1 Unidad 5. Sistemas de Ecuaciones Sistemas de ecuaciones lineales.
Como se estudió en la unidad anterior, la ecuación tiene una infinidad de soluciones. La gráfica que describe a dicho conjunto de soluciones constituye una recta en el plano.
Sean a, b, c, d, e y f constantes reales. El sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
se constituye gráficamente en un par de rectas en el plano. Un par de conjuntos con un número infinito de puntos va a satisfacer cada una de las ecuaciones anteriores, representando en el plano dos rectas.
La solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas corresponderá al punto o conjunto de puntos del plano que satisfagan simultáneamente ambas ecuaciones.
Dada la disposición de dos rectas en el plano, existen tres posibilidades para la solución del sistema de ecuaciones:
Las dos rectas se intersectan en un punto (hay una solución única). Se dice que el sistema es independiente.
Las dos rectas son paralelas, por lo tanto, no se intersectan (el conjunto solución es el conjunto vacío). Se dice que el sistema es inconsistente.
Las dos rectas se superponen (hay una infinidad de soluciones). Se dice que el sistema es dependiente.
Figura 5.1 Posibles soluciones de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
A continuación se mostrarán los métodos de solución de estos sistemas, haciendo énfasis en la interpretación gráfica de los resultados, es decir, es importante saber si el sistema es independiente, inconsistente ó dependiente. Cada método se ilustrará con el mismo ejemplo, a fin de que se observen las diferencias.
Sistema independiente
Sistema inconsistente
Sistema dependiente
Método de suma o resta.
Resuelva el sistema de ecuaciones
Multiplique la ecuación (1) por 5 y la ecuación (2) por 4. Sume término a término las ecuaciones resultantes.
Resuelva la ecuación lineal para la variable x:
Como en todo método, una vez obtenido el valor de una de las incógnitas, en este caso x, se debe sustituir en cualquiera de las ecuaciones originales, esto nos dará una ecuación lineal en la otra variable:
También podemos aplicar el método para obtener y, al multiplicar la ecuación (1) por y la ecuación (2) por para obtener
Si se despeja y, se obtiene La solución del sistema de ecuaciones es:
Método de igualación.
3 Resuelva el sistema de ecuaciones
Se despeja la misma variable en ambas ecuaciones, por ejemplo y:
De la ecuación (1) tenemos:
De la ecuación (2) tenemos:
Se igualan las expresiones obtenidas para a fin de despejar x:
Al igual que en otros métodos, se sustituye el valor obtenido de x en cualquiera de las ecuaciones originales, a fin de obtener el valor de la variable y.
Se podría haber procedido en forma inversa: despejar la variable x en ambas ecuaciones, para obtener primero la variable y.
De la ecuación (1) De la ecuación (2) Entonces
Método de sustitución.
Resuelva el sistema de ecuaciones
Se despeja la variable x de cualquiera de las ecuaciones iniciales, por ejemplo de (2):
Se sustituye la variable despejada en la ecuación (1), y se resuelve la ecuación lineal en la variable y:
Como en todos los métodos, se sustituye el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones iniciales, a fin de obtener la segunda incógnita.
También se pudo haber despejado la variable y de la ecuación (1): para sustituirse en la ecuación (2):
Importante. Si una variable de despeja en la ecuación (1), debe sustituirse en la ecuación (2), y viceversa: si se despeja de (2), se debe sustituir en la ecuación (1).
Sistemas inconsistentes.
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones por dos métodos algebraicos diferentes
5 Sustitución.
De (1), tenemos . Si sustituimos este valor de y, en la ecuación (2) obtendríamos
¿Para qué valores de se cumple que ? Para ninguno, ésta es una inconsistencia. Como no hay ninguna pareja de valores para la cual suceda esto, se dice que el sistema no tiene soluciones, es decir, es un sistema inconsistente.
Suma y resta.
Se multiplica la ecuación (1) por y la ecuación (2) por 1:
¿Para qué valores de se cumple que ? Nuevamente concluimos que el sistema no tiene soluciones.
Cuando un sistema es inconsistente, es decir, cuando las rectas que describen al sistema son paralelas, el resultado de la solución algebraica arrojará una inconsistencia matemática.
Se deja al alumno verificar gráficamente que las rectas que conforman el sistema son paralelas.
Sistemas dependientes.
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones por dos métodos algebraicos diferentes
Sustitución.
De (1), tenemos Si lo sustituimos en (2), tenemos
¿Para qué valores de se cumple que ? La identidad anterior se cumple para todos los valores de que pertenezcan a las rectas que forman el sistema.
Suma y resta.
Se multiplica (1) por 3 y (2) por 1, para obtener
¿Para qué valores de se cumple que ? La identidad anterior se cumple para todos los valores de que pertenezcan a las rectas que forman el sistema.
¿Cómo entender el resultado? En realidad todo punto que satisface la ecuación satisface también la ecuación ya que ésta última se obtiene al multiplicar la primera por
Se dice que el sistema de ecuaciones es dependiente y tiene un número infinito de soluciones.
¿Cuál es la forma de dichas soluciones? Como se puede despejar la variable para obtener de tal forma que las soluciones a esta ecuación tienen la forma donde
Regla de Cramer.
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La regla de Cramer es un método de solución de sistemas de ecuaciones basado en el procedimiento de suma y resta mostrado anteriormente. Las soluciones se expresan en término de arreglos numéricos llamados determinantes que se definirán a continuación.
Definición. Sean a, b, c y d números reales. Una matriz es un arreglo numérico formado por dichos números en dos renglones y dos columnas:
Definición. Dada la matriz se define el determinante asociado a dicha matriz, como
Ejemplo. Si entonces
Desarrollo de la regla de Cramer.
Considere el sistema de ecuaciones
Para obtener x por el procedimiento de suma y resta se multiplica la ecuación (1) por e y la ecuación (2) por
Si se factoriza x, tenemos:
Esto implica que
Es posible reescribir el resultado anterior como un cociente de dos determinantes:
Para despejar la variable y, se procede de forma semejante. Se multiplica la ecuación (1) por y la ecuación (2) por :
Si se factoriza y, tenemos:
O bien
Que se reescribe también en término de un cociente de determinantes
Resumiendo, la solución del sistema de ecuaciones
Es
Ejemplos de aplicación de la Regla de Cramer.
Sistema independiente. Resuelva el sistema de ecuaciones
Sistema inconsistente. Resuelva el sistema de ecuaciones
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La inconsistencia de la forma indica que el sistema no tiene soluciones.
Sistema dependiente. Resuelva el sistema de ecuaciones
Aunque aquí aparece una inconsistencia (por la división entre 0), el hecho de que el numerador también sea 0, indica que las dos ecuaciones son dependientes (una ecuación es múltiplo de la otra).
El número de soluciones es infinito.
Sistemas de ecuaciones no lineales.
Las ecuaciones que hemos estudiado en las primeras unidades de este curso son:
Ecuaciones lineales de la forma o (rectas).
Ecuaciones cuadráticas de la forma (parábolas).
Ecuaciones cuadráticas de la forma (circunferencias).
El método sustitución se emplea en la solución de sistemas de ecuaciones que combinen este tipo de ecuaciones.
Ejemplo 2. Obtenga los puntos de intersección de la recta es con la circunferencia cuya ecuación es
Despeje la variable y de la ecuación de la recta:
Sustituya el valor de y en la ecuación de la circunferencia y simplifique hasta obtener una ecuación de segundo grado:
Si factorizamos la expresión cuadrática, tenemos
Cuyas soluciones son y . Como entonces y Así, los puntos que pertenecen simultáneamente a la recta y la circunferencia son: y Se deja al estudiante verificar esta afirmación.
Ejemplo 2. Determine los puntos de intersección de la parábola y la circunferencia
Despejamos de la ecuación de la parábola:
Ahora la sustituimos en la ecuación de la parábola: o
Cuyas soluciones son . Como la altura no pertenece a la circunferencia de radio 5, entonces la única solución es Para obtener los valores de x, sustituimos en la ecuación entonces , cuyas soluciones son Los puntos de intersección de ambas curvas son y
Ejemplo 3. Resuelva el sistema e identifique gráficamente las curvas que componen el sistema.
De la primera ecuación
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De la segunda ecuación
Entonces o
Si podemos sustituir y en cualquiera de las ecuaciones originales, para obtener
Ahora factorizamos
Las soluciones del sistema son: Como los puntos de intersección son: y Para visualizar la curva se completa a trinomio cuadrado perfecto y factorizamos:
La curva es una circunferencia centrada en y de radio 4.
Para visualizar la curva hacemos exactamente lo mismo para obtener:
Que representa una circunferencia centrada en y de radio 2. La siguiente figura muestra la representación de ambas curvas.
Figura 5.2 Curvas que forman la solución del sistema
Tarea.
1. Sistemas de ecuaciones lineales. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por todos los métodos mostrados en esta unidad. Diga si el sistema es independiente, inconsistente o dependiente. En el caso de sistemas inconsistentes haga la gráfica de las rectas paralelas que lo representan. En el caso de sistemas dependientes haga la gráfica de las rectas y obtenga la forma de la solución.
a. Solución:
b. Solución:
c. Solución:
d. Sistema dependiente Solución:
e. Sistema inconsistente
f. Solución:
g. Solución:
2. Sistemas de ecuaciones lineales. Diga para qué valores de a y b el siguiente sistema tiene un número infinito de soluciones. Sugerencia: use la regla de Cramer.
3. Sistemas de ecuaciones lineales. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales, donde y son las incógnitas. Sugerencia: use la regla de Cramer.
4. Cambio de variable en sistemas de ecuaciones lineales. Use un cambio de variable apropiado para convertir los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales en sistemas de ecuaciones lineales y resolver el sistema.
a.
b.
c.
d.
5. Sistemas de ecuaciones no lineales. Obtenga los puntos de intersección de los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales:
a. La recta y la circunferencia b. La recta y la circunferencia c. La recta y la parábola d. Las parábolas
e. Las parábolas
