JJ II J I J

(1)

2º Bachillerato

A

s = B + m v r = A + l u

B d

CIENCIAS CIENCIAS

MaTEX

L ´ımites

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I

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Proyecto MaTEX

L´ımites de Funciones

Fco Javier Gonz´ alez Ortiz

Directorio

Tabla de Contenido Inicio Art´ ıculo

2004c javier.gonzalez@unican.es

D.L.:SA-1415-2004 ISBN: 84-688-8267-4

(2)

MATEMATICAS 2º Bachillerato

A

s = B + m v r = A + l u

B d

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Tabla de Contenido

1. Introducci´ on 2. Infinit´ esimos

2.1. Algebra de infinit´ esimos 2.2. Orden de un infinit´ esimo 2.3. Infinit´ esimos equivalentes 2.4. Principio de Sustituci´ on 3. Infinitos

3.1. Orden de un infinito

3.2. Los infinitos: potencial, exponencial y logar´ ıtmico 4. C´ alculo de l´ ımites f (x)

^g(x)

4.1. Casos indeterminados de l´ ımites f (x)

^g(x)

5. Regla de L’H¨ opital

• Caso ∞

∞ • Caso 0 · ∞ • Caso ∞ − ∞ Soluciones a los Ejercicios

Soluciones a los Tests

(3)

A

s = B + m v r = A + l u

B d

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Secci´on 1: Introducci´on 3

1. Introducci´ on

Ser´ıa conveniente repasar el cap´ıtulo sobre los l´ımites de 1

^o

de bachiller- ato que puedes encontrar en L´ımites de Funciones I. En este cap´ıtulo vas a profundizar en el c´ alculo de l´ımites con funciones:

trigonom´ etricas, exponenciales y logar´ıtmicas

que no se han tratado en el cap´ıtulo anterior.

Para ello introduciremos los conceptos de infinit´ esimo e infinito. Esto nos permitir´ a calcular el tipo de l´ımite indeterminado de la forma 0

0 que es el m´ as importante y es objeto esencial del C´ alculo diferencial.

El nivel de este cap´ıtulo es adecuado para alumnos de 2

^o

de Bachillerato.

(4)

A

s = B + m v r = A + l u

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Secci´on 2: Infinit´esimos 4

2. Infinit´ esimos

Toda variable f (x) se llama infinitamente peque˜ na o infinit´ esimo cuando tiende a 0.

f (x) → 0

La condici´ on esencial es la variabilidad y tener por l´ ımite 0.

No hablamos de n´ umeros infinitamente peque˜ nos, ser´ıa un contrasentido.

El n´ umero 10

⁻²⁰⁰²

es realmente peque˜ no pero no infinitamente peque˜ no.

La condici´ on esencial del infinit´ esimo es que se pueda hacer tan peque˜ no como queramos, por lo que debe ser una expresi´ on variable.

Decimos que x

²

es infinit´ esimo en x = 0, pues x

²

→ 0 en x = 0. Pero decimos que 1 + x

²

no es infinit´ esimo , pues 1 + x

²

→ 1 en x = 0.

Tambi´ en sen x es infinit´ esimo en x = 0, pues sen x → 0 en x = 0. Pero decimos que 2 + sen x no es infinit´ esimo , pues 2 + sen x → 2 en x = 0.

As´ı mismo, sen(1 + x) no es infinit´ esimo en x = 0, pues sen(1 + x) → sen 1 en x = 0, pero si lo es en x = −1.

Y as´ı sucesivamente.

Ejemplo 2.1. Las siguientes funciones son infinit´ esimos en los puntos que se indican

a) l´ım

x→1

x − 1 b) l´ım

x→∞

1 x c) l´ım

x→0

x

²

d ) l´ım

x→0

sen x e) l´ım

x→π/2

cos x f ) l´ım

x→0

tan x

(5)

A

s = B + m v r = A + l u

B d

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g) l´ım

x→0

e

^x

− 1 h) l´ım

x→0

(1 − cos x i ) l´ım

x→0

ln(1 + x) 2.1. Algebra de infinit´ esimos

Regla I La suma finita de infinit´ esimos es un infinit´ esimo.

α(x) → 0 β(x) → 0 =⇒ α(x) + β(x) → 0

x→0

l´ım x

²

+ sen x = 0 l´ım

x→0

x

⁴

+ sen x

²

= 0

Regla II EL producto de un infinit´ esimo por una constante, o por una vari- able acotada, es un infinit´ esimo.

k ∈ R, α(x) → 0 =⇒ Kα(x) → 0 z(x) acotada , α(x) → 0 =⇒ z(x)α(x) → 0 2.2. Orden de un infinit´ esimo

Cuando x → 0 las variables:

x, x

²

, x

³

, · · · , x

^m

, · · ·

son infinit´ esimos y ´ estas se toman como tipos de comparaci´ on de otros in- finit´ esimos. Decimos que f (x) es un infinit´ esimo en el punto x = a de orden n cuando

x→a

l´ım f (x)

(x − a)

ⁿ

= Cte 6= 0

(6)

A

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2.3. Infinit´ esimos equivalentes

Dos infinit´ esimos se dicen equivalentes (α ∼ β) cuando el l´ımite de su cociente es 1. Si α → 0 y β → 0 son infinit´ esimos.

α ∼ β ⇐⇒ lim α β = 1

Teorema 2.1. Los infinit´ esimos x ∼ sen x ∼ tan x son equivalentes en x = 0.

x→0

l´ım sen x

x = 1 l´ım

x→0

tan x

x = 1 (1)

Para su aplicaci´ on se puede sustituir x por cualquier variable α(x) que tambi´ en sea un infinit´ esimo. Estos son algunos ejemplos:

Ejemplo 2.2. Las siguientes infinit´ esimos equivalentes en los puntos que se indican

a) lim

x→0

sen 2x

2x = 1 b) lim

x→0

sen 5x

5x = 1 c) lim

x→0

sen 3x

²

3x

²

= 1 d ) lim

x→0

tan 6x

6x = 1 e) lim

x→0

tan(−x

³

)

−x

³

= 1 f ) lim

x→1

tan(x − 1)

x − 1 = 1

(7)

A

s = B + m v r = A + l u

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Ejercicio 1. Escribir el infinit´ esimo equivalente en x = 0 a:

a) sen x

³

b) tan(x + x

²

) c) sen 17 x

³

Teorema 2.2. Los infinit´ esimos 1 − cos x ∼ 1

2 x

²

son equivalentes en x = 0.

x→0

lim

1 − cos x

1

2

x

²

= 1 (2)

Para su aplicaci´ on se puede sustituir x por cualquier variable α(x) que tambi´ en sea un infinit´ esimo. Ejemplos de esto son:

a) lim

x→0

1 − cos 2x

1

2

4x

²

= 1 b) lim

x→0

1 − cos 5x

²

1

2

25x

⁴

= 1 c) lim

x→0

1 − cos √ x

1

2

x = 1 d ) lim

x→0

1 − cos 2x

1

2

4x

²

= 1

Ejercicio 2. Escribir el infinit´ esimo equivalente en x = 0 a:

a) 1 − cos x

²

b) 1 − cos 3 c) 1 − cos x 2 d ) 1 − cos √

x

³

e) 1 − cos 3x

⁷

f ) 1 − cos(sen x)

(8)

A

s = B + m v r = A + l u

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Teorema 2.3. Cuando x → 0, ln(1 + x) ∼ x son equivalentes

x→0

lim

ln(1 + x)

x = 1 (3)

Para su aplicaci´ on se puede sustituir x por cualquier variable α(x) que tambi´ en sea un infinit´ esimo. Ejemplos de esto son:

a) lim

x→0

ln(1 + 2x)

2x = 1 b) lim

x→0

ln(1 − x)

−x = 1

c) lim

x→0

ln(1 + x

²

)

x

²

= 1 d ) lim

x→0

ln(1 + 5 √ x) 5 √

x = 1

e) lim

x→0

ln(1 + sen x)

sen x = 1 f ) lim

x→0

ln(1 + tan x) tan x = 1

Ejercicio 3. Escribir el infinit´ esimo equivalente en x = 0 a:

a) ln(1 + √

x

³

) b) ln(1 + 3x

⁷

) c) ln(1 + sen x) d ) ln(1 − 3x) e) ln(1 + x

3 ) f ) ln(1 + 2 tan x)

(9)

A

s = B + m v r = A + l u

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Teorema 2.4. Cuando x → 0, e

^x

− 1 ∼ x son equivalentes

x→0

lim

e

^x

− 1

x = 1 (4)

Para su aplicaci´ on se puede sustituir x por cualquier variable α(x) que tambi´ en sea un infinit´ esimo. Ejemplos de esto son:

a) lim

x→0

e

^2x

− 1

2x = 1 b) lim

x→0

e

^−x

− 1

−x = 1 c) lim

x→0

e

^x²

− 1

x

²

= 1 d ) lim

x→1

e

^x−1

− 1 x − 1 = 1 Ejercicio 4. Escribir el infinit´ esimo equivalente en x = 0 a:

a) e

^2x³

− 1 b) e

^{sen x}

− 1 c) e

^{tan x}²

− 1

Recogemos en una tabla las equivalencias de infinit´ esimos que hemos visto

a˜ nadiendo las inversa del seno y la tangente. Es conveniente aprenderlas para

facilitar el c´ alculo de l´ımites con infinit´ esimos.

(10)

A

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Equivalencias

sen α(x) ∼ α(x) 1 − cos α(x) ∼ 1

2 α(x)

²

tan α(x) ∼ α(x) ln (1 + α(x)) ∼ α(x) e

^α(x)

− 1 ∼ α(x) arc sen α(x) ∼ α(x) arctan α(x) ∼ α(x)

Tabla de Infinit´ esimos

(11)

A

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Responde a las siguientes cuestiones sobre infinit´ esimos:

Test. Responde a las siguientes preguntas.

1. La funci´ on f (x) = (x − 1)

²

es un infinit´ esimo en:

(a) x = 0 (b) Nunca (c) x = 1 2. La funci´ on f (x) = (x − a)

²

es un infinit´ esimo en:

(a) x = 0 (b) Nunca (c) x = a 3. La funci´ on f (x) = 1

x es un infinit´ esimo en:

(a) x = 0 (b) ∞ (c) Nunca

4. La funci´ on f (x) = 1 + x

²

es un infinit´ esimo en:

(a) x = 0 (b) Nunca (c) x = 1 5. La funci´ on f (x) = ln x es un infinit´ esimo en:

(a) x = 0 (b) Nunca (c) x = 1

(12)

A

s = B + m v r = A + l u

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Test. Responde a las siguientes preguntas.

1. La funci´ on f (x) = ln(x − 1) es un infinit´ esimo en:

(a) x = 0 (b) Nunca (c) x = 2 (d) x = 1 2. La funci´ on f (x) = e

^x

− 1 es un infinit´esimo en:

(a) x = 0 (b) Nunca (c) x = 1 3. El orden del infinit´ esimo 5 · x

³

en x = 0, es:

(a) 3 (b) 2 (c) 5

4. El orden del infinit´ esimo 4 · √

³

x en x = 0, es:

(a) 3 (b) 1/3 (c) 1 (d) 4

5. El orden del infinit´ esimo 4 ·

⁵

√

x

²

en x = 0, es:

(a) 5 (b) 2 (c) 2/5 (d) 4

6. El orden del infinit´ esimo x

²

− 1 en x = 1, es:

(a) 0 (b) 2 (c) 1 (d) Ninguno

(13)

A

s = B + m v r = A + l u

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Inicio del Test Buscar el infinit´ esimo equivalente en cada caso:

1. En x = 0, f (x) = sen x

²

equivale a:

(a) x (b) x

²

(c) Ninguno de los

otros 2. En x = 0, f (x) = sen

²

x equivale a:

(a) x (b) x

²

(c) Ninguno de los

otros 3. En x = 0, f (x) = 1 − cos 4x equivale a:

(a) 8x

²

(b) 4x

²

(c) 4x (d) Ninguno de

los otros 4. En x = 0, f (x) = 1 − cos √

x equivale a:

(a) √

x (b) 1

2 x (c) Ninguno

Final del Test ^Puntos:

(14)

A

s = B + m v r = A + l u

B d

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Inicio del Test Buscar el infinit´ esimo equivalente en cada caso:

1. En x = 0, ln(1 + x

²

) equivale a:

(a) x (b) x

²

(c) 1 + x

²

2. En x = 0, ln(1 − 3 x

²

) equivale a:

(a) x

²

(b) −x

²

(c) −3 x

²

3. En x = 0, ln(1 +

√

x

³

) equivale a:

(a) √

x

³

(b) x

³

(c) 1 + x

³

4. En x = 0, ln(1 + sen x) equivale a:

(a) x (b) tan x (c) senx (d) Todos los

anteriores 5. En x = 1, ln(x) equivale a:

(a) x − 1 (b) x (c) x

²

(d) Ninguno

Final del Test Puntos:

(15)

A

s = B + m v r = A + l u

B d

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Inicio del Test Buscar el infinit´ esimo equivalente en cada caso:

1. En x = 0, e

^x²

− 1 equivale a:

(a) x (b) x

²

(c) 1 + x

²

2. En x = 0, ln(cos x) equivale a:

(a) x − 1 (b) cos x (c) cos x − 1 3. En x = 0, e

√x

− 1 equivale a:

(a) √

x (b) x (c) √

x − 1 4. En x = 0, e

^senx²

− 1 equivale a:

(a) x

²

− 1 (b) senx (c) x

²

5. En x = 1, ln(e

^x

) equivale a:

(a) e

^x

− 1 (b) x (c) senx (d) Todas ellas

Final del Test Puntos:

(16)

A

s = B + m v r = A + l u

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Ejercicio 5. Aplicar equivalencias a los siguientes infinit´ esimos en el punto indicado

a) (sen 5x)

x=0

b) [tan(1 − x)]

_x=1

c) 1 − cos x

²

x=0

d ) [arcsin 3x]

_x=0

e) [ln x]

_x=1

f ) [arctan sen x]

_x=0

g) [e

^{sen x}

− 1]

_x=0

h) [ln(cos x)]

_x=0

i ) sen 3 √ x

x=0

Ejercicio 6. Determinar el orden de los siguientes infinit´ esimos en x = 0

a) sen x b) tan x

c) 1 − cos x d ) 4x

³

+ x

⁵⁰

e) ln(1 − x) f ) e

^x

− 1

g) e

^3x²

− 1 h) ln(1 − x

³

)

i ) sen 3x

²

(17)

A

s = B + m v r = A + l u

B d

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2.4. Principio de Sustituci´ on

A la hora de aplicar equivalencias de infinit´ esimos en los l´ımites hay que tener en cuenta que la sustituci´ on no se puede hacer literalmente. Para hacerlo hay que limitarse al siguiente principio:

[P.S.] Si en una expresi´ on de un l´ımite se sustituye un factor o divisor por otro equivalente, el l´ımite de la expresi´ on no var´ıa si se sustituye

Un factor finito por su l´ımite, no nulo Un factor infinit´ esimo por otro equivalente

T´ engase presente este principio de sustituci´ on para los infinit´ esimos que est´ en multiplicando o bien dividiendo. Si la sustituci´ on se realiza cuando est´ an sumando o restando es f´ acil cometer errores.

Ejemplo 2.3. Aplicar el principio de sustituci´ on a los l´ımites:

a) l´ım

x→0

sen 2x · sen 5x b) l´ım

x→0

sen 3x sen 5x Soluci´ on:

a) l´ım

x→0

sen 2x · sen 5x = lim

x→0

(2x) · (5x) = 0 b) l´ım

x→0

sen 3x sen 5x = lim

x→0

3x 5x = 3

5

(18)

A

s = B + m v r = A + l u

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I

I Aviso Tener mucho cuidado en no sustituir un infinit´ esimo que est´ e sumando por otro equivalente, los resultados pueden ser absurdos.

Por ejemplo lim

x→0

x − sen x

x = lim

x→0

x − x

x = 0 falso

lim

x→0

tan x − sen x

x

³

= lim

x→0

x − x

x

³

= 0 falso

x→0

lim

tan x − (sen x + 2x

³

)

x

³

= lim

x→0

x − (x + 2x

³

)

x

³

= −2 falso

x→0

lim

tan x · sen x

²

x

³

= lim

x→0

x · x

²

x

³

= 1 correcto

Ejercicio 7. Aplicar equivalencias al c´ alculo de los siguientes l´ımites:

a) 3 sen 2x

4x b) 1 − cos 4x

5x

²

c) sen x · tan x 1 − cos x d ) ln x

2 − 2x e) ln(1 + x)

1 − e

^x

f ) x · sen x ln(cos x) g) ln(1 + 5 x)

1 − e

^3x

h) sen

²

x

1 − cos 2x i ) 5x sen 2x

4x

²

(19)

A

s = B + m v r = A + l u

B d

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Secci´on 3: Infinitos 19

3. Infinitos

Toda variable f (x) se llama infinitamente grande o infinita para x = a cuando tiende a ∞.

x→a

lim f (x) → ∞

Ejemplo 3.1. Las siguientes funciones son infinitos:

a) lim

x→1

1 x − 1 b) lim

x→∞

x c) lim

x→0

1 x

²

d ) lim

x→∞

3x

²

e) lim

x→π/2

tan x f ) lim

x→0⁺

ln x Ejercicio 8. Indicar si las siguientes funciones son infinitos:

a) lim

x→1

1 + x

1 − x b) lim

x→−∞

2

^x

c) lim

x→0

1 sen x d ) lim

x→+∞

2

^x

e) lim

x→+∞

e

^x

f ) lim

x→+∞

ln x 3.1. Orden de un infinito

Cuando x → ∞ las variables:

x, x

²

, x

³

, · · · , x

^m

, · · ·

son infinitos y ´ estas se toman como tipos de comparaci´ on de otros infinitos.

En la comparaci´ on caben cuatro casos:

f (x) → ∞ g(x) → ∞

(20)

A

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Si lim f (x)

g(x) = ∞ Se dice f (x) es de orden superior a g(x) Si lim f (x)

g(x) = 0 f (x) es de orden inferior a g(x) Si lim f (x)

g(x) = finito 6= 0 son del mismo orden Si lim f (x)

g(x) = no existe , no son comparables Ejemplo 3.2. Veamos el orden de algunos infinitos:

a) El polinomio 3x + 5 es un infinito de orden 1, pues

x→∞

lim 3x + 5

x = 3

b) El polinomio −x

³

+ 5x es es un infinito de orden 3, pues

x→∞

lim

−x

³

+ 5x x

³

= −1 c) El polinomio √

4x + 5 es un infinito de orden 1/2, pues

x→∞

lim

√ 4x + 5

√ x = 2

(21)

A

s = B + m v r = A + l u

B d

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d ) En general, el polinomio a

n

x

ⁿ

+ a

n−1

x

ⁿ⁻¹

+ · · · + a

0

es un infinito de orden n, pues

x→∞

lim

a

n

x

ⁿ

+ a

n−1

x

ⁿ⁻¹

+ · · · + a

0

x

ⁿ

= a

n

3.2. Los infinitos: potencial, exponencial y logar´ ıtmico Cuando x → +∞ las funciones :

x

ⁿ

(n > 0) a

^x

(a > 1), log

b

x(b > 1) son infinitos pero de distinto orden.

Cuando x → +∞, la exponencial a

^x

con (a > 1) es un infinito de orden superior a la potencial, x

ⁿ

con (n > 0), cualquiera que sea n. Lo escribiremos con la expresi´ on

a

^x

x

ⁿ

(5)

Cuando x → +∞, la potencial x

ⁿ

con (n > 0), es un infinito de orden superior al logaritmo de x , log

b

x para cualquier base (b > 1) . Lo escribimos con la expresi´ on

x

ⁿ

log

b

x (6)

(22)

A

s = B + m v r = A + l u

B d

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I

I Aviso La comparaci´ on del crecimiento potencial exponencial puede sorprender. Si construimos una tabla para las funciones 1,001

^x

con x

⁴

.

Comparaci´ on de 1,001

^x

con x

⁴

x 1,001

^x

x

⁴

1,001

^x

x

⁴

1 1.001 1 1.001

100 1,11E+00 1,00E+08 1,11E-08 5000 1,48E+02 6,25E+14 2,37E-13 30000 1,05E+13 8,10E+17 1,30E-05 47000 2,52E+20 4,87E+18 5,17E+01 100000 2,55E+43 1,00E+20 2,56E+23

vemos como 1,001

^x

llega a superar a x

⁴

, y el cociente se hace tan grande

como queramos.

(23)

A

s = B + m v r = A + l u

B d

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Ejemplo 3.3. Con la comparaci´ on de infinitos podemos hacer de forma in- mediata algunos l´ımites :

x→∞

lim e

^3x

4x

²

= +∞

+∞ = ∞ / e

^3x

x

²

x→∞

lim e

^3x

4x

²

= +∞

+∞ = ∞ / e

^3x

x

²

lim

x→∞

x

²

− 1

e

^x

= +∞

+∞ = 0 / e

^x

x

²

x→∞

lim e

^−x

x

⁸

= lim

x→∞

x

⁸

e

^x

= 0 / e

^x

x

⁸

x→∞

lim x

ln x = +∞

+∞ = +∞ / x ln x

x→∞

lim

x

¹⁵

+ 2x

⁷

2

^x

= +∞

+∞ = 0 / 2

^x

x

¹⁵

Ejercicio 9. Usar la comparaci´ on de infinitos para hallar los l´ımites:

a) lim

x→+∞

ln(1 + x

⁶

)

x

²

b) lim

x→+∞

x

⁵

e

^−x

c) lim

x→+∞

ln x

³

e

^−x

(24)

A

s = B + m v r = A + l u

B d

MaTEX

L ´ımites

JJ II J I J

^{Doc Doc}

I

Inicio del Test Cuando x → +∞, comparar el orden de los infinitos:

1. Indica el infinito de mayor orden:

(a) x

²

(b) x

³

(c) x (d) x

^2,56

2. Indica el infinito de mayor orden:

(a) x

³

(b) x(1 + 4x) (c) ln x

⁴

3. Indica el infinito de mayor orden:

(a) x

²²

(b) ln x

¹⁰⁰

(c) e

^x

4. Indica el infinito de mayor orden:

(a) 4

^x

(b) 2

^x

(c) e

^x

5. Indica el infinito de mayor orden:

(a) x

³

(b) x

^2,75

(c) x

^2,99

6. El l´ımite lim

x→+∞

x

^1,002

ln x es

(a) +∞ (b) 0 (c) 1

Final del Test Puntos:

(25)

A

s = B + m v r = A + l u

B d

MaTEX

L ´ımites

JJ II J I J

^{Doc Doc}

I

Volver Cerrar

Ejemplo 3.4. Aplicamos cuando sea necesario los anteriores resultados para el c´ alculo de los siguientes l´ımites:

x→∞

lim

ln(1 + x

⁶

)

x

²

= +∞

+∞ = 0 / x

⁶

ln(1 + x

⁶

)

x→∞

lim x

⁵

e

^−x

= +∞

0 = +∞ /

x→∞

lim e

^−x

ln x

³

= 0 · ∞ = 0 / e

^x

ln(x

³

)

x→∞

lim x

^1,002

ln x = +∞

+∞ = +∞ / x

^1,002

ln x lim

x→o⁺

x

²

ln x = 0 · (−∞) = 0 / x

²

ln x

x→∞

lim x

⁵⁴

e

^x

= +∞

+∞ = 0 / e

^x

x

⁵⁴

Test. El l´ımite lim

x→+∞

x

²⁰⁰

e

^x

es

(a) +∞ (b) 0 (c) 1

(26)

A

s = B + m v r = A + l u

B d

MaTEX

L ´ımites

JJ II J I J

^{Doc Doc}

I

Secci´on 4: C´alculo de l´ımites f (x)^g(x) 26

4. C´ alculo de l´ ımites f (x)

^g(x)

Si no hay problemas de indeterminaci´ on , el c´ alculo de dichos l´ımites se realiza por paso al l´ımite

x→a

lim f (x)

^g(x)

=

x→a

lim f (x) lim

x→a

g(x) Ejemplo 4.1.

• lim

x→+∞

2x + 1 x

x

= (2) +∞ = +∞

• lim

x→+∞

2x + 1 3x

^x

= 2 3

+∞

= 0

• lim

x→+∞

2x + 1 3x

−2x

= 2 3

−∞

= +∞

• lim

x→+∞

5x + 1 3x − 1

−x

= 5 3

−∞

= 0

• lim

x→+∞

5x + 1 8x − 1

^−x

= 5 8

−∞

= +∞

(27)

A

s = B + m v r = A + l u

B d

MaTEX

L ´ımites

JJ II J I J

^{Doc Doc}

I

Volver Cerrar

Secci´on 4: C´alculo de l´ımites f (x) 27

4.1. Casos indeterminados de l´ ımites f (x)

^g(x)

Teniendo en cuenta que toda potencia se puede escribir como una potencia de base el n´ umero e, ya que a

^b

= eb ln a, podemos escribir

f (x)

^g(x)

= eg(x) ln f (x) Y de esta forma expresar el l´ımite

x→a

lim f (x)

^g(x)

= e lim

x→a

g(x) ln f (x)

(7) De esta forma sabremos cuando tenemos casos indeterminados

Casos Indeterminados

(0)

⁰

e

^{0 ln 0}

e

^{0 (−∞)}

e

^?

Indeterminado (0)

^+∞

e

^{+∞ ln 0}

e

^{+∞ (−∞)}

e

^−∞

0 (0)

^−∞

e

^{−∞ ln 0}

e

^{−∞ (−∞)}

e

^+∞

+∞

(∞)

⁰

e

^{0 ln ∞}

e

^{0 (∞)}

e

^?

Indeterminado

(28)

A

s = B + m v r = A + l u

B d

MaTEX

L ´ımites

JJ II J I J

^{Doc Doc}

I

Ejemplo 4.2. Hallar l´ım

x→0⁺

x

^1/x

Soluci´ on:

lim

x→0⁺

x

^1/x

= 0

^+∞

de la ecuaci´ on 7

= e lim

x→0⁺

ln x

x = e−∞/0

+

= e−∞ = 0

Ejemplo 4.3. Hallar l´ım

x→0⁺

x

^{ln x}

Soluci´ on:

lim

x→0⁺

x

^{ln x}

= 0

^−∞

de la ecuaci´ on 7

= e lim

x→0⁺

ln x ln x

= e−∞(−∞) = e+∞ = +∞

Ejemplo 4.4. Hallar l´ım

x→+∞

( 1 x )

^{ln x}

Soluci´ on:

lim

x→+∞

( 1

x )

^{ln x}

= 0

^+∞

= 0

(29)

A

s = B + m v r = A + l u

B d

MaTEX

L ´ımites

JJ II J I J

^{Doc Doc}

I

Volver Cerrar

Inicio del Test Por la comparaci´ on de infinitos, determinar los l´ımites:

1. El lim

x→+∞

(x

⁴

− x

³

) es:

(a) 0 (b) +∞ (c) −∞

2. El lim

x→+∞

(x

⁴

− 5x

⁶

) es:

(a) 0 (b) +∞ (c) −∞

3. El lim

x→+∞

(e

^x

− x

³⁰

) es:

(a) 0 (b) +∞ (c) −∞

4. El lim

x→+∞

x

⁴

2

^x

es:

(a) 0 (b) +∞ (c) −∞

5. El l´ımite lim

x→0⁺

x

^0,002

ln x

⁴⁰

es

(a) +∞ (b) 0 (c) 1

Final del Test Puntos:

(30)

A

s = B + m v r = A + l u

B d

MaTEX

L ´ımites

JJ II J I J

^{Doc Doc}

I

Inicio del Test Determinar de forma directa los l´ımites:

1. El lim

x→0⁺

x · ln x es:

(a) 0 (b) −∞ (c) −∞ (d) 1

2. El lim

x→0⁺

sen 1 x es:

(a) 0 (b) ∞ (c) No existe (d) 1

3. El lim

x→0⁺

x · sen 1 x es:

(a) 1 (b) 0 (c) ∞ (d) @

4. El lim

x→∞

x · sen 1 x es:

(a) 1 (b) 0 (c) ∞ (d) @

5. El l´ımite lim

x→+∞

x

²⁰⁰

e

^x

es

(a) +∞ (b) 0 (c) 1

Final del Test

Puntos: Correctas

(31)

A

s = B + m v r = A + l u

B d

MaTEX

L ´ımites

JJ II J I J

^{Doc Doc}

I

Volver Cerrar

Ejercicio 10. Indicar si las siguientes funciones son infinitos:

a) lim

x→0

3 sen 2x

4x b) lim

x→0

1 − cos 4x 5x

²

c) lim

x→0

sen x · tan x

1 − cos x d ) lim

x→1

ln x 2 − 2x e) lim

x→0

ln(1 + x)

1 − e

^x

f ) lim

x→0

x · sen x ln cos x

Ejercicio 11. Usa infinit´ esimos equivalentes, cuando sea posible, para hallar:

a) lim

x→0

tan x

x

²

b) lim

x→0

arcsen x

²

ln(1 − x

²

) c) lim

x→0

x

sen(tan x) d ) lim

x→0

cos x x e) lim

x→0

1 − cos x

x

²

f ) lim

x→0

sen x tan x x sen x

Ejercicio 12. Usa infinit´ esimos equivalentes, cuando sea posible, para hallar:

a) lim

x→+∞

x

^3/2

sen 1

x b) lim

x→1

(x − 1) sen(x − 1) 1 − cos(x − 1) c) lim

x→+∞

x · sen(x

²

+ x)

3x · sen x d ) lim

x→0

x

²

sen

²

3x

x sen

³

2x

(32)

A

s = B + m v r = A + l u

B d

MaTEX

L ´ımites

JJ II J I J

^{Doc Doc}

I

Ejercicio 13. Usa el orden de infinitos, cuando sea posible, para hallar:

a) lim

x→+∞

x

²

+ 2

^x

b) lim

x→−∞

x

²

+ 2

^x

c) lim

x→+∞

4

^x

− 2

^x

d ) lim

x→−∞

4

^x

− 2

^x

e) lim

x→+∞

ln x

⁵

− x

²

f ) lim

x→+∞

e

^x

− ln x

Ejercicio 14. Resolver por la t´ ecnica del n´ umero e cuando sea necesario:

a) lim

x→+∞

(1 + 1

x )

^x

b) lim

x→+∞

( 1 + 2x 2x )

^x

c) lim

x→+∞

( 1 + 2x

x )

^x

d ) lim

x→+∞

( 1 + 2x 5x )

^x

e) lim

x→+∞

( 1 + x

2 + x )

^5x

f ) lim

x→+∞

( 1 − x 2 − x )

^x

Ejercicio 15. Hallar:

a) lim

x→+∞

3x + 2 3x − 1

^x

b) lim

x→0⁺

(x)

^{sen x}

Ejercicio 16. Hallar lim

x→0⁺

(cos x)

^1/x

Ejercicio 17. Hallar lim

x→0⁺

1 x

^{tg x}

(33)

A

s = B + m v r = A + l u

B d

MaTEX

L ´ımites

JJ II J I J

^{Doc Doc}

I

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Secci´on 5: Regla de L’H¨opital 33

5. Regla de L’H¨ opital

En este apartado se explica un m´ etodo para el c´ alculo de l´ımites con ayuda de la derivada. Por ello es conveniente que lo realices cuando hayas estudiado el cap´ıtulo de derivadas

Teorema 5.1. (Regla de L’H¨ opital)

Sean f (x) y g(x) dos funciones derivables en el intervalo (a, b) y tal que g

⁰

(x) no se anula en (a, b).

Si lim

x→c

f (x) = 0 y lim

x→c

g(x) = 0 y ∃ lim

x→c

f

⁰

(x) g

⁰

(x) = L



 

 

 

 

=⇒ ∃ lim

x→c

f (x) g(x) = L

Si no existe lim

x→c

f

⁰

(x)

g

⁰

(x) no podemos afirmar nada sobre lim

x→c

f (x)

g(x)

(34)

A

s = B + m v r = A + l u

B d

MaTEX

L ´ımites

JJ II J I J

^{Doc Doc}

I

Ejemplo 5.1. Hallar lim

x→0

3 sen 2x

4x con la regla de L’H¨ opital Soluci´ on: Como

x→0

lim

3 sen 2x 4x = 0

0

(L⁰H)

= lim

x→0

6 cos 2x

4 = 6

4 Ejemplo 5.2. Hallar lim

x→0

1 − cos 2x

x

²

con la regla de L’H¨ opital Soluci´ on: Como

lim

x→0

1 − cos 2x x

²

= 0

0

(L⁰H)

= lim

x→0

2 sen 2x 2x = 0

0

(L⁰H)

= lim

x→0

4 cos 2x

2 = 2

Ejemplo 5.3. Hallar lim

x→0

x

x + sen x con la regla de L’H¨ opital Soluci´ on: Como

x→0

lim x

x + sen x = 0 0

(L⁰H)

= lim

x→0

1 1 + cos x = 1 2

(35)

A

s = B + m v r = A + l u

B d

MaTEX

L ´ımites

JJ II J I J

^{Doc Doc}

I

Volver Cerrar

• Caso ∞

∞ Cuando lim

x→a

f (x) = ∞ y lim

x→a

g(x) = ∞, en los l´ımites de la forma:

l´ım

x→a

f (x) g(x) = ∞

∞ tambi´ en podemos aplicar la regla de L’H¨ opital.

Ejemplo 5.4. Hallar lim

x→+∞

x

³

e

^x

con la regla de L’H¨ opital Soluci´ on: Como

x→+∞

lim x

³

e

^x

= ∞

∞

(L⁰H)

= lim

x→∞

3x

²

e

^x

= ∞

∞

(L⁰H)

= lim

x→+∞

6x e

^x

= ∞

∞

(L⁰H)

= lim

x→+∞

6 e

^x

= 6

∞ = 0

(36)

A

s = B + m v r = A + l u

B d

MaTEX

L ´ımites

JJ II J I J

^{Doc Doc}

I

• Caso 0 · ∞ Si lim

x→a

f (x) = 0 y lim

x→a

g(x) = ∞, podemos aplicar la regla de L’H¨ opital, pasando a uno de los casos anteriores, dividiendo por el inverso de uno de los factores de la siguiente forma

x→a

lim f (x)g(x) = 0 · ∞ = lim

x→a

f (x) 1 g(x)

= 0 0

Ejemplo 5.5. Hallar lim

x→+0

x

²

· ln x con la regla de L’H¨ opital Soluci´ on: Como

lim

x→+0

x

²

· ln x = 0 · ∞

= lim

x→+0

ln x x

⁻²

= ∞

∞

(L⁰H)

= lim

x→+0

1/x

−2x

⁻³

= lim

x→+0

− 1 2 x

²

= 0

(37)

A

s = B + m v r = A + l u

B d

MaTEX

L ´ımites

JJ II J I J

^{Doc Doc}

I

Volver Cerrar

• Caso ∞ − ∞ Si lim

x→a

f (x) = ∞ y lim

x→a

g(x) = ∞, podemos aplicar la regla de L’H¨ opital, pasando a uno de los casos anteriores de la siguiente forma

x→a

lim f (x) − g(x) = ∞ − ∞ = lim

x→a

1 g(x) − 1

f (x) 1 f (x)g(x)

= 0 0

Ejemplo 5.6. Hallar lim

x→0⁺

1 x − 1

sen x con la regla de L’H¨ opital Soluci´ on: Como

lim

x→0⁺

1 x − 1

sen x = ∞ − ∞

= lim

x→0⁺

sen x − x x · sen x = 0

0

(L⁰H)

= lim

x→0⁺

cos x − 1 sen x + x cos x = 0

0

(L⁰H)

= lim

x→0⁺

− sen x

2 cos x − x sen x = 0

(38)

A

s = B + m v r = A + l u

B d

MaTEX

L ´ımites

JJ II J I J

^{Doc Doc}

I

Ejemplo 5.7. Hallar lim

x→0

1 x − 1

ln(1 + x) con la regla de L’H¨ opital Soluci´ on: Como

x→0

lim 1

x − 1

ln(1 + x) = ∞ − ∞

= lim

x→0

ln(1 + x) − x x · ln(1 + x) = 0

0

(L⁰H)

= lim

x→0 1 1+x

− 1 ln(1 + x) +

_1+x^x

= lim

x→0

−x

(1 + x) · ln(1 + x) + x = 0 0

(L⁰H)

= lim

x→0

−1

ln(1 + x) + 1 + 1 = − 1 2

Ejercicio 18.

a) lim

x→1

x

²

− 1

x − 1 b) lim

x→0

(x − 1)

²

1 − cos x

(39)

A

s = B + m v r = A + l u

B d

MaTEX

L ´ımites

JJ II J I J

^{Doc Doc}

I

Volver Cerrar

Ejercicio 19. Hallar los siguientes l´ımites con la regla de L’H¨ opital.

(a) lim

x→0

sen x

5 x . (b) lim

x→1

1 − cos(x − 1) (ln x)

²

(c) lim

x→0

ln(1 + x) − sen x

x sen x (d) lim

x→0

1 + sen x − e

^x

(arctan x)

²

(e) lim

x→0

1 tan x − 1

x (f) lim

x→0

x − sen x tan x − sen x (g) lim

x→0

e

^x

− x − 1

x

²

(h) lim

x→0

x

²

sen

_x¹

sen x (i) lim

x→∞

cos 1

x

^x

(j) lim

x→0

(cos 2x)

¹^x

(40)

A

s = B + m v r = A + l u

B d

MaTEX

L ´ımites

JJ II J I J

^{Doc Doc}

I

Soluciones a los Ejercicios 40

Soluciones a los Ejercicios

Prueba del Teorema 2.1. Cuando x → 0, x y sen x son equivalentes.

Obs´ ervese la figura de radio 1

0 x

C B

A

T _{CB < d} _{AB < AT}

sen x < x < tan x Dividiendo por sen x

1 < x

sen x < 1 cos x

x→0

lim 1 ≤ lim

x→0

x

sen x ≤ lim

x→0

1 cosx =⇒ lim

x→0

x sen x = 1 Por otra parte,

lim

x→0

tan x x = lim

x→0

sen x x

1 cos x = lim

x→0

sen x x lim

x→0

1 cos x = 1

J

(41)

A

s = B + m v r = A + l u

B d

MaTEX

L ´ımites

JJ II J I J

^{Doc Doc}

I

Volver Cerrar

Ejercicio 1. Los infinit´ esimos equivalentes en x = 0 son:

a) sen x

³

∼ x

³

b) tan(x + x

²

) ∼ x c) sen 17 x

³

∼ 17 x

³

Ejercicio 1

(42)

A

s = B + m v r = A + l u

B d

MaTEX

L ´ımites

JJ II J I J

^{Doc Doc}

I

Soluciones a los Teoremas 42

Prueba del Teorema 2.2. Equivalencia de 1

2 x

²

∼ 1 − cos x lim

x→0

1 − cos x

1

2

x

²

= lim

x→0

(1 − cos x)(1 + cos x)

1

2

x

²

(1 + cos x) =

= lim

x→0

(1 − cos

²

x)

1

2

x

²

(1 + cos x) = lim

x→0

sen

²

x

1

2

x

²

(1 + cos x) =

= lim

x→0

sen

²

x x

²

× lim

x→0

2 1 + cos x =

= lim

x→0

sen x x

²

| {z }

1

× lim

x→0

2 1 + cos x

| {z }

1

= 1

J

(43)

A

s = B + m v r = A + l u

B d

MaTEX

L ´ımites

JJ II J I J

^{Doc Doc}

I

Volver Cerrar

Ejercicio 2. Los infinit´ esimos equivalentes en x = 0 son:

a) 1 − cos x

²

∼ 1 2 x

⁴

b) 1 − cos 3 x ∼ 1

2 9 x

²

c) 1 − cos x

2 ∼ 1 8 x

²

d ) 1 − cos √

x

³

∼ 1 2 x

³

e) 1 − cos 3 x

⁷

∼ 9

2 x

¹⁴

f ) 1 − cos(sen x) ∼ 1

2 x

²

Ejercicio 2

(44)

A

s = B + m v r = A + l u

B d

MaTEX

L ´ımites

JJ II J I J

^{Doc Doc}

I

Prueba del Teorema 2.3. Equivalencia de ln(1 + x) ∼ x

x→0

lim

ln(1 + x)

x = lim

x→0

1 x ln(1 + x) = lim

x→0

ln(1 + x)

¹^x

=

= ln lim

x→0

(1 + 1

1 x

)

¹^x

= ln e = 1

J

(45)

A

s = B + m v r = A + l u

B d

MaTEX

L ´ımites

JJ II J I J

^{Doc Doc}

I

Volver Cerrar

Ejercicio 3. Los infinit´ esimos equivalentes en x = 0 son:

a) ln(1 +

√ x

³

) ∼

√ x

³

b) ln(1 + 3x

⁷

) ∼ 3x

⁷

c) ln(1 + sen x) ∼ sen x ∼ x d ) ln(3x) ∼ −3 x

e) ln(1 + x 3 ) ∼ x

3 f ) ln(1 + 2 tan x) ∼ 2 tan x ∼ 2x

Ejercicio 3

(46)

A

s = B + m v r = A + l u

B d

MaTEX

L ´ımites

JJ II J I J

^{Doc Doc}

I

Prueba del Teorema 2.4. Equivalencia de e

^x

− 1 ∼ x Como

ln(1 + x) ∼ x =⇒ e

^ln(1+x)

∼ e

^x

=⇒

=⇒ 1 + x ∼ e

^x

=⇒ e

^x

− 1 ∼ x =⇒

lim

x→0

e

^x

− 1

x = 1

J

(47)

A

s = B + m v r = A + l u

B d

MaTEX

L ´ımites

JJ II J I J

^{Doc Doc}

I

Volver Cerrar

Ejercicio 4. Los infinit´ esimos equivalentes en x = 0 son:

a) e

^2x³

− 1 ∼ 2x

³

b) e

^{sen x}

− 1 ∼ x c) e

^{tan x}²

− 1 ∼ x

²

Ejercicio 4

(48)

A

s = B + m v r = A + l u

B d

MaTEX

L ´ımites

JJ II J I J

^{Doc Doc}

I

Ejercicio 5. Escribir el infinit´ esimo equivalente en x = 0 a:

(sen 5x)

x=0

∼ 5x [tan(1 − x)]

_x=1

∼ 1 − x

1 − cos x

²

x=0

∼ 1 2 x

⁴

[arcsin 3x]

_x=0

∼ 3x

[ln x]

_x=1

∼ x − 1 [arctan sen x]

_x=0

∼ x

[e

^{sen x}

− 1]

_x=0

∼ x

[ln(cos x)]

_x=0

∼ cos x − 1 ∼ − 1 2 x

²

sen 3 √ x

x=0

∼ 3 √ x

Ejercicio 5

(49)

A

s = B + m v r = A + l u

B d

MaTEX

L ´ımites

JJ II J I J

^{Doc Doc}

I

Volver Cerrar

Ejercicio 6. Escribir el infinit´ esimo equivalente en x = 0 a:

Infinit´ esimo de orden

sen x ∼ x 1

tan x ∼ x 1

1 − cos x ∼ 1

2 x

²

2 4x

³

+ x

⁵⁰

∼ 4x

³

3 ln(1 − x) ∼ −x 1

e

^x

− 1 ∼ x 1

e

^3x²

− 1 ∼ 3x

²

2 ln(1 − x

³

) ∼ −x

³

3 sen 3x

²

∼ 3x

²

2 Ejercicio 6

(50)

A

s = B + m v r = A + l u

B d

MaTEX

L ´ımites

JJ II J I J

^{Doc Doc}

I

Ejercicio 7. Aplicar equivalencias al c´ alculo de los siguientes l´ımites:

a) lim

x→0

3 sen 2x 4x = 0

0 = lim

x→0

3 · 2x 4x = 3

2 b) lim

x→0

1 − cos 4x 5x

²

= 0

0 = lim

x→0 1 2

(4x)

²

5x

²

= 8 5 c) lim

x→0

sen x · tan x 1 − cos x = 0

0 = lim

x→0

x · x

1 2

x

²

= 2 d ) lim

x→1

ln x 2 − 2x = 0

0 = lim

x→1

x − 1 2 − 2x = − 1

2 e) lim

x→0

ln(1 + x) 1 − e

^x

= 0

0 = lim

x→0

x

−x = −1 f ) lim

x→0

x · sen x ln(cos x) = 0

0 = lim

x→0

x · x

cos x − 1 = lim

x→0

x

²

−

¹₂

x

²

= −2 g) lim

x→0

ln(1 + 5 x) 1 − e

^3x

= 0

0 = lim

x→0

5x

−3x = − 5 3 h) lim

x→0

sen

²

x 1 − cos 2x = 0

0 = lim

x→0

x

²

2x

²

= 1

2 i ) lim

x→0

5x sen 2x 4x

²

= 0

0 = lim

x→0

10 x

²

4x

²

= 5

2 Ejercicio 7

(51)

A

s = B + m v r = A + l u

B d

MaTEX

L ´ımites

JJ II J I J

^{Doc Doc}

I

Volver Cerrar

Ejercicio 8.

a)

x→1

lim 1 + x 1 − x = ∞ b)

lim

x→−∞

2

^x

= 0 c)

lim

x→0

1 sen x = ∞ d )

x→+∞1

lim 2

^x

= +∞

e)

x→∞

lim e

^x

= +∞

f )

x→∞

lim ln x = +∞

Ejercicio 8

(52)

A

s = B + m v r = A + l u

B d

MaTEX

L ´ımites

JJ II J I J

^{Doc Doc}

I

Ejercicio 9.

a)

x→+∞

lim

ln(1 + x

⁶

)

x

²

= ∞

∞ = 0 b)

x→+∞

lim x

⁵

e

^x

= +∞

+∞ = 0 c)

x→+∞

lim ln x

³⁰

2

^−x

= ∞ · 0 = lim

x→+∞

x

³⁰

2

^x