UNIVERSIDAD NACIONAL DE FORMOSA
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA SALUD
CARRERAS:
- Técnico en Laboratorio de Análisis Clínico
- Licenciatura en Bromatología
ASIGNATURA
- MATEMÁTICA I:
Apuntes de Cátedra
UNIDAD 3: Matrices
INTEGRANTES DE LA CÁTEDRA
Profesor Adjunto Ordinario
(a Cargo de la Cátedra): Esp-Prof. Jorge Mora
Profesor Adjunto Interino: Esp-Prof. Mario E. Quintana
Jefe de Trabajos Práctico Interino: Prof. Teresa E. Cardozo
Jefe de Trabajos Práctico Interino: Prof. José H. Pereira
UNaF – Facultad de Ciencias de la Salud – Año Académico 2020 - Matemática I – Apuntes de cátedra
Unidad N° 3: Matrices
Hamilton (irlandés), Sylvester (inglés) y Cayley (inglés) introdujeron a mediado del siglo XIX el concepto de matriz y con él designaron un arreglo o caja rectangular de números. Posteriormente estudiosos norteamericanos y europeos, estudiaron el pase del álgebra de matrices al álgebra lineal. Naciendo así los conceptos de transformaciones lineales y espacios vectoriales y aparecen los entes matemáticos: vectores y espacios vectoriales entre otros.
Sylvester en 1850 llamó MATRIZ a una disposición rectangular de números.
Otros matemáticos como Frobenius, Hermite, Jordan entre otros, han contribuido notablemente al desarrollo del álgebra de matrices.
Concepto: Para arribar al concepto de matrices partiremos de dos intervalos naturales iniciales:
Im = {1, 2, ..., m} y In = {1, 2, ..., n}
Realizando con ellos el producto cartesiano Im x In. Por definición de producto cartesiano obtenemos un conjunto formado por los pares ordenados que resultan de ese producto, a tal conjunto se lo designa con X
X = Im x In = {(1, 1); (1, 2); ...; (1, n); ...; (i, j); ...; (m, n)}
tal que o(X) = m x n “el cardinal del conjunto X es igual a m x n”
Si al conjunto X se lo considera Dominio de la función f: X K/ f le asigna como imagen a
cada par que pertenece X un escalar de K.
f: X K/ f(i;;j) = aij o f: Im x In K
Con la notación aij se designa al elemento de K que es imagen del par (i, j) / (i, j) pertenece al Im x In. Entonces por la definición de la función f, resultará: f(i;j) = aij.
Dominio de la función: X = {(i, j) / i = 1, 2...,m; j = 1, 2, ...n}
Codominio o imagen de la función: I / I K I = {aij / aij K f(j; j) = aij}
La regla de formación o asignación f(i;j) = aij que define los elementos de la imagen de la función, no necesariamente debe responder a una fórmula matemática conocida, tampoco debe depender de los valores de los subíndices i,j. Puede afirmarse que por lo general esa regla es arbitraria.
La función f : Im x In K recibe el nombre de matriz de clase mxn.
No se impone a la función f la condición de ser función inyectiva ni sobreyectiva.
Al conjunto imagen se lo puede escribir en forma de cuadro, ese cuadro contendrá los mxn elementos, dispuestos en m filas y n columnas, de forma tal que cada fila esté formada por los
elementos que son imágenes de los pares ordenados que tienen la misma primera componente y cada columna contendrá los elementos que son imágenes de los pares ordenados que tienen la misma segunda componente.
Simbólicamente se designa con M (u otra letra de imprenta mayúscula) al conjunto imagen, a los elementos de ese conjunto se los encierra entre paréntesis o corchetes.
mn
a
.
.
.
mj
a
.
.
.
m2
a
m1
a
...
...
...
...
in
a
.
.
.
ij
a
.
.
.
i2
a
i1
a
...
...
...
...
2n
a
.
.
.
2j
a
.
.
.
22
a
21
a
1n
a
.
.
.
1j
a
.
.
.
12
a
11
a
M
a f(i;,j) = aij se lo denomina elemento genérico
A la Matriz M también se la puede simbolizar mediante M = [aij] mxn, ó M Kmxn
Los subíndices de cada elemento expresan el número de la fila y de la columna a la que pertenecen: así aij que pertenece a M es elemento de la fila i-ésima y de la columna j-ésima, y es la imagen del par (i,j) a través de la función f.
Por ejemplo: a21 es elemento de la 2da fila 1ra columna
EJEMPLO: supongamos m = 2 n = 3 y f(i,j) = i . j
Dominio de la función: X = {(i, j) / i = 1, 2 j = 1, 2, 3} = {(1, 1); (1, 2); (1, 3); (2, 1); (2, 2); (2, 3)}
Codominio o imagen de la función: I = {1, 2, 3, 4, 6} f(1, 1) = 1 . 1 = 1 f(2, 1) = 2 f(1, 2) = 2 f(2, 2) = 4 f(1, 3) = 3 f(2, 3) = 6
El cuadro que representa a la matriz será:
M K2x3, se lee: “matriz M de clase 2 por 3”
Matriz: función: ImxIn K que puede escribirse como un conjunto ordenado de números,
dispuestos en m filas y n columnas.
Orden de una matriz: está dado por el número de filas y columnas que la forman.
M = [a ij] mxn M Kmxn
6
4
2
3
2
1
M
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Las matrices como tablas de doble entrada: las matrices suelen utilizarse para organizar
sistemáticamente información de carácter estadístico útil para la toma de decisiones.
EJEMPLO: Un investigador efectúa un experimento repetidas veces bajo diversas
condiciones utilizando diferentes tratamientos. Si al número de tratamientos lo simbolizamos con “m” y al número de medidas en cada tratamiento, “n”.
Las variables discretas o índices serán: i = número de tratamiento j = número de medida
aij: es la j-ésima medida del i-ésimo tratamiento.
La tabla de medidas de los tratamientos será la matriz cuyo elemento de lugar (i,j) es aij.
Tabla: Tratamiento Nº medida número j = 1 j = 2 j = 3 j = 4 i = 1 0,9 1,1 1,3 1,9 i = 2 0,8 0,9 1,2 1,7 i = 3 1,0 1,4 1,7 2,1 Matriz: 2,1 1,7 1,4 1,0 1,7 1,2 0,9 0,8 1,9 1,3 1,1 0,9 T T K3x4
Otro EJEMPLO de aplicación de Matriz:
La empresa comercial "Reactivos S XXI", registra sus ventas mensuales de reactivos de acuerdo con la siguiente clasificación: reactivo A, reactivo B y reactivo C. Al elaborarse el informe para el primer bimestre de actividades del año en curso, se han registrado los siguientes datos de venta; los mismos están expresados en miles de pesos.
Reactivo A Reactivo B Reactivo C
Enero 10,4 5 9,1
Febrero 12 6,5 10
El resumen, los valores se pueden representar en la matriz:
10 6,5 12 9,1 5 10,4A
CLASIFICACIÓN DE MATRICESAlgunas matrices presentan características particulares en la disposición o naturaleza de sus elementos. En función a estas características podemos clasificar a las matrices de la siguiente forma: I) Si A Kmxn
es m = n A es matriz cuadrada.Las matrices cuadradas se pueden clasificar entre otras en: superior
triangular
inferior diagonal o casi escalar Matrices cuadradas escalar
identidad simétrica antisimétrica
II) Si A Kmxn
es m n A es matriz rectangular. Matrices rectangulares
n
m
si
r vertical
rectangula
n
m
si
horizontal
r
rectangula
Nula, Opuesta Conjugada III) Otras matrices especiales (nómina no exhaustiva): Hermitiana
Regular Singular Inversible Adjunta
I) Matriz cuadrada
Si m = n, la matriz AKmxn se llama matriz cuadrada y tiene igual número de filas que de columnas.
Si m = n = 3 es A = [aij]3x3 =
33 32 31 23 22 21 13 12 11a
a
a
a
a
a
a
a
a
A K3x3A es de clase n x n; o matriz cuadrada de orden n. Ejemplo:
0,8 13 -25 0,15 B Generalizando: A = [aij]nxn o A Knxn o
nn n2 n1 1n 12 11a
.
.
.
.
.
a
a
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
.
.
.
.
.
a
a
En las matrices cuadradas tiene particular interés la diagonal principal, que es la diagonal que va del vértice superior izquierdo al vértice inferior derecho y está formada por los elementos aij en los que i = j.
D = {aij /i = j} D = {a11; a22; ... ;ann} subconjunto ordenado del conjunto imagen de la matriz.
Los elementos de la diagonal principal se simbolizan: aij con i = j = 1, 2, . . . , n
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En estas matrices la diagonal secundaria es la que va desde el vértice inferior izquierdo al vértice superior derecho.
Los elementos aij y aji elementos de subíndices permutados son simétricos respecto a la diagonal principal y reciben el nombre de elementos conjugados, los que están en la diagonal principal son conjugados de sí mismo.
Entre las matrices cuadradas trataremos A: matriz triangular superior, matriz triangular inferior, matriz diagonal, matriz escalar, matriz identidad, simétrica y matriz antisimétrica.
La matriz de clase 1 x 1 se identifica con un escalar.
Matriz triangular superior: todos los elementos bajo la diagonal principal son nulos.
A = [aij] nxn es triangular superior aij = 0 i > j Ejemplo A =
1 0 0 2 5 0 5 0 2Matriz triangular inferior: A = [aij] nxn es triangular inferior aij = 0 i < j Ejemplo A =
4 9 1 -0 1 2 0 0 5-Matriz diagonal o casi escalar: matriz que tiene nulos a todos sus elementos no pertenecientes a la
diagonal principal. A = [aij] nxn es diagonal aij = 0 i j A es diagonal
j
i
si
0
a
j
i
si
0
a
ij ij Ejemplo A =
2
0
0
0
7
0
0
0
5
Matriz escalar: matriz diagonal en la que todos sus elementos diagonales son iguales.
A = [aij] nxn es escalar
j
i
si
a
j
i
si
0
a
ij ij
Ejemplo A =
2
0
0
0
2
0
0
0
2
Matriz unidad o matriz identidad: matriz en la que sus elementos diagonales son iguales a la unidad.
A = [aij] nxn es matriz unidad
j
i
si
1
a
j
i
si
0
a
ij ij Ejemplo A =
1
0
0
0
1
0
0
0
1
Suele escribirse [1]nxnMatriz simétrica: matriz cuadrada en la que aij = aji i, j, Ejemplo M = 1 2 2 1 m21 = m12
Las matrices: diagonales, escalares y la unidad son simétricas.
Matriz antisimétrica: Es la matriz A= [aij]nxn en la que:i j
:
j i si 0 a j i si a - a ij ji ij Ejemplo R=
0
5
2
-5
0
6
-2
6
0
II) Matriz rectangular
Si m n, la matriz A = [aij]mxn se llama matriz rectangular. Todas las matrices que no son cuadradas son rectangulares.
Si m n y en A = [aij] mxn es m > n A es matriz rectangular vertical.
A=[aij]3x2 A =
32
a
31
a
22
a
21
a
12
a
11
a
Si m n y en A = [aij] mxn es m < n A es matriz rectangular Horizontal
A=[aij]2x3 A =
23
a
22
a
21
a
13
a
12
a
11
a
Vector nulo: vector fila o vector columna con todos sus elementos ceros.
0 0 ... 0
o 0 . . . 0 0
Vector unidad: Es el vector fila donde el j-ésimo componente es la unidad y todos los demás
elementos son nulos. l1 =
1 0 0 ... 0
l2 =
0 1 0 ... 0
. . .ln =
0 0 0 ... 1
Si consideramos vectores columnas, el vector unidad es aquel en el que el i-ésimo elemento es la unidad y todos los demás elementos son nulos.
l1 = 0 . . . 0 0 1 . . . .lm = 1 . . . 0 0 0
III) OTRAS MATRICES ESPECIALES
Matriz nula: matriz en la cual todos sus elementos son nulos.
A = [aij]mxn es nula aij = 0 i j Suele escribirse: N = 0 = [nij]mxn con nij = 0, i j
Matriz inversa aditiva u opuesta: A = [aij]mxn es inversa aditiva u opuesta de B = [bij]mxn bij = - aij i j B = -A, es decir, los elementos de B son opuestos a los elementos de A. Reemplazando la matriz B tendremos: A = [aij]mxn y - A = [-aij]mxn matrices opuestas
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Matriz traspuesta: Sea la matriz A = [aij]mxn la traspuesta de A será la matriz de clase n x m que se obtiene intercambiando filas por columnas o viceversa sin alterar el orden relativo de los elementos. A esa nueva matriz la identificaremos At.
A = [aij]mxn tiene su traspuesta en At = [aij]nxm.
Propiedades de la matriz traspuesta
1) (
a
A) t =a
. A t 2) (A + B) t = A t + B t 3) (A . B) t = B t . A tRelaciones entre matrices
Igualdad de Matrices: A = [aij]mxn y B = [bij]rxs son iguales satisfacen las siguientes condiciones: i) son del mismo orden (mr n s)
ii) los elementos correspondientes son iguales aijbij
OPERACIONES ELEMENTALES SOBRE UNA MATRIZ A Km x n
Sea A K mxn, las operaciones elementales que pueden realizarse sobre ella son: 1) Intercambio o permutación de 2 líneas paralelas entre si.
2) Adición de una línea al múltiplo otra paralela y reemplazo de una de ellas por la resultante. 3) Multiplicación o división de una línea por un escalar no nulo.
Al efectuar estas operaciones sobre una matriz obtenemos otra matriz que es equivalente a la dada. B ~ A B se obtiene efectuando un número finito de operaciones elementales sobre A.
B ~ A: se lee B es equivalente a A.
Sea A K mxn A1, A2 . . . Am son sus vectores filas.
Se llama operación elemental de filas sobre A a toda matriz obtenida por operaciones del tipo:
A = m j i 2 1 A A A A A A* = B = m i j 2 1 A A A A A A = m i 2 1 A A A A A* = B = m i 2 1 A A k A A k 0
Intercambio y de 2 filas entre sí. Producto de una fila por un escalar.
A = m j i 2 1 A A A A A A* = m j i i 2 1 A KA A A A A
Las matrices que se obtienen al realizar las operaciones elementales sobre las líneas de A se llaman
matrices elementales.
Suma de una fila (Ai) a otra (Aj) multiplicada por
un escalar (k) y reemplazo en (Aj). En símbolos:
ij b ij a s n r m B A j iEquivalencia de matrices
Sean A Kmxn B Kmxn, podemos decir que A es equivalente a B y expresar A ~ B, sí y sólo si B se obtiene efectuando un número finito de operaciones elementales sobre A.
Equivalencia de matrices: goza de las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva.: ~ es una relación de equivalencia establecida en Km x n.
Ejemplo: A= 4 7 3 4 5 2 1 2 1 7 1 0 6 1 0 1 2 1 1 0 0 6 1 0 1 2 1 1 0 0 0 1 0 0 2 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = B
OPERACIONES ENTRE MATRICES
1.- Adición de matrices: Dadas las siguientes matrices, todas pertenecientes a Kmxn :
A = [aij]mxn B[bij]mxn ... K = [kij]mxn
Se define suma de estas matrices a la matriz S/ S Kmxn , cuyos elementos se obtienen sumando los elementos correspondientes de las matrices A, B ... K
S = [Sij]mxn = [aij + bij + . . . + kij]mxn S =
mn m2 m1 1n 12 11S
S
S
.
.
.
S
.
.
.
S
S
= mn m1 1n 11 a . . . a a . . . a + mn m1 1n 11 b . . . b b . . . b + . . . + mn m1 1n 11 k . . . k k . . . k Ejemplo: A = 6 0 3 1 2 3 B = 2 1 -1 0 3 1 C =
5
3
5
4
3
2
S =
13
2
7
5
2
4
-Propiedades de la suma de matrices:
1) Propiedad de cierre o clausura
A Kmxn B Kmxn A + B = S S Kmxn 2) Propiedad asociativa: (A + B) + C = A + (B + C)
3) Existencia elemento neutro: 0 Kmxn / A + 0 = 0 + A = A A Kmxn
4) Existencia del inverso aditivo: A Kmxn; (-A) Kmxn / (-A) + A = A + (-A) = 0 5) Propiedad conmutativa: A + B = B + A F2 + (– 2). F1 en F2 F3 + (– 3). F1 en F3 F3 + (–1). F2 en F3 F1 + F3 en F1 F2 + (– 6). F3 en F2 Combinaciones de operaciones elementales sobre A para obtener B F1 + (–2). F2 en F1
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2.- Diferencia de Matrices
Sean A = [aij]mxn B = [bij]mxn se define la diferencia A – B como la matriz D = [dij]mxn cuyas componentes se obtienen sumando a los elementos de la matriz A los elementos correspondientes de la matriz opuesta de B.
D = A – B = A + (-B) siendo cada elemento de la matriz D dij = aij + (-bij)
Ejemplo: sean Q =
3
1
1
3
; R =
5
2
-3
2
y -R = 5 -2 3 -2 Q – R = Q +(-R) =
2
-3
2
-1
3.- Producto de una matriz por un escalar
Sean la matriz A = [aij]mxn y el número ordinario o escalar .
El producto del escalar por la matriz A de clase m x n es otra matriz de clase m x n, definida del siguiente modo: . A = [aij]mxn donde cada elemento se obtiene multiplicando por cada uno de los elementos de la matriz A. Si [ . A] = B bij = aij i, j
. A = [aij]mxn = [ aij]mxn = [aij . ]mxn = A .
Casos especiales
* Si = 0 . A = 0 . A = 0; A
Kmxn, cualquiera sea la matriz A : o . A = 0 * Si = 1 . A = 1 . A = A; A
Kmxn* Si = -1 . A = - 1 . A = - A; A
Kmxn* si A = O . A = . 0 = 0 por la matriz nula es la matriz nula
R * si A = I . A = . I = B siendo B una matriz escalar 1 0Ejemplo: = 2; I =
2
0
0
2
I
.
1
0
0
1
Propiedades Sean A Kmxn; B
Kmxn ;
R
R1)
R A
Kmxn . A
Kmxn Ley de composición externa.2) (
.
).
A = .
(
.
A) Propiedad asociativa del producto de escalares por una matriz.3)
. (
A + B) = .
A + .
B Propiedad distributiva del producto de un escalar respecto a la suma de matrices.4) ( +
).
A = .
A +
.
B Propiedad distributiva del producto de una matriz respecto a la suma de escalares.5) 1R/1
.
A = A.
1 = A Existencia del elemento neutro del producto de un escalar por una matriz.
4.- Producto de matrices
Sean las matrices A = [aij]mxn y B = [bij]nxq. El producto A . B será factible si los factores cumplen con el siguiente requisito: el número de columnas de la matriz A es igual al número de filas de la matriz B.
En la matriz A cada uno de los m vectores fila tiene n componentes y en la matriz B cada uno de sus q vectores columnas tiene n componentes se puede multiplicar cada vector fila de la matriz A por cada vector columna de la matriz B, siendo por lo tanto A . B realizable.
1) Podemos indicar a la matriz A como un conjunto m vectores filas de n componentes cada uno y a la matriz B como un conjunto de q vectores columnas de n componentes cada uno.
2) Efectuaremos los m . q productos: “cada vector fila de A por cada vector columna de B”, multiplicando los elementos en el orden de cada vector, por ejemplo a11 . b11; a12 . b21; ...; a1n . bn1 y
luego hallar la suma de esos productos
3) Cada suma de productos conforma un elemento de la matriz producto, la que será de clase m x q, es decir, tantas filas como la matriz A y tantas columnas como la matriz B.
A = [aij]mxn B = [bij]nxq A . B = P/ P= [pij]mxq
El elemento genérico “pij” del producto queda definido por la expresión: pij =
n 1 kj ik.
b
a
k ; o bien, pij = ai1 . b1j + ai2 . b2j + ai3 . b3j + ... + ain . bnj con i = 1, 2,..., m j = 1, 2, ..., qEl elemento pij que se encuentra en la i-ésima fila y j-ésima columna de P se obtiene multiplicando los elementos de la i-ésima fila de la matriz A por los elementos correspondientes de la j-ésima columna de la matriz B y sumando los productos parciales.
A modo de ejemplo se plantean las siguiente matrices A=
23 22 21 13 12 11a
a
a
a
a
a
B=
32 31 22 21 12 11b
b
b
b
b
b
A . B = P se dispone en una, gráfica como la siguiente:
b11 bB12 b21 b22 b31 b32 a11 A a13 p11 pP12 a21 a22 a23 p21 p22 p11 = a11 b11 + a12 b12 + a13 b31 p21 = a21 b11 + a22 b21 + a23 b31 p12 = a11 b12 + a12 b22 + a13 b32 p22 = a21 b12 + a22 b22 + a23 b32
Los q elementos pij con j = 1, ..., q de la primer fila de la matriz P se obtienen multiplicando
la primer fila de A por cada una de las q columnas de B ( p11 y p12 para el planteo anterior).
Los elementos de la m-ésima fila de P se obtiene multiplicando la fila m de A por cada una de las q columnas de B (p21 y p22 en el planteo dado).
A2x3 . B3x2 = P2x2 , o sea, P tiene tantas filas como la matriz A y tantas columnas como la matriz B.
Propiedades
1) No conmutativa: A . B B . A
2) Distributiva a izquierda respecto a la adición: A .(B + C) = A . B + A .C
n 1 k kj ik n 1 k kj ik n 1 k kj kj ik ija
.
b
c
a
.
b
a
.
c
p
3) Distributiva a derecha respecto a la adición: (B + C ) .A = B . A + C . A 4) Asociativa: (A. B) . C = A . (B . C) 5) A . B = 0 no implica A= 0 ó B = 0. Ejemplo:
0
0
0
0
2
1
2
1
-2
1
2
1
.
2
2
-1
1
-6) A . B = A. C no implica B = C 7)A
.
B
A
.
B
8) (A . B) t = Bt . At Casos especiales* El producto de un vector fila por un vector columna, es un número. * El producto de una matriz por un vector columna, es un vector columna. * El producto de un vector fila por una matriz, es un vector fila.
* El producto de un vector columna por un vector fila, es una matriz.
Indicando:
La matriz A en el 3er cuadrante.
La matriz B en el 1er cuadrante.
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Para la elaboración del presente apunte se ha
consultado la siguiente BIBLIOGRAFÍA cuya
lectura se recomienda
Angel Allen, R. (2008). Algebra Intermedia. México. Pearson Educación. Séptima edición.
Antón, H. (2.000). Introducción al Algebra Lineal. México. Noriega Editores.
Batschelet, E. Matemáticas Básicas para Biocientíficos. Madrid – España. Editorial Dossat, S.A. Garcia Venturini, A. (1996). Algebra con Aplicaciones Económicas. Buenos Aires – Argentina. Edición de la Secretaría de Cultura (C.E.C.E de la U.B.A.). 10ª Edición.
Gigena, S. y otros (2004). Matemática I para Ciencias Naturales. Teoría, Práctica y Aplicaciones. Córdoba - Argentina. Universitas Editorial Científica Universitaria. Segunda Edición 1º reimpresión.
Martínez – Mediano, J. y otros. Matemática II. Madrid – España. McGRAW-HILL/ INTERAMERCANA DE ESPAÑA, S.A.
RESCALA, C. (2007). Matrices. Compilación de materiales para la Asignatura Análisis Matemático de la Carrera Contador Público de la FAEN – UNaF.
Rojo, A. Algebra II. Buenos Aires - Argentina. Librería-Editorial El Ateneo. Décima tercera edición.
Seymour Lipschutz, Ph.D. Teoría y Problemas de Algebra Lineal. Mexico. Ediciones McGraw - Hill
