Matemáticas II. A = 4 0 rg(a)=rg( A)=3 Compatible determinado. F2=F2 +2 F1. =6 0 rg( A)=2 3=rg( A) Incompatible. A *=

(1)

I.E.S. Juan Carlos I

Ciempozuelos (Madrid) Matemáticas II

* Sistemas de ecuaciones lineales * 1. Determina la compatibilidad de los siguientes sistemas de ecuaciones y resuélvelos cuando

sea posible (es conveniente que alternes los distintos métodos de resolución aprendidos:

Gauss, inversa ó Cramer):

a) {2 x – 4 y – 2 z=0^{x yz=6} x – y – z=0

A=(¹^{2 −4 −2}^{1 −1 −1}¹ ¹) ∣A∣=4≠0→ rg(A)=rg(A *)=3 → Compatible determinado.

Gauss: A*=(¹^{2 −4 −2}1 −1 −1¹ ¹∣⁰0⁶)F2=F2 +2 F1^F3=F3+F1^→

A*=(¹^{4 −2 0}2 ¹0 ¹0∣¹²⁶6) x =3 y =0 z= 3

b) {^{3 x−2 y=5}^{x +3 y=−2}2 x – y=3

A=(^{3 −2}¹2 −1³)^{A *=}(^{3 −2}¹2 −1³∣⁻²⁴3 ) ∣A*∣=7≠0→rg( A)=2≠3=rg( A*) →Incompatible.

c) {2 x – 3 y z=1^{x− yz =2}^{x yz =2}

A=(^{1 −1 1}¹^{2 −3 1}¹ ¹) ∣A∣=−2≠0→rg(A)=rg(A *)=3 → Compatible determinado.

Inversa:(^x^yz)^=A⁻¹(1²²)^→(^x^yz)⁼

(

⁻⁻²⁵2¹² −¹¹²1 ¹⁰

2 −1

)

⁽²²¹⁾^→⁽^x^y^z⁾⁼⁽⁻¹⁰³⁾ x =−1 y =0 z =3

d) {^{x3 y− z=1}^{2 x z=2}^{2 y− z=5}

A=(^{1 3 −1}^{2 0}^{0 2 −1}¹) ∣A∣=0 A *=(^{1 3 −1}^{2 0}^{0 2 −1}¹∣¹²5)∣^{1 3 1}^{0 2 5}^{2 0 2}∣=−30≠0→rg (A)=2≠3=rg (A*) → Incompatible.

e) { 3 x− y+ z=5 x + y +2z=2 2 x – 2 y−z =1

A=(^{3 −1}¹^{2 −2 −1}¹ ¹²) ∣A∣=0 A *=(^{3 −1}¹^{2 −2 −1}¹ ¹²∣⁵²¹⁾∣^{−2 −1 1}⁻¹¹ ¹² ⁵²∣=6≠0→rg( A)=2≠3=rg( A*) → Incompatible.

f) {⁻^{x y− z=1}^{x− y z=1}^{x yz=1}

A=(−1¹¹ ⁻¹¹1 ⁻¹¹1) ∣A∣=−4≠0→rg(A)=rg( A*)=3 →Compatible determinado.

Cramer: x =∣¹^{1 −1}1 ¹1 ⁻¹¹1∣

∣−1¹¹ ⁻¹¹1 ⁻¹¹1∣⁼

−4

−4=1 y =∣−1 1¹¹ ^{1 −1}¹ ¹1∣

∣−1¹¹ ⁻¹¹1 ⁻¹¹1∣⁼

−4

−4=1 z=∣−1¹¹ ^{−1 1}¹1 ¹1∣

∣−1¹¹ ⁻¹¹1 ⁻¹¹1∣⁼

−4

−4=1

(2)

g) {2 x – 3 y z=1^{x− yz =2}^{x yz =2}

A=(^{1 −1 1}¹^{2 −3 1}¹ ¹) ∣A∣=−2≠0 →rg(A)=rg (A *)=3 → Compatible determinado.

Gauss: A *=(^{1 −1 1}¹2 −3 1¹ ¹∣²²1)^{F3=F3−2 F1}^F2=F2−F1^→ ^{A *=}(^{1 −1}⁰0 −1 −1² ¹⁰∣−3²⁰) y = 0 z= 3 x =−1

h) {12 x−3 y−2 z=0^{x y− z=0} x – 2 y z=0

A=(^{12 −3 −2}¹1 −2¹ ⁻¹1) ∣A∣=0 A*=(^{12 −3 −2}¹1 −2¹ ⁻¹1∣⁰⁰0)→Menores 3x3 =0→rg (A)=rg (A *)=2<3=nº de incógnitas → Compatible indeterminado.

Usamos z como parámetro y eliminamos 2ª ecuación (1ª y 3ª no son proporcionales): {^{x + y =z}x −2y =−z →

REDUCCIÓN{−3 y =−2 z^{x +y =z} →y =2 3z x=1

3z

i) {2 x − y3 z=0^{x y −z=0}

A=(¹2 −1¹ ⁻¹3)∣¹2 −1¹∣=−3≠0rg(A)=rg(A *)=2<3=nº de incógnitas → Compatible indeterminado.

Usamos z como parámetro: {^{x +y =z}2 x−y =−3z →

REDUCCIÓN{3 x=−2z^{x+y =z} →x=−2

3z y =5 3z

j) {2 x + y=0^{x+2 y=0}^{x− y =0}

A=(¹^{1 −1}2 ²1)^∣¹^{1 −1}²^∣=−3 A*=(¹^{1 −1}2 ²1∣⁰⁰0) ∣A*∣=0→rg (A)=rg(A *)=2=nº de incógnitas → Compatible determinado.

Eliminamos 3ª ecuación (3ª=1ª + 2ª): {^{x +2 y =0}x −y =0 →

REDUCCIÓN{−3 y =0^{x +y =0}→y =0 x =0

k) {x2 y2 z u=0 x− yz−2 u=0 2 x  y−z u=0

A=(¹^{1 −1}2 1² −1²¹ ⁻²¹1)∣¹^{1 −1}₂ ²₁ ₋₁¹²∣=12≠0rg ( A)=rg ( A*)=3< 4=nº de incógnitas → Compatible indeterminado.

Usamos u como parámetro. Gauss:{x +2y +2z=−u x −y +z=2 u 2x +y −z =−u

F3=F3+F2→

F2=2F2 +F1{x +2 y +2 z=−u 3 x +4z =3 u 3 x=u

→x=1 3u z=1

2u y =−7 6u

l) { x3 y z=10 x2 y−3 z =4 2 x 5 y− z=14

A=(^{1 3}^{1 2 −3}2 5 −1¹) ∣A∣=−1≠0→rg ( A)=rg ( A*)=3 → Compatible determinado.

Inversa:(^x^yz)⁼^A⁻¹(¹⁰14⁴)^→(^x^yz)⁼(^{−13 −8 11}−1⁵ −1³ ⁻⁴1)(¹⁰14⁴)^→(^x^yz)⁼(⁻⁸⁶0) x=−8 y= 6 z =0

m) {2 x  y2 z =−1^{x2 yz=1}

A=(^{1 2 1}2 1 2)∣^{1 2}_{2 1}∣=−3≠0rg ( A)=rg( A *)=2<3=nº de incógnitas → Compatible indeterminado.

Usamos z como parámetro: {2 x +y =−1−2 z^{x+2 y =1−z} →

REDUCCIÓN{x +2 y =1−z

−3y =−3 →y= 1 x =−1− z

(3)

n) {^{2 x −3 y=1}3 x – 2 y=5^{x y=3}

A=(¹^{2 −3}3 −2¹)^∣¹^{2 −3}¹^∣^{=−5 A*=}(¹^{2 −3}3 −2¹∣³¹5) ∣A*∣=−5→rg ( A)=2≠3=rg( A *)→ Incompatible.

o) { x6 y− z=67 3 x− y2 z=14

x yz=13

A=(¹^{3 −1}1 ⁶1 ⁻¹²1) ∣A∣=−13≠0→rg (A)=rg(A *)=3 →Compatible determinado.

Cramer: x =∣⁶⁷^{14 −1}13 ⁶1 ⁻¹²1∣

−13 =−156

−13=12 y =∣^{1 67 −1}^{3 14}1 13 1²∣

−13 =−104

−13=8 z=∣¹^{3 −1 14}1 ⁶1 ⁶⁷13∣

−13 =91

−4=−7

p)

{

x−2 y−2 zt=4 x y z−t=5 x – y− zt=6 6 x−3 y−3 z 2 t=32

A=(^{1 −2 −2}¹^{1 −1 −1}6 −3 −3¹ ¹ ⁻¹¹¹2)^∣A∣=0^∣^{1 −2}¹^{6 −3}¹ ⁻¹²¹^∣^=6≠0

A *=(^{1 −2 −2}¹^{1 −1 −1}6 −3 −3¹ ¹ ⁻¹¹¹2∣32⁴⁵⁶)∣^{1 −2 −2}¹^{1 −1 −1}6 −3 −3 32¹ ¹ ⁴⁵⁶∣⁼∣^{1 −2}¹^{1 −1}6 −3¹ ⁻¹¹¹2 32⁴⁵⁶∣⁼∣^{1 −2}¹^{1 −1}6 −3¹ ⁻¹¹¹2 32⁴⁵⁶∣⁼∣^{−2 −2}^{−1 −1}−3 −3¹ ¹ ⁻¹¹¹2 32⁴⁵⁶∣⁼⁰

rg ( A)=rg (A *)=3<4=nº de incógnitas → Compatible indeterminado Vamos a resolver de manera artesanal, usando z como parámetro:

- Sumando la 2ª y 3ª ecuaciones: 2x =11→ x= 11 2

- Sumando la 1ª ecuación y el doble de la 2ª: 3 x−t=14→t=3 x−14→t =5 2 - Tomando la 2ª ecuación: 11

2 +y + z−5

2=5→y =2−z

q)

{

^{x−3 z =−1}^{x−2 y =1}^yz=2^y−z=2 ^A*=⁽^{1 −2}⁰¹⁰ ¹⁰¹ ⁻³⁻¹⁰¹^∣⁻¹¹²²⁾ ∣A *∣=−12≠0→rg (A*)=4≠3=rg( A) → Incompatible.

2. (P.A.U. 2009) Dado el sistema de ecuaciones:

{2 x – 3 y=2 k^{x – y=3} 3 x – 5 y=k

a) Discutirlo según los distintos valores del parámetro k.

b) Resolverlo en los casos en que sea posible.

a) Tenemos que A∈M3X2y A *∈M3X3. Puesto que un menor de A es ∣¹⁻¹²⁻³∣=−1≠0 entonces rg ( A)= 2, y sólo caben dos posibilidades:

rg( A*)= 3≠2=rg(A)→ Sistema incompatible . Para ello :∣A *∣=∣^{1 −1}^{2 −3 2k}3 −5 k³∣≠0→3 k −3≠0→k ≠1 rg( A*)= rg ( A)=2=nº incógnitas→ Sistema compatible determinado . Para ello : k =1

b) Eliminamos la 3ª ecuación (no participa en el menor ≠0visto antes):{^{x −y =3}^{2x −3 y =2}^REDUCCIÓN^→ {^−x=−7^{x− y =3}^→x =7 y = 4

(4)

{^^^{x2 y z=0}x – y2 z=0 x –  y2 z=0

a) Obtener los valores del parámetro λ para los cuales el sistema tiene soluciones distintas de la trivial: x = y = z = 0.

b) Resolverlo para λ = 5.

a) Si el sistema es compatible determinado, la única solución es la trivial. Es necesario que sea compatible indeterminado es decir:rg ( A)=rg( A *)<3 → ∣^λ^{λ −1 2}1 −λ 2² ¹∣^{=0→ λ}²−6λ+5=( λ−1)( λ−5)=0→ λ =1 λ= 5

En ambos casos se tiene rg( A)=rg ( A*)=2 puesto que siempre existe al menos el menor ∣−1² ¹2∣^=5≠0

b) Para λ=5 el sistema es compatible indeterminado. Eliminamos la 3ª ecuación y usamos z como parámetro: {5 x +2y =−z 5 x− y=−2z Por reducción: {5 x +2y =−z

−3 y=−z →y =z

3 x =−z 3

{a x – y=a1^{x−a y=2} se pide:

a) Discutir el sistema según los valores del parámetro a. Resolverlo cuando la solución sea única.

b) Determinar para qué valor o valores de a el sistema tiene una solución en la que y=2.

a) Se tiene A=(^{1 −a}a −1)^{A *=}(^{1 −a}a −1∣a+1² ) Para ∣A∣≠0 se tendrá rg (A)=rg ( A*)=2→Sistema compatible determinado.

Esto significa: ∣A∣=a²−1≠0→ Sistema compatible determinado sia≠±1 Analicemos ahora cada caso particular:

a=1→ A*=(^{1 −1}1 −1∣²2) Ambas filas iguales luego rg ( A*)=1=rg (A)< 2=nº de incógnitas→ Sistema compatible indeterminado a=−1→ A *=(−1 −1¹ ¹∣²0)∣₋₁¹ ²₀∣=2≠0→ rg (A *)= 2≠1=rg ( A)→Sistema incompatible

b) Primero resolvemos el sistema en general suponiendo que es compatible determinado ( a≠±1) :

{^{x −a y =2}a x− y =a+1→{^{−ax +a}a x− y =a+1²^{y =−2a}→{^(aa x− y =a+1²^{−1) y =1−a}→y =1−a

a²−1→y =− 1

a+1→2=− 1

a+1→a=−3

2 Solución: x =−1 y = 2

Consideramos ahora el caso de compatible indeterminado ( a=1). Eliminando una de las ecuaciones y tomando 'y' como parámetro, en el caso y=2 : x−2=2→ x =4. Por tanto: a=1 Solución: x= 4 y = 2

5. (P.A.U. 2008) Resolver el sistema de ecuaciones:

{

2 x −4 y +2 z −6 v =−8^x^x ^{−2 y}⁺^{2 y} ⁺⁺^z^z ^{−3 v =−4}⁺^{3 v} ⁼⁴

2 x +2 z =0

(5)

Resolveremos por simple reducción, transformando sucesivamente el sistema con transformaciones de Gauss:

{2x −4 y +2z −6v =−8^x^x ^{−2 y}^{+2 y} ^+z^+z ^{−3v =−4}^+3v ⁼⁴

2x +2z =0

→

E3=1 2E3 E4 =1

2E4{x −2 y + z −3v =−4 x +2 y + z +3v =4 x −2 y + z −3v =−4

x +z =0

E1= E1− E4→

E2= E2−E4

E3= E3−E4{^x ^−2y^−2y^2y ^+z ^{−3v =−4}^{−3v =−4}^+3v ⁼⁴⁼⁰

Observamos que las 3 primeras ecuaciones son en realidad la misma, de modo que el sistema queda como:{^{2 y +3v =4}x+ z=0 Son dos ecuaciones desacopladas. Tomando v y z como parámetros: x=−z y=4− 3v

2 ∀ z ,v ∈ℝ

{ x k 1 y2 z=−1 k x yz=k

k −1 x – 2 y−z=k 1 se pide:

b) Resolverlo cuando tenga infinitas soluciones.

a) Se tiene A=(k −1 −2¹^k ^{k +1}¹ −1²¹)^{A *=}(k −1¹^k ^{k +1}−2 −1¹ ²¹∣k +1⁻¹^k ) Con ∣A∣≠0 rg ( A)=rg ( A*)=3→Sistema compatible determinado.

Esto significa: ∣A∣=2k²−5 k +2=( k−2)(2k −1)≠0→ Sistema compatible determinado sik≠ 2 y k ≠1 2

Analicemos ahora cada caso particular:

k =2→A *=(¹²1 −2 −1³¹ ²¹∣⁻¹²3) Podemos calcular los menores y ver que son todos 0, o ver que F3=F2-F1, luego rg ( A *)=2=rg ( A)<3=nº de incógnitas→ Sistema compatible indeterminado

k =1

2→A*=

(

⁻¹¹²¹² ^{−2 −1}³²¹ ²¹

∣

⁻¹¹³²²

⁾

^→

∣

^{−2 −1}³²¹ ²¹ ⁻¹¹²³²

∣

=−3≠0→rg ( A*)=3≠2=rg ( A)→Sistema incompatible

b) Resolvemos cuando es compatible indeterminado (k=1). Eliminamos la 3ª ecuación y usamos z como parámetro:

{x +3 y =−1−2 z

2 x+ y =2−z →

REDUCCIÓN: E1=2E1-E2 {^{5y =−4−3 z}2x + y =2−z→y =−3z + 4

5 x =7− z 5

{x2 y−3 z=3 2 x 3 y z=5 se pide:

a) Calcular a y b de manera que al añadir una tercera ecuación de la forma ax + y + bz = 1 el sistema resultante tenga las mismas soluciones que el sistema original.

b) Calcular las soluciones del sistema dado tales que la suma de los valores de las incógnitas sea igual a 4.

a) Todo lo que hay que hacer es añadir una ecuación que sea combinación lineal de las dadas.

Consideremos dos números reales α y β tales que: E3=α E1+βE2

Puesto que E3 es de la forma a x + y +bz =1, considerando los coeficientes de 'y' así como los términos independientes, ha de tenerse:{^2α+3β=13α+5β=1 que al resolver da α=2 β=−1, es decir, la tercera ecuación será el doble de la primera menos la segunda : 0x + y −7z =1→a= 0 b=−7

b) El sistema es compatible indeterminado. Eliminamos la segunda ecuación y usamos z como parámetro:{x +2y =3+3z y =1+7z Resolvemos por sustitución y tenemos: x =1− 11z y =1+ 7z z =z Sumando las incógnitas: x +y + z=2−3z =4→ z=−2

3 Por tanto: x=25

3 y =−11 3 z=−2

3

(6)

{

^{xk yk}xk y−k z=k²^z=1²

−xk y−k²z =k²

b) Resolverlo para k = -1.

a) Se tiene A=(−1 k −k¹¹ ^k^{k −k}^k²²)^{A *=}(−1 k −k¹¹ ^k^k ^−k^k²²∣^kk¹²²) Con ∣A∣≠0 rg ( A)=rg (A*)=3→Sistema compatible determinado.

Esto significa: ∣A∣= 2k²(k +1)≠0→Sistema compatible determinado sik ≠ 0 y k ≠−1

Analicemos ahora cada caso particular:

k =0→ A*=(−1 0 0¹¹ ^{0 0}^{0 0}∣¹⁰0) Podemos calcular los rangos y ver rg ( A*)=2≠1=rg ( A) u observar que las dos primeras ecuaciones son claramente incompatibles: x = 1 x=0→ Sistema incompatible

k =−1→ A *=(−1 −1 −1¹¹ ⁻¹⁻¹ ¹¹∣¹¹1)→Las dos primeras ecuaciones son iguales y las dos últimas son claramente no proporcionales, luego: rg ( A)=rg ( A *)=2→Sistema compatible indeterminado

b) Para k=-1: Eliminamos la 1ª ecuación y tomamos z como parámetro: {−x− y =1+z^{x −y =1−z} . Resolviendo por reducción:

x=− z y=−1 z= z

9. (P.A.U. 2006)

a) Resolver el sistema de ecuaciones:

{2 x 3 y− z=5^{x y−3 z=0}

b) Hallar la solución del sistema dado tal que la suma de los valores de las incógnitas sea igual a 4.

a) A=(^{1 1 −3}2 3 −1)∣^{1 1}_{2 3}∣=1≠0rg ( A)=rg ( A*)=2<3=nº de incógnitas → Compatible indeterminado.

Usamos z como parámetro: {^{x +y =3 z}2x +3 y =5+z →

REDUCCIÓN{^{x +y =3z}y =5−5z→ y =5−5 z x= 8z −5 z= z b) Sumamos las expresiones: x +y +z =5−5z +8z −5+z =4→ 4z =4→ z=1→ x= 3 y= 0 z =1

(7)

10.(P.A.U. 2006) Dado el sistema homogéneo: {^^{x k y−z=0}^{k x− yz=0}k 1 x y=0

averiguar para qué valores del parámetro k tiene soluciones distintas de la trivial x=y=z=0.

Resolverlo en tales casos.

Si el sistema es compatible determinado, la única solución es la trivial. Es necesario pues que sea compatible indeterminado es decir:rg ( A)=rg ( A *)<3 → ∣k +1¹^k ⁻¹^k1 ⁻¹0¹∣=0→(k +1)( 2⨪ k )=0→k =−1 k =2

En ambos casos se tiene rg ( A)=rg ( A*)=2 puesto que siempre existe al menos el menor ∣⁻¹1 ¹0∣^=−1≠0

k = -1 : Eliminamos la 2ª ecuación y usamos z como parámetro: {^{x +y =−z}y =0 →y =0 x=−z

k = 2 : Eliminamos la 3ª ecuación y usamos z como parámetro: {^{x + 2y =z}2 x− y =−z Por reducción: {^{5 x=−z}^{2 x− y =−z}^→^{x=− z}⁵^{y= 3 z}⁵

11. (P.A.U. 2006) Dado el sistema de ecuaciones: { 2 x3 y−z=k x2 y3 z=2 k xk y−4 z=−1 a) Discutirlo según los distintos valores del parámetro k.

b) Resolverlo cuando sea compatible indeterminado.

a) Se tiene A=(^{2 3 −1}^{1 2}k k −4³)^A*=(^{2 3 −1}^{1 2}k k −4³∣−1^k²) Con ∣A∣≠0 rg ( A)=rg ( A *)=3→Sistema compatible determinado.

Esto significa: ∣A∣=4k −4≠0→Sistema compatible determinado sik ≠1 Analicemos ahora el caso particular:

k =1→ A *=(^{2 3 −1}^{1 2}1 1 −4³∣⁻¹¹²⁾^→∣^{2 3}^{1 2}^{1 1 −1}¹²∣⁼∣^{2 −1}¹¹ ³⁴ ⁻¹¹²∣⁼∣^{3 −1}²¹ ³⁴ ⁻¹¹²∣=0→ rg( A *)=rg ( A)=2→Sistema compatible indeterminado Es todavía más sencillo si vemos que la última ecuación resulta de restar a la primera la segunda (es combinación lineal de ellas)

b) Para k=1 el sistema es compatible indeterminado. Eliminamos la 3ª ecuación y usamos z como parámetro:{2 x +3y =1+z x +2y =2−3 z Por reducción:_{E1=E1−2 E2}→ {^{−y =−3+7z}x +2 y=2−3z→y= 3−7 z x= 11z −4

12.(P.A.U. 2005) Dado el sistema : { m−1 x y z=3 m xm−1 y 3 z=2 m−1

x2 y  m−2 z=4 a) Discutirlo según los distintos valores de m.

(8)

a) A=(^m−1^m1 ^m−1¹2 m−2¹³ )^{A *=}(^m−1^m1 ^m−1¹2 m−2¹³ ∣^2m−1³4 ) Si ∣A∣≠0 rg ( A)=rg ( A *)=3→Compatible determinado.

Esto significa: ∣A∣=∣^{m−1 1}^m1 ^{m −1 3}2 ¹m−2∣^C1=C1−C2⁼ ∣−1^{m−2 1}¹ ^{m−1 3}2 ¹m−2∣^{C2 =C2−C3}⁼ ∣−1^{m−2 0}¹ ^{m−4 3}4−m m−2¹ ∣^F2=F2+F3⁼ ∣−1^{m−2 0}⁰ ⁰4−m m −2¹^{m +1}∣^≠0

∣A∣=(m+1)(m−2)(m−4)≠0→Sistema compatible determinado ∀ m∈ℝ −{−1, 2, 4}

Analicemos ahora los casos particulares:

m=−1→ A *=(⁻²^{−1 −2}1 ¹2 −3¹³∣⁻³³4)^→∣⁻²¹2 −3¹³ ⁻³³4∣=5≠0→rg ( A *)=3≠2=rg ( A)→ Sistema incompatible m= 2→ A *=(^{1 1 1}^{2 1 3}1 2 0∣³³4)^→∣^{1 1 3}^{1 3 3}2 0 4∣=−4≠0→rg ( A*)=3≠2=rg ( A)→Sistema incompatible

m= 4→A *=(^{3 1 1}1 2 2^{4 3 3}∣³⁷⁴⁾ Se ve que E2=E1+E3→ Sistema compatible indeterminado (También se pueden calcular menores) b) Para k=4 el sistema es compatible indeterminado. Eliminamos la 2ª ecuación y usamos z como parámetro:{3 x +y =3−z

x +2y =4−2z Por reducción: →

E1=2E1− E2{^{5x =2}x +2 y= 4−2z→x =2 5 y =9

5−z

13.(P.A.U. 2005)

a) Resolver el sistema de ecuaciones:

{x2 y3 z=1 2 x y− z=2

b) Hallar dos constantes a y b de manera que al añadir al sistema anterior una tercera ecuación de la forma 5x + y + az = b el sistema resultante sea compatible

indeterminado.

a) A=(^{1 2}2 1 −1³)∣^{1 2}2 1∣=−3≠0rg ( A)=rg (A *)=2<3=nº de incógnitas → Compatible indeterminado.

Usamos z como parámetro: {x +2 y =1−3z 2x + y =2+ z →

REDUCCIÓN

E1=2 E1−E2{^{3 y =−7z}2 x +y =2+z→ y =−7z

3 x= 1+5 z 3 z= z

b) Lo más sencillo es conseguir que la tercera ecuación sea combinación lineal de las otras dos. Buscamos una combinación que con 1 y 2 dé 5 (coeficientes de x) y que con 2 y 1 dé 1 (coeficientes de y): 1·(−1)+2 ·3=5 2·(−1) +1 ·3=1

Por tanto, combinando los coefientes de z y los términos independientes: 3·(−1)−1· 3=a→a=− 6 1·(−1) +2·3=b→b= 5

Se podría también imponer a todos los determinantes (el de coeficientes y los menores de la matriz ampliada) que sean nulos, de este modo nos aseguramos de que rg ( A*)=rg ( A)=2<nº incógnitas=3

∣^{1 2 3}^{2 1−1}5 1 a∣=−18−3a=0→a=−6 ∣^{1 2 1}^{2 1 2}5 1 b∣=15−3b=0 ∣¹^{2 −1 2}5 −6 b³ ¹∣=35−7b=0 ∣²^{1 −1 2}1 −6 b³ ¹∣=25−5b=0→b= 5

14.(P.A.U. 2005) Dado el sistema homogéneo:

{ k x− y 3 z=0^{x2 y=0} x−3 yk 1 z=0

averiguar para qué valores del parámetro k tiene soluciones distintas de la trivial x=y=z=0.

Resolverlo en tales casos.

(9)

Si el sistema es compatible determinado, la única solución es la trivial. Es necesario pues que sea compatible indeterminado es decir:rg ( A)=rg ( A *)<3 → ∣¹^{k −1}1 −3 k +1² ⁰³ ∣^=0→−2k²−3k +14=−(k −2)(2 k +7)=0→ k= 2 k =−7

2 En ambos casos se tiene rg ( A)=rg ( A*)=2 puesto que siempre existe al menos el menor ∣−1² ⁰3∣^=6≠0

k = 2 : Eliminamos la 3ª ecuación y usamos z como parámetro: {^{x + 2y =0}2 x− y =−3z Por reducción: {^{3 y=3 z}2 x− y =−3z→y =z x=−2 z

k = −7

2 : Eliminamos la 3ª ecuación y usamos z como parámetro: {⁻^{x +2 y=0}⁷2x −y =−3 z Por reducción: {^{−6 x=−6 z}⁻⁷²^{x −y =−3z}→x = z y=− z

2

15. (P.A.U. 2005)

a) Discutir según los valores del parámetro λ el sistema de ecuaciones:

{2  x2 y  z=1 x y−z=1 4 x3 yz=2 

b) Resolver el sistema en los casos en que sea compatible.

a) Si rg ( A)=rg ( A*)=3 el sistema será compatible determinado: ∣A∣=∣^{2 λ 2}¹4 ^{λ −1}3 ^λ1∣^{=−2 λ}²+9 λ−10=( λ−2)(5−2λ) rg ( A)=rg (A *)=3 ∀ λ∈ ℝ−{^2,52}^→Sistema compatible determinado

- Si λ= 2: A*=(^{4 2 2}^{1 2 −1}4 3 1∣¹¹4)^→∣^{2 2}²⁻¹3 1 ¹¹4∣=−15≠0→rg ( A *)=3≠2=rg (A)→Sistema incompatible - Si λ= 5

2: A*=(⁵^{1 5/2 −1}4 ²3 ^5/21∣¹¹⁵)^→∣^{5 5/2 1}^{1 −1 1}⁴ ¹ ⁵∣⁼⁴⁵²≠0→rg (A*)=3≠2=rg ( A)→Sistema incompatible

b) Sólo se da el caso de que sea compatible determinado. Resolvemos por la regla de Cramer en función de λ :

x =∣_{2λ 3}¹¹ ²^{λ −1}^λ₁∣

∣A∣ = 1−2 λ³

( λ−2)(5−2 λ) y =∣^2λ¹₄ _2λ¹¹ ⁻¹^λ₁∣

∣A∣ = 6λ²−2 λ− 5

( λ−2)(5−2 λ) z=∣^{2 λ 2}¹₄ ^λ_{3 2λ}¹¹∣

∣A∣ =4 λ³−14 λ +11 (λ−2)( 5− 2λ )

(10)

16.(P.A.U. 2005) Considerar el siguiente sistema de ecuaciones en el que a es un parámetro real:

{−a x4 ya z =−a 4 xa y−a z =a

−x− y z=1 Se pide:

a) Discutir el sistema según los valores de a.

b) Resolverlo para a=1.

a) Se tiene A=(^−a−1 −1⁴ â⁴ ^−aâ1)Â*=(^−a−1 −1⁴ â⁴ ^−aâ1∣^−aâ1) Con ∣A∣≠0 rg( A)=rg ( A *)=3→ Sistema compatible determinado.

Esto significa: ∣A∣=a²−16=(a+4)(a− 4)≠0→Sistema compatible determinado ∀ a∈ ℝ−{−4,4}

Analicemos ahora los casos particulares:

a=− 4→ A *=(−1 −1⁴⁴ ⁻⁴⁴ ⁻⁴1⁴∣⁻⁴⁴¹)^→∣−⁴⁴1 −1^{−4 −4}⁴ ⁴1∣=−64≠0→rg ( A*)=3≠rg( A)=2→Sistema incompatible a=4→ A*=(⁻⁴−1 −1⁴ ⁴^{4 −4}⁴1∣⁻⁴⁴1)^→∣−1⁴⁴ ⁻⁴⁴1 ⁻⁴1⁴∣=−64≠0→ rg( A *)=3≠rg ( A)=2→Sistema incompatible b) Para a=1 el sistema es compatible determinado. Por Gauss: A*=(⁻¹−1 −1⁴ ⁴¹ ⁻¹¹1∣⁻¹¹1)^E1=E1−E3^{E2=E2 +4E3}⁼ (−1 −1 1⁰⁰ ^{−3 3}⁵ ⁰∣⁻²⁵1)

Aunque no quede exactamente escalonado, ya se puede resolver el sistema:

De E1→ y=− 2

5 De E2→z = 19

15 De E3 → x= 2 3

17.(P.A.U. 2004) Dado el sistema de ecuaciones:

{1−a  x−2 y4 z =0 x −1a yz =0

−x a y −z=0

a) Estudiar la compatibilidad según los valores del parámetro a.

a) A=(^1−a−1¹ ^−(1+a)⁻²a −1⁴¹)^A*=(^1−a−1¹ ^−(1+a)⁻²a −1⁴¹∣⁰⁰0) Si ∣A∣≠0 rg ( A)=rg ( A*)=3→Compatible determinado.

Esto significa: ∣A∣=∣^1−a₋₁¹ ^−1−a⁻²_a ₋₁⁴¹∣^{F2=F2 +F3}⁼ ∣^{1−a −2}₋₁⁰ ⁻¹_a ₋₁⁴⁰∣^{C1=C1 −C3}⁼ ∣^{−3−a −2}⁰₀ ⁻¹_a ₋₁⁴⁰∣^{=−3−a≠0}

∣A∣=−(a+3)≠0→Sistema compatible determinado ∀ a≠−3∈ℝ

Es sistema homogéneo y siempre será compatible, cuando no determinado, indeterminado:Compatible indeterminado si a=-3

b) Para a=-3 el sistema es compatible indeterminado. Eliminamos la 3ª ecuación y usamos z como parámetro:{4x −2 y=−4 z x +2y =−z Por reducción: →

E1= E1+E2{^{5 x =−5 z}x +2y =−z→x=−z y =0 z= z

{3 x4 y3 z=9 m x2 yz=5

x y z=2

a) Determinar los valores de m para que el sistema dado tenga solución única.

b) Resolverlo para m = 1.

(11)

a) A=(^{m 2 1}³1 ^{4 3}1 1) Si ∣A∣≠0 rg ( A)=rg ( A*)=3 Esto significa: ∣A∣=1−m≠0→Sistema compatible determinado ∀ m ≠1∈ℝ b) Para m=1: A*=(^{3 4 3}^{1 2 1}1 1 1∣⁹⁵2) Se puede ver que E1=E2+2E3, luego es un sistema compatible indeterminado. Eliminamos E1 y usamos z como parámetro: {^{x +2 y=5−z}x +y =2− z →

E1=E1−E2{^{y =3}x + y=2−z→x=−1− z y = 3 z =z

{

a x  yz=a−1a2

xa y z=a−1²a2

x ya z=a−1³a2

a) Comprobar que es compatible para todo valor del parámetro a.

b) Resolverlo cuando a = -2.

a) A=(^{a 1 1}^{1 a 1}1 1 a) Si ∣A∣≠0 rg ( A)=rg ( A*)=3→Compatible determinado.

Esto significa: ∣A∣=∣^{a 1 1}^{1 a 1}1 1 a∣C1 =C1 +C2 + C3⁼ ∣^{a+2 1 1}^{a+2 a 1}a+2 1 a∣^{=(a+ 2)}∣^{1 1 1}^{1 a 1}1 1 a∣^F2=F2−F1^F3=F3−F1⁼ ^(a+2)∣¹^{0 a−1}0 ¹0 a−1¹⁰ ∣=(a+2)(a−1)²≠0

∣A∣=(a+2)(a−1)²≠0→Sistema compatible determinado ∀ a∈ ℝ−{−2, 1}

En los casos a=-2 y a=1 el sistema es homogéneo (todos los términos independientes se anulan) y siempre será compatible.

b) Para a=-2 el sistema es compatible indeterminado. Eliminamos la 3ª ecuación y usamos z como parámetro:{−2 x +y =−z x−2 y =−z Por reducción: →

E1=E1+2 E2{^{−3 y =−3z}x− 2y =−z→x= z y= z z= z

20.(P.A.U. 1999) Se consideran el siguiente sistema de ecuaciones lineales S y el siguiente determinante D:

S :

{

âââ¹²³^{x b}^xb^xb¹²³^y=c^y=c^y=c¹²³ ^D=

∣

âââ¹²³ ^b^b^b¹²³ ^c^c^c¹²³

∣

a) Si S es compatible, ¿se verifica entonces que D=0?

b) Si D=0, ¿se verifica entonces que S es compatible?

a) Sí. Para que sea compatible, el rango de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada han de ser iguales (Rouchè-Frobenius).

En este caso la matriz de coeficientes es de dimensión 3x2 luego su rango máximo será 2. Por otro lado, D es el determinante de la matriz ampliada del sistema que, a fin de poder igualar el rango de la matriz de coeficientes, ha de tener rango inferior a 3 y, por tanto, determinante nulo i.e. D=0.

b) No. Que D=0 sólo garantiza que el rango de la matriz ampliada es menor que 3. Pero podría darse el caso en que el rango de la matriz ampliada fuese 2 y el de la matriz de coeficientes 1, resultando un sistema incompatible.

Podemos aportar un contraejemplo:{^{x +y =1}^{x +y =1}^{x +y =2} Claramente incompatible. D=∣^{1 1 1}^{1 1 1}1 1 2∣⁼⁰

Matemáticas II. A = 4 0 rg(a)=rg( A*)=3 Compatible determinado. F2=F2 +2 F1. =6 0 rg( A)=2 3=rg( A*) Incompatible. A *=

(

)

{

{

{

(

∣

)

∣

∣

{

{

{

∣

∣

Matemáticas II. A = 4 0 rg(a)=rg( A)=3 Compatible determinado. F2=F2 +2 F1. =6 0 rg( A)=2 3=rg( A) Incompatible. A *=

⁾