Caminos m´ınimos en grafos (tarea adicional)

Caminos m´ınimos en grafos (tarea adicional)

1 Definici´on (grafo ponderado). Un grafo ponderado es un par (V, p), donde V es un conjunto finito y p es una funci´on V × V → [0, +∞] tal que p(v, v) = 0 para cada v en V y p(v, w) = p(w, v) para cualesquiera v, w en V . Los elementos de V se llaman v´ertices y el n´umero p(v, w) se llama el peso de la arista (v, w).

2 Definici´on (camino en un grafo). Sea (V, p) un grafo ponderado. Un camino en V es una lista de v´ertices de V . Se dice que (v1, . . . , vm) une los v´ertices v1 y vm. Se dice que la longitud del camino es m − 1.

3 Definici´on (longitud del camino). Sea (V, p) un grafo ponderado y sea v₁, . . . , v_m un camino en V . Entonces

`(v₁, . . . , v_m) :=

m

X

j=1

p(v_j, v_j+1).

4 Proposici´on (sobre caminos con repeticiones y ciclos). Sea (V, p) un grafo ponderado.

Dado un camino en V , existe un camino en V que une los mismos puntos, no tiene repeticiones y tiene longitud menor o igual que la longitud del camino original.

Demostraci´on. Sea v₁, . . . , v_m un camino en V . Si r, s ∈ {1, . . . , m}, 1 ≤ r < s ≤ m y vr = vs, entonces

`(v<sub>1</sub>, . . . , v<sub>r</sub>, v<sub>s+1</sub>, . . . , v<sub>m</sub>) ≤ `(v₁, . . . , v_m).

5 Definici´on (distancia entre dos v´ertices). Sea (V, p) un grafo ponderado y sean v, w elementos de V . Denotemos por d(v, w) al m´ınimo entre las longitudes de todos los caminos que unen v y w.

6 Proposici´on. (V, d) es un espacio m´etrico.

Algoritmo de Floyd y Warshall

7 Definici´on. Sea (V, p) un grafo ponderado y sean v, w elementos de V . Dado r en N, denotemos por d_r(v, w) al m´ınimo entre las longitudes de todos los caminos de longitud

≤ r que unen v y w.

Caminos m´ınimos en grafos, p´agina 1 de 2

8 Proposici´on. Sea (V, p) un grafo ponderado y sean v, w elementos de V . Denotemos por n al n´umero de los elementos de V . Entonces d(v, w) = d_n(v, w).

9 Proposici´on. Sean (V, p) un grafo ponderado, v, w ∈ V y r ∈ N0. Entonces d_r+1(v, w) = m´ın

u∈V d_r(v, u) + p(u, w)
.

10 Problema. Demostrar las dos proposiciones anteriores.

11 Problema. En alg´un lenguaje de programaci´on escribir un programa que calcula d(v, w) para cada par v, w en V usando las ideas anteriores. Se recomienda identificar V con {1, . . . , n} y guardar el graf ponderado como una matriz de tama˜no n × n cuya entrada (j, k) es p(j, k).

Caminos m´ınimos en grafos, p´agina 2 de 2