Son los ejercicios para clase.
ACTIVIDADES DE LA UNIDAD 6: GEOMETRÍA DEL PLANO Ejercicio 1: Dibuja el vector
v
= (2,-3). Dibuja AB
siendo A = (2,2) y B = (4,-1)? Ejercicio 2: Dibuja los puntos A (3,0), B(2,-2) y C(1,3). Calcula las coordenadas de los vectores AB
, BA, AC, CA y BC.
Ejercicio 3: ¿Cuáles son las coordenadas del vector nulo? Ejercicio 4: Sabiendo que el vector AB
= (5,-2) y el punto B = (12,-3), calcula las coordenadas del punto A.
Ejercicio 5: Sabiendo que el vector AB
= (8,0) y el punto A = (-1,1), calcula las coordenadas del punto B.
Ejercicio 6: Si A = (5,7) y M el punto medio de A y B es (4,3), calcula B.
Ejercicio 7: Siendo A y A´ simétricas respecto de M y A = (4,-2) y M = (2,6), calcula A´.
Ejercicio 8: Sabemos que en un triángulo el punto medio de A y B es P = (-2,0), El de B y C es Q=(-1,-2) y el de A y C es R = (-1,2). Calcular A, B y C.
Ejercicio 9: Suma los vectores
a
= (2,5) yb
= (3,-1). No nos olvidemos de dibujar. Ejercicio 10: Sean los vectoresa
= (2,5) yb
= (3,-1), calcularb
-a
.Ejercicio 11: Halla x e y para que se cumplan las siguientes igualdades: a) 3(x , 2y) = (-1 , 5) b) –2(-1,y) = 6(x , x-y) Ejercicio 12: Efectuar las siguientes operaciones:
a) (5,2) + (-2,3) b) (-2,3) + (5,2)
c) [(6,-1) + (-3,5)] + (2,4) d) (6,-1) + (-3,5) + (2,4)
e) (7,5) + (0,0) f) (7,5) + (-7,-5)
Ejercicio 13: Efectuar las siguientes operaciones:
a) –2 (3,4) + (7,-1) b) –2(3,4) + (-2) (7,-1)
c) (-5+3) (4,-1) d) –5(4,-1) + 3(4,-1)
e) 6 [3 (2,-4)] f) (6 . 3) (2,-4)
g) 1 (3,-4)
Voluntarios: 1, 2 y 4.
Ejercicio 15: Dados los vectores de la figura, decir cuáles de las siguientes igualdades son ciertas, escribe sus coordenadas.
Ejercicio 16: Sobre el paralelepípedo de la figura, decir cuál de las siguientes afirmaciones es cierta:
Ejercicio 17: Dado los vectores libres
a
yb
, calcular:a
+b
,a
-b
, 3a
y 3a
- 2b
. Siendoa
= (6,0) yb
= (3,5).Ejercicio 18: Averigua cuáles de los siguientes conjuntos son l.d. y cuáles son l.i.: a) B = {
a
1 =(2,1),
a
2 =(0,3),
a
3 =(-1,3),
a
4 =(4,5)} b) B = {u
=(1,3) ,
v
=(2,-1)} c) B = {u
=(1,1) ,v
=(2,2)} d) B = {u
=(3,1) ,
v
=(2,3)} e) B = {u
=(2,-1) ,v
=(6,-3)} f) B = {u
=(2,-1) ,v
=(0,0)}g) B = {
u
=(1/3,1/2) ,v
=(2,3)} h) B = {u
= (3,1) }i) B =
u1 ( , ),12 u2 ( 2 3, ),u3 ( , )0 1
j) B = {u
=(2,-5/7) ,v
=(-7,5/2)}Ejercicio 19: Di qué conjuntos del ejercicio 18 son bases.
Ejercicio 20: Dado el vector
a
= (3,2) respecto de la base canónica, calcula sus coordenadas respecto de las bases que has encontrado en el ejercicio anterior. Ejercicio 21: Calcular a para queu
yv
sean l.d.a)
u
= (a,1) y
v
= (-1,3) b)u
= (2,3) y
v
= (a,-1) c)u
= (0,1) yv
= (2,a) ¿y para que sean l.i.?.Ejercicio 22: La combinación lineal de dos vectores paralelos, ¿es necesariamente otro vector paralelo a ellos?
Ejercicio 23: Calcula m para que los vectores
u
= (-3,4) yv
= (1,m) sean l.d. ¿cuándo son l.i.?Página 157, ejercicios: 11 y 12
Voluntarios, ejercicios: 7 al 10, 13, 14, 15.
Ejercicio 24: Calcular el producto escalar de
u
yv
sabiendo queu
= 2,v
= 3 y que forman un ángulo de 30º.Ejercicio 25: Calcular el producto escalar de
u
yv
sabiendo queu
= (2, 3) yv
= (-1, 0).Ejercicio 26: Halla la proyección del vector
v
= (5,3) sobre el vectoru
= (1,1). Ejercicio 27: Calcular el ángulo formado por los vectores:a)
u
=(5,2) y
v
=( -5,-2) b)u
=(4,6) yv
=( 2,3) a)u
=(4,6) yv
=( 3,-2) d)u
=(-1,0) yv
=(1,2)Ejercicio 28: Las coordenadas de
u
y
v
respecto de la base canónica sonu
=(-2,1) yv
=(3,4). Calcularu
.v
,v
.u
,u
.u
.
v
.v
, los módulos deu
yv
, y el ángulo que forman.Ejercicio 29: Hallar el ángulo formado por los vectores
u
=-5i +12 j
yv
= 8i - 6 j
. Ejercicio 30: Dados los vectores OA = 2i +
j
, OB = 5i + 5 j
, OC = -3i -j
y OD = -6i -5 perímetro.
Ejercicio 31: Hallar la proyección del vector
u
sobre el vectorv
. Siendou
= -3i + 5j
y
v
=-
j
- 7 i .
Ejercicio 32: Dos fuerzas
f
1yf
2 de intensidades 20 y 30 N, respectivamente, actúan sobre el mismo cuerpo y forman entre ellas un ángulo de 60º. ¿Cuál será la intensidad de una fuerzaf
3de manera que establezca el equilibrio?Ejerc. 33: Hallar el ángulo que forman las fuerzas
f
1= (2 Kg,3 Kg) yf
2=(1 Kg,5 Kg). Ejerc. 34: Dado los vectoresu
= (2,4) y
v
= (3,1), hallar el módulo del vectoru
-v
. Ejercicio 35: Dos vectoresu
yv
son tales queu
= 10,v
= 10 3 yu
v
= 20. Hallar el ángulo que forman los vectoresu
yv
.Ejercicio 36: ¿Puede ser el módulo del vector suma de dos vectores de módulos 10 y 5, respectivamente, mayor que 15? ¿Y menor que 4?
Ejercicio 37: Dados los vectores
u
= (7, 4) y
v
= (4, x), calcula x para que:a) sean perpendiculares b) sean paralelos
Ejercicio 38: Dado
u
= (4,3):a) Dibuja y calcula las coordenadas de un vector de la misma dirección, sentido y de módulo uno.
b) Las coordenadas de un vector con la misma dirección, sentido y de módulo 3. Ejercicio 39: Dado el vector
u
= (4,-7), encontrar dos vectores que tengan la mismadirección que
u
y que sean unitarios.Ejercicio 40: Calcular el valor de m y n para que los vectores
u
= (1/2, m) y
v
=
n , 2 2 : a) sean unitarios.b) Para que
u
sea ortogonal aa
= (2,3)Ejercicio 41: Calcular x para que el vector
u
= (1,3) sea ortogonal a
v
= (x,2). Ejercicio 42: Resuelve los siguientes apartados:a) Determina un vector ortogonal a
u
= (4,3).c) Determina todos los vectores ortogonales a
v
= (4,3) y con módulo igual quev
.d) Determina todos los vectores ortogonales a
v
= (4,3) y con módulo uno.Ejercicio 43: Lo mismo de los apartados c y d para los vectores
a
= (-1,1), b
= (1,4) y
c
= (3, -2).Ejercicio 44: Calcula un vector unitario y ortogonal a
u
= (1, 2). Ejercicio 45: Calcula un vector de módulo 10 y paralelo au
= (3, 4). Ejercicio 46: Calcula un vector de módulo 2 y ortogonal au
= (-1, 2). Página 157, ejercicios: 22, 23, 26, 27, 32 y 33.Voluntarios, ejercicios: 16 al 21, 24, 28, 29 y 30.
Ejercicio 47: Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto A = (2,3) y tiene como vector director
u
= 3i
2
j
. Desarrollándolas paso por paso.Ejercicio 48: Calcula las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos A = (3,1) y B = (7,-1). Saltando de ecuación en ecuación.
Ejercicio 49: Hallar la ecuación paramétrica de la recta que pasa por el punto A=(3,5) y lleva de dirección al vector
u
=(2,-4).Ejercicio 50: Halla la ecuación continua de la recta que pasa por los puntos:
a) A=(-3,2) y B=(1,-4) b) A = (0, 3) y B = (0, 5)
Ejercicio 51: Calcular dos puntos y un vector director de las siguientes rectas.
a)
IR
3
-
y
2
3
x
b)y
2
3
x
c)x
= (1,-5) + t(2,3) t
IR
d) y = -3x + 2 e) 2x + 3y – 7 = 0 f) y = 2 g) x = -4Ejercicio 51 bis: Averigua si el punto A = (3, -1) pertenece a algunas de las rectas del ejercicio anterior.
Ejercicio 52: Hallar la ecuación continua de r sabiendo que es perpendicular al segmento de extremos A = (5,6) y B = (1,8) y que pasa por el punto medio de dicho segmento.
Ejercicio 53: Pasar a forma explícita las siguientes rectas y calcula sus pendientes e indica un vector director de cada una de ellas:
a)
1
5
y
2
3
x
b) 5x + 3y + 6 = 0 c)
t
2
x
t
3
5
y
Ejercicio 54: Determina si los puntos A = (3,1), B=(5,2) y C=(1,0) están alineados. Ejercicio 55: Calcular la ecuación punto-pendiente de la recta r que pasa por el punto A=(-2, 1/3) y:
a) Tiene pendiente igual que la recta s que pasa por los puntos P = (2, 1) y Q=(3, 4). b) Tiene pendiente perpendicular a la recta s.
Ejercicio 56: Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto A=(2,1) y forma un ángulo de 120º con la parte positiva del eje x.
Ejercicio 57: Dada la recta 5x – 3y + 7 = 0, hallar la longitud de los segmentos que determina sobre los ejes. Calcular su ecuación segmentaria.
Ejercicio 58: Hallar el área limitada por la recta 5x + y – 5 = 0, el eje de abscisas y el eje de ordenadas. Calcular su ecuación segmentaria.
Página 157, ejercicios: 37, 38, 40 y 42. Voluntarios, ejercicios: 35, 36, 39 y 41.
Ejercicio 59: Estudia si los puntos A=(3,-1) y B=(0,3) pertenecen o no a las siguientes rectas: a) r:
2
1
y
2
1
x
b) s: x + 2y – 6 = 0. c) t:
1
t
3
y
3
t
2
x
Ejercicio 60: Calcular el valor de C sabiendo que la recta r: 4x – 3y + C = 0 pasa por el punto A = (-1, 0).
Ejercicio 61: Estudia la posición relativa (dos a dos) de las rectas:
a)r: 3 2 y x y s:
3
5
y
1
1
x
b) r:(x,y) = (2,-1) + t(1,-1) y s:-x+y+5 =0 c) r:1
y
2
5
2
x
y s: -x – 5y + 12 = 0 d) r:3x + 2y – 1 = 0 y s:5x – y + 7 = 0 e) r: 2x – 3y + 7 = 0 y s: -4x + 6y = 0 f) r:8x – 2y + 2 = 0 y s: -4x + y – 1 = 0 Ejercicio 62: Hallar el punto de corte, si es posible, de las rectas:a) r: 8x – 2y –20 = 0 y s: 3X + 2Y – 13 = 0 b) r: x – y = 30 y s: x – y = 14 c) r: 3x + 2y – 19 = 0 y s: 5x + y – 20 = 0
Ejercicio 63: Dadas las rectas r: 2x – y + 4 = 0 y s: 3x + 2y – 9 = 0: a) Hallar su punto de intersección.
b) Las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto (-3,4) y son paralelas a cada una de las dadas.
Ejercicio 64: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de r y r´siendo r: 2x + 3y – 5 = 0 y r´: x + y = 0, y el punto de intersección de las rectas s y s´, siendo s: x + 5y – 3 = 0 y s´: -x + y – 3 = 0.
Ejercicio 65: Dadas las rectas: r determinada por el punto A=(2,1) y el vector
u
=(a,4) y s determinada por el punto B=(-1,4) y el vectorv
=(5,3), determinar a para que r y s sean paralelas. ¿Para qué valores de a las rectas r y s son secantes? ¿Pueden ser coincidentes?Ejercicio 66: Dadas las rectas r: 3x + by – 8 = 0 y s: ax – 3y + 12 = 0, determinar a y b para que se corten en el punto P=(2,-3).
Ejercicio 67: Calcula el punto simétrico de A=(2,3) respecto de r: x + y – 3 = 0. Ejercicio 68: Hallar la ecuación de la recta s paralela a r : 3x + 2y – 4 = 0 y pasa por A = (2,3).
Ejercicio 69: Dadas las rectas r: 3x + my – 7 = 0, s: 4x + y – 14 = 0 y t: 7x + 2y – 28 = 0 determinar m para que las tres sean rayos de un mismo haz de secantes. Ejercicio 70: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A=(2,3) y es: a) paralela al eje x
b) paralela al eje y
c) paralela a la bisectriz del primer cuadrante d) paralela a la bisectriz del 2º cuadrante e) paralela a la recta de ecuación 5x + 2y = 0
Ejercicio 71: Un paralelogramo tiene por vértices A = (-1,-3), B = (6,0) y C = (8,2). Determinar el cuarto vértice. Calcula su perímetro, su área y el ángulo A.
Ejercicio 72: La recta r: y + 2 = m(x +3) pasa por el punto de intersección de las rectas s: 2x + 3y + 5 = 0 y t: 5x – 2y – 16 = 0. Calcular m.
Página 157, ejercicios: 45, 47, 48 y 57.
Voluntarios, ejercicios: 43, 44, 46, 49 al 54, 56, 58 y 59. Ejercicio 73: Calcular el ángulo formado por las rectas:
c) r:
2
1
y
2
3
x
y s: y = 2x + 3 d) r: 2 y 3 x y s: 2x + y –1=0 e) r:3
1
y
2
1
x
y s: -3x + 2y = 4Ejercicio 74: Hallar los ángulos del triángulo de vértices A=(-2,2), B=(5,3) y C=(2,15).
Ejercicio 75: Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto A=(-3,0) y forman con la recta de ecuación s: 3x – 5y + 9 = 0 un ángulo cuya tangente vale 1/3. Página 157, ejercicios: 88
Voluntarios, ejercicios: 82 a 86.
Ejercicio 76: Hallar la distancia entre estos pares de puntos:
a) A(5,4) y B(-2,3) b) C(0,4) y D(0,-7)
c) E(3,0) y F(-2,0)
Ejercicio 77: Hallar los lados del triángulo de vértices: A(-2,2), B(5,3) y C(2,15). Ejercicio 78: Hallar los lados y los ángulos del rombo de vértices: A(2,5), B(6,2), C(9,6) y D(5,9).
Ejercicio 79: Hallar la distancia de los siguientes puntos a las rectas dadas: a) P(2,3) y r: 2x – 3y + 5 = 0 b) Q(-1,3) y s: 3 4 y 2 1 x a) R(2,-4) y t: xy 53 2 IR
Ejercicio 80: Los puntos C = (-1,3) y B = (-3,3) son los vértices de un triángulo isósceles que tiene el tercer vértice A en la recta r: x + 2y – 6 = 0, siendo AB y AC los lados iguales. Calcular las coordenadas de A y el área del triángulo.
Ejercicio 81: Calcular la distancia entre las siguientes rectas: a) r: x – 2y + 4 = 0 y s: 3x – y – 1 = 0 b) r: 2x – y = 3 y s: y = 2x + 3 c) r: 2 1 y 4 3 x y s: y = ½ x + 3 d) r: xy 23 IR y s: 2x + y – 1 = 0
e) r: 3 1 y 2 1 x y s: -3x + 2y = 4 Página 157, ejercicios: 63, 68, 72 y 74. Voluntarios, ejercicios: 61, 62, 64, 66, 67, 69, 75 y 76.
Ejercicio 82: Por el punto A(2,6) se trazan dos rectas perpendiculares a las bisectrices del primer cuadrante y del segundo cuadrante. Hallar:
a) las ecuaciones de dichas rectas.
b) Las coordenadas de los vértices del triángulo formado por el eje x con dichas rectas.
Ejercicio 83: Hallar la ecuación de la recta que, pasando por el punto P(2,-3), forma un ángulo de 45º con la recta 3x – 4y + 7 = 0.
Profundizar. Ejercicio 84: Dados los puntos A(4,-2) y B(10, 0), hallar el punto de la bisectriz de los cuadrante 2º y 4º que equidista de los dos.
Ejercicio 85: Calcular el pie de la perpendicular trazada por el punto P(-1,2) a la recta r: 3x – 5y –21 = 0, y la distancia de dicho pie al punto P. Comprueba que esa distancia coincide con la distancia de P a la recta r.
Ejercicio 86: El baricentro del triángulo ABC es el punto G(2,1). El punto medio del segmento AB es M(3,0) y el punto medio del segmento BC es N(1,5). Calcular los vértices del triángulo.
Ejercicio 87. Dado el triángulo de vértices A(2,5), B(2,-1) y C(3,1). a) Calcular las coordenadas del baricentro G del triángulo ABC.
b) Calcular las coordenadas de los puntos medios M, N y P de los lados del triángulo.
c) Calcular el baricentro G´del triángulo MNP. d) Compara G con G´.
Ejercicio 88: Dado el triángulo de vértices A(2,3), B(4,7) y C(7,-1), hallar los puntos medios de los lados AB y BC. Hallar la ecuación de la recta que une estos punto medios. ¿Cuál es la posición relativa de dicha recta respecto de la recta que pasa por A y C?
Ejercicio 89: Calcular el área del círculo circunscrito al triángulo que la recta r: 4x + 3y – 24 = 0 determina con los ejes de coordenadas.
Página 157, ejercicios: 91, 92 y 96.