d u c i e n d o los l l a m a d o s n ú m e r o s negativos, que con los
anteriores ( n ú m e r o s n a t u r a l e s ) , forman el llamado campo Je los números enteros.
L a s u s t r a c c i ó n como origen de los n ú m e r o s negati-vos.—La adición de dos n a t u r a l e s es siempre posible; por el contrario, la sustracción entre dos n ú m e r o s n a t u r a l e s , es imposible c u a n d o el s u s t r a e n d o es m a y o r que el m i n u e n d o , ya que n o es posible e n c o n t r a r u n n ú m e r o n a t u r a l que, su-m a d o con el s u s t r a e n d o , nos dé el su-m i n u e n d o .
S u p o n g a m o s que de 5 queremos restar 8; puede restarse primero 5 u n i d a d e s del cinco dado y llegamos así al cero, límite inferior de la serie n a t u r a l ; p a r a resolver el problema q u e d a r á n todavía por restar 3 u n i d a d e s , lo cual será expre-sado así:
5 - - 8 = 5 — (5 + 3) = (5 - 5) — 3 = o - 3 = — 3
esta parte que n o se h a podido restar, precedida del signo — es u n n ú m e r o negativo el cual se considera como resto, de-biendo cumplirse la ley f u n d a m e n t a l .
5 = 8 + ( - 3 ) m i n u e n d o s u s t r a e n d o resto
— '21 —
Serie de los n ú m e r o s enteros.—Los n u m e r a s negativos
se designan a n t e p o n i e n d o a los n a t u r a l e s el signo (—); así se obtendrá la serie — 1 , — 2 , — 3 ; el signo — p o n e de manifiesto que son menores que cero y el n ú m e r o n a t u r a l
colocado tras él, indica en c u á n t a s u n i d a d e s el n ú m e r o n e
-gativo es m e n o r que cero, de d o n d e se deduce que los n ú
-meros negativos, s o n t a n t o m e n o r e s , c u a n t o m a y o r es el número n a t u r a l que sigue al signo ( — ).
L>el mismo modo que los n ú m e r o s n a t u r a l e s pueden suponerse formados por la agregación sucesiva de la u n i
-dad positiva | 1 consigo m i s m a , los n ú m e r o s negativos se
consideran formados por la a c u m u l a c i ó n de la u n i d a d n e -gativa — 1 ; p a r a distinguirlos de los negativos, se suele dar a la serie n a t u r a l de los n ú m e r o s el signo -f-, y entonces se obtienen los n ú m e r o s + 1, -\- 2, -f" 3, ; los símbolos +
y — reciben el n o m b r e genérico de signo que debe d i s t i n
-guirse con cuidado de los signos operativos.
Se llama m ó d u l o de u n n ú m e r o con signo, al valor que tiene prescindiendo del signo, es decir, su valor absoluto.
E l m ó d u l o de u n n ú m e r o , se representa escribiendo éste
entre dos rayítas verticales, que se leen módulo de. E l m ó
-dulo de -f 7 y - 7 será | + 7 | = 7 , , | - 7 | = 7
R e p r e s e n t a c i ó n geométrica de los n ú m e r o s enteros.— La ampliación del campo n u m é r i c o con la introducción de
los n ú m e r o s negativos, conduce a la formación de u n a serie
ilimitada superior e inferiormente o que se extiende b a s t a el
infinito.
<•••- A >
— oc 3 — 2 — 1 0 1 2 3 - f- o o
f
.Consecuencias.— D e todo lo expuesto se deduce:
T o d o n ú m e r o positivo es siempre m a y o r que otro n e -gativo cualquiera.
T o d o n ú m e r o negativo es menor que cero.
D e dos n ú m e r o s negativos, es m e n o r el que tiene ma-yor valor a b s o l u t o .
R e g l a s o p e r a t i v a s . — D o s n ú m e r o s positivos o negativos
se pueden s u m a r lo m i s m o que los n ú m e r o s naturales, sin
m á s que tener cuidado de a n t e p o n e r a la s u m a , el signo que
corresponda por los s u m a n d o s .
S u p o n g a m o s que sea -}- 3 ¡ 7, la s u m a será -j 10. Sí se t r a t a de la s u m a (— 5) -|- (— 9), la s u m a será — 34; claro es que, por t a n t o , t a m b i é n podemos decir que -j- 10 puede descomponerse en •-(- 3 b 7 o que — 14 es igual
a — 5 m á s — 9.
Si los dos s u m a n d o s poseen el m i s m o valor absoluto con signos distintos el resultado será n u l o
4- 8 - 8 = 0 - 7 -|- 7 = 0
Y dicho lo que antecede, fácil n o s será a h o r a operar con dos n ú m e r o s de signos y valores distintos; para ello, b a s t a r á que d e s c o m p o n g a m o s al de m a y o r valor absoluto, en dos partes, u n a de las cuales deberá ser igual en valor absoluto al otro n ú m e r o dado y entonces t e n d r e m o s tres n ú m e -ros, dos con igual valor absoluto y signo d i s t i n t o y el
ter-cero, con u n valor a b s o l u t o igual a la diferencia de los
va-lores a b s o l u t o s de los n ú m e r o s dados y el m i s m o signo del
que lleve el que tenga m a y o r valor absoluto.
- 5 -j 13 = — 5 ! 5 8 j 8
- 12 f 9 = - 3 - 9 ^ 9 = - 3
Para restar dos números naturales cualesquiera, se resta
siempre del mayor el menor, afectando al resto, con el
sig-no — , sí el sustr aendo es mayor q[ue el minuendo^
Para sumar dos números de igual signo, sé suman sxis
— 23
Obsérvese por lo t a n t o , que la adición de n ú m e r o s n e -gativos se hace lo m i s m o que la de los positivos, solo que a h o r a el r e s u l t a d o será negativo.
A s í
_ 5 — 4 - 3 — 2 = - (5 + 4 -f 3 + 2)
P o l i n o m i o A r i t m é t i c o . — S e a la expresión a -f- b — c i d — e; si consideramos todo s u s t r a e n d o , como u n s u m a n -do negativo, entonces la expresión a n t e r i o r será u n a s u m a general o p o l i n o m i o aritmético, en la cual se c u m p l e n las leyes c o n m u t a t i v a y asociativa.
V a l o r de u n P o l i n o m i o . — P a r a h a l l a r el valor de u n polinomio aritmético se s u m a n dos t é r m i n o s cualesquiera; el resultado, con otro t é r m i n o ; el n u e v o resultado que se obtenga, con otro cualquiera y así sucesivamente, h a s t a que no h a y a más t é r m i n o s .
.Suma de P o l i n o m i o s . — P a r a s u m a r p o l i n o m i o s a r i t m é ticos o s u m a s algébricas se forma u n solo p o l i n o m i o , s u -p r i m i e n d o los -paréntesis y conservando cada t é r m i n o el mismo signo que llevaba dentro del paréntesis.
Ejemplo:
(m n ¡ p) |- (r — s — t) = m — n -f- p j - r — s — t
Diferencia de P o l i n o m i o s . — P a r a restar dos p o l i n o m i o s aritméticos, se forma u n solo p o l i n o m i o , s u p r i m i e n d o los paréntesis y c a m b i a n d o los signos a todos los t é r m i n o s del polinomio s u s t r a e n d o .
Ejemplo:
(a (- b — c) — (m f- n — k) = a -{- b — c — m — n - f - k
Se prueba, viendo que al s u m a r el resto con el s u s t r a e n -do nos dará el m i n u e n d o : así
(a -r b — c — m — n + k) + (m + n — k) = a - | - b — c — m — — n + k + m + n — k = a + b — c
va-ríos t é r m i n o s de u n p o l i n o m i o encerrándolos dentro de un paréntesis que va precedido del signo — .
E j e m p l o :
a + b — c — d + f — g = a | b — (c + d - - í + g)
2.a Si tenemos u n a sucesión de paréntesis, u n o s
pre-cedidos del signo más y otros del menos, pueden suprimirse
los paréntesis escribiendo los términos u n o s a continuación
de otros, precedidos del m i s m o signo que lleven dentro del
paréntesis, si éste va precedido del signo | o con el signo
cambiado, si el paréntesis en que v a n encerrados va
prece-dido del signo —.
(a |~ b) — (c -f d - e) | (f — g i b) = a -f b — c — d ' e
+ f - g + b
Multiplicación
D e f i n i c i ó n . — P r o d u c t o de dos n ú m e r o s n a t u r a l e s , es la s u m a de t a n t o s s u m a n d o s iguales al primero, como unidades tiene el s e g u n d o .
E l n ú m e r o que se repite, se l l a m a m u l t i p l i c a n d o y el que índica las veces que debe repeúrse, multiplicador. J u n i o s los dos, se l l a m a n factores (engendradores del producto). A l producto t a m b i é n se le l l a m a m ú l t i p l o de cualquiera de los n ú -meros dados. E l signo es u n a cruz en forma de aspa X o u n p u n t o . que se leen: multiplicado por.
A s í 6 X 5 se lee, seis por cinco, y según la definición
6 X 5 = 6 —f- 6 —j— 6 -f 6 f 6 por lo cual vemos que tana s u m a de s u m a n d o s iguales es u n producto en el cual el su-m a n d o 6 que se repite, es el su-m u l t i p l i c a n d o y el n ú su-m e r o de veces 5 que se repite, es el multiplicador.
25 —
I 1.a Ley: U n i f o r m e . Si m u l t i p l i c a m o s m i e m b r o a m i e m -b r o dos o más igualdades resulta otra igualdad.^
Si a = a' { , i , i ,
, , , ¿ sera a . b = a . b
b = b )
En efecto, el producto a . b es la s u m a de b s u m a n d o s
¡guales a a y el producto a' b' es la s u m a de b' s u m a n d o s iguales a a'; como los s u m a n d o s de estas s u m a s son iguales
e igual el n ú m e r o de ellos, no cabe duda de que ab = a'b'
("3.a Ley: C o n m u t a t i v a . E l orden de factores n o altera
el producío^Sean dos los factores; digo que 6 X 3 = 3 X 6
en efecto, contando las rayas del cuadro a d j u n t o por files y
luego por c o l u m n a s se ve claro la verdad de la ley.
i I I | I | 6 c o l u m n a s X 3 r a y a s en
¡ | | j | j cada c o l u m n a = 6 X 3
| | | | | | 3 Filas X 6 r a y a s = 3 X 6
C u a n d o los factores son varios, b a s t a r á que demostre-mos cjue se puede variar el orden de dos consecutivos cuales-quiera, pues por sucesivas permutaciones, podría entonces variarse el orden de todos los factores.
Sea el producto 3 X 4 X 2 X 5 X 6 y vamos a probar en
primer lugar, que se puede variar el orden de los dos p r i m e -ros: en efecto, ya sabemos que
3 X 4 = 4 X 3
y multiplicando los dos n ú m e r o s por el producto 2 . 5 . 6 de los
restantes factores se t e n d r á
3 X 4 X 2 X 5 X 6 = 4 X 3 X 2 X 5 X 6
según quería probarse.
V e a m o s a b o r a que puede cambiarse el orden de dos fac-tores consecutivos cualesquiera.
Sea el m i s m o ejemplo a n t e r i o r 3 X 4 X 2 X 5 X 6 y
que-remos probar que puede cambiarse el orden de los factores s u b r a y a d o s 4 Y. 2 es decir, que
3 X 4 X 2 X 5 X 6 = 3 X 2 X 4 X 5 X 6
y m u l t i p l i c a n d o a m b o s miembros por 2, que es el siguiente factor del producto dado, se tendrá:
3 X 4 X 2 = (3 [-3 - i- 3 -f 3) 2 - 3 . 2 - 1 3 . 2 ! 3. 2 " ! 3.2
= (3 . 2) 4 = 3 . 2 . 4
M u l t i p l i c a n d o a b o r a el primero y el ú l t i m o miembros de esta serie de igualdades, por al resto de los factores se tendrá
3 X 4 X 2 X 5 X 6 = 3 X 2 X 4 X 5 / 6
que es lo que se quería d e m o s t r a r .
-a Ley: Asociativa.—Se pueden sustituir varios factores
por su p r o d u c t o efectuado^ Basta para probarlo, hacer que los factores que quieren asociarse pasen a ocupar ios prime-ros lugares, a p l i c a n d o r e p e t i d a m e n t e la ley conmutativa.
Sea por ejemplo 4 X 2 X 3 X 5 X 6 y se quiere probar
que es i g u a l a 4 X 2 X (3.5) X 6
E n efecto: 4 X 2 X 3 X 5 X 6 - 3 X 5 X 4 X 2 X 6
= (3 . 5) X 4 X 2 X 6 = 4 X 2 X (3 . 5) X 6
según quería demostrarse.
^4.a Ley: D i s t r i b u t i v a . — E l producto de u n a s u m a por u n
n ú m e r o es igual a la s u m a de los productos de este n ú m e r o por cada u n o de los s u m a n d o s . ;
Sea ( a +
h
+ c + d) 3 = (a f 6 -| c ! d) \! (a \-b-\-c M ) + (a i 6 i c j d) -.,
= a -1 a i a ; b ; b + b f c + c -f- c • d | d d
= 3a + 3b + 3c -|- 3d
según q u e r í a m o s d e m o s t r a r .
Lo m i s m o se p r u e b a con u n a diferencia. L a general se t e n d r á
(a — b f c) m — a m — b m -| c m.
27
-E l paso del primer m i e m b r o al segundo m i e m b r o , se llama sacar factor c o m ú n ^
M ó d u l o de la m u l t i p l i c a c i ó n . —El m ó d u l o de esta ope-ración es la u n i d a d porque
4 X 1 = 4 „ a X 1 = a
C o n v e n i o . — E l producto de u n n ú m e r o por cero es cero. Puede ello justificarse sin m á s que observar las siguientes
series de igualdades, y s u p o n e r que a =T b
(a — b) m = m (a — b) = m , a — m b .
P r o d u c t o de n ú m e r o s e n t e r o s . — R e c o r d a n d o la definición que dimos al principio, se c o m p r e n d e r á que el m u l t i p l i cador sobre todo, deberá ser forzosamente u n n ú m e r o n a l u -ral. <¡Córao bacer extensiva esta operación a los n ú m e r o s enteros en general, es decir, a los n ú m e r o s positivos y n e
-gativos?
Sea la multiplicación
5 X 3 ••=-- 5 -I 5 + 5 i 5
Fácilmente se comprende, que el producto es con respecto al multiplicando lo que el m u l t i p l i c a d o r es respecto de la u n i d a d , ya que si el m u l t i p l i c a d o r es 3, esto es, la u n i d a d repetida tres veces, el producto l 5 se ve que es t a m b i é n el m u l -tiplicando repetido 3 veces.
E.sías consideraciones nos i n d u c e n a dar u n a nueva de-finición de la multiplicación que dice:
M u l t i p l i c a r es, dados dos n ú m e r o s l l a m a d o s m u l t i p l i -cando y multiplicador, b a i l a r u n tercero (producto) que sea respecto del primero lo que el s e g u n d o es respecto de la u n i d a d .
H e c h a extensiva esta definición a los n ú m e r o s enteros se podrá definir la multiplicación diciendo que m u l t i p l i c a r es: dados dos números enteros hallar un tercero q[ue sea res-pecto al primero lo c/ue el segundo es resres-pecto de la unidad
T e n i e n d o en cuenta esta definición, sale con facilidad la l l a m a d a regla de los signos que se expone en el siguiente cuadro:
4- • + =
+-A h o r a podemos decir, que para multiplicar varios
nú-meros n a t u r a l e s se m u l t i p l i c a n sus valores absolutos y a!
producto se le da el signo que le corresponde según la regía.
A s í :
-6 . 3 = 18; - 6 . 3 = — 18; 4 . — 3 = — 12; —2 . - 6 - 12
( - 4 ) . ( + 5 ) . ( - 2 ) . ( + 6 ) . ( - 3 ) = - 720
Ley de M o n o t o n í a .— M u l t i p l i c a n d o los dos miembros de u n a desigualdad, por u n m i s m o n ú m e r o positivo o nega-tivo, resulta otra desigualdad del m i s m o o contrario sentido,
respectivamente. J
E n efecto, sea a > b y c u n n ú m e r o positivo. A l m u l t i plicar, el producto ac, expresará u n a suma de s u m a n d o s m a -yores y en igual n ú m e r o que be; por lo t a n t o ac > be; si c es negativo c a m b i a r á n los signos de los dos m i e m b r o s de Ja
desigualdad anterior, y por lo t a n t o el resultado de ésta;
lue-go será ac <C be.
División de enteros
/
Definiciones.—La división es u n a operación inversa de
la multiplicación, que tiene por objeto determinar un factor
c u a n d o se conocen el producto y el otro de los factores que
lo f o r m a n .
A l producto dado se le l l a m a dividendo, al factor
co-nocido divisor y el factor descoco-nocido toma el nombre de
pun- 29
tos (:) que se colocan e n t r e el d i v i d e n d o y el divisor y que se leen dividido por. T a m b i é n puede e m p l e a r s e u n a r a y i t a h o r i z o n t a l , encima de la cual se coloca el d i v i d e n d o y debajo el divisor,
O t r a d e f i n i c i ó n . — D e la a n t e r i o r definición, se deduce que el cociente expresa las veces que el d i v i s o r está c o n t e n i d o
como s u m a n d o en el d i v i d e n d o , y por t a n t o , p o d e m o s decir que dividir u n e n t e r o por o t r o , es a v e r i g u a r las veces que el primer n ú m e r o c o n t i e n e a l s e g u n d o .
D e esta definición se deduce u n p r o c e d i m i e n t o e l e m e n t a l operativo; para h a l l a r el cociente, b a s t a r á r e s t a r eldivisor del d i v i d e n d o c u a n t a s veces se p u e d a , h a s t a o b t e n e r u n resto
que S Í a cero o bien u n n ú m e r o m e n o r q u e el divisor; el n ú mero de veces que h a y a p o d i d o r e s t a r s e será el cociente, d á n dose el n o m b r e de resto, al q u e q u e d ó de la ú l t i m a s u s t r a c ción, сue ya h e m o s visto es cero o u n n ú m e r o m e n o r que el divisor.
C o n s e c u e n c i a s de la d e f i n i c i ó n . E n u n a d i v i s i ó n exac ta, el сiv i d e n d o es i g u a l a l p r o d u c t o del d i v i s o r p o r el cociente. Si el d i v i d e n d o y el d i v i s o r s o n i g u a l e s , el cociente es la
u n i d a d .
Si el divisor es la u n i d a d , el cociente será i g u a l al divi
dendo.
Si el d i v i d e n d o es 0, el cociente será i g u a l a cero.
Si el divisor es cero, n o h a y p o s i b i l i d a d de e n c o n t r a r el
cociente, p o r q u e n o existe n i n g ú n n ú m e r o que, m u l t i p l i c a d o
nor c<ro, nos p u e d a d a r el d i v i d e n d o .
C u a n d o el d i v i d e n d o y el divisor son i g u a l e s a cero, el
coden.-e puede ser c u a l q u i e r n ú m e r o , por lo que la e x p r e (i
sión , es u n a de las f o r m a s , l l a m a d a s s í m b o l o s de i n d e t e r m i n a c i ó n .
J
leen dividido por. T a m b i é n puede emplearse una rayita h o -rizontal, encima de la cual se coloca el dividendo y debajo
el divisor. •»•"
O t r a definición. — D e la a n t e r i o r definición, se deduce
que el cociente expresa las veces que el divisor está contenido
como s u m a n d o en el dividendo, y por t a n t o , podemos decir
que dividir u n entero por otro, es averiguar las veces que el
primer n ú m e r o contiene al s e g u n d o .
De esta definición se deduce u n procedimiento elemental
operativo; para h a l l a r el cociente, b a s t a r á restar el divisor del dividendo c u a n t a s veces se pueda, h a s t a obtener u n resto
que sea cero o bien u n n ú m e r o m e n o r que el divisor; el n ú
mero de veces que haya podido restarse será el cociente, d á n
-dose el n o m b r e de resto, al que quedó de la ú l t i m a
sustrac-ción, que ya h e m o s visto es cero o u n n ú m e r o m e n o r que el divisor.
C o n s e c u e n c i a s de la definición. E n u n a división
exac-ta, el dividendo es igual al producto del divisor por el cociente. Si el dividendo y el divisor son iguales, el cociente es la u n i d a d .
Si el divisor es la u n i d a d , el cociente será igual al divi-dendo.
Si el dividendo es 0, el cociente será igual a cero.
Si el divisor es cero, no h a y posibilidad de encontrar el
cociente, porque no existe n i n g ú n n ú m e r o que, multiplicado
por cero, nos pueda dar el dividendo.
C u a n d o el dividendo y el divisor son iguales a cero, el cociente puede ser cualquier n ú m e r o , por lo que la
expre-0
sión j es u n a de las formas, l l a m a d a s símbolos de i n d e -t e r m i n a c i ó n . ^
D i v i s i ó n exacta e inexacta. — H e m o s dicho
anterior-mente, que se obtiene el cociente, r e s t a n d o el divisor del
di-videndo, c u a n t a s veces se pueda; si al hallarlo se obtiene u n resto cero, es decir que existe u n n ú m e r o entero que m u l t i
-r »,t «•-*, ,.*ÍX-*>„ .<;.,, - . fv i t , i ? . J y ? . v . . i
*»•" - i» — - 30 —
^1icádo, ,por%el áivísór pró'dúce el d i v i d e n i ó , entonces se dirá
que la división es exacta. E n caso contrario, la división será inexacta, l l a m á n d o s e al cociente, cociente entero, y resto, a I exceso del dividendo sobre el producto del div sor por ei cociente.
La expresión analítica será en a m b o s casos: D : d = c de d o n d e D --- d • <-. en el segundo caso, si es r el resto, D --- d ' c r.
Cociente entera por defecto y p o r exceso. íA cociente
anterior, cjue expresa ei m a y o r n ú m e r o de veces que el divi-dendo contiene al divisor suele llamarse cociente enteje por defecto y el resto r, resto por defecto o aditivo.
Si en la i g u a l d a d D = d . c | r, a u m e n t a r n o s en 1 al
cociente, entonces será, d (c ¡ l ) m a y o r que D , y al n ú
-mero c 4 1 se le l l a m a cociente entero por exceso, y la
di-ferencia entre d (c i l ) y D que designaremos por r, se le llama resto por exceso o sustractivo; su expresión analíti-ca será
d (c + 1) — D = t
Suma de los dos restos, — La s u m a de los dos restos,
aditivo y sustractivo, es igual al divisor.
E n efecto, por definición de resto aditivo y sustractivo
sabemos que:
r = D — d. c. \ y s u m a n d o o r d e
-r' = d (c j l) — JD = d e j d - D | n a d a m e n t e se tiene
r -| r* = D - d e i d e • d D d
que es lo que se quería demostrar.
Consecuencias. — E l valor de los restos, es siempre en !a
división inexacta m e n o r que el divisor; en la exacta el resto por defecto es cero y el resto por exceso es igual al divisor.
Siempre podemos lograr en la división inexacta, obtener
u n resto menor que la m i t a d del divisor, porque si u n o de
ellos, el aditivo, es m a y o r que -— el sustractivo, por compen
Basta observar, que si a los dos t é r m i n o s de la
diferen-cia del segundo miembro, les a g r e g a m o s el m i s m o n ú m e r o
2 se o b ú e n e la diferencia del primer m i e m b r o 9 — 4; luego
a m b a s diferencias, serán iguales en v i r t u d de la propiedad probada a n t e r i o r m e n t e .
3.a Si el minuendo aumenta o disminuye, sin variar el
sustraendo, la diferencia aumenta o disminuye en el mis-mo número c¡ue el minuendo.
sea la diferencia a — b = d por t a n t o a = b -\~ d
Si agregamos c u n i d a d e s a los dos m i e m b r o s se tiene
a ! c = b ! d ! - c = b -1- (d -| c)
y de aquí, en virtud de la definición de diferencia
(a -1 c) - b = d 4- c
4* 5 í el sustraendo aumenta o disminuye en un nú-mero la diferencia disminuye o aumenta en el mismo núnú-mero.
P r u é b a s e de forma a n á l o g a al a n t e r i o r .
5.a .Si se restan ordenadamente dos igualdades resulta
otra igualdad — (ley uniforme).
6;a Si de ¡os dos miembros de una desigualdad se resta
el mismo número, resulta otra desigualdad del mismo sen-tido qjue la anterior.
Sea la desigualdad 8 ]> 3
restemos 2 a los dos m i e m b r o s y t e n d r e m o s 8 — 2 > 3 —2
porque si fuera 8 — 2 = 3 — 2 al s u m a r 2 a los dos m i e m
-bros resultaría que 8 = 3 contra el s u p u e s t o .
7.a Si de los dos miembros de una igualdad restamos
una desigualdad, resulta otra desigualdad de sentido con-trario a la anterior.
S u p o n g a m o s m = m y la desigualdad a > b
A l restar miembro a m i e m b r o t e n d r á que ser
m — a . m — b
18
porque siendo iguales los dos m i n u e n d o s , a m a y o r s u s t r a e n -do corresponderá m e n o r diferencia.
Representación geométrica de la sustracción.
—Tome-mos sobre u n a recta y a partir de u n p u n t o de ella, tomado
como origen, bacia la derecba u n segmento que representa
al m i n u e n d o ; a partir del extremo de éste y en sentido
con-trario se lleva el s u s t r a e n d o , y entonces el segmento
com-prendido entre el origen del m i n u e n d o y el extremo del
sus-t r a e n d o r e p r e s e n sus-t a r á la diferencia.
E j e m p l o : r e p r e s e n t a r gráficamente 8 — 3, tomando como
u n i d a d el segmento 01
< m i n u e n d o
I !
0 1 2 3 4 5 6 7 8
diferencia < s u s t r a e n d o
Prueba de la sustracción.—Puede bacerse de dos
mo-dos: S u m a n d o el resto con el s u s t r a e n d o y deberá
resultar-n o s el m i resultar-n u e resultar-n d o ; t a m b i é resultar-n puede restarse del m i resultar-n u e resultar-n d o el
¡ación, deberá ser menor que — , para que la s u m a sea d
2
Alteraciones de la multiplicación y división según las
variaciones q u e experimentan los datos.—Si u n o de los
tactores a de u n producto a b a u m e n t a (o d i s m i n u y e ) en u n
número, el producto a u m e n t a (o d i s m i n u y e ) en el producto
del otro factor por este n ú m e r o ^
E n efecto: a u m e n t e m o s jm ^ . m u l t i p l i c a n d ^ , y,erjtonces en virtud de la definición de rpultiplicar será " '
(a I m) b = a b | m b „! ..(a t h == a b —- tnb
l.'1 Consecuencia.—Para I muttipfífcir u n a s u m a o
dife-rencia indicada por u n n ú m e r o , se m u l t i p l i c a n los t é r m i n o s de la s u m a (o diferencia) por este n ú m e r o y se s u m a n (o restan) los productos obtenidos.
2.a Consecuencia. — P a r a m u l t i p l i c a r u n n ú m e r o por
u n a s u m a (o diferencia) indicada, se multiplica el n ú m e -ro dado por cada u n o de los t é r m i n o s de la s u m a (o di-ferencia) y se s u m a n (o r e s t a n ) , los resultados.
E n efecto:
(a — b) = (a — b) m = a m — b rn.
Consecuencia — P a r a m u l t i p l i c a r s u m a s o
diferen-cias indicadas por otras s u m a s o diferencias indicadas
po-demos proceder por partes, y siempre la regla será: que deben multiplicarse todos los términos del multiplicando por todos y cada uno de los términos del multiplicador y aplicar a cada uno de los términos del producto el signo q[ue te corresponda según la regla de los signos
(a -|- b |- c) (d + e) = (a [ b -f c) d + (a -f- b -\- c) e = a d +
-f- bd + cd -f- ae -j- be -j- ce
(a — b) (c f- d | e) = ac -j- ad -f- ae — be — bd — be
(a — b) (c — d) = ac — be — ad -j- bd
Alteraciones del cociente exacto.—Si el dividendo de
di 32 di
-vide por u n o de sus divisores, sin que cambie el divisor, el cociente q u e d a r á m u l t i p l i c a n d o o dividido por dicho n ú m e r o .
Sea la división
D : d = c entonces será
D = d X c
y m u l t i p l i c a n d o los dos m i e m b r o s de esta igualdad por xi se
tendrá: D X n = (d . c) n = d (c X n) según se quería
pro-bar. (Igual se p r o b a r á en el caso de dividir).
Sí el divisor d de u n a división exacta se multiplica por
u n n ú m e r o o se divide por u n o de sus divisores, sin que
cambie el dividendo, el cociente vendrá dividido o
multi-plicado por dicho n ú m e r o .
E n efecto: S a b e m o s que D = d . c; evidentemente será
t a m b i é n D = (d . m) (c : m), ya que el segundo m i e m b r o de
la primera i g u a l d a d n o varía, porque se le ha multiplicado y dividido al m i s m o tiempo por m.
' Consecuencia.—Si el dividendo y divisor de una
divi-sión exacta, se m u l t i p l i c a n por u n m i s m o n ú m e r o , el cociente no altera. P u e s t o que D = d . c, m u l t i p l i c á n d o l o s dos miem-bros de la i g u a l d a d por m, t e n d r e m o s D m = (d . m) . c.
Alteraciones de la división inexacta. - Sea la división inexacta
D / d r c
entonces será D = de -f- r ; si m u l t i p l i c a m o s los dos
miem-bros por n, será D . n =-- (de) n -|- r n = (dn) c -f ra.
,Lo que nos dice, que en toda división inexacta, si
mul-tiplicamos (o dividimos) el dividendo y el divisor por un
mismo n ú m e r o el cociente n o altera, pero el residuo queda
multiplicado (o dividido) por dicho n ú m e r o . ,
Aplicación.—Abrevíese la división c u a n d o el divíd
y el divisor O s o l a m e n t e el divisor t e r m i n a n en ce?
cociente será igual, pero n o h e m o s de olvidarnos de '
Potenciación
Definiciones.—Se llama potencia enésima de u n n ú m e
-ro (siendo n u n n ú m e r o n a t u r a l ) , al producto d e n factores
iguales a dicho n ú m e r o Así:
an = a . a . a a (n veces)
E,\ n ú m e r o a se l l a m a base; el n ú m e r o n, que indica las veces que el a se ba de repetir por factor, se l l a m a e x p o n e n -te y el n ú m e r o de u n i d a d e s de n expresa el grado de la potencia.
P o r extensión se a d m i t e que a1 = a y t a m b i é n que
a" -—- 1, lo cual es u n convenio, que por otra parte
justifi-caremoí luego.
Consecuencia de la definición 1.a. — Las potencias de
cualquier grado de 1 son siempre la u n i d a d . 2.a — T o d a
potencia de la u n i d a d seguida de ceros, es igual a la u n i d a d seguida de tantos ceros, como i n d i q u e el producto del expo-nente por el n ú m e r o de ceros que lleva la base.
1004 = 100.000.000
.*>ígno de la p o t e n c i a . — R e c o r d e m o s que el producto de
vanos factores positivos es siempre positivo y que el p r o
-ducto de varios factores, positivos u n o s , y otros negativos,
dependerá \inica y exclusivamente del n ú m e r o de factores
negativos.
Sí es par, será positivo y si impar, será negativo.
Así, fácil será comprender que las potencias de los n ú
-meros positivos son siempre positivos y las potencias de los n ú m e r o s negativos serán positivas o negativas, según que el exponente sea par o impar; así:
( i a)" = a" ( - a )2 k = -f- a2 k „ ( - a )2 k | ! = — ( a2 k + 1)
P o t encía de u n producto.—Para elevar un producto a una potencia, basta elevar a esta potencia cada uno de los factores.
34
-Sea el producto (a . b . c . d) que quiero elevarlo a la
potencia n.
D i g o que
(a . b . c . d )n = a" . b" . c" . dn
E n efecto:
n veces
( a b c d ) " ' = (a . b . c . d) (a . b . c . d) (a . b . c . d) (a . b . c . á)
II VECE*1 I I VECES 2J VECE.; = (a . a . a . . . . a .) ( b . b . b . . . . b .) (c . c . c . . . - c .)
n VECES
( d . d . d . . . . d . ) = a" . bn . c" . d"
que es lo que quería demostrar.
Teorema recíproco.—Leyendo la anterior igualdad en sentido inverso se tiene que
a" . bn . cn . d" = (a . b . c . d)n
lo cual se expresa diciendo, que para multiplicar potencias de igual exponente n y diferente base, se multiplican las bases y el producto se eleva a dicho exponente n.
Teorema. — Para elevar un cociente a una potencia n se elevan el dividendo y el divisor a dicha potencia n y se efectúa la división.
Sea el cociente — qu e quiero elevar a la potencia n.
D i g o que
/ a \n a" -r~i c / a \n a . , a . , a , . , a
. = : 7 • E n efecto: = . X , X , X X ,
-\ b / bn \hj b b b b
a . a . a a (n VECES an
b . b . b b (n VECES b "
Teorema recíproco.—Leyendo i n v e r s a m e n t e la igualdad anterior se tendrá que
es decir, que: para dividir dos potencias de igual exponen-te, pero diferente base, bastará elevar el cociente de dichas bases a la potencia q[ue indica el exponente común.
Producto de potencia de igual base.— Para multipli-car potencias de igual base, basta elevar esta base común a la potencia indicada por la suma de los exponentes;';o dicbo más brevemente, a u n q u e con m e n o s precisión: ;«Para m u l -tiplicar potencias de igual base se s u m a n los exponentes».\
wSea el producto
am X a" . Digo que: am X a" = am t"
E n efecto:
a'" = a . a . a a (m veces) l M u l t i p l i c a n d o o r d e n a d a
-a: : = a . a . a .'** a (n veces) f m e n t e se tendrá:
am X a" == a . a . a . . a (m X a. a . a . . . . a ( n = a. a . a . . . . a
(m + n. veces) == am + n
que es lo que se quería demostrar.
Cociente de potencias de igual base. — Para dividir dos
potencia:: de igual base, bastará elevar dicha base a la po-tencia indicada por la diferencia de los exponentes; dicbo más brevemente: se restan los exponentes
Digo que am : a" = am- "
E n efecto: m u l t i p l i q u e m o s el divisor por el cociente, y veremos que nos da el dividendo, lo cual d e m u e s t r a el teorema.
Exponente cero.—Dijimos a n t e s que, según u n
conve-nio, la potencia cero, de cualquier n ú m e r o , se admite que es
di-- 36 di-- ' ' \
4- m (n veces) „ m n
según q u e r í a m o s demostrar.
'visión siguie^¿tlLam4Ka**' éri que las potencias son de igual
base y exponente.
N a t u r a l m e n t e , el dividendo y divisor son iguales y por
t a n t o el cociente será 1, es decir:
am . am =; j
P e r o si a p l i c a m o s la regla para la división de potencies
de igual base, t e n d r e m o s a s i m i s m o , am : a"'- = an i — m a°',
por t a n t o , a° = 1 según q u e r í a m o s justificar.
E x p o n e n t e negativo.—Sea la división de am por an. E n
los casos anteriores d á b a m o s por s u p u e s t o que m X* n.
Ad-m i t a Ad-m o s a b o r a que Ad-m <C n y por t a n t o que n = m ¡ d;
entonces, a p l i c a n d o al cociente anterior, la regla conocida será:
am : a" = am : am + d = am - m ~ d = a - «
¿Cómo i n t e r p r e t a r el exponente negativo? Desde luego, por definición de potencia, sólo cabe admitir, que el expo-nente sea u n n ú m e r o n a t u r a l ; n o obstante, por extensión,
se ba convenido en que a-d = es decir, que toda
canti-a
dad afectada de e x p o n e n t e negativo, es igual a un quebrado
que tiene por n u m e r a d o r la u n i d a d , y por d e n o m i n a d o r la m i s m a cantidad, afectada de exponente positivo. Para j u s -tificarlo, basta que observemos lo siguiente:
am _ am am _ am ^ 1 _ 1
lo cual, con lo a n t e r i o r m e n t e expuesto, justifica el convenio.
Potencia de otra potencia.—Para elevar una potencia a otra nueva potencia, bastará elevar la base de la primera & la potencia indicada, por el producto del exponente de it primera, por la segunda.
A s í ( a3)3 = a5 x 2 = a". V a m o s a demostrarlo:
D e c i m o s que: ( am)n = a"' n
Consecuencia.—Como lo m i s m o es mn que nm se de-duce que ( an ,)n = ( an), n.
Radicación
Definiciones.—Escribamos la sucesión f o r m a d a por las potencias de grado n de los n ú m e r o s enteros.
( - a)".... ( - 4 )n, ( — 3 ) " , ( 2 ) " , (- 1)" ,0,1", 2n, 3", 4n.... (a)"
siendo n u n n ú m e r o n a t u r a l .
Si tenemos u n n ú m e r o entero 2V, que es igual a u n o
de los t é r m i n o s de esta sucesión, por ejemplo, al 3n, t e n d r e
-mos que 3" = N y entonces se dice que 3 es la raíz
ené-sima del n ú m e r o 2V.
Raíz enésima de u n número.—Se llama raíz enésima de un número (siendo n un número natural), otro número <Jue, elevado a la potencia n reproduce el propuesto.
C o m o el exponente n puede ser 1, 2, 3, 4, etc., las raíces
t o m a n el n o m b r e de primera, segunda, tercera, cuarta, etc.; en particular, las raíces segunda y tercera, se l l a m a n cuadrada y cúbica, respectivamente.
La raíz primera de u n n ú m e r o será el m i s m o n ú -mero
Radicación o extracción de raices es la operación que
tiene por objeto hallar una raíz cualquiera de un núme-ro dado.
Como se ve, en esta operación, nos dan u n a potencia
(radicando) y el exponente (índice de la raíz) y lo que se
quiere bailar es la base de la potencia (raíz); es por t a n t o
operación inversa de la potenciación. Para indicar la
opera-ción se emplea el signo V (signo radical); se escribe el
ra-dicando, debajo de la r a y a h o r i z o n t a l del signo y el índice en la a b e r t u r a de la V .
a
Así V o4 que se lee raíz cúbica de 64.
— 38
-1.° Sí el índice es i m p a r , el signo de la raíz es igual el
del r a d i c a n d o . A S I
V i
64 = 4V
— 64 = - 4p o r q u e ( + 4 )8 - | 64 y ( - 4 )3 = — 64
2.° Si el índice es par, y el radicando es positivo, la raíz
tiene dos valores, u n o positivo y otro negativo de igual valor absoluto. >
4
E j e m p l o : \/ 16 = 1-2
porque lo m i s m o -(- 2 que — 2, elevados a la cuarta
poten-cia d a n -4- l6.
3.° Si el índice es par, y el r a d i c a n d o es negativo, la raíz
n o puede ser positiva ni negativa.N A .
E j e m p l o : V — l6
N o existe n i n g ú n n ú m e r o positivo ni negativo que, ele-vado al c u a d r a d o , p u e d a dar u n n ú m e r o negativo.
La V ~ 1 6 es, por consiguiente, por ahora, un símbolo sin significado a l g u n o .
M á s tarde veremos su interpretación.
R a í z exacta e i n e x a c t a .— C u a n d o u n n ú m e r o N, del
cual queremos obtener la raíz del grado n, í o r m a parte de la
sucesión dada m á s a r r i b a , se dice que tiene raíz enésima
exacta; es decir, que raíz enésima exacta de un n ú m e r o es
otro n ú m e r o que, elevado a la potencia enésima, reproduce
el propuesto. C u a n d o el n ú m e r o 2V n o es igual a uno de los
t é r m i n o s de la sucesión, entonces, y dentro del campo de los
n ú m e r o s enteros (únicos de que h e m o s tratado), no es
posi-ble resolver exactamente el proposi-blema, a n á l o g a m e n t e a lo que
ocurre en la división, en la que sólo se obtiene cociente
exac-to, c u a n d o el dividendo es m ú l t i p l o del divisor. A i no poder
obtener la raíz enésima exacta de un n ú m e r o , podemos de
Raíz entera. — Llámase raíz entera degrado n de un nú-mero N al mayor núnú-mero a cuya potencia enésima está con-tenida en N ; a esta raíz, se le llama por defecto; y se
deno-mina raíz n entera por exceso del número N , al menor
nú-mero cuya potencia enésima contiene el núnú-mero N. A s í , si
el n ú m e r o N , en la sucesión a n t e r i o r , está comprendido
en-tre los t é r m i n o s 4" y 5" , se dirá 4" < N <C 5° y por t a n t o ,
que 4 es la raíz enésima por defecto y 5 lo es por exceso. E n
general, si a es la raíz enésima por defecto de u n n ú m e r o , la raíz enésima por exceso será a ^ l y siempre se tendrá:
a" ' N < (a | l )n
R e s t o por defecto y por exceso — C o n c r e t a n d o la
cues-tión a la raíz cuadrada, diremos que la diferencia entré u n
n ú m e r o y el cuadrado de la raíz por defecto, se l l a m a resto por defecto; y resto por exceso, se l l a m a , a s i m i s m o , la di-ferencia existente entre el n ú m e r o y el cuadrado de la raíz por exceso.
La expresión analítica es
r = N - a' y T = (a I l )á - N
Valor m á x i m o del resto.—Se tiene que
< N < (a |- l )2 y por t a n t o N < a2 + 2 a + 1
restando de los dos miembros de esta desigualdad a2 se tendrá N — a2 < 2 a ! 1, es decir que, r < 2 a + 1
siendo, por tanto, su valor m á x i m o 2a.
Diferencia entre los cuadrados de dos números
con-secutivos.—Sean a y a -f- 1 dos n ú m e r o s consecutivos; la
diferencia de sus cuadrados será (a -f- l )2 — a2 = a2 -f- 2a
j- 1 — a8 = 2a -f- 1, es decir, que la diferencia entre los
- 4o —
bogaritmación
Logaritmaeión.—En toda expresión potencia] am = N
e n t r a n tres elementos: de ellos, siempre puede encontrarse u n o desconocido si se conocen los otros dos. C u a n d o se co-nocen a y m y queremos h a l l a r N, la operación vimos que se l l a m a potenciación.
C u a n d o de N, queremos pasar a obtener a o m, tendre-m o s dos operaciones inversas de la potenciación, que sor;, respectivamente, la radicación (de la que ya nos hemos ocu-pado) y la logaritmaeión, de la cual vamos a ocuparnos a h o r a .
fSe llama logaritmo de un número al exponente de la potencia a que hay que elevar un número llamado base para que nos produzca el número dado.
Si am = N diremos que m es el logaritmo base a de N
lo cual se expresa del siguiente modo:
Loga . N = m }
N a t u r a l m e n t e , se comprende, que si el n ú m e r o N es i g u a l a u n a potencia perfecta de a entonces el exponente de ésta será su logaritmo; en caso contrario se h a l l a r á compren-dido entre dos potencias sucesivas de a lo cual h a r á , como veremos más adelante, que siendo a positivo siempre existirá u n n ú m e r o real que será el l o g a r i t m o de N .
El número racional
{'Magnitudes escalares o lineales. — Se llaman magnitu-des escalares, aquéllas que pueden ordenarse en escala cre-ciente y pueden representarse por los puntos de una recta; de donde les viene el nombre de magnitudes lineales. Ejemplo
de esta clase de m a g n i t u d e s son las longitudes, los pesos, las
IA D i v i s i ó n indefinida.— Una cantidad se puede
des-componer en un número cualquiera de partes iguales, o bien, dada una cantidad A. y un número natural n, existe otra cantidad B tal que n B = A .
2a Postulado de Arcluímedes. — Si es A > A ' , siempre
podrá ser A ' \- A ' -|- A ' -f~ ! A ' > A , con tal que sea su-ficientemente grande el número de sumandos n j )
La A r i t m é t i c a nos ofrece el ejemplo m á s p u r o de m a g n i
-tudes escalares, c(ue son los n ú m e r o s racionales, y m á s a d e
-lante, los n ú m e r o s reales, los que, a d e m á s , satisfacen al
llamado p o s t u l a d o de c o n t i n u i d a d , que e n u n c i a r e m o s más
tarde.
limeros fraccionarios.—Hasta a h o r a , h e m o s
estudia-do en primer lugar, los n ú m e r o s n a t u r a l e s ; v i m o s que al
llegar a la sustracción fué necesario a m p l i a r el campo de
los n ú m e r o s con la introducción de los n ú m e r o s negativos,
que, con los anteriores, f o r m a n los n ú m e r o s enteros.
A h o r a v a m o s a ver la necesidad, de u n a n u e v a a m p l i a -ción del campo de los n ú m e r o s , por las r a z o n e s siguientes:
Según se h a visto en la división, esta operación es exacta solamente, en el caso de que el dividendo sea m ú l t i p l o del
divisor; en los demás casos sólo n o s h a sido posible, h a s t a
ahora, hallar lo que se l l a m a cociente entero; pues bien, para
la expresión exacta de los cocientes de 5 : 3, 25 : 4, por
ejemplo, ha sido preciso crear otros nuevos entes o n ú m e r o s
3 ' 4
que se liaman quebrados o fracciones. C o n s i d e r a n d o así las
cosas, un quebrado o fracción es el cociente exacto de dividir
a por b y los t é r m i n o s n u m e r a d o r y d e n o m i n a d o r , son s i n ó -n i m o s de divide-ndo y divisor, así como el t é r m i -n o q u e b r a d o
o fracción lo es de cociente y en consecuencia, el producto de
un quebrado (cociente) por el d e n o m i n a d o r (divisor) es igual
al n u m e r a d o r (dividendo):
