(como es habitual en este tipo de problemas, letras iguales siempre se sustituyen por la misma cifra, letras distintas se deben sustituir por cifras distintas)
Entre todas las posibilidades que hay para conseguir este objetivo ¿cuál es el menor valor que puede tener
TAL
?¡Atención! debéis pasar al problema 8 los valores de
S
y deL
en la solución para la queTAL
tiene el menor valor 2.- LaT
(tumbada) de la figura se ha descompuesto en cuatro piezasmediante dos líneas paralelas, una de las cuales pasa por
A
y la otra porB
, que es el punto medio deAC
.¿Cuál es el área de la única pieza que es un pentágono?
3.- En un túnel de un parque de atracciones Juan ve un anuncio que le parece atractivo:
A la entrada del túnel se doblará su dinero e inmediatamente después sólo deberá pagar 4 € para entrar.
Al empezar la segunda vuelta se volverá a doblar su dinero, el que tenga en aquel momento. Inmediatamente sólo deberá pagar 4 € para
continuar el viaje.
Y así en cada vuelta.
Cuando iba a empezar la cuarta vuelta Juan se da cuenta de que el
anuncio era diabólico ya que antes se había quedado exactamente sin dinero, y como el doble de 0 es 0 ya no podía “pagar sólo 4€”.
¿Con cuánto dinero había llegado Juan al túnel?
4.-
T
es un número que viene del problema 6En el octógono de la figura, que tiene todos los ángulos interiores de 90º o de 270º, conocemos las longitudes de los tres lados indicados.
Si las longitudes conocidas son
T
cm,3
cm y5
cm, ¿cuál es el perímetro del octógono, expresado también en cm?5.- Se facemos a multiplicación de 2012 por 111 ... 111 (un número de 2.012 cifras todas iguais a 1), canto é a suma das cifras do resultado desa multiplicación?
Alerta! Chamaremos
B
a suma das cifras da solución deste problema.O número
B
debe ser enviado ao problema 10) 6.- Calcula exactamente el valor positivo deLa solución de este problema pasa como valor
T
al problema 47.- En una exhibición de robots corredores participan
A
,B
yC
, cada uno de los cuales tiene programada una velocidad fija, sea cuál sea la distancia a recorrer.Los organizadores preparan algunas carreras con la condición que los dos robots que participen en cada una lleguen siempre a la meta exactamente al mismo tiempo.
Para conseguir este objetivo...
en una carrera de 50 m,
A
debe dar 4 m de ventaja aB
(es decir, queA
recorrerá 50 m yB
exactamente 46 m)en una carrera de 200 m,
B
debe dar 15 m de ventaja aC
(o sea queB
recorrerá 200 m yC
sólo 185 m)¿Cuántos metros de ventaja deberá dar
A
aC
en una carrera de un kilómetro?8.- Para este problema debéis conocer los valores de dos números que pasan del problema 1 (son los valores de
S
yL
) En un triángulo ABC conocemos las medidas de los lados CA = L cm y CB = S cm. Trazamos las bisectrices de los ángulos A y B, que se cortan en el punto D. Por D trazamos la paralela al lado AB, que corta en E y F a los otros dos lados del triángulo.¿Cuál es el perímetro del triángulo CEF?
9.- ¿Cuántos números capicúas de 9 cifras contienen cuatro cifras consecutivas que forman el número 2012?
(Nota: se entiende que los números de 9 cifras son los que van de 100000000 a 999999999) El número solución de este problema se pasa al problema 10 como número
C
10.- Para este problema necesitáis un número
B
que viene del problema5
y un número
C
que viene del problema9
(esB < C
)En un juego en que no hay empates, si ganas te dan
C
puntos y si pierdes te quitanB+3
. Laura ha jugadom
partidas y, partiendo de 0, ha acabado con 2012 puntos.¿Cuál es el menor valor que puede tener
m
?La solución de este problema pasa al siguiente como número
P
11.- Per a aquest problema es necessita el número
P
que passa del problema anteriorEn la figura apareix un triangle ABC descompost en quatre triangles.
Els perímetres dels quatre triangles interiors són els que es veuen a la figura:
60, P (el del centre), 48 i 81
Quin és el perímetre del triangle ABC?
La solució passa al problema següent com a número
N
12.- Para este problema necesitáis un número
N
que viene del problema 11 Indicamos comosumcif(k)
el resultado de sumar las cifras del número entero k. Por ejemplo,sumcif(2012) = 5
.Siendo N el número solución del problema anterior, calcula el resultado de la suma alternada
sumcif(N) – sumcif(N+1) + sumcif(N+2) – sumcif(N+3) + ...
... + sumcif (10N – 1) – sumcif(10N )
Problema 1 "de propina"Estudiar en qué fila y en qué columna se encuentra el número 678 en la siguiente disposición de los números naturales positivos.
¿Cuál es el área del cuadrilátero de mayor área para el que, desde algún punto interior, las distancias de los segmentos que unen este punto con los vértices miden 3 cm, 5 cm, 11 cm y 13 cm?
Nota: la imagen es sólo ilustrativa. Los cuatro segmentos que unen el punto con los vértices pueden estar situados en la posición que más interese.
Problema 3 "de propina"
Para un rectángulo con vértices en los puntos de una cuadrícula y los lados sobre las líneas que la determinan, llamaremos puntos reticulares a los vértices del rectángulo y a los puntos de la cuadrícula que están sobre los lados o son interiores al rectángulo.
Por ejemplo en el rectángulo siguiente se observan 32 puntos reticulares.
Clara ha adosado cuatro rectángulos iguales, siempre por el mismo lado.
Es decir que ha formado un nuevo rectángulo multiplicando por 4 una de las dimensiones del rectángulo inicial y dejando la otra igual.
Al hacerlo observa que en el nuevo rectángulo hay 2013 puntos reticulares más que en el rectángulo inicial.
¿Cuál es el área del rectángulo inicial sabiendo que es el de menor área que cumple el enunciado?
