Capítulo 3 Números Aleatorios

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Profesor : Héctor Allende O.

Capítulo 3 Números Aleatorios

• Elemento Central en la Simulación digital.

• Definición formal controvertida.

• Elemento esencial en muchas áreas del conocimiento Ingeniería, Economía, Física, Estadística, Maquinás de aprendizaje etc.

• Definición intuitiva: Una sucesión de números aleatorios puros, se caracteriza por que no existe ninguna regla o plan que nos permita conocer sus valores.

• Los números aleatorios obtenidos a través de algoritmos recursivos se llaman pseudo-aleatorios.

Números Aleatorios

Disponer de un buen generador de números aleatorios es clave en:

Computación Aleatorizada Computación Evolutiva Machine learning Algoritmos Aleatorizados Verificación de Algoritmos Validación de Algoritmos Criptografía

etc.

Números Aleatorios

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• La gran disponibilidad de generadores de números aleatorios en muchos entornos y compiladores puede llevarnos a pensar que para un usuario de la simulación no sería necesario estudiar estas cuestiones.

• Una lección del pasado reciente nos obliga a sacar lecciones y actuar con mucho cuidado con dichos generadores (RANDU - IBM).

• El Uso progresivo de modelos de simulación cada vez más detallados exige una mayor calidad de los generadores de números aleatorios.

Números Aleatorios ^% ^!

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Algunas ideas o propiedades de los generadores I. Lagarias (1993) publicó un trabajo titulado “Pseudo Random Numbers” en Statistical Science. Donde estudia algunas propiedades tales como:

Expansividad : Una aplicación es expansiva si

La idea es escoger “d” como una aplicación expansiva de manera que la inestabilidad computacional proporcione aleatoriedad.

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Números Aleatorios

No Linealidad: La composición de aplicaciones no lineales puede conducir a comportamientos crecientemente no lineales Ej: d(x) = x²; d⁽ⁿ⁾(x) = x²ⁿ Complejidad Computacional: La aleatoriedad de Kolmogorov, también denominada incomprensibilidad computacional. Consiste en constatar si la aleatoriedad de una sucesión de números es incomprensible o Impredecibilidad

Números Aleatorios

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• DEF 1: Kolmogorov (1987) [Complejidad Algorítmica]

Una sucesión de números es aleatoria sino puede producirse eficientemente de una manera más corta que la propia serie.

• DEF 2: L’Ecuyer (1990) [Impredicibilidad] Una sucesión de números es aleatoria si nadie que utilice recursos computacionales razonables puede distinguir entre la serie y una sucesión de números verdaderamente aleatoria de una forma mejor que tirando una moneda legal para decidir cuál es cuál.

Obs: Esta definición conduce a los denominados generadores PT-perfectos usados en Criptografía.

Números Aleatorios

DEF 3: Un Número aleatorio es una realización de una variable aleatoria que tiene asociada una ley de probabilidades F, en un espacio o modelo de Probabilidades Ω ℜ .

Obs: Una particular Ley de Probabilidad base para la generación de números pseudo-aleatorios es:

u₁, u₂,..., u_n: es la uniforme (0 ; 1) u_i~ U(0,1).

DEF 4: Una sucesión de números aleatorios {u₁, u₂,..., u_n} es una sucesión de números U(0;1), si tiene las mismas propiedades estadísticas relevantes que dicha sucesión de números aleatorios.

Números Aleatorios

• DEF 5: Una sucesión de números aleatorios {u_i} es aleatorio si h-úplas de números sucesivos no superpuestos se distribuyen aproximadamente.

como una [0,1]^h, con h=1,2,..,n, para n suficientemente grande.

• Obs: h=2 tenemos (ui,ui+1) , i=1,2,..n , se distribuye como una ley uniforme en [0,1]^2.

• Existe una gran de métodos para generar {u_i} ≈U(0,1) : -Uniformente distribuidas

- Independientes - E[U]= ½ ; V[U]= 1/12 - Período largo

Números Aleatorios

A las propiedades estadísticas anteriores se deben agregar otras relativas a la eficiencia computacional:

• Velocidad de respuesta

• Consumo de memoria

• Portabilidad

• Parsimonia

• Reproducibilidad

• Mutabilidad

• Período

Números Aleatorios

Métodos de Generación de Números Aleatorios 1.- Método de los cuadrados medios

2.- Métodos Congruenciales 3.- Método de registros desfasados

[Semilla - Algoritmo - Validación]

P₁: Obtener semilla (valores iniciales) P2: Aplicación de Algoritmos recursivos P₃: Validación del conjunto de datos

generados (Test de Aleatoriedad)

Números Aleatorios

Consiste en que cada número de una sucesión es producido tomando los dígitos medios de un número obtenido mediante la elevación al cuadrado.

P₁: Obtener semilla (valores iniciales 445) P2: Aplicación de Algoritmos recursivos (elevar

al cuadrado)

P₃: Validación del conjunto de datos generados

Métodos de los cuadrados Medios

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Ejemplo: Consideremos la semilla 445

X X² N°Aleatorio

445 1| 9802 | 5 0,9802

9802 96| 0792 | 04 0,0792

792 6 | 2726 | 4 0,2726

2726 ... ...

Métodos de los Cuadrados Medios

)_n+1= (a )_n+ b) mod m ;

Los parámetros del algoritmo se llaman - a multiplicador

- b sesgo - m módulo

-)_o semilla (valor inicial)

=

Generadores Congruenciales

Obs: 1.- Cuando b=0 el generador se denomina Generador congruencial multiplicativo.

2.- Cuando b≠0 el generador se denomina Generador congruencial mixto.

3.- A pesar de la simplicidad una adecuada elección de los parámetros de “a, b y m”, permite obtener de manera eficiente una larga e impredecible sucesión de números como para considerarse “aleatoria”.

Parámetros

a b m xo

6 0 13 1

7 0 13 10

5 0 13 5

7 0 11 5

6 0 11 3

Caso Salidas

1 6 10 8 9 2 12 7 3 5 4 11 1 6 10

2 5 9 11 12 6 3 8 4 2 1 7 10 5 9

3 12 8 1 5 12 8 1 5 12 8 1 5 12 8

4 2 3 10 4 6 9 8 1 7 5 2 3 10 4

5 7 9 10 5 8 4 2 1 6 3 7 9 10 4

5 Caso

1 2 3 4

Algunas observaciones de las salidas de los generadores congruenciales:

i) Un generador congruencial tiene ciclos

iI) La longitud del ciclo depende de la selección de los parámetros (ver caso 1) y 3) )

iii) Dentro de selecciones de parámetros que conducen a la misma longitud, algunas salidas parecen más aleatorias que otras.

iv) La representación de pares ()_i, )_i+1) sugiere que estos se disponen en un número finito de hiperplanos.

Los resultados teóricos que veremos a continuación facilitan la elección de los parámetros de “a y b” su demostración puede verse en el texto clásico D. Knuth (1981):

“The Art of Computer Programming”.

Ed. A. Wesley Vol N°2

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Proposición 2.1

Un generador congruencial tiene su período máximo si y sólo si:

i) m.c.d (b, m) = 1 (primos relativos)

ii) a = 1 mod p ; para cada factor primo p de m.

iii) a = 1 mod 4 ; si 4 divide a m.

Puesto que b esta asociado en la práctica con el efecto de traslación, inicialmente asumiremos ( b=0), es decir partiremos estudiando los generador congruencial multiplicativos.

Dem: Donald Knuth Vol 2 (1981)

Obs: 1) Lo anterior sugiere elegir “m” lo más grande posible, para asegurarnos un período largo

(posibles elecciones de m son; m=2³¹-1, m=2¹⁶+1) 2) Sea p el período de la secuencia de números

aleatorios, si p=m el generador se llama de período completo.

3) Si m es un número primo entonces el máximo período se obtiene ssi a =1

Proposición 2.2 Sea un generador multiplicativo (b=0) [Xn+1= a Xnmod m] tiene período p=(m-1), sólo si “p” es primo. El periodo divide a (m-1) y es (m-1) si y sólo si “a”

es una raíz primitiva de m-1, es decir a^(m-1)/p≠1 mod m, para todos los factores primos p de (m-1).

Proposición 2.3

Si a es un raíz primitiva de m, a^kmod m, lo es siempre que k y m-1 sean primos relativos.

Equivalentemente

Si a es una raíz primitiva de m, a^kmod m lo es siempre que ; mcd(k,m-1)=1

Dem: B. Ripley (1987) “Stochastic Simulation”Ed. John Wiley. pp 47

Obs: 1) En general los generadores congruenciales son de la forma

)_n+1= g ()n, )n-1,.... ,)n-k,...) mod m g (x) = a _n

g (x) = a n + b g (x) = a n2+ b n+ c

Usando g (x) = (a₁ _n-1+ a₂ _n-2+ ... + a_r _n-r), se obtiene un generador de Fibonacci retardado. La teoría de estos generadores se puede ver en Marsaglia (1985)]

2) Una buena elección de “m”, permite obtener un generador eficiente (ciclo máximo). Pero aún se debe estudiar con más detalle la elección de a y b, pues se tienen muchos grados de libertad.

3) Un buen generador congruencial debe ser:

i) De máximo período

ii) Su salida debe parecer aleatoria

iii) Poder implementar de forma eficiente en aritmética de 32 bits.

Un algoritmo de muy fácil implementación del tipo congruencial es m = 2³¹-1

a = 7⁵(raíz primitiva de m) X_n= 7⁵X_n-1mod (2³¹-1) u_n=

Dicho generador se encuentra en las bibliotecas IMSL y NAG

−

(7)

La rutina RANDU, que IBM proporcionaba para sus equipos consideraba un modelo congruencial multiplicativo con m = 2³¹; a = 65539 ; b = 0

X_n= 65539 X_n-1mod (2³¹) u_n=

¡ Este generador proporciona tripletas consecutivas de números que caen en 15 planos ! Lo que sugiere cierta previsiblidad en su salida (Mal Generador)

Barsaglia (1968) demostró que sucesiones consecutivas no superpuestas de n números aleatorios obtenidos de generadores multiplicativos caen en, a lo sumo [n! m] ^1/n hiperplanos paralelos.

Algunas cotas de casos representativos n=3 n=5 n=7 n=9 n=10

m = 2¹⁶ 73 23 16 14 13

m = 2³² 2953 220 80 48 41

Es decir, en un computador con palabras de 32 bits, menos de 41 hiperplanos contendrán las 10-úplas

En teoría puede conseguirse que un buen generador con m = 2³²produzca 357.913.941 puntos independientes en un cubo de dimensión 3, siendo el mínimo número de hiperplanos que contiene estos puntos 10⁸, en contraste con los 2953.

Para la famosa rutina RANDU de IBM, X_n= 65539 X_nmod (2³¹)

las tripletas consecutivas de números caen en 15 planos.

Se basa en Generadores lineales recursivos múltiples

El estudio de este generador se asocia al Polinomio característico.

sobre un álgebra finita Fm, con m elementos. [Niederreiter 1992]

=

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#

−

= ⁻ ***

"

#

Generadores de Registros Desfasados

[Niederreiter 1992]

Cuando el polinomio es primitivo el período es (m^k-1).

Debido a la complejidad del análisis para m grande, habitualmente se elige un m pequeño, generalmente 2 obteniendo generadores de bits de la forma

donde ak= 1 ^ ai∈{0, 1}

!

= +

= −

La adición módulo 2 es equivalente al XOR (ó exclusivo) 0 XOR 0 = 0 0 XOR 1 = 1

1 XOR 1 = 0 1 XOR 0 = 1

Esto nos permite implementar registros de desplazamiento Un generador propuesto Tausworthe (1985)

(

⁺

)

⁼ _≠⁼ ^<

=

−

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(8)

En este caso los primeros q bits deben ser especificados, esto es análogo a la semilla de los generadores congruenciales.

Este tipo de generador depende del largo de la palabra Ejemplo: h = 3 ; q = 5 ; b₁= b₂= b₃= b₄= b₅= 1

b6 = (b3+ b1) mod 2 = 2 mod 2 = 0 b7 = (b4+ b2) mod 2 = 2 mod 2 = 0 b₈= (b₅+ b₃) mod 2 = 2 mod 2 = 0 b₉ = (b₆+ b₄) mod 2 = 1 mod 2 = 1 b10= (b7+ b5) mod 2 = 1 mod 2 = 1……

b42= (b39+ b37) mod 2 = 2 mod 2 = 0

Transformar la sucesión {b_i} en un número aleatorio (0,1) Consideremos {bi}

b₁ b₂ b₃b₄ b₅ b₆b₇ b₈ b₉b₁₀ b₁₁ b₁₂ 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1

... b41 b42

... 1 0

=

Conversión del Generador Binario

Consideremos = 4

y₁= b₁2³+ b₂2²+ b₃2¹+ b₄2⁰= 8 + 4 + 2 + 1 = 15 u₁=

y2= b52³+ b62²+ b72¹+ b82⁰= 8 + 0 + 0 + 0 = 8 u₂=

y3= b92³+ b102²+ b112¹+ b122⁰= 8 + 4 + 0 + 1 = 13 u₃= .... y así sucesivamente

=

{ }

₌

=

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Conversión del Generador Binario

Dada la estructura reticular de los generadores lineales, algunos autores sugirieron utilizar generadores no lineales. (Ver Niederreiter (1992))

• Usar un generador con función de transición lineal, produciendo una transformación no lineal del estado en su salida.

•Usar un generador con función de transición no lineal.

Generadores no Lineales

Una forma de incrementar el periodo e intentar evitar regularidades que muestren los generadores lineales es combinar (mezclar) diferentes generadores para obtener generadores híbridos de mejor calidad que los generadores originales.

Muchas de las combinaciones propuestas son heurísticas y algunas con resultados bastantes pobres.

Por ejemplo sean e dos sucesiones aleatorias, una sucesión combinada sería :

-_i= )_i ._i

donde “ ” es alguna operación binaria

Combinación de Generadores

∇

{ } { }

• Generadores Paralelos de números aleatorios.

• Sincronización; reproductibilidad; gasto transición ]

•Generadores de Fibonacci retardados

•[ Sincronización; reproductibilidad; gasto transición ]

•Generadores Comerciales:

IMSL Generador congruencial multiplicativo m = 2³¹- 1 a = 16807; 397204094; 950706376

http://www.stat.cmu.edu/

Otros Generadores

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Finalmente la fase de validación se basa en ciertas propiedades estadísticas que deben cumplirse a la salida de los generadores de n°aleatorios .

Los Test empíricos que veremos a continuación son genéricos y pueden usarse en la evaluación de generadores de n° aleatorios, en generadores de variables aleatorias y en la modelación de entradas de modelos de simulación.

La mayoría de los Test se encuentran disponibles en paquetes estadísticos comerciales. SAS, Statistica, etc.

Validación de Generadores Congruenciales

1) Test

Este es un test de Bondad de Ajuste. Es poco potente, por lo que permite justificar el rechazo de una hipótesis, pero proporciona escaso apoyo en la aceptación.

Dada una muestra )₁, )₂, ..., )_nde una F_x(/) desconocida. Se desea contrastar.

Ho: Fx(/) = Fo(/) v/s H1: Fx(/) ≠Fo(/)

χ

Validación de N^osAleatorios

Efectuando una partición del soporte de X en k subconjuntos 0₁, 0₂, ..., 0_k:

f_i: frecuencia absoluta del subconjunto i-ésimo (0_i) ei: número de observaciones esperadas en 0ibajo Ho

≠φ

∧

=

( )

"

#−

=

= − χ

χ _asint~

Obs: 1) Este Test considera aleatoridad de Fo= U(0,1) 2) Este Test también permite contrastar la uniformidad

S-dimensional de )₁= (u1, u2, ..., us);

)₂= (u_s+1, u_s+2, ..., u_2s);

...

)_n= (u(n-1)s+1, ..., uns)

en Fo= [0,1]^s [Distribución uniforme en el hipercubo]

2) Test de Kolmogorov - Smirnov (Test K-S)

Sea F_ouna función de distribución continua y sea F_nla función de distribución empírica de la muestra.

Bajo Ho: Fx(x) = Fo(x) se espera que Fnse aproxime a Fo

Dn= Sup | Fn(x) - Fo(x) |

La distribución exacta de Dnestá tabulada para valores n ≤40 y distintos niveles de significación α.

Para muestras grandes se utiliza la distribución asintótica de D_ndada por

x ∈R

∞

→

∞

=

−

− −

−

=

≤ " # " # "

#

Obs: En el caso particular de aleatoridad se considera X₍₁₎< X₍₂₎< .... < X_(n)

estadísticos de orden F_o(X_(i)) = X_(i)^ F_n(X_(i)) = /

D_n=

!1/

≤

− −

− ,

!1/ _#_" _#_"

Test de Kolmogorov - Smirnov

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3) Test de Rachas

Dada la sucesión de “n” observaciones construimos la sucesión de símbolos binarios definida por

Definimos racha creciente (decreciente) de longitud “L” a un grupo seguido de “L” números 1(+) ó números 0(-).

Contando el número de rachas. Bajo aleatoridad de la muestra se espera que su distribución asintótica sea normal:

>

<

+ +

−

− ,

2

0.43 0.28 0.33 0.27 0.12 0.31 0.42 0.01 0.32 0.45 0.98 0.79 0.99 0.55 0.67 0.74 0.16 0.20 0.12 0.58

- + - - + + - + + + - + - + + - + - +

L=14 E[L]= 13, V[L]=3.23 Z = (14 -13) / *

Z = 0.55 comparado con el valor crítico N ( 13 ;3.23) El supuesto de independencia no puede ser rechazado

Test de Rachas por encima y debajo de la mediana.

Se cuentan el número de observaciones que se sitúan a un mismo lado de la mediana. La distribución asintótica del número de rachas bajo aleatoridad es normal:

2

+ ,

Test de Rachas

4) Test Serial

Este Test se usa para contrastar el grado de aleatoriedad entre números aleatorios sucesivos de una secuencia.

[Extensión del test Chi-Cuadrado]

Sea

)₁= (u1, ..., uk) )2= (uk+1, ..., u2k) ... )n= (u(n-1)k+1,..., unk) Consideremos la n (k-úplas). Se desea contrastar que X₁, )₂, ..., )nson v.a.i.i.d. uniformemente distribuidas en el hipercubo k-dimensional unitario.

Test Serial

Dividiendo el hipercubo ³en hipercubos elementales de volumen 4³y sea Vj1, j2, ..., jk el número de k-úplas que caen dentro del elemento

usando la estadística

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%

%***%

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−

χ

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%***%

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−

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Test Serial

Caso Especial (3=2)

)₁= (u1, u2) )2= (u3, u4) ... )n/2= (u(n-1), un)

Particularmente el eje )e .en r subintervalos de igual longitud, generando r²-cubos del mismo tamaño. El número de pares esperado por cubo es

Test Serial

(11)

Entonces la estadística

χ

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" 5

# ₌ ₌ − ⁻

=

Sea nij: el número de pares en el cuadrado (i, j) i = 1,r j =1,r

Test Serial ^'( ⁾ ^$

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0 9FG)

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*+,4/0* *+34-2. *+/32-- *+0.42. *+00/,- *+-,31,

*+2.131 *+*-2.1 *+3,2., *+4*0/, *+-13,/ *+-1102

*+/--.1 *+4-2/, *+*12/0 *+/-.,. *+10-/0 *+23,/-

*+*2004 *+4*.34 *+02,43 *+43/0. *+0/012 *+,2-24

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2 E

0

Otros Test son:

• Test de Permutaciones

• Test de Poker

• Test de Dependencia

• Test de longitud de rachas

• etc.

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