Estudio de elementos de fábrica por superficies antifuniculares

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(1)Estudio de elementos de fábrica por superficies antifuniculares. Trabajo de investigación tutelado José Galafel González Ingeniero de Caminos Canales y Puertos. Director: Javier León González Doctor Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos. Madrid, Junio 2011. Universidad Politécnica de Madrid Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos Departamento de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras.

(2) CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN Y OBJETIVOS....................................................................................................................... 1 1.1 Motivación................................................................................................................................................. 1 1.2 Objetivos del trabajo..............................................................................................................................2 1.4 Estructura del trabajo ........................................................................................................................... 4 CAPÍTULO 2 ESTADO DEL ARTE...............................................................................................................................................5 2.1 Introducción .............................................................................................................................................5 2.2 Líneas de presión y análisis de estructuras por secciones .........................................................5 2.3 Análisis por soluciones de membrana ............................................................................................ 8 2.4 Análisis por bloques rígidos............................................................................................................... 9 2.5 Modelos colgados...............................................................................................................................10 2.6 Las Láminas de Heinz Isler................................................................................................................. 12 2.7 Funciones de tensiones y momentos............................................................................................. 15 2.8 Redes de líneas de compresión ......................................................................................................16 2.9 Conclusiones .........................................................................................................................................18 CAPÍTULO 3 UN NUEVO MODELO DE CÁLCULO DE SUPERFICIES ANTIFUNICULARES ................................19 3.1 Introducción............................................................................................................................................19 3.2 Modelo físico ........................................................................................................................................ 20 3.3 Fundamentos ........................................................................................................................................ 25 3.4 Ejemplo explicativo ............................................................................................................................ 28 3.5 Desarrollo del modelo ....................................................................................................................... 32 3.6 Ecuaciones del método ..................................................................................................................... 36 3.7 Distintas condiciones de apoyos.....................................................................................................48 3.8 Comprobación del modelo............................................................................................................... 51 CAPÍTULO 4 ANÁLISIS Y EJEMPLOS......................................................................................................................................61 4.1 Arcos y bóvedas ................................................................................................................................... 63 4.2 Bóvedas ...................................................................................................................................................73 4.3 Cúpulas...................................................................................................................................................80 CAPÍTULO 5 ANÁLISIS DE TENSIONES............................................................................................................................... 87 5.1 Algoritmo para el análisis tensional................................................................................................ 87 CAPÍTULO 6 CONCLUSIONES Y FUTURAS LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN.............................................................. 95 6.1 Conclusiones......................................................................................................................................... 95 6.2 Futuras líneas de investigación........................................................................................................96 BIBLIOGRAFÍA.....................................................................................................................................................99.

(3) 1. INTRODUCCIÓN Y OBJETIVOS. CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN Y OBJETIVOS 1.1 Motivación Existe en nuestro país un gran número de edificaciones construidas por medio de mampostería, que otorga un patrimonio a conservar para futuras generaciones. Estas edificaciones se encuentran repartidas por toda la geografía dando lugar a una importante diversidad de estilos y características constructivas. Tanto por los materiales utilizados como por las formas. Estructuras romanas como acueductos y puentes, catedrales y ermitas románicas, castillos medievales, grandes catedrales góticas junto con un sin fin de puentes de piedra que a pesar de su antigüedad siguen dando servicio en la red de carreteras nacionales, merecen ser analizados y comprendidos.. .. Fig. 1.1 Grabado de los arbotantes de la catedral de Burgos.. Todo este patrimonio debe de ser preservado y mantenido de la forma más eficiente, para lo que es imprescindible su estudio con las herramientas mas adecuadas. Se debe de tener en cuenta que estas estructuras, con el paso del tiempo han sufrido grandes transformaciones, como cambios en la cimentación, variaciones de la estructura o la carga. Sirvan de ejemplo las solicitaciones. 1.

(4) 1. INTRODUCCIÓN Y OBJETIVOS para las que se construyeron los puentes de piedra, que actualmente sufren las cargas de pesados camiones. La conservación de estas obras debe tener en cuenta su funcionamiento estructural, de forma que las modificaciones y procesos de conservación sirvan para mejorar la estabilidad de la obra y en ningún caso se realicen actuaciones que puedan poner en peligro la integridad de la estructura. Se corre el riesgo de que una actuación mal concebida acabe con la estabilidad de una edificación que se ha mantenido en pie cientos de años. Los materiales usados en estas construcciones y sus peculiaridades, como la falta de resistencia a tracción, hace que el método de los análisis límite sea muy adecuado para la comprobación de estas estructuras ya que permite definir su seguridad conociendo únicamente la geometría de las cargas, sin tener en cuenta las características del material. El estudio de estructuras de mampostería cuyo comportamiento se pueda considerar bidimensional, como puentes arco, está bien analizado por medio de las líneas de presión. Sin embargo en estructuras en las cuales no se pueda tener en cuenta el funcionamiento bidimensional por falta de simetría como puedan ser las bóvedas de crucería o arcos esviados, es necesario obtener superficies antifuniculares de las cargas que actúan sobre éstas, para poder realizar un análisis completo de su funcionamiento. Estas superficies antifuniculares no solamente tienen utilidad dentro del análisis de estructuras de mampostería ya construidas, sino que también pueden ser aplicadas para el diseño de nuevas estructuras de hormigón, aprovechando las buenas capacidades resistentes a compresión que presenta este material. Se pueden desarrollar métodos basados en la plasticidad que estudien el comportamiento de piezas de hormigón por medio de superficies antifuniculares, de forma análoga al método de bielas y tirantes. Las superficies antifuniculares y el análisis límite también pueden ser utilizados para comprobar y diseñar estructuras de hormigón. De forma similar al método de bielas y tirantes. Una superficie antifunicular puede servir para comprobar elementos más complejos.. 1.2 Objetivos del trabajo En este trabajo de investigación se revisa desde un punto de vista crítico, el estado actual del conocimiento en el análisis de estructuras tridimensionales de mampostería. Se analizan los distintos métodos existentes, describiendo sus principales utilidades e intentando encontrar lagunas dentro de la perspectiva del análisis límite. Del estudio de los distintos métodos, se obtienen ideas para desarrollar un sistema rápido y eficaz, coherente con las necesidades del análisis de estructuras ya existentes. Se pretende crear las bases para un método global de análisis de estructuras de mampostería, basado en la plasticidad y las superficies antifuniculares. Diseñando un sistema que permita obtener de manera sencilla las superficies que únicamente trabajan a compresión, para las solicitaciones a las que debe hacer frente la estructura estudiada. Este sistema a su vez comparará las superficies obtenidas con la geometría de la construcción analizada. Este sistema permitirá mejorar la comprensión de este tipo de estructuras, siendo necesaria la interacción del usuario para poder decidir cuál de todas las soluciones es la que mejor se adapta al funcionamiento de la estructura.. 3.

(5) 1. INTRODUCCIÓN Y OBJETIVOS Una vez desarrollado el sistema se comprobarán los resultados obtenidos, validándolos con experiencias anteriormente realizadas por otros sistemas y demostrando la validez del método mediante el análisis de sus posibles mejoras. El sistema se utilizará para comprobar la estabilidad de distintas tipologías estructurales a fin de comparar los distintos esquemas y su funcionamiento.. 1.3 Encuadre del trabajo El estudio de estructuras de mampostería tiene grandes peculiaridades frente al diseño de estructuras nuevas. En primer lugar, se debe tener en cuenta que no se trabaja con un material homogéneo ni isótropo; el material estará constituido por bloques de diversos tamaños con juntas en diversas posiciones. Esta gran cantidad de discontinuidades, complica su modelización por medio de métodos como el de los elementos finitos. Otra peculiaridad, es el desconocimiento de las características de los materiales. Los elementos a analizar no podrán ser ensayados en muchos casos, y además sus características pueden ser distintas en cada zona de la estructura. En muchas ocasiones la construcción de estos elementos se prolongaba durante décadas pudiéndose cambiar la procedencia de los materiales, además éstos pueden haber sufrido variaciones en sus características físico-químicas en el transcurso de los años. Estas particularidades, hacen que el estudio de estructuras históricas deba de ser completamente distinto al de las convencionales. En las construcciones históricas, la recopilación de información así como la comparación con obras realizadas en el mismo periodo será clave. Por estos motivos, las estructuras históricas han sido analizadas por variadas aproximaciones. Podemos dividir los niveles de análisis de las estructuras en: NIVEL I. Únicamente se tienen en cuenta las ecuaciones de equilibrio. La estática gráfica y los análisis límite pertenecen a este nivel. NIVEL II. En este nivel se tienen en cuenta las ecuaciones de equilibrio y el control tensional de los materiales. Las tensiones se comprueban por medio de un método iterativo, el método desarrollado aquí pertenece a este nivel. NIVEL III. El equilibrio, las ecuaciones constitutivas y la compatibilidad son tenidos en cuenta en este nivel, al cual pertenecen los elementos finitos y los modelos de barras no lineales. Aunque más completos, estos sistemas tienen la desventaja de necesitar gran cantidad de datos para su aplicación. El sistema desarrollado estará dentro de los métodos de análisis límite con análisis tensional y por tanto pertenecerá al Nivel II. Dentro de estos métodos, no es posible el análisis de los desplazamientos y por consiguiente, no se puede analizar el estado de servicio de estas estructuras. Sin embargo permite analizar su seguridad sin necesidad de obtener gran cantidad de datos que, como se ha comentado, es muy complicado en este tipo de estructuras. Dentro de los estudios de análisis límite, existen a su vez diversas aproximaciones. En todos ellos se buscan superficies antifuniculares o líneas de presión: . Métodos gráficos. En este caso, se analiza la estructura por partes, aplicando la estática gráfica a cada una de las secciones en las que se divide la estructura. Debido al gran consumo de tiempo este método está en desuso.. 4.

(6) 1. INTRODUCCIÓN Y OBJETIVOS . Métodos computacionales. Con la aparición del ordenador, se han desarrollado diversos programas que obtienen las superficies antifuniculares automáticamente. Muchos de ellos están basados en la estática gráfica, aunque algunos funcionan por medio de funciones matemáticas.. . Métodos físicos. Otra opción para la determinación de superficies antifuniculares, consiste en la obtención de dichas superficies por medio de experimentos reales, como pueden ser tender cuerdas. Éstos resultan son muy complicados, si se desea comparar con la geometría de una estructura ya existente.. El sistema desarrollado en el presente trabajo aplica métodos computacionales utilizando las ecuaciones de equilibrio y aplicándolas sobre mallas existentes. Esta línea de estudio coincide con los trabajos realizados por Philippe Block dentro del MIT.. 1.4 Estructura del trabajo Este trabajo, comenzará enunciando y analizando los distintos estudios que existen sobre el análisis de estructuras de fábrica. Este será el punto de partida para la búsqueda de un método de comprobación de construcciones de fábrica, que pueda completar y mejorar los existentes. En primer lugar, se introducirán los conceptos básicos de los elementos antifuniculares, describiendo las ecuaciones de equilibrio, que serán la base del programa de obtención de superficies antifuniculares. A continuación, se desarrollarán todas las funciones aplicadas en el método, analizando la utilidad de cada una y completando el conjunto hasta llegar a un sistema de ecuaciones, que permita obtener las superficies antifuniculares necesarias para el análisis de las estructuras. Una vez desarrollado el sistema que obtenga superficies antifuniculares, se aplicará al estudio de estructuras históricas; completándose el programa, para poder introducir las geometrías a estudiar y desarrollando las aplicaciones que permitirán realizar los estudios y las comparaciones. Posteriormente, se comparará el funcionamiento del sistema con las soluciones obtenidas por otros métodos y se calibrará. Por otro lado, se analizará la cantidad mínima de datos necesaria para obtener resultados fiables, sin necesidad de aumentar el tiempo de cálculo. Por último, se procederá a realizar modelos de estructuras con diversas tipologías, pretendiendo establecer una guía de funcionamiento para el estudio de cada una de ellas.. 5.

(7) 2. ESTADO DEL ARTE. CAPÍTULO 2 ESTADO DEL ARTE. 2.1 Introducción En este capítulo, se analizan las teorías en las cuales se basa el método desarrollado, así como se enuncian estudios con los mismos principios y otros que representan alternativas al presente sistema. En primer lugar, se explica el concepto de las líneas de presión. Este concepto es la base de las superficies de presión y ya ha sido utilizado para la comprobación de estructuras. Estas superficies son la adaptación de las líneas de presión a estructuras tridimensionales. Se presenta el análisis por bloques rígidos como método alternativo a los trabajos basados en la plasticidad, analizando sus diferencias y comparándolo con el sistema desarrollado aquí. Existen distintos métodos basados en la plasticidad y las superficies antifuniculares, algunos desarrollados en la experimentación real y otros por medio del análisis computacional. Estos métodos presentan diversas semejanzas con el que aquí se enuncia, dado que todos generan superficies que se comparan con la geometría de la estructura. Estos sistemas han servido de base para el desarrollo de este método.. 2.2 Líneas de presión y análisis de estructuras por secciones Se desarrolla el concepto de línea de presión, como base de las superficies de presión, esta herramienta de análisis de primer nivel, aunque puede ser de nivel II con el análisis tensional, es de gran utilidad y ha sido empleada durante mucho tiempo para el análisis de estructuras de fábrica. El concepto de línea de presión fue presentado alrededor de 1830 por Moseley en Inglaterra y por Méry en Francia, aplicado al colapso de arcos. Se define la línea de presión como el lugar geométrico de los puntos de aplicación de las resultantes de las tensiones, que actúan sobre una familia de secciones definidas sobre un sólido plano sometido a un sistema equilibrado de fuerzas. Este concepto ya había sido intuido por Hooke (ca. 1670), como el lugar geométrico del punto de paso de los esfuerzos por un sistema de planos de corte dados. (figura 2.1).. 6.

(8) 2. ESTADO DEL ARTE Como se explicará más adelante, la línea de presión depende por tanto de la geometría de la estructura, de las fuerzas actuantes y de la familia de secciones que se elija. Según la definición, la línea de presiones no depende de las propiedades deformacionales del material, si bien, para conseguir un sistema equilibrado de fuerzas, se deben haber obtenido las reacciones en puntos del sólido vinculados cinemáticamente al exterior, es decir los apoyos de la estructura deben de ser admisibles. En el análisis de estructuras de fábrica por medio de líneas de presión, se debe aceptar que la fábrica no resiste a tracción, la resistencia a compresión es infinita y la resistencia a cortante también lo es. Esto hace que este método solo analice su rotura como mecanismo. Las líneas de presión permiten entender y analizar el equilibrio por medio del análisis límite. Encontrando las líneas de presión que permanecen dentro de una sección de la estructura, podemos determinar su seguridad e incluso proponer distintos mecanismos de colapso.. Figura 2.1 Desarrollo de una línea de presión en un arco.(Santiago Huerta). La línea de presión, es una técnica principalmente desarrollada para el análisis en dos dimensiones, como pueden ser arcos o cualquier estructura que su comportamiento pueda ser reducido a dos dimensiones. Cualquier estructura tridimensional, puede ser analizada por medio de líneas de presión, utilizando la técnica de secciones. Esta técnica se basa principalmente en dividir la estructura en múltiples arcos, de forma que cada uno de ellos sea antifunicular, teniendo en cuenta sus conexiones con los otros arcos. La idea de la utilización del análisis por secciones en una bóveda de crucería fue de Scheffler (1857). Para estudiar el equilibrio estático de una bóveda de crucería, seccionaba las dos superficies que se cruzan, en arcos de distintas geometrías. Los cálculos de Scheffler, implicaban complicadas ecuaciones algebraicas, sin embargo sentó las bases para el análisis gráfico. En la práctica este método se utilizó por primera vez por Wittmann (1879), y Planat (1887), siendo Karl Mohrmann quien implantó el uso extensivo de esta técnica en la tercera edición de Ungewitter. [51] [54]. 7.

(9) 2. ESTADO DEL ARTE. Figura 2.2 Ejemplos de análisis gráfico (Wittmann 1879).. El trabajo de Mohrmann no se centra únicamente en las cúpulas, sino que también realiza análisis de edificios completos, incluyendo columnas y contrafuertes, siendo uno de los trabajos más completos en el análisis de iglesias y catedrales. Mohrmann, introdujo diversas aproximaciones para facilitar el análisis y la elección de las rebanadas a estudiar. En el caso de una bóveda de crucería la elección de estas rebanadas es sencilla, sin embargo Mohrmann fue capaz de analizar formas mucho más complicadas y combinaciones de bóvedas, llegando incluso al análisis de cúpulas. Al determinar los planos de corte necesarios para realizar las secciones de las cúpulas, se imaginó esferas rodando por el extradós, presumiendo que las trayectorias que realizan estas esferas son las que toman las fuerzas. Este es un concepto muy interesante ya que relaciona las trayectorias de fuerzas con planteamientos como el de la energía mínima. Posteriormente, esta idea fue utilizada por Sabouret (1924) y Abraham (1934), los dibujos explicativos de este último llevaron durante cierto tiempo a pensar que originalmente la idea era suya. [42]. Figura 2.3 Formas de secciones (Ungewitter 1890).. Para muchas estructuras sencillas el análisis por esta técnica puede ser suficiente. Sin embargo es muy importante la correcta elección de las secciones para la calidad de los resultados obtenidos, lo que hace a este método muy costoso en tiempo. Una vez que se han decidido las secciones correctas, analizarlas por medio de líneas de presión resulta rápido.. Figura 2.4 Análisis en pseudo-3D por Wolfe (1921).. 8.

(10) 2. ESTADO DEL ARTE. Barthel(1993), revisa los niveles de sofisticación y las aproximaciones necesarias para un buen análisis, entre otros datos analiza el tamaño necesario de las secciones. Smars(2000), diseñó el programa Calipous utilizando un interfaz de AutoCAD, el cual permite análisis en pseudo 3D. Block (2006) ideó un método utilizando este sistema de forma paramétrica e interactiva, reduciendo el tiempo de análisis gráfico. [49]. Figura 2.5 Análisis utilizando Calipous.. Este método de secciones resulta laborioso para geometrías complicadas, debido a la dificultad de la elección de las secciones correctas; ésto hace que este método solo se haya utilizado para el análisis de bóvedas de cañón y crucería. Por otro lado los resultados gráficos obtenidos le convierten en un método fácilmente comprensible. La catedral de Palma de Mallorca se analizó por Rubió i Bellver (1912) de esta forma. El programa Vlasta, desarrollado en el departamento de hormigón estructural de la Universidad Politécnica de Madrid permite realizar estos mismos estudios. Esta forma de trabajo utiliza la plasticidad y es muy útil para aproximaciones al funcionamiento general de la estructura, al ser muy gráfica mejora su rápida comprensión; pero en comparación con el sistema que aquí se explica, tiene el problema de que sus soluciones dependen completamente de las secciones elegidas.. 2.3 Análisis por soluciones de membrana La teoría de análisis límite fue introducida por Heyman (1966), para el análisis de estructuras de mampostería. En su caso, para obtener las superficies antifuniculares en 3D necesarias para la comprobación de cúpulas y bóvedas, se utilizaron soluciones de formas geométricas analizadas matemáticamente. Para conocer la seguridad de una estructura, se comprobó si estas superficies, esferas, conos, etc…, quedaban comprendidas dentro de los limites de los paramentos. Por otro lado Heyman completaba estos análisis con la técnica de secciones. [42] Una estructura determinada resultará segura según la teoría de la plasticidad siempre que se obtenga una superficie analítica, como puede ser un conoide, una esfera, etc., que para las cargas analizadas se encuentre en compresión y dentro de los paramentos.. 9.

(11) 2. ESTADO DEL ARTE. Figura 2.6 Conoide utilizado para el análisis de una bóveda de abanico.. Utilizando estas formulaciones, obtuvo resultados para una gran cantidad de tipologías estructurales. Este método es muy útil para obtener valores rápidos como pueden ser las reacciones de estructuras y análisis preliminares. Por otro lado existen multitud de superficies analizadas en estudios como los de Gree y Zelma y los de W. Flügge. [53] La mayor limitación de este método es que utiliza formulaciones de superficies preestablecidas, lo cual hace que el estudio sea menos exacto cuanto más se aleja la estructura de dichas formas. Es un método que necesita de un conocimiento previo de las superficies que encajan en cada estructura, aunque sin embargo permite aproximaciones rápidas y elegantes. Al igual que en el sistema que aquí se expone, tiene en cuenta el comportamiento tridimensional del conjunto buscando superficies y funciona siguiendo la teoría de la plasticidad. La mejora que representa este sistema frente al indicado, es que no se hace necesario el conocimiento previo y el tanteo con distintas superficies.. 2.4 Análisis por bloques rígidos Se han desarrollado diversos modelos en los que no se considera la estructura como un continuo, sino que se tiene en cuenta los bloques y la fricción entre ellos. Como sabemos en estas construcciones los materiales trabajan a niveles bajos de tensión, por lo tanto se consideran los bloques como indeformables para realizar los análisis. La fábrica puede ser estudiada, como un conjunto de piezas independientes infinitamente rígidas, que se mueven sin deformarse a través de giros y desplazamientos en sus juntas. Cada pieza tiene 6 grados de libertad (ux,uy, uz, x, y, z), en un modelo 3-D y tan solo 3 en un modelo 2-D (ux, uy, z). La formulación de las ecuaciones de compatibilidad cinemática constituye la única relación entre los movimientos de las piezas que forman la estructura. En los últimos años, se han realizado modelos que tienen en cuenta la fricción basados en el continuo no lineal (Livesley (1978), Harvey (1988), Melbourne y Gilbert (1994) Hughes (1997), en estos modelos se tienen en cuenta las interacciones entre las piedras y por lo tanto son unos modelos muy completos (Baggio y Trovalusci(1993)) programaron un sistema, para obtener la carga última en estructuras de piedra y comprobaron que los resultados eran consistentes con la realidad. [31]. 10.

(12) 2. ESTADO DEL ARTE. Figura 2.7 Mecanismos de rotura y factor multiplicador de la carga P que produce dicha rotura, en estudio lineal (L) y no lineal (NL).. La principal ventaja de este método, lo mismo que en el desarrollado por superficies antifuniculares, es poder representar el fenómeno de agotamiento por colapso cinético, con pocos datos geométricos sin requerir datos mecánicos difíciles de conocer. Por otro lado, presenta la ventaja de que la carga final obtenida, no se ve condicionada por el nivel de tensiones existente. Sin embargo, el método del bloque rígido resulta muy complicado y necesita datos que usualmente no son fáciles de conseguir. Las características de los morteros o los tamaños de los bloques son complicados de obtener. Este método es muy útil para estructuras pequeñas o zonas de estructuras mayores en las cuales sea necesario un estudio muy preciso.. Figura 2.8 Mecanismo de rotura de un muro en “opus africanun” Carlo Baggio y Patricia Trovalusc, con distintos tipos de análisisi.. 2.5 Modelos colgados Este sistema, que consiste en colgar un elemento sin rigidez, como una tela o una cadena, para obtener una forma antifunicular, se ha utilizado de dos maneras distintas. En primer lugar para el diseño de nuevas estructuras antifuniculares y en segundo lugar para la determinación de superficies antifuniculares, que se puedan comparar con estructuras existentes y así determinar su funcionamiento y resistencia.. 11.

(13) 2. ESTADO DEL ARTE Ya Hooke estableció la idea de la cadena colgante: “la forma de una cadena colgando, al ser invertida dará la forma de un arco rígido”, esta idea fue utilizada para el análisis de la rotura de la cúpula de San Pedro en Roma por Poleni, quien analizó la estabilidad de la cúpula colgando una cadena con los pesos proporcionales a los de la cúpula, frente a un dibujo a escala de la sección. [40] Estos modelos físicos para determinar la seguridad de estructuras existentes resultan muy engorrosos, sobre todo en estructuras tridimensionales. Por otro lado, como en cualquier modelo físico, es necesaria una gran precisión y un conocimiento muy exacto de la estructura. Para evitar los problemas derivados de los modelos físicos a escala se han desarrollado modelos virtuales, que hacen más manejable el problema de estructuras en 3-D. Killian(2007), desarrolló un modelo virtual de superficies colgadas y estableció reglas para aplicar estos modelos partiendo de la geometría. Recientemente, el problema de encontrar una red contenida dentro de los límites de una bóveda, ha sido resuelto por Andreu (2007) implementando una optimización .[4], [30] Este sistema denominado Cadenary, permite obtener superficies antifuniculares, utilizando formulaciones que tienen en cuenta la aceleración y los movimientos por gravedad de los elementos que componen la red, sin embargo, como en otros casos, es necesario decidir previamente la forma de la red para poder resolver el problema.. Figura 2.9 Modelos antifuniculares por Cadenary.. Estos modelos físicos han sido utilizados más habitualmente para el diseño que para la comprobación de estructuras. Heinrich Hübsch utilizó cadenas colgantes para diseñar casas en el siglo XIX. Gaudí utilizó modelos en tres dimensiones para la cripta de la colonia Güell, el modelo colgante de la cripta se realizó por un equipo entre los años 1898 y 1908.. 12.

(14) 2. ESTADO DEL ARTE. Figura 2.10 Maqueta antifunicular de cargas.. Obtener formas antifuniculares por medio de modelos colgados puede ser un proceso muy tedioso. En primer lugar se debe elegir la forma de la red de cuerdas a colgar, además el mínimo cambio en la arquitectura modifica toda la geometría del modelo. Por eso mismo los pesos deben de estar siendo corregidos en todo momento. La longitud de las cuerdas influirá en gran manera en los resultados obtenidos, el proceso entero exige un trabajo muy cuidadoso que debe ser realizado por especialistas, sin embargo estos modelos son buenas guías para el diseño de estructuras, permitiendo al ingeniero poder observar los cambios producidos, al variar la posición de las cargas y la geometría. En este apartado, se hará una mención especial a Heinz Isler, dado que este ingeniero suizo ha sido el mayor constructor de laminas antifuniculares y sus métodos de obtención de formas por ensayos físicos debe ser estudiada con detenimiento, habiendo sido capaz de superar todos los problemas constructivos y los detalles necesarios para construir este tipo de estructuras. En las siguientes páginas, se incorpora un documento en el que se explican su interés por las láminas y sus métodos para definir la geometría de estas.. 2.6 Las Láminas de Heinz Isler Heinz Isler fue un ingeniero suizo muy sensibilizado con la búsqueda de estructuras de hormigón de formas antifuniculares. Su primer contacto con la problemática de las láminas fue el proyecto de una lámina cilíndrica para cubrir una sala de conciertos, la dificultad de encontrar una forma para dicha lámina generó la inquietud que le llevó a desarrollar distintas formas de diseñar superficies antifuniculares.. 13.

(15) 2. ESTADO DEL ARTE. Figura 2.11 Encofrado con curvas arbitrarias para sala de concierto Kreuz Langenthal.. La primera técnica para el diseño de estructuras laminares ideada por Isler, tuvo por inspiración su propia almohada, a partir de su forma intuyó todas las posibilidades que pueden tener los elementos hinchables para el diseño de láminas de hormigón. A partir de esa idea, el autor construyó una almohada hinchable altamente precisa. Para eso montó un comparador en una vigueta calibrada y tanteó la superficie con un sensor sin peso.. Figura 2.12 Medición de una membrana inflada.. Con este método experimental para encontrar la forma idónea, se abrió el camino a la “lámina burbuja, como la denomina Isler.. Figura 2.13 Lámina con forma natural.. Este método es valido para todos los bordes cerrados, sean éstos angulosos o redondos, bi/tridimensionales. También fueron realizadas algunas de estas otras formas, como por ejemplo, hexagonales para una gran sala de exposición de Mercedes en Sindelfingen, o una planta en forma de trébol para la residencia del arquitecto Balz en Stetten auf den Fildern cerca de Stuttgart.. 14.

(16) 2. ESTADO DEL ARTE. Figura 2.14 Lámina de la empresa Ehgartner, Viena.. El segundo método ideado por Isler para encontrar la forma de láminas antifuniculares fue desarrollado a partir de una tela mojada. Una simple tela colgando fue la nueva solución al problema de la geometría de edificios antifuniculares. Observando una membrana colgante cargada por su peso propio, se puede encontrar un continuo tridimensional que sirve como forma de lámina. Pronto surgió la idea de solidificar las formas con un líquido fraguante y así obtener de la manera más directa y más fácil un modelo de lámina, que entonces sólo debía ser girado para obtener la forma antifunicular.. Figura 2.15 Pabellón de hielo 1956, membrana colgante helada antes de darse la vuelta a ella.. Por último Isler, descubrió otra forma de desarrollar superficies validas para láminas, cuando participó en una presentación del plástico poliuretano, que era nuevo en aquel tiempo. El poliuretano líquido que se vertió en un recipiente cuadrado, al espumar, brotó con una forma que de nuevo le llamo la atención Figura 2. 16. Se había formado un continuo tridimensional encima de una planta cuadrada, que cumple la exigencia de un cambio de curvatura constante y sin saltos.. Figura 2. 16 Forma de un proceso de espumar.. 15.

(17) 2. ESTADO DEL ARTE Los métodos para el diseño de formas de cubiertas de Isler, dan una idea del gran potencial que tiene la experimentación física para la obtención de estructuras resistentes. Estos métodos son muy costosos y mantener la precisión es difícil. Por último sus métodos para encontrar la forma solo permitían el diseño y no el estudio de la seguridad de sus estructuras. [20]. 2.7 Funciones de tensiones y momentos Fraternali y Rocchetta [2002] y Fraternali [2003] propusieron un nuevo enfoque para bóvedas de fábrica con superficies aproximadas y lineales. El equilibrio esta relacionado con funciones discretas de Airy, siendo este enfoque una aplicación en 3-D del método globalizado de tensiones. [16] La función de Airy Ai(x), es una función especial, llamada así por el astrónomo británico George Biddell Airy. La función Ai(x) y la función relacionada Bi(x), son soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial ordinaria: [1]. y´´−xy = 0 Donde y es una función desconocida de x e y(n) la enésima derivada de y. Estas funciones, son solución de las ecuaciones de equilibrio, elasticidad y compatibilidad. Este método busca la forma óptima para una estructura, utilizando a la vez diagramas de fuerza y funciones de tensiones de Airy. De esta forma, por medio de los diagramas de fuerza, sobre una malla de barras permite obtener superficies de forma intuitiva y utiliza las funciones de Airy para optimizar la superficie encontrada. Como herramienta de evaluación para elementos de fábrica, obtiene formas de una manera elegante y permite un análisis muy preciso de tensiones. Sin embargo este método se diferencia con el de este documento, en que es necesario iterar y sus ecuaciones son complicadas lo que conlleva un mayor consumo de tiempo.. Figura 2.17 Evolución de un sistema basado en funciones de Airy.. 16.

(18) 2. ESTADO DEL ARTE Una opción distinta, para determinar superficies antifuniculares, es utilizar la relación existente entre el momento resistido en una superficie plana con la superficie antifunicular. Este es el mismo principio que relaciona, el momento en una barra con el arco que es funicular para esas cargas. Dado que por medio de los elementos finitos pueden ser obtenidos los momentos en una placa, estos pueden ser utilizados de la misma forma para obtener la superficie antifunicular. Este método no está todavía suficientemente desarrollado, aunque permitiría estudiar las formas antifuniculares desde otra perspectiva también muy intuitiva. En el capítulo 3.2, se comprueba la relación entre el momento y la forma antifunicular para una mejor comprensión.. 2.8 Redes de líneas de compresión Este sistema se basa en los mismos principios que las superficies formadas por líneas de presión que se enuncian en el capítulo 3. Fue propuesto originalmente por O´Dwyer, quién desarrolló métodos que formaban redes, en las cuales todas las líneas estaban comprimidas, de manera que fueran coherentes con las condiciones de contorno. El mayor problema de los sistemas de O´Dwyer fue el gran número de grados de libertad de estas estructuras. [37]. Figura 2.18 Distintas tipologías de redes de fuerzas.. En sus modelos, era necesario determinar en primer lugar las redes de líneas y la distribución de fuerzas, lo cual complicaba el sistema y obligaba al usuario a tener mucha experiencia e intuición para obtener soluciones consistentes. Dentro de los métodos de redes de presión, debemos destacar el método de las redes de barras, que ha sido desarrollado por Philip Block, dentro del equipo de John A. Ochsendorf. Esta forma de trabajo es muy novedosa y permite obtener las superficies de presiones mas adecuada de una forma rápida. [6], [7] Este método, se basa principalmente en la estática gráfica. Para ello se deberá establecer una red primaria horizontal, que será la proyección de la solución sobre el plano horizontal. Las cargas se aplicarán en los nudos de esta red. Seguidamente se establecerá una red secundaria, que representa los polígonos de fuerzas de la solución, obligando al equilibrio de fuerzas en cada polígono. Esta solución ira multiplicada por unos factores que serán las variables de esta superficie.. 17.

(19) 2. ESTADO DEL ARTE. Figura 2.19 Superficies antifuniculares generadas por medio de distintas mallas, se muestran as redes primarias y secundarias en las que se realiza el equilibrio de fuerzas.. El método de redes de barras, tiene como ventaja, que al ser principalmente gráfico, las soluciones obtenidas se pueden ver fácilmente. Por otro lado, gracias a su formulación, se han generado códigos de optimización que mejoran la obtención de la solución deseada. Sin embargo, el principal problema que plantea este método, es la dificultad de desarrollar una red primaria que permita obtener los resultados deseados, cuando la estructura es complicada. Además de no estar desarrollado para trabajar con fuerzas horizontales como pueda ser el viento. Por otra parte, este método permite análisis muy complicados. Un ejemplo puede ser la escalera de la figura, donde se compensan las reacciones en planta como si fuera un círculo cerrado y partiendo de ese esquema plano permite obtener la superficie antifunicular.. Figura 2.20 Modelo de escalera y conjunto de redes.. 18.

(20) 2. ESTADO DEL ARTE. 2.9 Conclusiones Durante estos años, y debido al avance en los sistemas informáticos, se ha producido un desarrollo de métodos para la obtención de superficies antifuniculares, la velocidad de los nuevos equipos permite resolver las difíciles ecuaciones de estos sistemas. Sin embargo, todavía existe un gran trabajo por hacer para obtener métodos que permitan analizar estructuras existentes, por medio de superficies antifuniculares. Los nuevos métodos, deberán ser precisos, teniendo en cuenta las dificultades del análisis de estructuras ya construidas. Por otro lado, no se deben despreciar métodos como la técnica de rebanadas que produce buenos resultados sin necesitar un gran desarrollo computacional, ya que se basan únicamente en el análisis por líneas de presión. Los métodos basados en soluciones de membrana, utilizan superficies matemáticas que se comportan únicamente a compresión, y permiten un acercamiento rápido y elegante al problema, sin embargo, no son suficientes para estudios muy precisos. Se ha podido observar, que existe una gran necesidad de métodos que no solo obtengan superficies antifuniculares, sino que lo hagan de una forma sencilla y que permitan predecir el comportamiento de la estructura completa, así como sus distintos modos de fallo, para todos los tipos de carga existentes, siempre teniendo en cuenta las diferencias entre una estructura existente con una proyectada. En el diseño de superficies antifuniculares, se observa que los métodos existentes producen buenos resultados, siendo necesario determinar métodos que den suficiente libertad al diseñador y muestren todo el potencial de este tipo de estructuras. Se ha prestado principal atención a los métodos de primer nivel y segundo nivel, dado que son los que resuelven la mayor parte de los casos con datos geométricos y pocos mecánicos (peso específico, y para métodos de 2º nivel capacidades resistentes, f ). El método aquí desarrollado, presenta ventajas importantes sobre los métodos establecidos anteriormente. Al estar basado en la plasticidad, los datos necesarios para el estudio de la estructura son pocos, únicamente su geometría y frente a otros sistemas basados también en superficies antifuniculares, el expuesto aquí presenta la ventaja de ser un método intuitivo, en el cual no es necesario iterar, permitiendo además la obtención de estas superficies con fuerzas horizontales.. 19.

(21) 3. UN NUEVO MODELO DE CÁLCULO DE SUPERFICIES ANTIFUNICULARES. CAPÍTULO 3 UN NUEVO MODELO DE CÁLCULO DE SUPERFICIES ANTIFUNICULARES. 3.1 Introducción En este capítulo se analiza un nuevo modelo para obtener superficies antifuniculares que correspondan a unas cargas predeterminadas: Dadas unas cargas y unas condiciones de contorno obtener aquel conjunto de superficies que resistan únicamente por compresión, sin sufrir flexiones ni tracciones. En primer lugar, se establecerá un modelo que explique el funcionamiento físico del sistema, para posteriormente completarlo con el concepto de superficie de presiones. Los términos que desarrollen dicho concepto, se complementarán con los fundamentos de este modelo y permitirán el desarrollo del mismo. La explicación del sistema se realizará por fases. En primer lugar, se formulará un modelo apoyado en sus bordes, el cual evolucionará, para quedar apoyado solamente en sus esquinas. Por último se explicarán las modificaciones necesaria, que permitan contener fuerzas horizontales. Estas superficies antifuniculares pueden tener diversas aplicaciones: Como el diseño de estructuras que se comporten principalmente a compresión, lo que resulta útil en el caso del hormigón debido a sus propiedades. El buen funcionamiento de este tipo de estructuras, se puede comprobar en la gran cantidad de cubiertas antifuniculares construidas por el ingeniero Heinz Isler. Tal y como se indica en el capítulo 2, este ingeniero obtenía la geometría por medio de modelos con telas colgadas. El método que aquí se desarrolla permitirá la obtención de dichas superficies, evitando las complicaciones de un modelo reducido.. Figura 3.1 Gasolinera diseñada por Henry Isler.. Otra aplicación de este método y para la cual se ha centrado su desarrollo, es la comprobación de estructuras históricas de fábrica. Estas estructuras están integradas por materiales de difícil. 20.

(22) 3. UN NUEVO MODELO DE CÁLCULO DE SUPERFICIES ANTIFUNICULARES caracterización debido a que pueden tener diversas procedencias, que pueden estar distribuidos en diferentes disposiciones y que han podido sufrir procesos completamente distintos a lo largo de su historia, estas incógnitas, complican en gran manera su modelado por elementos finitos. Una característica importante de este tipo de estructuras, es su elevada resistencia a compresión, y su casi despreciable resistencia a tracción, lo que lleva a los teoremas de análisis límite y en concreto al teorema del límite inferior, que enuncia: Si la carga aplicada es de tal magnitud que es posible encontrar una distribución de tensiones tal que éstas se encuentren por debajo de la tensión de plastificación, satisfacen el equilibrio y las condiciones de contorno estáticas, esta carga no provocará el colapso de la estructura. Si es posible encontrar una línea de presiones que se encuentre en equilibrio bajo la acción de cagas exteriores, interior al espesor del arco, éste será estable. Esta condición está enunciada para arcos, pero también será válida para superficies realizadas con fábrica. Si obtenemos una superficie de presiones, en equilibrio con las fuerzas actuantes en la estructura y esta superficie está contenida dentro de la fábrica, la estructura estará en equilibrio.. 3.2 Modelo físico Modelo por gomas elásticas. El proceso de obtención de superficies antifuniculares que se ha desarrollado y que más adelante se explicará, se basa en el comportamiento de un sistema de gomas elásticas como el siguiente: Supónganse dos gomas elásticas, colocadas de forma ortogonal y suspendidas de un techo en puntos fijos. En el punto donde se cruzan ambas gomas se procederá a colgar un peso. Una vez colgado dicho peso y despreciando el peso propio, las dos gomas elásticas se deformarán manteniéndose unidas en dicho punto.. Figura 3.2 Planta y alzado de gomas elásticas.. Analícese el sistema deformado: cada goma se ha alargado soportando una fracción del peso total, alcanzándose una geometría en equilibrio estático. El peso soportado está equilibrado por medio de la tensión de cada goma. Al estar unidas las dos gomas en el punto del que pende el peso, el desplazamiento de ese punto es el mismo para las dos.. 20.

(23) 3. UN NUEVO MODELO DE CÁLCULO DE SUPERFICIES ANTIFUNICULARES En este sistema, cada goma soporta el peso únicamente por medio de tracciones, ya que no es posible la existencia ni de compresiones, ni de flexiones. Si ahora, se realiza una simetría de la geometría obtenida respecto al plano del techo, esta nueva geometría soportaría el peso únicamente por medio de compresión.. Figura 3.3 Perspectiva de gomas deformadas. Este sistema que se ha definido, tiene distintas soluciones para soportar el mismo peso, dependiendo de la tensión inicial de cada goma. Esta tensión inicial, se creará al alargar la goma para poder anclarla. Si se tienen dos sistemas como el descrito anteriormente, con tensiones de distinto valor en cada goma, el sistema de mayor tensión se deformará menos. Al estar unidas en el mismo punto, su desplazamiento debería ser el mismo y para que esto ocurra, la fracción de peso equilibrada por cada goma, será distinta. Estas tensiones iniciales, serán los grados de libertad de cada sistema y variándolos, podremos obtener distintas geometrías antifuniculares para el mismo peso. Se ha descrito un sistema formado por dos gomas que se cruzan. Ahora se pasará a un sistema más complejo. Supóngase que en vez de tener una goma en cada dirección, se tienen n gomas paralelas, que se cruzan con las m gomas de la dirección perpendicular, en n x m puntos. En estos n x m puntos de intersección, se coloca un peso, de la misma forma que se indicó anteriormente, de manera que sus desplazamientos sean los mismos. Al introducir el peso en cada uno de los puntos, el sistema se deformará y cada goma pasará a estar traccionada. Al aplicar la simetría correspondiente, se obtendrá una geometría, que estará formada por una cuadricula de gomas, que se cruzan en una superficie y que tal como se ha descrito anteriormente es antifunicular. Obsérvese una de las gomas de este sistema: Está colgada por sus extremos y se cruza con n gomas en n puntos. De cada uno de estos puntos pende un peso: Dado que este peso es sostenido por dos gomas, cada una sólo soportará una fracción de este. Esta goma, soportará las n fracciones de los n pesos colgados en ella, deformándose de manera que sus desplazamientos sean iguales a los de las gomas con las que se cruza. Una vez realizada la simetría, cada goma funcionará como una línea de presión, es decir, tendrá una geometría, en la que solo existirán esfuerzos de compresión sin que haya tracción, ni flexión, para las fracciones de carga que debe soportar. A partir de este sistema se generará un modelo que permitirá obtener superficies de presión siguiendo las directrices indicadas. Las superficies se formarán con dos o más familias de líneas de presión, correspondiendo cada familia, al conjunto de gomas en una misma dirección.. 21.

(24) 3. UN NUEVO MODELO DE CÁLCULO DE SUPERFICIES ANTIFUNICULARES Estas líneas de presión, resistirán únicamente a compresión las fracciones de las cargas colocadas en la intersección con otras líneas y cada fracción de carga, será tal, que la deformada en cada punto coincida con la deformada de las líneas que se intersectan. El sistema aquí definido, tiene grandes similitudes con el de una tela colgada, método que ya ha sido utilizado para el diseño de estructuras antifuniculares y que permite obtener una geometría antifunicular, de una forma rápida y muy intuitiva. Existe sin embargo, una gran diferencia con el método que acabamos de comentar: En una tela colgada, todos los hilos que la forman tienen una misma longitud; En el sistema desarrollado, cada goma puede tener una longitud diferente, pudiendo de esta forma, controlar los diversos grados de libertad y obtener todas las superficies que son antifuniculares para unas cargas determinadas.. Modelo de línea antifunicular Se comenzará estudiando el caso de una línea de empujes en equilibrio, con su correspondiente línea de cargas. Se buscarán las formas que resistan a compresión unas cargas predeterminadas. Las líneas de presión de este ejemplo, deberán funcionar como las gomas del modelo físico. La superficie de presión de este modelo estará generada por líneas de presión, con características y formulaciones que más adelante explicaremos. En la siguiente imagen se muestra una línea antifunicular y la respectiva línea de cargas para la cual es antifunicular.. Figura 3.4 Línea antifunicular.. En el siguiente dibujo, se observa un diferencial de arco en equilibrio, suponiéndose que las cargas son siempre verticales y que conocemos la reacción horizontal del arco, Rx, que será constante al ser nulas las cargas horizontales. Ny, es la componente vertical del axil en el arco:. 22.

(25) 3. UN NUEVO MODELO DE CÁLCULO DE SUPERFICIES ANTIFUNICULARES. Figura 3.5 Esfuerzos en un diferencial de línea.. Se hace equilibrio de momentos:. N y ⋅ ds = R x ⋅ d y + q( x ) ⋅. ds 2 2. Ny, es la componente vertical de la línea de presiones en ese punto y será igual a la suma de cargas hasta el punto de estudio: x. ∫. N y = R y + q( x )dx o. Siendo Ry, la reacción vertical en el punto 0. Si suponemos:. ds ≈ dx obtenemos la siguiente ecuación: Si despreciamos el término:. q( x ) ⋅. dy 1 = dx R x. x ⎛ dx 2 ⋅ ⎜ R y + q( x )dx + q( x ) ⋅ ⎜ 2 o ⎝. ∫. ⎞ ⎟ ⎟ ⎠.. dx 2 2 por ser un infinitésimo de orden superior.. x. y= Integrando llegamos a:. y=. R y ⋅ x − q( x ) ⋅. ∫R. y. − q( x ) ⋅ xdx. 0. Rx. , y si volvemos a integrar:. x2 2. Rx. x2 2 es igual al momento que se produce en un punto de una viga apoyaEl término da y por tanto la geometría de una línea antifunicular de unas cargas dadas será el momento que R y ⋅ x − q( x ) ⋅. 24.

(26) 3. UN NUEVO MODELO DE CÁLCULO DE SUPERFICIES ANTIFUNICULARES producen esas cargas en una viga biapoyada dividido por la reacción horizontal en el punto de apoyo. Esta ecuación permite obtener las formas antifuniculares para unas cargas dadas. Las líneas resultantes, serán las que formen la superficie buscada, y por tanto esas ecuaciones se cumplirán en todas las líneas del modelo. En el sistema desarrollado, las cargas no podrán tener una disposición continua. Para que se pueda implementar el modelo, será necesario suponer que las cargas son puntuales y están colocadas en puntos determinados, para lo cual se deberán realizar los siguientes ajustes: Para simplificar el ejemplo matemático, supóngase que las cargas son puntuales e igualmente separadas una distancia u. Si se busca la ordenada de la antifunicular, en cada punto de aplicación de la carga, recíprocamente obtendremos el momento que se produce en una viga biapoyada. Al estudiar el momento que producen n cargas q1, q2,….qn, separadas una distancia u, en una viga de longitud u(n+1), obtendremos la geometría antifunicular para estas cargas.. Figura 3.6 Disposición de las cargas.. Se comenzará estudiando el momento, en el primer punto de aplicación de la carga, es decir para x=u: n−1 n−2 1 ⎛ n ⎞ m(u) = ⎜ q1 + q2 + q3 + qn ⎟u n+ 1 n+ 1 n+ 1 ⎠ ⎝ n+ 1. En el segundo punto de aplicación de la carga para x=2u: n−1 n−2 1 ⎛⎛ n ⎞ ⎞ m(2u) = ⎜ ⎜ q2 + q3 + qn ⎟u − 1 ⎟ q1 + n+1 n+ 1 n+1 ⎠ ⎝⎝ n + 1 ⎠. Así se podrá construir una matriz, que al multiplicarla por el vector columna de las cargas dará un vector columna de los momentos, en cada punto de aplicación de la carga. Llamando Q al vector de cargas y M al de la matriz con la que obtenemos el momento.. 25.

(27) 3. UN NUEVO MODELO DE CÁLCULO DE SUPERFICIES ANTIFUNICULARES n ⎛ ⎜ n +1 ⎜ n 1 ⎜ − ⎜ n n + + 1 1 M=u ⎜ n 2 ⎜ n+ 1 − n+ 1 ⎜ n (n − 1) ⎜ − ⎝ n+ 1 n+ 1. n−1 n+1 n−1 n+1 n−1 1 − n+1 n+1 n − 1 (n − 2 ) − n+1 n+1. n−2 n+1 n−2 n+1 n−2 n+1 n − 2 (n − 3 ) − n+ 1 n+ 1. 1 ⎞ ⎟ n+ 1⎟ 1 ⎟ ⎛ q1 ⎞ n+ 1⎟ ⎜ ⎟ 1 ⎟ ⎜ q2 ⎟ ⎟ Q = n+ 1⎟ ⎜ q3 ⎟ 1 ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ qn ⎟ n+ 1⎠ ⎝ ⎠. De esta forma la ordenada del antifunicular de unas cargas puntuales equidistantes será: y=. 1 MQ Rx .. Por tanto, se puede deducir que la forma antifunicular dependerá de las cargas y de su disposición, siendo inversamente proporcional a la reacción horizontal.. 26.

(28) 3. UN NUEVO MODELO DE CÁLCULO DE SUPERFICIES ANTIFUNICULARES. 3.3 Fundamentos Superficies de presión. En este trabajo se tratará del concepto de superficie de presión. Viniendo a describir una superficie, que tiene las mismas propiedades de una línea de presión. Esta superficie trazará una geometría tal que para unas cargas dadas, éstas pueden ser soportadas únicamente a compresión. Lo mismo que un arco soporta su propio peso y las cargas que gravitan sobre él, únicamente por compresión, estas superficies de presión presentarán para unas cargas dadas, la forma que deberá tener una estructura superficial, para la que únicamente existan compresiones. Dichas superficies de presión tienen las mismas funciones que las de una línea de presión: Buscar una geometría, que permita soportar unas cargas a compresión, excluyendo la tracción y la flexión. De esta manera, se realizará una aproximación al comportamiento de materiales que sólo tienen capacidades resistentes a compresión, como son la fábrica y el hormigón. Las superficies de presión podrán ser utilizadas para aquellas estructuras, en las que las líneas de presión no dan respuestas suficientes. Estas últimas, se utilizan para el análisis de estructuras lineales o con suficientes simetrías, estructuras como pueden ser arbotantes, arcos con cargas repartidas en todo su ancho o cúpulas con cargas concentradas en toda su superficie. Las superficies de presión, sin embargo, permitirán análisis en estructuras con un fuerte funcionamiento en tres dimensiones, como pueden ser puentes arco esviados, cúpulas con cargas puntuales, o bóvedas con distintos tipos de plantas y variedades de cargas, no necesariamente uniformes. Tras hablar del tipo de materiales y del tipo de estructuras para las cuales son útiles las superficies de presión, se puede pasar a analizar la utilidad de las mismas. Las superficies de presión se utilizan para análisis de nivel I, en los cuales se ponen en juego las ecuaciones de equilibrio, sin tener en cuenta las ecuaciones constitutivas y de compatibilidad. Este nivel de análisis, tiene gran aplicación en estructuras de fábrica, en las cuales no se pueden establecer los parámetros de los materiales. Por otro lado, las superficies de presión permiten determinar de una forma rápida y con pocos datos de los materiales, el funcionamiento real de una estructura, así como las zonas de la misma más próximas al fallo. Los datos necesarios para analizar una estructura por medio de superficies de presión, se pueden sacar obtener tan solo de la geometría del edificio. Por último, añadir que las superficies de presión tal y como las hemos definido, sirven para diseñar nuevas estructuras que soporten cargas únicamente a compresión. Al Igual que los arcos de hormigón, ahorran gran cantidad de material y por lo tanto reducen el peso propio, las superficies de presión permiten definir láminas de hormigón, con el consiguiente ahorro de material y variedad en sus formas. Una vez analizadas las líneas antifuniculares y definidas las superficies, se puede pasar al análisis de sus características. Estas superficies, para las cargas con las que son antifuniculares, estarán sometidas a compresión en todas las direcciones y por tanto se podrán dividir en conjuntos de franjas de planta recta, que también funcionarán totalmente a compresión; razón por la que serán líneas antifuniculares para un conjunto de cargas, o lo que es lo mismo, líneas de presión. Éste es el fundamento del modelo, obtener una superficie antifunicular, por medio de líneas antifuniculares intersectándose de forma ordenada. De esta manera, los datos de partida únicamente serán las cargas y las tensiones en los bordes, y la solución será única.. 27.

(29) 3. UN NUEVO MODELO DE CÁLCULO DE SUPERFICIES ANTIFUNICULARES En este modelo, al estar las superficies definidas por líneas, las cargas superficiales deberán ser introducidas en los puntos de intersección de las mismas. Para poder evidenciar los mecanismos de una superficie antifunicular, son necesarias, al menos dos familias de líneas de presión. Se entiende como una familia de líneas, al conjunto de franjas de la superficie que en planta son paralelas, por lo tanto en una familia de líneas no hay intersecciones. Se hace necesaria la existencia de dos familias de líneas, cada una con una orientación distinta, para que las cargas puedan ser llevadas en cualquier dirección. En este modelo las familias de líneas se llamarán X e Y. Se debe aclarar que las familias de líneas de presión no tienen por qué ser ortogonales ni paralelas, como se verá únicamente es necesario que las líneas de presión se crucen en puntos. A continuación, se va a demostrar el funcionamiento de una superficie de presión, formada por dos familias de líneas. Supongamos una porción cuadrada de la superficie antifunicular. Sobre esta porción actuarán la carga que tenga aplicada, así como las tensiones sobre sus bordes. Dichas tensiones deberán ser de compresión, pero no necesariamente perpendiculares al borde, tal y como se observa en el dibujo.. Figura 3.7 Fuerzas en un diferencial de superficie antifunicular.. Cada línea, tan solo tiene fuerzas siguiendo su dirección. Por lo tanto, si las tensiones principales, de la superficie real, forman un ángulo respecto a la dirección de las líneas, esta inclinación deberá ser absorbida por dos líneas de direcciones distintas.. Esquemas del funcionamiento A continuación se van a describir de forma esquemática los principios del modelo. Se definirán las propiedades que deben tener las superficies antifuniculares, para de esta forma obtener las ecuaciones necesarias y posteriormente se enunciarán los datos y las incógnitas de las que se parte. En la búsqueda de superficies antifuniculares utilizando líneas antifuniculares. Éstas deberán formar una superficie y sus puntos deberán ser únicos, es decir, si las líneas antifuniculares no estuvieran interrelacionadas las unas con las otras, resultará imposible obtener una superficie. Estas líneas antifuniculares deben cortarse. Partiendo de este principio se obtiene la primera ecuación, si dos líneas tienen puntos con las mismas coordenadas X,Y, su coordenada Z, también deberá ser igual. Por otro lado, estas líneas al ser antifuniculares, deberán estar en equilibrio en compresión. Este principio gobernará la forma de la línea, dado que si se conocen las cargas sobre la línea y las. 28.

(30) 3. UN NUEVO MODELO DE CÁLCULO DE SUPERFICIES ANTIFUNICULARES reacciones horizontales en los apoyos, sólo existe una geometría posible para que permanezca en equilibrio y en compresión. Las ecuaciones de cada línea necesarias para que permanezcan en compresión ya han sido comentadas anteriormente. Las líneas deben cortarse y su geometría estará definida por las cargas que soporta cada línea. Por lo tanto, existirá una relación entre las cargas de cada línea y las cargas para las cuales deseamos obtener la superficie antifunicular. Las cargas de la superficie, lógicamente, serán soportadas por las líneas sobre las que gravitan. En los puntos donde se cruzan dos líneas, la carga de la superficie se dividirá, repartiéndose a cada línea una fracción de la carga, y por tanto la carga de cada línea en el punto de cruce sumará la carga del total. Una vez que se han establecido las relaciones que deben cumplirse entre las líneas antifuniculares, así como las funciones para obtener la forma de dichas líneas, se va a realizar un modelo del análisis atendiendo a los datos de los que disponemos, a sus características y a las incógnitas que se desean resolver. El dato de inicio y del cual se parte son las cargas, para las cuales la superficie es antifunicular, cargas que deberá resistir dicha superficie únicamente a compresión. Para unas cargas dadas existirán infinitas superficies posibles, cada una con distintas reacciones horizontales. Por esto los datos de partida para obtener una superficie antifunicular, serán las cargas y las reacciones horizontales en los extremos de cada una de las líneas. Variando estas reacciones horizontales, se podrá obtener todas las superficies que se comporten de la forma deseada frente a las cargas dadas. Las incógnitas que se desean conocer son: Por una parte la geometría de la superficie, es decir la ordenada para cada punto de la superficie, incógnita que coincide con la geometría de las líneas antifuniculares. Tal y como se ha comentado, dichas ordenadas deben coincidir cuando dos líneas se cruzan. De aquí se puede obtener una ecuación: Si se llama Zx a la ordenada de una línea en un punto de cruce y Zy a la ordenada de otra línea en el mismo punto de cruce se deberá cumplir Zx=Zy. Por otro lado se tienen las incógnitas Z de cada línea, que deberán definir una geometría tal que dicha línea sólo tenga esfuerzos de compresión frente a las cargas que recibe. Así resulta otra ecuación, que relacionará la geometría de las líneas con las cargas y con las reacciones horizontales de cada línea. Por último, también debemos relacionar las cargas de la superficie con las cargas de las líneas. Como ya se ha comentado, en cada punto de cruce las cargas de las líneas, sumarán la carga completa de la superficie en ese punto. Así pues en un sistema tenemos de forma general 4 tipos de incógnitas: -La geometría de las líneas en una dirección Zx. -La geometría de las líneas en la dirección perpendicular a la anterior Zy. -Las cargas que reciben cada tipo de líneas Qx y Qy. Y cuatro ecuaciones: -La geometría de cada línea debe ser antifunicular por tanto Zx será función de Qx y Rx.;Zy será función de Qy y Ry. -En los puntos de cruce la geometría debe de ser la misma Zx= Zy. -Las cargas en cada punto de cruce se deben repartir entre las líneas que se cruzan Q=Qx+Qy. Con todas estas ecuaciones se puede obtener de forma lineal la geometría de la superficie y esta será única para los datos de cargas y de reacciones horizontales correspondiente.. 29.

(31) 3. UN NUEVO MODELO DE CÁLCULO DE SUPERFICIES ANTIFUNICULARES. 3.4 Ejemplo explicativo Para un mejor entendimiento del algoritmo, desarrollado para la obtención de superficies antifuniculares, se desarrollará un ejemplo simple, enumerando todos los procesos para la obtención de estas superficies. Este ejemplo se basará en obtener la superficie antifunicular para una carga P, la superficie estará formada únicamente por dos líneas de presión, si bien dos líneas de presión son muy escasas para definir una superficie, se ha optado por esta configuración para simplificar la explicación. Las dos líneas se dispondrán de forma ortogonal, con la carga en el punto de intersección, a una de las líneas se denominará línea A y a la otra línea B, la línea A tiene una longitud de tres unidades mientras que la línea B es de dos unidades.. Figura 3. 8 Planta de las líneas de presión.. En este caso, el objetivo será determinar la cota del punto de intersección, en la cuál las dos líneas trabajen únicamente a compresión, en una superficie de mayor tamaño se deberían determinar la cota de todos los puntos de intersección. Las reacciones horizontales en cada línea, serán un parámetro dato y que al ser modificado darán todas las posibles soluciones del problema, de esta forma se denominará Rxa a la reacción horizontal de la línea A, y Rxb a la de línea B. La carga P, deberá ser soportada por las dos líneas, soportando cada una de ellas una fracción de la carga. Se denominará Pa, a la carga soportada por la línea A y Pb a la carga soportada por la línea B, de esta forma.. 30.

(32) 3. UN NUEVO MODELO DE CÁLCULO DE SUPERFICIES ANTIFUNICULARES P = Pa + Pb Analicemos la línea A: Por equilibrio se pueden obtener las reacciones:. R y1A = Pa ⋅. 2 3. R y 2 A = Pa ⋅. 1 3. Y por lo tanto para que exista equilibrio, únicamente con esfuerzos axiles, la dirección del segmento de la línea, deberá tener la misma dirección que la suma de las reacciones, y de esta forma se puede determinar la cota de la línea A en el punto de intersección, a esta cota se le denomina ha.. ha =. Pa ⋅. 2 3. R xa. Figura 3. 9 Línea de presión A.. Si ahora se analiza la línea B, de la misma forma se puede obtener las reacciones verticales:. R y1B = Pb ⋅. 1 2. R y 2B = Pb ⋅. 1 2. Y por equilibrio, también se puede conocer la cota hb, en función de la reacción horizontal y la carga soportada: hb =. Pb ⋅. 1 2. R xb. Figura 3. 10 Línea de presión B.. 31.

(33) 3. UN NUEVO MODELO DE CÁLCULO DE SUPERFICIES ANTIFUNICULARES Para que las dos líneas puedan determinar una superficie deberán intersectarse, es decir: h a = hb Que sustituyendo será: 2 1 Pb ⋅ 3= 2 R xa R xb. Pa ⋅. Pa y Pb suman la carga P total: 2 (P − Pa )⋅ 1 3= 2 R xa R xb. Pa ⋅. Despejando Pa: ⎞ 1 ⎛⎜ ⎟ 1 2 ⎜ ⎟ Pa = ⋅ R xb ⎜ 2 / 3 − 1/ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ R xa R xb ⎠ P⋅. Y una vez despejado Pa, obtener ha es directo: ⎞ 2 1 ⎛ ⎜ ⎟ 1 2 ⎜ ⎟ 3 ha = ⋅ R xb ⎜ 2 / 3 − 1 / 2 ⎟ R xa ⎜ ⎟ ⎝ R xa R xb ⎠ P⋅. De esta forma, se ha obtenido la superficie antifunicular para el caso de dos líneas, en el caso de más líneas se formará un sistema lineal de ecuaciones, en función de la geometría y las reacciones horizontales. Se analiza ahora el caso en el que existan fuerzas horizontales, en estos casos las líneas tan solo podrán soportar las fuerzas en su misma dirección, debiéndose descomponer estas en las dos direcciones de las líneas de presión. Supóngase que se introduce una única fuerza horizontal en el punto de intersección y con la dirección de la línea A, es decir:. Figura 3. 11 Línea de presión A sometida a fuerza horizontal.. 32.

(34) 3. UN NUEVO MODELO DE CÁLCULO DE SUPERFICIES ANTIFUNICULARES. En este caso se conocerá directamente las reacciones horizontales, que serán en un extremo datos y en el otro extremo la suma de esta reacción con la fuerza vertical. Para obtener las reacciones verticales sabiendo que los segmentos se cruzan en el mismo punto tenemos: ha =. R y1a R xa. =. R y 2a 2(R xa + Fx ). Como las reacciones verticales deben de sumar la carga Pa que se lleva la línea de presión: ha =. R y1a R xa. =. Pa − R y1a 2(R xa + Fx ). Y desarrollando se obtendrá el valor de la cota en función de la carga Pa, la reacción y la fuerza vertical:. ha =. Pa 1 ⋅ 2(R xa + Fx ) ⎛ ⎞ R xa ⎜⎜1 + ⎟⎟ ⎝ 2(R xa + Fx ) ⎠. Y de esta forma igualando esta ecuación a la de la línea B, se puede obtener la superficie para este caso con fuerza horizontal. Este método es directo, partiendo de unas cargas y unas reacciones horizontales se obtiene una superficie antifunicular sin necesidad de iterar.. 33.