Sigma-´ algebra generada por una colecci´ on de conjuntos

(1)

Medidas y funciones medibles

Problemas para examen

Estos problemas est´an redactados por Egor Maximenko, con ayuda de Breitner Arley Ocampo G´omez. En estos problemas entendemos el s´ımbolo ⊂ como ⊆.

Sigma-´ algebras

1. Sea X un conjunto y sea F ⊂ 2^X. ¿Cu´ando se dice que F es una σ-´algebra sobre X?

Recuerde la definici´on.

2. Propiedades elementales de σ-álgebras. Demuestre que una σ-álgebra es cerrada bajo las intersecciones numerables, bajo las uniones finitas, bajo las intersecciones finitas y bajo la operación de la diferencia de los conjuntos.

3. Propiedades de conjuntos finitos o numerables (repaso). Recuerde c´omo se demuestran las siguientes proposiciones:

Sea (A_k)_k∈N una sucesión de conjuntos a lo más numerables. Entonces la unión S

k∈NA_k tambi´en es un conjunto a lo m´as numerable.

Sea B un conjunto a lo más numerable y sea C ⊂ B. Entonces que C también es a lo más numerable.

4. Subconjuntos finitos o numerables de un conjunto no numerable y sus com- plementos. Sea X un conjunto no numerable. Denotemos porN al conjunto de los A ⊂ X tales que A es finito o numerable. Pongamos

F := {A ⊂ X : A ∈ N ∨ X \ A ∈ N}.

Demuestre que F es una σ-´algebra.

5. Sigma-´algebra restringida. Sean X un conjunto, F una σ-´algebra sobre X, Y ∈ F.

Pongamos

FY := {A ∈F : A ⊂ Y }.

Muestre que

FY =F ∩ 2^Y. Demuestre que F es una σ-´algebra.

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Sigma-´ algebra generada por una colecci´ on de conjuntos

6. Intersección de un conjunto de σ-álgebras. Demuestre que la intersección de cualquier conjunto de σ-álgebras es una σ-álgebra.

7. Definición de la σ-álgebra generada por una colección de conjuntos. Escriba la definición de la σ-álgebra generada por una colección de conjuntos.

8. Ejemplo: la σ-álgebra generada por una colección dada de conjuntos. Sea X = {1, 2, 3, 4, 5} y sea G = {{1, 2}}. Encuentre la σ-álgebra generada por G. Enuncie la respuesta y presente una demostración completa.

9. Ejemplo: la σ-álgebra generada por una colección dada de conjuntos. Sea X = {1, 2, 3, 4, 5} y seaG = {{1, 2, 3}, {3, 4, 5}}. Encuentre la σ-álgebra generada por G.

Enuncie la respuesta y presente una demostraci´on completa.

10. σ-´algebra generada por los subconjuntos unipuntuales de un conjunto no numerable. Sea X un conjunto no numerable y sea

G := {{a}: a ∈ X}.

Describa la σ-´algebra generada por F.

Medidas

En estos problemas se supone que (X,F, µ) es un espacio de medida.

11. Propiedad aditiva. Sean m ∈ N y A1, . . . , A_m ∈ F disjuntos a pares. Demuestre que

µ

m

[

j=1

A_j

!

=

m

X

j=1

µ(A_j).

12. La suma de las medidas de la uni´on e intersecci´on de dos conjuntos. Sean A, B ∈F. Demuestre que

µ(A ∪ B) + µ(A ∩ B) = µ(A) + µ(B).

13. Expresi´on para la medida de la uni´on. Sean A, B ∈F tales que µ(A∩B) < +∞.

Demuestre que

µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B) − µ(A ∩ B).

14. Ejemplo: un defecto de la f´ormula para la medida de la uni´on. Encuentre un espacio de medida (X,F, µ) y un par de conjuntos A, B ∈ F tales que µ(A ∩ B) = +∞.

Muestre que la f´ormula del Ejercicio 13no funciona en este caso.

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15. Medida de la diferencia. Sean A, B ∈F tales que A ⊂ B. Demuestre que µ(A) + µ(B \ A) = µ(B).

16. Monoton´ıa de la medida. Sean A, B ∈F tales que A ⊂ B. Demuestre que µ(A) ≤ µ(B).

17. Medida de la unión de una sucesión creciente (continuidad de medida por abajo). Sea (X,F, µ) un espacio de medida y sea (An)^∞_n=1 una sucesión creciente de conjuntos F-medibles, esto es,

∀n ∈ {1, 2, . . .} A_n⊂ A_n+1. Denotemos por B a la uni´on de esta sucesi´on de conjuntos: B =

∞

[

n=1

A_n. Demuestre que

n→∞lim µ(A_n) = µ(B).

18. Medida de la intersección de una sucesión decreciente (continuidad de medida por arriba). Sea (X,F, µ) un espacio de medida y sea (An)^∞_n=1 una sucesión decreciente de conjuntos F-medibles, esto es,

∀n ∈ {1, 2, . . .} A_n+1⊂ A_n.

Supóngase que el conjunto A₁ es de medida finita, es decir µ(A₁) < +∞. Denotemos por B a la intersección de esta sucesión de conjuntos: B =

∞

\

k=1

A_k. Demuestre que

n→∞lim A_n= µ(B).

19. Medida de la intersecci´on de una sucesi´on decreciente, contraejemplo.

Construya un espacio de medida (X,F, µ) y una sucesi´on decreciente (An)^∞_n=1de conjuntos F-medibles tales que

µ

∞

\

k=1

A_k

!

< lim

n→∞µ(A_n).

20. Propiedad subaditiva de la medida, el caso de dos conjuntos. Sean A, B ∈F.

Demuestre que µ(A ∪ B) ≤ µ(A) + µ(B). Indicaci´on: determine, si es mejor aplicar el resultado del Ejercicio 12 o el resultado del Ejercicio 13. Recuerde que el Ejercicio 13 tiene una condici´on adicional.

21. Propiedad subaditiva de la medida, el caso de una uni´on finita. Demuestre por inducci´on sobre n que

µ

n

[

i=1

A_i

!

≤

n

X

i=1

µ(A_i).

(4)

22. Propiedad subaditiva de la medida, el caso de una uni´on numerable. Sea (A_n)^∞_n=1 una sucesi´on en F. Demuestre que

µ

∞

[

n=1

A_i

!

≤

∞

X

n=1

µ(A_i).

23. Criterio de que una medida es σ-finita. Sea (X,F, µ) un espacio de medida.

Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

(a) Existe una sucesi´on (A_n)_n∈N de conjuntos F-medibles tales que µ(An) < +∞ para todo n ∈ N y X = [

n∈N

A_n.

(b) Existe una sucesi´on creciente (B_n)_n∈N de conjuntos F-medibles tales que µ(Bn) <

+∞ para todo n ∈ N y X = [

n∈N

B_n.

(c) Existe una sucesi´on (C_n)_n∈N de conjuntos disjuntos por pares, F-medibles y tales que µ(Cn) < +∞ para todo n ∈ N, y X = [

n∈N

Cn. Si µ cumple con estas condiciones, entonces se llama σ-finita.

24. Subespacio de un espacio de medida. Sea (X,F, µ) un espacio de medida y sea Y ∈F. Definimos FY como en el Problema 5 y definimos µ_Y como µ|_F_Y, es decir,

µ_Y(A) := µ(A) (A ∈FY).

Muestre que µ_Y es una medida.

Funciones medibles

25. Criterio general de la medibilidad de una función en términos de las preimágenes de los conjuntos generadores de la sigma-álgebra en el contrado- minio. Sean X, Y conjuntos, seanF y H algunas σ-álgebras sobre X y Y respectivamente, y seaG ⊂ 2^Y un conjunto de subconjuntos de Y tal que H está generada por G. Además sea f : X → Y una función. Demuestre que las siguientes condiciones son equivalentes:

(A) f es F-H medible, esto es, f⁻¹[B] ∈F para todo B ∈ H.

(B) f⁻¹[B] ∈F para todo B ∈ G.

26. Criterio de la medibilidad de una función real. Sea X un conjunto, sea F una σ-álgebra sobre X y sea f : X → R una función. Demuestre que las siguientes condiciones son equivalentes:

(5)

(a) f es F-medible, esto es, f⁻¹[B] ∈F para todo conjunto B medible en R.

(b) f⁻¹[(a, +∞)] ∈F para todo a ∈ R.

(c) f⁻¹[(r, +∞)] ∈F para todo r ∈ Q.

27. Criterio de la medibilidad de una función con valores en el eje real exten- dido. Sea X un conjunto, sea F una σ-álgebra sobre X y sea f : X → R una función.

Demuestre que las siguientes condiciones son equivalentes:

(a) f es F-medible, esto es, f⁻¹[B] ∈F para todo conjunto B medible en R.

(b) f⁻¹[(a, +∞]] ∈F para todo a ∈ R.

(c) f⁻¹[(r, +∞]] ∈ F para todo r ∈ Q.

28. Criterio de medibilidad de una funci´on compleja. Sea X un conjunto, sea F una σ-´algebra sobre X y sea f : X → C. Denotemos por g y h la partes real y la parte imaginaria de f :

g = Re(f ), h = Im(f ).

Demuestre que f ∈M(X, F, C) si y s´olo si g, h ∈ M(X, F, R).

29. Criterio de la medibilidad de la función caracter´ıstica de un conjunto. Sea X un conjunto, sea F ⊂ 2^X una σ-álgebra sobre X y sea A ⊂ X. Denotemos por χ_A a la función caracter´ıstica (llamada también función indicadora) del conjunto A:

χ_A: X → R, χ_A(x) =

(1, x ∈ A;

0, x ∈ X \ A, Demuestre que la funci´on χA es F-medible si y s´olo si A ∈ F.

30. Medibilidad de una funci´on continua. Sean X, Y espacios topol´ogicos y seanBX

y BY sus ´algebras de Borel. Sea f ∈ C(X, Y ). Demuestre que f ∈M(X, BX, Y,BY), esto es, f esBX–BY medible.

Operaciones con funciones medibles

31. El supremo de una sucesión de funciones medibles. Sea X un conjunto, sea F una σ-álgebra sobre X y sea (f_n)_n∈N una sucesión de funciones F-medibles, fn: X → R para todo n ∈ N. Demuestre que es F-medible la función g : X → R, donde

∀x ∈ X g(x) := sup

n∈N

f_n(x).

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32. El ´ınfimo de una sucesión de funciones medibles. Sea X un conjunto, sea F una σ-álgebra sobre X y sea (f_n)_n∈N una sucesión de funciones F-medibles, fn: X → R para todo n ∈ N. Demuestre que es F-medible la función g : X → R, donde

∀x ∈ X g(x) := inf

n∈Nf_n(x).

33. Medibilidad de la composici´on de funciones medibles. Sean X, Y, Z conjuntos y sean F ⊂ 2^X, G ⊂ 2^Y, H ⊂ 2^Z algunas σ-´algebras. Sea f ∈ M(X, F, Y, G) y sea g ∈M(Y, G, Z, H). Demuestre que g ◦ f ∈ M(X, F, Z, H).

34. Medibilidad de la composición de una función continua con una función medible. Sea (X,F) un espacio medible y sean Y, Z espacio topológicos. Sea f ∈ M(X, F, Y ) y sea g ∈ C(Y, Z). Demuestre que g ◦ f ∈M(X, F, Z).

35. Cada subconjunto abierto del plano se puede representar como una uni´on numerable de ladrillos abiertos. Sea A un subconjunto abierto de R². Demuestre que existen a_n, b_n, c_n, d_n ∈ R tales que

A = [

n∈N

(an, bn) × (cn, dn).

36. Teorema sobre la medibilidad de una función continua de dos argumentos reales, compuesta con dos funciones medibles. Sea (X,F) un espacio medible, sean f, g ∈ M(X, F, R) y sea Φ ∈ C(R², Y ), donde Y es un espacio topológico. Definamos h : X → Y mediante la siguiente fórmula:

∀x ∈ X h(x) = Φ(f, g).

Demuestre que h ∈M(X, F, Y ). Sugerencia: puede utilizar el resultado de 35.

Hay por lo menos dos caminos para demostrar la medibilidad de la suma y producto de dos funciones reales medibles. Primero consideramos el m´etodo basado en el Teorema 36.

37. Suma y producto de dos funciones reales medibles. Sea X un conjunto, sea F una σ-´algebra sobre X y sean f, g ∈ M(X, F, R). Demuestre que f + g ∈ M(X, F, R) y f g ∈M(X, F, R). Sugerencia: aplicar el Teorema 36.

38. Sean f, g ∈M(X, F, R). Usando el resultado del problema anterior demuestre que los siguientes conjuntos son medibles:

x ∈ X : f (x) < g(x) , x ∈ X : f (x) > g(x) , x ∈ X : f (x) = g(x) . Ahora estudiamos otro m´etodo que utiliza el criterio de la medibilidad de funciones reales y la densidad de n´umeros racionales.

(7)

39. Sean f, g ∈M(X, F, R). Demuestre que

x ∈ X : f (x) < g(x) = [

r∈Q

{x ∈ X : f (x) < r} ∩ {x ∈ X : g(x) > r}

y deduzca de aqu´ı que el conjunto x ∈ X : f (x) < g(x) es medible.

40. Sean f, g ∈M(X, F, R). Demuestre que para cada α ∈ R {x ∈ X : f (x) + g(x) > α} = [

r∈Q

{x ∈ X : f (x) > r} ∩ {x ∈ X : g(x) > α − r}.

Deduzca de aqu´ı que f + g ∈M(X, F, R).

41. Sea f ∈M(X, F, R). Demuestre que f² ∈M(X, F, R).

42. Sea f ∈M(X, F, R) y sea λ ∈ R. Demuestre que λf ∈ M(X, F, R).

43. Sean f, g ∈M(X, F, R). Verifique las identidades de polarizaci´on f g = 1

4 (f + g)²− (f − g)² , f g = 1

2 (f + g)²− f²− g² .

Usando cualesquiera de estas dos identidades y los resultados de ejercicios anteriores muestre que f g ∈M(X, F, R).

44. Suma y producto de dos funciones complejas medibles. Sea X un conjunto, seaF una σ-´algebra sobre X y sean f, g ∈ M(X, F, C). Demuestre que f +g ∈ M(X, F, C) y f g ∈M(X, F, C).

Funciones simples

45. Sobre una aproximación de la función identidad por una sucesión creciente de funciones escalonadas. Para todo n en {1, 2, 3, . . .} definimos la función ϕ_n: [0, +∞] → [0, +∞) de la siguiente manera:

ϕ_n(t) :=

(_b2ntc

2ⁿ , 0 ≤ t < n;

n, t ≥ n.

Demuestre las siguientes propiedades de las funciones ϕ_n.

1. El conjunto de los valores de la funci´on ϕn es {k · 2⁻ⁿ: 0 ≤ k ≤ n}.

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2. Para cada k en {0, . . . , n · 2ⁿ− 1},

ϕ⁻¹_n [{k · 2⁻ⁿ}] = k

2ⁿ,k + 1 2ⁿ

. Adem´as,

ϕ⁻¹_n [{n}] = [n, +∞].

3. La funci´on ϕ_n es simple y medible.

4. Para todo t en [0, +∞] y todo n en {1, 2, 3, . . .}, ϕ_n(t) ≤ ϕ_n+1(t).

5. Para todo t en [0, +∞],

n→∞lim ϕ_n(t) = t.

46. Proposición sobre la aproximación de funciones medibles positivas por funciones simples medibles positivas. Sea (X,F, µ) un espacio de medida. Demuestre que para toda funciónF-medible positiva f : X → [0, +∞] existe una sucesión de funciones g_n simples F-medibles positivas tal que en todo punto x en X la sucesión (gn(x))^∞_n=1 es creciente y g_n(x) → f (x).

47. Sobre una aproximación de la función identidad por una sucesión no creciente de funciones escalonadas. Para cada n en N, definimos ψn: [0, +∞] → [0, +∞) mediante la regla

ψ_n(t) :=

(_bntc

n , 0 ≤ t < n;

n, n ≤ t ≤ +∞.

Demuestre que para cada t en [0, +∞],

n→∞lim ψ_n(t) = t.

Muestre que la sucesi´on (ψ_n)_n∈N no es creciente, esto es, encuentre un punto t en [0, +∞]

y un ´ındice n en N tales que

ψn(t) > ψn+1(t).