4º ESO – Académicas
Ejercicios de Trigonometría
Resolución de triángulos I
1) Halla las razones trigonométricas del ángulo α en cada triángulo rectángulo:
2) Calcula las razones trigonométricas del ángulo α:
3) En el momento del día en que los rayos del sol forman un ángulo de 60º con la horizontal, la sombra que proyecta un árbol en el suelo es de 2,6 metros.
4) Juan ha subido en un globo aerostático hasta una altura de 50 metros. Sus padres siguen el vuelo desde el suelo.
a) ¿A qué distancia del punto A se encuentran los padres de Juan?
b) Si el globo continúa subiendo en la misma dirección y se detiene cuando el ángulo de observación de Juan es de 60º, ¿a cuántos metros de altura se encuentra el globo en este momento?
5) Alba va a poner una bombilla de bajo consumo en una lámpara que está situada a 2 metros del suelo.
Alba mide 1,53 metros, y cada lado de la escalera (de tijera abierta en un ángulo de 50º), 70 centímetros. Averigua si alcanza con ella para poner la bombilla
6) Desde un lugar situado junto al pie de una montaña se observa el pico más alto de la misma con un ángulo de elevación de 45º. Si se retrocede 1061 metros, el ángulo es de 30º.
Calcula la altura de la montaña
7) Una antena se ha clavado en el suelo. Para que permanezca vertical y bien sujeta se han colocado dos anclajes en el suelo a ambos lados de la antena alineados con su base.
La distancia entre los anclajes es de 40 metros y si se observa la parte más alta de la antena desde cada uno de ellos, los ángulos de elevación son de 30º y 60º, respectivamente.
Soluciones
1) Halla las razones trigonométricas del ángulo α en cada triángulo rectángulo:
Resolución:
a) Lo primero y aplicando el teorema de Pitágoras obtendremos el cateto que nos falta:
h2 = 122 + 162 = > h2 = 122 + 162 h2 = 400 => h = 20
Una vez aquí tendremos las 3 razones trigonométricas:
sen α = 16 / 20 = 4 / 5 = 0,8 cos α = 12 / 20 = 3 / 5 = 0.6
tg α = 16 / 12 = 4 / 3 = 1,33333333
b) Lo primero y aplicando el teorema de Pitágoras obtendremos el cateto que nos falta:
522 = 202 + c2 = > 2704 = 400 + c2 c2 = 2304 => c = 48
Una vez aquí tendremos las 3 razones trigonométricas:
sen α = 48 / 52 = 12 / 13 = 0,92307692 cos α = 20 / 52 = 5 / 13 = 0,38461538 tg α = 16 / 12 = 12 / 5 = 2,4
2) Calcula las razones trigonométricas del ángulo α:
Resolución:
Lo primero que observamos es que se trata de un triángulo isósceles, y al trazar la altura nos ha quedado dividido en dos triángulos rectángulos. Si somos capaces de obtener el valor de los dos catetos podremos calcularlas.
El primero de los catetos, al ser un triángulo isósceles, será la mitad de la base, así pues su valor será 12 cm.
El segundo lo obtendremos aplicando el teorema de Pitágoras:
252 = 122 + c2 = > 625 = 144 + c2 c2 = 481 => c = 21,931712
Una vez aquí tendremos las 3 razones trigonométricas:
cos α = 12 / 25 = 0,48
sen α = 21,931712 / 25 = 0,87726848 tg α = 21,931712 / 12 = 1,82764266
3) En el momento del día en que los rayos del sol forman un ángulo de 60º con la horizontal, la sombra que proyecta un árbol en el suelo es de 2,6 metros.
¿Cuánto mide el árbol?
Resolución:
Lo primero y muy útil es hacer un esquema del problema para hacernos una idea y situarnos
Una vez aquí vemos que se nos ha formado un triángulo rectángulo donde conocemos un ángulo y uno de los catetos.
Si aplicamos la definición de la tangente de 60º para este triángulo tenemos que:
tg 60º = h / 2,6 si calculamos la tg 60º tenemos que:
1,73205080757 = h / 2,6 que despejando h obtendremos la altura del árbol;
4) Juan ha subido en un globo aerostático hasta una altura de 50 metros. Sus padres siguen el vuelo desde el suelo.
c) ¿A qué distancia del punto A se encuentran los padres de Juan?
d) Si el globo continúa subiendo en la misma dirección y se detiene cuando el ángulo de observación de Juan es de 60º, ¿a cuántos metros de altura se encuentra el globo en este momento?
Resolución:
Lo primero y muy útil es hacer un esquema del problema para hacernos una idea y situarnos
Una vez aquí vemos que se nos ha formado un triángulo rectángulo donde conocemos un ángulo y uno de los catetos.
a) Si aplicamos la definición de la tangente de 75º para este triángulo tenemos que:
Si llamamos D a la distancia de los padres de Juan al punto A
tg 75º = D / 50 si calculamos la tg 75º tenemos que:
3,73205080757 = D / 50 que despejando D obtendremos la distancia;
b) Si ahora el ángulo cambia al ascender el globo y pasa a ser 60º, lo que no cambia es la distancia de los padres de Juan al punto A, con lo que aplicando la fórmula anterior llamando h a la altura del globo tenemos,
tg 60º = 186,6025 / h si calculamos la tg 60º tenemos que:
1,73205080757 = 186,6025 / h que despejando h obtendremos la altura;
h = 107,735 metros
5) Alba va a poner una bombilla de bajo consumo en una lámpara que está situada a 2 metros del suelo.
Alba mide 1,53 metros, y cada lado de la escalera (de tijera abierta en un ángulo de 50º), 70 centímetros. Averigua si alcanza con ella para poner la bombilla
Resolución:
Lo primero y muy útil es hacer un esquema del problema para hacernos una idea y situarnos
Si nos fijamos la escalera forma un triángulo isósceles con el suelo. Si la altura h de ese triángulo más lo que mide Alba igualan o superan los dos metros podrá cambiar la bombilla.
En caso contrario no. Así pues la pregunta es si la altura de ese triángulo es de 47 centímetros o más.
Para el triángulo que hemos extraído de la escalera, tenemos ángulo de 25º, y una hipotenusa de 0,7 metros (recuerda todo en las mismas unidades)
Así pues cos 25º = h / 0,7 => 0,90630778 = h / 0,7 => h = 0,6344 m
6) Desde un lugar situado junto al pie de una montaña se observa el pico más alto de la misma con un ángulo de elevación de 45º. Si se retrocede 1061 metros, el ángulo es de 30º.
Calcula la altura de la montaña
Resolución:
Lo primero y muy útil es hacer un esquema del problema para hacernos una idea y situarnos
Para la figura anterior vemos que se nos han formado dos triángulos rectángulos el APC y el BPC, de los no conocemos ningún lado pero si uno de sus ángulos.
Adicionalmente tampoco conocemos la distancia de A a C (distancia del primer punto de observación) a la que llamaremos x.
La distancia del segundo punto de observación B a la base C de la montaña entonces será x + 1061
Con estos datos podemos plantear lo siguiente:
tg 45º = h / x => 1 = h / x
tg 30º = h / (x + 1061) = > 0,5773502 = h / (x + 1061)
Que resulta ser un sistema de ecuaciones no lineal con dos ecuaciones con dos incógnitas que pasaremos a resolver.
Despejamos la x de la primera ecuación y nos queda que x = h con lo que sustituimos en la segunda
0,5773502 = h / (h + 1061) => (h + 1061) * 0,5773502 = h =>
0,5773502h + 612,56863561 = h => 612,56863561 = h – 0,5773502h =>
7) Una antena se ha clavado en el suelo. Para que permanezca vertical y bien sujeta se han colocado dos anclajes en el suelo a ambos lados de la antena alineados con su base.
La distancia entre los anclajes es de 40 metros y si se observa la parte más alta de la antena desde cada uno de ellos, los ángulos de elevación son de 30º y 60º, respectivamente.
Calcula la altura de la antena.
Resolución:
Lo primero y muy útil es hacer un esquema del problema para hacernos una idea y situarnos
Como podemos ver en la figura se nos han formado dos triángulo rectángulos en los que desconocemos los lados. Si llamamos x a la distancia de la base de uno de los anclajes (por ejemplo el del que forma el ángulo de 30º), la otra distancia será 40 – x.
Así ahora podemos hacer
tg 30º = h / x => 0,5773502 = h / x tg 60º = h / (40 – x) => 1,7320508 = h / (40 – x)
Que como podemos ver se trata de un sistema de ecuaciones no lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas que pasamos a resolver.
Podemos despejar la h de ambas ecuaciones e igualar. h = 0,5773502x
h = 1,7320508(40 – x)
Así pues,
0,5773502x = 1,7320508(40 – x) => 0,5773502x = –1,7320508x + 69,2820323 =>
2,309401x = 69,2820323 => x = 69,2820323 / 2,309401 => x = 30 m
Una vez aquí sustituimos por ejemplo en la primera ecuación y tenemos,