Estructura de los subconjuntos abiertos del eje real

Estructura de los subconjuntos abiertos del eje real

Objetivos. Demostrar que todo subconjunto abierto del eje real es una uni´on finita o numerable de intervalos abiertos disjuntos.

Requisitos. Espacio m´etrico, intervalos del eje real.

1 Definici´on (topolog´ıa del eje real, repaso). El eje real R se considera con la topolog´ıa τ_R generada por la m´etrica can´onica d(x, y) := |x − y|. En otras palabras,

τ_R:= A ⊆ R: ∀x ∈ A ∃r > 0 (x − r, x + r) ⊆ A .

Vamos a demostrar que todo subconjunto abierto de R es una uni´on finita o numerable de intervalos abiertos disjuntos. Dado un conjunto abierto, primero definimos una relaci´on de equivalencia: decimos que dos puntos x, y ∈ A son equivalentes si estos puntos se pueden unir con un intervalo contenido en A. Luego mostramos que cada clase de equivalencia (es decir, cada componente arco-conexa) es un intervalo abierto. Al final mostramos que el conjunto de las clases de equivalencia es finito o numerable.

2 Tarea adicional (subconjuntos conexos del eje real). Demostrar que en R todo con- junto abierto conexo es un intervalo, y por consecuencia es convexo y arco-conexo. En estos apuntes no trabajamos con estos conceptos generales y elegimos un tratamiento m´as elemental. En vez de hablar de caminos arbitrarios entre dos puntos x, y, consideramos el intervalo cerrado que los une: [x, y], si x ≤ y; en otro caso [y, x]. Para abarcar ambos casos, escribimos [x, y] ∪ [y, x]. Es lo mismo que la envoltura convexa del conjunto {x, y}.

3 Lema. Sea A ∈ τ_R. Definimos una relaci´on binaria ∼ en A de la siguiente manera:^A x∼ y^A ⇐=^def=⇒ [x, y] ∪ [y, x] ⊂ A.

Entonces ∼ es una relaci´^A on de equivalencia en A.

Demostraci´on. 1. Propiedad reflexiva. Para cualquier x ∈ A tenemos [x, x] = {x} ⊂ A.

2. Propiedad sim´etrica es obvia porque los puntos x, y hacen papeles iguales en la definici´on (m´as formalmente, se usa la propiedad conmutativa de la operaci´on ∪).

3. Propiedad transitiva. Sean x, y, z ∈ A tales que x ∼ y, y^A ∼ z. Sin perdida de^A generalidad consideremos el caso x < z. Entonces [z, x] = ∅ ⊂ A. Demostremos la contenci´on [x, z] ⊂ A. Dependiendo de la posici´on del punto y tenemos tres casos:

I. x ≤ y ≤ z. En este caso [x, z] = [x, y] ∪ [y, z] ⊂ A.

II. y < x. En este caso [x, z] ⊂ [y, z] ⊂ A.

III. z < y. En este caso [x, z] ⊂ [x, y] ⊂ A.

Estructura de los subconjuntos abiertos del eje real, p´agina 1 de 2

4 Lema. Sea A ∈ τ_R y sea x ∈ A. Denotemos por [x]A la clase de equivalencia de x respecto a la relaci´on binaria ∼:^A

[x]_A:=y ∈ A : x∼ y .^A Adem´as pongamos

α_x := inf[x]_A, β_x := sup[x]_A. Entonces

[x]_A = (α_x, β_x).

Demostraci´on. 1. Demostremos que x ∈ (αx, βx). Como A es abierto, existe un r > 0 tal que (x − r, x + r) ⊆ A. Obviamente, para cada y ∈ (x − r, x + r) tenemos que

[x, y] ⊆ (x − r, x + r) ⊆ A, [y, x] ⊆ (x − r, x + r) ⊆ A, as´ı que (x − r, x + r) ⊆ [x]_A. Por lo tanto

α_x = inf[x]_A ≤ inf(x − r, x + r) = x − r < x, β_x = sup[x]_A≥ sup(x − r, x + r) = x + r > x.

2. Demostremos que [x]_A⊆ (α_x, β_x). Sea y ∈ [x]_A. Entonces [y]_A = [x]_A y por lo tanto α_y = α_x, β_y = β_x. Aplicando el resultado del inciso 1 al punto y en vez del punto x, obtenemos y ∈ (α_y, β_y), pero el ´ultimo intervalo coincide con (α_x, β_x).

3. Demostremos que (α_x, β_x) ⊆ [x]_A. Sea y ∈ (α_x, β_x). Si y = x, entonces por supuesto y ∈ [x]_A. Consideremos el caso y < x (el caso y > x se considera de manera similar). La desigualdad α_x < y y la definici´on de inf implican que existe un punto a ∈ [x]_A tal que a < y. Por tanto [y, x] ∪ [x, y] = [y, x] ⊆ [a, x] ⊆ A, as´ı que y ∈ [x]_A.

5 Ejercicio. En las condiciones del lema anterior, demostrar que α_x, β_x ∈ A./

6 Teorema. Cualquier conjunto abierto en R es una uni´on finita o numerable de inter- valos abiertos disjuntos.

Demostraci´on. Sea A ∈ τ_R y sea P := {(α_x, β_x) : x ∈ A}. Para cualquier V ∈ P tenemos que V ⊆ A, as´ı que S

V ∈P V ⊆ A. Por otro lado, si x ∈ A, entonces x ∈ (α_x, β_x) ∈ P y por lo tanto x ∈S

V ∈PV . Acabamos de demostrar que A = [

V ∈P

V.

Se sabe que el conjunto Q es numerable y cualquier intervalo abierto en R intersecta con Q. El mapeo f : A ∩ Q → P definido mediante la regla f (q) := (αq, β_q) es suprayectivo, por lo tanto P es finito o numerable.

Estructura de los subconjuntos abiertos del eje real, p´agina 2 de 2