Se dice que una variable aleatoria x tiene una distribución Wakeby cuando cumple la siguiente relación con su función distribución acumulada (F):

Texto completo

(1)

METODO REGIONAL WAK-MPP 1. INTRODUCCION.

El análisis de frecuencia de crecidas es un procedimiento para asociar a las distintas magnitudes de la crecida una probabilidad o frecuencia de ocurrencia. Las crecidas de interés desde el punto de vista del ingeniero proyectista son aquellas que tienen una pequeña probabilidad de excedencia, o bien, un gran período de retorno, lo cual implica una considerable incertidumbre en la estimación, tanto por la dificultad de medir los valores extremos como por la falta de precisión de dichas magnitudes.

Los llamados procedimientos regionales de frecuencia de crecidas surgen como una forma de minimizar los inconvenientes anteriores y a la vez poder realizar estas estimaciones en puntos con poca o sin información fluviométrica. Estos métodos mejoran la confiabilidad de los resultados al considerar el conjunto de la información recogida en toda una región homogénea con el punto de interés. Un procedimiento regional bastante utilizado es ajustar un modelo probabilístico a los máximos valores de la crecida adimensionalizados al dividirlos por la crecida media anual. Las series adimensionales se agrupan y se combinan para formar una sola muestra a la cual se ajusta un modelo probabilístico.

Este trabajo propone el uso de la distribución Wakeby como un método recomendable para el análisis regional de crecidas. El procedimiento, a juicio de algunos autores, es tan superior a otros, que se aconseja usarlo para la estimación de la crecida de diseño de todo proyecto.

2. DISTRIBUCION WAKEBY. 2.1 Definición y Características.

La distribución Wakeby fue propuesta por Houghton (1977,1978a,1978b) como un modelo probabilístico adecuado para representar los caudales de crecidas máximas diarias o instantáneas en una región. Varias razones avalan esta recomendación. En primer lugar, se ha demostrado que los valores generados por este modelo no adolecen de la llamada condición de separación (Matalas et al., 1975) que se observa en valores provenientes de otros modelos probabilísticos y en consecuencia, su comportamiento en este sentido es análogo al que tienen las series históricas. En segundo término, es un modelo que cuenta con cinco parámetros, lo que le confiere gran flexibilidad para representar muestras que exhiben distinto comportamiento. En tercer lugar, se ha determinado experimentalmente que algunos parámetros pueden ser estimados regionalmente con buena aproximación. Este método de regionalización es tan superior a otros (Cunnane, 1988) que merece ser un punto de partida para la estimación de la crecida de diseño de todo proyecto. Esta última afirmación ha llevado a recomendar el abandono de otros procedimientos en favor de esta distribución.

El modelo Wakeby queda definido analíticamente por el inverso de su función de distribución acumulada, característica que tiene ventajas al estimar los parámetros mediante el llamado método de los momentos ponderados por probabilidad, aunque presenta desventajas para la implementación de otros procedimientos, tales como el de máxima verosimilitud.

(2)

x(F) = m + a[l-(1-F)b] - c[l-(1-F)-d]

Los valores de la variable aleatoria están comprendidos entre m e infinito y los parámetros del modelo son m, a, b, c y d.

2.2 Estimación de parámetros.

Greenwood y otros autores (1979) recomiendan estimar los parámetros de ésta y de otras distribuciones mediante el método de momentos ponderados por probabilidad (MPP), ya que este procedimiento tiene características preferibles al de máxima verosimilitud o de momentos convencionales, cuando el tamaño de la muestra es limitado. Los momentos ponderados por probabilidad se definen como el valor esperado del producto de tres términos: la variable aleatoria (x), la función de distribución acumulada (F(x)) y el complemento de esta función (l-F(x)). De esta forma el MPP de orden i,j,k se calcula mediante la siguiente expresión:

Mi,j,k = E(xl Fj (l-F)k) = ∫ xl Fj (l-F)k dF (2)

Los momentos convencionales constituyen un caso especial de los MPP, ya que en ellos el exponente 1 es unitario y los otros dos exponentes son nulos.

En el caso de la distribución Wakeby para facilitar la obtención de los momentos al definir los MPP, se usa un valor unitario para el exponente 1 y nulo para el exponente j. En este caso se denomina M l,0,k al MPP de orden k, y se designa simplemente por Mk (Greenwood et al,

1979). Al integrar la expresión anterior, se obtiene la siguiente relación general para los momentos Mk, válida para valores positivos de k:

La estimación de los parámetros de la distribución Wakeby por el método de los momentos ponderados por probabilidad requiere resolver un sistema de cinco ecuaciones, formado al igualar los primeros cinco momentos ponderados de la muestra con los correspondientes momentos de la población.

Landwehr y otros autores (1979a,b) recomiendan calcular estimadores de los MPP a partir de la muestra, utilizando la siguiente expresión, que entrega MPP sesgados para k positivo, en función del tamaño de la muestra (n), de los valores de caudales ordenados en forma creciente (xí) y del número de orden (i) de cada valor en la lista:

Los autores nombrados también exploraron el empleo de estimadores no sesgados para los MPP. Sin embargo, reportan que los estimadores moderadamente sesgados proporcionan mejores resultados, particularmente al estimar los valores de los cuantiles superiores, lo cual es especialmente relevante en el contexto del análisis de frecuencia de crecidas.

(3)

2.3 Algoritmos de Solución

Landwehr y los otros investigadores desarrollaron dos algoritmos para la estimación de los parámetros de la distribución Wakeby utilizando la técnica de los MPP. El primer algoritmo (Landwehr et al,1979a), requiere conocer el parámetro ni de la muestra y se basa en el hecho de que si una variable aleatoria X se distribuye según el modelo Wakeby con parámetro m conocido, la variable X-m también se distribuye según Wakeby pero con parámetro m igual a cero.

El algoritmo para un valor cualquiera del parámetro m posee dos partes. Se intenta primero un ajuste inicial de parámetros basado estrictamente en las ecuaciones para ellos en función de los MPP. Si no hay éxito, se intenta un ajuste iterando a partir de un valor dado de b, y estimando los restantes parámetros usando las ecuaciones apropiadas. Si los parámetros estimados conforman un conjunto no factible, se considera que el algoritmo ha fallado. (Landwehr et al., 1979b)

Los algoritmos descritos se implementaron para este trabajo en un programa computacional que permite estimar los parámetros a nivel regional o puntual, calcular los valores asociados a distintos períodos de retorno y determinar la curva de frecuencia acumulada.

III. APLICACION A LA ZONA CENTRAL DE CHILE 3.1 Descripción de la Zona

Para ilustrar el procedimiento propuesto, se escogieron 25 estaciones fluviométricas de la región central-sur de Chile, pertenecientes a las cuencas de los ríos Rapel, Mataquito, Maule e Itata cada estación con registros mayores o iguales a 15 años. Las estaciones seleccionadas cuentan con un total de 723 años de información de caudales máximos diarios y representan una superficie total e aproximadamente 90.000 kilómetros cuadrados. En la Tabla 1 se presenta un listado de las estaciones y su ubicación geográfica se muestra en la Figura 1.

TABLA 1

ESTACIONES FLUVIOMETRICAS SELECCIONADAS

Cuenca Nombre Latitud Longitud Código

Rapel Cachapoal en Pte.'I'ermas 34 15 70 34 R5

Claro en Hda. Las Nieves 34 29 70 43 R9 Cachapoal en Pte. Arqueado 34 17 71 21 R10 Tinguiririca en jta. Azufre 34 50 70 33 R11 Chimbarongo en Sta. Cruz 34 39 71 21 R16 Tinguiririca en Los Olmos 34 30 71 23 R17

Mataquito Teno después junta 35 01 70 51 M5

Teno en Pte. FFCC 34 53 71 11 M6

Colorado en jta. Palos 35 16 71 01 M9

Palos en jta. Colorado 35 16 71 01 M10

Maule Claro en Camarico 35 10 71 23 M1

(4)

Claro en Talca 35 25 71 42 M4

Maule en Armerillo 35 42 71 06 M26

Ancoa en El Morro 35 53 71 17 M32

Longaví en Quiriquina 36 15 71 27 M39

Longaví en Longitudinal 36 00 71 44 M40

Perquilauquén en San Manuel 36 25 71 30 M42

Perquilauquén en Quella 36 03 72 05 M43

Purapel en Nirivilo 35 33 72 05 M45

Itata Nuble en La Punilla 36 39 71 22 I3

Chillán en Longitudinal 36 46 71 45 I7 Diguillín en San Lorenzo 36 52 71 36 I13 Diguillín en Longitudinal 36 53 72 20 I14

Itata en Cholguán 37 11 72 03 I16

El relieve de esta región se caracteriza por la existencia de dos cordilleras longitudinales (Cordillera de los Andes y Cordillera de La Costa) con valles centrales que conforman una depresión intermedia. El clima es mediterráneo, caracterizado por tener un período lluvioso en invierno (Junio-Agosto), época durante la cual ocurre la mayor parte de las precipitaciones anuales. Las precipitaciones anuales varían en promedio entre 500 mm y 2500 mm, existiendo un aumento significativo de ellas hacia el sur. La parte alta de las cuencas, con alturas sobre los 2000 m, recibe normalmente precipitaciones en forma de nieve. La producción específica de las cuencas, aumenta también de norte a sur, con valores medios en el rango entre 10 I/s/km2 y 90 l/s/km2.

3.2 Cálculo de Momentos y de Parámetros

En la Tabla 2 se muestran los principales parámetros estadísticos de los registros seleccionados. El caudal de la crecida máxima diaria promedio es de 385 (m3/s) , variando entre un mínimo de 44,4 y un máximo de 1100 (m3/s). El coeficiente de variación del promedio es de 0,69. La longitud media de registro de las estaciones seleccionadas es de 29 años.

TABLA2

CARACTERISTICA DE LOS CAUDALES MAXIMOS DIARIOS

(5)

M6 19 338.7 262.9 0.776 1.148 1015 36.0 1523 M9 38 192.2 111.9 0.582 2.334 658 47.0 883 M10 31 140.6 94.2 0.669 1.244 421 24.1 506 M1 39 212.4 133.7 0.630 0.995 543 9.6 742 M3 20 281.1 249.4 0.887 1.739 1040 10.2 376 M4 21 779.2 568.2 0.729 0.725 2033 39.5 2596 M21 67 1101.9 560.7 0.509 0.992 2648 142.0 5520 M32 27 178.0 124.1 0.697 1.538 595 19.4 204 M39 33 455.1 313.9 0.690 1.416 1358 61.5 650 M40 16 612.5 490.2 0.800 1.117 1385 28.1 870 M42 42 382.4 200.6 0.525 0.259 784 25.8 481 M43 15 .738.1 405.5 0.549 0.760 1618 65.4 1195 M45 23 44.4 40.8 0.919 2.033 166 1.8 258 I3 23 348.6 169.7 0.487-0.163 623 19.0 1300 I7 33 85.4 54.8 0.642 1.018 230 30.4 224 I13 29 239.3 113.4 0.474 0.094 486 52.4 163 I14 26 422.9 221.0 0.523 0.380 980 9.0 1232 I16 38 322.6 130.9 0.406 0.713 734 111.0 852

(6)

M45 20,439 8,468 77,431 0,284 4,673 1I3 337,691 2,169 -779,901 -0,137 23,596 I7 -24,264 3,850 -362,319 -0,259 30,098 I13 167,431 2,670 -519,828 -0,202 29,990 I14 472,677 42265 140,106 0,406 -55,715 I16 273,191 1,953 54,739 0,44 298,506

El problema de asociar probabilidades de excedencia a cada valor de la crecida, queda resuelto al conocer los parámetros de la distribución Wakeby ajustada a cada estación fluviométrica. Los valores de crecida con distintas probabilidades se obtienen evaluando la expresión (1) para los valores deseados de la función distribución acumulada.

3.3 Extensión del Método a nivel Regional.

Una de las ventajas de esta distribución es la posibilidad de utilizarla a nivel regional con buenos resultados. Para ello, se requiere verificar en primer lugar, la homogeneidad de la región. En este caso particular, se utilizó un test de homogeneidad basado en la distribución, (Wiltshire, 1989) el cual condujo a aceptar la homogeneidad hidrológica de la región frente a series históricas de caudales máximos diarios . Posteriormente se dividió cada uno de los valores observados en cada estación por la crecida media anual para tener registros adimensionales y poder combinarlos para formar una sola muestra. A esta muestra única se ajustó un modelo Wakeby calculándose los parámetros regionales.

Otro elemento que requieren los métodos regionales para poder ser aplicados en puntos sin información es contar con una relación para predecir la crecida media anual (QMD). En este caso, se estudió una relación que incluyera el tamaño de la cuenca, la precipitación anual, la latitud y la altura como variables explicativas. La mejor relación encontrada es la que se presenta a continuación, la cual tiene un coeficiente de correlación igual a 0,79 y un error estándar de estimación igual a 168 metros cúbicos por segundo. Esta relación incluye el área de la cuenca (A) y la latitud de la estación (LAT, grados) como variables explicativas.

QMD = -2789,9.+ 12,8235 √A+ 77,5 LAT 3.4 Validación del procedimiento.

(7)

Maule, ya que la estimación tiene errores del orden del 15%. En el caso del estero El Manzano la crecida media anual no puede estimarse con precisión aceptable y es deseable buscar una expresión más precisa, incorporando otras variables explicativas.

La Tabla 4 compara los valores estimados y observados para períodos de retorno de 25, 50 y 100 años. En el río Claro el error porcentual promedio de las estimaciones es 25%, en el estero El Manzano es 16% y en el río Maule 9%. Los errores porcentuales individuales en estas estaciones varían entre 4% y 32% para los períodos de retorno indicados. Se pudo apreciar también en varios casos, que al considerar conocido el valor de la crecida media anual del lugar, los errores de estimación de las crecidas máximas diarias asociadas a distintos períodos de retorno disminuyen significativamente.

TABLA 4

CAUDALES OBSERVADOS Y ESTIMADOS PARA DISTINTOS PERIODOS DE RETORNO (m3/s)

ESTACION FLUVIOMETRICA

Período de retorno Claro en el Valle El Manzano Maule en Colbún Obs Est Obs Est. Obs Est.

Promedio 132 141 146 66 1093 911

25 274 327 125 155 2198 2119

50 306 384 156 181 2350 2485

100 335 441 190 208 2462 2854

IV. CONCLUSIONES.

La distribución Wakeby posee importantes ventajas para estimar datos de caudales máximos diarios. La estimación de sus parámetros es difícilmente practicable por métodos clásicos, sin embargo, la técnica de estimación parámetros por el método de momentos ponderados por probabilidad ha demostrado ser adecuada para esta distribución, pues permite plantear expresiones para estimar cada parámetro en función de los MPP obtenidos a partir de la muestra de caudales máximos diarios.

El sistema de ecuaciones que permite la obtención de los de parámetros Wakeby se ha resuelto algebraicamente . La resolución del sistema es elaborada y requiere los algoritmos indicados para verificar que las soluciones existan y sean factibles.

La aplicación del modelo a una región bastante amplia de la zona central-sur de Chile con gran variedad climática ha sido exitosa. El procedimiento se recomienda y los resultados se pueden mejorar al tener una relación más precisa para estimar la crecida media anual en lugares sin información fluviométrica.

(8)

VI. REFERENCIAS.

1. CUNNANE, C. (1988) Methods aiid Merits of Regional Flood Frequency Analysis. Jour. of Hydrology, vol 100, pp. 269-290.

2.. GREENWOOD, J.A., LA.NDWEHR, J.M. y WALLIS, J.R. (1979) Probability weighted moments: definition and relation to parameters of several distributions expressable in inverse form. Water Resources Research, vol. 15, N25, 10

1054.

3. HOUGHTON,J.C. (1977) Robust estimation of the frequency of extreme value in a flood frequency context. Ph.D. dissertation, Harvard University Cambridge, Mass. 4. HOUGHTON,J.C. (1978a) Birth of a parent:the Wakeby distribution for modeling flood

flows. Water Resources Research,Vol.14,No.6,1105-1110.

5. HOUGHTON,J.C. (1978b) The incomplete means estimation procedure applied to flood frequency analysis.Water Resources Researcli, Vol.14,No.6, 11111116.

6. LANDWEHR,J.M.,MATALAS,N.C. y WALLIS,J.R. (1979a) Estimation of parameters and quantiles of Wakeby distributions 1. Known lower bounds.Water Resources Research,Vol.15,No.6,1361- 1372.

7. LANDWEHR,J.M.,MATALAS,N.C. y WALLIS,J.R. (1979b) Estimation of parameters and - quantiles of Wakeby distributions 2.Unknown lower bounds.Water Resources Research,Vol.15,No.6,1373- 1379.

8.- MATALAS,N.C. SLACK,J.R. y WALLIS,J.R. (1975) Regional skew in search of a parent.Water Resources Research Vol ll,No.6, 815-826.

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...