U
ni
Y
ersidad
V
eracruzana
FACULTAD DE ESTADISTICA E INFORMATICA
ESPECIALIZA C IO N EN METODOS ESTA D ISTIC O S
ALGUNAS DISTRIBUCIONES
DISCRETAS DE PROBABILIDAD
TRABAJO RECEPCIONAL
QUE COMO REQUISITO PARCIAL PARA OBTENER EL DIPLOMA DE ESTA ESPECIALIZACION
PRESENTA:
REBECA GORROCHOTEGUI SALAS
TUTOR:
L.E. JULIAN FELIPE DIAZ CAMACHO
El H. Comite Academico de la Especializacion en Metodos Estadisticos y el tutor academico del trabajo recepcional, autorizan la impresion y la constitution del jurado para la defensa.
DATOS DEL AUTOR:
Rebeca Gorrochotegui Salas, nacio el 28 de octubre de 1972, en la Cd. de Tuxpan, Ver. Curso sus estudios basicos y medio superior en esa ciudad. Egreso de ia facultad'de. Estadistica e Informatica de la Universidad Veracruzana en la ciudad de Xalapa, Ver, en 1996. En 1998, ingreso a la especializacion en Metodos Estadisticos. Actualmente trabaja en el area de Investigation del Instituto de Salud Publica de la Universidad Veracruzana.
DEDICATORIA:
AGRADECIMIENTOS:
A DIOS ...
A mi mama. Por su amor, ternura y por ese valor que siempre nos ha contagiado en los momentos diflciles.
A mi hermana. Por estar siempre a mi lado.
A mi hermano. Porque con ese sentido del humor de nino, ha madurado como un verdadero hombre.
Al resto de mi familia, por permanecer siempre unida.
A todos los maestros de la especializacidn, por sus ensenanzas. Especialmente al Profr. Julian Felipe Diaz Camacho. Por su apoyo desde el inicio de la especialidad; ademas de la dedicacidn prestada para la culminacion de este trabajo. Gracias por su amistad.
A mis amigos, y compaheros de la especialidad porque s6 que puedo contar con ustedes.
Al Instituto de Salud Publica de la Universidad Veracruzana, en especial a Cris y Salvador, por toda su paciencia.
Siceramente...
I N D I C E
1. Revision de conceptos basicos.
1.1 Espacio muestral. 1
1.2Eventos. 2
1.3 Probabilidad de un evento. 3
1.4 Concepto de variable aleatoria. 4
1.5 Distribucion de probabilidad de una variable aleatoria discreta. 5
1.6 Grdfica de una funcion de probabilidad. 6
1.7 Media y varianza de una variable aleatoria discreta. 7
1.8 Ejercicios propuestos. 8
2. La distribucion discreta uniforme.
2.1 Descripcidn. 9
2.2 Definicidn. 9
2.3 Media y varianza. 9
2.4 Grafica de la distribucion. 10
2.5 Ejercicios propuestos. 11
3. La distribucion de probabilidad binomial y multinomial. 3.1 La distribucion binomial
3.1.1 Descripcion. 13
3.1.2 Definicidn. 14
3.1.3 Media y varianza. 14
3.1.4 Grafica de la distribucion. 14
3.2 La distribucidn multinomial.
3.2.1 Descripcidn. 19
3.2.2 Definicidn. 19
3.2.3 Media y varianza; 20
3.3 Ejercicios propuestos. 21
4. La distribucion geometrica.
4.1 Descripcidn. 24
4.2 Definicidn. 25
4.3 Media y varianza. 25
4.4 Grafica de la distribucion. 25
4.5 Ejercicios propuestos. 28
5. La distribucion binomial negativa
5.1 Descripcidn. 30
5.2 Definicidn. 30
5.3 Media y varianza. 31
5.4 Grdfica de la distribucidn. 31
6. La distribution hipergeometrica.
6.1 Description. 34
6.2 Definition. 35
6.3 Media y varianza. 35
6.4 Grafica de ja distribution. 35
6.5 Ejercicios propuestos. 39
7. La distribucibn Poisson.
7.1 Description. 41
7.2 Definition. 41
7.3 Media y varianza. 42
7.4 Grafica de la distribution. 42
7.5 Ejercicios propuestos. 44
8. Aproximacion de algunas distribuciones.
8.1 Aproximacion de la distribution Poisson a la binomial. 46
8.2 Aproximacion de la distribution binomial a la hipergeometrica. 48
8.3 Comentarios adicionales. 50
8.4 Ejercicios propuestos. 52
BIBLIOGRAFiA. 54
1. REVISION DE CONCEPTOS BASICOS.
1.1 Espacio Muestral
En el estudio de la estadistica interesa, basicamente, la presentation e interpretation de resultados aleatorios que se dan en un estudio planeado o en una investigation cientifica. Por ejemplo, es posible registrar el numero de accidentes que ocurren mensualmente en el crucero de dos calles, con el proposito de justificar la instalacion de un semaforo; inspeccionar una lampara electrica para determinar si es un producto “defectuoso” o “no defectuoso"; o bien, registrar la temperatura diaria de cierta ciudad con el proposito de estudiar el comportamiento de esta. De aqul que frecuentemente se manejen, ya sea datos experimentales que representen conteos o mediciones, o tal vez datos categoricos que pueden clasificarse de acuerdo con algun criterio.
Cualquier registro de information, sea este numerico o categorico; se denominara observacion. Asi, los numeros 0, 1, 2, 0 y 1, que representan respectivamente, el numero de accidentes mensuales de enero a mayo del presente ano en el crucero de dos calles, constituyen un conjunto de observaciones. De manera similar, si se considera como tales los datos categbricos N, D, N, N y D, que representan el estado de las lamparas defectuosas D y no defectuosas N cuando se inspeccionan a cinco de ellas.
Antes de presentar el concepto de espacio muestral, examinaremos primero el concepto de experimento: un experimento es un proceso mediante el cual se obtiene una observacion (o medicion). En estos terminos, advertimos que en la naturaleza, los experimentos pueden clasificarse en dos clases: aquellos que presentan siempre un solo resultado, y aquellos que presentan dos o mbs resultados posibles. Los experimentos que presentan un solo resultado son conocidos como deterministas, mientras que aquellos que presentan dos o mas resultados posibles son conocidos como aleatorios. La probabilidad se enfoca al estudio de esta ultima clase de experimentos. Asi, un experimento aleatorio es aquel experimento en el que no se puede predecir con exactitud el resultado.
Un espacio muestral es el conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Generalmente se denota por la letra S; a cada resultado de un espacio muestral, se le llama elemento simple del espacio muestral o punto muestral.
Ejemplo 1.1
Supongase que se seleccionan en forma aleatoria tres articulos de un proceso de manufactura. Se examina cada uno de ellos y se clasifica como defectuoso, D, o no defectuoso, N. Un espacio muestral para el experimento es el siguiente.
S = {(N.N.N); (N.N.D); (N.D.N); (D.N.N); (N.D.D); (D.N.D); (D.D.N); (D,D,D)}
Donde (N,N,N) representa el elemento del espacio muestral en el que los tres articulos resultaron no defectuosos, (N.N.D) un elemento del espacio muestral en el que los primeros dos articulos resultaron no defectuosos y el tercero defectuoso.
Ejemplo 1.2
Supongase que un servicio de pruebas de productos evalua el funcionamiento de una podadora de cesped como f£cil de operar (At), de dificultad medians (A2)o diflcil
(A,); como cara (5 j) o barata (B2) y como de reparacion costosa (R:)t regular (R2) o barata (R3). Para enlistar los etementos del espacio muestral, es util dibujar un diagrams de arbol como se ilustra en la fig u ra H
De la figura 1.1 se tiene que un espacio muestral para el experimento es el siguiente:
S *.
(■4»Bx * R\)»(-^i»Bx, R2), (j4( , Bx, R3), , B2, Rx), ,B2,R2\ (Ax , B2, i?3) (A 2, Bx, Rx), (A2 ,BxjR2\ (Aj , Bx, R3), (A2 ,B2,Rl\ (A2 ,B2,R2), (A2, B2, R3)
(A3 ,Bx,Rx\ (A3 ,Bx,R2\ (A3 ,Bl9R3X {A^ ,B2,Rx\ {A3 ,B2,R2\ (A3 , B 2»R3)
1.2 Eventos.
Un evento es un subconjunto del espacio muestral. Asi, a cada evento se le asigna una coleccibn de puntos muestrales, que constituyen un subconjunto del espacio muestral. En relacibn con el experimento presentado en el ejemplo 1.1, se podrla estar interesado en un evento A definido como: “que dos articulos resulten defectuosos”. En tal caso, el evento A est£ dado por
Un evento que conste de un elemento de S, se llama evento elemental. Ei espacio muestral S es un evento, y recibe el nombre de evento seguro. El conjunto vacio <|> es tambten un evento, y recibe el nombre de evento imposible.
1.3 Probabilidad de un Evento.
En el estudio de la probabilidad existen diferentes interpretaciones de la definicion de £sta. Por ahora s6lo se hace mencion de la definicibn clasica de probabilidad que dice lo siguiente: si un experimento que estd sujeto al azar, resulta de n formas igualmente probables y mutuamente excluyentes, y si nA de estos resultados tienen cierto atributo A, la probabilidad de A este dada por:
comunmente denotada por:
P(A) = — ■
n
Asi, mediante la definicion clasica de probabilidad podemos encontrar la probabilidad del evento A, dado en la seccion 1 como:
A = {(N,D,D), (D,N,D)P (D.D.N)}
obteniendose:
p (A) = | .
1.4 Concepto de Variable Aleatoria.
En la seccion anterior se definio el concepto de experimento aieatorio y, asociado a el, se menciond el concepto de espacio muestral. Usando ambos se puede describir la mayoria de las situaciones en que se conducen los experimentos aleatorios con el proposito de adquirir information sobre algun fenomeno que pueda interesarnos. Una vez especificado el espacio muestral, tenemos una description exhaustiva de todos los resultados posibles del experimento. Sin embargo, en el estudio de la probabilidad tiene especial importancia el proceso de asignacion de cantidades numericas a los elementos de un espacio muestral. Esto en general facilita a los desarrollos de los modelos y permite el uso de herramientas matematicas para su tratamiento formal. Para ejemplificar esto, retomemos el experimento descrito previamente, consistente en la inspeccidn de tres articulos manufacturados y clasificarlos como defectuosos o no defectuosos. El espacio muestral obtenido fue el siguiente:
S = {(N.N.N); (N,N,D); (N.D.N); (D.N.N); (N.D.D); (D,N,D); (D,D,N); (D.D.D)}
De acuerdo a lo mencionado previamente, diremos que. una variable aleatoria es una funcion que a cada resultado posible de un experimento aleatorio le asocia un numero real. Es decir, es una funcion definida sobre un espacio muestral.
Retomando lo mencionado en la seccion 1.1, en lo referente a que por ahora, solo se hara mencion de conceptos que involucran espacios muestrales discretos. A continuacion se presenta el concepto de variable aleatoria discreta.
Diremos que una variable aleatoria es discreta si puede tom ar cuando mas un numero infinito contable de valores.
1.5 Distribucion de Probabilidad de una Variable Aleatoria Discreta.
Una variable aleatoria discreta asume cada uno de sus valores con una cierta probabilidad. En el caso del experimento de inspeccionar tres, articulos manufacturados y clasificarlos como defectuoso o no defectuosos; la variable X, que representa el numero de articulos defectuosos, puede tomar los valores 0, 1, 2 y 3 con cierta probabilidad. La tabla 1.1 presenta los posibles valores de la variable aleatoria X y la probabilidad con la que puede tomar cada uno de estos valores.
X 0 1 2 3
P(X = x) 1 3 3 1
8 8 8 8
Tabla 1.1 Distribution de probabilidad para el numero de art culos defectuosos.
Observese que los valores de X agotan todos los casos posibles y de aqui que fas probabilidades sumen 1.
Frecuentemente es conveniente representar con una fbrmula todas las probabilidades de una variable aleatoria X. Dicha formula, necesariamente, debe ser una funcion de los valores numericos x, y que se expresa con frecuencia por f(x). Por lo tanto, se escribe f(x) = P(X=x); esto es, f(2) = P(X=2). Al conjunto de pares ordenados (x, f(x)) se le llama funcibn de probabilidad o distribucion de probabilidad de la variable aleatoria discreta X.
Toda funcion de probabilidad debe satisfacer las siguientes propiedades:
Asi, la funcion de probabilidad f{x) = P(X = x) correspondiente al experimento de inspeccionartres artlculos, es:
donde ( 3
(3s
f ( x ) = para * = 0,1,2,3 O
representa las combinaciones para los posibles valores de x.
1.6 Grafica de una Funcion de Probabilidad.
Frecuentemente es conveniente representar graficamente las funciones de probabilidad. La forma mas usual para la representacion grafica de estas funciones es el histograma de tineas de probabilidades. La figura 1.2 presenta graficamente la funcion de probabilidad de fa variable aleatoria X, definida previamente como el numero de artlculos defectuosos.
Figura 1.2 Histograma de Hneas verticales de la funcidn de probabilidad para el nUmero de artlculos defectuosos.
Esta representacion mediante Hneas verticales tiene explicacion porque la variable X solo puede tomar los valores 0, 1, 2, 3. La longitud de la linea representa el valor de la probabilidad.
1.7 Media y Varianza de una Variable Aleatoria Discreta.
Media o valor esperado de una variable aleatoria discreta X.
Sea X una variable aleatoria discreta con distribucion de probabilidad f(x). La media o valor esperado de X esta dado por:
M = E(X) = '£xf(x) X
Varianza de una variable aleatoria discreta X.
Sea X una variable aleatoria discreta con distribucion de probabilidad f(x) y media p. La varianza de X esta dada por:
<r2 = var(X) = E ( X - M)2 = ' £ ( x - M)2f( x )
Ejemplo 1.3
Calcular ju y cr2 de la variable aleatoria X definida como el numero de artlculos defectuosos.
Solucion:
En la tabla 1.1 se presento la distribucion de probabilidad de la variable aleatoria X, misma que se transcribe a continuacion;
X 0 1 2 3
f i x ) 1 3 3 1
8 8 8 8
Por tanto, ei valor esperado de X es:
/i = £(Jf) = 2 V W = 0 . i + l - | + 2 - | + 3 . i = 1.5
y la varianza de X es:
1.8 Ejercicios propuestos
1. Un experimento consta de cuatro lanzamientos de una moneda. Denotando los resultados por AABA, BABB,..., y suponiendo que los 16 resultados sean igualmente probables, determine la distribucion de probabilidad del numero total de las A.
2. Determinese si las siguientes funciones pueden ser distribuciones de probabilidad de una variable aleatoria que puede tomar solamente los valores 1, 2, 3 y 4:
a) f ( l ) = 0.26, /(2 ) = 0.26 , /(3 ) = 0.26 y /(4 ) = 0.26; b) /(1) = 0.15. /(2 ) = 0.28, /(3 ) - 0.29 y /(4 ) = 0.28; c) /(1) = 0.33, /(2 ) = 0.37, /(3 ) = -0.03 y /(4 ) = 0.33.
3. Verifiquese si las siguientes funciones pueden definir distribuciones de probabilidad y expliquense las respuestas:
b) m =
d) f ( x)=
X
15 para x = 0,1,2,3,4,5;
5 - x 2
para * = 0,1,2,3;
6
1
4 para x = 3,4,5,6;
jt + 1
para x = 1,2,3,4,5; 25
4. Supongase que las probabilidades de que haya 0, 1, 2 o 3 fallas de energia electrica en cierta ciudad durante el mes de julio son, respectivamente, 0.4, 0.3, 0.2 y 0.1. Utillcense las formulas que definen // y a 1 para calcular
a) La media de esta distribucion de probabilidad; b) La varianza de esta distribucidn de probabilidad.
5. La tabla siguiente de las probabilidades de que cierta computadora falle 0, 1,2, 3, 4, 5 o 6 veces en un dia cualquiera:
Numero de
Fallas: x 0 1 2 3 4 5 6
Probabilidad: f{x) 0.17 0.29 0.27 0.16 0.07 0.03 0.01
2. LA DISTRIBUCION DISCRETA UNIFORME
2.1 Description.
La mas sencilla de todas las distribuciones discretas de probabilidad, es aquella en la cual la variable aleatoria toma solo un numero finito de valores posibles, cada uno con identica probabilidad. Con frecuencia, el interes recae en una variable aleatoria X
que toma los valores:jc(x2,...,xn con la misma probabilidad de ocurrencia de 1 Su
importancia es central en la rama de la estadistica conocida como Muestreo, y sirve como punto de partida para un gran numero de resultados teoricos.
2.2 Definicion.
Si la variable aleatoria X toma los valores x1x2,...,xrtcon identicas probabilidades, entonces la distribucion discreta uniforme estd dada por:
f(x;ri) = ~, x = x,jc2
n
Se utiliza la notacion f(x\n) para destacar que depende de n, que es el parametro de la distribucidn. Una vez especificado n, las probabilidades estan completamente determinadas.
2.3 Media y Varianza.
A continuacidn se presentan dos altemativas para calcular ia media y la varianza de una distribucion uniforme.
I. La media y la varianza de la distribucidn uniforme discreta /(x ,n ), estan dadas por:
// = £ (X ) = - £ x, <t2 =var(X) = - ^ ( x , - / / )
II. Si x es una variable aleatoria discreta uniforme sobre los enteros consecutivos a, a+1, a+2,...,b, con a ^ b. La media y la varianza de x son respectivamente:
A = E{X) = a + b ■ 2
<y - var(X) =
2.4 Grafica de la distribucion.
A continuacion se presenta la forma que puede tomar la distribucion para n = 10.
Comportamiento de la distribucion para n = 10
X m
1 1/10
2 1/10
3 1/10
4 1/10
5 1/10
6 1/10
7 1/10
8 1/10
9 1/10
10 1/10
Ejemplo2.1
Considere el experim ent de lanzar un dado legal. El espacio muestral asociado al experim ent es:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Cada resultado posible del experim ent ocurre con una probabilidad de ^ . Entonces la
distribucion de probabilidad de X es la siguiente:
X 1 2 3 4 5 6
m 1 1 1 1 1 1
6 6 6 6 6 6
O', en forma de ecuacion:
/( x ;6) - 7 , x = 1,2,3,4,5,6
Ejemplo 2.2
La variable aleatoria X tiene una distribucion discreta uniforme sobre los enteros 91 < x < 100. Determine la media y la varianza.
Solucion:
a) Alternativa I.
A = E(X) =91 + 92 + ... + 99 + 100
10 95.5
a 1 = va r(*) = ^[(9 1 -9 5 .5 )2 + (92-95.5)2 +... + (l00-95.5)2]=8.25
b) Alternativa II.
A = E(X) = a + b
2
91 + 100
2 95.5
✓ = varW = = (100-91 + 1 ^ -1 = g 25
12 12
2.5 Ejercicios propuestos.
1. La variable aleatoria X tiene distribucion discreta uniforme sobre los enteros 1 < x < 4 calcule la media y la varianza de X.
2. En un proceso de recubrimiento se toman varias mediciones de espesor, hasta la centesima de milfmetro m^s cercana. Las mediciones estdn distribuidas de manera uniforme, con valores 0.15, 0.16, 0.17, 0.18 y 0.19. Para este proceso, calcule ia media y la varianza del recubrimiento.
4. Se selecciona a un empleado de un grupo de 20 para supervisar un cierto proyecto, seleccionando aleatoriamente una placa de una caja que contiene 20 numeradas de 1 al 20. Encuentre la formula para la distribution de probabilidad de X que representa al numero de la placa que se saca. ^Cual es la probabilidad de que el numero sea mayor que 15?
5. Suponga que X tiene una distribucion discreta uniforme sobre los enteros desde 0 hasta 9. Determine la media, la varianza y la desviacion estandar de la variable aleatoria y = 5x, y compare los resultados con los que se obtienen para X.
6. Suponga que en una urna hemos colocado 4 fichas id6nticas excepto por el color. Las fichas son de colores amarillo (A), verde (V), bianco (B) y rojo (B). Realizamos el experimento consistente en hacer que un niho elija una ficha al azar. De acuerdo con el resultado del experimento se le entregar£n al niho tantos pesos como letras tenga el color de la ficha eiegida. Defina la variable aleatoria X como el numero de pesos recibidos por el niho.
a) Encuentre la funcion de probabilidades de X. b) Calcule p y
cr2-c) ^Que valor tienen el parametro de la distribucidn?
7. Considere el experimento consistente en elegir un numero al azar del directorio telefonico y registrar el ultimo digito del numero en cuestion. Suponga que los diez digitos tienen la misma frecuencia relativa. Defina la variable aleatoria X como:
X = digito obtenido + 1.
a) Encuentre la funcion de probabilidades de X. b) Calcule E(X) y var(X).
3. LA D I S T R I B U C I O N DE P R O B A B I L I D A D B I N O M I A L Y M U L T I N O M I A L
3.1 La distribucion binomial.
3.1.1 Descripcion
Algunos experimentos consisten en la observation de una serie de pruebas identicas e independientes, las cuales pueden generar uno de dos resultados posibles, los cuales por conveniencia se denotan como exito (e) o fracaso (f). La inspeccibn.de un producto manufacturado puede clasificarse como exito, si se inspecciona como bueno, o como fracaso si resulta defectuoso. La inspeccion de una planta de maiz puede clasificarse como exito, si no se encuentra infectada por cierto hongo, o como fracaso si se encuentra infectada. En una encuesta de opinion politics puede clasificarse como exito si el entrevistado esta a favor de cierto candidato o como fracaso si no lo estb.
Un experimento binomial es aquel que tiene las siguientes caractensticas:
1. El experimento consta de n pruebas identicas e independientes.
2. Cada prueba tiene dos resultados posibles. A uno de ellos se le llamara exito y al otro fracaso.
3. La probabilidad de tener exito en una sola prueba es igual a P) y permanece constante de prueba en prueba. La probabilidad de un fracaso es igual a q - i - p . 4. La variable aleatoria bajo estudio es X, que represents el numero de exitos
observados en las n pruebas.
Para derivar una fbrmula que db la probabilidad de x exitos en n pruebas para un experimento binomial. Primero, consideremos la probabilidad de x exitos y n-x fracasos en un orden determinado. Dado que los intentos son independientes, pueden multiplicarse todas las probabilidades correspondientes a los diferentes resultados. Cada exito ocurre con una probabilidad p y cada fracaso con una probabilidad q = \ - p .
Por lo tanto, la probabilidad para el orden especificado es p x q n~x . Ahora debe
considerarse el numero total de resultados posibles del experimento que tiene x exitos y n-x fracasos. Este numero es igual al numero de particiones de n resultados en dos
grupos, con x en un grupo y n-x en el otro, los cual se expresa por Debido a que
estas particiones son mutuamente excluyente, se suman las probabilidades de todas las diferentes particiones para obtener la fbrmula general de la distribucibn binomial, que se denota como:
b(x, n> p) \ xj
„ n - x
3.1.2 Definicion.
Si repetidas pruebas identicas e independientes pueden resultar en un exito con una probabilidad p y en un fracaso con una probabilidad de q = \ - p ,
entonces la distribucion de probabilidad de la variable aleatoria X, que representa el numero de exitos observados en las n pruebas es:
b(x,n,p) =' n'p q x - 0,1,..., n
Los parametros de la distribucion son n, el numero de pruebas identicas e independientes y p, la probabilidad de exito en cada prueba.
3.1.3 Media y Varianza.
La media y la varianza de la distribucion binomial b(x,n,p) estdn dadas por:
p - E(X) = np a 2 - var(X) = npq
3.1.4 Grafica de la distribucion.
A continuacion se presentan algunas formas que puede tomar la distribucidn binomial para valores seleccionados de p.
a) Comportamiento de la distribucidn binomial con n - 5, ^ = 0.2 y ? = 0.8
X m
0 0.3277
1 0.4096
2 0.2048
3 0.0612
4 0.0064
5 0.0003
b) Comportamiento de la distribution binomial con n - 5, p - 0.5 y q = 0.5
X m
0 0.0313
1 0.1562
2 0.3125
3 0.3125
4 0.1562
5 0.0313
Suma 1.000
c) Comportamiento de la distribution binomial con n = 5, p = 0.8 y q = 0.2
X m
0 0.0003
1 0.0064
2 0.0512
3 0.2048
4 0.4096
5 0.3277
.Suma 1.000
De los tres casos presentados previamente se deducen algunas caracteristicas de la distribucibn binomial que son ciertas en general. Siendo estas las siguientes:
a) Para valores pequefios de p (p<0.5), Iasi probabilidades mayores se presentan para valores pequefios de X. Esto es razonable con el modelo, ya que en este caso la probabilidad de bxito en cada repeticibn del experim ent es menor que . la probabilidad de fracaso. La distribution en este caso presenta una asimetria
positiva.
b) Cuando p = 0.5, la distribucibn es simetrica y tiene maxima varianza.
Ejemplo 3.1
Utilice la tabla 1 para calcular las siguientes probabilidades:
a) A(6,15,0.5) * ' b) £>(*,8,0.7) |c) £>(*,8,0.7) d) £>(*,8,0.7)
3=0 3=5 3=2
Solucion:
Utilizando la tabla 1, se tiene
6 5
a) 6(6,15,0.5)= £>(*,15,0.5)-£>(*,15,0.5) = 0.3036-01509 = 0.1527
3=0 3=0
3
b) £>(*,8,0.7) = 0.0580 3=0
8 8 4
c) £>(*,8,0.7) = £ ] 6(8,8,0.7) - £>(*,8,0.7) = 1-0.1941 = 0.8059
3=5 3=0 3=0
6 6 !
d) £ ] 6(*,8,0.7) = £ ] 6(*,8,0.7) - £ ] 6(*,8,0.7) = 0.7447 - 0.0013 = 0.7436
3=2 3=0 3=0
Ejemplo 3.2
En una fabrica, el departamento de control de calidad inspecciona por medio de un procedimiento de muestreo lotes de articulos. De un lote se seleccionan 15 articulos, se examinan y si resultan tres o mds articulos defectuosos el lote se rechaza. Si el lote contiene exactamente 10% de defectuosos, a ^cu a l es la probabilidad de que el lote sea aceptado?, b)<*,cual es la probabilidad de que e! lote sea rechazado?
Solucion:
Como la variable en estudio satisface las caracteristicas de una distribucion binomial, se tiene
a) Si X denota el numero de articulos defectuosos, entonces el lote se acepta si X toma los valores x = 0,1,2. Con n = 15, p = 0 . 1 y q = 0.9, de la tabla 1 se tiene que
2
P(aceptar el lo te )= £ > (*, 15,0.1) = 0.8159 3=0
b) Sabemos que: P(aceptar el lote) + P(rechazar el lote) = 1. Por tanto
Ejemplo 3.3
Un proceso de fabricacion de lamparas produce un 20% de unidades defectuosas. Si se eligen al azar 6 lamparas, ^Cual es la probabilidad de que
a) no se encuentren lamparas defectuosas en Ea muestra? b) se encuentren a lo mas dos lamparas defectuosas? c) se encuentre entre 3 y 5 lamparas defectuosas?
d) se encuentran al menos cuatro lamparas defectuosas? e) se encuentran exactamente cuatro lamparas
Solution:
Sea X la variable aleatoria que cuantifica el numero de lamparas defectuosas (exitos) en la muestra. Entonces x tiene una distribucion binomial n=8, p=0.2 y q=0.8. Asi, la distribucion de X esta dada por la expresion:
b(x,6,0.2) =
(0 .2 )'(0 .8 f';^ = 0,1,2, .,.,6
w
0. d e otra form a
Las probabilidades para los valores de X son:
b(0,6,0.2)= (0 .2 )°(0 .8 )6 = 0.2621
b(1,6,0.2)= ( Q . 2 y ( 0 . S y = 0 .3 9 3 3
b(2,6,0.2)= (0.2 )2(0.8)4 = 0.2457
/ 42 ^ b(3,6,0.2)=
1 3 ,(O.?)3^ ) 3 = 0.0819
b(5,6,0.2)= '6 '
,5 , (0 .2 )5 (0.8)f = 0.0015
f b(6,6,0.2)=
v, 6^
6, (0-. 2 )6 (0.8 )° 0.0001
La distribution de X en forma tabular es:
X b(x,8,0.2)
■ 0 0.2621
1 0.3933
2 0.2457
3 0.0819
4 0.0154
5 0.0015
6 0.0001
2 1.0000
De aqui pueden contestarse las preguntas planteadas.
a) No se encuentran Idmparas defectuosas en la muestra si x - 0. b(0,6,0.2)=0.2621
b) Se encuentran a lo m£s dos Idmparas defectuosas si x - 0,1,2. b(0,6,0.2)+b(1,6,0.2)+b(2,6,0.2)=0.9011
c) Se encuentran entre 3 y 5 Idmparas defectuosas si x = 3,4,5. b(3,610.2)+b(4l6,0.2)+b(5,6r0.2)=0.0359
d) Se encuentran al menos cuatro temparas defectuosas si x = 4,5,6. b(4,6I0.2)+b(5,6l0.2)+b(6,6,0.2)=0.017
3.2 La distribucion multinomial.
3.2.1 Descripcion.
Un experimento binomial cambia a ser un experimento multinomial cuando cada prueba del experimento tiene mas de dos resultados posibles. Esto ocurre, por ejemplo, cuando un articulo se clasifica en cuanto a su calidad como alta, media o baja; e! registro de accidentes en el crucero de dos calles segun el dla de la semana o bien cuando el aprovechamiento de un estudiante se evalua, asignandole calificaciones de A, B, C o D. Para tratar de manera general esta clase de problema consideremos que si una prueba dada puede resultar en cualquiera de k posibilidades Et,E2,...,EK con probabilidades Pn P2,...,PK
respectivamente, entonces la distribucion multinomial da la probabilidad de que £, ocurra x, veces; E2 ocurra, x2 veces;...; Ek ocurra xk veces en n pruebas independientes, donde:
y
x, + x2+ ... + x k - n
P\ +P2+ - + Pk =1
Esta distribucion de probabilidad conjunta se representa generalmente por:
f ( x l, x 2,...xk; p ^ p 2,...,pk;n)
3.2.2 Definicion.
Si una prueba determinada puede resultar en cualquiera de los k resultados
con probabilidades . entonces la distribucion de
probabilidad de las variables aleatorias X l, X 2,...,Xk , que representan el numero de ocurrencias para EltE2,...,EK en n pruebas independientes es:
f ( x ], x 2,...xk\ p ]ip 2,...,pk;n) =f n '
■> x2 JP?'P?~Pf'
con
K K
Z x , = « . Z p , =1 y
/=! /=!
El nombre de la distribution multinomial se debe al hecho de que los terminos del desarrollo multinomial de (p, + p 2 + ... + p ky corresponde a todos los valores posibles de:
. f ( x x,x 2,..jck; p x, p 2,...,pk;n)
3.2.3 Media y varianza.
Si X x, X 2,...,Xn tienen una distribucibn multinomial, la distribution de probabilidad marginal de X i es binomial con:
p = E(X) = np{ y <r2 = \ai(X) = n ^ q .
Ejemplo 3.4
Las probabilidades de que un foco de cierto proyector de acetatos dure menos de 30 horas de uso continuo, entre 30 y 60 horas de uso continuo o mas de 60 horas de uso ininterrumpido son 0.30,0.50,y 0.20, respectivamente. Encuentre la probabilidad de que en una muestra.de n=10 focos, tres duren menos de 40 horas, cinco duren entre 40 y 60 horas y dos duren mbs de 60 horas.
Solution:
Sean Ex,E2yE3 los siguientes resultados posibles:
Ex = Que el foco dure menos de 30 horas.
E2 ~ Que el foco dure entre 30 y 60 horas.
£*3 = Que el foco dure mbs de 60 horas.
Las probabilidades correspondientes para cada repeticibn dada son
Pi = y Pi = Y$- Estos valores se conservan constantes para las
10 repeticiones. La probabilidad de que la muestra de 10 focos estb compuesta por xx = 3 focos que duren menos de 30 horas, por x2 ~ 5 focos que duren entre 30 y 60 horas y por * 3 = 2 focos que duren mbs de 60 horas, es:
3 1 1 /(3,5,2;— ,-,-,1 0 ) =
10 2 5
A ° 'j
3r n
5r n
1,3,5,2 Ju o j U
j
U J
3.3 Ejercicios Propuestos:
1. En una cierta area de la ciudad se da como una razon del 80% de los robos la necesidad de -dinero para comprar estupefacientes. Encuentre la probabilidad que dentro de los 5 proximos asaltos reportados en esa area:
a) Exactamente 2 se debieran a la necesidad de dinero para comprar drogas; b) Cuando mucho 3 se debieran a la misma razon arriba indicada
2. Un agricultor que siembra fruta afirma que el 70% de su cosecha de duraznos ha sido contaminada por la mosca del mediterraneo. Encuentre la probabilidad de que al inspeccionar4 duraznos
a) Los 4 est6n contaminados por la mosca del mediterraneo; b) Cualquier cantidad entre 1 y 3 este contaminada.
3. Al probar una cierta clase de neumatico para camion en un terreno escabroso se encontro que 30% de los camiones terminaban la prueba con los neumaticos dafiados. De los siguientes 15 camiones probados, encuentre la probabilidad de que
a) De 3 a 6 tengan ponchaduras; b) Menos de 4 tengan ponchaduras; c) Mas de 5 tengan ponchaduras.
4. Un reporte publicado revelb que casi el 70% de los estudiantes del ultimo ano desaprueban las medidas para controlar e! habito de fumar mariguana todos los dias. Si 12 de estos estudiantes se seleccionan al azar y se les pregunta su opinion, encuentre la probabilidad de que el numero que desaprueba dicha medida sea
a) Cualquier cantidad entre 7 y 9; b) Cuando mucho 5;
c) No menos de 8.
5. La probabilidad de que un paciente se recupere de una delicada operation de corazon es 0.9. ^Cu£l es la probabilidad de que exactamente 5 de los proximos 7 pacientes que se sometan a esta intervention sobrevivan?
6. Un ingeniero de control d tr£fico reporta que 80% de los vehiculos que pasan por un punto de verificacidn tienen matriculas del estado. ^Cual es la probabilidad de que mas de 4 de los siguientes 9 vehiculos no sean del estado?
8. Repita el ejercicio anterior cuando la probabilidad de falla es de 0.2.
9. Un fabricante de lavadoras asegura que solamente el 10% de sus lavadoras requiere reparation dentro del periodo de garantia que es de 12 meses. Si cinco de 20 de sus lavadoras requieren reparation durante el primer ano, ^contribuye esto a apoyar o a refutar su afirmacion?
f. _
10. Si la probabilidad de que un retraso en un proceso automatizado de production exceda 2 minutos es 0.20, calcula la probabilidad de que tres de ocho retrasos de este proceso duren mas de 2 minutos si usas
a) La formula para la distribucion binomial; b) La tabla 1.
11. Una cooperativa agrfcola asegura que el 90% de los melones embarcados esfen maduros, carnosos y listos para comer. Encuentra la probabilidad de que entre 18 melones embarcados
a) Los 18 melones estan maduros, carnosos y listos para comer; b) Al menos 16 esfen maduros, carnosos y listos para comer; c) A lo mbs 14 esten maduros, carnosos y listos para comer.
12. Un empresario de la industria alimenticia asegura que a lo sumo 10% de sus frascos de cafe instanfeneo contiene menos cafe del que se garantiza en la etiqueta. Para probar esta afirmacion, 16 frascos de su cafe instantaneo son aleatoriamente escogidos y se pesa el contenido; su afirmacibn es aceptada si menos de 3 frascos contienen menos cafe del que se garantiza en la etiqueta. Encuentre las probabilidades de que la afirmacion del empresario sea aceptada cuando el porcentaje real de sus frascos que contienen menos cafe del que se indtca en la etiqueta es
a) 5%; b) 10%; c) 15%; d) 20%.
13. ^Gual es la probabilidad de que una auditora de Hacienda detecte solamente 2 declaraciones de impuestos con deducciones ilegales, si selecciona aleatoriamente 6 de 18 declaraciones 8 de las cuales contienen deducciones ilegales?
14. Un ingeniero de control de cafidad inspecciona una muestra aleatoria de 3 acumuladores de cada lote de 24 que esfen listos para ser embarcados. S i un lote contiene 6 acumuladores con defectos ligeros, ^cuales son las probabilidades de que la muestra del inspector contenga
a) Ninguna de las batenas con defectos; b) Solamente una de las batenas defectuosa;
15. En un tablero para dardos circular se tiene un pequeno circulo que se llama centra y 20 areas numeradas del 1 al 20. Cada una de eStas areas se divide a su vez en tres partes, de tal forma que una persona que lanza un dado y que acierta en un numero determinado obtiene un marcador sencillo, doble o triple del numero, dependiendo de en cual de las tres partes acerto. Si una persona atina en el centra con una probabilidad de 0.01, de que sea doble con una probabilidad de 0.10, triple con 0.05 y de que no atine al tablero con 0.02, ^Cual es la probabilidad de que de 7 lanzamientos no atine ninguno al centra, no haga triples, haga un doble dos veces, y una de que no atine al tablero?
16. De acuerdo con la teoria de la genetica, un cierto cruce de conejillos de indias resultara en una descendencia roja, negra y blanca en la relacion 8: 4: 4. Encuentre la probabilidad de que de 8 descendientes, 5 sean rojos, 2 negros y 1 bianco.
17. Las probabilidades son de 0.4, 0.2, 0.3, y 0.1, respectivamente, de que un delegado llegue por aire a una cierta convencion, llegue en autobus, en automovil o en tren. ^Cual es la probabilidad de que entre 9 delegados seleccionados aleatoriamente en esta convencion, 3 hayan llegado por aire, 3 en autobus, 1 en automovil y 2 en tren?
18. En una ciudad la proporcion de famiiias que consumen un determinado artfculo es del 40%. Se toma una muestra aleatoria de 9 famiiias. Calcular la probabilidad de que en la muestra haya como minimo 3 famiiias que no consuman dicho articulo.
19. Una persona contesta at azar un test que consta de 10 preguntas, cada una de las cuales tiene asociada cuatro respuestas, una de las cuales es la correcta. La prueba se considera aprobada con siete respuestas correctas. Calcular la probabilidad de que la persona apruebe. Supongamos ahora que la persona que contesta conoce tres respuestas correctas; el resto de las respuestas las marca al azar. Indicar la probabilidad de que tal persona apruebe.
20.Supongase que un examen en la administration publica estd disenado en forma tal que el 70% de las personas con un Cl de 90 lo aprueben. Encontrar las probabilidades de que entre 15 personas con un Cl de 90, que presentan el examen,
a) al menos 12 lo aprueben; b) a lo mas 6 lo aprueben; c) 10 aprueben.
4. LA DISTRIBUCION GEOMETRICA
4.1 Descripcion.
La variable aleatoria que tiene distribucion geometrica se define para un experimento que es muy similar al experimento binomial. Tambien se refiere a una serie de pruebas identicas e independientes, y cada una puede tener dos resultados posibles, exito y fracaso. La probabilidad de obtener un exito es igual a p y es constante en cada prueba. La probabilidad de fracaso es q = 1-p. Sin embargo, la variable aleatoria geometrica X representa el numero de pruebas necesarias hasta obtener por primera vez un exito, en lugar del numero de exitos observados en las n pruebas, que es el caso de la variable aleatoria X binomial. Entonces el experimento consiste de una serie de pruebas que termina al obtener el primer exito. Por consiguiente, el experimento podria terminar en la primera prueba al obtener un exito o podria continuar infinitamente.
La distribucidn geometrica se aplica en situaciones como las siguientes: a) Se inspeccionan sucesivamente articulos manufacturados hasta obtener un
artfculo defectuoso.
b) Un explorador de petroleo perfora una serie de pozos hasta encontrar un pozo productive.
c) Un vendedor de seguros para autos ofrece sucesivamente un seguro hasta realizar una ven ta.
Los tres experimentos descritos previamente tienen propiedades similares en el sentido de que las pruebas repetidas son independientes y la probabilidad de exito permanece constante en cada prueba.
Ei espacio muestral S para el experimento contiene el siguiente conjunto
Exito en la primera prueba.
Fracaso en la primera, exito en la segunda. Fracaso en la primera y segunda, 6xito en la tercera.
Fracaso en las k-1 pruebas, exito en la k-esima prueba.
infinito contable de elementos.
Er . S = {e}
E2 : S - { f ,e)
E3 : S = { f , f , e )
De este modo, la probabilidad de la intersection de los eventos independientes
f f f f...fe con p la probabilidad de exito y q = 1-p la de fracaso, da lugar a la distribution de probabilidad geometrica.
g(xfn) = qx-{p, x = 1,2,3,...
4.2 Definicion.
Si una serie de pruebas identicas e independientes pueden resultar en un exito con una probabilidad p y en un fracaso con una probabilidad q = 1-p, entonces la distribucibn de probabilidad de la variable aleatoria X que representa el numero de pruebas necesarias hasta obtener por primera vez un exito es:
g(x,n) = qx-'p, x = 1,2,3, ...
El parametro de la distribucibn es p, la probabilidad de exito en cada prueba.
Una variante de esta distribucibn de probabilidad estb dada por:
g(X > x,p) = qx
que da la probabilidad de que se requiera un determinado numero de pruebas para que se obtenga por primera vez un exito.
4.3 Media y Varianza.
La media y la varianza de la variable aleatoria que sigue, la distribucibn geometrica, estbn dadas por:
ft = E ( X ) = - a 2 = v a i( X ) = ^
-P P
4.4 Grafica de la distribucibn.
a) Comportamiento de la distribucion geometrica con p = 0.2, q = 0.8
X / w
1 0.20
2 0.16
3 0.13
4 0.10
5 0.08
6 0.07
b) Comportamiento de la distribucibn geometrica con p = 0.5, q = 0.5
X /( * )
1 0.50
2 0.25
3 0.13
4 0.06
5 0.03
6 0.02
c) Comportamiento de la distribucion geometrica con p = 0.8, q = 0.2
X / ( * )
1 0.8 0
2 0.16
3 0.03
4 0.01
5 0.001
6 0.0002
Ejemplo4.1
Solucion.
a) Utilizando la distribucion geometries con x = 3, /? = 0.4 y q = 0.6. se tiene que la probabilidad de que el matrimonio logre el varan hasta el tercer hijo es:
g(x,p) = pq*
g(3,0.4) = (0.4X0.6)2 =0.144
b) Utilizando la distribucibn geometrica con x - 3,p = 0.4 y q = 0.6. se tiene que la probabilidad de que el matrimonio requiere tener mbs de cuatro hijos para que obtengan un varan es:
g ( X > x , p ) = qx
g( X> 4,0.4)= (0.6)4 = 0.1296
Ejemplo 4.2
La probabilidad de que un estudiante de aviacion apruebe el examen escrito para obtener su licencia de piloto es 0.7. Encuentre la probabilidad de que una persona apruebe el examen:
a) en el tercer intento; b) Antes del cuarto intento.
Solucion:
a) Sustituyendo x = 3,p = 0.7 y q = 0.3 en la formula de la distribucion geometries, obtenemos:
g(x,p) = pqx-'
g(3,0.7) = (0.7X0.3)2 = 0.063
b) Se pide la probabilidad para los valores de x = ^2,3 con p = o.7 y q = 0.7, por lo tanto:
Z 2 (*.°'7) = g(l>°-7) + g( 2.0.7) + g( 3,0.7) x= l
Ejemplo 4.3
Un conmutador telefonico es de muy poca capacidad en cuanto al tiempo de ocupado se refiere, de tal forma que las personas no pueden encontrar una linea desocupada para sus llamadas. Suponga que la probabilidad de tener tinea durante ia mayor congestion de llamadas es p = 0.05. Encuentre el numero esperado de intentos necesarios para realizar una llamada y la varianza del numero de intentos necesarios.
Solucion.
El numero esperado de intentos necesarios para realizar una llamada es:
^ = £(*) = — = 20
0.05
La varianza del numero de intentos necesarios es:
<j2 = var(x) = 1- 0.05
(0.05)2
= 380
Ejercicios propuestos:
1. - Se supone que el 30% de los aspirantes para cierto trabajo industrial tiene un entrenamiento avanzado en programacidn computacional. Los aspirantes son entrevistados, uno tras otro, y son seleccionados al azar del conjunto de aspirantes. Determine la probabilidad de que se encuentre el primer aspirante con un entrenamiento avanzado en programacion en la quinta entrevista.
2. - Un explorador de petrbleo perforar£ una serie de pozos en cierta area para encontrar un pozo productivo. La probabilidad de que tenga exito en una prueba es de 0.2.
a) ^Cual es la probabilidad de que el primer pozo productivo sea el tercer pozo perforado?
b) i,Cual es la probabilidad de que el explorador no vaya a encontrar un pozo productivo si solamente puede perforar a lo m&s 10 pozos?
3. - Un contador publico titulado (CPT) ha encontrado que 9 de 10 auditorias de companfas contienen errores importantes. Si el CPT revisa la contabilidad de una serie de compafiias, £cu&l es la probabilidad de que:
a) la primera contabilidad con errores sustanciaies sea la tercera contabilidad revisada?
4-.- La probabilidad de que un cliente acuda al mostrador de una tienda de abarrotes en cualquier periodo de un segundo, es igual a 0.1. Supongase que los clientes llegan de manera aleatoria y por lo tanto las llegadas en cada intervalo de un segundo son independientes.
a) Encuentre. la probabilidad de que la primera llegada ocurra durante el tercer intervalo de un segundo.
b) Encuentre la probabilidad de que la primera llegada no ocurra hasta al menos el tercer intervalo de un segundo.
5. - Se estima que el 60% de una poblacion de consumidores prefiere una marca particular de pasta de dientes A. ^Cual es la probabilidad, al entrevistar a un grupo de consumidores, de que se tenga que entrevistar a exactamente cinco personas, para encontrar el primer consumidor que prefiere la marca A? ^Al menos cinco personas?
6. Un tirador experto da en el bianco el 95% de las veces. ^Cual es la probabilidad de que falle por primera vez en su decimoquinto disparo?
7. En una “prueba de resistencia” el interrupter de una lampara es puesto en encendido y apagado hasta que falla. Si la probabilidad de que falle en cualquier ocasibn que es puesto en encendido o en apagado es de 0.001, i,cual sera la probabilidad de que falle despubs de que fue puesto en encendido y en apagado 1200 veces. Supbngase que las condiciones fundamentales de la distribucibn geometries se satisfacen. (sugerencia: utilice la formula para el valor de una serie geombtrica y logaritmica).
8. Los expedientes de una compafiia de alberca indican que la probabilidad de que una de sus nuevas albercas requiera reparacibn en el plazo de un arte es 0.20. ^Cubl sera la probabilidad de que la sexta alberca construida en un arte determinado sea la primera en requerir reparacibn en ese lapso?
9. La detemninacibn de probabitidades con la distribucibn geometries se simplifies utilizando la identidad
g ( x : p ) = - ( x : \ , p )
X
y buscando b(x;\,p) en una tabla de probabilidades de fa distribucibn binomial. Verfiquese la identidad dada y utilfeese la tabla 1 para calcular
5. LA DISTRIBUCION BINOMIAL NEGATIVA
5.1 Descripcion.
En este apartado se considera un experimento en el cual las propiedades son las mismas que las indicadas para un experimento binomial, con la excepcion de que las pruebas, se repetiran hasta que ocurra un numero determinado de exitos. Por lo tanto, en lugar de encontrar la probabilidad de x exitos en n pruebas, donde n es fijo, ahora se esta interesado en la probabilidad de que el k-6simo exito ocurra en el x-esimo intento.
El numero de pruebas identicas e independientes necesarias hasta obtener k exitos recibe el nombre de variable aleatoria binomial negativa. La distribucion de probabilidad de esta variable aleatoria discreta se representan por b*(x; k, p), dado que sus probabilidades dependen del numero de Exitos deseados y de la probabilidad de exito en una prueba dada.
Para obtener la formula general para b*(x; k, p), consid^rese la probabilidad de un exito en la prueba x precedido por k-1 Exitos y x-k fracasos en algun orden especifico. Dado que los intentos son independientes, se pueden multiplicar todas las probabilidades correspondientes a cada resultado deseado. Cada exito ocurre con una probabilidad p y cada fracaso con una probabilidad q = 1-p. Por io tanto, la probabilidad para el orden especificado, que finaliza en un exito, es:
El numero total de resultados posibles en el experimento que termina en un exito, despu£s de que ocurren k-1 exitos y x-k fracasos en cualquier orden es igual al numero de particiones de x-1 intentos en dos grupos con k-1 exitos correspondientes al grupo 1 y x-k fracasos correspondientes al grupo 2. Este numero lo da el termino:
donde cada uno es mutuamente excluyente y ocurre con igual probabilidad
5.2 Definicion
Si en una serie de pruebas identicas e independientes pueden resultar en un exito con una probabilidad p y en un fracaso con una probabilidad q = 1-p, entonces la distribucidn de probabilidad de la variable aleatoria X, que represents el numero de pruebas necesarias hasta obtener k exitos es:
b'(x;k,p) = Kk ~ b
p kq x k,x = k,k + \,k + 2,...
donde k es el numero de exitos que se desean, p es la probabilidad de exito en cada prueba y q = 1-p.
5.3 Media y Varianza.
Si X es una variable aleatoria binomial negativa con parametros p y k, entonces la media y la varianza de X son:
H = E { X ) = - y cr2 = var(X) =
P P
5.4 Graficas de la distribucion.
A continuacion se presentan algunas formas que puede tomar la distribution binomial negativa con el mismo pardmetro k y diferentes valores de p.
a) Comportamiento de la distribution binomial negativa con k = 3, p = 0.5, q = 0.5
X m
3 0.13
4 0.19
5 0.19
6 0.16
7 0.12
8 0.08
b) Comportamiento de la distribution binomial negativa con k = 3, p = 0.2
X m
3 0.01
4 0.02
5 0.03
6 0.04
7 0.05
C) Comportamiento de la distribution binomial negativa con k = 3, p = 0.8
X m
3 0.51
4 0.31
5 0.12
6 0.04
7 0.01
8 0.003
Ejemplo 5.1
En un proceso de manufacture se sabe que el 2% de las piezas producidas son defectuosas. <j,Cual es la probabilidad de que la sexta pieza inspeccionada sea la segunda pieza defectuosa?
Solution:
Utilizando la distribution binomial negativa con x = 6,k = 2 y p = 0.02, se tiene:
b*(x\k,p) =' x - l '
vk ~ bPkr k
b*(6; 2, 0.02) = (0.02)2(0.98)4 =0.0018
Ejemplo 5.2
Un cientifico inocula varios ratones, uno a la vez, con un germen de una enfermedad hasta que obtiene 3 que la han contraido. Si la probabilidad de contraer la enfermedad es 0.2, ^Cual es la probabilidad de que se requieran 7 ratones?
Solution:
tiene
Utilizando la distribution binomial negativa con x = l , k = 3 y p = 0.2
b*(x;k,p) = x -1
k - \ Pkr k,x k,k +1,...
se
6 *(7,3,0.2) ' 7 - 1 ,3-1 \
(0.2)3(0.8)4 =0.049152
5.5 Ejercicios propuestos
1. Suponga que la probabilidad de que una persona determinada crea una historia acerca de los atentados a una famosa actriz es 0.7. ^Cual es la probabilidad de que la quinta persona que escucha tal historia sea la tercera que lo crea?
2. Los registros indican que una cierta vendedora tiene exito en formalizar una venta en 40% de sus entrevistas. ^Cual es la probabilidad de que esta vendedora tenga que tratar 8 personas para que realice dos ventas?
3. Si la probabilidad de que cierto instrumento de medicion sufra una desviacion excesiva es 0.03, ^cual es la probabilidad de que el octavo de los instrumentos probados sea el segundo en mostrar esa desviacion?
4. Un tirador experto da en el bianco el 90% de las veces. ^Cual es la probabilidad de que fade por tercera ocasion en su decimo tiro?
5. Los expedientes de una compama de albercas indican que la probabilidad de que una de sus nuevas albercas requiera reparacion en el plazo de un aho es de 0.10. <j,Cual es la probabilidad de que la novena alberca construida en un aho determinado sea la segunda en requerir reparacion en ese lapso?
6. La probabilidad de que una persona que vive en una cierta ciudad tenga antena parabolica en su casa se estima en 0.10. Encuentre la probabilidad de que la octava persona entrevistada aleatoriamente en esta ciudad sea la cuarta persona que tenga antena parabolica en su domicilio.
7. Encuentre la probabilidad de que una persona que lanza un dado equilibrado obtenga el tercer seis en un decimo lanzamiento.
8. En un departamento de control de calidad se inspeccionan las unidades terminadas que provienen de una linea de ensamble. Se piensa que la proporcion de unidades defectuosas es de 0.05.
a) 6Cual es la probabilidad de que la vigesima unidad inspeccionada sea la segunda que se encuentre defectuosa?
6. LA DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA
6.1 Descripcion.
Supongase que se quiere conocer el numero de articulos defectuosos presentes en una muestra de tamaho n, extraida de un lote que contiene en total N articulos de los cuales k estan defectuosos. Si la muestra es extraida de tal forma que, en cada extraccion sucesiva, cualquier articulo que se haya quedado en el lote tenga la misma oportunidad de ser elegido. La probabilidad de que en la primera extraccion haya un articulo defectuoso es k / N, pero en la segunda
extraccion es ——- o — dependiendo de que en la primera extraccion se
haya obtenido o no un articulo defectuoso.
En general, el interes que se tiene es en la probabilidad de seleccionar x exitos de los k posibles resultados o articulos tambien considerados exitos y n - x
fracasos de los N - k posibles resultados o articulos tambien considerados fracasos, cuando una muestra aleatoria de tamaho n se selecciona de N resultados o articulos totales. Asi, los x exitos pueden ser elegidos de los k
posibles resultados de maneras. Los n - x fracasos pueden ser elegidos de
los N - k posibles resultados de
n - x fracasos pueden elegirse de
N - k
\ n ~ x Jformas y, en consecuencia,* exitos y
formas. Asimismo, n objetos pueden
Kn - x j rN'
elegirse de un conjunto de N objetos de maneras; lo cual da origen a la
formula general de la distribucibn hipergeometrica.
h(x; N, n, k) =*
( N- k >
Kn - x J
/N\ x = 0,1,2, ...n
\ nJ
Un experimento con distribucion hipergeometrica es aquel que posee las siguientes caracteristicas:
1. Una muestra aleatoria de tamaho n se selecciona sin reemplazo de un total de N resultados u objetos totales.
2. k resultados u objetos del total N pueden clasificarse como exitos y N - k
6.2 Definicion.
La distributor) de probabilidad de ia variable aleatoria hipergeometrica X, que representa el numero de exitos en una muestra aleatoria de tamano n seleccionada de N resultados posibles, de los cuales k son considerados como exitos y N - k como fracasos es:
h(x; N, n,k) =
( k )( N - k \
w
[ n - x )f xAN , x = 0,1,2,..., n
Los parametros de la distribucion son el tamano de la muestra n, el tamano de la poblacion N y el numero de exitos en la poblacion k.
6.3 Media y Varianza.
Si X es una variable aleatoria hipergeometrica con parametros N, k y n, entonces la media y la varianza de X son:
a 1 = var(X ) = n — -n
N - k N
\r N - n \ N - \ )
6.4 Grafica de la distribucion.
A continuacion se presentan algunas formas que puede tomar la distribucion hipergeometrica para diferentes valores de k.
a) Comportamiento de la distribucion hipergeometrica para N = 15, n = 5, k = 7
X / «
0 0.0186
1 0.1632
2 0.3916
3 0.3263
4 0.0932
b) Comportamiento de la distribution hipergeometrica para N = 15, n = 5, k =6
X
m
0 0.4120 ■
1 0.2517
2 0.4196
3 0.2398
4 0.0450
5 0.0020
c) Comportamiento de la distribucion hipergeometrica para N = 15, n = 5 ,k = 5
X / w
0 0.0839
1 0.3497
2 0.3996
3 0.1499
4 0.0167
5 0.0003
Ejemplo 6.1
En una planta industrial se emplea una regia de aceptacion para los articulos producidos antes de ser embarcados. Para lotes de 30 articulos que son preparados para su embarque, se selections una muestra de 4 articulos para su revision. Si se encuentra alguno defectuoso el lote se regresa para inspeccionar los 30 articulos, en caso contrario el lote se embarca.
a) i,Cual es la probabilidad de embarcar un lote que contenga dos articulos defectuosos?
b) i,Cual es la probabilidad de regresar un lote que contiene solo un articulo defectuoso?
Solution:
a) Sustituimos x = 0,N = 30 y k = 2 en la formula • de la distribucion hipergeometrica y obtenemos que la probabilidad de embarcar un lote con dos artlculos defectuosos es:
h(0,30,4,2)=
'28'
,0, ^30^
V^y
= 0.01379
b) Sustituyendo * = 1,7V = 30 y k = 1, se tiene que la probabilidad de regresar un lote que contiene solo un defectuosos es:
h(1,30,4,1)= f n
f29i
u
'30^
v4 y
= 0.1333
Ejemplo 6.2
En una fabrica se emplea un proceso de aceptacion para cajas de 40 artlculos. La regia consiste en examinar una muestra de 5 artlculos y aceptarla si ninguno resulta defectuoso. Para una caja con 6 defectuosos, hallar la probabilidad de:
a) Que la muestra contenga exactamente 3 artlculos defectuosos. b) Que la muestra contenga exactamente 3 artlculos buenos.
c) Que la muestra contenga mas artlculos buenos que defectuosos. d) Aceptar una caja.
e) Rechazar una caja.
Solucion:
Si distinguimos un artlculo defectuoso como exito y a uno buenos como fracaso, entonces el problema satisface las caracterlsticas de una distribucion hipergeometrica con 7V = 40,£ = 6,« = 5 y X que denota el numero de artlculos defectuosos en la muestra, puede tomar los valores x = 0,1,2,3,4,5. Por lo tanto
h(3,40,5,6)=
f35l
b>b J
'40^y
= 0.0090
b) Lo que se pide en este inciso, equivale a tener 2 articulos defectuosos en la muestra, esto es * = 2, asf
h(2,40,5,6)=
f 5l f 35)
b J b J
'40^
y
= 0.0995
c) La muestra contiene mas articulos buenos que defectuosos si X toma los valores x = 3,4,5, por tanto
X > (* . 40,5,6) =
( 35'
f 5l f 35] r5 l f 35l
b J b
)b J b J y J b J
*=3 f 4 0 ^
b ) b ) V
40 = 0.00927
d) El lote se acepta si ninguno es defectuoso, esto es si x = 0, por lo tanto
h(0,40,5,6)=
W S S '
f i h y ^40^
y
= 0.4934
e) Sabemos que: P(aceptar una caja)+P(rechazar una caja)=1, de donde
P(rechazar una caja)=1-P(aceptar una caja)
= 1
-'35'
A y , ^40^
y
6.5 Ejercicios propuestos:
1. Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha colocado 6 tabletas de narcotico en una botella que contiene 9 pildoras de vitamina que son similares en apariencia. Si el oficial de la aduana selecciona 3 tabletas aleatoriamente para analizarlas, ^cual es la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesion ilegal de narcoticos?
2. De un lote de 10 proyectiles, 4 se seleccionan al azar y se disparan. Si el lote contiene 3 proyectiles defectuosos que no explotaran, ^cual es la probabilidad de que
a) los 4 exploten?
b) a lo mas 2 no exploten?
3. Un comite de 3 integrantes se forma aleatoriamente seleccionando de entre 4 doctores y 2 enfermeras. Escriba una formula para la distribucion de probabilidad de la variable aleatoria X que representa el numero de doctores en el comite. Encuentre p(2<X<3)
4. i,Cual es la probabilidad de que una mesera se rehuse a servir bebidas alcoholicas unicamente a 2 menores de edad, si verifica aleatoriamente solo 5 identificaciones de entre 9 estudiantes, de los cuales 4 no tienen la edad suficiente?
5. Una compahia esta interesada en evaluar sus actuates procedimientos de inspeccion en el embarque de 50 articulos identicos. El procedimiento es tomar una muestra de 5 piezas y autorizar el embarque si se encuentra que no mas de 2 estan defectuosas. ^Que proportion del 20% de embarques defectuosos seran autorizados?
6. Una compahia manufacturer utiiiza un esquema para aceptacion de los articulos producidos antes de ser embarcados. El plan es de 2 etapas. Se preparan cajas de 25 para embarque y se selecciona una muestra de 3 para verificar si tiene algun articulo defectuoso. Si se encuentra uno, la caja entera se regresa para verificarla al 100%. Si no se encuentra ningun articulo defectuoso, la caja se embarca.
a) i,Cual es la probabilidad de que se embarque una caja que contiene 3 articulos defectuosos?
b) i,Cual es la probabilidad de que una caja que contiene solo un articulo defectuoso se regrese para verification?
7. Un club de estudiantes extranjeros tiene en sus listas a 2 canadienses, 3 japoneses, 5 italianos y 2 alemanes. Si se selecciona un comite de 4 estudiantes aleatoriamente, encuentre la probabilidad de que
a) Esten representadas todas las nacionalidades;
8. En 15 experimented que estudian las caracteristicas electricas de celdas fotoelectricas, 11 usan microelectrodos de metal y los otros 4 emplean microelectrodos de vidrio. Si dos de los experimentos son cancelados por razones financieras y si esta cancelacion se realizo al azar, ^cuales son las probabilidades de que
a) Ninguno de los dos experimentos cancelados empleasen microelectrodos de vidrio:
b) Solamente uno de los que empleaban microelectrodos de vidrio fue cancelado;
c) Ambos experimentos cancelados utilizaban microelectrodos de vidrio?
9. Un cargamento de 120 alarmas contra robo contienen 5 defectuosas. Si tres de ellas son seleccionadas aleatoriamente y embarcadas para un cliente, encuentra la probabilidad de que al cliente le toque una defectuosa, utilizando a) La formula de la distribucion hipergeometrica;
La formula de la distribucion binomial como una aproximacion.
10. Una empresa compra lotes grandes de pina que vienen en rejas que contiene 30 pinas. El criterio empleado para comprar el lote es el siguiente: se revisan al azar 3 pinas de una caja; si las tres pinas estan en buenas condiciones se compra el lote. En caso contrario no se compra. Si se sabe que el 10% de la produccion no esta en buenas condiciones, calcular la probabilidad de que se compre el lote.
H .E ntre los 12 colectores solares en exhibicion es una feria comercial, 9 son colectores pianos y los otros son colectores de concentration. Si una persona que visita la feria selecciona aleatoriamente cuatro de los colectores para examinarlos, ^cual es la probabilidad de que tres de ellos sean colectores pianos?.
12. Un ingeniero de control de calidad inspecciona una muestra aleatoria de 3 acumuladores de cada lote de 24 que est£n listos para ser embarcados. Si un lote contiene seis acumuladores con pequenos defectos., ^cuales son las probabilidades de que la muestra del inspector contenga
a) ninguna de las baterias con defectos; b) solamente una de las baterias defectuosa;
LA DISTRIBUCION POISSON
7.1 Descripcion.
Los experimentos que resultan en valores numericos de una variable aleatoria X, que representa el numero de resultados durante un intervalo de tiempo dado o en una region especifica, son conocidos como experimentos de Poisson. El intervalo de tiempo dado puede ser de cualquier duracion, por ejemplo un minuto, un dia, una semana, un mes, o inclusive un afio. Algunos ejemplos tipicos en este tipo de experimentos son el numero de personas que llegan a una tienda de autoservicio en un tiempo determinado, el numero de llamadas telefonicas por hora que reciben en una oficina, o el numero de huracanes al afio que afectan cierta area de la republica mexicana. La region especifica podria ser un segmento de linea, un area, un volumen o bien un pedazo de material. En este caso algunos ejemplos tipicos son el numero de defectos en piezas similares de un material, el numero de errores por pagina que presentan ciertos libros, o el numero de bacterias en un determinado cultivo. La distribucion Poisson es el principal modelo de probabilidad empleado para analizar problemas de lineas de espera.
Un experimento de Poisson tiene las siguientes caracteristicas:
1. El numero de resultados que ocurren en un intervalo de tiempo o region especifica es independiente del numero que ocurren en cualquier otro intervalo de tiempo o region especifica.
2. El numero de resultados del experimento en un intervalo de tiempo o region especifica no tiene influencia alguna sobre el numero de ocurrencias del experimento en otro intervalo de tiempo o region especifica diferente al anterior.
3. La probabilidad de dos o mas resultados en un intervalo de tiempo tan corto o en una region especifica tan pequena es despreciable o aproximadamente cero.
7.2 Definicion.
La distribucion de probabilidad de la variable aleatoria de Poisson X, que representa el numero de resultados que ocurren en un intervalo de tiempo dado o en una region especifica es:
P{x,X) = ^ - , x = 0,1,2,...
x\
7.3 Media y Varianza.
Si X es una variable aleatoria Poisson con parametro/l, entonces la media y la varianza de Xson:
ju - E(X) = X y a 2 = vai(X) = X
7.4 Grafica de la distribucion.
A continuacion se presentan algunas formas que puede tomar la distribucion Poisson para diferentes valores de X .
a) Comportamiento de la distribucion Poisson para X -1
X / m
. 0 0.3679
1 0.3679
2 0.1839
3 0.0613
4 0.0153
5 0.0031
b) Comportamiento de la distribucion Poisson para X = 2
X / m
3 0.1353
4 0.2707
5 0.2707
6 0.1804
7 0.0902