CAPÍTULO 5
MOVIMIENTOS BÁSICOS EN EL PLANO
5.1 SIMETRÍA CENTRAL
La simetría respecto a un punto O, de un plano , es el movimiento de α que envía a O en O, y a cada punto A, distinto de O, lo envía en un punto A’, donde O es punto medio del segmento AA’. Ver figura 5.1.
Fig.5.1
Denotemos una semirrecta r de origen O, contenida en , por Or
y sean S, S’ los semiplanos limitados por la recta que la contiene. Según la definición de simetría de centro O, la semirrecta Or es enviada en su opuesta Or
' y S en S’. Además, por el axioma A22, sólo existe un movimiento de α que satisface esta propiedad. De otra parte, si convenimos en llamar σ esta simetría, se tiene o = i (la compuesta de una simetría central consigo misma es la idéntica), esto es, (
)(A) = A, para todoA
A’ O
punto A de α. De esto se deduce que la inversa de es la misma , ¿por qué?, ver Fig. 5.1 y Fig.5.2.
Fig.5.2
Si una figura se transforma en otra figura mediante una simetría de centro O, se dice que son simétricas respecto a O. Si A y A’ son puntos simétricos respecto de O y A es diferente de O, entonces también A’ es diferente de O. En efecto, la primera afirmación implica que d(A, O) = d (A’, O), por tanto, d (A’, O) es distinta de cero, ya que conserva distancia. Una simetría respecto a un punto O recibe el nombre de simetría de central.
TEOREMA 5.1
Dos rectas simétricas, respecto a un punto, son paralelas.
Demostración Sean α un plano, O un punto de α, : una simetría de centro O, ℓ una recta contenida en y ℓ’ su recta simétrica. Esto es, σ (ℓ) = ℓ’. Si O ℓ, (ℓ) = ℓ’ = ℓ, ¿por qué? Luego, se cumple que ℓ ℓ’, pues toda recta es paralela consigo misma. Si O ℓ se cumple ℓ ℓ’. Mostremos que ℓ ℓ’, por reducción al absurdo. Si ℓ ℓ’, ellas se cortan en un punto P; pero, P’ su simétrico es distinto de O y de P, ¿por qué? Como el simétrico de P es P’ y viceversa, se tiene que P y P’ están tanto en ℓ como en ℓ’. Así, ℓ = ℓ’, ¿por qué?, lo cual es falso. En consecuencia, ℓ ℓ’.
5.2 SIMETRÍA AXIAL
La simetría respecto a una recta ℓ, contenida en un plano α, es el movimiento de α que envía cada punto A de ℓ en A, y si A es un punto exterior a ℓ lo envía en un punto A’, donde ℓ AA' en su punto medio. La recta ℓ se llama eje de simetría.
r r’
O S
Fig.5.3
En la figura 5.3, los puntos A y A’ son simétricos respecto a la recta ℓ, pues ℓ AA' y ℓ corta a AA' en su punto medio. Una simetría respecto a una recta, se conoce como simetría axial.
Si O es un punto de una recta ℓ, contenida en un plano α, ésta se divide en dos semirrectas opuestas y ℓ determina en α dos semiplanos S, S’. Según la definición de simetría axial, cada una de estas semirrectas es enviada en ella misma, ya que cada punto de ℓ es enviado en sí mismo. Además, S es enviado en S’ y S’ en S. Por el axioma A22, sólo existe un movimiento de α que satisface esta propiedad.
La recta que contiene la bisectriz de un ángulo es eje de simetría del ángulo, es decir, cada uno de los dos ángulos que determina la bisectriz es el simétrico del otro respecto a la recta que contiene a la bisectriz. ¿Por qué?, ver figura 5.4.
Fig. 5.4
TEOREMA 5.2
Por un punto sólo pasa una perpendicular a una recta dada.
está en ℓ, pasan al menos dos perpendiculares a ℓ diferentes. Cada una de las rectas forma un ángulo recto en P con ℓ. De esta manera alrededor de P, en un semiplano que contenga a ℓ, se forma un ángulo llano de medida mayor a 180 grados, lo cual es absurdo. Por tanto, las dos perpendiculares son iguales, y esto prueba el teorema para el primer caso. Ahora, supóngase que P es exterior y que hay por lo menos dos perpendiculares de este punto a ℓ. Esto conduce a que P tiene al menos dos simétricos respecto a ℓ, uno en cada perpendicular. Lo cual no es posible, pues la simetría axial es una función. Completamos así la prueba del teorema.
La compuesta de una simetría axial consigo misma es el movimiento idéntico. Es decir, si σ es el nombre de una simetría axial, entonces
= i. O, también, (
) (A)= A, para todo punto A del plano, ¿por qué?Si A es un punto de una circunferencia de centro O, la perpendicular t, al radio OA en A, es tangente a la circunferencia en A. En efecto, si t tiene otro punto B en común con la circunferencia es porque AOB es isósceles y, en consecuencia, A B, ¿por qué? Por tanto, existen dos perpendiculares desde O a la recta AB, lo cual es una contradicción. El axioma de la métrica de una recta, A14, garantiza que a cada punto de ésta le corresponde de manera única un número real, coordenada del punto. Usaremos este axioma para asignarle a cada punto del plano euclidiano una pareja de números reales. Para este fin, sean x, y dos rectas de un plano α que se cortan perpendicularmente en un punto O y P
un punto de α, distinto de O. Ver Fig.5.5.
Fig.5.5
α
x y
O a
Al punto O le hacemos corresponder coordenada cero en cada una de las rectas x, y, lo que se denota por O = (0, 0). Tracemos por P dos perpendiculares: una a x y la otra a y. Estas perpendiculares las cortarán, respectivamente, en dos puntos de coordenadas a y b. Se dice en este caso que P tiene coordenadas a, b, denotado por P = (a, b); a se llama abscisa y b
se denomina ordenada. El plano euclidiano, donde cada punto P tiene coordenadas (a, b) se llama plano cartesiano y la pareja (a, b) son las coordenadas cartesianas de P, en honor al matemático francés René Descartes (1596 – 1650), uno de los inventores de la geometría analítica. En vista del teorema 5.2 y del axioma A14, a cada punto del plano le corresponde sólo una pareja de números reales y viceversa.
TEOREMA 5.3 (primer teorema de la bisectriz)
Un punto P, interior a un ángulo, es un punto de su bisectriz si, y sólo si, P equidista de los lados del ángulo.
Demostración Sean r, r’ las semirrectas del ángulo, O su vértice y P un punto interior a rOr’ y en su bisectriz. Tracemos por P perpendiculares a los lados del ángulo dado, ver Fig. 5.6. Probemos que AP = A’P. Sea B el simétrico de A respecto a OP (B Or' , ¿por qué?).
Fig. 5.6
De ahí, el simétrico de OAP es OBP; es decir, OBP es recto. Por tanto, PB AB
. Luego, B = A’, ¿por qué? Como el movimiento conserva las distancias, AP = A’P. O sea, P equidista de los lados de rOr’.
Los conjuntos de puntos del espacio, suelen nombrarse dando una propiedad que satisfagan sólo los puntos que lo formen. En este caso, el conjunto se llama lugar geométrico. De esta manera, los siguientes conjuntos de puntos de un plano son lugares geométricos: segmento, región angular, región triangular, región poligonal, circunferencia, círculo, cuadrado, etc. ¿Qué propiedades geométricas tienen los puntos de estos conjuntos? Por lo anterior, puede decirse que: el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto fijo O, en el plano, una distancia fija, es una circunferencia; el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los extremos de un segmento, en el plano, es la mediatriz del segmento; el lugar geométrico de los puntos, del plano, interiores a un ángulo contenido en él, que equidistan de sus lados, es la bisectriz del ángulo.
TEOREMA 5.4
Por tres puntos no colineales sólo pasa una circunferencia.
Demostración Sean A, B, C los puntos y m1, m2 las mediatrices respectivas de AB y BC, ver Fig. 5.8.
Fig. 5.8
TEOREMA 5.5 Criterio de congruencia LLL (lado-lado-lado)
Si un triángulo tiene sus tres lados, respectivamente, congruentes, a los tres lados de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.
Demostración Supongamos que en ABC y A’B’C’, AB = A’B’, AC = A’C’, BC = B’C’ (Fig. 5.9). Sea 1 el movimiento que lleva la semirrecta A’B’ en la semirrecta AB y el
semiplano que contiene a C’ en el semiplano que está a la derecha de la semirrecta AB. Este movimiento transforma A’B’C’ en ABC”, siendo AC” = A’C’ y B’C’ = BC”, porque 1 conserva las distancias. Es decir, A’B’C’ ABC”. Así, A y B equidistan de C y C”. O sea, la recta AB es mediatriz del segmento CC”. Sea, ahora, 2 el movimiento
simetría respecto a la recta AB. En este movimiento C y C” son simétricos y A, B quedan fijos. Como la compuesta de dos movimientos del plano es un movimiento, axioma A.20, cap. 4, se deduce que 2
1 es un movimiento. Además, tenemos que 2
1 aplicado aA’B’C’ da ABC. ¿Por qué? Por tanto, ABC A’B’C’, por la definición de congruencia entre figuras del plano.
Fig. 5.9
Resolver ejercicios 5.1, 5.3 y 5.16.
5.3 TRASLACIONES
Si A, B son puntos de un plano α, la traslación AB, denotada por AB, es el movimiento
de α que envía cada punto P en un punto P’ con AB
PP'
(vector AB congruente con vector PP’).
de la recta AB en otro punto de ella. Además, cada punto de esta recta es imagen de algún punto de la recta AB, o AB(A)=B y AB(AB
) = AB .
Fig.5.10
Si S, S’ son los semiplanos que determina la recta AB en el plano α, a partir de la definición de traslación AB, se tiene que ésta envía la semirrecta AB en otra semirrecta BC (colineal con la semirrecta AB), a S en S y a S’ en S’(cada semiplano en sí mismo), ¿por qué? Por el axioma A22, sólo existe un movimiento que cumple esta propiedad. De la definición de traslación, también, se deducen: La inversa de la traslación AB es la traslación BA; esto es, AB
-1
= BA. Las traslaciones AB y CD de un mismo plano son iguales (es decir,
producen el mismo efecto) sólo si los vectores AB y CD son congruentes, o sea, AB = CD
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ¿por qué?
TEOREMA 5.6
Si en el plano r es una recta y AB una traslación y AB (r) = r’, entonces r r’. 1
Demostración. Si A = B o A distinto de B y AB
r, el teorema se verifica directamente, ¿por qué? Supongamos, ahora, que las rectas AB y r no son paralelas y se cortan en un punto Q, cuya imagen Q’ es el punto de corte de las rectas AB
y r’. Demostremos, por reducción al absurdo, que r r’. Si r y r’ no son paralelas, se cortan en punto P de imagen P’ en r’, las rectas PP’ y r’ son iguales y AB
PP'
. De ahí que las rectas AB y r’ son paralelas, lo cual es falso por lo ya dicho anteriormente. Luego, r r’.
Resolver ejercicios 5.12, 5.15 y 5.17.
1
O también: en el plano, las rectas obtenidas por traslación son paralelas.
A B
P P’
TEOREMA 5.7
La suma de dos vectores es conmutativa y, por tanto, la compuesta de dos traslaciones, del mismo plano, es conmutativa y es una traslación.
Demostración Puede suponerse que los dos vectores son consecutivos, pues si no lo son,
buscamos un vector congruente al segundo que sea consecutivo del primero. Sean AB
y BC
los dos vectores. Debemos probar que AB
+ BC
= BC
+AB
. Para ello tracemos el vector AD congruente con el vector BC y probemos que AB
CD
. En la traslación AB, la imagen de A es B; y como los vectores BC y AD son congruentes, la imagen del segmento AD es el segmento BC. Esto es, la imagen de D es C. Luego, AB
CD
. De ahí que AB
+ BC
= BC
+AB
, ¿por qué? Lo cual también prueba que las traslaciones conmutan o AB o BC = BC o AB y AB o BC es la traslación AC, ¿por qué?
Fig.5.11
Si r y s son dos rectas diferentes, cortadas por una recta t en puntos distintos, ver Fig.5.12, entonces: Los ángulos d, c, f, e se llaman ángulos internos, mientras que los ángulos a, b, h, g se llaman ángulos externos. Los pares de ángulos f y d, e y c se llaman ángulos alternos internos a y g, b y h se llaman ángulos alternos externos, los ángulos f y c, e y d se llaman ángulos conjugados. Los pares de ángulos del mismo semiplano respecto a t, uno interno y otro externo no adyacente, se llaman ángulos correspondientes, por ejemplo, f y b. 2
2Pensamos que esta definición gráfica, en este caso, elimina las dificultades de una bien rigurosa,
aunque puede ensayarse ésta como ejercicio mental.
A
B C
Fig. 5.12
TEOREMA 5.8
Si r y s son dos rectas diferentes, cortadas por una recta t en puntos distintos, entonces r s si, y sólo si,
1. Los ángulos alternos internos son congruentes.
2. Los ángulos alternos externos son congruentes.
3. Los ángulos correspondientes son congruentes.
4. Los ángulos conjugados son suplementarios.
Demostración. Ver figura 5.12. ) Si r s, en la traslación AB, se tiene AB (A) = B y AB (s) = r. Luego, f b, pues b es imagen de f en el movimiento AB. La
congruencia de los ángulos alternos internos y alternos externos, se deduce del teorema de los ángulos opuestos por el vértice y del hecho de que un ángulo llano mide 180º. También se infiere que los ángulos conjugados son suplementarios. (Complete los detalles.)
) Supongamos la congruencia entre los ángulos anotados en el enunciado del teorema. Puesto que f b, entonces AB (A) = B implica que AB (s) = r. ¿Por qué? Por tanto,
r s.
TEOREMA 5.9
En un triángulo: 1) La suma de los ángulos interiores es igual a un ángulo llano3. 2) Un ángulo exterior es igual a la suma de los dos ángulos interiores no contiguos a él.
Demostración. 1) Dados ABC con A, B y C orientados positivamente, por ejemplo, y ℓ la recta paralela a la recta AB por el punto C; y D, F puntos de ℓ, de modo que D - C - F. Así resulta: DCA CAB, por alternos internos entre paralelas; FCB CBA, por la razón anterior. Además, DCA + ACB + BCF = un ángulo llano. Por tanto, la suma de
3Para la suma de ángulos no consecutivos, se sustituyen los ángulos dados por ángulos respectivamente
los ángulos CAB, ACB, CBA es, también, un ángulo llano. 2) Para demostrar la segunda parte del teorema se trazan uno de sus ángulos exteriores y una paralela por su vértice al lado opuesto. Luego se aplica el teorema 5.8.
Haciendo uso del teorema anterior, pueden demostrarse: 1) En un triángulo rectángulo, los ángulos agudos suman un ángulo recto. 2) La suma de los ángulos interiores de un polígono convexo, de n lados, es (n-2) veces un ángulo llano. Y aplicando 2), puede probarse que: 3) Si en cada vértice de un polígono convexo de n lados se traza un ángulo exterior, la suma de estos ángulos es igual a dos ángulos llanos.
TEOREMA 5.10
Los lados opuestos de un cuadrilátero ABCD convexo son congruentes entre sí, si, y sólo si, el cuadrilátero ABCD es un paralelogramo.
Demostración. ) Por hipótesis AD = BC y AB = DC, ver Fig. 5.13. En el cuadrilátero ABCD tracemos la diagonal AC. De ahí, ABC ADC por LLL. En consecuencia,
BCA CAD y BAC ACD. Por tanto, los lados AD y BC son paralelos, lo mismo los lados AB y DC, por el teorema 5.8 Es decir, ABCD es un paralelogramo.
Fig.5.13
) Esta implicación se deduce aplicando el teorema 5.8 y el criterio de congruencia triangular ALA.
TEOREMA 5.11
Un cuadrilátero ABCD convexo tiene los ángulos opuestos congruentes entre sí, si, y sólo si, el cuadrilátero ABCD es un paralelogramo.
Demostración. Ver figura 5.13. Por hipótesis A C y B D. Sean m( B) = x, m( A) = y y F un punto tal que B-C-F . Entonces, 2x + 2y = 360º, y así, x + y = 180º. Esto implica que FCD B, con lo cual los lados DC y ABson paralelos, por teorema 5.8 De otro lado, de la congruencia entre los ángulos D y B se infiere la de los ángulos D y FCD, por tanto, los lados BC y AD son paralelos, por teorema 5.8 Es decir, el cuadrilátero ABCD es un paralelogramo.
TEOREMA 5.12
Las diagonales de un cuadrilátero ABCD convexo se bisecan4 si, y sólo si, el cuadrilátero ABCD es un paralelogramo.
Demostración. (Se deja como ejercicio).
TEOREMA 5.13
1) En un paralelogramo, el segmento que une los puntos medios de dos lados opuestos es congruente y paralelo a los otros dos lados.
2) En un trapecio, el segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos es paralelo a las dos bases, y su longitud es la semisuma de las longitudes de éstas.
3) En un triángulo, el segmento que une los puntos medios de dos lados es paralelo al otro lado, y su longitud es igual a la mitad de la longitud de este lado.
Demostración. 1) Es una consecuencia directa de las propiedades de una traslación. 2) Dados trapecio ABCD y M, N puntos medios de los lados no paralelos, ver Fig. 5.14.
Fig.5.14
Construyamos el trapecio simétrico a éste, respecto al punto N; es decir, el trapecio A’B’DC, siendo D el simétrico de C y viceversa. Como las rectas simétricas en la simetría respecto a N son paralelas, obtenemos el paralelogramo AB’A’B, del cual M y M’ son puntos medios de los lados AB y A’B’. Esto quiere decir que BA’ = MM’ = AB’. Como AD = CA’ y BC = DB’ (por las propiedades del movimiento), entonces, además de ser los
segmentos BC, MN y AD paralelos, se deduce que MN = 1
2(BC + AD). La prueba de 3 es similar.
Por reducción al absurdo, y con ayuda del teorema anterior, puede probarse que: Tanto en un trapecio como en un triángulo, la paralela a una base, trazada por el punto medio de un lado, corta al otro lado en su punto medio. Este teorema justifica el siguiente método para dividir un segmento dado en n segmentos congruentes (n = 2,3,...). Fig. 5.15.
4Intersecarse en el punto medio.
A M
B C
N
A’
M’
Fig. 5.15
Para dividir, por ejemplo, un segmento AB en 5 segmentos congruentes, trazamos sobre una semirrecta de origen A, no contenida en la recta AB, ni opuesta, cinco segmentos consecutivos congruentes, cuyos extremos son A, M’, N’, P’, Q’ y B’. Por los puntos Q’, P’, N’, M’ trazamos paralelas al segmento BB’. Los puntos M, N, P, Q, de intersección de dichas paralelas con el segmento dado, lo dividen en cinco segmentos congruentes.
Resolver ejercicios 5.2, 5.4, 5.5, 5.6, 5.7, 5.8, 5.9, 5.10 y 5.11.
5.4 ROTACIONES
Si O es un punto de un plano α, la rotación de n grados y centro O es el movimiento de α que envía a O en O, y a un punto A, diferente de O, lo envía en un punto A’, donde m ( AOA’) = n y d (O, A) = d (O, A’) 5 .
La figura 5.16, muestra cómo se halla la imagen de un punto A de un plano α: 1) Se traza una semirrecta Or que pase por A. 2) Se traza otra semirrecta Or’, formando con la anterior un ángulo orientado de n grados. 3) Se halla en Or
’ un punto A’ con d (O, A) = d (O, A’). Este punto es la imagen de A. El ángulo rOr’ se llama ángulo de rotación, y su medida puede ser positiva o negativa, según la orientación.
Si
es una rotación de ángulo
rOr’ y centro O en un plano α y Or
, Or'
son fronteras de los pares de semiplanos S y S’, T y T’, respectivamente, entonces, según la definición de rotación,
(Or
) = Or'
,
(S) = T,
(S’) = T’. Por el axioma A22,
es el único movimiento que satisface esta propiedad. Ver figura 5.17.
5Esta condición de la distancia no es necesaria, pues el movimiento conserva distancia; su inclusión
pretende sólo enfatizar este hecho.
A M N P Q B M’
N’ P’
Q’
Fig.5.16
También se desprenden de la definición de rotación los siguientes resultados: 1) La inversa de una rotación de ángulo orientado rOr’ y centro O es una rotación de ángulo orientado r’Or y centro O(es decir, si la una es de n grados, la otra es de – n grados). 2) La compuesta de dos rotaciones del mismo centro es conmutativa y es otra rotación, y el ángulo de rotación de la compuesta es la suma algebraica de los dos ángulos de las rotaciones componentes. 3) Dos ángulos que tienen sus lados, respectivamente, perpendiculares son congruentes o suplementarios.
Fig. 5.17
En la figura 5.18, se muestran los ángulos de rotación de tres rotaciones de centro O: rOr’, orientado positivamente; r’Or”, orientado negativamente; y rOr”, orientado negativamente.
O
A A’
r r‘
Fig. 5.18
EJERCICIOS
5.1 Dado ángulo PAQ, de medida 45º, se sabe que B es un punto en el semiplano que determina la semirrecta AQ que no contiene el punto P; C es interior a PAQ y el simétrico de B respecto al rayo AQ; E y D son los puntos de corte de las perpendiculares trazadas al rayo AP desde B y C, respectivamente. Probar que ABE ADC.
5.2 Dado ABC calcular la medida del ángulo que forman la altura y la bisectriz por A, conocidas las medidas de los ángulos B y C.
5.3 En triángulo ABC el ángulo A es recto; D es el punto medio del segmento BC. Probar que AD = 1
2BC.
5.4 ABCD es un paralelogramo; sus vértices están orientados en el mismo sentido; F y E son puntos medios de DC y AB, respectivamente; M y N son los puntos donde los segmentos DE y BF cortan a AC. Probar que AM = MN = NC.
5.5 ABCD es un cuadrilátero convexo con sus vértices orientados en el mismo sentido; P, Q, R, S son puntos medios de sus lados. Probar que el cuadrilátero PQRS es un paralelogramo.
5.6 Probar que la suma de los ángulos interiores de un polígono convexo de n lados es igual a (n-2) veces dos ángulos rectos.
5.7 ABCDEF es un hexágono convexo de lados y ángulos congruentes y de vértices orientados en sentido positivo. Se trazan las diagonales AE y BD. Probar que el cuadrilátero ABDE es un rectángulo.
5.8 ABCD es un cuadrilátero convexo de vértices orientados en el mismo sentido; calcular los ángulos formados en el punto de corte de las bisectrices de los ángulos A y B, conocidos C y D.
5.9 En un triángulo rectángulo, calcular la medida del ángulo que forman la altura y la mediana que parten del vértice del ángulo recto, conocidas las medidas de sus ángulos agudos.
5.10 Expresar la distancia entre los puntos medios de las diagonales de un trapecio, conocidas las longitudes de sus bases.
5.11 En la figura 5.19 CD = 2a, m( AOB) = , m( COB) = probar que = 3.6
OA = a Fig.5.19
5.12 Verificar gráficamente (use papel sin líneas):
a) Si es una rotación de centro O y es una simetría respecto de un eje que pasa por O, entonces, σ = -1. 7
b) La compuesta de dos simetrías centrales, respecto de dos diferentes centros O1 y O2, es igual a la compuesta de la traslación O1O2 consigo misma.
c) La compuesta entre una simetría de centro O y una traslación BB’ es otra simetría de centro O’, punto medio de OO1, siendo O1 la imagen de O en la traslación BB’. d) La compuesta entre una traslación BB’ y una simetría de centro O, es una simetría
de centro O”, punto medio de OO2, siendo O2 la imagen de O en la traslación B’B. 5.13 Un paralelogramo tiene vértices K, L, M, N, orientados en sentido positivo. Si KL =
5 cm, LM = 3 cm. y m ( K) = 40º, hallar la imagen del paralelogramo KLMN, al aplicarle una rotación de centro en K y ángulo de medida 70º, en sentido positivo. Use papel sin líneas.
5.14 En ABC, AB = 4 cm, BC = 3 cm, AC = 2.5 cm. Encontrar gráficamente (
CB)( ABC), donde CB es la traslación CB y
es la rotación de centro en B
y ángulo de medida +50º . Use papel sin líneas.
5.15 a) Sean C una circunferencia de centro P, y Q un punto de C. Probar que la recta perpendicular al segmento PQ en Q es tangente a C .
b) Demostrar: dos rectas perpendiculares a una tercera son paralelas.
5.16 Nota. Use para cada punto papel sin líneas. a) Sea ℓ una recta fija, trace una recta t
que corte a ℓ formando un ángulo de medida menor que 90º. Encuentre, gráficamente, la recta simétrica a t, respecto de ℓ, en el plano que ellas determinan. b) Sean T un triángulo en el plano y O un punto en dicho plano, exterior a T; encuentre
el simétrico a T, respecto a O, de manera gráfica.
c) Sean T un triángulo en el plano y ℓ una recta contenida en el plano, que no lo interseca, encontrar el simétrico de T, respecto de ℓ, de manera gráfica.
d) Sean T un triángulo en el plano y O uno de sus vértices. Encontrar el simétrico de T, respecto de O, de manera gráfica.
e) Sean T un triángulo en el plano y ℓ una recta que interseca a T en dos puntos, distintos de los vértices, encontrar el simétrico de T respecto a ℓ, de manera gráfica. f) Dibujar un triángulo e idearse un método, sustentado en uno de los teoremas de este capítulo, para trazar una circunferencia tangente a sus tres lados.
5.17 En el plano cartesiano: a) Hallar los simétricos de P = (3, - 5) respecto al origen, el eje x y el eje y. b) Si σ1 es la simetría respecto al eje x, σ2 la simetría respecto al eje y, σ3 la simetría respecto al origen, hallar: (σ2
σ1)(- 3, 4) , (σ2
σ3)(- 3, -2), (σ1
σ3)(3, - 5).c) Si A = (0, 2), B = (6, 2), C = (- 2, 5) y v es el vector de longitud 4 con origen en (0, 0) que forma un ángulo de medida 45 grados con el eje x, hallar v (ABC), donde v es la
traslación v.
5.18 Sean z una recta, P un punto exterior a z con d (P, z) = 4cm y
la rotación de
+70 grados de centro en P. Hallar (z). Use papel sin líneas.
7
DESIDERATA
Camina plácido entre el ruido y la prisa; y piensa en la paz Que se puede encontrar en el silencio.
En cuanto sea posible y sin rendirte, mantén buenas relaciones Con todas las personas.
Enuncia tu verdad en una manera serena y clara; Y escucha a los demás, incluso al torpe e ignorante, También ellos tienen su propia historia.
Esquiva a las personas ruidosas y agresivas, Pues son un fastidio para el espíritu.
Si te comparas con los demás te volverás vano y amargado;
Pues siempre habrá personas más grandes y más pequeñas que tú. Disfruta de tus éxitos lo mismo que de tus planes;
Mantén el interés en tu propia carrera, por humilde que sea; Ella es un verdadero tesoro en el fortuito cambiar de los tiempos.
Sé cauto en tus negocios, pues el mundo está lleno de engaños; Mas no dejes que esto te vuelva ciego para la virtud que existe; Hay muchas persona que se esfuerzan por alcanzar nobles ideales; La vida está llena de heroísmo.
Sé sincero contigo mismo, en especial no finjas el afecto,
Y no seas cinico en el amor, pues en medio de todas las arideces Y desengaños es perenne como la hierba;
Acata dócilmente el consejo de los años,
Abandonando con donaire las cosas de la juventud. Cultiva la firmeza de el espíritu para que te proteja En las adversidades repentinas.
Muchos temores nacen de la fatiga y la soledad. Sobre una sana disciplina, sé benigno contigo mismo. Tú eres una criatura del universo;
No menos que las plantas y las estrellas,
Tienes derecho a existir, y sea que te resulte claro o no, Indudablemente el universo marcha como debiera.
Por eso debes estar en paz con dios, cualquiera que sea tu idea de él; Y sean cualquieras tus trabajos y aspiraciones
Conserva la paz con tu alma en la bullisiosa confusion de la vida. Aún con toda su farsa, penalidades y sueños fallidos
El mundo es todavía hermoso; sé cauto y esfuérzate por ser feliz.
Max Ehrmann
LOS PASAJEROS
Amigo, vamos a abordar un tren. Desde la ventanilla miraremos a los lobos cercándole a la luna, y a la lluvia apagando al firmamento. Tomaremos un break en la campiña donde grazna al Señor, un triste cuervo. Lloverá y volveremos a subir.
Me habré marchado de tu abrazo lejos. Sin darme cuenta de que te has quedado debajo del ciprés que arquea al viento, te contaré las cosas que he callado, y te diré en la boca que te quiero. El tren habrá parado en la comparsa
que de esquina en esquina va hasta el puerto. Después de un rato pitará, y entonces
me iré con él para pasar de lejos.
Delfina Acosta Poetisa paraguaya
POEMA DEL RUISEÑOR
Desde la rama del ciprés dormido el dulce ruiseñor canta a la luna y la invita a bajar hasta su nido.
Ya ves qué casto amor tan sin fortuna..., y eso que el ruiseñor, en un descuido, puede llegar volando hasta la luna.
Envuelto entre la luz embrujadora da al viento el ruiseñor todas las galas que su garganta mágica atesora; y la luna se vuelve toda escalas
de seda y luz... (La luna dizque ignora que su dulce cantor tiene dos alas...)
Calla el agua en los claros surtidores, se aduermen los arroyos cristalinos y se despiertan a escuchar las flores.
y él asciende hasta ella vuelto trinos...
Lleno de sombra y de quietud, como una pupila abierta al cielo indiferente,
un retazo perdido de laguna
sueña en la fronda del jardín... Presiente la pálida belleza de la luna
aquel espejo claro y transparente.
El ruiseñor solloza dolorido envuelto entre la luz embrujadora cuando calla, de pronto sorprendido, porque desde la rama en donde llora advierte que la luna se ha caído y flota sobre el agua onduladora.
Calla el agua en los claros surtidores, se aduermen los arroyos cristalinos y se despiertan a escuchar las flores.
Luna y pájaro, a un tiempo, están divinos... y ella asciende hasta él vuelta fulgores, y él desciende hasta ella vuelto trinos.
El pájaro suplica, impreca y canta, mientras se multiplica a maravilla la flauta de su eclógica garganta... y salta alegre al ver cómo se humilla la luna, que corriendo tras su planta se viene sobre el agua hasta la orilla...
Ante el dulce deliquio que le miente la luna, riendo en el cristal del lago, loco de amor el ruiseñor se siente, y respondiendo al amoroso halago, hunde el pico en el agua transparente y se bebe la luna trago a trago.