Elasticidad. A, B son constantes de proporcionalidad para atracción y repulsión.

Elasticidad 5.1 Bases Atómicas del Comportamiento Elástico 5.1.1 Energía y Fuerza de Enlace

La Energía Potencial V de un par de átomos puede expresarse como una función de la distancia de separación entre ellos, r:

m n r B r A V  

A, B son constantes de proporcionalidad para atracción y repulsión. m, n son exponentes que determinan la variación apropiada de V con r. La fuerza de atracción y repulsión que existe entre dos átomos se obtiene de

r V F     Por tanto:  _n1  _m1 r mB r nA F Redefiniendo constantes: M N r b r a F M m N n b mB a nA          1 1 Fuerza Energía Potencial Repulsión Atracción r₀ distancia interatómica m r B V  n m n r A V r B r A V      Repulsión Atracción Mínimo r₀ distancia interatómica M r b F M N r b r a F 

La separación de equilibrio entre dos átomos r0, está dada por el valor de r que

corresponde al mínimo de energía potencial.

La fuerza neta es cero para r = r0 y un desplazamiento en cualquier dirección provocará

la acción de fuerzas que restauran el equilibrio.

Por lo tanto los átomos en una red cristalina tienden a estar arreglados en un patrón definido, con respecto a sus vecinos.

Las deformaciones macroscópicas elásticas son el resultado de un cambio en el espaciado interatómico.

Por lo tanto, las deformaciones se pueden expresar como:

0 0 r r r 0 0 2 2 r r r r r V E r F                    

Figura 2. Diagrama de fuerza frente a distancia interatómica.

Ind. Recordar que F kr y  E

Fuerza r r₀ M N r b r a F   N r a F  dr dF

Figura 3. Diagramas de energía potencial y fuerza de interacción frente a la distancia interatómica.

Observaciones.

De los análisis anteriores se desprende que: a) F es cero a la distancia de separación r0

b) Si los átomos son alejados o acercados una distancia rr₀ , aparece una fuerza que se opone a este cambio en la distancia.

c) La fuerza es aproximadamente proporcional a r - r0 si r - r0 es pequeño, tanto en

tensión como en compresión. d) La rigidez (stiffness) del enlace es

2 2 r V r F S       

e) Cuando la perturbación es pequeña, S es constante e igual a V r F r Rep ulsión Atracción r₀ 0    r V

0 2 2 0 r r r V S          

De esto se deduce que el enlace se comporta de manera elástica – lineal. Esto significa que la fuerza entre pares de átomos, separados una distancia r es



0



0 r r S F   F F r₀ r

Figura 4. Esquema de las fuerzas de interacción entre dos átomos.

Dado un sólido con un número muy grande de pares de átomos por plano la fuerza por unidad de área será:   NS₀



rr₀



N: Nº de enlaces/área = ₂ 0 1 r 2 0

r : área promedio por átomo Si r-r0 se divide por r0 0 0 r r r n    0 0 0 0 r S E r S n       S0 se calcula a partir de ₂ 2 r V  

La curva de esfuerzo versus deformación en compresión es la extensión de la curva a tracción.

Figura 5. Diagrama  -  para un material en general.

5.1.2 Propiedades que dependen del enlace

a) La fuerza del enlace (temperatura de fusión) es proporcional a la profundidad del pozo de potencial.

b) El coeficiente de expansión térmica está relacionado con la asimetría de la curva de energía potencial versus distancia interactiva.

c) El módulo de Young, es inversamente proporcional al radio de curvatura del mínimo de la curva de energía potencial versus distancia interatómica.

Ejercicio: En los siguiente ejemplos ordenar los materiales por punto de fusión, coeficiente de dilatación lineal y módulo de Young.

Zona Elástica Zona Elástica _ V V r r r V V r

Figura 6. Diversos casos de curva de energía potencial versus difracción interatómica.

Tabla 1. Propiedades de diversos materiales. Elemento Coeficiente de dilatación lineal (1/° C) Temperatura de fusión(°C) Módulo de Young (GPa) Pb 29,3X10-6 _{327,4 14} Zn 39,7X10-6 _{419,5 43} Mg 26,1X10-6 _{650 41} Al 23,6X10-6 _{660 69} Ag 19,6X10-6 _{960,8 76} Cu 16,4X10-6 _{1083 124} Fe 12,2X10-6 _{1536,5 196} Cr 6,2X10-6 _{1875 289} W 4,6X10-6 _{3410 406}

5.2 Introducción a la teoría de la elasticidad

En la teoría elástica existen dos requerimientos:

i) La teoría debe predecir la conducta de los materiales bajo la acción de las fuerzas aplicadas.

ii) La teoría debe ser simple de tal manera que la matemática pueda ser aplicada en un amplio rango de problemas para permitir la solución de las ecuaciones planteadas. Para cada tipo de esfuerzo existe una deformación correspondiente.

La propiedad que le permite a un cuerpo recuperar su forma inicial, al dejar de actuar la carga, se denomina ELASTICIDAD.

Un cuerpo es perfectamente elástico si recupera completamente su forma inicial.

5.3 Supuestos de la teoría de la elasticidad

En la teoría de la elasticidad se asume que el material es: i) Perfectamente elástico

ii) Continuo

iii) Homogéneo (las propiedades son las mismas en todos los puntos)

iv) Isotrópico (todas las propiedades son iguales en todas las direcciones alrededor de un punto dado).

El material, desde el punto de vista atómico dista mucho de cumplir estas condiciones Ej. Materiales Anisótropos  Laminados  Texturas

5.4 Formulación tensorial de la ley de Hooke

La ley de Hooke se puede generalizar como  C

Esto debe interpretarse como una consecuencia de la aseveración siguiente: “La extensión es proporcional a la fuerza”

En notación de subíndice, se puede escribir:

kl ijkl

ij C 

 

ijkl

C : Es un tensor de cuarto orden y representa una constante elástica (34 _{= 81}

componentes) Dado que

i) El tensor esfuerzo es simétrico _ij _ji C_ijkl C_jikl 6·3·3 = 54 componentes.

ii) El tensor deformación es simétrico _kl _lk  36 componentes iii) Aplicando el teorema de reciprocidad.

        klij ijkl ij kl kl ij C C     21 componentes.

 Indicación: Un tensor de orden 2 y dimensión n posee n2 elementos. Al ser simétrico el número de componentes es 2 ) 1 (n n

iv) Planos de simetría.

                                                           xy xz yz z y x xy xz yz z y x C C C C C C C             66 16 22 12 16 12 11 . . . . . . . . . .

Al existir un plano de simetría xy

Al existir un plano de simetría yz

C46 = C26 = C34 = C35 = C36 = C45 = 0

Un tercer plano de simetría no agrega nada nuevo por tanto, con dos o tres simetrías, se tiene                   66 55 44 33 23 13 23 22 12 13 12 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C C C C C C C C C C C C 9 Ctes.

Esto quiere decir que para materiales ortótropos (3 planos de simetría), Cijkl se reduce a

nueve constantes.

v) Isotropía: Mismo comportamiento en todas las direcciones

La base del comportamiento isotrópico es que al rotar el sólido, deben preservarse las propiedades. En la figura 7 se muestran tres giros posibles que pueden imponerse al sólido.

CASO I: Giro respecto del eje x

Matriz de Transformación

 

            0 1 0 1 0 0 0 0 1 a I II III x x x y y y z z z z' y' x' y' x' y' 

Nota: Cada elemento de la matriz de transformación corresponde a



i j



ij x x

a cos ' , en que la (’) se usa para denotar el nuevo eje. por ejemplo a₁₁cos



x',x



1

 

', 0 cos 13 x z  a



',



1 cos 32  z y  a            z yz xz yz y xy xz xy x ij          

 

 

 

 

                y yz xy yz z xz xy xz x T ij ij a a           '

 

 

 

 

                y yz xy yz z xz xy xz x T ij ij a a           '                                                               xy xz yz z y x xy xz yz z y x C C C C C C C C C C C C             66 55 44 33 23 13 23 22 12 13 12 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (1)                                                            xz xy yz y z x xz xy yz y z x C C C C C C C C C C C C             66 55 44 33 23 13 23 22 12 13 12 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (2) de (1) de (2) z y x x C  C  C    11  12  13 (*) x C11xC12z C13y (**) de (*) y (**) se tiene C12 = C13

z y x y C  C  C    ₁₂  ₂₂  ₂₃ (***) _z C₁₂_xC₂₂_z C₂₃_y (****)

 

    x y z z C  C  C   13 23 33 y C13x C23z C33y

 

 (***) con

 

  C22 C33 yz yz C    ₄₄ _yz C₄₄_yz xz xz C    ₅₅ _xy C₅₅_xy xy xy C    ₆₆ _xz C₆₆_xz 66 55 C C  

CASO II: Giro respecto del eje z

Matriz de transformación

 

            1 0 0 0 0 1 0 1 0 a 55 44 23 13 22 11 C C C C C C    

La matriz de coeficientes queda

                                     C C C A B B B A B B B A C C C C C C C C C C C C 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 44 44 44 11 12 12 12 11 12 12 12 11

CASO III. Giro con respecto al eje z en un ángulo  cualquiera

 

_            cos sen sen cos a                            xy y xy x y xy xy x ' ' ' ' cos sen sen cos cos sen sen cos                



 



    cos2 2 2 sen '_xy  _y  _x  _xy 

Además, al aplicar la matriz de coeficientes







x z



y y z y x x xy xy B A B A C                 











 



    cos2 2 2 '_xy  BA _x  AB _y sen C _xy  Además                                      xy xy C ' '   xy xy C ' '     pero 



 



  cos2 2 2 '_xy _y  _x sen  _xy







 



  



 



  cos2 2 2 sen 2 cos 2 2 sen xy x y xy y x C C C A B       B A C  

Esto significa que al haber una relación entre C, A, y B, el número de constantes independientes es únicamente dos.

5.5 Constantes de Lamé ,

De acuerdo a lo deducido anteriormente, las dos constantes independientes pueden ser  y , las que se denominan constantes de Lamé. Por lo tanto, se puede definir:

    2 2     A B C













z y x z z y x y z y x x                   2 2 2             yz yz xz xz xy xy       2 2 2   

O bien, escrito en forma indicial:

ij ij

kk

ij   

5.6 Relación entre los coeficientes elásticos y los valores obtenidos experimentalmente

En tracción, se puede plantear

x z x y x x E           

en que  es el coeficiente de Poisson

A partir de la última ecuación de la sección anterior, se puede plantear que:

ij kk ij ij       2 2 1 _  Si i = j, se tiene kk kk _ kk     ·3 2 2 1   con lo cual              2 3 1 2 kk kk Por tanto kk _ij ij ij                    2 3 1 2 2 2 1 Finalmente :





kk ij ij ij _{  }       3 2 2 2 1   

En el caso de un ensayo de tracción y z 0

x j i  por lo que

















                                        3 2 1 3 2 3 2 2 1 3 2 2 2 1 E E x x x x x x

Lo cual de una relación entre las constantes de Lamé y el módulo de elasticidad Dado que _y _z 0 (tracción uniaxial)

















x x x z x y                    3 2 2 2 3 2 2 3 2 2         

Así, el módulo de Poisson, se puede plantear como:





2( ) 2                   x y

lo cual entrega una relación entre los constantes de Lamé y el módulo de Poisson. En un ensayo de cortadura simple, se cumple que:

xy xy xy xy xy xy xy G  G      2 2 0      ya que





kk ij ij ij _{  }       3 2 2 2 1   

entonces _xy xy _xy _xy y dado que _xy G_xy

   2 2 2        G

que es la relación entre el módulo de corte y la constante de Lamé 

5.7 Relación entre E y v y las constantes de Lamé

A partir de las relaciones anteriores se puede demostrar que











  2 1 1   E







   1 2 E

_

_

     1 2 E G

En notación indicial, se puede escribir:







ij kk ij ij ij ij kk ij ij ij kk ij E E E E                             1 1 2 1 1 2 Finalmente _ij en función de E y 

























G E G E G E xy xy y x z z yz yz z x y y xz xz z y x x                                  1 1 1

Estas son las relaciones de Hooke más aplicadas, conviene recordarlas

5.8 Módulo compresibilidad

El módulo de compresibilidad se define como

V v

K m

  

Corresponde al cambio de volumen en un material al aplicársele una carga. Si 0 0         K V K V 3 3 2 3 2 3 1 2          _            m m m m K 5.9 Energía de deformación

Sea un sólido que en t0 está sin deformar. Considérese el sólido en tdt

Si ues el desplazamiento dt t u u      es el desplazamiento final.

Considerar dW : Incremento de trabajo, dW puede deberse a fuerzas de superficie o fuerzas de volumen.

dt u u dt t u u i _{i i} i _      F d desplaz trabajo dt u dV x dt u dA dW_{u ij i i i i}     .      0 ,      





ij j i V i i A i j ij i i i j ij u x dV u x dA u dt dW u dV x u dA dt dW          Teorema de Gauss







   _ dV x F dV F d S d F i i i S    

 











       V ij ij V ij ij V j i ij i j ij V j i ij dV dt dW dV dV u dV u dV u dt dW             , , ,

Densidad de energía de deformación

ij ij ij ij dU d dt dU _{   }    0 0 _





m m ij ij ij ij m ij ij ij ij m ij ij ij d d d d d d dU                9 2 3 2 3 2 0       





2 2 9 0 0 0 0 m ij ij t U dU ij        









ij ij m ij ij m ij U             2 1 2 9 3 2 2 3 2 2 0            ij ij U   2 1 0  

Ejercicios resueltos

1. Se considera un prisma regular cuyo material tiene un módulo de elasticidad 2 5 / 10 8 , 2 kg cm

E   y coeficiente de Poisson v = 0,1. La longitud del lado de la sección recta es a = 20 cm. En ambas bases del prisma se colocan dos placas perfectamente lisas y rígidas de peso despreciable, unidas entre sí mediante cuatro cables de sección 1 cm2 _{y módulo de elasticidad} 6 2

1 2 10 kg/cm

E   de longitudes iguales a la altura del prisma l = 1 m, simétricamente dispuestos como se indica en la figura. Sobre las caras laterales opuestas del prisma se aplica una fuerza de compresión uniforme p750kg/cm2.

a) Calcular la tensión  en los cables.

El alargamiento en la dirección del eje z provocado por la compresión p sobre las caras laterales somete a tracción a los cables que, a su vez, por el principio de acción y reacción, comprime al prisma en la dirección del eje z con una fuerza de valor 4 a ₁.

Las tensiones normales en las caras del prisma son:

a

a

p ny nx      0 1 2 4 a a _nz   y Fprisma = Fcable 2 1 4 a a nz     (1)

Al ser las placas perfectamente rígidas, son iguales los alargamientos unitarios de los cables y del prisma en la dirección del eje z.

El alargamiento unitario en los cables es (dirección z)

1 E    (2)

Mientras que el correspondiente a la dirección longitudinal del prisma, reemplazando (1,a,b,c) en (3) queda.









     _{ }     p a a E E nz nx ny z        1 1 4 ₂ 1 (3) Igualando ambas expresiones (2) = (3)

     _{ }    p a a E E z 4 4 1 2 1    

Se obtiene la expresión de la tensión en los cables.

1 1 2 1 2 4E a E a E a p     

Sustituyendo valores se tiene:

2 2 6 2 5 6 2 500 1 10 2 4 20 10 8 , 2 10 2 20 750 1 , 0 cm kg cm kg _                  

b) Calcular las tensiones principales en el prisma.

Las direcciones principales en todos los puntos del prisma coinciden con las direcciones de los ejes del sistema de referencia adoptado. Por lo tanto, los valores de las tensiones principales son:

p ny nx      0 1 1 2 1 4 4 r E E a E p nz      Sustituyendo valores: 2 750 0 cm kg ny nx      2 2 6 2 5 6 5 1 10 2 4 10 10 8 , 2 1 10 2 750 1 , 0 4 cm kg cm kg                      

Ordenando de mayor a menor, se tiene:

2 3 2 2 1 750 5 0 cm kg cm kg        

c) Calcular la variación de volumen experimentada por el prisma.

La deformación cúbica unitaria es:















3 5 2,157 10 10 8 , 2 5 750 2 , 0 1 2 1 1 _{ }             x y z nx ny nz  E e

La variación de volumen experimentada por el prisma es: 3 28 , 86 cm eV V   

2. Dos paralelepípedos A y B de distinto material y de las mismas dimensiones

,

c b

a  se colocan a uno y otro lado de una placa rígida y lisa adosados a ella por sus caras ac, de tal forma que en sus ejes de simetría perpendiculares a dichas caras sean coincidentes (ver figura). Ambos paralelepípedos, junto con la placa se introducen en una ranura de anchura igual a dos veces la longitud de la arista b más el espesor de la placa. Las paredes de la ranura son planas, rígidas y perfectamente lisas. Los paralelepípedos A y B se calientan, experimentando incrementos de temperatura T1 y T2

dilatación lineal ₁ y ₂ y los coeficientes de Poisson v y ₁ v de los bloques A y B ₂

respectivamente, se pide:

a) Las tensiones principales en ambos bloques

b) Las variaciones de longitud de las aristas de los mismos

c) Calcular la variación de volumen de los dos bloques si ambos tienen las dimensiones cm

20 30

20  y cada uno de ellos las siguientes características:

Cuerpo A (acero) Cuerpo B (aluminio)

 4 1 º 10 117 , 0   C  0,234104 ºC 1 E 2106 Kgf /cm2 0,69106 Kgf /cm2 v 0,25 0,23 T 60 50

Ayuda: para resolver el problema se deben utilizar las leyes de Hooke generalizadas, teniendo en cuenta las dilataciones térmicas, es decir, debe sumar " T " a las deformaciones principales.

x y z b a a b c _A c _B T₂ T₁

a) Los incrementos de temperatura producen dilataciones en todas las direcciones. El alargamiento en las direcciones del eje y está impedido para ambos bloques, lo cual crea tensiones _ny en los mismos.

Ecuaciones a utilizar:









T E nx ny nz x       1   









T E ny nx nz y       1   









T E nz nx ny z       1    G xy xy    ; G xz xz    ; G yz yz   

Distinguiremos con el superíndice 1 a las componentes de las matrices de tensiones y de deformación del cuerpo A, y con el superíndice 2 las correspondientes al cuerpo B. Como la deformación sólo está impedida en la dirección del eje y, tenemos:

0 1  ny  ; ny2 0; 0 2 1 2 1     nz nz nx nx     0 2 1 2 1 2 1       yz yz xz xz xy xy      

Además, las figuras imponen las siguientes condiciones 2 1 ny ny    0 2 1   y y  

De las ecuaciones de Hooke, se deduce: 1 1 1 1 1 1 T E ny y      2 2 2 2 2 1 T E ny y     

Teniendo en cuenta la relación anterior, se tiene:    2 0 1 y y   1 1 1 1 1 T E ny 2 2 2 2 1 T E ny  2 1 ny ny    _{1 2} 2 1 2 2 1 1 _EE E E T T      

2 1 960 ny ny     Cuerpo A Cuerpo B 0 2 1   12 0 2 3 960 cm kgf    ₃ 960 ₂ cm kgf   

b) Las variaciones de longitud de las aristas de los bloques vienen dadas por:

Cuerpo A Cuerpo B 1 x a a   2 x a a   1 x b b   2 x b b   1 x c c   2 x c c   Cuerpo A





4 1 1 1 1 1 10 22 , 8 1 _{   }   T E ny x   

 

4 1 1 1 1 10 22 , 2 1 _{  }   T E ny y   





4 1 1 1 1 1 10 22 , 8 1 _{   }   T E ny z    Cuerpo B





3 2 2 2 2 2 10 49 , 1 1 _{   }   T E ny x   

 

4 2 2 2 2 10 22 , 2 1 _{  }   T E ny y   





3 2 2 2 2 2 10 49 , 1 1 _{   }   T E ny z   

Cuerpo A Cuerpo B a a8,22104  a1,49103a b b2,22104  b2,22104b c c 4 10 22 , 8     c 3c 10 49 , 1    

c) Calcular la variación de volumen si ambos tienen las mismas dimensiones. cm

20 30

20 

Volumen del Cuerpo A inicial = Volumen del Cuerpo B inicial 3 12000 cm V 

Cuerpo A

016 , 20 * 016 , 0 20     a a a 3 12022 * 007 , 30 * 007 , 0 30 b b V cm b     A  016 , 20 * 016 , 0 20     c c c 3 22 cm V_A   Cuerpo B 03 , 20 * 030 , 0 20     a a a 3 2 , 12033 * 993 , 29 * 007 , 0 30 b b V cm b     B  03 , 20 * 030 , 0 20     c c c 3 2 , 33 cm V_B  

Demostrar que las tensiones hidrostáticas no cambian el lugar de fluencia.

Recordar:

  ijd ij

dU0   Densidad de energía de deformación. Ahora Trabajo Plástico Total

P ij ij P d dW   h ij ij ij      ' P ij h ij ij P d dW ( '  )  P ij h ij P ij ij P d d dW  '     P ij ij h P ij ij P d d dW  '           j i j i ij 0 1  P ii h P ij ij P d d dW  '    donde:  P ij d Deformación Plástica 0  P ii

d , ya que la deformación plástica ocurre sin cambio de volumen.

P ij ij P ij ij P d d dW      '

La tensión hidrostática no produce trabajo plástico.

3.- En el interior de un cilindro de acero, absolutamente rígido, de radio interno r = 0,1 m, se introduce un cilindro de caucho del mismo radio (coeficiente de Poisson 0.4), según se indica en la figura. Mediante una fuerza de 2 toneladas que actúa sobre un pistón de peso y rozamiento despreciables colocado sobre el caucho, se comprime éste. Calcular la presión entre la goma y el acero.

Solución

Eje Z A F

nz 



El área donde actúa la fuerza es ·r2

2 2 2 2 · 37 . 6 ) 10 ·( 2000 · cm f Kg cm Kg r F nz _ _   Eje X nx  P x y 0 Eje Y ny P Luego









0 1 _{  }  _{nx ny nz} x E    

Reemplazando los valores nx P_,ny P_, nz 6.37 _{tenemos que:}





2 · 25 . 4 548 . 2 6 . 0 0 548 . 2 4 . 0 0 37 . 6 4 . 0 cm f Kg P P P P P P          

4.- Un cubo metálico que tiene una longitud de arista a = 25 cm se sumerge en el mar a una profundidad z = 800 m. Conociendo el módulo de elasticidad

, / 10 1 , 2 6 Kgf cm2

E  el coeficiente de Poisson v y el valor de la densidad del agua de mar 1025 Kg/m3, se pide:

a) La representación del estado de esfuerzos usando el círculo de Mohr.

a = 25 cm. z = 800 m. , / 10 1 , 2 6 Kgf cm2 E  v = 0,3 La presión hidrostática es pgz1025Kg/m39,81m/s2800m

2 2 6 2 6 10 0442 , 8 10 0442 , 8 m s Kgm ms Kg _{ }   2 2 82 000 . 820 cm Kgf m Kgf  

El estado tensional del cubo a partir del círculo de Mohr queda:

Dado que es sólo un punto.

b) Direcciones principales.

Cualquier dirección es principal.

c) La variación que experimenta el cubo sumergido.







1 2 3



1 _{  }   v  E , pero 1 2 3 











v



E p v E v E 2 1 2 1 2 1 1           





5 6 1 2 0,3 1,56 10 10 1 , 2 82 _{   }      La deformación unitaria es V V V V _    1 2 3 3  3      3 3 5 73 , 0 25 10 56 , 1 3 cm V        82   2 82 cm Kgf

5.- Un bloque de aluminio es comprimido entre paredes de acero perfectamente rígidas y lisas (= 0.3; E=6000 Kg/mm2_{). Determinar:}

a) Las dimensiones del agujero si las presiones laterales no deben exceder de 2 kg/mm2 b) El cambio de volumen del bloque.

c) Las deformaciones normal y cizallante en un plano cuya normal es



i

j

k



n

2

2

3

1

ˆ

.







a) 8 / 2 30 * 50 12000 mm kP z     2 / 2kP mm y x    30 6000 1 6000 ) 8 2 ( * 3 , 0 2 x x          y z y 50 mm P=12 Ton 50 mm 30 mm x

Luego, mm lx mm x 005 , 30 005 , 0    50 6000 1 6000 ) 8 2 ( * 3 , 0 2 y y          mm ly mm y 0083 , 50 0083 , 0    b) Se tiene 6000 1   y x   6000 8 , 6 6000 ) 2 2 ( * 3 , 0 8   _    z  por lo tanto 6000 8 , 4 ) 8 , 6 2 ( 6000 1 2 0        z x V V _{ } 3 60 ) 50 * 30 * 50 ( 6000 8 , 4 mm V     c)             8 , 6 0 0 0 1 0 0 0 1 6000 1 ij  ; (ˆ 2ˆ 2ˆ) 3 1 ˆ i j k n                                     6 , 13 2 1 18000 1 2 2 1 3 1 * 8 , 6 0 0 0 1 0 0 0 1 6000 1  2 2 ) 18000 ( 96 , 188 ); ˆ 6 , 13 ˆ 2 ˆ ( 18000 1       i j k  ) ˆ 2 ˆ 2 ˆ ( 3 1 * ) ˆ 6 , 13 ˆ 2 ˆ ( 18000 1 ˆ i j k i j k n n          4 10 * 111 , 4    n  ; _n2 1,69*107 4 2 2 10 * 438 , 6 2      n _ 

6.- El esquema muestra una configuración en la cual un material A se comprime con 20 MPa. Este material está inserto dentro de una matriz hecha de un material B, que también puede deformarse. A su vez, todo el conjunto está inserto dentro de un marco de paredes infinitamente rígidas. ¿Cuál es el módulo de elasticidad que debe tener el material B para que el material A no se deforme en la dirección vertical?

B

y

x z

20 MPa

Pared infitamente rígida Pared infitamente rígida A

 Como las paredes son infinitamente rígidas, entonces la deformación total, por el eje X, será cero, por lo que se tiene que:







A A A





B



B B





X X X Z Y B X B Z Y A x A B A total E E                         1 1 0











_{A A}



A B B B Z Y A x Z Y B X A B E E                   (*1)

 Pero al no aplicarse ninguna tensión directamente sobre B, entonces

0



B Y

 (*2)

 Como el material A no debe deformase en Y se tiene entonces que:









0 1      A A A A X Z Y A E    







0   A A A A X Z Y    

Pero al no deformarse por Y, entonces 0

A Y

 (*3)

Por lo que se tiene que:

A

A Z

X 

  (*4)

 Ahora analizando el dibujo:

Por lo que se tiene que:

B A Z Z    B A X X   

MPa MPa MPa MPa B B A A X Z X Z 20 20 20 20           (*5)

 Ahora reemplazando (*2),(*3),(*4) y (*5) en (*1) se tiene que:







A



B A B E E       1 1