Universidad Nacional Aut´
onoma de Honduras
Facultad de Ciencias
Escuela de F´ısica
Medici´
on de la aceleraci´
on de la gravedad en la
UNAH-CU utilizando el p´
endulo simple
Elaborada por Ing Francisco Sol´orzano.
Actualizada y corregida por Fis. Roberto Mej´ıa y Fis. Ricardo Salgado.
Coordinador de la asignatura Fis. Ram´on Ch´avez.
Objetivos
1. Obtener el valor de la aceleraci´on de la gravedad en la UNAH.
2. Analizar la relaci´on periodo-longitud en un p´endulo simple.
Materiales y equipo
1. Bola de Plomo
2. Cinta m´etrica
3. Cuerda o hilo
4. Soporte de mesa con brazo
5. Cron´ometro digital
6. L´apiz grafito
7. Transportadores
m mgsinθ
mgcosθ
`
θmax
mg FT
Figura 1: Diagrama de
fuerzas p´endulo simple Marco te´orico
Un p´endulo t´ıpico como el de la Figura 1. se aproxima tanto m´as a un p´endulo simple cuando la densidad de la masa es constante, perfectamente esf´erica, la cuerda muy ligera, lo menos extensible posible y oscila en un plano.
Para favorecer la no extensibilidad de la cuerda se debe mantener la bola colgada unos dos d´ıas, dando asi un tiempo prudencial para que se estire por acci´on del peso de la bola, manteniendo constante la temperatura en el lugar.
La oscilaci´on de un p´endulo se adapta a un movimiento cuasi-arm´onico, bajo ciertas condiciones:
1. El desplazamiento angular m´aximo debe ser peque˜no en un itervalo de 0 < θ < 10°. Esta condici´on permite aproximar: senθ ≈ θ (ver p´agina 433 Serway 7 edici´on)
2. La segunda es reducir el amortiguamiento por efecto de la
Al aplicar la segunda ley de Newton y utilizando el diagrama de cuerpo libre de la Figura 1, se obtiene la ecuaci´on diferencial de movimiento para el p´endulo simple
d2θ
dt2 =−
g
` senθ (1)
Recordando que si se trabaja con ´angulos peque˜nos la ecuaci´on anterior se puede reescribir como
d2θ dt2 ≈ −
g
`θ (2)
La cual corresponde a la ecuaci´on diferencial de movimiento para un oscilador arm´onico simple
cuya frecuencia angular est´a definida por ω =
r
g
` donde g es el valor de la aceleraci´on de la
gravedad y ` corresponde a la longitud del p´endulo.
Se sabe que el periodo de un oscilador arm´onico est´a dado por:
T = 2π
ω
por tanto, el periodo T para un p´endulo simple se puede escribir como:
T = 2π
s
`
g (3)
Debido a que el problema central consiste en el c´alculo experimental de la aceleraci´on gravitacional la ecuaci´on (3) debe ser despejada para g quedando:
g = 4π 2`
T2 (4)
Procedimiento experimental
Mediciones para obtener g utilizando valores promedio de L y T
m
`
θmax
Transportador
Figura 2:P´endulo simple
1. Se dispone de un p´endulo simple de longitud ` colgado del techo, como se muestra en la Figura 2. Utilizando la cinta m´etrica mida la longitud ` en metros del p´endulo desde el nudo en el punto de pivote hasta el centro de masa de la bola (sea muy preciso en sus mediciones). Anote este valor en la Tabla 1.
2. Anotar en la Tabla 1 el error instrumentalδ`
3. Para realizar la medici´on del tiempo de 20 oscilaciones mueva suavemente el p´endulo formando un arco paralelo al plano en donde se ubica el transportador del techo y llegue hasta un ´angulo m´aximo menor a 10°, (utilice este mismo valor
durante toda la experiencia) y an´otelo en la Tabla 1; luego suelte el p´endulo y despu´es de transcurrir dos oscilaciones completas arranque su cron´ometro midiendo el tiempo que el p´endulo tarda en realizar 20 oscilaciones y posteriormente anote este valor en la Tabla 2.
4. Anotar el error insturmentalδt20 en en la Tabla 2.
Tablas de datos experimentales para el procedimiento experimental 1
N◦ θmax `0 `¯0 δ`0 σ`0 ∆` Dispersi´on
( %) 1
2 3 4 5
Tabla 1: Mediciones de longitud en metros para el p´endulo simple
N◦ t20 δt20 Tsc T¯sc δTsc σTsc ∆T Tc Dispersi´on
( %) 1
2 3 4 5
Tabla 2: Mediciones del per´ıodo en segundos para el p´endulo simple
Mediciones para obtener g utilizando modelo regresi´on lineal T2 vs `
Figura 3: Configuraci´on del p´endulo para la variaci´on de su longitud `, vista de perfil y vista frontal.
1. Sujete la cuerda del p´endulo en el soporte colocado en la mesa de trabajo, tal como se muestra en la figura 3 y proceda a dar entre entre tres y cinco vueltas al p´endulo y mida la nueva longitud. Anote el valor en la Tabla 3
2. Tras haber establecido un nuevo ´angulo inicial de oscilaci´on m´aximo menor a 10°, deje oscilar el p´endulo, con las precauciones ya se˜naladas anteriormente y proceda a medir el correspondiente tiempo de 20 oscilaciones completas, anote el valor en la Tabla 3.
3. Nuevamente enrolle la cuarda otras dos o tres veces y repita los pasos 1 y 2 hasta tener un total de 6 mediciones de longitud y periodo diferentes.
Tablas de datos experimentales para el procedimiento experimental 2
N◦ θmax `0 δ` t20s δt20 T δT T2
1 2 3 4 5 6
Tabla 3: Medici´on del per´ıodo a diferentes longitudes para el p´endulo
Tratamiento de datos experimentales
1. C´alculo de g utilizando valores promedio de ` y T
Para obtener g por este m´etodo se har´a uso de los datos obtenidos en las Tablas 1 y 2.
An´alisis de Longitud
Cada uno de los c´alculos que se obtengan a continuaci´on deben ser anotados en la Tabla 1
• Calcule el valor promedio ¯`0
• Se debe recordar que la palabra “medir” incluye el an´alisis de los errores instrumental y estad´ıstico as´ı como el error total, por tanto se debe calcular σ`¯0 y ∆` haciendo uso de las f´ormulas correspondientes que se encuentran en el anexo al final de esta gu´ıa.
• Calcule el porcentaje de dispersi´on (ver f´ormula en anexo); el porcentaje de dispersi´on se considera aceptable cuando es menor del 5.0 %.
• Reporte el valor de` de la forma
`=`¯0
±∆`
An´alisis de Periodo
Cada uno de los c´alculos que se obtengan a continuaci´on deben ser anotados en la Tabla 2
• Calcule el valor deTsc haciendo uso de
Tsc =
t20 20
• CalculeδT¯sc por medio de
δTsc =
δt20 20
• Calcule el valor promedio de ¯Tsc
• Calcule el porcentaje de dispersi´on (ver f´ormula en anexo); el porcentaje de dispersi´on se considera aceptable cuando es menor del 5.0 %.
• Reporte el valor deTsc de la forma
Tsc =
¯
Tsc
±∆T
Calculando g por medio de los valores reportados de ` y Tsc
Se proceder´a a realizar el c´alculo de la aceleraci´on gravitacional con los valores reportados de` y Tsc haciendo uso de la ecuaci´on (4) definida en el marco te´orico.
hgi= 4π 2¯
`0
¯
Tsc
2 (5)
Para encontrar ∆g se hace uso de la f´ormula general de propagaci´on de errores que se encuentra en los anexos al final de la gu´ıa.
Finalmente se expresag como:
g1 =hgi ±∆g
El error solo debe tener una cifra significativa y el valor central debe contener el mismo n´umero de cifras decimales del error total.
Es importante destacar que este an´alisis se realiz´o en base a una aproximaci´on para ´angulos peque˜nos, por lo que, si se desea obtener un mejor valor parag es necesario aplicar una correcci´on al periodo T, bas´andose en la soluci´on real para el p´endulo simple.
2. C´alculo deg a trav´es de los valores promedio de`,T haciendo uso de una correcci´on para T
Correcci´on para el periodo T de un p´endulo simple utilizando la soluci´on real
Este an´alisis se comienza partiendo de la ecuaci´on diferencial del p´endulo simple sin aproximaci´on de ´angulos peque˜nos (1).
d2θ dt2 =−
g ` senθ
Al resolver dicha ecuaci´on se obtiene el valor exacto deT expresado por:
T =T0·
∞ X
n=0
"
(2n)! (2n·n!)2
2
·sen2n
θmax 2
#
(6)
donde T0 = 2π
q
`
g es el periodo encontrado en la aproximaci´on para ´angulos peque˜nos es decir el
periodo ideal,
Para aplicar la correci´on se despeja la ecuaci´on (6) para T0
T0 =
T
·P∞
n=0
(2n)! (2n·n!)2
2
·sen2n θmax
2
Se reemplaza (7) en (4) quedando
g = 4π 2`
T2 0
= 4π
2`
T
P∞ n=0
(2n)! (2n·n!)2
2
·sen2n(θmax 2 )
!2 (8)
reacomodando
hgi= 4π 2` T2 ∞ X n=0 "
(2n)! (2n·n!)2
2
·sen2n
θmax 2
#!2
(9)
donde T =Tsc y llamaremos Tc a la expresi´on
P∞
n=0
(2n)!
(2n·n!)2
2
·sen2n θmax
2
entonces
hgi=hgi= 4π 2¯
`0
¯
Tsc
2 ·T
2
c (10)
Para c´alculo de hgise usar´a hasta n = 4 en el valor deTc y se puede usar el mismo ∆g del c´alculo
anterior.
Finalmente
gc=hgi ±∆g
3. C´alculo deg por medio de regresi´on lineal deT2 vs` haciendo uso de una correcci´on para T
En este caso se iniciar´a el an´alisis por la ecuaci´on (4) del marco te´orico.
g = 4π 2`
T2 (11)
despejandola para T2 se tiene que
T2 = 4π 2
g ·` (12)
por tanto se puede modelar como
y =ax+b
dondey=T2,a= 4πg2 y x=` y al encontrar el valor dease puede obtener perfectamente el valor deg al que llamaremos g2
El an´alisis se debe hacer teniendo en cuenta los siguientes pasos:
Calcule el valor de cada T haciendo uso de
Calcule cadaδT por medio de
δT = δt20 20
CalculeT2 para cada T
Calcule los valores dea y b para la regresi´on lineal utilizando los datos de la Tabla 3, anote estos valores en la Tabla 4
Pendiente de la Ordenada en el ∆a ∆b Ecuaci´on del ajuste Correlaci´on lineal
recta origen
a= b = T2 =a`+b r=
Tabla 4: Par´ametros del ajuste para la regresi´on lineal de T2(L)
Dibuje en papel milimetrado los 6 puntos medidos la Tabla 3 es decirT2 vs `. Grafique para cada punto las barras de error utilizando los valores de ∆` de forma horizontal.
Dibuje la recta producto de la regresi´on lineal T2 vs ` utilizando la ecuaci´on del ajuste encontrada.
Determine el valor de g utilizando la pendiente de la recta producto de la regresi´on lineal
g = 4π 2
a
Encuentre el error ∆g haciendo uso de la f´ormula general para propagaci´on de errores. (ver anexo)
Reporte su el valor encontrado de g de la forma
g2 =hgi ±∆g
4. C´alculo del valor te´orico de g
Para encontrar el valor te´orico esperado para g, se ha de valer de la siguiente ecuaci´on
g(h) = g0
RT
RT +h
2
(13)
donde g0 = 9.8076 m/s2 corresponde a la aceleraci´on gravitacional est´andar (CGPM,1901.NIST),
5. Errores porcentuales
Para determinar el margen de error entre los valores obtenidos experimentalmente utilizando los dos m´etodos anteriores, y el valor te´orico se har´a uso de:
1 =
|gte´orico−g1|
gte´orico
×100 %
2 =
|gte´orico−gc|
gte´orico
×100 %
3 =
|gte´orico−g2|
gte´orico
×100 %
Observaci´on
Los dos primeros errores servir´an para establecer una conclusi´on acerca de la correcci´on del seno del ´angulo.
Cuestionario
1. Investigue como se calcula el factor de correlaci´on lineal r del ajuste y obtenga dicho valor.
2. ¿Qu´e se puede decir acerca de los resultados para la aceleraci´on gravitacional?
3. ¿Qu´e consideraciones se deben tomar en cuenta para la configuraci´on del p´endulo simple utilizado en el laboratorio, de tal forma que el amortiguamiento se considere despreciable en los c´alculos para obtener g?
4. Quiz´a le han comentado que antes de que se comenzase a usar el p´endulo en esta experiencia, estuvo colgado dos d´ıas. Puede explicar ¿por qu´e motivo se hace esto?
ANEXOS F´ormulas utilizadas en el c´alculo de errores
Promedio
¯
q=
N
X
i=1
qi
N
Desviaci´on Est´andar
σq =
v u u t
1
N −1
N
X
i=1
(qi−q¯)
Error Estad´ıstico
σq¯=
σq
√ N
Error total
∆q=
q
(δq)2+ (σq¯)2
F´ormula general para la propagaci´on de errores
∆q =
s
∂q ∂x1
∆x1
2
+...+
∂q ∂xi
∆xi
2
Porcentaje de Dispersi´on.
%Dq =
qmax−qmin
¯
q ×100 %
Bibliograf´ıa
F´ısica para Ciencias E Ingenier´ıa Vol. I, Serway, Jewett, 7ma. Ed.
F´ısica. Vol. I, Resnick, Halliday, Krane. 4ta. ed.
F´ısica Universitaria, Vol. I, Sears, Zemansky, Young, Friedman. 11. ed. F´ısica Para Ciencias E Ingenier´ıa, Vol. I. Giancoli. 4ta. ed.
