ESTUDIAR MATEMÁTICAS

MARIANNA BOSCH JOSEP GASCÓN

ESTUDIAR MATEMÁTICAS

El eslabón perdido entre la enseñanza y el aprendizaje

ICE - HORSORI

Universitat de Barcelona

ANEXO C

Las fuentes del currículo y la transposición didáctica

En la teoría clásica del currículo los saberes matemáticos nos son problemáticos. Al abordar el problema del currículo escolar de matemáticas desde la problemática como matemático, no se plantea la necesidad de cuestionar los contenidos que se deben enseñar, preguntándose por ejemplo las posibles organizaciones de sus elementos técnicos, tecnológicos y teóricos que los convierten en contenidos aptos para ser estudiados en la escuela. En la problemática curricular únicamente se cuestiona, por ejemplo, si las funciones exponenciales han de se estudiadas o no en la E.S.O pero no se plantea que elementos componen,-o podrían componer- esta obrita, matemática. La tendencia habitual es considerar que las adaptaciones escolares de una obra matemática imitaciones más o menos fieles de ésta y, por lo tanto, no se toman en consideración los complejos procesos de transposición didáctica.

Al dejar de lado la problemática específicamente matemática la teoría del currículo se centra principalmente en los problemas referentes a la secuenciación, temporalización y presentación de unos contenidos matemáticos supuestamente transparentes y predeterminados.

Dado que estas cuestiones no pueden separarse de las características, psíquicas y socioculturales de los alumnos ni del contexto social, cultural y político del país, resulta muy difícil establecer una frontera clara entre la teoría del currículo y otros ámbitos del saber como la psicología o la sociología de la educación (Gimeno y Pérez 1983, p.190).

Desde esta perspectiva no es de extrañar que hayan surgido multitud de definiciones

distintas del concepto de currículo que van desde

el currículo como un programa estructurado de contenidos concretos de una disciplina, hasta el currículo como el ambiguo "conjunto de toda la experiencia que tiene el niño bajo la tutela de la escuela." (op. cit., p. 191). Tampoco es extraño que todas estas formas de entender el currículo sean relativamente ajenas al proceso de estudio de cada una de las disciplinas escolares y, en particular, al proceso de estudio de las matemáticas. Por su parte, los autores de la propuesta curricular que fundamenta la Reforma Educativa en España entienden el currículo como un proyecto que proporciona informaciones concretas sobre qué enseñar, cuándo enseñar, cómo enseñar y qué, cómo y cuándo evaluar (Coll, 1986, pp. 14-15).

Así, en el marco de la citada reforma, el primero de los problemas que habría que afrontar en el proceso de elaboración de un Proyecto Curricular tiene que ver con lo que se denominan sus

"fuentes". ¿De donde -de qué fuentes- extraer los criterios para decidir los objetivos y los contenidos de la educación escolar? ¿Con qué criterios decidir cuál es la mejor manera -la secuencia y el ritmo más adecuados- para presentar a los alumnos unos contenidos determinados?

¿De dónde obtener los criterios de evaluación y los dispositivos más adecuados para realizarla?

En este punto se propugna la necesidad de integrar las aportaciones del análisis psicológico, del análisis disciplinar, del análisis sociológico y del análisis pedagógico, enfatizando el papel de la fuente psicológica y, en relación con ésta, el de la fuente pedagógica.

Se dejan en un segundo término la fuente epistemológica propia del análisis disciplinar y la la fuente sociológica (up. cit., pp. 16-21).

Pero, ¿qué significa esta integración de las aportaciones de las diferentes fuentes del currículo? ¿Cómo yuxtaponer criterios de diferente naturaleza, provenientes de diferentes disciplinas? ¿Cuál de dichas disciplinas tomará a su cargo la explicación del funcionamiento de la parte irreductiblemente matemática de la enseña de las matemáticas? Y, en consecuencia, ¿a cuál de las fuentes citadas habrá que recurrir para abordar la componente matemática del problema de la elaboración del currículo? Son éstas algunas de las preguntas que, por el momento, quedan sin ninguna respuesta convincente.

En el contexto de las cuatro fuentes citadas, las últimas preguntas apuntan forzosamente a la denominada "fuente epistemológica". Pero, de nuevo, surge otra pregunta: ¿cómo hay que entender en este contexto el "análisis disciplinar" del que emana la fuente epistemológica del currículo?

La cuestión ha sido formulada por Moreira y Novak en los siguientes términos: "¿Cómo

puede organizarse mejor la materia de enseñanza a fin de facilitar el aprendizaje significativo de

los alumnos?" Su respuesta pone de manifiesto que para dichos autores el

análisis disciplinar consiste únicamente en investigar "secuencias y estructuras jerárquicas alternativas" de la materia de enseñanza, la cual se concibe como el "conjunto de conceptos que son construidos por especialistas creativos" (Moreira y Novak, 1988, p. 10). No caben pues otras reconstrucciones o reorganizaciones que las que vienen dadas por las diferentes secuencias alternativas de los elementos que constituyen la obra matemática original. No se concibe que, en la adaptación escolar de una obra matemática, se produzca una auténtica reconstrucción de la misma que pueda afectar no sólo a la secuenciación y temporalización de sus componentes (tipos de problemas, técnicas, tecnologías y teorías), sino también a la naturaleza misma de dichas componentes, a su estructura interna y a sus interrelaciones.

Esta postura, propia de lo que hemos denominado el "punto de vista clásico" en didáctica de las matemáticas (ver Anexo A) ignora la distancia entre las obras matemáticas y su adaptación a las instituciones didácticas, suponiendo implícitamente que dicha adaptación sólo puede consistir en una imitación más o menos fiel de las obras matemáticas tal y como fueron producidas. Las variaciones posibles se refieren, de nuevo, a las diferentes maneras de seleccionar, organizar y presentar unos elementos de la obra matemática original previamente definidos y, por tanto, tienen un carácter más psicopedagógico que genuinamente matemático.

Se observa así como se reproduce en ciertos discursos curriculares un fenómeno que

puede ser considerado "normal" dentro del sistema de enseñanza de las matemáticas en el que,

como ha mostrado la teoría de la transposición didáctica, no sólo no es posible reconocer la

distancia entre las obras matemáticas y su adaptación escolar, sino que ni siquiera puede

plantearse la cuestión. De hecho, la distancia entre las obras matemáticas y su adaptación

didáctica -distancia que, por cierto, no es constante porque, como hemos dicho, la transposición

didáctica continúa en el seno de las instituciones didácticas- es el terrible secreto que la difusión

de la teoría de la transposición didáctica pone en peligro. En efecto, dentro del sistema de

enseñanza de las matemáticas es necesaria que esta separación sea negada, puesto que para que la

enseñanza impartida parezca legítima hay que afirmar con fuerza su adecuación con el proyecto

social que la justifica. Las obras matemáticas enseñadas deben aparecer conforme a las propias

obras matemáticas o, mejor, la cuestión de la conformidad no debe plantearse dentro del sistema

de enseñanza. Se trata de una ficción de identidad o, cuando menos, de conformidad

incuestionable. El profesor y la enseñanza misma deben su existencia a esta ficción y no pueden

responder a priori más que resistiéndose a aceptar el proceso de transposición didáctica

(Chevallard, 1991, pp. 15- 16).

La constatación de dicha distancia entre las obras matemáticas y su adaptación didáctica destruye la ilusión de transparencia de la organización matemática escolar y permite su cuestionamiento. Es, de hecho, una de las puertas de entrada del saber matemático como objeto de estudio propio de la didáctica. Recordemos que fue precisa- mente esta inclusión del saber matemático entre los objetos de estudio de la didáctica uno de los factores que provocaron la ampliación radical de la problemática didáctica y la consiguiente emergencia de la didáctica fundamental. (Ver Anexo A)

La cuestión que plantearemos aquí es la siguiente: ¿qué puede aportar a la clasificación del currículo de matemáticas la constatación de los fenómenos de transposición didáctica? Y, más en general, como se transforma el problema de la elaboración del currículo cuando se aborda desde el interior de la didáctica de las matemáticas.

Ante todo, hay que decir que, una vez constatados los complejos fenómenos de transposición didáctica, el intento de resolver el problema del currículo mediante la integración"

de las aportaciones de las diferentes fuentes (psicológica, epistemológica o disciplinar, sociológica y pedagógica) aparece como un enfoque ingenuo y, en todo caso, externo a la propia didáctica,

Hemos visto que la elaboración del currículo de matemáticas requiere reconstruir las obras matemáticas que fueron creadas para dar respuesta a las cuestiones que el proyecto social propone para ser estudiadas y que dicha reconstrucción es un trabajo de naturaleza esencialmente matemática. La didáctica permite completar esta tesis en los siguientes puntos:

(a) Dado que existe una reconstrucción escolar de las obras matemáticas cuyas características hemos descrito anteriormente, no pare- ce razonable plantearse la elaboración del currículo de matemáticas sin tener en cuenta la naturaleza de dicha reconstrucción y los fenómenos didácticos asociados. No se trata de "respetar" la reconstrucción escolar como si fuera inamovible, pero es preciso conocer los mecanismos que rigen dicha reconstrucción para controlar los efectos que ésta tendrá sobre el desarrollo o aplicación del currículo. Sólo así podremos evitar que el proyecto curricular sufra deformaciones que lo hagan irreconocible en la práctica docente.

Así, por ejemplo, supongamos que se diseña un currículo de matemáticas que contenga

entre sus objetivos al siguiente: "Utilizar correctamente aparatos de dibujo y medida (regla,

transportador, escuadra, compás,...) para hacer construcciones planas". En este caso, si los autores

del proyecto curricular no han tenido en cuenta la tendencia de la organización matemática

escolar a atomizar los campos de problemas, es muy probable que dicho objetivo degenere, en la

práctica docente, en la enseñanza de técnicas de construcción no integradas en el estudio de ningún tipo de problemas. Así, por ejemplo, es fácil encontrar libros de texto en los que cada una de las construcciones básicas con regla y compás (mediatriz de un segmento, bisectriz de un ángulo, recta paralela a una recta dada por un punto dado, etc.) se presenta como un objetivo último e independiente de los demás.

(b) Correlativamente a los fenómenos generales emergentes de la citada reconstrucción escolar, y en estrecha relación con ellos, se observa que en toda institución docente existen

"modelos implícitos" de los diferentes ámbitos del saber matemático enseñado, es decir, maneras implícitas de considerar qué son y de qué se componen las distintas obras matemáticas del currículo. Así, por ejemplo, puede hablarse de la reconstrucción escolar de la clasificación de los cuadriláteros, de los problemas de combinatoria y hasta del álgebra elemental, entre otras muchas. Se trata de modelos implícitos, casi invisibles y, por tanto, in cuestionados e incuestionables, cuya influencia en la elaboración y puesta en práctica de cualquier diseño curricular de matemáticas es innegable.

Consideremos por ejemplo el caso de la clasificación de los cuadriláteros que se basa hoy día en el paralelismo de los lados y en la igualdad o desigualdad de lados y ángulos. Estos criterios de caracterización conllevan a menudo que, para los alumnos, los cuadrados no sean considerados como rectángulos ni éstos como paralelogramos. Cualquier otra propuesta curricular relativa a la clasificación de los cuadriláteros como, por ejemplo, la que se fundamenta en el tipo de simetría de las figuras, debería diseñarse teniendo muy en cuenta los aspectos en los que estaría conforme y aquellos otros en los que contradiría a la reconstrucción escolar habitual.

Así, en un proyecto curricular en el que los cuadriláteros se clasificaran según su tipo de simetría, habría que enfatizar de una manera muy especial las justificaciones por las cuales los

"trapecios no isósceles" desaparece- rían de la clasificación mientras que, por contra, aparecería una nueva clase de cuadriláteros que ni siquiera tienen nombre en la actual clasificación escolar:

los "romboides" (según la terminología, hoy en desuso, de Rey Pastor) en forma de cometas con

simetría bilateral.

Resulta, en resumen, que la necesaria reconstrucción de las obras matemáticas para elaborar el currículo no se hace sobre una tabla rasa: existe siempre una reconstrucción escolar de las obras matemáticas previa a cualquier nueva reconstrucción, salvo en los casos históricamente puntuales en que una obra entra en la escuela por primera vez.

Todo lo dicho hasta aquí hace referencia al proceso que empieza en el momento que existe un proyecto social de enseñanza de las matemáticas según el cual se tienen que estudiar ciertas cuestiones y abordar ciertas tareas problemáticas. A partir de aquí hay que elegir las obras matemáticas que respondan más adecuadamente a dichas cuestiones, reconstruir dichas obras para adaptarlas a las instituciones docentes y todo lo demás. Pero la constitución misma del citado proyecto social no ha sido abordada: ¿cómo se eligen y cómo podrí- an elegirse, en cada sociedad y en cada periodo histórico, las cuestiones que deben ser estudiadas por todos los ciudadanos? En particular, ¿cómo se eligen las cuestiones matemáticas que prefiguran en cierta manera el currículo de matemáticas?

Se trata de preguntas muy difíciles que, en cierta forma, sobrepasan el ámbito en el que nos situamos: el de la didáctica de las matemáticas como disciplina científica. ¿Significa esto que la didáctica no tiene nada que decir respecto a si es o no pertinente que el currículo obligatorio aborde determinadas cuestiones como la conmensurabilidad de magnitudes, el cambio de posición y tamaño de las figuras o la constructibilidad con regla y compás? ¿Querrá esto decir que la didáctica de las matemáticas no tiene ningún papel en la constitución misma del proyecto social de 'enseñanza de las matemáticas?

Dado que es imposible separar la formulación inicial de las cuestiones que la escuela propone para ser estudiadas del desarrollo detallado del currículo y que dicha formulación debe hacerse en los términos y con las nociones que la didáctica ha construido, queda claro que la didáctica de las matemáticas debe jugar un papel importante también en la constitución inicial del proyecto social de enseñanza.

Ahora bien, dicho lo anterior, no olvidemos que se trata de definir la instrucción mínima obligatoria que la sociedad impone, a la vez que imparte, a cada ciudadano. Sobre este punto, las decisiones últimas que se tomen son siempre, por definición, decisiones políticas, fruto de un acuerdo social, y no competen directamente a ninguna disciplina científica como tal. De la misma manera que ni la física, ni la sociología, ni la biología, ni la informática como disciplinas científicas no pueden cargar con la responsabilidad última de decidir respecto a la utilización social de los objetos que ellas construyen.

En este sentido es muy importante no ceder a la tentación "cientifista" en virtud de la cual el

debate social sería innecesario desde el

momento en que determinadas responsabilidad de la constitución del proyecto social de la enseñanza de las matemáticas.

Referencias

CHEVALLARD, Y. (1991): La transposition didactique.Du savoir savant au savoir enseigné, La Pensée Sauvage, Grenoble, 2

edición.

COLL, C. (1986): Marc curricular per a l’ensenyament obligatori, Generalitat de Catalunya, Departament d’Ensenyament, Barcelona.

GIMENO, J. y PÉREZ, A. (1983): La enseñanza: su teoría y su práctica, Akal, Madrid.

MOREIRA, M. A. y NOVAK, J. D. (1988): “Investigación en enseñanza de las ciencias en la

Universidad de Cornell: esquemas teóricos, cuestiones centrales y abordes

metodológicos”, Enseñanza de las Ciencias, 6(1), 3-18.