SUCESIONES Y SERIES. a 2. Ej): Encuentre la fórmula general, es decir el n-ésimo término de la sucesión 1, 3, 7, 15,.?

Texto completo

(1)

SUCESIONES Y SERIES

Una sucesión es una función, cuyo dominio es un conjunto de enteros positivos consecutivos.

El dominio de una sucesión infinita son los enteros positivos y el codominio o rango es el conjunto de los números reales.

Con frecuencia representamos a las sucesiones mediante letras minúsculas, como

a

y los valores del rango mediante

a

n, que también se llaman los términos de la sucesión.

Muchas veces las sucesiones se especifican enunciando su término general o enésimo término. Así, el término general de las Sucesión, que antes era Y=X2 , se vuelve

a

n

=n

2

.

Las Sucesiones es una función de los números Naturales con respecto a los números reales.

F(x) : N R

a

n

={f(n)}

n=1,2,3,4……regla que define la sucesión.

Para determinar una sucesión infinita se puede presentar dos formas:

1. Encontrar los términos a partir de la fórmula del n-ésimo término.

2. Definir la sucesión enunciando la fórmula n-ésimo término.

Ej) ¿Sea la sucesión an 2n 5 , hallar los 5 primeros términos?

7 5 1

*

1 2

a

,

a2 2*2 5 9

,

a3 2*3 5 11

,

a4 2*4 5 13

15 5 5

*

5 2

a

,

an 7,9,11,13,15

Ej) ¿Sea la sucesión 21 n

an n , hallar los 4 primeros términos?

1 0 1 1

1 2

a

,

4 1 2

1 2

2 2

a

,

9 2 3

1 3

3 2

a

,

16 3 4

1 4

4 2

a

,

16 , 3 9 ,2 4 ,1

n 0

a

Ej) ¿Sea la sucesión

n an n

3 1 , hallar los 5 primeros términos?

3 2 1

* 3

1 1

a1

,

2 1 6 3 2

* 3

1 2

a2

,

9 4 3

* 3

1 3

a3

,

12 5 4

* 3

1 4

a4

,

15 6 5

* 3

1 5

a5

,

15 , 6 12 , 5 9 ,4 2 ,1 3 2 an

Ej): Encuentre la fórmula general, es decir el n-ésimo término de la sucesión 3, 6, 9, 12…….?

12 , 9 , 6 ,

n 3

a

,

a1 3 1*3

,

a2 6 2*3

,

a3 9 3*3

,

a4 12 4*3

Entonces la fórmula general es: an 3n

Ej): Encuentre la fórmula general, es decir el n-ésimo término de la sucesión 1, 3, 7, 15,….?

15 , 7 , 3 ,

n 1 a

1 1

a

,

a2 3 4 1 22 1

1 2 1 8

7 3

a3

1 2 1 16

15 4

a4

Entonces la fórmula general es:

a

n

2

n

1

Ej): Encuentre la fórmula general, es decir el n-ésimo término de la sucesión 2, 4, 8, 16, 32….?

32 , 16 , 8 , 4 ,

n 2 a

1

1 2 2

a

,

a2 4 22

,

a3 8 23

4

4 16 2

a

,

a5 32 25

Entonces la fórmula general es:

a

n

2

n

Ej): Encuentre la fórmula general, es decir el n-ésimo término de la sucesión 1, 3, 5, 7, 9….?

9 , 7 , 5 , 3 ,

n 1 a

1 1

* 2

1 1

a

,

a2 3 2*2 1

1 3

* 2

3 5

a

,

a4 7 2*4 1

1 5

* 2

5 9 a

Entonces la fórmula general es:

a

n

2n 1

Ej): Encuentre la fórmula general, es decir el n-ésimo término de la sucesión ...

5 ,4 4 ,3 3 ,2 2

1

?

(2)

5 ,4 4 , 3 3 ,2 2 1

an

,

1 1

1 2

1

a1

,

1 2

2 3

2

a2

,

1 3

3 4

3

a3

,

1 4

4 5

4 a1

Entonces la fórmula general es:

1 n a

n

n

Ej): Encuentre la fórmula general, es decir el n-ésimo término de la sucesión ...

9 ,16 7 ,9 5 ,4 3

1

?

9 ,16 7 ,9 5 ,4 3 1 an

1 2

1 3

1

a1

,

54 2*22 1

2

a2

,

79 2*33 1

2

a3

, 16 9 2 * 4 4 1

2

a4

Entonces la fórmula general es:

1 2

2

n a

n

n

Ej): Encuentre la fórmula general, es decir el n-ésimo término de la sucesión ...

5 ,1 4 ,1 3 ,1 2

1

?

5 ,1 4 ,1 3 ,1 2 1 an

1 1

1 2

1

a1

,

1 2

1 3

1

a2

,

1 3

1 4

1

a3

,

1 4

1 5

1 a4

Entonces la fórmula general es:

1 1 an n

Ej): Encuentre la fórmula general, es decir el n-ésimo término de la sucesión ...

2 ,1 5 ,2 4 ,1 0 2,

1

?

2 ,1 5 ,2 4 ,1 0 2, 1 an

1 1

2 1 2 1

a1

,

1 2

2 0 2

a2

,

1 3

2 3 4

1 a3

1 4

2 4 5 2

a4

,

a5 21 55 12 63 21

Entonces la fórmula general es:

1 2 n an n

Ej): Encuentre la fórmula general, es decir el n-ésimo término de la sucesión ...

8 ,7 6 ,5 4 ,3 2

1

?

8 ,7 6 ,5 4 ,3 2 1 an

1

* 2

1 1

* 2 2

1 a1

2

* 2

1 2

* 2 4

3 a2

3

* 2

1 3

* 2 6

5 a3

4

* 2

1 4

* 2 8

7 a4

Entonces la fórmula general es:

n an n

2 1 2

EJERCICIOS DE SUCESIONES

Ej) ¿Halle los 5 primeros términos de cada sucesión?

( a)

1

2 n3

an n

, (b )

n an 3n 2

( c )

an n*3n 1

, (d )

1 1 an n

( e)

n 1

an n

, ( f)

3

1 1

a n

n

n

( g )

1 1 1

n

an n

( h)

24

2

n

an n

( i)

an n 1 nn 2

, (j )

n n

a n

2

(3)

SUMATORIA DE UNA SUCESION

Que sucede si nos piden averiguar la adición de muchos términos de una sucesión infinita, tendríamos que efectuar una adición de muchos sumandos y además diferentes, para tal caso vamos a introducir un nuevo concepto llamado sumatoria.

Los

n

primeros términos de la sucesión es:

n

n

n

n

a a a a a a a

a

1

6 5 4 3 2

1

....

Ej): Hallar la suma de los 5 primeros términos de la sucesión an 4n 2

2 5

* 4 2 4

* 4 2 3

* 4 2 2

* 4 2 1

* 4

5

1 n

a

n

50 18 14 10 6 2

5

1 n

a

n

Ej): Hallar la suma de los 6 primeros términos de la sucesión

n an n

2 1 2

6

* 2

1 6

* 2 5

* 2

1 5

* 2 4

* 2

1 4

* 2 3

* 2

1 3

* 2 2

* 2

1 2

* 2 1

* 2

1 1

*

6

2

1 n

a

n

12 11 10

9 8

7 6 5 4 3 2

6

1

1 n

a

n

40 191 120 573 120

110 108 105 100 90

6

60

1 n

a

n

Ej): Hallar la suma de los 6 primeros términos de la sucesión a n

n n

1 1

6 1 5

1 4

1 3

1 2

1 1

1

1 2 3 4 5 6

6

1 n

a

n

6 1 5 1 4

1 3 1 2

1 1

6

1 n

a

n

60 37 60

10 12 15 20 30 60 6

1 5 1 4 1 3 1 2 1 1

6

1 n

a

n

Ej): Evalúa las sumatoria:

10

5 n

a

n sí:

n an 3n 2

10 2 10

* 3 9

2 9

* 3 8

2 8

* 3 7

2 7

* 3 6

2 6

* 3 5

2 5

*

10

3

5 n

a

n

10 32 9

29 8

26 7

23 6

20 5

10

17

5 n

a

n

5 16 9

29 4

13 7

23 3

10 5

10

17

5 n

a

n

7 , 1260 19 24811 1260

4032 4060

4095 4140

4200

10 4284

5 n

an

Ej): Evalúa las sumatoria:

5

2 n

a

n sí:

2

* 3

n 1

a

n

2

* 3 2

* 3 2

* 3 2

*

3

2 1 3 1 4 1 5 1

5

2 n

a

n

240 162

54 18

6

5

2 n

an

(4)

Ej): Evalúa las sumatoria:

3

1 n

a

n sí:

1 2 n3

an n

1 3

3

* 2 1

2 2

* 2 1

1 1

* 2

3 3

3 3

1 n

an

126 209 252

418 252

54 112 252

28 6 9

1 4

3

1 n

an

PROGRESION ARITMETICA

La progresión aritmética es una Sucesión en la cual todo término después del primero se obtiene sumando una constante al término anterior.

En la progresión aritmética cada uno de sus componentes es un término y la diferencia constante e ntre sus términos es la razón:

En la sucesión ascendente 3, 6, 9, 12, 15, 18 a=1 término = 3

r=razón =3 L=último término =18 N=número de términos =6

FORMULAS PROGRESION ARITMETICA r

n a

L 1 *

a L n 1 *r

1 n

a

r L

1

r a n L

La suma de los términos de una Sucesión se llama serie y cuando la sucesión es una progresión aritmética se denomina serie aritmética y está definida por la formula:

2

* n L

S a

EJER CICIOS D E PR OGR ES ION ES AR ITM ETICAS

1) Ej: ¿hallar el octavo término de la siguiente progresión aritmética? 5, 10 ,15 ,20 ,25

r n

a

L 1 *

L 5 8 1 *5

40 35 5 L

2) Ej: ¿hallar el noveno término de la siguiente progresión aritmética? -3, -6, -9, -12, -15

r n a

L 1 *

L 3 9 1 3

27 24 3 L

3)Ej: ¿hallar el primer término sabiendo que el quinto es 17 y la razón es 4 de la progresión aritmética?

r n L

a 1*

a 17 5 1 *4

1 16 17 a

4) Ej: ¿hallar el primer término sabiendo que el octavo es 48 y la razón es 6 de la progresión aritmética?

r n L

a 1*

a 48 8 1*6

6 42 48 a

5) Ej: ¿Cuál será la razón de una progresión aritmética si el primer término es 6 y el quinto es 30?

1 n

a

r L

1 5

6

r 30

4 6 r 24

(5)

6) Ej: ¿insertar 10 términos entre los extremos de la progresión aritmética 12 y 45?

1 n

a

r L

1 12

12

r 45

3

11 r 33

La serie es: 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30 ,33, 36, 39, 42, 45

7) Ej: ¿cuántos términos tendrá una progresión aritmética, si el primero es 3, la razón es 7 y el último término es 45?

r 1 a

n L

1

7 3

n 45

1 7

7 n 42

8) Ej: ¿cuántos términos tendrá una progresión aritmética, si el primero es 4, la razón es 4 y el último término es 32?

r 1 a

n L

1

4 4

n 32

1 8

4 n 28

9) Ej: ¿cuál será la suma de la progresión aritmética: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63?

2

* n L

S a

2 9

* 63

S 7

315

2 S 630

10) Ej: ¿Entre los extremos 25 y 60, insertar 6 términos, realizar la suma y escribir la progresión aritmética?

1 n

a

r L

1 8

25

r 60

5

7 r 35

2

* n L

S a

2 8

* 60

S 25

340

2 S 680

2 5, 30, 35 , 40 , 4 5, 5 0, 55, 60

11) Ej: Se recibe un préstamo Bancario de $120.000, el cual se acuerda pagar mediante 12 pagos mensuales de $10.000 más interés sobre saldos, a razón del 5% mensual ¿qué cantidad de interés se paga en total?

C i I1 *

I1 0.05*1 2 0.0 0 0 $6.0 0 0

C i I2 *

I2 0.05*110.000 $5.500

C i I3 *

I3 0.05*100.000 $5.000

C i I4 *

I4 0.05*90.000 $4.500

El 1 pago= $10.000 + $6.000 = $16.000 El 2 pago= $10.000 + $5.500 = $15.500 El 3 pago= $10.000 + $5.000 = $15.000 El 4 pago= $10.000 + $4.500 = $14.500

r n a

L 1 *

L 6.000 12 1 500

500

. 50 . 5 000 . 6 L

2

* n L

S a

2

12

* 500 000 .

S 6

000 . 39 2 $

000 . S 78

Deberá pagar $39.000 de intereses.

12) Ej: La Empresa de Pedro Márquez recibe un préstamo Bancario de $300.000, el cual se acuerda pagar mediante 10 pagos semestrales de $30.000 más interés sobre saldos, a razón del 10% semestral ¿qué cantidad de interés se paga en total?

C i I1 *

I1 0.1*300.000 $30.0 0 0

C i I2 *

I2 0.1*270.000 $27.0 0 0

C i I3 *

I3 0.1*240.000 $24.000

C i I4 *

I4 0.1*210.000 $21.0 0 0

El 1 pago= $30.000 + $30.000 = $60.000 El 2 pago= $30.000 + $27.000 = $57.000 El 3 pago= $30.000 + $24.000 = $54.000 El 4 pago= $30.000 + $21.000 = $51.000

r n a

L 1 *

L 30.000 10 1 3.000

000

. 3 000 . 27 000 . 30 L

(6)

2

* n L

S a

2

10

* 000 . 3 000 .

S 30

$165.000

2 000 . S 330

Deberá pagar $165.000 de intereses.

13) Ej: ¿cuántos términos tiene una progresión aritmética cuyo quinto término es -9, su diferencia común es -3 y su suma es- 81?

Primero se halla el primer término conociéndose el quinto término -9 y por lógica se sobre entiende que hay 5 términos y su diferencia -3

r n L

a 1*

a 9 5 1 * 3

a 9 12 3

Se combinan estas dos fórmulas para obtener una sola que me permita hallar en número de términos con respecto a la suma total de los términos que es -81

2

* n L

S a

L a n 1 *r

2

*

*

1 r n

n a

S a

2

*

* 1

2a n r n

S

S n 2a n 1*r

2

S n 2a nr r

2 Se ubican los valores en la fórmula final:

r nr n a

S 2

2

23 3 3

81 2n n

6 3 3

81 2n n

n n9 3

162

162 9n 3n2

3n2 9n 162 0

Se factoriza la ecuación cuadrática:

0 162 9

3n2 n

n 9 3n 18 0

n 9 0, 3n 18 0

Como la progresión no puede tener números negativos, la solución es la positiva?

3n + 18 =0 donde n=-6 n – 9 = 0 donde n=9

Entonces el número de términos de la progresión aritmética descrita es 9

14) Ej: ¿cuántos términos tiene una progresión aritmética cuyo sexto término es -3, su diferencia común es 0.2 y su suma es-33?

Primero se halla el primer término conociéndose el sexto término -3 y por lógica se sobre entiende que hay6 términos y su diferencia 0.2

r n L

a 1* a 3 6 1 *0.2

4 1 3 a

Se ubican los valores en la fórmula:

r nr n a

S 2

2

2 . 0 2 . 0 4 2 2

33 n n

2

. 0 2 . 0 2 8

33 n n

n n 8.2 0.2

66

2 2

. 0 2 . 8

66 n n

0.2n2 8.2n 66 0

Se factoriza la ecuación cuadrática:

0 66 2 . 8 2 .

0 n2 n

n 30 0.2n 2.2 0

0

2 . 2 2 . 0 , 0

30 n

n

Como la progresión no puede tener números negativos, la solución es la positiva?

0.2n + 2.2= 0 donde n=-11 n -30 =0 donde n=30

Entonces el número de términos de la progresión aritmética descrita es 30

(7)

15) Ej: ¿cuántos términos tiene una progresión aritmética cuyo tercer término es 8, su diferencia común es 3 y su suma es 155?

Primero se halla el primer término conociéndose el tercer término 8 y por lógica se sobre entiende que hay 3 términos y su diferencia 3

r n L

a 1*

a 8 3 1 *3

a 8 6 2 Se ubican los valores en la fórmula:

r nr n a

S 2

2

22 3 3

155 2n n

4 3 3

155 2n n

n n1 3

310

310 n 3n2

3n2 n 310 0

Se factoriza la ecuación cuadrática:

0 310

3n2 n

n 10 3n 31 0

n 10 0, 3n 31 0

Como la progresión no puede tener números negativos, la solución es la positiva?

3n + 31= 0 donde n = -31/3 n -10 =0 donde n = 10

Entonces el número de términos de la progresión aritmética descrita es 10

16) Ej: ¿cuántos términos tiene una progresión aritmética cuyo primer término es -2, su diferencia común es

¼

y la suma de sus términos es 21?

Se ubican los valores en la fórmula:

r nr n a

S 2

2

2 2 1/4 1/4

21 2n n

4 /4 1/4

21 2n n

4 / 4 / 17

42 n n

42 17n/4 n2/4

168 17n n2

n2 17n 168 0

Se factoriza la ecuación cuadrática:

0 168

2 17 n

n

n 24 n 7 0

n 24 0, n 7 0

Como la progresión no puede tener números negativos, la solución es la positiva?

n - 24= 0 donde n = 24 n + 7 =0 donde n = -7

Entonces el número de términos de la progresión aritmética descrita es 24

17) Ej: ¿Un montón de troncos tiene 24 de ellos en la primera capa, 23 en la segunda, 22 en la tercera y así sucesivamente, ¿si la última capa contiene 10 troncos,

¿cuántos troncos hay en total?

r 1 a

n L

1

1 24

n 10

15

1 14

n

2

* n L

S a

2 15

* 10

S 24

c o s 2 255

15

*

34 tron

S

18) Ej: ¿Un niño decide hacer una pirámide con los cubos que tiene de tal forma que cada etapa tiene un cubo menos que el anterior, ¿cuántos cubos forman la pirámide si en la base hay 6 cubos?

r 1 a

n L

1

1 6

n 1

6

1 5

n

2

* n L

S a

2 6

* 1

S 6

cu b o s

S 21

2 6

*

7

18) Ej: ¿Un niño decide hacer una pirámide con los cubos que tiene de tal forma que cada etapa tiene un cubo menos que el anterior, ¿cuántos cubos forman la pirámide si en la base hay 6 cubos?

(8)

r 1 a

n L

1

1 6

n 1

n 5 1 6

2

* n L

S a

2 6

* 1

S 6

S 21cu b o s

2 6

*

7

19) Ej: ¿Cuánto ganó un profesor de matemáticas en 8 años si su sueldo inicial fue de $800.000 y recibió aumentos anules de

$230.000?

r n a

L 1 *

L 800.000 8 1 *230.000

L 800.000 1.610.000 2.410.000

2

* n L

S a

2

8

* 0 0 0 . 4 1 0 . 2 0 0 0 . 8 0 0

S

$12.8 4 0.0 0 0

2 8

* 000 . 210 .

S 3

20) Ej: ¿En un teatro hay en la primera fila 20 asientos y tres asientos mas en cada una de las filas restantes, ¿cuántos asientos hay en las primeras 9 filas?

r n a

L 1 *

L 20 9 1 *3

L 20 24 44

2

* n L

S a

2 9

* 44

S 20

S 2 8 8a s i e n t o s 2

8

*

64

21) Ej: ¿La tarifa de un taxi es de $2.000 por km y $1.200 por cada km adicional , ¿Cuánto se paga por un recorrido de 15 kms?

r n a

L 1 *

L 2.000 15 1 *1.200

L 2.000 16.800 18.800

2

* n L

S a

S 2.000 182.800*15

S 20.8002 *15 156.000

22) Ej: Daniel ahorró $20.000 el primer mes. Si en los siguientes meses incrementa su ahorro en $5.000 mensuales, ¿qué cantidad tiene ahorrada al cabo del 5 mes?

r n a

L 1 *

L 20.000 5 1 *5.000

L 20.000 20.000 40.000

2

* n L

S a

2

5

* 000 . 40 000 .

S 20

000 . 150 2 $

5

* 000 .

S 60

23) Ej: La calificación de Carlos Alberto fue de 3.1 en el primer de siete exámenes de matemáticas. Si en cada examen siguiente obtuvo 0.5 más que en examen anterior,

¿cuánto obtuvo en el último examen?.

r n a

L 1 *

L 3.1 7 1 *0.5

1 . 6 0 . 3 1 . 3

L

INTERES SIMPLE

CONCEPTOS FUNDAMENTALES

Es importante estudiar la terminología, los conceptos y símbolos fundamentales en los cuales están basadas las matemáticas financieras.

Las matemáticas financieras son una Herramienta que facilita la toma de decisiones económico-financieras.

EQUIVALENCIA

Este concepto es generado tanto por el valor del dinero a través del tiempo, como por la tasa de interés aplicada.

El principio de equivalencia establece: una o varias sumas de dinero, pueden transformarse en otra u otras equivalentes, ubicadas en fechas distintas, siempre y cuando la tasa de interés utilizada para efectuar las transformaciones, satisfaga a ambas partes de la negociación.

Equivalencia del dinero en años diferentes tasa

anual

Índice

equivalencia 2009 2010 2011

8% 1.08 $ 439.814,80 $ 475.000 $ 513.000

12% 1.12 $ 513.392,85 $ 575.000 $ 6.44.000

15% 1.15 $ 765.217,40 $ 880.000 $ 1.012.000

20% 1.20 $ 1.000.000 $ 1.200.000 $ 1.440.000

(9)

SIMBOLOS

Durante el desarrollo de los temas se utilizaran los siguientes símbolos, cada texto cambia la totalidad o alguno de estos símbolos según los convencionalismos usados:

P: valor presente de una suma de dinero C: cantidad de dinero depositado M: es el capital inicial más los intereses F: valor futuro de una suma de dinero

A: serie de cantidades periódicas e iguales de dinero

n: número de periodos: años, meses, trimestres, bimestres, días, ects…

i: tasa de interés aplicado para el periodo acordado y se expresa como la relación que existe entre el número porcentual y 100.

FLUJO DE CAJA

Es el resultado de comparar ingresos y egresos de dinero: este puede ser positivo o negativo Flujo de caja= Ingreso – Egreso

Tabulación flujo de caja:

Es la presentación esquemática del flujo de caja.

FLUJO DE CAJA

Año Ingreso Egreso saldo flujo de caja

2007 $ 5.000.000 $ 4.000.000 $ 1.000.000 2008 $ 8.000.000 $ 5.000.000 $ 3.000.000 2009 $ 10.000.000 $ 8.000.000 $ 2.000.000 2010 $ 9.500.000 $ 12.500.000 -$ 3.000.000 Diagrama de flujo de caja

Es la presentación gráfica de los flujos de caja. Las flechas hacia arriba indican entrada de dinero y hacia abajo salidas. Cada número indica el periodo de capitalización.

Una progresión es una serie que se rige por leyes fijas y el interés simple es la aplicación de la progresión aritmética que se define como una serie en la cual cada término se forma al sumar al anterior una cantidad fija llamada razón.

El interés (I) es el dinero pagado por recibir o depositar una suma de dinero llamada capital (Ċ) durante un tiempo (n) dado, una tasa de interés (i) pagada o cobrada.

La tasa de interés (i) es el resultado de dividir el interés ganado o pagado entre la suma depositada o recibida.

C % i I

INTERES SIMPLE: (I) Es cuando el capital recibido o invertido permanece fijo durante el tiempo que dure la transacción, es decir, que al final de la operación financiera se hace efectivo y por consiguiente no se acumula al capital.

El interés simple se caracteriza por:

La tasa de interés se aplica únicamente sobre el capital inicial que se invierte u otorga en préstamo.

El capital inicial permanece invariable en el tiempo que dura la operación

El interés es igual para cada uno de los periodos del plazo de la operación

Cin

I

I C M

...

Cin Cin

Cin C

M

in P

F 1

Por ser el interés simple una progresión aritmética, su grafica es una línea recta, es decir cada año el interés es constante.

INTERESES ANTICIPADOS: Son los que se pagan en el momento de la inversión.

(10)

INTERESES VENCIDOS: Son los que se acuerdan que el rendimiento de la inversión se cancele al cumplir el Plazo pactado.

CAPITAL o VALOR PRESENTE: (C) o (P) Es la cantidad de dinero base de la operación del préstamo.

TIEMPO: (n) Es el tiempo que dura la operación de imposición del capital y que se puede especificar en años, meses, días etcs….

TASA o TANTO POR CIENTO: (i) se expresa como la relación que existe entre el número porcentual y 100 y cuando al tanto se le especifica un tiempo o periodo determinado recibe el nombre de tasa; ese periodo puede ser anual, semestral, bimestral, mensual etcs…..

MONTO o VALOR FUTURO: (M) o (F) Es la cantidad de dinero que resulta al sumar el capital Inicial más los intereses.

Las formulas quedan:

I Cin

M C I

M C Cin

F P1 in

Ej: Se depositan $1.000.000 a una tasa del 10% anual simple durante 4 años, cual será el interés producido y el monto?

000 . 100 1

* 10 . 0

* 000 . 000 . 1

I

,

I

1 . 000 . 000 * 0 . 10 * 2 2 0 0 . 0 0 0 ,

I

1 . 000 . 000 * 0 . 10 * 3 300 . 000

000 . 400 4

* 10 . 0

* 000 . 000 . 1

I

i=10% 1 año 2 año 3 año 4 año

Ċ $ 1.000.000 $ 1.000.000 $ 1.000.000 $ 1.000.000 I $ 100.000 $ 200.000 $ 300.000 $ 400.000 M $ 1.100.000 $ 1.200.000 $ 1.300.000 $ 1.400.000

INTERES

$ 500.000

$ 400.000

$ 300.000

$ 200.000

$ 100.000

1 2 3 4 5

AÑOS

Interés Simple Acumulado

n= años Interés anual Interés acumulado

1 $ 100.000 $ 100.000

2 $ 100.000 $ 200.000

3 $ 100.000 $ 300.000

4 $ 100.000 $ 400.000

CALCULO DEL INTERES SIMPLE

1)EJ: Encontrar el interés producido por un capital de $ 1.500.000 depositado por el señor Pedro Díaz, durante un periodo de 4 años a una tasa del 12.5% anual?

I=?

Ċ= $1.500.000 n=4 años

i= 12.5% anual

000

. 750 4

* 125 . 0

* 000 . 500 . 1

I

2)EJ: Que interés produce un capital de $2.200.000 al 6.6%

semestral durante un periodo de 3 años y 10 meses?

I=?

Ċ=$2.200.000

n= 3 años y 10 meses = 46 meses

i=6.6 % semestral = 1.1% mensual I Cin 200

. 113 . 1 46

* 011 . 0

* 000 . 200 . 2

$ I

3)Jaime hace u deposito de $1.000.000 por un año, en una Entidad Financiera, que le reconoce una tasa del 7.5%

trimestral, el interés es cancelado al final del año, ¿Qué suma recibe?

I=?

(11)

Ċ=$1.000.000

n= 1 año = 4 trimestres

i=7.5% trimestral I Cin

I $1.000.000*0.075*4 300.000

4) Carlos hace un depósito de $50.000 por 6 meses, en el Banco de Colombia que le reconoce una tasa de interés del 4%

trimestral, ¿Qué interés recibe Carlos?

I=?

Ċ=$50.000

n= 6 meses = 2 trimestres

i=4% trimestral I Cin

I $50.000*0.04*2 4.000

5) El señor Jairo Bermúdez obtiene un préstamo de $5.000.000 y acepta liquidarlo dentro de de año y medio y acuerda pagar unos intereses del 2.5% mensual ¿Cuánto deberá pagar de interés al mes y al año y medio?

I=?

Ċ=$5.000.000

n= 1 año y medio =18 meses

i=2.5% trimestral I Cin

I $5.000.000*0.025*1 125.000 000

. 250 . 2 18

* 025 . 0

* 000 . 000 . 5

$ I

6) EJ: Que interés produce un capital de $1.200.000 al 3 % Bimestral durante un periodo de 1 años y 3 meses y 15 días?

I=?

Ċ= $1.200.000

n=1 año, 3 meses y 15 días = 465 días

i= 3% bimestral = 0.05% diario I Cin

I 1.200.000*0.0005*465 279.000 7) EJ: Cual es el capital que impuesto a la tasa del 14.5% anual ha producido $3.000.000 en 4 años?

C=?

I= $3.000.000 n=4 años

i= 14.5% anual

in C I

0.145*4 5.172.413,79

000 . 000 . C 3

8) EJ: La sección de ahorros del banco popular liquida el interés a sus clientes, sobre saldos en trimestre calendario y reconoce una tasa de interés del 4.25%; si Luz Miriam recibió $ 60.000 de interés cada trimestre, ¿Qué suma deposito?

C=?

I= $60.000 n=1 trimestre

i= 4.25% trimestral

in C I

71 , 764 . 411 . 1 1

* 0425 . 0

000 . C 60

9) EJ: los Intereses producidos en 3 años y 6 meses alcanzan la cifra de $1.500.000 a una tasa del 7.5%

semestral, se desea conocer el capital base de dicha operación?

C=?

I= $1.500.000

n= 3 años y 6 meses = 7 semestres

i= 7.5% semestral

in C I

86

, 142 . 857 . 7 2

* 075 . 0

000 . 500 . C 1

10) EJ: Un capital de $1.000.000 ha producido intereses por la cantidad de $ 80.000 en 350 días, a que tasa anual fue colocado?

i=?

I= $80.000 Ċ= $1.000.000

n=350 días

Cn i 360I

0823 . 350 0

* 000 . 000 . 1

000 . 80

* i 360

anual i 8.23%

11) EJ: Doris Navarro compra un radio por $150.000, paga unos intereses de $30.000 en 6 meses, ¿Qué tasa de interés pago?

i=?

I= $30.000 Ċ= $150.000

(12)

n=6 meses

Cn i I

150.000*6 0.03333

000 . i 30 mensual

i 3.33%

12) EJ: Si por un deposito $2.000.000 realizado a un año por Juan Navarro en una cuenta de ahorros pagan $200.000 por concepto de intereses, ¿ Que tasa de interés trimestral reconoce la Entidad bancaria?

i=?

I= $200.000 Ċ= $2.000.000

n=12 meses = 4 trimestres

Cn i I

2.000.000*4 0.025

000 . i 200 trimestral

i 2.5%

13) EJ: Por un depósito de 5.000.000 la Corporación Financiera liquida $100.000 de interés mensual, ¿Qué tasa de interés se reconoce?

i=?

I= $100.000 Ċ= $5.000.000

n=1 mes

Cn i I

5.000.000*1 0.02

000 . i 100 mensual

i 2%

14) EJ: Mario Castañeda desea saber cuánto tiempo en años, meses y días debe tener invertidos $800.000 para que produzca una ganancia de $ 120.000 a una tasa del 6.75% semestral?

n= ¿

Ċ= $800.000 I= $120.000

i=6.75% semestral

Ci n 180I

800.000*0.0675 400 000

. 120

* n 180

días n 400

años

n 1.11

360 400

meses n 0.11*12 1.32

días n 0.32*30 10

dias mes

año

n 1 ,1 ,10

15) EJ: José Bautista desea saber cuánto tiempo en años, meses y días debe tener invertidos un capital $ 1.000.000 para que le reditúen un interés de $ 250.000 a una tasa del 4.5% trimestral?

n= ¿

Ċ=$1.000.000 I= $250.000

I= 4.5% trimestral = 0.05% diario

Ci n I

0005 500

. 0

* 000 . 000 . 1

000 . n 250

días n 500

años n 1.3888888889

360 500

meses n 0.388888888*12 4.666666667

días n 0.66666666*30 20

dias meses

año

n 1 ,4 ,20

16) EJ: hace un deposito Juan Carlos por $1.500.000 en una Institución Financiera, que paga el 2.5% mensual,¿ cuánto tiempo debe dejarse el depósito para obtener por concepto de intereses la suma de $450.000?

n= ¿

Ċ=$1.500.000 I= $450.000

I= 2.5% mensual

Ci n I

025 12

. 0

* 000 . 500 . 1

000 . n 450

meses n 12

17) EJ: La empresa Noel emitió bonos en el 2000 con una tasa de interés del 23% anual, si María Cristina compro un bono de $50.000 y obtuvo $57.500 por concepto de interés en todo el plazo, ¿cuál es el periodo en años en que estuvo el bono en liquidación?

n= ¿

(13)

Ċ=$50.000 I= $57.500

I= 23% anual

Ci n I

50.000*0.23 5 500

. n 57

años n 5

VALOR FUTURO Y VALOR PRESENTE EN INTERES SIMPLE

P: valor presente de una suma de dinero C: cantidad de dinero depositado M: es el capital inicial más los intereses F: valor futuro de una suma de dinero

A: Serie de cantidades periódicas e iguales de dinero (Anualidad) n: Número de periodos: años, meses, trimestres, bimestres, días, ects…

i: tasa de interés aplicado para el periodo acordado y se expresa como la relación que existe entre el número porcen tual y 100.

FORMULAS

P i I

I F P Cin

I

I C

M

M C Cin

M C 1 in

in P

F 1

in

P F 1

1 1 P F n i

Pi P n F

1 1 P F

i n

Pn

P i F

EJERCICIOS INTERES SIMPLE, VALOR PRESENTE Y VALOR FUTURO

1) EJ: ¿Que cantidad de dinero debe depositar ahora Pedro Medina a interés simple en una cuenta que paga el 12%

anual si se desea retirar al final del tercer periodo $ 1.000.000?

P=?

F=$1.000.000 n= 3 años

i= 12% anual

in P F

1

294 . ) 735 3

* 12 . 0 ( 1

000 . 000 . P 1

2) EJ: Juan Pablo participa en un sorteo y le tocó el decimo octavo mes para cobrar y recibe $3.200.000, ¿cuánto debe depositar inicialmente para participar, sabiendo que reconocen una tasa del 1% mensual?

P=?

F=$3.200.000 n= 18 meses

i= 1% mensual

in P F

1

41 , 864 . 711 . ) 2 18

* 01 . 0 ( 1

000 . 200 . P 3

3) EJ: ¿Luis Castro presta hoy $4.200.000 a un interés del 6% Bimestral, ¿ al final de los 18 meses que valor debe recibir?

F=?

C=$4.200.000

n= 18 meses = 9 bimestres

i= 6% bimestral F P1 in

000

. 468 . 6 ) 9

* 06 . 0 1 ( 000 . 200 . 4 F

4) EJ: Que tasa anual se está aplicando, si por $500.000 que coloca Juan Ramírez durante 4 años recibe al final del periodo $ 800.000?

(14)

1 1 P F i n

15 . 0 000 1

. 500

000 . 800 4 i 1

anual i 15%

Pn P i F

15 . 4 0

* 000 . 500

000 . 500 000 . i 800

i 15%anual

5) EJ: Cuanto tiempo debe esperar Luis Cárdenas para que un capital de $4.000.000 se convierta en $5.600.000 a un interés de 2% mensual simple?.

1 1 P F n i

000 1 . 000 . 4

000 . 600 . 5 02 . 0 n 1

1 4 . 1 50 n

meses n 500.4 20

Pi P n F

meses

n 20

02 . 0

* 000 . 000 . 4

000 . 000 . 4 000 . 600 . 5

6) Ej: Juan Caicedo tiene un capital de $10.000.000 y lo invierte a una tasa del 12% anual, ¿ cuál es el valor de los Intereses producidos en 18 meses?

I=?

Ċ=$10.000.000 n= 18 meses

i=12% anual = 1% mensual Cin

I

I $10.000.000*0.01*18 1.800.000

7) Ej: Cuál será el capital que coloca Ana Becerra al 8% anual, el cual produce en 2 años unos interés de $720.000?

Ċ=?

I= $720.000 n= 8 años i=8% anual

in C I

0.08*2 4.500.000

000 . C 720

8) Ej: Cuál será la tasa de interés anual a la que fue colocado un capital de $4.000.000 por Carmen Botello, para que en 42 meses produjera unos intereses de

$800.000?

i=?

Ċ=$4.000.000 I= $800.000

n=42 meses 3.5 años

Cn i I

4.000.000*3.5 0.05714

000 . i 800

anual

i 5.71%

9) Ej: Durante cuánto tiempo en días debe imponerse un capital de $7.200.000 para que al 18% anual produzca unos interés de$1.800.000?

n=?

Ċ=$7.200.000 I=$1.800.000

i=18% anual = 0.05% diario

Ci n I

n 7.200.000*0.0005 500días 000

. 800 . 1

10) Ej: Si Pedro Rojas deposita $3.500.000 y al cabo de cinco meses gana $70.000 de intereses, cuál es la tasa de interés mensual de la transacción?

i=?

I= $70.000 P=$3.500.000

P i I

3.500.000 0.02

000 . i 70

mensual

i 2%

11) Ej: Antonio Castro presta hoy $20.000.000 a un interés del 1.5% mensual, ¿Cuánto es lo que recibe al final de los 24 meses?

(15)

F=?

P= $20.000.000 i=1.5 % mensual n= 24 meses

in P

F 1

F 20.00.000(1 0.015*24) 27.200.000

12) Ej: ¿Cuál será el valor acumulado de un capital de $1.548.000, que se prestó durante 300 días a una tasa del 18% anual?

F=?

P= $1.548.000

i=18% anual 1.5% mensual n=300 días = 10 meses

in P

F 1

F 1.548.0001 0.015*10 1.780.200

13) Ej: ¿Que capital fue prestado por Martha Díaz a la tasa del 15% anual, si al vencimiento de los 360 días se recibió el pago de $7.500.000?

P=?

F= $7.500.000 i=15% anual

n=360 días = 1 año

in P F

1

1 0.15*1 6.521.739,13

000 . 500 . P 7

14) Ej: El valor Final que ha recibido Betty Díaz como pago de un préstamo es de $12.250.000, el tiempo que estuvo vigente el préstamo es de 1 año y 6 meses a la tasa del 18% anual. Qué capital se prestó?

P=?

F= $12.500.000

i=18% anual 1.5% mensual n= 1 año,6meses = 18 meses

in P F

1

1 0.015*18 9.6 4 5.6 6 9,3

000 . 250 . P 12

15) Ej: La señora Carmen Bautista debe cancelar dentro de 20 meses la suma de $ 14.200.000 a un interés del 2.5 mensual.

¿Cuál era el valor inicial de la obligación?

P=?

F= $14.200.000 i=2.5% mensual n=20 meses

in P F

1

67 . 666 . 466 . 20 9

* 025 . 0 1

000 . 200 . P 14

16) EJ: ¿Que tasa mensual se está aplicando, si por

$2.000.000 que coloca Juan Díaz a interés simple durante 40 meses se recibe al final $ 4.000.000?

i=?

F= $4.000.000 P=$2.000.000 n=40 meses

n P F i

1

025 . 40 0

000 1 . 000 . 2

000 . 000 . 4 i

me n s u a l i 2.5

Pn P i F

025 . 40 0

* 000 . 000 . 2

000 . 000 . 2 000 . 000 . i 4

me n s u a l i 2.5

17) EJ: ¿Que tasa semestral se está aplicando, si por

$1.500.000 que coloca Pedro Bautista a interés simple durante 4 años se recibe al final $ 3.000.000?

i=?

(16)

F= $3.000.000 P=$1.500.000

n=4 años = 8 semestres

n P F i

1

125 . 8 0

000 1 . 500 . 1

000 . 000 . 3 i

s e me s t r a l i 12.5

Pn P i F

125 . 8 0

* 000 . 500 . 1

000 . 500 . 1 000 . 000 . i 3

i 12.5semestral

18) EJ: Jairo Rojas compra una automóvil el 1 de Enero de 2009 en $10.000.000 y lo vendió 16 meses después en $16.000.000,

¿que tasa de interés mensual le rindió su inversión?

i=?

F= $16.000.000 P=$10.000.000 n= 16 meses

n P F i

1

0 3 7 5 .

16 0 000 1 . 000 . 10

000 . 000 . 16 i

me n s u a l i 3.75

Pn P i F

0375 . 16 0

* 000 . 000 . 10

000 . 000 . 10 000 . 000 . i 16

i 3.75mensual

19) EJ: ¿Cuánto tiempo debe esperar Luis Jácome para que un capital de $2.500.000 se convierta en $5.000.000 a un interés de 2.5% mensual simple?.

n=?

F= $5.000.000 P=$2.500.000 i=2.5% mensual

i P F n

1

m e s e s

n 40

025 . 0

000 1 . 500 . 2

000 . 000 . 5

Pi P n F

me s e s

n 40

025 . 0

* 000 . 500 . 2

000 . 500 . 2 000 . 000 . 5

20) EJ: ¿Cuánto tiempo meses debe esperar Sergio Santos para que un capital de $2.500.000 se convierta en

$4.000.000 a un interés de 4% semestral simple?.

n=?

F= $4.000.000 P=$2.500.000 i= 4% semestral

i P F n

1

s e m e s t r e s

n 15

04 . 0

000 1 . 500 . 2

000 . 000 . 4

me s e s

n 15*6 90

Pi P n F

semestres

n 15

04 . 0

* 000 . 500 . 2

000 . 500 . 2 000 . 000 . 4

meses

n 15*6 90

21) EJ: ¿ En cuánto tiempo en años, meses y días Luis Pérez triplica un capital, si se paga a una tasa de interés del 16%

anual?

n=?

F= $3 P=$1

i= 16% anual

(17)

i P F n

1

a ñ o s

n 12.5

16 . 0 1 1 3

n

12

a ñ o s

, 6

me s e s

TALLER GRUPAL DE INTERES SIMPLE, VALOR PRESENTE Y VALOR FUTURO

Cin I

in C I

Cn i I

Ci n I

in P

F 1

in

P F

1

n

P F i

1

i

P F n

1

1)Ej: Juan Caicedo tiene un capital de $10.000.000 y lo invierte a una tasa del 12% anual, ¿ cuál es el valor de los Intereses producidos en 18 meses?

2)Ej: Cuál será el capital que coloca Ana Becerra al 8% anual, el cual produce en 2 años unos interés de $720.000?

3)Ej: Cuál será la tasa de interés anual a la que fue colocado un capital de $4.000.000 por Carmen Botello, para que en 42 meses produjera unos intereses de $800.000?

4)Ej: Durante cuánto tiempo en días debe imponerse un capital de $7.200.000 para que al 18% anual produzca unos interés de$1.800.000?

5)Ej: Si Pedro Rojas deposita $3.500.000 y al cabo de cinco meses gana $70.000 de intereses, cuál es la tasa de interés mensual de la transacción?

6)Ej: Antonio Castro presta hoy $20.000.000 a un interés del 1.5% mensual, ¿Cuánto es lo que recibe al final de los 24 meses?

7)Ej: Cuál será el valor acumulado de un capital de $1.548.000, que se prestó durante 300 días a una tasa del 18% anual?

8)Ej: Que capital fue prestado por Martha Díaz a la tasa del 15% anual, si al vencimiento de los 360 días se recibió el pago de

$7.500.000?

9)Ej: El valor Final que ha recibido Betty Díaz como pago de un préstamo es de $12.250.000, el tiempo que estuvo vigente el préstamo es de 1 año y 6 meses a la tasa del 18% anual. Qué capital se prestó?

10)Ej: La señora Carmen Bautista debe cancelar dentro de 20 meses la suma de $ 14.200.000 a un interés del 2.5 mensual. ¿Cuál era el valor inicial de la obligación?

11)EJ: ¿Que tasa mensual se está aplicando, si por

$2.000.000 que coloca Juan Díaz a interés simple durante 40 meses se recibe al final $ 4.000.000?

12)EJ: ¿Que tasa semestral se está aplicando, si por

$1.500.000 que coloca Pedro Bautista a interés simple durante 4 años se recibe al final $ 3.000.000?

13)EJ: ¿Jairo Rojas compra una automóvil el 1 de Enero de 2009 en $10.000.000 y lo vendió 18 meses después en

$16.000.000, ¿qué tasa de interés mensual le rindió su inversión?

14)EJ: ¿Cuánto tiempo debe esperar Luis Jácome para que un capital de $2.500.000 se convierta en $5.000.000 a un interés de 2.5% mensual simple?.

15)EJ: ¿Cuánto tiempo en meses debe esperar Sergio Santos para que un capital de $2.500.000 se convierta en

$4.000.000 a un interés de 4% semestral simple?.

16)EJ: ¿ En cuánto tiempo en años, meses y días Luis Pérez triplica un capital, si se paga a una tasa de interés del 16%

anual?

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