Fracciones y realidad

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FRACCIONES Y REALIDAD

YUBER BAYARDO RODRÍGUEZ PÉREZ

UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA Y TECNOLÓGICA DE COLOMBIA FACULTAD CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN

MAESTRÍA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA

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FRACCIONES Y REALIDAD

YUBER BAYARDO RODRÍGUEZ PÉREZ

Trabajo de grado presentado al programa de Maestría en Educación Matemática de la Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia como requisito parcial para optar al título de

Magister en Educación Matemática

Directora: PhD. NELSY ROCÍO GONZÁLEZ GUTIÉRREZ

UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA Y TECNOLÓGICA DE COLOMBIA FACULTAD CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN

MAESTRÍA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA TUNJA

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Nota de aceptación:

_______________________________

_______________________________ Firma del presidente del jurado

_______________________________ Firma del jurado

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AGRADECIMIENTOS

A Diosito Santo por guiar nuestra vida, por sus bendiciones diarias y su permanente protección. A mi familia, por el apoyo y acompañamiento incondicional que me brindaron, dándome fortaleza y confianza. A mi Directora PhD. Nelsy Rocío González Gutiérrez, por sus palabras de ánimo, enseñanza y por sus aportes académicos que enriquecieron el desarrollo de la investigación. A la Institución Educativa Divino Niño Cormal del municipio de Quipama por abrirme las

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Contenido

Resumen ... 1

Abstract ... 2

Introducción ... 3

Capítulo I. Descripción de la problemática ... 5

1. Planteamiento del problema ... 5

2. Objetivos ... 9

2.1. Objetivo General ... 9

2.2. Objetivos Específicos ... 9

3. Justificación ... 10

Capítulo II. Marco Referencial ... 13

4. Antecedentes ... 13

4.1. A nivel internacional ... 14

4.2. A nivel nacional ... 15

4.3. A nivel local ... 18

5. Marco Teórico ... 18

5.1. Referente histórico ... 19

5.2. Definiciones previas ... 22

5.3. Teoría de los Registros de Representación Semiótica ... 27

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Capítulo III. Diseño metodológico ... 37

6. Marco metodológico ... 37

6.1. Tipo de estudio ... 37

6.2. Diseño de la investigación ... 39

6.3. Fases de la investigación ... 40

6.3.1 Fase diagnóstica ... 41

6.3.2 Fase de acción ... 42

6.3.3 Fase de observación y contrastes ... 43

6.3.4 Fase de reflexión ... 43

6.4. Categorías y subcategorías de análisis ... 43

6.5. Unidades de análisis ... 45

6.6. Instrumentos y técnicas para la recolección de la información ... 45

6.6.1 La técnica de la matriz de Vester ... 45

6.6.2 Observación directa ... 46

6.6.3 Encuestas ... 46

6.6.4 Entrevistas ... 46

6.6.5 Secuencia didáctica ... 47

6.7. Validación de instrumentos para recolección de información. ... 48

6.8. Procedimiento para el análisis de los datos ... 49

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7. Análisis de resultados ... 50

7.1. Análisis de los resultados utilizando la técnica de la matriz de vester ... 50

7.2. Análisis de resultados obtenidos mediante encuestas y entrevistas ... 52

7.3. Análisis de resultados de la secuencia didáctica ... 57

7.3.1 Análisis de resultados Reto 1. ... 60

7.3.3. Análisis de resultados Reto 3. ... 64

7.4. Análisis de resultados sobre el grado de receptividad y aceptación de la estrategia didáctica ... 82

Conclusiones ... 85

Referentes Bibliográficos ... 90

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Anexo 1. Matriz de Vester, de situaciones críticas que afectan el proceso educativo en

matemáticas. ... 97

Anexo 2. Gráfica 1. Situaciones críticas que afectan el proceso educativo en matemáticas. .... 98

Anexo 3. Matriz de Vester, Dificultades referentes a la enseñanza y aprendizaje de las fracciones. ... 99

Anexo 4. Gráfica 2. Situaciones críticas que afectan la enseñanza y aprendizaje de las fracciones. ... 100

Anexo 5. Prueba piloto: archipiélago fraccionario de Vasco (1988). ... 101

Anexo 6. Autorización individual para participar en el desarrollo de la investigación. ... 104

Anexo 7. Autorización colectiva para participar en el desarrollo de la investigación. ... 106

Anexo 8. Asentimiento de los estudiantes ... 107

Anexo 9. Encuesta semi-estructurada para estudiantes sobre creencias y concepciones hacia las matemáticas. ... 108

Anexo 10. Encuesta semi-estructurada para padres de familia o acudientes sobre creencias y concepciones hacia las matemáticas. ... 110

Anexo 11. Guía de entrevista semi-estructurada a docentes. ... 112

Anexo 12. Secuencia didáctica “fracciones, fotografía y contexto”. ... 114

Anexo 13. Formato para validación de expertos. ... 121

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Índice de tablas

Tabla 1 Referentes teóricos y conceptuales ... 19

Tabla 2 Significados del concepto fracción ... 25

Tabla 3 Representaciones semióticas del objeto fracción ... 31

Tabla 4 Categorías y subcategorías de análisis ... 44

Tabla 5 Simbología de las representaciones semióticas del objeto fracción ... 59

Tabla 6 Análisis resultados Reto 1 significados del concepto fracción. ... 60

Tabla 7 Análisis resultados Reto 2 fracciones equivalentes, irreductibles, simplificación y amplificación. ... 62

Tabla 8 Análisis resultados Reto 3 clasificación de fracciones. ... 64

Tabla 9 Análisis resultados Reto 4. La fracción como medida y como número decimal. ... 67

Tabla 10 Análisis resultados Reto 5. La fracción como parte- todo y como operador. ... 69

Tabla 11 Análisis resultados Reto 6. La fracción, número decimal y porcentaje. ... 71

Tabla 12 Análisis resultados Reto 7. La fracción como una parte de un todo y como cociente. .. 73

Tabla 13 Análisis resultados Reto 8. La fracción como razón. ... 76

Tabla 14 Análisis resultados Reto 9. La fracción como operador ... 78

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Índice de figuras

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Resumen

Esta investigación tiene como propósito analizar una estrategia didáctica empleada en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, en el caso específico del concepto de fracción; se realizó con estudiantes de grado sexto en la Institución Educativa Divino Niño Cormal de Quípama (Boyacá) Colombia, en un contexto rural. El estudio se inició a partir de un diagnóstico mediante la matriz de Vester (Betancourt, 2016), el cual logró detectar los factores que presentan mayor incidencia en la eficacia de los procesos formativos y específicamente en lo referente a los conocimientos matemáticos de los estudiantes. Una vez priorizadas las amenazas educativas, se procede a la puesta en marcha de estrategias de solución, así como al diseño y aplicación de una secuencia didáctica que hace uso de la fotografía como medio de interacción en el proceso de construcción individual de conocimiento, permitiendo enfatizar en la importancia del entorno de los estudiantes mientras se abordaban conceptos de la matemática. Para el diseño e implementación de la secuencia se tuvieron en cuenta los aportes teóricos de Raymond Duval, desde la Teoría de las representaciones semióticas.

El estudio presentó un paradigma de corte cualitativo, de tipo descriptivo, bajo el enfoque de Duval (1998), para analizar los procesos cognitivos de tratamiento y conversión que realizan los estudiantes. Con el desarrollo de la investigación, los estudiantes se apropiaron de algunos significados de fracción, potenciaron saberes específicos, se involucraron en procesos de planteamiento y solución de problemas propios de su contexto, para así lograr una visión diferente de las matemáticas. Asimismo, la investigación incluyó tanto a docentes de la institución como a padres de familia durante varias etapas del proceso.

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Abstract

This research has as purpose to analyze a didactic strategy employed in the teaching and learning process of mathematics in the specific case of the fraction concept, with sixth grader students at the Institución Educativa Divino Niño Cormal located in Quipama (Boyacá) Colombia, in a rural context. The actual reseaerch begins with a diagnostic using the Vester matrix (Betancourt, 2016), which was able to detect the factors that present bigger incidence in the effectiveness of the formative processes and specifically on the inherent thing to the mathematical knowledge of the students. Once prioritized the educational threats, the next step has been to set in motion the solution strategies, as well as the design and application of a didactic sequence that employs the use of the photography like means of interaction in the process of individual construction of knowledge. It allowed emphasizing on the importance of the students' environment while the concepts of mathematics were approached. For the design and implementation of the sequence, the theoretical contributions of Raymond Duval, from the Teoría de Registro de Representación Semiótica.

The study presented a paradigm of qualitative court, of descriptive type, under the focus of Duval (1998), to analyze the processes treatment cognitivos and conversion that the students carry out. With the development of the reseaerch, the students appropriated some fraction meanings, developed specific knowledge, were involved in position processes and the solution of the problems characteristic of their context, it stops this way to achieve a different vision from the mathematics. Moreover, the investigation involved no just students, also different subject teachers and students' families during several stages of the process.

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Introducción

Esta investigación se fundamenta en el diseño, aplicación y análisis de una estrategia didáctica empleada en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, en el caso específico del concepto de fracción. El trabajo de campo se desarrolló en un contexto rural con estudiantes de grado sexto, pertenecientes a la Institución Educativa Divino Niño en el municipio de Quípama (Boyacá). El punto de partida fue la realización de un diagnóstico, que ayudó a identificar las dificultades en los procesos de enseñanza y aprendizaje, llevados a cabo al interior de la Institución. Posteriormente se analizó la problemática presente en dichos procesos, teniendo en cuenta las ideas planteadas por la comunidad educativa involucrada e impulsada por el investigador principal, en marzo y abril de 2018 y en la cual se registraron un gran número de problemas inherentes a la enseñanza y aprendizaje de la matemática. Dentro de las técnicas que se usaron para priorizar las dificultades halladas se encuentra la matriz de Vester. Los participantes conocedores de la problemática identificaron diez (10) situaciones relevantes, las cuales requerían abordaje prioritario en la Institución. A su vez se realizaron los análisis de cobertura de cada una de las cuestiones halladas, para posteriormente definir objetivos y trabajar en la solución de los problemas detectados.

El presente documento contiene el planteamiento de una propuesta que permitió analizar la estrategia didáctica, empleada en los procesos de enseñanza y aprendizaje del concepto de fracción, la cual se desarrolló en cuatro fases: diagnóstica, acción, observación y reflexión. Una vez completada la fase diagnóstica, se realizó el planteamiento del problema y se formularon los objetivos a desarrollar, haciendo un permanente rastreo bibliográfico que corroboró con el desarrollo de la investigación.

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temática y se tomó como base la teoría de representaciones semióticas. Posteriormente, se hizo un análisis de la historia del concepto de fracción. De acuerdo con las características de la investigación se adoptó un enfoque cualitativo de tipo descriptivo.

Para coadyuvar con el logro de los objetos propuestos se diseñó y aplicó una secuencia didáctica que propendió por involucrar el entorno de los estudiantes dentro de la clase de matemáticas; consistió, en el planteamiento de diez retos que aplicaron el concepto de fracción. Los estudiantes los resolvieron individualmente y los socializaron en grupo teniendo en cuenta los momentos de representación, exploración, conjeturación y formulación.

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Capítulo I. Descripción de la problemática

En este capítulo se presentan aspectos generales de la investigación. En primera instancia, se identifican y definen los elementos de la problemática en un contexto particular, Institución Educativa Divino Niño Cormal del municipio de Quipama. Posteriormente, se particularizan problemas específicos de la comprensión del concepto de fracción, se enuncia la pregunta de investigación, así como los objetivos a cumplir.

1. Planteamiento del problema

La Educación Matemática es un área que permite reflexionar sobre las actividades sociales en determinado contexto, ocupándose del estudio de los procesos involucrados en la enseñanza y aprendizaje desde la teoría y la práctica. Rivera y Santos- Trigo (2010) afirman que un propósito de esta disciplina es comprender los problemas relacionados con la construcción del conocimiento matemático de los estudiantes y las formas en las que los estudiantes construyen ese conocimiento. Por tanto, esta problemática despierta gran interés entre los investigadores. Además, la situación actual exige la adquisición de nuevos conocimientos, replanteamiento de actitudes y posicionamiento frente a los avances tecnológicos.

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Tomando como referencia los trabajos mencionados, se pueden evidenciar algunos inconvenientes que afectan de manera negativa, tanto directa como indirectamente, la comprensión de los conceptos por parte de los estudiantes, para el caso particular, se abordó la problemática existente en la Institución Educativa Divino Niño Cormal del municipio de Quípama.

Durante el transcurso de los años en la Institución se han intentado implementar algunas estrategias tendientes a mejorar o superar los diferentes obstáculos que se presentan en cada área del saber. Lo anterior, con el fin de solucionar las dificultades en la formación de los estudiantes, y de esta forma suplir las debilidades en el logro de los objetivos académicos. Por tanto, las estrategias utilizadas en la Institución no han sido constantes, consecutivas y evaluadas permanentemente y los procesos en la mayoría de los casos, no se definen de manera clara y objetiva.

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primaria, ya que en la Institución el 41% se ubicó en el rango “insuficiente”, lo cual evidencia los bajos desempeños académicos en el área.

Tradicionalmente en la Institución las acciones de mejora no se piensan con la rigurosidad que requieren; en algunos casos los procesos no han sido fortalecidos, documentados, no hay suficientes soportes o evidencias, ni se han rediseñado. Asimismo, tampoco se ha pensado en la elaboración de un “banco de problemas prioritarios,” que oriente una ruta de solución positiva y que satisfaga las necesidades de la comunidad académica. En algunos casos, en el Plan de Mejoramiento Institucional en Matemáticas (P.M.I.M. ), se han detallado variables que permiten identificar posibles fallas, pero no han tenido procesos continuos, no se ha llegado al análisis de las actividades a emprender, ni se ha realizado una ponderación de acuerdo al impacto que generan en el fortalecimiento de la educación en la comunidad involucrada.

La dificultad en el aprendizaje, la escasa afectividad hacia las matemáticas, la falta de acompañamiento de los padres de familia, el incipiente desarrollo de la autodisciplina frente al aprendizaje y los obstáculos que se presentan dentro del contexto socioeconómico, fueron identificados como los factores que más influyen en el proceso educativo en matemáticas dentro de la institución, como se muestra en la aplicación de la prueba diagnóstica (Anexo 1 y 2), lo cual evidencia la necesidad de buscar alternativas encaminadas a la superación de estos problemas. A las falencias mencionadas, se suman la falta de organización y planeación de las actividades, escasez de planes estratégicos dentro del desarrollo temático del área y la poca disponibilidad de medios tecnológicos con los que cuenta la Institución. De esta forma, se convierten en una debilidad para la consecución de los objetivos académicos y una necesidad el suplir ciertas falencias en todos los niveles de formación de los estudiantes.

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los problemas se comienzan a notar, la experiencia propia del autor dentro de los procesos de enseñanza y aprendizaje de la matemática, permite evidenciar que en la transición de la primaria a la secundaria es donde se presenta mayor incertidumbre en la construcción de los conocimientos necesarios para el paso de un nivel inferior a otro superior. En cuanto a la apropiación del concepto fracción, la mayor dificultad se presenta, no sólo en los primeros niveles de formación, sino, en todo el ciclo del bachillerato llegando a nivel universitario.

En la prueba diagnóstica realizada en la Institución se muestran los factores que más influyen en los procesos de enseñanza aprendizaje de las fracciones (Anexo 3 y 4), el bajo nivel en la interpretación y construcción de los diferentes significados de fracción y la relación entre ellos; escaso material bibliográfico actualizado referente al concepto de fracción; falta de materiales y recursos didácticos apropiados en el desarrollo de la temática de las fracciones; conocimientos previos débiles y falta de interés en la adquisición de nuevos conocimientos. Lo anterior, genera resistencia al cambio y dificultades en los procesos educativos.

Para delimitar la presente investigación se aplicó una prueba piloto a 16 estudiantes del grado sexto de la Institución, basada en el archipiélago fraccionario de Vasco (1988), el cual presenta el significado e interpretación de las fracciones como partidores, medidores, razones, operadores y como cocientes (Anexo 5). Los resultados de la prueba evidenciaron que el 30% de los estudiantes que la presentaron, respondieron correctamente la situación planteada para las fracciones como operadores; el 45% logró solucionar perfectamente los ejercicios de fraccionarios como partidores; un 35% encontró las respuestas correctas a los problemas de fraccionarios como medidores y un 21% de los estudiantes indicaron la solución correcta de la situación planteada de las fracciones como razones.

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evidenciaron problemas en el logro de competencias y escasa comprensión de fenómenos de la realidad. Por consiguiente, presentaron dificultades en el planteamiento y resolución de problemas que involucran fracciones, decimales o números mixtos en diversos contextos. También se detectaron falencias en la realización de operaciones básicas como adición, sustracción, multiplicación y división de fracciones.

De acuerdo con este planteamiento surge la pregunta orientadora: ¿Qué estrategias didácticas usar en los procesos de enseñanza y aprendizaje del concepto de fracción?

2. Objetivos

2.1. Objetivo General

Analizar una estrategia didáctica empleada en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, en el caso específico del concepto de fracción, con estudiantes de grado sexto del contexto rural.

2.2. Objetivos Específicos

-Identificar dificultades inherentes a la enseñanza y al aprendizaje de las matemáticas haciendo uso de diferentes técnicas.

-Analizar e interpretar las causas activas que presentan mayor relevancia en los procesos de enseñanza y aprendizaje de las fracciones.

-Diseñar y aplicar una secuencia didáctica que propicie la comprensión de los diferentes significados de fracción, a partir de diferentes registros de representación semiótica y de la solución de situaciones del contexto.

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3. Justificación

El presente trabajo de investigación se elaboró con el fin de presentar una alternativa a una situación institucional sobre la priorización de problemas, donde se evidencian dificultades o bajos desempeños en el área de matemáticas que provocan inconvenientes en el logro de las competencias y que impiden la transposición del conocimiento matemático a los procesos y fenómenos de la realidad.

La motivación para realizar este trabajo investigativo surge de la necesidad que tiene el investigador principal, de aplicar diferentes estrategias que se conviertan en una herramienta complementaria muy útil y facilitadora para el diagnóstico, implementación, mejora y seguimiento de los procesos de enseñanza y aprendizaje, que al ser aplicadas en las instituciones educativas permitan dar cumplimiento a los requisitos legales emanados del Ministerio de Educación.

Durante la realización del trabajo de campo en la fase diagnóstica, para el caso de los problemas inherentes a la matemática, se registraron un gran número de dificultades en la Institución. Se pudo evidenciar que éstos presentan gran índice de coincidencia con otras áreas del saber, no eran exclusivos del área de matemáticas. Las problemáticas identificadas, haciendo uso de la matriz de Vester, permitieron determinar la principal causa y los posibles efectos de las situaciones encontradas. También, reflejan la percepción de los actores y motivan a buscar iniciativas que puedan coadyuvar en sus posibles soluciones.

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dentro del aula de clase. En segunda medida, la matriz reveló los problemas activos de alta influencia sobre los prioritarios, pero que no son causados por otros; éstos son relevantes ya que son causa primaria del problema central, por ende requieren atención y manejo crucial. Para este caso se tiene: acompañamiento deficiente por parte de los padres, escaso desarrollo de autodisciplina, baja integración en el desarrollo de trabajo en equipo y la influencia del contexto socioeconómico en el que viven los estudiantes.

En cuanto al concepto de fracción, se utilizó la misma estrategia para el diagnóstico, la cual reveló que los problemas de mayor incidencia que se tienen en la construcción del concepto de fracción, en su orden son: deficiencias en las prácticas de enseñanza y aprendizaje o situaciones didácticas inapropiadas; poca habilidad en el planteamiento y solución de problemas cotidianos y mínima utilización de un lenguaje pertinente donde se evidencien los registros de representación semiótica.

En lo referente a los problemas que van a servir como punto de referencia para mejorar la situación, se presentaron: dificultad en el desarrollo de operaciones básicas, desconocimiento de las propiedades elementales, mecanización de proceso y la poca aplicación de los conceptos de fracción en la cotidianidad, en otras áreas y en diferentes niveles.

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Frente a esta situación se evidencia una necesidad de cambio, de crear cultura de aprendizaje; y especialmente de aprender matemáticas. Es decir, desde una mirada global, está latente la necesidad de cambiar la forma de percepción del entorno de los estudiantes. Esta situación se verá beneficiada si se piensa una estrategia didáctica que permita aprovechar las situaciones problema del contexto, para convertirlas en ejes sobre los cuales se construya el conocimiento de forma integral. En cuanto al aprendizaje de las matemáticas en los estudiantes se detectan fácilmente grandes debilidades en la comprensión de los conceptos básicos. Así mismo, no se da la importancia que merece, al rol que cumplen tanto el estudiante, como el padre de familia y el docente en el proceso educativo; son ellos, quienes deben proporcionar herramientas para que los procesos no se trunquen. Encontrar las prioridades educativas que deben ser satisfechas por los estudiantes, permitirá la comprensión de los problemas, así como la elección de una solución adecuada, especialmente en el terreno de la educación matemática.

En concordancia con la problemática anteriormente expuesta y con el propósito de coadyuvar con una propuesta en el mejoramiento de la enseñanza y el aprendizaje se busca generar estrategias, desde la perspectiva de la identificación y solución de problemas, que beneficien tanto a estudiantes como a docentes y comunidad en general. Lo anterior conducirá a abordar de una forma diferente las matemáticas, para que los estudiantes tengan más afectividad hacia ellas, y para que de esta forma se minimicen las dificultades en el proceso de aprendizaje, conllevando a que los estudiantes se apropien de los conocimientos.

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Capítulo II. Marco Referencial

En este apartado se presentan los principales aportes de varias investigaciones relativas a la propuesta planteada, así como algunas aproximaciones teóricas referentes a la educación matemática, especialmente en lo referente a las dificultades en los procesos de enseñanza y aprendizaje del concepto de fracción.

4. Antecedentes

Una revisión detallada sobre investigaciones realizadas en los últimos diez (10) años, tanto en la enseñanza como en el aprendizaje del concepto de fracción y las dificultades que se presentan en ellos, teniendo en cuenta a docentes y estudiantes, permitió tener una visión panorámica sobre los aportes que investigadores han realizado en la temática en cuestión. Se clasificaron los trabajos a nivel internacional, nacional y desde el punto de vista local. Dado que el tema central de esta investigación es el concepto de fracción, se hace una síntesis de aquellos trabajos previos, que resultaron más significativos.

Antes de hacer un análisis reciente y específico fue importante destacar los aportes de Kieren (1976), Freundenthal (1973), Llinares y Sánchez (1988) y Fandiño (2009), quienes coinciden en la dificultad en la enseñanza y aprendizaje de las fracciones, donde evidenciaron falencias en conceptos y en la realización de las operaciones. También concuerdan con el papel que cumplen los diferentes significados que toma el concepto de fracción, como parte todo, medida, cociente, operador y razón.

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4.1. A nivel internacional

Entre los autores contemporáneos que han trabajado en la línea de la problemática expuesta, se pueden citar los aportes de Castro (2015), quien investigó sobre los significados de las fracciones en las matemáticas escolares y formación inicial de maestros en Granada (España). Uno de sus propósitos fue identificar, describir y analizar el conocimiento matemático escolar sobre fracciones que manifiesta un grupo de estudiantes de Educación Primaria basado en la relación parte-todo, teniendo en cuenta la parte conceptual, sus sistemas de representación y el contexto real. El estudio fue de tipo teórico, de carácter empírico y utilizó una técnica de escrutinio para abordar la temática. Se concluyó que las fracciones surgen en una relación multiplicativa parte-todo, asimismo, los sistemas de representación usados para representar el concepto de fracción, fueron los círculos o cuadriláteros divididos en partes iguales. Mientras que la representación lineal tomo un mayor predominio a medida que se profundizó en la investigación.

Otro aporte importante fue el de Carrillo (2012), quien indagó sobre el análisis de la organización matemática relacionada con concepciones de fracción que se presentan en los textos escolares en matemáticas para grado quinto de primaria. Se seleccionó un texto relevante y los criterios para analizarlo, se caracterizaron los resultados y se concluyó con la evaluación de los mismos. En el estudio sobre el texto se resaltó la utilización principal de los conceptos de fracción, como parte-todo y como operador, y en algunas actividades esporádicas el significado de razón y cociente.

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población de 7255 estudiantes y una muestra estratificada de 380 estudiantes de cinco grados de varias instituciones educativas. Los resultados muestran mayor porcentaje de estudiantes que lograron la interpretación de las fracciones en el significado como parte- todo, tanto en contexto continuo como discreto, con porcentajes 76.8% y 62.6% respectivamente. El significado de medida sólo llego al 25.5%.

La investigación desarrollada por Flores (2010) en México, tuvo como propósito enfatizar los significados relacionados a la noción de Fracción en la secundaria, también relacionar los contenidos de las diversas ramas de la matemática para su estudio. Para su interpretación utilizó distintas herramientas metodológicas y situaciones didácticas, involucrando a docentes y estudiantes dentro de la realidad escolar. Los resultados obtenidos evidencian sólo la utilización de uno o dos de los significados de fracción, difieren en la forma en que son abordados y en las actividades propuestas para desarrollar. También, se evidenciaron dificultades sobre conceptos, operaciones, resolución de problemas donde se presentan los distintos significados de fracción (parte todo, cociente, operador, razón, decimal, porcentaje, medida).

4.2. A nivel nacional

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las subdivisiones, presenta dificultad para resolver la situación planteada y requiere de acompañamiento para resolverla.

Por otro lado, Silva (2017) diseñó e implementó una propuesta didáctica desde la perspectiva de la Teoría de las Situaciones Didácticas, con el propósito de incrementar el aprendizaje de los números racionales en grado sexto de una institución Educativa del sector urbano. La investigación presentó una metodología socio-crítica, articulando permanentemente la investigación, la acción y la formación. Entre los resultados más importantes se resalta el valor que los estudiantes le dan al número racional como fracción y la dificultad para identificar con claridad la representación gráfica, principalmente cuando se hacen particiones más pequeñas, relaciones de orden o equivalencias de fracciones.

Igualmente, Hoyos (2015) hace aportaciones a la temática en cuestión, en su investigación cuyo propósito fue diseñar y aplicar un proyecto de aula en la enseñanza de las fracciones en educación básica primaria en una Institución Educativa de Medellín; el hilo conductor de la propuesta estuvo basado en los procesos de adquisición de un aprendizaje significativo en los estudiantes. La metodología empleada en la investigación fue de tipo práctico y experimental, con procedimientos basados en el método de descubrimiento y sustentados con las teorías desarrolladas por David Ausubel y David Perkins. Los resultados mostraron la importancia que tiene la solución de problemas de situaciones cotidianas ya que estos resultan muy interesantes, comprensibles para los estudiantes, estimulan el pensamiento matemático, los motiva a la investigación y los invita a descubrir nuevos conocimientos. Además, estas formas de proceder incentivan a la participación y al trabajo en grupo, donde se hace indispensable el papel del docente como guía, orientador y facilitador del proceso de aprendizaje.

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que evidencian los estudiantes y lo relacionado con la solución de situaciones cotidianas que contengan fracciones, en particular las que involucran particiones, razones y porcentajes, con el fin de proponer estrategias didácticas. Utilizó una metodología de tipo cualitativo, realizó un muestreo teórico y se basó en un estudio de caso. Se concluyó que los docentes no enuncian simultáneamente los distintos significados de fracción (parte-todo, razón, porcentaje), sólo se enfocan en la relación parte-todo, y poco utilizan los otros significados de fracción, influyendo en las dificultades de la comprensión del concepto. Además, se detectó que los docentes involucrados, abordan la temática desde las particiones y la representación gráfica.

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protagonistas de su propio aprendizaje, dado que ellos tenían que leer, analizar, proponer y argumentar las soluciones.

4.3. A nivel local

Siguiendo la misma perspectiva, Rivera (2014), presentó como objetivo determinar y promover estrategias metodológicas basadas en la comunicación que promovieran el aprendizaje de los números fraccionarios. En su metodología utilizó un enfoque cualitativo interpretativo, en cuyos resultados y de acuerdo con talleres diagnósticos, lograron identificar la existencia de problemáticas que muestran los estudiantes frente al concepto, comprensión, operaciones y los juicios acerca de los problemas donde intervienen las fracciones. Con el uso de estrategias comunicativas y los registros hechos durante la investigación lograron que los estudiantes reestructuraran las concepciones y obtuvieran un mayor control en su aprendizaje, estableciendo criterios que les permitían medir su comprensión y mejorarla.

En la misma perspectiva, se desarrolló el trabajo relacionado con el aprendizaje del objeto fracción, donde se analizó y valoró el aprendizaje en los estudiantes, a partir de secuencias didácticas mediante las transformaciones con sistemas semióticos de representación elaborado por Reyes (2018). Se utilizó una metodología cualitativa, donde se encontraron como resultados el buen manejo de los estudiantes en sistemas de representación, respecto a las relaciones de tratamiento y conversión y el aprovechamiento de las actividades lúdicas (juegos) para lograr conocimientos significativos sobre el concepto de fracción.

5. Marco Teórico

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objetivos planteados. La siguiente tabla sintetiza los tópicos a tener en cuenta en el sustento teórico y conceptual de la presente investigación.

Tabla 1

Referentes teóricos y conceptuales

Componente Conceptos y enunciados

Referente histórico Aproximación histórica del concepto de fracción Definiciones previas

Acercamiento al concepto de fracción Definiciones de concepciones y creencias Significados del concepto de

fracción

La fracción como: parte todo, medida, cociente, partidor, operador, razón, número decimal y porcentaje.

Teoría de las representaciones semióticas

Semiosis y noesis

Representaciones semióticas

Formación, tratamiento y conversión.

Registro de representación del concepto de fracción Elementos didácticos Situación didáctica

Planteamiento y solución de problemas

La fotografía como estrategia didáctica

Contexto

Fuente: Elaboración propia

5.1. Referente histórico

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papiros que se encuentran en varios museos del mundo; como el papiro de Rhind y el de Moscú en ellos se presentan problemas de origen práctico, de situaciones que tienen que ver con el pan, la cerveza, actividades relacionadas con el ganado, las aves domésticas y el almacenamiento de cereales. Principalmente los egipcios utilizaron las fracciones cuando necesitaban encontrar medidas, contabilizar y hacer reparticiones (Eves, 2011). Utilizaron dos sistemas de numeración, un sistema hierático o sagrado utilizado por los sacerdotes basado en signos especiales y un sistema jeroglífico de base diez que permitía escribir cualquier número (Ortiz, 2005).

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Figura 1. Fracciones egipcias, el ojo de cobra. Fuente Stewart (2012). P.18

Por otro lado, estudios realizados por (Ruiz, 2003), indican que en relación a las civilizaciones griegas y romanas, hacia el año 200 a. C., ya escribían las fracciones como números propiamente, emplearon las fracciones unitarias, posteriormente reconocieron fracciones equivalentes y usaron varias formas para escribirlas; los alejandrinos especialmente utilizaban el sistema de fracciones sexagesimales. Una de las representaciones griegas era ubicar el numerador seguido de una prima y el denominador seguido de dos primas ’ ” que equivalen a la fracción

(Stewart, 2012).

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Ahora bien, Boyer (1996) resalta el papel de la cultura china entre los siglos VI y I a. C., en la creación de nuevas reglas en la interpretación de la matemática. Para el caso de los números, le daban similitud a la vida de los seres humanos, así, al numerador lo consideraban “hijo” y al denominador “madre”. Además, ellos impulsaron las fracciones con denominador 10, 100, 1000….y emplearon las fracciones decimales. Utilizaron un sistema de varillas (bastoncillos), en forma vertical u horizontal para expresar diferentes cifras.

A la vez, Eves (2011), se refiere a los hindúes y árabes en el 450 d. C., quienes concentraron su interés en un sistema de numeración posicional, utilizaron las fracciones decimales, manejaron las cifras del 0 al 9 con símbolos diferentes a los que actualmente se utilizan. Para ellos el numerador iba sobre el denominador y omitían el vínculo. Adicional a esto, los musulmanes fueron los encargados de introducir el sistema de numeración indo arábigo a España.

Finalmente, para Ruiz (2003), entre los siglos XII y XV Leonardo de Pisa (1170-1250) conocido como Fibonacci, escribió el libro del ábaco, en el que introdujo los métodos de cálculo hindú con enteros y fracciones demostró muchos resultados importantes en la teoría de números, describió las nueve formas y el cero hindú- arábigo, introdujo el número quebrado y hace uso del vínculo para separar el numerador del denominador dando origen a la notación actual de fracción, él proporciona las reglas para las operaciones entre fracciones, facilitando el desarrollo de muchas actividades del contexto de la época y utilizó los números fraccionarios para representar fraccionamientos de objetos.

5.2. Definiciones previas

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educación matemática con diferentes perspectivas teóricas, lo cual revela que es un concepto matemático de mucha importancia en el proceso educativo.

Uno de los autores que presenta una aproximación al concepto de fracción es Trejo (1973), quien lo considera como el cociente entre dos números a y b con b 0 (a dividido por b) donde a e s el dividendo y b es el divisor. Es decir, a todo numero x, si se multiplica por el divisor se obtiene como resultado el dividendo: a b=x significa que x. b=a de acuerdo a esto, se puede plantear el siguiente ejemplo 6 2 = 3 lo cual expresa que 2. 3= 6, tomando al punto como el signo por.

Otra noción se plantea en Llinares y Sánchez (1988), quien asocia la fracción a la operación de dividir un número natural por otro, mediante una división indicada = a b que se refiere a dividir una cantidad fija a en un número de partes b dada.

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sociocultural y científico, haciendo una inter- relación entre todos los sistemas. Para el caso del concepto de fracción como parte todo, se presentan varios sentidos, como: reparto, división, medida y reconstrucción de la unidad.

Sin embargo, Duval (1998), se refiere a objetos matemáticos en lugar de conceptos, haciendo alusión al objeto que se utiliza desde su naturaleza y sobre el valor del conocimiento. Por tanto, el objeto fracción es aquel que presenta diversas funciones, emite una multiplicidad de signos y a su vez, cada uno pertenece a distintos sistemas de signos (Fandiño, 2009).

En la literatura se presentan diversas acepciones del término fracción. Para esta investigación se asumen los planteamientos de Freudenthal, Duval y Fandiño, dada la naturaleza del estudio, las características del contexto y la población objeto de estudio.

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Tabla 2

Significados del concepto fracción La

fracción

Significados Ejemplo

Parte todo Es la relación indicada entre un número de partes y el número total de partes. Símbolo representado dada una unidad a (todo continuo o discreto) se divide en b partes (iguales, equitativas, congruentes que pueden sobreponerse o intercambiarse). (Llinares y Sánchez, 1988)

Medida Se indica o selecciona una unidad arbitraria de medida (un segmento), que puede permitir subdivisiones (congruentes). La recta numérica es una representación del concepto de fracción. Es decir, una unidad de medida se divide en b subunidades iguales y se repite a veces para obtener la medida requerida. (Llinares y Sánchez, 1988).

Cociente La fracción como cociente según Fandiño (2009), se interpreta como una división indicada a b, si se tienen a objetos y se dividen en b objetos. En este significado se presenta una acción de reparto y una relación de equivalencia. Es decir se divide una unidad en ciertas partes y se coge otra cantidad o que puede ser el resultado de una operación. También puede interpretarse que al dividir dos números naturales entre si se obtiene por resultado exacto la fracción (Llinares y Sánchez, 1988).

3 5 tres veces

tres objetos para 5 personas = 0,6

Partidor El significado de fracción como partidor, según Vasco (1984), hace referencia a situaciones donde se parten objetos en tal número de partes "iguales" y se escogen tantas o determinadas partes. Es importante tener en

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cuenta la magnitud dado que en algunos casos son objetos reales, para que la participación sea equitativa. Operador La fracción interpretada como operador se concibe

como una sucesión de multiplicaciones y divisiones o lo contrario. En la interpretación se utilizan una orden, la acción a realizar (operador) y se describe la situación. (Llinares y Sánchez, 1988).

Los de 20 naranjas Esto significa hacer la operación:

(20 5) 3

Razón El significado de fracción como razón según Llinares y Sánchez (1988), hace referencia al uso de un índice comparativo entre dos cantidades de una magnitud. Es decir, la relación entre a y b y se escribe de la siguiente forma a: b. Es importante tener en cuenta que en esta interpretación el numerador y el denominador pueden ser intercambiables, es decir, a: b tiene el mismo significado que b: a. (Fandiño, 2009).

3:5

3 es a 5 es decir

Número decimal

Para la interpretación de la fracción decimal Llinares y Sánchez, (1988) utilizan la representación gráfica (la recta numérica o el modelo rectángulo), se divide en diez partes, donde cada una de las partes es en relación al todo (unidad)

, una de las diez (una décima).

Porcentaje La fracción como porcentaje se entiende como la relación entre conjuntos de razones, donde se establecen subconjuntos de cien partes. También, se puede interpretar como la relación de proporcionalidad entre un número y 100. (Llinares y Sánchez, 1988).

El 60 % del total de estudiantes,

o 0,6

Fuente: Elaboración propia, basado en Fandiño (2009), Llinares y Sánchez (1988), y Vasco (1984).

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tiene verdadera existencia” y “estar convencido de la bondad o validez de algo o alguien” (Bohórquez, 2014, p. 3).

Las concepciones y creencias son fundamentos conceptuales que se presentan dentro del pensamiento y la acción del ser humano, los cuales proporcionan diferentes puntos de vista del mundo (Ponte, 1999). Él hace referencia principalmente, a la posición que los docentes tienen sobre su práctica diaria, afirma que no es importante la distinción entre creencias y concepciones, más bien con

relación a otras estructuras como actitudes, conocimiento y prácticas.

Según Ponte (1999), varios autores conciben creencias como algo vinculado con la parte afectiva

relacionado con preferencias, inclinaciones, y líneas de acción. Así, las creencias pueden mostrar aspectos

afectivos de la personalidad. Para el desarrollo de esta investigación, se hace alusión al papel

preponderante que cumplen el profesor, el estudiante y el padre de familia.

Bohórquez cita a Thompson (1984) quien hace referencia a la concepción que se tiene sobre

la matemática como una construcción social y cultural, mediante procesos creativos y generativos, donde el estudiante se comprometa en la realización de las actividades con responsabilidad a partir de situaciones problemáticas. No sólo los estudiantes están implicados, sino también los diferentes actores que hacen parte de los procesos de enseñanza de aprendizaje.

5.3. Teoría de los Registros de Representación Semiótica

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diferentes sistemas de expresión y de representación para la comprensión de los conceptos matemáticos.

En el campo de la didáctica de la matemática se han evidenciado un gran número de investigaciones, que resaltan el papel de la semiótica para la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, este trabajo no es la excepción, por tanto basados en autores que trabajan en esta línea, como lo son Raymond Duval (1993), Luis Radford (1997), Bruno D’ Amore (1998) y Martha I. Fandiño Pinilla (2009), se desarrolla o se concibe el presente estudio.

Radford (2004) destaca el papel de la semiótica con su diversidad de métodos y conceptos, como una teoría apropiada para entender el mundo y los fenómenos, a través de la interpretación y con la utilización de los signos que permiten comprender la significación de la matemática y sus relaciones con la cultura. Resalta la concepción social de la enseñanza y el aprendizaje, caracterizando la naturaleza semiótica del pensamiento y su carácter reflexivo.

Desde el punto de vista de la teoría de las representaciones semióticas y teniendo en cuenta el propósito de esta investigación, es necesario hacer énfasis en dos conceptos fundamentales, “la semiosis, como la aprehensión o producción de una representación semiótica, y la noesis, relacionada con los actos cognitivos tales como la aprehensión conceptual de un objeto.” (Duval, 2017, p. 45), es importante la utilización de las representaciones semióticas para los fines de comunicación y para el desarrollo de la actividad matemática.

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estudiante adquiera el concepto matemático (noética). De hecho, es la semiótica la que determina las condiciones de posibilidad y de ejercicio de la noética. Al respecto, no habrá aprendizaje conceptual, algorítmico, estratégico o comunicativo sin la mediación de diferentes sistemas semióticos de representación lo que involucra la coordinación entre los mismos por parte de los estudiantes (D’ Amore, Fandiño & Iori, 2013).

La adquisición de los conocimientos matemáticos requiere la utilización de distintos registros de representación y de expresión. Duval (2017) hace una clasificación de las representaciones a través de un análisis opuesto entre consiente y no consiente de las representaciones. Las representaciones consientes se caracterizan por tener una intencionalidad y cumplir el proceso de objetivación, que corresponde al descubrimiento por sí mismo de aquello que no sospechaba; mientras que las representaciones no consientes son transformaciones automáticas e instantáneas. Mediante la significación se logra que un objeto sea susceptible de ser visto o aprehendido por alguien y a su vez este logra tomar conciencia de ello.

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tratamiento y conversión de diferentes registros de representación semiótica (Duval y Sáenz, 2016).

Un sistema semiótico puede ser un registro de representación, si permite tres actividades cognitivas relacionadas con la semiosis: la formación, el tratamiento y la conversión. La formación o presencia de una representación identificable, utilizada para expresar una representación mental o evocar un objeto real, implica la selección de caracteres y de las determinaciones de lo que se quiere; el tratamiento de una representación que significa la transformación de la representación dentro del mismo registro donde ha sido formulada y la conversión de una representación que es la transformación de la representación en otra representación de otro registro en la que se conserva la totalidad o parte del significado de la representación inicial (Duval, 2017).

Los conceptos matemáticos no son objetos reales, por lo tanto se debe acudir a distintas representaciones para su comprensión; a su vez es necesario diferenciar el objeto matemático con su representación. El paso de un sistema de representación a otro o la utilización simultánea de varios sistemas de representación en el desarrollo de una clase no es tan evidente para los estudiantes, a ellos se les dificulta reconocer el mismo objeto a través de sus representaciones en distintos registros semióticos. La adquisición conceptual de un objeto matemático se basa en dos características: el uso de más de un registro de representación semiótica, en la creación y el desarrollo de sistemas semióticos distintos, que constituyen un símbolo de avance en el conocimiento (Duval y Sáenz, 2016).

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para todos los aprendizajes básicos y el lenguaje natural no puede excluirse de la actividad matemática. (Duval y Sáenz, 2016).

En la Tabla 2 se ilustra un ejemplo de las transformaciones que se pueden realizar del concepto fracción, entre diferentes representaciones semióticas; que pueden ser de dos tipos: tratamiento o conversión. Si la transformación se realiza al interior de un mismo registro semiótico, se presenta la transformación de tratamiento, un ejemplo: en lenguaje natural, la proposición un medio es igual que la mitad o en el registro aritmético ½ = 0,5. Si la transformación se realiza entre dos registros semióticos diferentes, se conoce como transformación de conversión, un ejemplo sería en lenguaje común un medio y su relación con el lenguaje aritmético, como ½ (D’ Amore 2004).

Tabla 3

Representaciones semióticas del objeto fracción

Registro semiótico Representación semiótica Ejemplo

Registro verbal Lenguaje natural Un medio

Lenguaje coloquial La mitad

Registro aritmético Escritura fraccionaria

Escritura decimal 0,5

Registro gráfico Lenguaje pictográfico (

imagen)

Lenguaje gráfico (recta numérica)

Registro algebraico Lenguaje algebraico

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5.4. Elementos didácticos

En este componente se hace referencia a los elementos necesarios para el desarrollo de la presente investigación en lo referente a didáctica, situación didáctica, planteamiento y resolución de problemas, la fotografía como herramienta pedagógica y el contexto.

En lo referente a la temática de la didáctica esta hace mención al proceso de instrucción, y orientación, a la utilización de métodos, estrategias y al nivel de eficiencia, etc. La didáctica está orientada por un pensamiento pedagógico, ya que la práctica de la enseñanza es un momento específico de la práctica educativa (Lucio 1989). Según lo anterior, se toma como instrumento para enseñar mejor, enfocada al saber autónomo, con objetivos y metodologías propias.

La situación didáctica para Brousseau (2007), es todo el entorno del estudiante, del docente y el sistema educativo, un dispositivo diseñado por una persona que quiere enseñar un conocimiento o controlar su adquisición. Este requiere un medio material, unas reglas de interacción y el desarrollo efectivo para producir un efecto de enseñanza; es necesario incluir la evolución de la situación donde el sujeto se adapte al medio creado por la situación, sin importar si haya o no intervención del docente en el transcurso del proceso. En resumen, una situación didáctica se presenta cuando el docente tiene la intención de enseñar al estudiante un saber matemático dado.

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para la solución de un problema todo el proceso de búsqueda, encuentros, avances y retrocesos en el trabajo mental, esto implica un análisis total y detallado de la situación.

Santos Trigo, (2011) identifica cuatro aspectos en la resolución de problemas: saber qué hacer, cómo hacerlo, es correcto lo que hizo o existe otra vía y la influencia de los componentes individuales y afectivos del resolutor. Los estudiantes deben, relacionar, sacar conjeturas, utilizar sistemas de representación, hacer conexiones, argumentar y comunicar los resultados. También resalta la importancia de utilizar herramientas tecnológicas en la resolución de problemas.

Para Pólya (1990), la resolución de problemas representa una forma de descubrimiento, es como un arte que utiliza como medio la heurística para investigar nuevos problemas. Esto permite considerar a la matemática como un instrumento que posibilita resolver problemas del entorno sociocultural, intentando comprender el mundo y ofreciendo respuestas a múltiples interrogantes. Según el autor el estudiante construye su propio conocimiento por medio de la resolución de problemas. Para esto, los estudiantes utilizan diferentes estrategias, que les permiten entender y asimilar las dificultades que trae cada situación. Pólya sugiere el siguiente método:

a. Comprender el problema, se requiere que analice y entienda bien el problema, es importante que trace un gráfico o dibujo, destaque los valores conocidos y desconocidos. b. Idear un plan, recomienda pensar en problemas semejantes o relacionados al que esté

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c. Ejecutar el plan, Sugiere que cada paso sea correcto verificándolo lentamente, donde incluya todos los detalles, circunstancias, hechos concretos, lo cual implica claridad y buenos conocimientos para evitar cometer errores.

d. Mirar hacia atrás, plantea la necesidad de verificar el resultado, volver atrás, revisar, discutir, buscar otras formas de resolverlo, descubrir si tiene otras respuestas y observar si se puede aplicar en otro problema. Para resolver problemas, se requiere disciplina, constancia, perseverancia y especialmente interés de hacerlo.

La International Commission on Mathematical Instruction I.C.M.I. (como se citó en Carrillo, 2017) considera un desafío o reto, como una pregunta o problema propuesto de forma intencionada para provocar que el receptor intente una solución, al mismo tiempo ejercite y amplíe la comprensión y conocimiento sobre el tema. Para la solución se requiere utilizar los elementos matemáticos necesarios, acentuando el nivel de conocimiento previo y la importancia de usar la creatividad, especialmente, mediante el dibujo y la representación gráfica en la construcción de los conceptos. Una situación retadora se puede generar en las aulas de clase brindando la posibilidad de hacer matemáticas y de pensar matemáticamente, cuyos contenidos se delimitan dentro de determinados contextos y se utilizan diversos medios para una solución efectiva.

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Figura 2. Método la COPA. Fuente elaboración propia, basada en Pólya (1945).

Por otra parte, un elemento didáctico utilizado en el desarrollo de la investigación hace referencia a la fotografía como medio de comunicación, la cual permite, desde la imagen, mayores posibilidades de enseñanza y aprendizaje, es un recurso necesario y fundamental para el desarrollo de actividades en el aula. Una fotografía utilizándola de manera pedagógica, permite reflexionar, mejorar comprobar y percibir diferentes aspectos. La aplicación didáctica, como complemento a los textos se apoya en lectura de imágenes, en la influencia social y la información que puede proporcionar al estudiante como lenguaje gráfico y visual (Sánchez, 2009).

Finalmente, se destaca la influencia del entorno físico en el desarrollo del trabajo investigativo, se pretende que los estudiantes logren conocimientos matemáticos dentro del contexto donde se desenvuelven. De acuerdo a esto, se reflexiona en particular sobre la palabra “contexto” proveniente del latín contextus, que significa entorno físico o situación histórica,

L

• Leer, el minilibro sobre el concepto fracción. de prisa y posteriormente despacio cada uno de los retos planteados en

A

• Analizar, pregunta que se hace. Se sugiere hacer un gráfico o dibujo.las partes que tiene cada reto, los datos que se presentan y la

C

• Camino, recomienda escribir lo que se va hacer.es encontrar una ruta correcta, desde los datos hasta la pregunta. Se

O

• Opere, arriba hacia abajo, importante hacer la revisión de la operación o proceso. es hacer las respectivas operaciones, haciendolas en el cuaderno de

P

• Pruebe, se refiere a la comprobación, si es razonable o no la solución.

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política, social o económica en la que se considera un hecho (Gallardo, 2017). Para Ramos y Font (2006), el contexto, hace referencia a observar la situación dentro de un campo de aplicación de un objeto matemático y también se trata de la situación enmarcada en el entorno, utilizándolo de forma ecológica. Es decir, que se presentan el objeto matemático en diferentes lugares. Pero concluyen que los dos conceptos actúan simultáneamente. Para esta investigación el propósito fue presentar una secuencia didáctica basada en situaciones del mundo real, donde el estudiante, con conocimientos previos y su corta experiencia, los pudiesen resolver, consolidando conocimientos matemáticos (en este caso concepto de fracción) y de esta forma observasen que la matemática se puede aplicar al mundo real.

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Capítulo III. Diseño metodológico

En este capítulo se presentan los criterios metodológicos utilizados en la investigación, aquí se

enuncia el tipo de estudio, la metodología utilizada, los procedimientos, las actividades planteadas, las unidades de análisis, categorías y subcategorías de análisis así como las técnicas de recolección de la información.

6. Marco metodológico 6.1. Tipo de estudio

El estudio asume un paradigma de corte cualitativo, de tipo descriptivo e interpretativo, que se adapta al objetivo planteado, el cual hace referencia a analizar una estrategia didáctica empleada en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, en el caso específico del concepto de fracción, con estudiantes de grado sexto en el contexto rural. Se pretende hacer una reflexión sobre la actividad desarrollada en el aula de clase, con el propósito de mejorar la práctica docente y a su vez generar en los estudiantes la apropiación de los conocimientos matemáticos.

Teniendo como referencia las características planteadas por, Hernández, Fernández y Baptista (2014), la investigación cualitativa proporciona profundidad a los datos, dispersión, riqueza interpretativa, contextualización del ambiente, detalles y experiencias únicas. Asimismo, aporta un punto de vista personal, natural e integral de los fenómenos, así como flexibilidad en el manejo de la información. La investigación se orientó en comprender los fenómenos referentes a los procesos de enseñanza y aprendizaje, explorándolos desde la perspectiva de los estudiantes, docentes y padres de familia en un ambiente natural y en relación con su contexto.

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establecer su estructura o comportamiento. Esto, permite organizar, clasificar y comparar la información, los datos y las respuestas de los estudiantes, padres de familia y docentes de la I.E. Divino Niño, frente a la problemática que se presenta en los procesos de enseñanza y aprendizaje, del objeto fracción. Con la ayuda de los datos recolectados y los resultados se examinan los hechos; es decir, explorar, describir y luego generar perspectivas teóricas (Hernández, Fernández y Baptista, 2014).

Cada aspecto recolectado se utilizó respecto a una función determinada para conocer las situaciones encontradas y conducirnos a la solución de los diversos problemas presentes en la comunidad educativa. Es importante resaltar que en estudio descriptivo según Hernández, Fernández y Baptista (2014), el investigador especifica las propiedades, las características y los perfiles de las personas, grupos, comunidades, procesos, objetos o fenómeno que se someta a un análisis. Es decir, debe tener presente los diferentes procesos, guiarse por el contexto, utilizar los recursos y medios disponibles, para alcanzar los objetivos planteados, debe asumir una actitud que sea útil, razonable y práctica para encontrar solución a los problemas de la realidad que aquejan la Institución Divino Niño Cormal del municipio de Quípama.

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6.2. Diseño de la investigación

La investigación presentó un diseño de campo, dada su estructura de carácter flexible que orientó el proceso investigativo para responder al problema planteado (Arias, 2012). Se pretendió llegar a comprender la particularidad de las personas y las comunidades, dentro de un contexto particular; buscando interpretar la realidad con la experimentación, indagación, socialización, y el recuento de experiencias significativas de los participantes.

De acuerdo al trabajo de campo, al ambiente y a los participantes se abordó un diseño de investigación- acción según Hernández, Fernández y Baptista (2014), este debe conducir a cambiar y por tanto este cambio debe incorporarse en el propio proceso de investigación. Se indaga al mismo tiempo que se interviene, su finalidad comprender y resolver problemas específicos de las comunidades.

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Fases de la investigación:

Figura 3. Fases de la investigación. Fuente elaboración propia, basado en Hernández, Fernández y Baptista (2014),

Elliott (2000).

6.3. Fases de la investigación

En relación con la investigación-acción para Hernández, Fernández y Baptista (2014), la primera fase admite la recolección de datos sobre la problemática y las necesidades identificadas; la segunda fase del proceso de investigación-acción equivale al desarrollo del plan: objetivos, estrategias, acciones, recursos, programación de tiempos y recolección de datos; en la tercera fase de investigación-acción se presenta el desarrollo, implementación del plan y evaluación de estrategias de acción utilizadas y en la cuarta fase, la realimentación resultado de nuevos ajustes, decisiones y redefiniciones de los resultados.

• Identificación de la problemática • Contexto

1. Diagnóstico de la realidad

• Objetivos y estrategías • Recolección de información

• Diseño y validación secuencia didáctica

2. Plan de accion

• Aplicación secuenca didáctica • Contrastar información

3. Observación y contrastes

• Resultados • Realimentación

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Mediante la investigación acción se recolectó, organizó y procesó la información, además se aplicaron cuestionarios, encuestas y entrevistas semiestructuradas discutidas, analizadas y validadas, de tal forma que se pudiera caracterizar la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, en el caso particular del concepto de fracción. Realizar el análisis en las diferentes fases de la investigación garantizó una aproximación más real de la problemática, para posteriormente llegar a encontrar soluciones más pertinentes.

Por consiguiente, para el desarrollo del trabajo se plantearon cuatro (4) fases para alcanzar los objetivos establecidos. Como los plantea, Hernández, Fernández y Baptista (2014) y Elliott, J. (2000) la investigación acción se desarrolla en: diagnóstico y reconocimiento de la situación; desarrollo de un plan de acción; actuación para poner en práctica el plan y la observación de sus efectos en el contexto y reflexión en torno a los efectos producidos. De esta forma la investigación se realizó mediante la interacción dentro de la realidad a través de estas cuatro fases.

6.3.1 Fase diagnóstica

Se hizo un diagnóstico para identificar y analizar las dificultades referentes a la enseñanza y al

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Dentro de las actividades realizadas en la fase diagnóstica se destacaron: la formulación del problema; recolección de datos e información; trabajo de campo con padres de familia, docentes y estudiantes; análisis e interpretación de datos y discusión de algunos resultados y primeras conclusiones (para un análisis más detallado de los resultados arrojados en esta etapa, véanse el Anexos 1, 2, 3 y 4). Una vez completada la fase diagnóstica, se realizó el planteamiento del problema y los objetivos a desarrollar, haciendo un permanente rastreo bibliográfico que permitió corroborar el desarrollo de la investigación. También se identificaron los referentes teóricos a utilizar, enmarcados desde la Teoría de los Registros de Representación Semiótica propuesta por Duval (1998).

6.3.2 Fase de acción

Se desarrolló un plan de acción, para reconocer a fondo aquello que estaba ocurriendo dentro de las actividades académicas, se analizaron e interpretaron las causas activas que presentaron mayor relevancia en el resultado de la matriz de Vester y que estuvieron asociadas a los procesos de enseñanza-aprendizaje del objeto fracción, se plantearon actividades que propiciaban la aprehensión de la temática.

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didáctica para la comprensión de los diferentes significados de fracción, (Anexo 12), basada en la Teoría de las representaciones semióticas de Duval (2004) donde se incluyó la fotografía como medio para la aprehensión de conocimiento matemático. Así mismo, se tuvo presente la teoría de Polya (1945) en las estrategias para el planteamiento y resolución de problemas.

6.3.3 Fase de observación y contrastes

La observación permitió plasmar los hechos, procesos, detalles, acontecimientos, eventos e interacciones entre los participantes. Además, permitió la acción para poner en práctica la estrategia didáctica y la indagación de sus efectos en el contexto sociocultural donde tuvo lugar la investigación. En esta fase se contrasto la información de docentes, padres de familia y estudiantes hacia las concepciones que tenían sobre la matemática. Se evidenciaron los procesos de comprensión que presentaron los estudiantes, con los contenidos y construcción del concepto de fracción.

6.3.4 Fase de reflexión

Se analizó y caracterizó la estrategia didáctica empleada en la intervención en los procesos de enseñanza y el aprendizaje del concepto de fracción. También, se indagaron las causas activas abordando las fracciones y se realizó una abstracción en torno a los efectos producidos que sirvieron de base para el desarrollo de la investigación.

En esta fase se presentaron los resultados con base en la problemática, en los resultados encontrados y en los objetivos planteados en la investigación y finalmente se hizo una retrospección de las fases anteriores.

6.4. Categorías y subcategorías de análisis