UNIDAD DIDACTICA 2013 10 P2 DECIMO.pdf

(1)

INSTITUCION EDUCATIVA MANUELA BELTRAN

APROBADA SEGÚN RESOLUCION DE FUSION CON NUMERO 2049

DE SEPTIEMBRE DE 2002 y 2487 DE NOVIEMBRE DEL 2010

UNIDAD DIDACTICA Código:

MABE-GA-FUD-02 Versión: 02 Fecha: 01-01-2012 Página 1 de 7

Área: MATEMATICA Asignatura: TRIGONOMETRIA Curso(s): DECIMO

Docente: ERNESTO CUADROS Período 2 : 1 de abril- 23 de junio /2013

Objetivos: (uno general y varios específicos)

1. Identificar las funciones trigonométricas a través de la gráfica

2. Reconoce y usa diferentes maneras de medir ángulos

3. Determina el valor de las funciones trigonométricas para un ángulo dado 4. Identifica las líneas trigonométricas de las

funciones sen, cos, tan, csc, sec, cotan para un ángulo dado

5. Aplica las funciones trigonométricas en la solución de problemas

Competencia:

Interpretativa: Identifica las variaciones de las funciones trigonométricas (amplitud, periodo, etc)

Argumentativa: Presenta justificaciones para identificar las gráficas de las diferentes funciones trigonométricas Propositiva: Escribe las funciones trigonométricas con base gráficos de funciones periódicas

Indicadores de Desempeño: (Redactar uno o dos por tema visto, mirando los estándares)

1. Mide la velocidad angular de un objeto que da vueltas alrededor de una circunferencia de 5m de radio

2. Calcula en un experimento la velocidad lineal de un estudiante que recorre la cancha de basquetbol a velocidad constante y velocidad variable

3. Dibuja 5 triángulos rectángulos en diferente posición y construye la razón del seno para cada ángulo de cada triángulo

4. Dibuja 5 triángulos rectángulos en diferente posición y construye la razón del coseno para cada ángulo de cada triángulo

5. Dibuja 5 triángulos rectángulos en diferente posición, los mide (ángulos y lados) y construye la razón de la tangente para cada ángulo de cada triángulo 6. Resuelve 5 problemas de aplicación de las funciones trigonométricas, es

decir realiza medición indirecta con alto grado de precisión

7. Realiza en un pliego de papel bond la gráfica de la función seno definida para ángulos formados en una circunferencia de 15 cm de radio

8. Realiza en un pliego de papel bond la gráfica de la función coseno definida para ángulos formados en una circunferencia de 15 cm de radio

9. Realiza en un pliego de papel bond la gráfica de la función tangente definida para ángulos formados en una circunferencia de 15 cm de radio

10. Resuelve en el aula 3 problemas en los cuales se formen triángulos rectángulos

11. Resuelve 5 triángulos rectángulos en los cuales se han dado tres medidas 12. Resuelve 5 triángulos oblicuángulos aplicando la ley del seno

13.

Resuelve 5 triángulos aplicando la ley del coseno

Titulo Unidad (s) (ideal uno por periodo)

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Y GRAFICAS

(2)

estrategias se usan para realizar las actividades). Se organiza el salón de clase en grupos de 3 estudiantes, a los cuales se les entrega una unidad didáctica; que previamente se explica en cuanto a contenido y alcances así como los indicadores de competencia a alcanzar una vez finalice el trabajo propuesto en ella.

La unidad en su contenido hace referencia a la conceptualización mínima necesaria que el estudiante debe conocer para aprender a desarrollar cada uno de los ejercicios propuestos al igual que las actividades que debe realizar al final de la unidad.

Una vez, el estudiante maneje con propiedad los conceptos propuestos en el contenido, será capaz de resolver los ejercicios propuestos, con base en los ejercicios resueltos que aparecen en la guía como ejemplo. El método de solución aplicado en la guía puede ser modificado a criterio del estudiante.

Las actividades planteadas al final de la unidad se resuelven aplicando los conceptos adquiridos en la apertura conceptual. Para aquellos estudiantes que presenten desempeños superiores, se les aplicaran actividades de profundización planteadas en la unidad.

Evaluación Escrita X Evaluación Oral

Trabajo en Grupo X Trabajo Individual X

Exposición Quist X

Revisión de

Cuaderno Taller X

Tareas Laboratorio

Informe de

laboratorio Mesa redonda

Otras: entrega de informes de las actividades propuestas al finalizar la clase

CONTENIDO: TEMAS Y SUBTEMAS:

- Las funciones trigonométricas definidas en la circunferencia unitaria - La circunferencia unitaria

- Líneas trigonométricas para un ángulo en posición normal - Funciones trigonométricas para ángulos complementarios - Funciones trigonométricas para ángulos suplementarios - Gráfica de la funciones trigonométricas

- Gráfica de la función y=sen x - Gráfica de la función y=cos x - Gráfica de la función y=tan x - Gráfica de la función y=csc x - Gráfica de la función y=sec x - Gráfica de la función y=cot x

- Variaciones de las funciones trigonométricas - Principios de aplicación

- Amplitud - Período - Desfase

(3)

- Funciones trigonométricas inversas

- Uso de la calculadora para el cálculo de las funciones trigonométricas

TEMAS Y SUBTEMAS: APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS - Resolución de triángulos rectángulos

- Casos de resolución de triángulos rectángulos - Ángulos de elevación y de depresión

- Resolución de triángulos oblicuángulos - Ley del seno

- Ley del coseno - Áreas de triángulos DESARROLLO DEL CONTENIDO:

1- Las funciones trigonométricas definidas en la circunferencia unitaria La circunferencia unitaria

Definición de las funciones trigonométricas sen, cos, tan (también se llaman razones trigonométricas)

Las funciones son solamente la comparación (fracción, razón) entre las medidas de dos lados del triángulo rectángulo en orden como se describe a continuación

Utilizaremos un triángulo rectángulo para definir las funciones trigonométricas: seno (sen), coseno (cos), tangente (tan), cotangente (cot), secante (sec) y cosecante (cosec).

En un triángulo rectángulo, estas funciones se definen como sigue:

; la función inversa del seno es cosecante

; la función inversa del coseno es secante

; la función inversa de la tangente es cotangente

Aquí podemos darnos cuenta que basta con conocer las funciones sen  y cos  para poder calcular las otras funciones, veamos por qué:

tan  =



cos

sen

cot  =



cos

sen

sec  =

cos



1

cosec  =



1 sen

Ejemplo:

1) Un ángulo agudo  tiene

5

3 



(4)

Ahora aplicamos las definiciones de las funciones trigonométricas y encontramos:

5

3 



sen

5

4 .

.

cos



hip

ad

c



4

3 .

.

tan



ad

c

op

c



3

4 .

.

cot



op

c

ad

c



4

5 .

.

sec



ad

c

hip



3

5 .

csc



op

c

hip



ACTIVIDAD DE APLICACIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS

Los estudiantes se hacen por grupos de tres personas y presentaran los resultados de la actividad por escrito en un trabajo. ¡Esta actividad será evaluada posteriormente de manera individual y por escrito seleccionando 5 problemas aleatoriamente!

1. Dados los siguientes valores:

a) Si

4

7 cos





, encuentra las otras funciones. b) Si cos



0,2, encuentra las otras funciones.

c) Si

9

5 tan





, encuentra las otras funciones.

2. Halla las razones trigonométricas de los ángulos agudos de los triángulos rectángulos indicados a continuación a) 5,4 y 3 cm

b) 8,10 y 6 cm c) 5, 12 y 13 cm d) 16, 34 y 30 cm

e) En un triángulo rectángulo ABC la hipotenusa a = 14 y el seno B= 0,75. Resuelve el triángulo. f) En un triángulo rectángulo ABC el cateto b = 14 y el seno C= 0,68. Resuelve el triángulo.

g) En un triángulo rectángulo ABC la hipotenusa a = 84 y la tangente B= 1,25. Resuelve el triángulo. h) En un triángulo rectángulo ABC el cateto c = 64 y la tangente B= 1,25. Resuelve el triángulo. i) En un triángulo rectángulo ABC el cateto b = 64 y el coseno C = 0,32. Resuelve el triángulo.

3. Calcula las restantes razones trigonométricas de los ángulos , sabiendo que a) sen = 4/7

b) cos = 1/2 c) tg = 7/6 d) tg = 1/2

4. Halla las razones trigonométricas de los ángulos de 30 º y de 60º. Ayúdate de los triángulos equiláteros. 5. Halla las razones trigonométricas del ángulo de 45 º. Ayúdate de un cuadrado.

Por teorema de Pitágoras buscamos el otro cateto del triángulo, que es 4

(5)

6. Calcula la longitud de la sombra de un abeto de 24 m de altura cuando la inclinación de los rayos del sol sea 23°.

7. Los extremos de las ramas de un compás distan 6 cm y cada rama mide 14 cm. Halla el ángulo que forman las dos ramas. 8. Si las dos ramas de un compás forman un ángulo de 50° y cada rama tiene 12 cm de longitud, halla el radio de la

circunferencia que puede trazarse.

9. Un hombre conduce 300 m por una carretera recta con una pendiente del 14%. Halla a qué altura se encuentra respecto del punto de partida.

10. Una escalera de mano está apoyada contra la pared de un edificio. Del pie de la escalera al edificio hay 12 m. La escalera forma con el suelo un ángulo de 70°. Halla la longitud de la escalera y la altura respecto del suelo del extremo superior de la citada escalera.

11. Un árbol proyecta una sombra de 18 m sobre el plano horizontal en que está situado, cuando los rayos del sol inciden con un ángulo de 20°. Halla la altura del árbol.

12. Halla la apotema de un polígono regular de 10 lados sabiendo que cada lado mide 10 cm. Halla el área de dicho polígono. 13. Una cometa está unida al suelo por un hilo de 100 m, que forma con un terreno llano un ángulo de 55°. Suponiendo que el

hilo está tirante, halla a qué altura, respecto del suelo, está la cometa.

14. Halla la altura de un poste situado sobre un plano horizontal sabiendo que desde un cierto punto de dicho plano se ve bajo un ángulo de 23° y que desde otro punto del mismo plano 15 m más próximo que el primero se ve bajo un ángulo de 35°. 15. En la cima de una colina situada sobre un terreno llano hay colocado un poste PQ de 8 m de altura. Desde un punto A, en el

terreno llano, los ángulos de elevación del extremo superior Q y del extremo inferior P del citado poste son, respectivamente, 41° y 40°. Halla la altura de la colina, con la máxima exactitud que puedas.

16. Desde un cierto punto A de un terreno llano, en el que está situado un abeto (árbol), se ve éste bajo un ángulo de 60°. Halla bajo qué ángulo se verá situándonos en un punto B del citado terreno tal que la distancia de B al pie del abeto sea la mitad que la de A.

17. Una moto circula 800 m por una carretera recta con una pendiente del 8%. Halla cuanto ha aumentado su altura, respecto del punto de partida.

18. Una casa tiene 5 pisos. La altura de cada piso es de 3,5 m. Estoy colocado a 6 m de ésta medidos en la horizontal. ¿Con qué ángulo veo cada piso?

19. En un acantilado, situado a 32 m sobre el nivel del mar, se divisan dos embarcaciones. Halla la distancia de las mismas si los respectivos ángulos son de 30º y 60º.

20. Ayudándote de la calculadora averigua los valores pedidos. Halla las restantes razones de cada ángulo, justifica el signo y el valor numérico. Generaliza el resultado.

sen 330º=cos 120º =tg 225º=sen 225º=cos 150º= tg 2025º=sen 240º=cos 135º=tg 405º=sen 1800º=

NOTA: El siguiente tema requiere el uso del material necesario como regla, compás, transportador 2- Líneas trigonométricas para un ángulo en posición normal

Un ángulo en posición normal es aquel que tiene el lado inicial sobre el eje x, en la parte positiva Ej: dibujar los ángulos de 300, 1200 , 2300 en posición normal

Angulo de 300 en posición normal

(6)

De la figura se puede decir que: ̅̅̅̅̅

̅̅̅̅ pero ̅̅̅̅=1 radio y ̅̅̅̅̅ , entonces

̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅, por lo tanto sen 30 es la distancia vertical medida en radios desde K hasta M. Las distancias hacia arriba del eje x son positivas en el plano.

Si no se mide en radios, otra forma de hacerlo es medir ̅̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ en cms y resolver :

̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅

̅̅̅̅̅

̅̅̅̅ pero ̅̅̅̅ =1 radio, entonces ̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅, por lo tanto sen 30 es la distancia horizontal medida en radios desde O hasta M. Las distancias hacia la derecha son positivas en el plano

Si no se mide en radios, otra forma de hacerlo es medir ̅̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ en cms y resolver :

̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅

̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅ que es lo mismo que ̅̅̅̅

̅̅̅̅ por los triángulos son semejantes, pero ̅̅̅̅=1 radio, entonces

̅̅̅̅ ̅̅̅̅, por lo tanto Tan 30 es la distancia vertical medida en radios desde Q hasta T

Si no se mide en radios, otra forma de hacerlo es medir ̅̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ en cms y resolver : ̅̅̅̅̅

̅̅̅̅

Signo de las funciones trigonométricas Nota: el seno es positivo en cuadrante I y II El coseno es positivo en cuadrante I y IV La tangente es positiva en cuadrante I y III

Ejemplo:

Hallar el sen 450, cos 450, tan 450

(7)

Área: MATEMATICA Asignatura: TRIGONOMETRIA Curso(s): DECIMO

Docente: ERNESTO CUADROS Período 3

Recursos: unidad didáctica, material de laboratorio, Internet ( Conversión de unidades)

Evaluación: Se valorara el trabajo en grupo, la prueba escrita, las actividades realizadas en clase.

La evaluación se hará semanalmente y al finalizar cada periodo, teniendo en cuenta la conceptualización y aplicación del trabajo teórico practico desarrollado por los estudiantes.

Bibliografía