Solución de la ecuación homogénea

Texto completo

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Control en el Espacio de Estado 1

Solución de la ecuación de estado

en modelos lineales

• Solución de la ecuación homogénea

– Matriz de transición

– Propiedades de la matriz de transición

• Solución de la ecuación completa

• Cálculo de la matriz de transición

– casos simplificables

– método de Cayley-Hamilton – método de Jordan

– mediante transformadas de Laplace – nuemricamente mediante Matlab

Solución de la ecuación homogénea

• ecuación homogénea: 0 0) x t ( x : .i . c ) t ( x ) t ( A ) t ( x& = =

•resolución por aproximaciones sucesivas (método Peano-Baker)

) t ( lim ) t ( x d ) ( A x ) t ( x ) t ( k k t t 1 k 0 k 0 0 0 ! " ! " ! ! # $ % = + = =

&

! x(t) =[ I + A(")d" t0 t

#

+ A(") A("1)d"1d" t0 "

#

+K t0 t

#

] 0 t t t t t t 1 1 k 1 k 1) A( )d d d x ( A ) ( A ... 0 0 1 k 0

!

+

!

!

!

+ " " " K K K # # # # # # # # 0 0

)

x

t

,t

(

)

t

(

x

=

!

) t ( lim ) t ( x d ) ( A x ) t ( x ) t ( k k t t 1 k 0 k 0 0 0 ! " ! " ! ! # $ % = + = =

&

) t ( lim ) t ( x d ) ( A x ) t ( x ) t ( k k t t 1 k 0 k 0 0 0 ! " ! " ! ! # $ % = + = =

&

(2)

Control en el Espacio de Estado 3 • derivada temporal

!

d"(t,t

0

)

dt

= A(t)"(t,t

0

)

• valor en t0

!

(

t

0

,

t

0

)

=

I

)

t

,

t

(

)

t

,

t

(

)

t

,

t

(

2 0

=

!

2 1

!

1 0

!

• transitividad

• cambio de base en el espacio de estado:

!

"

~

(t,t

0

) = T

#1

"(t,t

0

)T

• inversa

!

"(t,t

0

)

#1

= "(t

0

,t)

Propiedades de la

matriz de transición

Solución de la ecuación de estado

en modelos lineales

• Solución de la ecuación homogénea

– Matriz de transición

– Propiedades de la matriz de transición

• Solución de la ecuación completa

• Cálculo de la matriz de transición

– casos simplificables

– método de Cayley-Hmilton – método de Jordan

– mediante transformadas de Laplace – numericamente mediante Matlab

(3)

Control en el Espacio de Estado 5

Solución de la ecuación completa

• ecuación completa: 0 0

)

x

t

(

x

)

t

(

u

)

t

(

B

)

t

(

x

)

t

(

A

)

t

(

x

&

=

+

=

• resolución:

– se ensaya con una solución del tipo:

) t ( z ) t ,t ( ) t ( x =! 0

– que introducida en la ecuación diferencial permite obtener z(t) y por tanto la solución buscada:

!

x(t) = "(t,t0)x0+ "(t,#)B(#)u(#)d#

t0

t

$

Solución de la ecuación completa

• existe si y sólo si existen c.i. de las variables de estado no nulas

• es la respuesta del sistema ante entrada nula, denominada evolución libre del sistema

!

x(t) = "(t,t

0

)x

0

+

"(t,#)B(#)u(#)d#

t0 t

$

!

"(t,t

0

)x

0 "(t,#)B(#)u(#)d# t0 t

$

• existe si y sólo si existe entada no nula • es la respuesta del sistema desde c.i.

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Control en el Espacio de Estado 7

Solución de la ecuación de estado

en modelos lineales

• Solución de la ecuación homogénea

– Matriz de transición

– Propiedades de la matriz de transición

• Solución de la ecuación completa

• Cálculo de la matriz de transición

– casos simplificables

– método de Cayley-Hamilton – método de Jordan

– mediante transformadas de Laplace – numericamente mediante Matlab

Cálculo de la matriz de transición:

casos simplificables

• en los casos en que

! A(t) A(")d" t0 t

#

= A(")d"A(t) t0 t

#

se verifica:

! "(t,t0) = I + t0A(#) t $ d#+ 1 2! t0A(#) t $ d#

[

]

2+ 1 3! t0A(#) t $ d#

[

]

3+ ... t0A(# ) t $ d#

=e

• A(t)

= a(t) M

! "(t,t0) = M a(# ) t0 t $ d#

e

• A(t)

es diagonal

Casos:

! ! ! ! " # $ $ $ $ % & ' ' = ( e e d ) ( a d ) ( a 0 t 0 t nn t 0 t 11 0 0 ) t ,t ( ) ) ) ) L M M M K ) t t ( ) t ,t ( 0

e

A(t t0) 0 ! " = = " !

e

a( )d 0 t 0 t ) t ,t ( " ! ! = #

• caso invariante: A(t)=A • caso escalar: A(t)=a(t)

! "(t,t0) = I + t0A(#) t $ d#+ 1 2! t0A(#) t $ d#

[

]

2+ 1 3! t0A(#) t $ d#

[

]

3+ ... t0A(# ) t $ d#

=e

(5)

Control en el Espacio de Estado 9

Cálculo de la matriz de transición:

Método de Cayley-Hamilton

!

"(t,t

0

) =

M a(#) t0 t

$

d#

e

=

h

j

(t)M

j j= 0 n%1

&

calculándose los coeficientes hj(t) mediante:

! "i a(# ) t0 t $ d#

e

= hj(t)"i j j= 0 n%1

&

i = 1Ln siendo λi son los

valores propios de M

si algún λi tiene multiplicidad mi se verificará:

! "k # t0a($ ) t % d$

e

"#k #= #i =" k hj(t)# j j= 0 j= n&1

'

"#k #= #i k = 1Lmi&1

Cálculo de la matriz de transición:

Método de Jordan (1/2)

si donde esta formada por cajas de Jordan:

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Control en el Espacio de Estado 11

Cálculo de la matriz de transición:

Método de Jordan (2/2)

donde para las cajas diagonales:

y para las cajas de Jordan:

Cálculo de la matriz de transición:

por transformada inversa Laplace

tomando transformada de Laplace en sistemas lineales invariantes se obtiene:

por tanto:

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Control en el Espacio de Estado 13

Ejemplo 2.1: sistema invariante

Calcular analíticamente la evolución del siguiente sistema desde [x1 x2]T=[1 1]T y con entrada:

! ˙ x 1 ˙ x 2 " # $ % & ' = 2 1 (1 0 " # $ % & ' xx1 2 " # $ % & ' +" 10 # $ % & ' u a) Mediante Carley-Hamilton b) Mediante Jordan

Ejemplo 2.1: resolución a)

a) Mediante Carley-Hamilton caso invariante

(8)

Control en el Espacio de Estado 15

Ejemplo 2.1: resolución b)

>> A=[2 1 ; -1 0]; [T,J]=jordan(A) b) Mediante la matriz de Jordan

T = 1 1 J = 1 1 -1 0 0 1

>> Phi=inv(T)*PhiJ*T Phi=[ exp(t)*t+exp(t), exp(t)*t] [ -exp(t)*t, exp(t)-exp(t)*t] >> syms t real

>> PhiJ=exp(J(1,1)*t)*[1 t; 0 1] PhiJ =[ exp(t), exp(t)*t] [ 0, exp(t)] caso invariante

Ejemplo 2.1: resolución c)

c) Mediante el comando >> expm(Matriz) caso invariante

>> expm(A*t)

ans = [ exp(t)*t+exp(t), exp(t)*t] [ -exp(t)*t, exp(t)-exp(t)*t]

(9)

Control en el Espacio de Estado 17

Ejemplo 2.1: simulación con Matlab

>> A=[2 1 ; -1 0]; B=[1;0]; C=[1 1]; D=[0]; >> t=0:0.01:1; u=ones(length(t),1);

>> lsim(A,B,C,D,u,t,[1;1]);

>> [Y,X]=lsim(A,B,C,D,u,t,[1;1]);

>[Y,X]=LSIM(A,B,C,D,U,T,X0) comando nuevo

Ejemplo 2.2: sistema variante

! ˙ x 1 ˙ x 2 " # $ % & ' = 2t t (t 0 " # $ % & ' xx1 2 " # $ % & ' + 10 " # $ % & ' u

Calcular analíticamente la evolución del siguiente sistema desde [x1 x2]T=[1 1]T y con entrada:

a) Mediante Jordan

(10)

Control en el Espacio de Estado 19

Ejercicio 2.1

Dado el sistema del ejercicio 1.3, cuyas ecuaciones linealizadas en torno al p.e. s1=0.3, A1=2, A2=1,5, s2=0.25, F1=1, H1=1.38 y H2=0,816 son:

a) Calcular la matriz de transición para t=1 (2 puntos)

b) Calcular los valores de las alturas en el modelo anterior cuando estas valen un 10% más que en el p.e. (2 puntos)

c) Obtener y dibujar los valores de ambas alturas durante 10 segundos a partir de la matriz de transición calculada, partiendo de unas alturas iniciales del apartado anterior y con entrada F1 permanentemente igual a la de su valor en el p.e. (4 puntos)

d) Superponer en la gráfica anterior la evolución de las alturas obtenidas con el comando lsim (2 puntos)

s2 h2

h1

f1

s1

(11)

Control en el Espacio de Estado 23

Ejemplo 2.3: resolución con Simulink

Ejercicio 2.2

Dado el sistema de depósitos del ejercicio 2.1

a) Dibujar en Simulink la evolución de las alturas del modelo lineal en las condiciones del ejercicio 2.1 (mismas c.i. y entradas) (3,3 puntos)

b) Comparar en un mismo gráfico la evolución de las alturas del modelo lineal con la evolución del modelo no-lineal (3,3 puntos) c) Cargar en variables Matlab las evoluciones de las alturas de los

apartados anteriores y compararlas en el mismo gráfico con las obtenidas en el ejercicio 2.1 (3,3 puntos)

Figure

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