Walter Orlando Gonzales Caicedo
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N
NÚ
ÚM
ME
ER
RO
OS
S
N
NA
AT
TU
UR
RA
AL
LE
ES
S
Y
Y
N
NÚ
ÚM
ME
ER
RO
OS
S
E
EN
NT
TE
ER
RO
OS
S
1 División entera
d D
q
r ⇔D = d x q + r Algoritmo de la Divisió entera + ∈ ≠ ∈ 0 Z r ) 0 d ( Z , q , d , D : Nota
2 Clases de división entera
División Exacta (r = 0) Ejemplo:
7 56
8 0
56 = 7 x 8 ⇔ En general: d D q 0
⇔ D = d x q
División inexacta (r ≠≠≠≠ 0)
Por defecto Por exceso 8 51 6 3 51 8 7 5
51 = 8(6) + 3 51 = (7) - 5
d D q r d D
q + 1 e r
D = dq + r D = d(q + 1) - r e
d r r iii. 1 d r 1 r ii. d residuo 0 i. : cumple se 0), (r inexacta entera división toda En : Nota e máximo mínimo = + − = = < < ≠ 3 Divisibilidad:
Un número entero A es divisible entre otro número positivo “B”, si al dividir “A” entre “B” la división es entera y exacta.
En general:
Sean: A∈Z,B∈Z+,k∈Z
B A
k 0 Como:
Luego se afirma que: “A” es divisible entre “B” (“B” es divisor de “A”)
Notación: Si “A” es múltiplo de “B”
o o
B
K
B
B
A
=
=
(
)
=
Ejemplo: ) 6 ( 4 24 , 4 24
* = porque =
o
+ ∈ =
=a b ay b Z b x a o o si , * Observaciones:
1) B=B B∈Z+
o ;
2) =K K∈Z+
o ; 0
4. Criterios de divisibilidad
a) Por 2n5n: Un número es divisible por 2n o 5n, si y sólo si el bloque formado por sus “n” últimas cifras es divisible por 2 o n 5nrespectivamente, en caso contrario el bloque nos dará el residuo.
N 10 e o + = o o 2 e 2 N
Será = ⇔ =
o o 5 e 5 N
Será = ⇔ =
abcde
N= N 100 de o + = o o 4 de 4 N
Será = ⇔ =
o o 25 de 25 N
Será = ⇔ =
N 1000 cde o + = o o 8 cde 8 N
Será = ⇔ =
o o 125 cde 125 N
Será = ⇔ =
b) Por 3 ó 9: Un número es divisible por 3 ó 9, si y sólo si la suma de sus cifras es un
o 3 ó o
9 respectivamente. En caso contrario nos dará el residuo.
Ejemplo:
• 3456=9o
(Suma de cifras es 18 = o 9 )
• 5557 = o 9 +4
(Suma de cifras es 22 = o 9 + 4)
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c) Por 11: Un número es divisible por 11, si y sólo si la suma de sus cifras de lugares impares menos la suma de cifras de lugares pares contabilizando de derecha a izquierda nos da un múltiplo de 11, en caso contrario nos dará el residuo.
Ejemplo:
• 144424443
o 11 o
3) (1 7) 5 (3 11
73513= + + + − +
+ − + − +
o
11 73513=
∴
d) Por 7: Un número es divisible por 7, si y sólo si al multiplicar sus cifras por las constantes 1, 3, 2, -1, - 3, - 2, -1, 3, 2, --1, - 3, - 2, ... a partir de la cifra de menor orden y sumar los resultados se obtiene una cantidad múltiplo de 7, en caso contrario nos dará el residuo
Ejemplo:
• 644182
{ { + −
1 3 2 1 3 2
o 7 0 2 24 2 4 12
12− − + + + = =
−
⇒
o
7 644182=
∴
e) Por 13: Un número es divisible por 13 si al multiplicar sus cifras por las constantes 1, - 3, - 4, - 1, 3, 4, 1, - 3, - 4, - 1... a partir de la cifra de menor orden y sumar los resultados se obtiene una cantidad múltiplo de 13, en caso contrario nos dará el residuo.
Ejemplos:
• 3641820
{ { − +
1 3 4 1 3 4 1
o 13 0 0 6 32 1 12 24
3+ + − − − + = =
+
⇒:
o
13 3641820=
∴
f) Por 33 ó 99: Un número es divisible por 33 ó 99, si al descomponer el número en bloques de dos cifras a partir del menor orden y sumarles el resultado sea múltiplo de 33 ó 99.
Ejemplos:
• 303171
30 + 31 + 71 = 132 = o 33 o
33 303171=
∴
Observación: Si un número es múltiplo entre varios módulos, entonces, será múltiplo del menor número que contenga a dichos módulos.
En general:
= = =
o o o
c A
b A
a A
" " " " , " "
" " ,
c b a
n n
A o
y contiene
que número menor el es donde
=
5. Principio de Arquímedes
Si:
A x B = no
donde “A” y “n” no tienen divisores en común, aparte de la unidad, entonces:
o
n B=
Ejemplos:
1. 5 xN=13o 2. 8xA=21o
∴ N=13o ∴ A=21o
6. Divisibilidad aplicada al Binomio de Newton
(on+r)k =on+rk ; k∈Z+
Ejemplo:
(13−2)2=(13−2)(13−2)=13+22 o o o o
En general:
(13 - r)n
o a - r ; n : impar
a + r ; n : par
o n
n
o ; a ,r, n Z +∈∈∈∈
N
NÚ
ÚM
ME
ER
RO
OS
S
P
PR
RI
IM
MO
O
S
S
1. Divisor propio:
Es todo aquel divisor de N, menor que dicho número.
Ejemplo:
6 → 1, 2, 3, 6
Divisores Divisores propios: 1; 2; 3
2. Número primo
Es aquel número que tiene únicamente 2 divisores: el mismo y la unidad.
2 ; 3 ; . . . . ; P 1
2
1 P 1
3
P: número primo (# primo absoluto)
Observación:
1. No existe fórmula para hallar todos los números primos.
2. La serie de los números primos es ilimitada, ósea que por más grande que sea un número primo, siempre hay otro número primo mayor. 3. Si “P” es un número mayor que 2.
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4. Si “P” es un número primo mayor que 3.P = 6±1 o
5. Número simple:
1, 2, 3, 5, ...
Números primos.
6. Número compuesto: Es aquel número que tiene más de 2 divisores.
Ejemplo:
4 ; 6 ; 8 ; 9 ; 10 ; 12 ; . . . . 6 → 1; 2; 3; 6
Divisores (6 posee 4 divisores)
7. Todo número primo que divide a un producto de varios factores, divide por lo menos a uno de los factores.
3. Números primos relativos o primos entre sí (PESI)
Son dos o más números que tienen como único divisor común a la unidad.
Ejemplo:
Número Divisores 10 1 ; 2 ; 5 ; 10 21 1 ; 3 ; 7 ; 21
∴ 10 y 21 son PESI
4. Números primos entre sí dos a dos (PESI 2 a 2)
Un conjunto de números resultará ser PESI 2 a 2 si precisamente al tomarlos en pareja resultan ser primos entre sí.
Ejemplo:
¿Son 8; 9 y 25 PESI 2 a 2?
Solución:
8 : 1 ; 2 ; 4 ; 8 9 : 1 ; 3 ; 9
Observación:
a) Dos números enteros consecutivos siempre son PESI.
Ejemplo:
16 → 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 17 → 1 ; 17
Divisores
Luego: 16 y 17 son PESI
Regla para determinar los divisores de un número
a) Se descompone el número en factores primos. b) Se escribe el 1 (que es divisor de todo número) y a continuación se pone las diversas potencias del primer factor primo.
c) Se multiplica los divisores hallados por las diferentes potencias del segundo factor primo. d)Se multiplica todos los factores hallados anteriormente por las diferentes potencias del tercer factor y así sucesivamente. El último divisor hallado al formar éstos productos es el número dado.
Tabla de divisores de 240
1 2 4 8 16 3 6 12 24 48 x3 5 10 20 40 80 x5 15 30 60 120 240 3x5 240 posee 20 divisores de los cuales 3 son divisores primos ( 2 ; 3 ; 5 ).
Ejemplo:
24 → 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24
La Divisores Divisores Unidad Primos Compuestos
D(24) = 8 DP = 2 DC = 5
Número de Divisores Divisores divisores de 24 primos de 24 compuestos de 24
⇒D24=DP+DC+1 = 2+5+1= 8 Sea “N” un número compuesto.
1 D D D(N)= P+ C+
5. Descomposición canónica (Teorema fundamental de la aritmética o Teorema de Gauss)
Sea “N” el número compuesto. N = Aα x Bβ x Cθ Donde:
A, B, C → Factores primos.
α, β, θ → Exponentes (números enteros positivos)
Observación
Número Divisores Total de divisores Aα 1; A ; A2 ; A3 ; . . . ; Aα (α+1) Bβ 1; B ; B2 ; B3 ; . . . ; Bβ (β+1) Cθ 1; C ; C2 ; C3 ; . . . ; Cθ (θ+1)
Por el principio de combinaciones D(N) = (α + 1) (β + 1) (θ + 1)
6. Suma de divisores [SD(N)]
1 1 1
1 1
1 1 1
1
− − −
− −
−
= + + +
C C x B B x A
Aα β θ
SD(N)
Ejemplo:
240 = 24 x 3 x 5
Tenemos: 744
1 -5
1 -5 x 1 -3
1 -3 x 1 -2
1 -2 SD
1 1 1 1 1 4
(240)= =
+ + +
Entonces: SD(240) = 744
AUTOEVALUACIÓN
1. A un Congreso de Informática asistieron personalidades europeas y americanas. De los europeos, 2/7 son médicos, 5/14 son ingenieros y los 8/15 son abogados. ¿Cuántos americanos se presentaron, si en total asistieron 348 personalidades?
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2. Si:4
=
21
+
8
o
abc
¿Cuál es el menor número que se le debe sumar al númeroabc
4
para quesea o
21
?a) 6 b)2 c) 16 d) 10 e) 4
3. Hallar el residuo de dividir el número 373737 .... (200 cifras) entre 32
a) 3 b) 4 c) 9 d) 8 e) 2
4. Encontrar el número de 3 cifras tal que sea igual a 5 veces el producto de sus cifras.
a) 125 b) 575 c) 525 d) 175 e) 315
5. Si:
o
aa
a
2
5
11
1
=
. Hallar “a”. a) 9 b) 3 c) 1 d) 2 e) 56. Si el número de la forma:
(
a
+
1
)(
a
−
1
)
aa
es divisible entre 13. Hallar “a”.a) 7 b) 3 c) 1 d) 2 e) 6
6. Sabiendo que:
o
a
ab
58
56
4
=
. Hallar: “a + b”. a) 12 b) 9 c) 6 d) 8 e) 57. Si N =
mn
(
2
m
)(
2
m
)
, ¿por qué número será siempre divisibles?a)
nm
b)2
n
c)m
3
d)3
n
e)mn
8. Hallar el valor de “a”, si le número
13
a
372
es divisible entre 7.a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 1
9. Calcular el residuo de dividir N entre 7. N = o7+2 + (
o 7+5)(
o 7+3) + (
o 7-2)(
o 7+3)
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
10. Hallar el residuo de dividir 436543 entre 8 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 1
11. Si:
...
9
2
40
+
=
ocifras
a
aa
3
2
1
. Hallar “a”a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 6
12. Hallar “a” si:
3aaa2a5
11
4
o
+
=
a) 7 b) 4 c) 3 d) 2 e) 6
13. Hallar “n”, si:
32
1
=
7
+
5
o
n
n
n
a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 6
14. En una división inexacta se tiene que el
dividendo =
15
+
5
o
, el cociente =
15
−
9
o
y el
divisor =
15
−
3
o
. Por tanto el resto será: a) 7 b) 8 c) 9 d) 2 d) 1 e) 6
15. Hallar x, si:
o
X
X
13
5
8
513
(8)+
(8)=
a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 6
16. Si = 7+ 3 o
N , entonces el valor de 3 N será:
a) 7+ 3 o
b) 7−3 o
c) 7+ 6 o
d) 7−6 o
e) 7+ 5 o
17. La suma de los números de tres cifras diferentes que se puede formar con las cifras a, b, c; siempre será divisible entre:
a) 7 b) 8 c) 9 d) 2 d) 1 e) 10
18. El número de alumnos de un aula es menor de 240 y mayor que 100. Si 2/7 del total usan anteojos y los 5/13 son asmáticos. ¿Cuántos alumnos son asmáticos?
a) 182 b) 100 c) 90 d) 70 e) 50 19. ¿Cuántos ceros tiene el número N= 200..00, para que admita 56 divisores?
a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 6
20. ¿Cuántos divisores de dos cifras tiene el número 720?
a) 15 b) 14 c) 13 d) 12 e) 16 21. Si
4
43
4
42
1
factores " "
36
...
.
36
.
36
n
M
=
. Hallar “n”, para que Ma) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 6
22. ¿Cuántos números naturales son menores y pesi con 720?
a) 195 b) 194 c) 193 d) 192 e) 196 23. ¿Cuántos divisores múltiplos de cinco tiene el número 220 500?
a) 85 b) 84 c) 83 d) 82 e) 81
24. Hallar la suma de todos los divisores del número 1020 son pesi con 187.
a) 170 b) 164 c) 150 d) 160 e) 168 25. Hallar el valor de “n”, si el número 6n . 15 tiene 84 divisores.
a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 6
26. Hallar la suma de todos los divisores del número 660.
a) 2016 b) 2015 c) 2550 d) 2050 e) 2030 27. Cuántos números menores y pesi con 300 existen?
a) 50 b) 60 c) 90 d) 70 e) 80
28. Hallar “a”, si el número 21.15a tiene 20 divisores compuestos.
a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 6
29. Si 16n tiene “p” divisores. ¿Cuántos divisores tendrá 256n?
a)
2p
+
1
b)p
−
1
c)3p
−
1
d)p
+
1
e)2p
−
1
30. Si 42n tiene 81 divisores. Hallar “n”.
a) 20 b) 15 c)25 d) 30 e)35 31. ¿Cuántos divisores de 90 000 son números cuadrados perfectos?
a) 10 b) 18 c) 20 d) 24 e) 30 32. Si: M = 30. 30. 30. …30 tiene 343 divisores.
m factores Hallar “m”
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
33. Si: N = 13k+2 - 13k tiene 75 divisores compuestos. Hallar “k”
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
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35 .¿Cuántos divisores de 2 cifras tiene el número 360?a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 7 36. ¿Cuántos ceros debe tener: N = 2000…00 para que el resultado tenga 56 divisores?.
a) 4 b) 6 c) 5 d) 7 e) 8
37. Calcular la cantidad de divisores de 18n, si: 16n tiene 28 divisores menos que 20n.
a) 27 b) 36 c) 45 d) 63 e) 54
38. Si 8n tiene "k" divisores, ¿Cuántos divisores tiene 32n?
a) (5k-1)/3 b) (4k-2)/3 c) (5k-2)/3 d) (5k+2)/3 e) (4k-1)/2
39. ¿Cuántos ceros se deben poner a la derecha de 9 para que el resultado tenga 243 divisores compuestos?
a) 6 b) 8 c) 9 d) 5 e) 4
NÚMEROS RACIONALES (Q)
FRACCIONES
NÚMERO FRACCIONARIO
Se denomina así a todos aquellos números racionales que no representan a números enteros, si denotamos por f al número fraccionario, tendremos:
b
a
f
=
donde0
b
a
≠
; b ≠ 0, a y b ∈∈∈∈ZEjemplo:
-3
2
;
7
5
;
8
3
−
, etc.
No son números fraccionarios expresiones como:
7
14
;
2
104
;
12
36
FRACCIÓN:
Es el número fraccionario que presenta sus dos términos positivos.
b
a
f
=
fracción con a y b ∈∈∈∈ Z+donde :
•
a
≠
b
0 (a no es divisible por b), a es el numerador.• b ≠ 0, b es el denominador.
CLASIFICACIÓN:
I.- Por la comparación de su valor con respecto de la unidad:
F. PROPIA: Es aquella cuyo valor es menor que la unidad; es decir el numerador es menor
que el denominador. Ejemplos: ,etc
5 4 , 7 3 , 3 2
F. IMPROPIA: Es aquella cuyo valor es mayor a la unidad; es decir el numerador es mayor
que el denominador. Ejemplos: ,etc
4 5 , 3 7 , 2 3
Nota: Las fracciones impropias generan los llamados números mixtos, los cuales están constituidos por una parte entera y una fracción propia.
Ejemplo:
5
1
2
2
5
11
5
1
=
+
=
II.- Por su denominador:
F. ORDINARIA O COMÚN: es aquella cuyo denominador es diferente de una potencia de 10.
Ejemplos:
,
etc
137
31
;
90
11
;
7
8
;
17
3
F. DECIMAL: es aquella cuyo denominador es una potencia de 10.
Ejemplo:
,
etc
1000
24
;
100
3
;
10
11
III.- Por la razón de igualdad o desigualdad entre sus denominadores:
HOMOGÉNEAS: Cuando tienen el mismo denominador.
Ejemplo:
,etc 15 17 ; 15 16 ; 15
7 ; 15
3
HETEROGÉNEA: Cuando tienen denominadores diferentes.
Ejemplo:
,etc 20 17 ; 18 15 ; 11
7 ; 9 3
IV.- Por los divisores de sus términos:
F. IRREDUCTIBLES: Son aquellas fracciones cuyos términos son primos entre sí (no se pueden simplificar)
Ejemplo:
,etc 20 17 ; 19 16 ; 11
7 ; 5 3
F. REDUCTIBLES: Son aquellas fracciones cuyos términos tienen factores comunes (se pueden simplificar)
Ejemplo:
,etc 34 17 ; 18 16 ; 14
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MCD y MCM DE NÚMEROS FRACCIONARIOS
Ejemplo:
Encontrar el MCD y MCM de:
8
3
y
3
4
;
9
5
;
4
15
Solución: 72 1 ) 8 , 3 , 9 , 4 ( MCM ) 3 , 4 , 5 , 15 ( MCDMCD = =
60 1 60 ) 8 , 3 , 9 , 4 ( MCD ) 3 , 4 , 5 , 15 ( MCM
MCM= = =
PROPIEDADES Y OPERACIONES
FRACCIONES EQUIVALENTES: una fracción es equivalente a otra cuando tiene el mismo valor, pero sus términos son diferentes. Es decir numerador y denominador son multiplicados y divididos por el mismo valor numérico k, donde k ∈ z - {0}.
Ejemplo: 12 8 4 x 3 4 x 2 3
2= =
ó 3 4 5 15 5 20 15 20 = ÷ ÷ = Comparación: Ejemplo:
3(4) 5(7) 4
7 5
3≤ → ≤
,
HOMOGENIZAR: significa hacer que las fracciones tengan el mismo denominador.
Ejemplo:
6
9
3
x
2
3
x
3
2
3
=
=
6
10
2
x
3
2
x
5
2
5
=
=
Adición: 15 22 ) 5 ( 3 ) 4 ( 3 ) 2 ( 5 5 4 32+ = + =
Sustracción: 15 2 ) 5 ( 3 ) 4 ( 3 ) 2 ( 5 5 4 3
2− = − =−
Multiplicación:
15
8
5
x
3
4
x
2
5
4
x
3
2
=
=
División: 6 5 12 10 4 x 3 5 x 2 4 5 x 3 2 5 4 32÷ = = = =
Observaciones: *)
2
3
1
32
=
*)15
14
)
5
(
3
)
7
(
2
7 5 3 2=
=
*)3
8
8 1 3 1=
*)2
2
(
3
)
6
31
=
=
*)
15
2
5
3
2
5
3 2=
=
x
*)3
10
3
)
5
(
2
5 1 3 2=
=
*)6
1
)
3
(
2
1
3
2 1=
=
*)7
3
1
)
3
(
2
3
2
1
31
=
+
=
+
*)2
3
3
2
1=
− *) 4 45
x
3
7
x
2
7
5
3
2
=
÷
*) 4 45
2
7
3
7
5
3
2
=
−x
x
x
*)5
13
5
3
)
5
(
2
5
3
2
5
3
2
=
+
=
+
=
Observación:
Las proposiciones: De, del, de los, antepuesta a una fracción, usualmente indican una multiplicación; mientras que la proposición Por
nos indica una división.
Ejemplo: Hallar los
4
3
de los5
7
de 5 por 7 de 200
Solución:
x
200
150
7
5
x
5
7
x
4
3
=
RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS DECIMALES Y LAS FRACCIONES
Exacto: Una fracción irreductible dará origen a un decimal exacto cuando el denominador sea una potencia de 2 y/o una potencia de 5.
Fracción generatriz Ejemplos:
20
9
100
45
45
,
0
=
=
8
1
1000
125
125
,
0
=
=
D. Inexacto: Una fracción irreductible originará un decimal periódico puro cuando el valor del denominador sea diferente de: un múltiplo de 2 y/o múltiplo de 5.
Ejemplo:
3
1
= 0,333 ... = 0,
3
)
Fracción generatriz Ejemplos: 1 10 3 9 3 .... 333 , 0 − = = , 1 10 27 99 27 .... 272727 , 0 2 − = = 1 10 127 999 127 .... 127127127 , 0 3 − = =
D.I.P. Mixto: Una fracción irreductible dará origen a un decimal inexacto periódico mixto cuando al descomponer el denominador en sus factores primos se encuentran potencias de 2 y/o 5 y además, algún otro factor diferente.
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0,277777... =2 ) 3 ( 2
5 18
5 90 25 90
2 27
= = = −
2 → 1 cifra no periódica que es el 2. 32 → 1 “nueve” genera 1 cifra periódica que es el 7.
AUTOEVALUACIÓN
01. Calcular el valor de :
) 1 (
2 1
1 ... 4 1 1 3 1 1 2 1 1
1 1 ... 4 1 1 3 1 1 2 1 1
2
+ − + +
+
+
+
+
−
−
−
− =
n n
n n
n n E
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 1/2
02. Un estudiante hace 1/3 de su trabajo en casa antes del desayuno, posteriormente realiza los ¾ del remanente de su asignación, luego decide ir a jugar fútbol, sin completar su tarea, ¿Qué parte de su trabajo le falta completar?
a) 7/12 b) ½ c) 2/3 d)1/6 e) 5/12
03. Elena gasta su dinero de la manera siguiente: 1/5 en viajes, 1/3 de lo que queda en alimentos, 5/8 de lo restante en ropa; quedándole un total de 215 nuevos soles que lo invierte en su familia. ¿Cuánto gasta en viajes?
a) 230 nuevos soles b) 233 nuevos soles c) 235 nuevos soles d) 225 nuevos soles e) 215 nuevos
04. Si el numerador de una fracción aumenta en 2, la fracción resultante es 1/4. Si disminuye el denominador en 6, la fracción es 1/6. ¿Cuál es la fracción inicial?
a) 1/12 b) 3/2 c) -2/3 d) 5/6 e) -1/12
05. La fracción
b
a
dividida por su inversa da por
cociente
961
169
entonces a + b será igual a :
a) 22 b) 44 c) 32 d) 31 e) 13
06. Al mezclarse 2 cucharadas de Pisco con 8 de miel. ¿Qué parte de la mezcla es Pisco?
a)
5
1
b)
10
3
c)
4
1
d)
2
3
e)
5
4
07. Si a una fracción propia irreductible, se le aumenta una unidad, el numerador aumenta en 12 unidades. ¿Cuál podrá ser la suma de los términos de la fracción original?
a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18
08. ¿Cuál es la fracción que dividida por los 2/3 de su inversa de por cociente 24/25?
a) 4/5 b) 6/5 c) 5/4 d) 3/8 e) 1/5
09. Si a = 7/8; b = 9/11, c = 17/19 ¿En qué orden deberían ser escritas las fracciones para que aparezcan ordenadas de menor a mayor? a) b,a,c b) a,b,c c) c,a,b d) a,c,b e) c,b,a
10. Un tejido pierde al lavarla 1/20 de su longitud y 1/16avo de su ancho. Averiguar ¿Cuántos metros de esta tela deben comprar para obtener después de lavarla 136,80m2?. El ancho primitivo de la tela 6/5 de metro.
a) 130m b) 132m c) 128m d) 140m e) 125m.
11. Si :
0
,
a
)
b
+
0
,
c
a
)
+
0
,
b
c
)
=
1
,
3
)
. El valor de a + b + c es:a) 18 b) 14 c) 15
d) 17 e) 16
12. Hallar una fracción equivalente a 36/63, sabiendo que el cuadrado de la suma de sus términos es: 4 356 Dar como respuesta el término mayor.
a) 126 b) 96 c) 84 d) 42 e) 189
13. Disminuir 2/3 en los 2/ 3 de sus 2/3.
a) 2/9 b) 4/9 c) 10/27 d) 12/37 e)8/27
14. Que parte representa
4
1
5
de5
4
2
a)
15
8
b)
15
4
c)
8
7
1
d)
8
13
e)
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15. Se tiene un depósito con una mezcla de 90litros de leche y 30 de agua. Si luego se extraen 12 litros de mezcla y se remplaza por agua. ¿Cuántos litros de leche hay en la nueva mezcla?
a) 81 b) 80 c) 99
d) 78 e) 60
16. Luego de simplificar:
8
,
8
6
,
6
4
,
4
2
,
2
8
,
8
6
,
6
4
,
4
2
,
2
)
)
)
)
+
+
+
+
+
+
Resulta:
a) 0,9 b) 1,01 c) 1 d) 0,99 e) 9
17. ¿Cuál es la menor fracción irreductible mayor
qué
10
3
, tal que al sumar “n” veces el
denominador al numerador y “n” veces el numerador al denominador se obtiene 2 como resultado?
a) 1/2 b) 2/3 c) 1/3 d) 4/5 e) 7/13
18. Calcular la fracción equivalente a 0,8 cuyo numerador esté comprendido entre 25 y 40 y su denominador entre 38 y 53.
a)
45
36
b)
35
34
c)
47
36
d)
35
32
e)
37
32
19. En una fiesta observa que con los 12/35 del volumen de una botella de licor llena los 3/4 de una copa. En el bar sólo hay 7 botellas y él debe repartir 35 copas llenas ¿Cuántas botellas le faltan para cumplir en su labor?
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10
20. Una piscina es alimentada por 3 grifos. El 1° y el 2° juntos lo llenan en 10 horas., el 2° y 3° lo llenan en 8 horas. Finalmente el 1° y 3° lo llenan en 6 horas. ¿Cuánto demorará la primera llave en llenarla?
a) 4 horas. b) 14 2/17 horas. c) 12 horas. d) 17 2/17 hora e) 17/2 horas.
21. Dos grifos llenan un estanque en 2 horas y 24 minutos. Abiertos separadamente el primero lo llenará en dos horas menos que el segundo. ¿Cuántas horas tendrán el primero y segundo caño en llenar el tanque en forma independiente?
a) 2 y 4 horas b) 3 y 5 horas
c) 5 y 7 horas d) 4y 6 horas e) 6 y 3 horas
22. Dos llaves A y B llenan juntas un tanque en 15 horas. Si el caudal de A es el triple del caudal de B. ¿En qué tiempo se llenará el tanque utilizando sólo la llave B?
a) 20 hrs. b) 45 hrs. c) 30 hrs. d) 60 hrs. e) 25 hrs.
23. Un grifo llena un depósito en 4 horas y otro lo vacía en 5 horas. ¿En cuánto tiempo se llenará el depósito si se abren ambos grifos a la vez?
a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60
SISTEMA DE NÚMEROS REALES
1.1. NÚMEROS REALES
El conjunto de los números reales está formado por los llamados números naturales, Enteros, Racionales e Irracionales. La característica, quizá la más importante, es poder representar cualquier número real sobre una recta y a su vez, saber que cada punto de una recta puede ser designado por un número real. A esta correspondencia se le llama “RELACIÓN BIUNÍVOCA” porque para cada número real hay un punto en la recta y para cada punto en la recta hay un número real.
Denominamos número real a:
• Todo número racional (número decimal finito o número decimal infinito periódico), y
• A todo número irracional (número decimal infinito no periódico)
Observaciones:
Denotaremos el conjunto de los números reales por
R
Tenemos que:
• R = Q U I
• Q ⊂ R , I ⊂ R
• Q ∩ I = φ
A. Axiomas de Igualdad de los Números Reales: Consideremos los siguientes axiomas de igualdad válidos en todo conjunto numérico:
a. Reflexividad: Para todo número real
x
:x
=
x
b. Simetría: Cualesquiera sean los números reales
x
ey
:,
.
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c. Transitividad: Cualesquiera sean los números reales
x y z
, ,
:.
Si
x
= ∧ =
y
y
z
entonces
x
=
z
B. Axiomas de la Adición y Multiplicación en R
Veamos los números reales conformando un sistema; es decir, como un conjunto provisto de dos operaciones (adición y multiplicación) y de una relación de orden (
≤
), que gozan de ciertas propiedades básicas o axiomas, que admitiremos como verdaderas. De los axiomas se deducen o demuestran otras propiedades que denominaremos teoremas. Al emplear un conjunto de axiomas para caracterizar los números reales como sistema, decimos que el sistema de los números reales es construido siguiendo el método axiomático. Escribiremos (R, +; .), cuando tengamos que referirnos al sistema algebraico de los números reales.C. Axiomas de la Adición
A1. La adición en R goza de la propiedad de
clausura:
x
+
y es un número real
A2. La adición en R es asociativa:
(
x
+
y
)
+ = +
z
x
(
y
+
z
)
A3. Existe en R un elemento neutro aditivo
0 (el cero real) tal que:
x
+ = + =
0
0
x
x
A4. Todo número real
x
admite un inverso(aditivo) u opuesto
−
x
, que satisface:
x
+ − = = − +
(
x
)
0
x
x
A5. La adición en R es conmutativa:x
+ = +
y
y
x
D. Axiomas de la Multiplicación
M1. La multiplicación en R goza de la propiedad de clausura:
x y es un número real
·
M2. La multiplicación en R es asociativa:
( · )·
x y z
=
x y z
·( · )
M3. Existe en R un elemento neutro multiplicativo 1 (el uno real, diferente de cero) tal que:
x
·1 1·
=
x
=
x
M4. Todo número real no nulo x admite un inverso (multiplicativo) o recíproco
x
−1 que satisface:
x x
·
−1= =
1
x
−1·
x
M5. La multiplicación en R es conmutativa:
x y
·
=
y x
·
E. Axioma de DistributividadD1. En R, la multiplicación es distributiva con respecto a la adición, es decir:
x y
·(
+ =
z
)
x y
·
+
x z
·
1.2. ORDEN EN LOS NÚMEROS REALES
A. Axiomas de la Relación de Orden
Ley de la Tricotomía: Dados x, y ∈ R entonces, se cumple una solamente una de las relaciones:
x < y, x = y ó y < x.
Ley Transitiva: ∀ x, y, z ∈ R, se cumple que:
Si x < y
∧
y < z ⇒ x < zSi x < y entonces x+ z < y + z, para todo z
∈ R
Si x < y entonces 0 < z entonces: x.z < y.z
Observación: El sistema de números reales es ordenado con respecto a la relación (<), es decir: Si
a
yb
son números reales cualesquiera, decimos que:1.
a
es menor queb
, y escribimos,
a
<
b si b a
−
es positivo.2.
a
es mayor queb
, y escribimos,
a
>
b
sib
es menor quea
.1.3. INTERVALOS
Si a,b Є R son tales que
a
≤
b
, llamaremosintervalo abierto de extremo
a y b
al conjunto de números reales, querepresentamos por
] [
a b
,
, y definimos por:
]
a
,
b
[
=
{
x
∈
R
:
a
<
x
<
b
}
Nótese que si
a
=
b
, entonces]
a
,
b
[
=
φ
Si
a
,
b
∈
R
son tales quea
≤
b
, llamaremosintervalo cerrado de extremos
a y b
al conjunto de números reales querepresentamos por
[ ]
a b
,
, y se define por}
:
{
]
,
[
a
b
=
x
∈
R
a
≤
x
≤
b
Si
[
a
,
b
]
=
{
x
∈
R
:
a
≤
x
≤
b
}
son tales quea
≤
b
, llamaremos:o Intervalo abierto por la izquierda de extremos
a y b
al conjunto}
:
{
[
,
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o Intervalo abierto por la derecha de extremos
a y b
al conjunto}
:
{
[
,
[
a
b
=
x
∈
R
a
≤
x
<
b
o Intervalo infinito abierto por la derecha en
a
]
−
∝
,
a
[
=
{
x
∈
R
:
x
<
a
}
o Intervalo infinito cerrado por la derecha en
a
]
−
∝
,
a
[
=
{
x
∈
R
:
x
≤
a
}
o Intervalo infinito abierto por la izquierda en
a
]
a
,
+
∝
[
=
{
x
∈
R
:
x
>
a
}
o Intervalo infinito cerrado por la izquierda en
a
[
a
,
+
∝
[
=
{
x
∈
R
:
x
≥
a
}
AUTOEVALUACIÓN
1. Para qué valor de "x" se cumplirá a igualdad:
1 49
x 49
56 = +
a) 5 b) 6 c)7 d)8 e) 9
2. Hallar el valor de "p x q" sabiendo que la
fracción:
q 1 p
1 2 13 29
+ + =
a) 15 b) 14 c) 13 d) 12 e) 10
3. Se tiene:
a) √3.√2 es un número real.
b) 1.78205028 es un número racional. c) Si a ∈ R+, entonces - a ∈ R+
d) √3 +√5 es un número irracional.
e) Si a, b ∈ R y 0 < a < b entonces 1/b >1/a Indica cuáles son verdaderos:
a) a,b y c b) a y b c) b,c y e d) c y e e) a, b y d
4. Determinar el número irracional
en:
... 1 2
1 2
1 2
1 1
m
+ + + + =
a) √ 2 b) √ 5 c) √ 3 d) √ 7 e) √8
5. Un alumno de la universidad perdió su carné y no se acordaba su código; pero solo recordaba que era de 4 cifras divisibles por 99 y 5 además la primera y la última cifra eran iguales ¿Cuál era el código de dicho alumno? Dar como respuesta la suma de sus cifras.
a) 15 b) 14 c) 1
d) 20 e) 18
6. Hallar el valor de "m" si los números racionales:
+1 Soniguales ;m≠0
m 3 ; 2 3
a) 5 b) 4 c) 3 d)2 e) 6
7. Un número entero “p” se compone de dos dígitos que son de izquierda a derecha a y b respectivamente, entonces el inverso aditivo de “p” es:
a) 10a + b b) -10a + b c) 10b+ a d) -10a - b e) -10b – a
8. Si m y n son números naturales impares, entonces es (son) siempre un número par: I. m + n
II.m - n III. m.n IV. m + 1
a) Solo I b) Solo II y IV c) Solo I y IV d) Solo III y IV e) I, II y IV 9. Si se duplica la expresión 24 se obtiene:
a) 25 b) 28 c) 42
d) 45 e) 46
10. Si “n” es un número tal que n Є Z, entonces ¿cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) tres números pares consecutivos?
I. 2n, 2n + 1, 2n + 2 II. 4n, 4n + 2, 4n + 4 III. 2n − 4, 2n − 2, 2n
a) Solo III b) I y II c) I y III d) II y III e) Todas
11. ¿Cuál de las siguientes expresiones no es racional?
a) 30/0 b) 2/6 c) 0.3 d) 2/-5 e) -1/-(-100)
12. Si m = 4(1/3), p = 8(1/6) y q = 6(1/8), entonces ¿cuál de las siguientes relaciones es verdadera?
a) m > p b) q > m c) p > m d) q > p e) m > q
13. Si a = 1/2 y b = 1/3, entonces , es: a) 1/2 b) 6/5 c)1/6 d) 6 e)5
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a) 25 b) 26 c) 35d) 39 e) 66
15. Si a la mitad de la unidad se le resta la unidad se obtiene:
a) 0 b) -3 c) -1/2 d) 3 e)1/2
16. Un submarino de la flota naval, desciende a 50 metros bajo el nivel del mar y luego asciende a 20 metros. Entonces queda a una profundidad de:
a) 30 m bajo el nivel del mar b) 30 m sobre el nivel del mar c) 70 m sobre el nivel del mar d) 70 m bajo el nivel del mar. e) Queda sobre el nivel del mar.
17. Con cuántos litros de agua se llenarían 12 botellas de 3/4 de litros:
a) 9 b) 10 c) 15 d) 16 e) 12
18. Hallar el valor de:
3 5
3 5 3 5
3 5 W
+ − + − + =
a) 9 b) 8 c) 7 d) 6 e) 5
19. Simplificar:
(
)
2 1
y x . y x
y x y x 1 P
− −
− +
− =
a) y b) 0 c) -1 d) 3 e) –x
RAZONES Y PROPORCIONES
RAZÓN
Es el resultado que se obtiene al compararse dos
cantidades homogéneas mediante una
determinada operación.
Si la comparación se realiza mediante una
diferencia, la razón se denomina
Razón Aritmética(R.A)
Es decir: Antecedente - consecuente = R.A.
Si la comparación se realiza mediante un división, la razón es denominada Razón Geométrica
Es decir: Antecedente ÷÷÷÷ Consecuente = R.G
En general: r a = a - b
rg = a ÷÷÷÷ b
donde :
ra : Razón Aritmética
rg : Razón Geométrica
a : antecedente b : consecuente
PROPORCIÓN
Es la relación de igualdad que se establece entre dos razones homogéneas.
Si la relación de igualdad se establece entre dos razones aritméticas se llama
Proporción Aritmética.
Si la relación de igualdad se establece entre 2 razones geométricas se llama
Proporción Geométrica.
En general:
P.Aritmética:
a
-
b
=
c
-
d
Donde:a y c : antecedentes
b y d : consecuentes
P.Geométrica:
d
c
b
a
=
Donde:b y c : términos medios
a y d : términos extremos.
CLASES DE PROPORCIÓN ARITMÉTICA
P.A. Discreta: Aquella en la que sus 4 términos son números diferentes.
a
-
b
=
c
-
d
Cada término es cuarta diferencial de los demás. Así:
d : cuarta diferencial de a, b y c
Cuarta diferencial:
d
=
(
b
+
c
)
−
a
P.A. Continua: Aquella en la que sus términos medios son números iguales.
a
-
b
=
b
-
c
Cada término igual es media diferencial de los demás.
Cada término diferente es tercera diferencial Entonces:
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c : tercia diferencial de a y b
Media diferencial o Aritmética:
2
c
a
b
=
+
Tercera o Tercia diferencial:
c = 2b - a
CLASES DE PROPORCIONES GEOMÉTRICAS
P.G. Discreta: Aquella en la que sus 4 términos son diferentes:
d
c
b
a
=
Cada término es cuarta proporcional de las demás.
d : cuarta proporcional de a, b y c
Cuarta proporcional:
a
bc
d
=
P. G. Continúa: Aquella en la que los términos medios son números iguales.
c
b
b
a
=
Cada término igual es media proporcional de los otros dos, cada término diferente es tercera proporcional de los demás.
Luego:
b : media proporcional de a y c c : tercera proporcional de a y b
Media Proporcional o Geométrica:
b
=
ac
Tercera o Tercia Proporcional:
a
b
c
2=
PROPIEDADES1.- Si
3
2
=12
8
⇒3
3
2
±
=12
12
8
±
2.- Si
3
2
=12
8
⇒3
2
3
2
−
+
=12
8
12
8
−
+
3.- Si
3
2
=12
8
⇒12
3
12
3
8
2
8
2
−
+
=
−
+
4.- Si
3
2
=12
8
⇒8
12
8
2
3
2
+
=
+
5.- Si
3
2
=12
8
⇒8
12
8
2
3
2
−
=
−
6.- Si
3
2
=12
8
⇒12
3
8
2
+
+
=3
2
=12
8
7.- Si
3
2
=12
8
⇒12
3
8
2
−
−
=3
2
=12
8
SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES
Se denomina así al conjunto de más de 2 razones que tienen el mismo valor.
Ejemplo:
0
,
5
8
4
6
3
4
2
2
1
=
=
=
=
Ejemplo: ...(I) 12 8 9 6 6 4 3 2 k = = = = ,3
2
=
k
PROPIEDADES:Dada una serie de Razones Equivalentes como (I) entonces:
1 Propiedad: Ejemplo: 3 2 12 9 6 3 8 6 4
2 = =
+ + + + + + k 2 Propiedad: Ejemplo: 81 16 3 2 12 9 6 3 8 6 4
2 4 4 =
= = k x x x x x x AUTOEVALUACIÓN
1 La suma del antecedente y consecuente de una razón geométrica es 120 y su razón es 0.5. ¿Cuál es la semidiferencia de dichos números?
a) 70 b) 40 c) 20
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2 Se tiene dos terrenos, uno en forma cuadraday el otro en forma de triángulo equilátero. Si el lado del primer terreno es al lado del segundo como 5 a 3, la razón entre las áreas es:
a) 33
3
100 b) 33
2 100
c) 33
2
120 d)
27 3
100 e)5/3
3 Los números a, b y c son entre sí como 2, 3 y 4. Hallar el menor número, sabiendo que: a + b + c = 72
a) 4 b) 8 c) 24
d) 16 e) 32
4 Dos números enteros "x", “y” son proporcionales respectivamente a 3 y 5, y satisfacen la siguiente relación: 3x2 + 5y2 - 2xy = 488. Luego la diferencia "y -x", es:
a) 9 b) –2 c) 6 d) 2 e) 4
5 En un corral se tienen ovejas y gallinas, la razón de ovejas a gallinas es de 4 a 3. Si el total de animales es de 280, el número de ovejas es:
a) 160 b) 100 c) 120
d) 80 e) 140
6 Dos números son entre sí como 7 es a 13. Si al menor se le suma 140, para que el valor de la razón no se altere, el valor del otro número debe quintuplicarse. El menor de los dos números es:
a) 30 b) 40 c) 35 d) 50 e) 65
7 De un grupo de hombres y mujeres se retiran 20 mujeres quedando tres hombres por cada mujer. Después se retiran 50 hombres y quedan entonces dos mujeres por cada hombre. El número total de hombres y mujeres al comienzo era igual a :
a) 110 b) 100 c) 90 d) 80 e) 70
8 La razón de las estaturas de Paquito y Vicentito están en la razón de 4 es a 3. Pero Paquito le comenta a Vicentito mi padre fue tan bajo que mide exactamente 5cms menos que
un metro y medio y además 10cms más que tú. ¿Cuál es la estatura del gran Paquito (en metros)?
a) 1,88 b) 1,60 c) 1,75 d) 1,78 e) 1,80
9 ¿Cuál es la mayor de las tres partes en que se divide 205, de tal manera que la primera sea a la segunda como 2 es a 5 y la segunda sea a la tercera como 3 es a 4?
a) 80 b) 85 c) 90 d) 100 e) 95
10 La razón aritmética de dos números es 7/12 y su razón geométrica es igual a 3 1/3. El mayor de los números es :
a)
7
5
b)
4
1
c)
5
1
d)
8
1
e)
6
5
11 El número de alumnos del curso de Álgebra es al número de alumnos del curso de Literatura como 2 es a 5; si después de la primera evaluación en el curso de Álgebra se retiraron 80 alumnos, la nueva relación es de 2 a 7. ¿Cuál es el número de alumnos que iniciaron el curso de Álgebra?
a) 439 b) 419 c) 459 d) 479 e) 489
12 El producto de los términos extremos de una proposición geométrica es 36 y la suma de los términos medios es 12. ¿Cuál es la diferencia entre los términos medios?
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
13 A una fiesta asisten 400 personas entre hombres y mujeres. El número de hombres es al total de personas como 3 es a 5. Luego de 2 horas por cada 2 hombres hay una mujer. ¿Cuántas parejas se retiraron?
a) 40 b) 180 c) 80
d) 90 e) 60
14 Determine la cuarta proporcional de: La tercera diferencial de 14 y 13. La tercera proporcional de 2 y 6, y la cuarta diferencial de 2; 5 y 3
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15 Las posibilidades de ingresar a la Universidadson de 1 a 10. Si se aumentan en 20 el número de vacantes, las posibilidades de ingresar son de 2 a 19. Si luego se inscriben 1000 postulantes más. ¿Cuáles serán las posibilidades de ingreso ahora?
a)
12
1
b)
19
3
c)
19
4
d)
24
5
e)
20
7
16 La edad de A y B son entre sí como 5 es a 4; la razón entre las edades de B y C es 3/7. SI la suma de las edades de las tres personas es 165. Hallar la diferencia entre la edad del mayor y la del menor.
a) 48 b) 49 c) 46
d) 45 e) 58
17 La suma de tres números es 1425. La razón del primero y el segundo es 11/3 y la diferencia de los mismos es 600. ¿Cuáles son los tres números?
a) 825; 235 y 375 b) 825; 225 y 375 c) 625; 225 y 375 d) 825; 225 y 275 e) 625; 225 y 275
18 El producto de los cuatro términos de una proporción geométrica es 11664 y la diferencia de los medios es 23. Hallar la suma de los medios.
a) 27 b) 23 c) 46 d) 31 e) 38
19 En una proporción geométrica, la suma de los cuadrados de sus cuatro términos es 442. Si la suma de los extremos es 21 y la suma de los medios es 19. Hallar diferencia entre los extremos.
a) 15 b) 20 c) 5 d) 9 e) 6
20 Sabiendo que:
p
c
n
b
m
a
=
=
y además:(a+b+c) . (m+n+p) = 7225 Calcular: T = 16( am+ bn+ cp)
a) 1230 b) 1360 c) 2360 d) 2520 e) 1020
21 Si:
Y 4 T Y A T N A 972
N = = = =
Hallar: N + A + T + Y
a) 430 b) 460 c) 448 d) 480 e) 650
22 Si “m” es la media proporcional de 9 y 4; “n” es la cuarta proporcional de 8, m y 12.
Hallar: m + n
a) 13 b) 14 c) 15
d) 16 e) 17
23 Si:
64 Z 27 y 8
x3 3 3
=
= . Además: 9y – x – z = 399
Hallar: x + y + z
a) 131 b) 141 c) 151 d) 161 e) 171
24 La edad de A y B son entre sí como 5 es a 4. La razón entre las edades de B y C es 3/7. Si la suma de las edades de las tres personas es 165. Halla la diferencia entre el mayor y el menor.
a) 43 b) 44 c) 48
d) 34 e) 57
25 La suma de tres números es 502 y dos de ellos están a la relación de 17 a 18. Si su suma es 385. ¿Cuál es el menor número?
a) 114 b) 117 c) 119 d) 120 e) 100
CONJUNTOS
Consideremos el siguiente ejemplo: C=
{
1;2;{ } { }
1,2;5; 6}
Entonces:Notación: C
Relación de pertenencia:
2 ∈ C 8 ∉ C {1; 2} ∈ C 5 ∈ C 6 ∉ C
Cardinal de un conjunto: n(C) = 5
1. DETERMINACION DE UN CONJUNTO
1.1 Por Comprensión o de forma constructiva:
Ejemplo:
A = {x/x es un número natural par menor
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A
A B
B B = {x/x es una vocal abierta}
C = {x/x ∈ N ∧ 4 < x ≤ 7}
1.2 Por extensión o de forma tabular:
Ejemplo:
Desarrollando los conjuntos que están escritos arriba por comprensión serán escritos por extensión así:
A = {0; 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14} B = {a, e, o}
C = {5, 6, 7}
Observación: No todos los conjuntos se pueden determinar por comprensión y
extensión a la vez.
Ejemplo:
F=
{
−7; −3;1;5; 9}
Por comprensión, tenemos:
F=
{
−7+4n / n∈ Z,0≤n <5}
2. CLASES DE CONJUNTO
POR EL NÚMERO DE ELEMENTOS:
a) Vacío o Nulo: se denota por: Φ ó {}
Ejemplo:
A = {x ∈ N/ 5 < x < 6}
Desarrollando por extensión será: A = {}
o A = Φ
b) Unitario o Singletón:
Ejemplo:
G = {x ∈ Z / - 4 < x < - 2}
Desarrollando por extensión será: G = {-3}
c) Universal: (U)
Ejemplo:
Donde:
U = {-7 -3 ;
2
1
;
7
3
−
; 1; 2 ;
5
; 3,25}(Conjunto Universal) N = { 1; 2 }
Z = {-7 -3 ; 1; 2 }
Q = {-7 -3 ;
2
1
;
7
3
−
; 1; 2 }
Q* = {
5
} d) FinitoM = {x/x es una ciudad del Perú} e) Infinito
K = {x/x es un número natural}
POR LA RELACIÓN ENTRE LOS CONJUNTOS
a) Disjuntos: Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen ningún elemento común.
Su gráfica es:
A ∩ B = Φ
Ejemplo:
A = {1; 2; 4; 6}
B = {5; 8; 16; 3}
Entonces: A ∩ B = Φ
b) Diferentes: Aquellos que, teniendo distintos elementos tienen por lo menos un elemento
común (pero no todos). Su gráfica es:
A ∩ B ≠Φ
Ejemplo:
A = {5; 4; 6}
B = {5; 8; 16}
Entonces: A ∩ B = {5}≠Φ
c) Comparables: Dos conjuntos A y B son comparables si y solo si A ⊂ B ó B ⊂ A. Su
gráfica es: U
N1
Z
Q*
5
R
3,25
C
-7 3
Q
½
-3/7
A B
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B⊂A A⊂BEjemplo:
A = {2; 3}
B = {2; 3; 5; 8}
Entonces: A ⊂ B
d) Equipotentes o Equivalentes: Cuando entre sus elementos puede establecerse
una correspondencia biunívoca. (tienen el
mismo número de elementos)
Ejemplo:
A = {5, 6, 8, 9}
↓ ↓↓ ↓
B = {m, b, g, k}
Entonces: n(A) = n(B) = 4
Luego: A y B son Conjuntos equivalentes
3. CONJUNTO ESPECIALES
Conjunto de Conjuntos: También se le denomina "Familia de Conjuntos" y es
aquel conjunto cuyos elementos son todos
conjuntos:
Ejemplo:
A = {{3}, {1, 4}, {6, 7}}
Conjunto Potencia: Se llama conjunto potencia de A (o conjunto de partes de A) al
conjunto formado por todos los
subconjuntos de A.
Se le denota por: P(A)
El número de elementos de P(A) está
dado por: 2n, donde "n" representa el
número de elementos del conjunto A.
Es decir:
n[P(A)] = 2n(A)
Ejemplo:
Si: A = {1, 3} y n(A) = 2 elementos
⇒ n [P(A)] = 2n(A) = 22 = 4
Luego: P(A) = {Φ, {1}, {3}, {1, 3}}
4. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
Relación de Inclusión: Es la relación que existe entre dos conjuntos:
Se dice que "El conjunto A está incluido en
el conjunto B (Se denota A ⊂ B), cuando
todo elemento que pertenece al conjunto A
también pertenece al conjunto B. Es decir:
A ⊂ B ⇔ ∀x, x∈A ⇒ x∈B
Número de subconjuntos de A:
n[P(A)] = 2n(A)
Ejemplo:
Si: A = {1; 2; 3} y n(A) = 3 elementos
⇒ Número de subconjuntos de A: n
[P(A)] = 2n(A) = 23 = 8
y P(A) = {Φ, {1},{2}, {3}, {1, 3} {1,2},
{2, 3}{1, 2, 3}}
Observación: Subconjunto Propio: Se dice que A es subconjunto propio de B si y solo
si. A ⊂ B y A ≠ B.
Número de subconjuntos propios de A:
2n(A) - 1
Relación de Igualdad: Intuitivamente dos conjuntos A y B son iguales cuando tienen
los mismos elementos.
Es decir: A = B ⇔ A ⊂ B ∧ B ⊂ A
Ejemplo:
Sean: A = {1; 2; 3}
B = {x/x ∈ N ∧ 0 < x ≤ 3}
Desarrollando por extensión al conjunto B
se tiene: B = {1; 2; 3}
Luego A = B
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
1. Unión o Reunión (A∪∪∪∪B): A ∪ B {x/x ∈ A ó x ∈ B}
A
A
A B
B
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Ejemplo:
Si: A = {1; 2; 3} y B = {3; 4; 5}
Luego: A ∪ B = A = {1; 2; 3; 4; 5}
Propiedades.
a) A∪B = B∪A b) A∪A = A
c)A⊂(A∪B) d) A∪Φ = A
e)B⊂ (A∪B) f) A∪U = U donde U =
Conjunto Universal
2. Intersección (A∩∩∩∩B): A∩B = {x/x ∈ A∧x ∈ B}
Ejemplo: Si A = {1; 2; 3} y B = {3; 4; 5} Luego: A ∩ B = { 3 }
3. Diferencia (A-B): Es aquel conjunto cuyos elementos pertenecen a "A" pero
no al conjunto "B". Es decir:
A - B = {x/x ∈ A ∧ x ∉ B}
Ejemplo: Si A = {1; 2; 3} y B = {3; 4; 5} Luego: A - B = {1; 2 }
Propiedades:
a)A-B ≠ B-A b) A-A = Φ c)(A-B)
⊂ A d) A - Φ = A e) (B-A) ⊂ B f) Φ - A = Φ h)(A-B) ∪ (A∩B) = A
Gráficamente se tiene:
A-B B-A A-B B-A
A-B B-A =Φ
Observación: A - B = Φ = B - A ⇒ A = B 4. Diferencia Simétrica (A∆∆∆∆B):
A ∆ B = {x/x∈A ó x∈B; x∉(A∩B)}
También:
A∆B = (A-B)∪(B-A)
A∆B = (A∪B) - (A∩B)
Ejemplo:
Si: A = {1; 2; 3} y B = {3; 4; 5}
Luego: A ∆ B = { 1; 2; 4; 5 }
Propiedades:
a) A∆A = Φ
b) A∆Φ = A
c) A∆B = B∆A
d) Si: A y B son conjuntos disjuntos,
entonces A∆B = A∪B
e) Si: B está incluida en A, entonces:
A∆B = A - B
5. Complemento (A') (Aº): A' = {x/x∈U ∧ x∉A}
A' A' A
A
A B
B
B
A
A
A
B B
A
B
A
A
A B
B
B
A
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Ejemplo: Si A = {1; 2; 3} y U = {1; 2; 3; 4; 5}
Luego: A' = { 4; 5 }
Propiedades:
a)A∪A' = U b)A∩A' = Φ c) (A')' = A d) Φ' = U
Leyes de Morgan:
(A∪B)' = A' ∩ B'
(A∩B)' = A' ∪ B'
Observación: Tres conjuntos A, B y C que en un diagrama de Venn se
representan secantes, mutuamente
quedan divididos en siete regiones. El
número de elementos de cada región de
dichos conjuntos puede calcularse del
modo siguiente:
N8
EJEMPLOS DE APLICACIÓN
1. De 180 alumnos de la U.M.B el número de los que estudian Matemática es el doble de los que estudian Lenguaje. El número de alumnos que estudian ambos cursos a la vez es el doble de los que estudian solo lenguaje e igual a los que no estudian algunos de esos cursos ¿Cuántos alumnos estudian sólo Matemática?
Solución:
Tenemos
2x + 4x + 2x + x = 180 9x = 180 x = 20 Entonces:
Sólo Matemática llevan: 4x = 80 alumnos
2. ¿Qué representa la región sombreada?
a) (A - B) ∪ (A - C) b) A – (B ∩ C) c) (A - B) – (A –C) d) A ∩ (C – B)
1. Dados los conjuntos A = {2; 3; 5} B = {4; 2; 5} C = { 2; 3; 4; 5}. Determine la validez V ó falsedad F de las siguientes proposiciones:
i) A ∩ B = A ∩ C
ii) [ ( B ∪C) ∩( A-B )] ⊂ A iii) A
∆
B = C – (A ∩ B)a) FVV b) FFV c) VVV d) VFV e) FVF
2. Sean los elementos : A = {2; 3; 4}; B = {2; 4; 6} y C = {1; 2; 3; 4}
Determinar el número de elementos de P si:
P = [(C – A) ∪ (C – B)] ∪ [(B-A) ∪ (B-C)]
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
3. Sean: U = {1; 2; 3; ...} A = {2x / x ∈ U ∧ x ≤ 5}
∈ + = /y A
2 4 y B
∈ + = /Z B
3 1 2Z C
¿Cuántos elementos tiene P(C)?
a)8 b) 16 c) 10 d) 4 e) 32
AUTOEVALUACIÓN
Sólo A = n1 = n(A) – n(B∪C)
Sólo B = n2 = n(B) – n(A∪C)
Sólo C = n3 = n(C) – n(A∪B)
Sólo A y C = n4 =n(A∩C) – n(B)
Sólo A y B = n5 =n(A∩B) – n(C)
Sólo B y C = n6 =n(B∩C) – n(A)
A, B y C en conjunto = n7 = n(A ∩B∩C)
ni A, ni B ni C = n8 = n(U) – n(A ∪B C)
M L
2x
4x
x 2x
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4. Para dos conjuntos M y N se cumple que:n(M ∪ N) = 8, además: n[P(M)] + n[P(N)]=160. Determine n[P(M ∩ N)]
a) 14 b) 15 c) 16 d) 4 e) 8
5. Dados los conjuntos A y B que cumplen: n(A ∆ B) = 12; n(B – A) = 1 y n(A U B) = 33. Calcular: 4[n (A ∩ B)] – 3 [n(A – B)]
a) 13 b) 31 c) 5 d) 51 e) N.A.
6. Si un conjunto tiene 4095 subconjuntos propios. ¿Cuántos elementos tiene dicho conjunto?
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
7. Siendo A y B dos conjuntos, tales que: n(A ∪ B) = 35; n(A – B) = 15; n(B – A) = 12. Hallar: 3[n(A)] – 2[n(B)] – n(A∩B)
a) 24 b) 21 c) 27 d) 18 e) 10
8. Al determinar por comprensión el conjunto : P = {1, 2/5, 1/4, 2/11, 1/7}
Se obtiene:
a) {1/2 (3n-5) / n ∈ N, 1 < n ≤ 5} b) {1/2 (3n – 5) / n ∈ z+, 1 ≤ n ≤ 5} c) {2/(3n-1) / n ∈ z+, 1 ≤ n ≤ 5} d) {2/(3n+1) / n ∈ N, 1 ≤ n ≤ 5} e) {2/(3n-1) / n ∈ N, 1 ≤ n < 5}
9. Hallar (b + c)2 – a2. Si a, b y c se obtienen de los conjuntos iguales :
A = {a + 3; 7 – a} B = {a – 3; 13 – a} C = {2; b + c}
a) 39 b) 38 c) 8 d) 5 e) 38,5
8. A y B son conjuntos finitos y se sabe que : n(A∩B) =1 ; n(B–A) = 4;
n[P(A∪B)] = 126 + n[P(A∩B)]. Hallar n(A). a) 2 b) 4 c) 6
d) 5 e) 3
9. Sean A, B y C conjuntos tales que: A ⊂ C; C ⊃ B; n(A ∩B) = 30; n(A ∪ B) = 90; n(A) = n(B) + 30 ; n(C) = 120. Determinar : n [(C – A) ∪ (B – A)]
a) 55 b) 50 c) 45 d) 40 e) 36
10. En una encuesta realizada a un grupo de 100 estudiantes, se obtuvo 28 estudian inglés, 30 alemán, 42 francés, 8 alemán e inglés, 10 francés e inglés, 5 francés y alemán; 3 los 3 idiomas. ¿Cuántos solo estudian 2 idiomas?
a) 25 b) 34 c) 22 d) 20 e) 18
11. De un grupo de estudiantes que rindieron exámenes los resultados fueron:10 aprobaron Matemática y Física; 07 aprobaron Matemática y Química; 09 aprobaron Química y Física, 17 aprobaron Matemática; 19 aprobaron Física; 18 aprobaron Química y 4 aprobaron los 3 cursos. ¿Cuántos alumnos rindieron exámenes? y ¿Cuántos aprobaron sólo 1 curso?
a) 31 y 2 b) 32 y 10 c) 33 y 12
d) 32 y 14 e) 32 y ninguno
12. Del total de damas de una oficina, 2/3 son morenas, 1/5 tienen ojos azules y 1/6 son morenas con ojos azules. ¿Qué fracción no son ni morenas, ni tienen ojos azules?
a) 9/10 b) 3/10 c) 2/15 d) 1/6 e) 1/5
14. Se tiene 2 conjuntos comparables A y B los cuales tienen uno 3 elementos más que el otro, el número de sus conjuntos potencias difieren en 3584. Calcular el cardinal de la unión de ambos conjuntos.
a)8 b) 17 c)10 d)11 e)12
15. Un club de deportes tiene 38 frontistas, 15 pimponistas y 20 tenistas. Si el número total de jugadores es 58 y solo 3 de ellos practican los 3 deportes. ¿Cuántos jugadores practican solamente un deporte?
a) 42 b) 43 c) 44 d) 45 e) 46
16. ¿A qué operación de conjuntos corresponde el siguiente gráfico?
a) (B ∪ C) – A A B b) (B ∩ A) – C
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d) (A ∪ C) – Be) (B ∩ C) – A C
17. ¿Cuál es la expresión que representa a la zona sombreada?
a) (A∪B) ∆ C b) (A∪B) - C c) (A∩B) – C d) (A∩C)∪B e) (A∪C) – B
18. ¿Qué relación conjuntista expresa mejor la siguiente región sombreada?
a) (A∩B) ∪ (B∩C) b) (A - C) ∪ (B - C) c) (B∩A’) ∪ C d) (A∆C) ∩ B e) (A’∪C’) ∩ B
16. De un grupo de 60 personas, los que leen “El Comercio” y “La República” son: 1/3 de los que leen “El Comercio” 1/5 de los que leen “LA República” Si 4 no leen estos diarios ¿Cuántos leen solo El Comercio”?
a) 24 b) 15 c) 16 d) 14 e) 10.
17. De un grupo de 36 invitados a una fiesta, se sabe que 18 son argentinos, 8 peruanos y 19 son músicos. De los músicos 4 no son, ni argentinos, ni peruanos, además 5 son músicos peruanos. ¿Cuántos de los artistas no son peruanos?
a) 15 b) 14 c) 13 d) 22 e) 11
18. En un grupo de 70 personas, 32 saben inglés, 26 castellano, 37 alemán, 6 inglés y castellano, 9 castellano y alemán y 12 inglés y alemán. ¿Cuántos saben los 3 idiomas?
a) 3 b) 4 c) 2 d) 5 e) 15
A
C
B
A B