TEORIA ELECTROMAGNETICA. Clase 6 Campo Magnético

TEORIA

ELECTROMAGNETICA

Clase 6

Campo Magnético

Magnetismo

z

La experiencia y análisis con

campos

magnéticos

, data de tiempos tan

tempranos como la cultura Griega, donde

Tales de Mileto

figura como uno de los

primeros en describir tales fenómenos,

pero sus estudios se restringieron

simplemente a

la observación de los

fenómenos que presentaban muestras de

minerales tales como la magnetita.

Magnetismo

z

Los antiguos Griegos conocieron las

magnetitas, un extraño mineral con el

poder de atraer el fierro. Algunas piezas

fueron encontradas cerca de la ciudad de

Magnesia

en Asia Menor (ahora Turquía).

Esa ciudad heredó su nombre a todas las

cosas que tienen que ver con el

Magnetismo

z

También conocida como

mineral de fierro

magnético

, es un mineral de oxido de

fierro cuya fórmula química es FeFe

O

, o

Fe

O

. Es el principal miembro de una

serie de minerales conocida como

"el

grupo Espinal".

Magnetismo

z

La serie de las magnetitas también

comprenden los minerales:

zMagnesioferritas, óxidos magnesio ferrosos

MgFe₂O₄.

zFranklinitas, oxidos zinco-ferrosos ZnFe₂O₄.

zJacobsitas, óxidos mangano ferrosos MnFe₂O₄.

zTrevoritas, óxidos niclo-ferrosos NiFe₂O₄.

Todos esos minerales son MAGNETICOS , aunque la Franklinita y la Jacobsita lo son débilmente.

Magnetismo

z

En 1600, hace 400 años

William Gilbert

,

principal físico de la Reyna Isabel I de

Inglaterra, publicó su gran estudio del

magnetismo "De Magnete" ("Sobre el

magnetismo"), que abrió la era de la

Física y la Astronomía en su forma

moderna e inició el siglo marcado por los

grandes logros de Galileo, Kepler, Newton

y otros.

Magnetismo

z

Antes de 1820, el único magnetismo

conocido era el de los imanes de hierro y

de las magnetitas.

z

Esto fue cambiado por un profesor de

ciencias poco conocido de la Universidad

de Copenhagen, Dinamarca, Hans

Electromagnetismo

z

En 1820 Oersted montó en su casa un

experimento demostrativo para amigos y

estudiantes.

z

Planeaba demostrar el calentamiento de un

alambre por el paso de una corriente eléctrica, y

también para demostraciones del magnetismo,

para lo cual el llevó una brújula montada sobre

un marco de madera.

Electromagnetismo

z

Mientras que llevaba a cabo su

demostración eléctrica, Oersted notó para

su sorpresa que, en todo momento en que

la corriente estuvo conectada, la brújula

se movió.

z

El se detuvo y terminó las

demostraciones, pero los meses

siguientes continuó trabajando

ardorosamente tratando de darle sentido

al nuevo fenómeno.

Electromagnetismo

z

Experimento de Oersted

z No obstante, el no pudo explicar el fenómeno

satisfactoriamente, la aguja no fue ni atraída ni repelida. En lugar de ello, la aguja tendió a formar ángulos rectos. Al final, el publicó sus investigaciones ( ¡en latín!) sin

Electromagnetismo

z

André-Marie Ampère en Francia estableció

que:

“

si una

corriente

en un alambre ejercía una

fuerza magnética sobre una brújula

,

dos de

tales alambres deberían interactuar

magnéticamente”.

z

En una serie de experimentos ingeniosos el

mostró que esta interacción era simple y

fundamental:

corrientes paralelas rectas se atraen, corrientes

antiparalelas se repelen.

Electromagnetismo

z

La fuerza entre dos

corrientes largas rectas

paralelas fue

inversamente

proporcional a la

distancia entre ellas

y

proporcional a la

intensidad de las

corrientes fluyendo

en cada una.

Electromagnetismo

z

En consecuencia, fue hasta el siglo XIX, cuando

se encontró una relación entre la

electrodinámica y el campo magnético.

z

Se puede asegurar que el experimento de

Oersted, fue la puerta de entrada a una nueva

ciencia: EL ELECTROMAGNETISMO.

z

El experimento de OERSTED, pone de

manifiesto la influencia que tiene una corriente

sobre una brújula

Campo Magnético

z

Se estableció que el espacio alrededor de

un imán, queda influenciado por la

presencia del mismo, de forma tal que,

ese espacio queda afectado, y entonces,

pequeños imanes se alinean en

direcciones bien definidas alrededor del

imán

z

a ese espacio afectado se le denomina

Líneas de Inducción

z

En especial, pequeñas agujas imantadas

(que en realidad constituyen brújulas), son

alineadas en direcciones tangentes a

curvas que se conocen como

"líneas de

inducción"

z

son el análogo magnético a la "líneas de

fuerza" de los campos eléctricos.

"los polos magnéticos son inseparables"

"los polos magnéticos son inseparables"

z El concepto de inseparabilidad de polos no se restringe a

imanes.

z torcemos dos alambres en forma circular, y los

mantenemos con separación constante

z Al tener sus corrientes en el mismo sentido, ellos se atraen como si se tratara de dos

imanes que se mantienen frente a frente con sus polos opuestos.

"los polos magnéticos son inseparables"

z un "electroimán", uno de sus extremos puede considerarse como el polo norte y el otro como el polo sur, demostrando de nueva cuenta la inseparabilidad de los polos.

Inducción Magnética B

z El campo magnético se representa por el "VECTOR DE INDUCCIÓN MAGNETICA" , en realidad este vector de inducción magnética es el análogo magnético del Vector de Intensidad de Campo Eléctrico .

z si existen cargas magnéticas en el espacio, existe el vector de inducción magnética en cada punto del

espacio.

z Por razones históricas del estudio del Campo

Magnético, se desarrolló primero la cantidad FLUJO DE CAMPO MAGNÉTICO.

Unidades B

z Esta cantidad no es otra cosa que la Integral de Flujo sobre una superficie S, del vector de inducción

magnética

z El Flujo de campo magnético tiene unidades primitivas (webers)

z La Inducción magnética tiene unidades derivadas

∫

⋅

=

Φ

B

d

S

r

r

[ ]

Φ

=

[ ]

B

r

[ ]

d

S

r

=

[ ]

B

r

[ ]

L

=

Weber

[ ]

[ ]

m

Tesla

weber

L

weber

B

=

=

=

r

Flujo de Campo Magnético

z Una propiedad importante del Flujo del Vector de Inducción Magnética aparece cuando la superficie de integración es una superficie Gaussiana:

z Como las cargas magnéticas son inseparables, al encerrar por ejemplo un imán dentro de una superficie gaussiana, parte de la superficie gaussiana

siente que el flujo del campo magnético "sale a través de ella", mientras que otra parte de esa superficie gaussiana siente que el flujo "entra por ella".

0

=

⋅

∫

S

d

B

r

r

Flujo de Campo Magnético

z La diapositiva anterior clarifica como penetra o sale el flujo de campo magnético de una superficie gaussiana que encierra a un imán.

z Cuando la superfice gaussiana no encierra a las cargas

magnéticas, sucede lo que se representa en la figura siguiente:

0

=

⋅

∫

S

d

B

r

r

El experimento de Oersted

z Las líneas de inducción (líneas de dirección del vector de

inducción magnética y que son tangentes el vector de

inducción), forman círculos cerrados que están centrados en el eje del cilindro, en planos perpendiculares al eje del

El experimento de Oersted

z El sentido de las líneas de inducción, que dan el sentido de los vectores de inducción magnética, cumplen la "regla de la mano derecha"

El experimento de Oersted

z experimentalmente la magnitud B del vector de inducción magnética es directamente proporcional a la corriente que circula en el

conductor, e inversamente proporcional a la distancia perpendicular entre el punto donde se mide el campo magnético y el eje del

conductor

z el análisis estadístico de datos, da el valor de la constante de proporción entre B, I y r. El valor encontrado es:

donde

z La magnitud del vector de inducción magnética alrededor de un conductor con corriente eléctrica de intensidad I es dada por la conocida expresión: r I B∝ π µ 2 0 7 0

4

10

×

=

π

µ

r

I

B

π

µ

2

=

Conducta de constantes en ecuaciones

análogas

z Esta expresión es análoga a la que da el campo eléctrico generado por una carga puntual

z Observamos que la constante de permitividad y la análoga de permeabilidad se colocan en posiciones “imágenes” una

multiplicando y otra dividiendo:

z Comportamiento que es común en las expresiones análogas de Campo Eléctrico y de Campo magnético

r

I

B

π

µ

2

=

4

1

r

q

E

ε

π

=

fuerza magnética sobre una carga

eléctrica

z

comportamiento de la fuerza que obra sobre la

carga eléctrica es el siguiente:

zLa fuerza sobre la carga eléctrica es proporcional a la

magnitud de la carga eléctrica.

zEsa fuerza también es proporcional a la magnitud del vector de Inducción magnética.

fuerza magnética sobre una carga

eléctrica

zSi la partícula al introducirse en el campo magnético está en reposo, la partícula no siente la acción del campo magnético, es decir la fuerza es nula.

zSi la partícula penetra en la región del campo magnético con una velocidad , la partícula siente la presencia de una fuerza cuya magnitud es proporcional a la velocidad de penetración en el campo de la partícula.

zSi el campo magnético es uniforme, la carga eléctrica desvía su dirección de desplazamiento, pero la magnitud de la

fuerza magnética sobre una carga

eléctrica

z La relación entre la fuerza que actúa sobre una carga, la velocidad de la misma, el vector de inducción magnética del campo, y la magnitud de la carga eléctrica:

B

v

q

Fuerza sobre conductor con corriente no

rectilíneo

∫

∫

=

×

=

B

l

d

I

F

d

F

r

r

r

r

ANALISIS DE UNA ESPIRA CON

ANALISIS DE UNA ESPIRA CON

CORRIENTE EN UN CAMPO MAGNÉTICO

B

l

I

ANALISIS DE UNA ESPIRA CON

CORRIENTE EN UN CAMPO MAGNÉTICO

da bc cd ab

F

F

F

F

r

r

r

r

−

=

−

=

ANALISIS DE UNA ESPIRA CON

CORRIENTE EN UN CAMPO MAGNÉTICO

( )θ ( )θ τ r F_ab l I l B sin I l l B sin 2 2 2 1 2 1 1 1 = = = ab

F

r

r

r

r

₌

_×

τ

F

r

r

r

r

₌

_×

τ

τ

τ

τ

r

=

r

+

r

( )

θ

τ

=

I

A

B

sin

Vector de momento de dipolo magnético

de una espira con corriente.

z Buscamos una expresión vectorial alternativa para el momento de fuerza total sobre la espira.

{ debemos utilizar la regla de la mano derecha para encontrar el vector de

Vector de momento de dipolo magnético

de una espira con corriente.

z El momento de dipolo magnético de una espira con corriente lo definiremos como el producto de tres

cantidades que caractericen a la espira con corriente:

zEl área encerrada por la espira

zLa corriente circulante

zLa magnitud del vector de inducción magnética a la que se sujete

B

A

I

=

µ

ESPIRA CON CORRIENTE EN UN CAMPO

MAGNÉTICO

z

L

{ A partir de la figura siguiente es posible darse cuenta que el momento de fuerza total sobre la espira es admisible escribirlo en términos del producto vectorial del momento de dipolo

magnético de la espira y del vector de inducción magnética

( )

θ

τ

=

I

A

B

sin

B

r

r

r

₌

_µ

_×

τ

ESPIRA CON CORRIENTE EN UN CAMPO

MAGNÉTICO

z En el caso de campo eléctrico se demuestra que la energía potencial de un dipolo eléctrico dentro de un campo eléctrico es dada por

z Un análisis completamente análogo se puede realizar para el caso de campo magnético y se llega a la

expresión:

z A partir de esa ecuación es posible encontrar las unidades del momento de dipolo magnético:

E

p

U

=

−

r ⋅

r

B

U

=

−

µ

r ⋅

r

[ ] [ ]

U

=

µ

r

[ ]

B

r

[ ] [ ]

µ

r

= r

[ ]

U =

_B

_Teslas

Joules

LEY DE BIOT-SAVART

z ¿cómo evaluar el campo magnético en un punto "P" del

espacio debido a la presencia de un conductor con corriente "I" de geometría cualquiera?

z Cuando se tiene un conductor de geometría cualquiera, conduciendo una corriente I, un elemento diferencial de conductor produce un campo magnético diferencial en un punto cuya posición desde el elemento diferencial es dada por el vector de posición .

z Ese campo magnético cumple:

l

d

r

P

rr

4

r

r

l

d

I

B

d

r

r

r

₌

×

π

µ

LEY DE BIOT-SAVART

z

LEY DE BIOT-SAVART

z Para encontrar el vector de inducción de campo

magnético es necesario realizar la integración de la

expresión anterior sobre todo el conductor, llegando a la integral de línea:

∫

∫

=

×

r

r

l

d

I

B

d

4

r

r

r

π

µ

ACTIVIDAD

z

Demostrar que la aplicación de la Ley de

Biot-Savart permite obtener la expresión

del vector de inducción magnética cuando

se aplica a un conductor rectilíneo infinito

que conduce una corriente “I”

z Recordar que Oersted no obtuvo la relación sino simplemente el comportamiento del campo magnético

Ley de Ampère simple

z La integral de circulación del vector de inducción B es igual al producto de la permeabilidad del vacío por la corriente estacionaria neta “I”:

z Se compara con la Ley de Inducción de Gauss de la que es “el analogo magnético”

z De nueva cuenta percibimos la posición de las constantes en esas ecuaciones “analogas”

I

r

d

B

µ

=

⋅

∫

r

r

Ley de Ampère simple

I

r

d

B

µ

=

⋅

∫

r

r

CAMPO ALREDEDOR E INTERIOR DE UN

SOLENOIDE

z Un solenoide es un arrollamiento de un conductor en forma espiral de tal forma que lo hace equivalente a una colección de "n" espiras idénticas ocupando una longitud determinada, conduciendo una

CAMPO ALREDEDOR E INTERIOR DE UN

SOLENOIDE

z La deducción del campo en el interior del solenoide es una aplicación clásica de la ley de Ampère

CAMPO ALREDEDOR E INTERIOR DE UN

SOLENOIDE

z Se realiza la integral de línea:

z Que se reduce a:

z en consecuencia, la aplicación de la ley de Ampère nos conduce a:

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

⋅

=

⋅

+

⋅

+

⋅

+

⋅

+

⋅

+

⋅

r

d

B

r

d

B

r

d

B

r

d

B

r

d

B

r

d

B

r

d

B

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

h

B

r

d

B

=

⋅

∫

r

r

I

h

n

h

B

=

µ

₀

I

n

B

=

µ

AUTOINDUCCION

z Cuando se tiene un dispositivo generador de campo magnético como es un solenoide, un toroide, o una

espira, ellos generan en ciertas regiones del espacio la presencia de un Campo Magnético cuando circula por ellos una corriente eléctrica.

z Si se tiene un solenoide en las cercanías de otro, el primero genera un campo magnético cuando circula a través de él una corriente, ese campo magnético tiene influencia sobre el segundo solenoide.

z Ese campo magnético genera un flujo de campo

AUTOINDUCCION

z Si la corriente en el primer solenoide es variable, en el segundo solenoide se generará un flujo de campo magnético variable sobre cada una de sus espiras.

z Esta variación de flujo de Campo Magnético en cada espira del segundo solenoide, generará a su ves un fuerza electromotriz inducida, según la Ley de Inducción de Faraday.

{ el fenómeno de fuerza electromotriz inducida no es privativo de un solenoide sobre otro

{ también se presenta cuando se tiene un solo dispositivo generador de campo magnético

{ en este caso la fuerza electromotriz inducida actúa sobre el mismo dispositivo

{ Es decir, la inducción de una fuerza electromotriz también se presenta sobre el mismo dispositivo generador del campo variable.

AUTOINDUCCION

z

La Autoinducción es el resultado de la

circulación de una corriente variable

generadora de campo magnético variable

z

Este a su ves produce sobre cada espira

del dispositivo generador de campo, un

flujo de campo magnético variable

z

Ese flujo tiende oponerse a la variación

del flujo de campo magnético original, por

medio de la inducción de una fuerza

electromotriz de dirección adecuada para

ese fin.

Autoinductancia de un solenoide

z Estudiemos este fenómeno para el dispositivo más simple: “un solenoide”

z el campo magnético generado dentro de ese dispositivo

depende de la intensidad de la corriente que circula en su arrollamiento.

z como primera buena aproximación, supondremos que el flujo de campo magnético calculado sobre cada vuelta del arrollamiento es el mismo para todas las espiras que constituyen el dispositivo.

Autoinductancia de un solenoide

z Sea el flujo de campo magnético en cada vuelta dado por:

el flujo sobre todo el dispositivo es la suma del flujo en cada vuelta

z Si el dispositivo tiene en total N vueltas, el flujo que está presente en el dispositivo es dado por la cantidad:

z A esta cantidad se le denomina “ENCADENAMIENTOS

DE FLUJO

”

B

Φ

B

Autoinductancia de un solenoide

z Los “ENCADENAMIENTOS DE FLUJO” deben considerarse como el flujo total en el dispositivo.

z Ley de Lenz en el dispositivo:

z Los encadenamientos de flujo, dependen del flujo sobre cada espira del dispositivo

z Este a su vez es proporcional a la corriente que circula en el dispositivo

(

)

i

N

Φ

∝

Autoinductancia de un solenoide

z Al utilizar una constante de proporción, que

denominaremos “autoinductancia” o símplemente “inductancia” del dispositivo

z representando esa constante por la letra latina mayúscula “L”:

z la fuerza electromotriz inducida en el solenoide es dada por:

i

L

N

Φ

=

( )

Autoinductancia de un solenoide

z A partir de esta ecuación puede despejarse la Inductancia dando como resultado:

z de donde se pueden dar las unidades de la inductancia:

z a la unidad derivada se le denomina

z Son las unidades de la AUTOINDUCTANCIA

t

d

i

d

L

=

−

E

Henry

Autoinductancia de un solenoide

z Dado un solenoide de “n” vueltas por unidad de longitud, podemos preguntarnos cual es la inductancia de una

porción de longitud “l” del mismo colocada en el centro del solenoide.

z El vector de inducción magnética es uniforme para puntos alejados de los extremos de un solenoide, cuando la corriente tiene valor “i”.

z para una porción de longitud “l” el número de vueltas de solenoide es determinado por la expresión:

i

n

B

=

µ

l

n

N

=

Autoinductancia de un solenoide

z ese número “N” de vueltas, es el número de espiras del solenoide que tomaremos en consideración al evaluar la Inductancia.

z flujo de campo magnético que atraviesa cada una de las espiras

A es el área de sección transversal de solenoide

z La integral que da el flujo es dada por:

∫

⋅

=

Φ

B

d

S

r

r

A

B

dS

B

dS

B

S

d

B

=

⋅

=

=

=

Φ

∫

r

r

∫

∫

Autoinductancia de un solenoide

z los enlaces de flujo son dados por :

z La Ley de Lenz en este caso se escribe como:

z como la expresión que da la inductancia en términos de la fem inducida es:

A

i

l

n

A

i

n

l

n

A

B

l

n

A

B

N

N

Φ

=

=

=

µ

=

µ

t

d

i

d

A

l

n

t

d

N

d

)

(

Φ

₌

₋

_µ

−

=

E

t

d

i

d

L

=

−

E

Autoinductancia de un solenoide

z podemos inmediatamente deducir:

que indica que la inductancia depende de propiedades netamente geométricas del dispositivo (ANÁLOGO AL CASO DEL CAPACITOR DE PLACAS PARALELAS).

z Se observa que la inductancia de un tramo de solenoide

es proporcional al volumen encerrado por el

arrollamiento en la porción de longitud “l” de solenoide.

A

l

n

L

=

µ

Energía almacenada en un solenoide

z La potencia disipada en un “elemento pasivo” es dada por:

pasivo o dispositiv del extremos los en potencial de diferencia V o dispositiv el en corriente I V I P = = =

Energía almacenada en un solenoide

z

En un solenoide la potencia disipada es dada

por:

z

pero la inductancia en una porción “l” de

solenoide es dada por:

(

)

( )

t

d

i

d

L

i

t

d

i

L

d

i

t

d

N

d

i

E

i

P

=

=

−

Φ

=

−

=

−

A

l

n

L

=

µ

Energía almacenada en un solenoide

z

en consecuencia, la potencia disipada en el

solenoide (asociada con la “caida de potencial”

en dirección de la corriente circulante en el

dispositivo ) es dada por:

Esta potencia es la energía por unidad de

tiempo que se entrega al solenoide para que se

convierta en energía en forma de campo

magnético.

t

d

i

d

i

A

l

n

E

i

P

=

=

µ

Energía almacenada en un solenoide

z

La energía almacenada en el solenoide cuando

la corriente aumenta de cero al valor “i”, es dada

por:

l

A

B

i

A

l

n

di

i

A

l

n

dt

t

d

i

d

i

A

l

n

U

µ

µ

µ

µ

2

2

=

=

=

=

=

∫

∫

Energía almacenada en un solenoide

z

Como idealmente en un solenoide se considera

que el campo es uniforme, podemos considerar

que la energía esta uniformemente distribuida.

z

La densidad de energía en forma de campo

magnético es uniformemente distribuida y dada

por:

B

B

B

l

A

l

A

B

l

A

U

volumen

U

u

r

r ⋅

=

=

=

=

=

µ

µ

µ

2

1

2

1

2

Energía almacenada en un solenoide

z

Expresión que tiene una analogía matemática

sorprendente con relación a la expresión de

densidad de energía en un condensador:

Donde resalta de nuevo la propiedad de posición de ε_ο y µ_ο

B

B

B

l

A

l

A

B

l

A

U

volumen

U

u

r

r ⋅

=

=

=

=

=

µ

µ

µ

2

1

2

1

2

E

E

u

=

r ⋅

r

2

ε

Densidad de energía en campos B(x,y,z)

z

Evidentemente, si se tiene un campo magnético

que en un cierto punto del espacio (x,y,z) tiene

el valor

la segunda expresión da la densidad de energía

en ese punto

(

)

B

B

u

z

y

x

B

B

r

r

r

r

⋅

=

=

µ

2

1

,

,