Medición del módulo de elasticidad de Young

Laboratorio 4

Dpto. de Física - FCEyN - UBA

Medición del módulo de elasticidad de Young

Objetivo: Determinación del módulo de Young de diversos materiales (acero, aluminio, cobre,

grilon, etc.) a partir de la deflexión de una viga voladiza con un peso en un extremo (método estático) y de las oscilaciones libres de la viga (método dinámico).

Procedimiento experimental

a)

Método estático

En esta práctica se propone medir el módulo de Young empleando un arreglo experimental como el que se muestra en la Fig. 1. La barra, isótropa y homogénea, tiene uno de sus extremos empotrado (en una morsa) mientras que en el otro extremo se cuelga una masa m. Si la masa es suficientemente pequeña, de modo que el radio de curvatura de la barra (R) sea mucho mayor que su diámetro (

d),

a partir de la deflexiónde la misma se puede calcular el módulo de Young.

Figura 1:Arreglo experimental utilizado para determinar el módulo de Young

Con el sistema de coordenadas presentado en la Fig. 1 y el desarrollo teórico que se detalla en el Apéndice A la deflexión y de la barra resulta [1]

y x d mg E L x x ( )= − 32 ( −1 ) 3 4 2 3 π (1) laser morsa barra pesa lámina adherida a la barra lámina anexa al soporte regulable pantalla soporte x L y x

gravedad y E el módulo de Young del material. (¿Por qué no aparece en (1) la masa de la barra?) En síntesis, midiendo los apartamientos verticales para x y L fijos y diferentes masas, se puede representar y vs. M, ajustar los datos mediante una regresión lineal y determinar E de la pendiente de dicho ajuste. ¿Qué representa la ordenada al origen? ¿A partir de qué masa deja de ser válida la ley de Hooke para cada material? Cuando deja de ser un proceso lineal, ¿continúa siendo elástico? (Observe si queda alguna deformación remanente cuando retira la pesa: si ésta es constante se trata de una deformación plástica y si disminuye en el tiempo corresponde a un proceso anelástico (si la deformación a tiempos largos es cero) o a uno viscoelástico (si a tiempos largos permanece una deformación no nula).

Como la deflexión y es muy pequeña (estime el orden de magnitud con los datos de la Tabla del Apéndice A y valores razonables de d, x y L) se debe emplear un método muy sensible para medirla. Se propone un método óptico análisis de un patrón de difracción para determinar el ancho de una rendija formada por dos láminas delgadas de acero: una de ellas adherida a la barra flexionada y la otra suspendida de un soporte regulable.

Considerando válida la teoría de difracción de Fraunhofer [2,3], (¿Cuáles son las suposiciones de la misma? ¿Se cumplen en su caso?) para una rendija de ancho y, el mínimo de orden n tendrá asociado una posición en la pantalla dn tal que:

y senΘn= n λ

donde

λ

es la longitud de onda del haz difractado y senΘn = dn/D

,

donde D es la distancia de la

rendija a la pantalla. Luego

y=λ D n/dn

¿Con qué precisión logra medir y? ¿Qué método alternativo le permitiría medir con mejor precisión esta magnitud?

b) Método dinámico

Al arreglo experimental ya dispuesto se le agrega una fotocelda que actúa como sensor de la deflexión de la barra y que puede conectarse a una placa digitalizadora del tipo PLI.

La teoría, detallada en el Apéndice B, establece que los modos de oscilación de la barra tendrán frecuencias ωk dadas por [4]

2 2 0 δ ω ω k = k − donde l k K E I ρ ω2 0 = , b E I l ρ δ 2

= , donde k es un entero pero K no lo es y tiene unidades de 1/longitud (Ver Apéndice B ),

I

es el momento de inercia de la barra por unidad de masa, ρl es la densidad

lineal de masa de la barra y b un coeficiente que tiene en cuenta el rozamiento. Estime el valor de estas frecuencias (sólo los primeros modos) suponiendo que no hay amortiguamiento. En base a esto piense cómo efectuará la adquisición de la “posición” de la barra en función del tiempo. A partir de la adquisición determine las frecuencias de oscilación. ¿Es necesario corregir por el efecto del rozamiento? Determine un método para estimar el rozamiento del sistema.

Apéndice A

Cuando se aplica una fuerza de módulo

F

sobre los extremos de una barra, ésta experimenta una elongación ∆l=l-l0, donde l0

y

l son las longitudes inicial e instantánea de la misma. Se definen la

tensión σ como la fuerza normal aplicada por unidad de área A y la deformación ε como la variación relativa de longitud del cuerpo, esto es,

σ = F ε =

A

l l

∆

Dentro del rango elástico de los materiales, la tensión y la deformación son proporcionales, verificándose una relación del tipo

σ = E .ε

(ley de Hooke)

donde el factor de proporcionalidad

E

es el módulo de Young o elástico, característico del material. La Tabla I consigna valores típicos de este módulo para varios materiales.

Tabla I: Módulo de Young de diferentes materiales [5,6].

Material E (GPa) aluminio 71 bronce 110 vidrio 40 - 90 cobre 123 acero 210 madera 10 - 15

grilon (copolímero de nylon - 612) 1.58 - 3.79

teflon (politetrafluoretileno) 0.40 - 0.55

acrílico (polimetacrilato de metilo) 2.24 - 3.29

Si consideramos una sección transversal cualquiera de la barra, como consecuencia del Principio de Acción y Reacción, el material que está a un lado de la misma ejercerá fuerzas iguales y de sentido contrario sobre el que está del otro lado. De acuerdo a la dirección de esas fuerzas interiores, para cada sección transversal se manifestarán momentos internos, que recibirán su nombre de acuerdo a la dirección de la fuerza. Así, si la barra se somete a esfuerzos transversales, como se representa en la Fig. A1 a), se hablará de momentos flectores; si se efectúan esfuerzos de corte, como los señalados en la Fig. A1 b), se manifestarán momentos torsores. Si las fuerzas normales y de corte son nulas para una dada sección transversal, se hablará de flexión pura.

Figura A1: a) momento flector, b) momento torsor.

Consideremos un segmento de una barra curvada en un ensayo de flexión pura, como el que se muestra en la Fig. A2. El material de la parte interna de la barra está comprimido mientras que en la parte externa está estirado; existe en la parte central una superficie neutra, en la cual el material no sufre deformaciones.

Fig. A2: Detalle de cortes de la viga sometida a flexión pura: (a) longitudinal, (b) transversal. Como la fuerza depende del estado de tensiones en la viga, ésta será función de la coordenada h. De la ley de Hooke resulta

F(h)

dA E

Dl l

=

donde F(h) es la fuerza aplicada a una altura h medida con respecto a la superficie neutra y δA es la sección transversal de la viga comprendida entre h y h+dh.

Considerando que

R h

l

Dl

h

l

R

h

l

l

+

+

=

=

0 0

∆

∆

resulta F(h) dA R E h = (A2) h F(h) x h ∆h (a) (b)

superficie neutra. Integrando la densidad de momentos en toda la sección transversal se obtiene el momento total

M =

∫

dA h F h( )

A (sección transversal)

Y utilizando (A2) resulta

M E R I = (A3) donde se define I dA h A =

∫

2 .

La ecuación (A2) se conoce con el nombre de ecuación de la viga ya que permite hallar la forma de una varilla en distintas situaciones de esfuerzo. En particular ,aplicando esta ecuación se puede determinar cuál es la forma de la viga voladiza con un peso en uno de sus extremos.

De la teoría de cálculo en dos variables resulta que la inversa del radio de curvatura está relacionada con la ecuación de la curva por [7]

1 1 2 2 2 3 2 R d y dx dy dx = +           /

Ya que la deformación de la viga será pequeña será |dy/dx| <<1, luego

1 2 2 2 2 R d y d x d y d x = = −

y reemplazando en la ecuación de la viga resulta

M EI d y

dx

= − 2₂

Por otra parte, el momento de flexión en la posición x está relacionado con la carga de la viga (P

= mg) según

M = P (L - x)

Luego, P L x EId y dx ( − )= − 2 2

Integrando esta ecuación, con las condiciones de contorno: y(x=0)=0; dy/dx(x=0)=0 y sabiendo que para un cilindro I = π d4/64 resulta la ecuación

y x d mg E L x x ( )= − 32 ( −1 ) 3 4 2 3 π

Apéndice B

La ecuación que rige la evolución espacio temporal del desplazamiento de una viga está dada por [4]

∂ ∂ ∂ ∂ ρ ∂ ∂ 4 4 2 2 0 s x b s t I E s t l + + = (B1)

donde el término proporcional a la derivada de s señala los efectos del amortiguamiento. Proponiendo la separación de variables

s(x,t)=Y(t). X(x)

y reemplazando esta forma funcional para s en B1 resulta && & Y Y Y X k X o iV + + = − = 2 0 0 2 2 δ ω donde y ₀2 2 2 _l k _lKk IE b IE ρ ω ρ δ = =

La solución para

Y(t)

resulta ser una senoidal amortiguada, con amortiguamiento

δ

y frecuencia

ω = ω0 −δ

2 2

k . La solución para X(x) es

X(x)=Acos(Kk x)+Bsen(Kk x) + Ccosh(Kk x) +Dsenh(Kk x)

Las condiciones de contorno que se le imponen al problema son escritas en términos de la función X(x):

X(0)=X´(0) (por fijar la viga con una morsa plana. Si se fijase con una cuchilla por ejemplo, X´(0) no está forzada a valer 0)

X´´(L)=X´´´(L)=0 (la derivada segunda nula en L define el radio de curvatura en L infinito)

Estas condiciones fijan que K debe verificar:

cos(Kk L)cosh(Kk L)+1=0

De esta ecuación trascendente resultan los valores de K:

K1= 1.875/L; K2= 4.694/L; K3= 7.855/L

Al excitar la barra probablemente no se existe solo un modo de oscilación, por lo tanto

s(x

0

,t)

será

Referencias

1. P. Feynman, R. B. Leighton y M. Sands, The Feynman Lectures on Physics, Vol. I, Fondo Educativo Interamericano, E.E.U.U. (1971).

2. F. Jenkins y H. White, Fundamentals of Optics, 2a edición (1950).

3. M. Born y E. Wolf, Principles of Optics; Electromagnetic Theory of Propagation, Interference

and Diffraction of Light, 6a edición (1980).

4. L. D. Landau y E. M. Lifshitz, Theory of Elasticity, Pergamon Press, Oxford (1959). 5. H. Kuchling, Taschenbuch der Physik, Verlag Harrl Deutsch, Leipzig (1988), pág. 591. 6. W. B. Callister, Materials Science and Engineering, John Wiley & Sons, New York (1995). 7. S.C.Hunter, Mechanics of continuous media. John Willey &Sons Inc, (1986) Chapter 14

(método dinámico) .