DIAGRAMAS DE PENROSE DE LAS SOLUCIONES DE SCHWARZSCHILD (ANTI)- DE SITTER

FACULTAD DE CIENCIAS DE GRANADA

DEPARTAMENTO DE F´ISICA TE ´ORICA Y DEL COSMOS

DIAGRAMAS DE PENROSE DE LAS

SOLUCIONES DE SCHWARZSCHILD (ANTI)- DE SITTER

Trabajo de fin de m´ aster para la obtenci´ on del m´ aster en F´ısica y Matem´ aticas (FisyMat).

Autor:

Jose Mar´ıa P´erez Poyatos

Tutor:

Bert Janssen

3 Muchas gracias a mis padres, por estar siempre ah´ı y soportar mis enfados cuando no me sal´ıan las cuentas. Gracias a ellos soy lo que soy a d´ıa de hoy, ya que me han inculcado el trabajo y la constancia en todo lo que hago.

Muchas gracias a mi amigo Antonio Luis por la portada y por nuestro reencuentro en una misma clase despu´es de 4 a˜nos de carrera. Juntos hemos vuelto a revivir los momentos de 1^o y 2^o de bachillerato en los que nos dedic´abamos a dibujar agujeros negros y hacer matem´aticas en las mesas durante las clases de franc´es. Junto a ´el lo he pasado de una forma que de otra manera hubiese sido impensable.

“Ahora seremos felices los 4: t´u, tu TFM, yo y el mio” (con mi amigo Sergio durante la noche tras acabar los ejercicios de Joaqu´ın.) A Sergio, Patri y Juanfran, por haberme pr´acticamente adoptado en su piso durante los dos ´ultimos meses del m´aster.

A mis compa˜neros de piso y al resto de mis amigos de toda la vida, con los que tantas correr´ıas de adolescente he vivido, pero sobre todo a ˜No˜no, por redescubrirme mi pasi´on por la f´ısica all´a por 3^o de la ESO.

Finalmente, gracias a mis profesores, sin los cuales jam´as habr´ıa llegado tan lejos.

DECLARACIÓN

En cumplimiento de la normativa aprobada en Consejo de Gobierno de 4 de marzo de 2013, sobre Directrices de la Universidad de Granada para el desarrollo de la asignatura "Trabajo Fin de Máster" de sus títulos de máster (Art 8,4)

D.Dª ...

Asume la originalidad del trabajo fin de máster, entendida en el sentido de que no ha utilizado fuentes sin citarlas debidamente.

Granada, a …… de ………... de 201…

Fdo.:

Jose María Pérez Poyatos

30 Junio 7

´ Indice general

1. Preliminares 9

1.1. Convenios y definiciones . . . 9

1.2. Relatividad General y ecuaci´on de campo de Einstein . . . 14

1.3. Contenido de la ecuaci´on de Einstein . . . 15

2. Transformaciones conformes y diagramas de Penrose 17 2.1. Transformaciones de Weyl . . . 18

2.2. Construcci´on de las coordenadas de Kruskal . . . 20

2.3. Compactificaci´on conforme . . . 26

2.4. Diagrama de Penrose del espacio de Minkowski . . . 28

3. Diagramas de Penrose de soluciones cl´asicas 31 3.1. El agujero negro de Schwarzschild . . . 31

3.2. El espacio de De Sitter . . . 37

3.3. El espacio de anti-De Sitter . . . 42

4. Diagramas de Penrose de las soluciones de Schwarzschild (anti)- De Sitter 47 4.1. La soluci´on de Schwarzschild De Sitter . . . 47

4.1.1. Caso subextremal, R₀ > 3√ 3M . . . 48

4.1.2. Caso sobreextremal R0 < 3√ 3M . . . 54

4.1.3. Caso extremal R₀ = 3√ 3M . . . 57

4.2. La soluci´on de Schwarzschild anti-De Sitter . . . 60 A. C´alculo del invariante de Kretschmann para una m´etrica esf´eri-

camente sim´etrica y est´atica 69

B. C´alculo de la conexi´on de Levi-Civita para una m´etrica conforme 73 C. Breves comentarios acerca del universo est´atico de Einstein 75

Bibliograf´ıa 77

5

Resumen

En este trabajo de fin de m´aster nos proponemos estudiar m´as en detalle la es- tructura causal de diferentes soluciones de la ecuaci´on de Einstein. El a˜no anterior, en el trabajo fin de grado para la obtenci´on del t´ıtulo de graduado en F´ısica, es- tudiamos las soluciones cl´asicas de la ecuaci´on de Einstein, a saber: el espacio de Minkowski, el agujero negro de Schwarzschild y Reissner- Nordstr¨om, los espacios de (anti)- De Sitter, y, una vez comprendidas ´estas en detalle, nos aventuramos a explorar las soluciones de Schwarzschild De Sitter y Schwarzschild- anti- De Sitter y estudiamos sus propiedades usando las coordenadas de Eddington-Finkelstein avanzadas y retardadas. En este proyecto vamos a estudiar los diagramas de Pen- rose de estas soluciones, lo cual nos permitir´a estudiar sus propiedades asint´oticas en el infinito.

La estructura del proyecto va a ser la siguiente: comenzaremos con una peque˜na introducci´on donde fijaremos la notaci´on y algunos conceptos b´asicos sobre geo- metr´ıa diferencial para despu´es ir a la parte donde hablamos de las herramientas matem´aticas en las que vamos a apoyarnos para dibujar nuestros diagramas de Penrose; tras ello, construiremos un m´etodo que no proviene de ninguna fuente bibliogr´afica sino del trabajo propio para dar unas coordenadas globales en nues- tra variedad y, finalmente, dibujaremos las soluciones m´as emblem´aticas de las ecuaciones de Einstein para culminar con los cuatro diagramas que dan nombre a este proyecto.

Hay que destacar que, al ser un proyecto que se apoya en el del curso anterior, ha- remos muchas referencias a [1] y [2] para ver con m´as cuidado tanto algunos de los c´alculos que aqu´ı se mencionan en grandes l´ıneas, debido a que tenemos un espa- cio acotado para escribir nuestro proyecto, como todas las figuras que presentamos acerca de las coordenadas de Eddington-Finkelstein ˙A´un as´ı, se ha intentado que este proyecto sea lo m´as autocontenido posible intentando que el lector no tenga que consultar ninguna de esas dos principales fuentes bibliogr´aficas en las que nos apoyamos a no ser que tenga curiosidad por ver de forma expl´ıcita algunas de las expresiones que mencionamos.

7

Por ´ultimo, mencionar que las figuras de las que no mencionamos su procedencia, han sido realizadas por el autor de este proyecto.

Cap´ıtulo 1 Preliminares

1.1. Convenios y definiciones

En esta secci´on vamos a introducir la notaci´on que vamos a utilizar a lo largo de todo este proyecto y a continuaci´on definiremos los conceptos b´asicos que vamos a utilizar en las siguientes secciones.

Convenio 1. En este proyecto usaremos el sistema de unidades naturales, en el cual, las constantes fundamentales de la naturaleza las tomamos igual a uno, esto es: c = ~ = G = 1. Para nosotros, las principales consecuencias derivadas de esta elecci´on de unidades es que tiempo y espacio tienen las mismas dimensiones, al igual que masa y espacio.

Convenio 2. En lo subsiguiente, se utilizar´an ´ındices latinos en las definiciones matem´aticas siempre y cuando en ´estas no aparezca ninguna magnitud f´ısica, mien- tras que si interviene una magnitud f´ısica se usar´an los ´ındices griegos.

Convenio 3. Como en la mayor´ıa de la literatura sobre Relatividad General, asumiremos el convenio de ´ındices repetidos o convenio de sumaci´on de Einstein, esto es, si hay un ´ındice arriba y otro abajo iguales, esto indica suma sobre todos los valores posibles del ´ındice. Por ejemplo, los elementos de matriz del producto de dos matrices se escribir´ıan en este convenio:

C_jⁱ =X

k

Aⁱ_kB_j^k .

= Aⁱ_kB_j^k

Definici´on 1. Principio de Covariancia Generalizado. Las leyes de la F´ısica deben tener la misma forma en todos los sistemas de referencia.

Esto es necesario, puesto que la f´ısica no debe depender del observador. Esta definici´on, nos obliga a trabajar en variedades y con objetos definidos sobre ellas, dado que estos transforman de forma adecuada ante cambios de coordenadas.

9

Definici´on 2. Un espacio-tiempo es una terna (M, g, T ) donde M es una variedad diferenciable, g es una m´etrica de Lorentz que tiene la propiedad de ser orientable temporalmente y T es dicha orientaci´on temporal, generalmente tomada hacia el futuro.

Los objetos que se pueden construir sobre una variedad que van a interesarnos, debido a que transforman bien ante cambios generales de coordenadas, son los tensores. De hecho ya en la definici´on anterior nos ha aparecido uno, que es el tensor m´etrico.

Definici´on 3. Un tensor r-contravariante y s-covariante sobre una variedad M es una aplicaci´on multilineal T : T_pM^r× TpM^s → R, que ante cambios generales de coordenadas, esto es, un difeomorfismo y^µ = y^µ(x^ν) donde x^ν son las coordenadas antiguas e y^µ son las nuevas, transforma como sigue

T^i1i2...ir_j1j2...js(y) = ∂yⁱ¹

∂x^k1

∂yⁱ²

∂x^k2...∂y^ir

∂x^kr

∂x^l1

∂y^j1

∂x^l2

∂y^j2...∂x^ls

∂y^jsT^k1k2...kr_l

1l2...ls(x). (1.1) En este proyecto estamos interesados en un tipo concreto de tensor m´etrico, ya que trabajaremos con m´etricas esf´ericamente sim´etricas y est´aticas.

Definici´on 4. Una m´etrica se dice que es esf´ericamente sim´etrica si es invariante ante la acci´on del grupo SO(3) de rotaciones del espacio y est´atica si verifica que

∂_tg_ij = 0, donde t es la coordenada temporal, y adem´as posee la simetr´ıa t ↔ −t.

Si verifica esto, podremos escribirla de la forma

ds² = A(r)dt²− A⁻¹(r)dr²− r²dΩ²₂, (1.2) lo cual se denomina Ansatz esf´ericamente sim´etrico y est´atico. Aqu´ı, el rango de nuestras coordenadas es t∈ (−∞, +∞), r ∈ (0, +∞), ϕ ∈ [0, 2π) y θ ∈ [0, π).

En nuestra variedad, necesitaremos derivar, dado que la velocidad y la aceleraci´on son magnitudes f´ısicas que se calculan como las derivadas de la posici´on respecto del tiempo

Definici´on 5. La conexi´on de Levi-Civita es una derivaci´on que act´ua sobre los tensores de la siguiente forma:

∇^kT^i1...ir_j1...js = ∂kT^i1...ir_j1...js+ Γⁱ_kl¹T^l...ir _j1...js + ... + Γⁱ_kl^rT^i1...l _j1...js

− Γ^lkj1T^i1...ir_l...j

s − ... − Γ^lkjsT^i1...ir_j

1...l , (1.3) donde Γⁱ_jk son los s´ımbolos de Christoffel que se definen a partir de la m´etrica

Γ^k_ij = 1

2g^kl(∂_ig_lj+ ∂_jg_il− ∂^kg_ij). (1.4) De esta expresi´on, se pueden deducir dos propiedades de la conexi´on de Levi-Civita, que la determinan de forma ´unica:

1.1. CONVENIOS Y DEFINICIONES 11 1. La conexi´on de Levi-Civita es sim´etrica, esto es

Γ^k_ij = Γ^k_ji. (1.5)

2. Paraleliza a la m´etrica:

∇^kg_ij = 0. (1.6)

Definici´on 6. El operador derivada covariante, _dτ^D, de una magnitud a lo largo de una curva x^µ(τ ) parametrizada por el arco por la variable τ , viene dada a trav´es de la expresi´on

D

dτ = u^µ∇^µ , (1.7)

donde ∇^µ asumiremos que es la conexi´on de Levi-Civita y u^µ = ˙x^µ es el vector tangente a la curva, que para nosotros ser´a la cuadrivelocidad, de ah´ı que hayamos usado ´ındices griegos en la definici´on.

Como es conocido, la Relatividad General nos habla sobre la curvatura del espacio- tiempo, por lo tanto necesitaremos operadores que nos la describan.

Definici´on 7. El tensor de Riemann, aparece de calcular la expresi´on

[∇ⁱ,∇^j]V^k=−Rijl^kV^l. (1.8) Esto nos dice, que al contrario de lo que suced´ıa con las derivadas parciales or- dinarias, las derivadas covariantes no conmutan. Las coordenadas del tensor de Riemann se pueden calcular a trav´es de los s´ımbolos de Christoffel

R_ijk^l = ∂_iΓ^l_jk − ∂^jΓ^l_ik+ Γ^l_isΓ^s_jk− Γ^ljsΓ^s_ik. (1.9) Este tensor contiene la informaci´on acerca de la curvatura encerrada en el cua- dril´atero formado por las direcciones i y j.

Definici´on 8. El tensor de Ricci es el tensor 2-covariante formado al contraer el segundo ´ındice del tensor de Riemann con el cuarto:

R_ij = R_ikj^k. (1.10)

En funci´on de los s´ımbolos de Christoffel, este tensor se puede expresar de la forma R_ij = ∂_iΓ^k_kj− ∂kΓ^k_ij + Γ^k_isΓ^s_kj − Γ^kksΓ^s_ij, (1.11) Definici´on 9. Llamaremos escalar de Ricci a la traza del tensor de Ricci, esto es:

R = g^ijR_ij (1.12)

Definici´on 10. Diremos que un espacio con una m´etrica lorentziana tiene cur- vatura constante, si el tensor de Riemann 4-covariante R_ijkl se puede escribir en t´erminos de la m´etrica de la forma

R_ijkl= C (g_ikg_jl− g^ilg_jk) = −R

12(g_ikg_jl− g^ilg_jk) (1.13) Debemos tener cuidado con esta definici´on, pues s´olo es v´alida para dimensi´on cuatro que son los espacios en los que estamos interesados. En general, la constante multiplicativa es la siguiente:

C = − R

n (n− 1).

Donde n es el n´umero de dimensiones del espacio considerado. Adem´as, C > 0 si el espacio tiene curvatura negativa y C < 0 para espacios con curvatura positiva.

Sobre una variedad podemos definir curvas.

Definici´on 11. En geometr´ıa semi-riemanniana existen varios tipos de curvas, a saber:

1. Temporales, si verifican g_µν˙x^µ˙x^ν = +1. Son las trayectorias de part´ıculas masivas libres en el espacio-tiempo. Tambi´en se conocen como observadores.

2. Nulas, si verifican g_µν˙x^µ˙x^ν = 0, adem´as, estas curvas son las que siguen los rayos luminosos o fotones.

3. Espaciales, si verifican g_µν˙x^µ˙x^ν =−1. En este proyecto no trabajaremos con ellas.

Definici´on 12. Diremos que una curva x^µ(τ ) es una geod´esica en una variedad si esta curva verifica la ecuaci´on

D ˙x^µ

dτ = u^ν∇^νu^µ= ¨x^µ+ Γ^µ_νρ˙x^ν˙x^ρ= 0, (1.14) es decir, minimiza la distancia entre los puntos. Adem´as, debemos indicar si la curva es temporal, espacial o nula haciendo uso de la Definici´on 11.

Para estudiar la estructura causal de nuestras soluciones, las representaremos pict´oricamente en lo que se conoce como diagrama de conos de luz.

Definici´on 13. Un diagrama de conos de luz es un diagrama en el cual dibujamos las geod´esicas radiales nulas entrantes y salientes y, donde intersecten, dibujamos las rectas tangentes nulas orientadas hacia el futuro, recordando que el cono es la

1.1. CONVENIOS Y DEFINICIONES 13 regi´on comprendida entre l´ınea tangente nula a la geod´esica nula entrante que debe quedar a la izquierda de la l´ınea tangente nula a la geod´esica nula saliente. Este diagrama nos servir´a para interpretar la estructura causal de nuestras soluciones, dado que un observador est´a obligado a moverse dentro de su cono de luz indepen- dientemente de la trayectoria que siga por el espacio-tiempo. Esto es debido a la existencia de una velocidad l´ımite, que es la de la luz, que es una de las principales consecuencias de la Relatividad Especial.

Como ejemplo para clarificar la definici´on usaremos el diagrama de conos de luz de la soluci´on de Schwarschild. Como vemos en la Figura 1.1, el cono de luz siempre es la regi´on delimitada por la recta tangente a la curva entrante y la saliente y orientado hacia el futuro Los conos de luz se van cerrando conforme nos acercamos a la regi´on r = 2M , hasta estar completamente degenerados en ella. En secciones siguientes explicaremos lo que sucede en la regi´on r 6 2M¹.

Figura 1.1: Diagrama de conos de luz del agujero negro de Schwarzschild. En rojo dibujamos la forma de las geod´esicas radiales nulas entrantes y en azul las salientes.

Imagen tomada de [2] por cortes´ıa de Bert Janssen.

En el caso anterior, vemos que las geod´esicas radiales nulas degeneran en un lugar del espacio, esto es, geod´esicas nulas entrantes y salientes pierden su independencia lineal. Esto ocurre cuando hay una singularidad de coordenadas. Esto nos lleva a la definici´on de singularidad.

Definici´on 14. Una singularidad es un punto del espacio tiempo en el que la

1Hacemos referencia a este diagrama para que visualmente se aprecie la distinta casu´ıstica que se puede presentar.

m´etrica se hace degenerada, esto es, una o varias de sus componentes se anulan y

|g| = 0. Seg´un su tipo, tenemos dos tipos de singularidades:

1. Singularidades de coordenadas: son aquellas que desaparecen o se trasladan a otro punto del espacio-tiempo, que previamente era regular, al hacer un cam- bio de coordenadas. El ejemplo m´as mundano de este caso es la singularidad en r = 0 en coordenadas polares en R², cuando sabemos que en ese punto no hay nada diferente al resto. Un simple cambio a coordenadas cartesianas nos revela que ese punto es perfectamente regular.

2. Singularidades f´ısicas: son aquellas que no desaparecen con un cambio de coordenadas y existe alg´un invariante de curvatura (escalar formado por contracci´on de los tensores de curvatura), que diverge en ese punto.

Definici´on 15. En nuestro proyecto, debido al tipo de Ansatz que tenemos para nuestras m´etricas, tendremos una singularidad de coordenadas en la hipersuper- ficie r = r0 cuando A(r0) = 0. Para remover dicha singularidad, empleamos las coordenadas de Eddington-Finkelstein avanzadas y retardadas que se construyen de la siguiente forma

t⁰ = t + ˆ

A⁻¹(r)dr− r (1.15)

para las avanzadas, dejando nuestra m´etrica del estilo

ds² = A(r)dt⁰²− [2 − A(r)] dr²+ 2 [A(r)− 1] dt⁰dr− r²dΩ²₂ (1.16) y

¯t = t− ˆ

A⁻¹(r)dr + r (1.17)

para las retardadas, que nos dejan la m´etrica

ds² = A(r)d¯t²− [2 − A(r)] dr²− 2 [A(r) − 1] d¯tdr − r²dΩ²₂. (1.18)

1.2. Relatividad General y ecuaci´ on de campo de Einstein

La Relatividad General surgi´o como un intento de unificaci´on de la Relatividad Especial con la teor´ıa de la Gravitaci´on Universal de Newton. La Relatividad Es- pecial nos ense˜naba que materia y energ´ıa eran intercambiables y que exist´ıa una velocidad l´ımite en la naturaleza: la velocidad de la luz. Adem´as, nos dec´ıa que las leyes de la f´ısica eran invariantes ante cambios de coordenadas, en este caso, entre

1.3. CONTENIDO DE LA ECUACI ´ON DE EINSTEIN 15 sistemas de referencia inerciales. En cambio, la ley de la Gravitaci´on Universal predec´ıa la existencia de una acci´on a distancia cuya velocidad de propagaci´on era infinita. Esto quiere decir, por ejemplo, que si el Sol en este mismo instante desapareciese, la Tierra y el resto de planetas del Sistema Solar, dejar´ıan de se- guir una ´orbita el´ıptica de forma inmediata sali´endose, por tanto, en la direcci´on tangente a su trayectoria en ese instante para seguir una l´ınea recta para siempre pues, recordemos que seg´un la primera ley de Newton, ”todo cuerpo permanecer´a en su estado de reposo o movimiento rectil´ıneo uniforme si no act´ua ninguna fuer- za externa sobre ´el”. Ambas teor´ıas est´an, por tanto, en clara contradicci´on. Para solucionar este problema y aplicar el Principio de Covariancia Generalizado 1, que extiende al principio de Relatividad Especial, Einstein estuvo trabajando 10 a˜nos hasta obtener la soluci´on correcta de este problema, que pasaba por identificar a la gravedad con la curvatura del espacio-tiempo. Esto queda reflejado en su famosa ecuaci´on de campo

R_µν− 1

2Rg_µν+ Λg_µν =−κT^µν, (1.19) ecuaci´on que pasamos a describir en la siguiente secci´on.

1.3. Contenido de la ecuaci´ on de Einstein

En esta secci´on, vamos a describir el contenido y significado de la ecuaci´on de Eins- tein. La ecuaci´on 1.19, es una ecuaci´on tensorial en forma matricial, esto es, hemos elegido una carta en la variedad y hemos evaluado sobre campos b´asicos (es decir, hemos expresado en coordenadas) la expresi´on que los matem´aticos escribir´ıan de forma global de la forma:

Ric− 1

2Rg + Λg = −κT.

Dado que los tensores transforman bien ante cambios de coordenadas generales es- ta ley de la f´ısica se expresa de la misma forma en todos los sistemas de referencia de acuerdo al Principio de Covariancia Generalizado 1., algo que dese´abamos, ya que la f´ısica no depende del observador.

A continuaci´on, vamos a describir los principales operadores que intervienen en dicha ecuaci´on:

1. R_µν es el tensor de Ricci y mide la curvatura del espacio-tiempo.

2. g_µν es la m´etrica, mide distancias en el espacio-tiempo.

3. R ´o S (atendiendo a la literatura f´ısica se simboliza con R y atendiendo a la literatura matem´atica es S), es el escalar de Ricci, esto es, la contracci´on de la m´etrica con el tensor de Ricci, R = g^µνR_µν

4. T_µν es el tensor de energ´ıa-impulso y mide el contenido de materia y energ´ıa en el espacio tiempo. De acuerdo con la ley de la Gravitaci´on Universal, aqu´ı se tiene en cuenta la distribuci´on de materia en nuestra variedad pero, adem´as, como energ´ıa y materia son dos caras de la misma moneda, de acuerdo a la Relatividad Especial, tambi´en tenemos en cuenta la distribuci´on de energ´ıa, ya que ahora ambas son fuente de campo gravitatorio.

5. Λ es la constante cosmol´ogica y f´ısicamente se interpreta como una densidad de energ´ıa del vac´ıo.

En esta ecuaci´on, T_µν es conocido mientras que g_µν es la inc´ognita que hay que encontrar.

La ecuaci´on de Einstein es en realidad un sistema de ecuaciones no lineales acopla- das en derivadas parciales de segundo orden para las componentes de la m´etrica, lo cual hace que sea imposible obtener una soluci´on general. Desde el punto de vista f´ısico, el hecho de que las ecuaciones que aparecen sean de segundo orden en la m´etrica es lo que deseamos, para poder imponer dos condiciones de contorno.

Adem´as, queremos recuperar la ecuaci´on de Poisson

∇²φ = 4πρ (1.20)

para el potencial gravitatorio, pudiendo calcular la constante κ que aparecen en la ecuaci´on de Einstein, obteniendo κ = 8π en unidades naturales.

Queda claro pues, que la ecuaci´on de Einstein relaciona la curvatura del espacio- tiempo con el contenido de materia y energ´ıa del mismo, lo cual justifica la frase ”la materia le dice al espacio c´omo curvarse y el espacio a la materia c´omo moverse”.

Cap´ıtulo 2

Transformaciones conformes y diagramas de Penrose

Comenzamos este cap´ıtulo definiendo lo que es un diagrama de Penrose.

Definici´on 16. Sea una soluci´on de las ecuaciones de Einstein y sea un conjunto de coordenadas que nos cubra la variedad (atlas). Entonces, su diagrama de Penrose es la representaci´on pict´orica de dicha soluci´on en una regi´on finita del plano. Para ello es necesario que la soluci´on estudiada sea esf´ericamente sim´etrica para poder omitir las coordenadas angulares o bien representar en ´el una zona de coordenadas angulares concretas.

Sabemos que el rango de nuestras coordenadas temporal y espacial de partida no est´a acotado, es por lo tanto necesario hacer lo que se conoce como transforma- ci´on conforme o transformaci´on de Weyl. De esta forma podremos compactificar nuestras coordenadas y que se muevan en un rango finito. Estas transformaciones nos van a dejar invariante la m´etrica m´odulo un factor de escala que luego elimi- naremos trabajando pues, con la m´etrica conforme. A continuaci´on veremos qu´e propiedades tienen las m´etricas relacionadas de esta forma.

Otro de los objetivos que perseguimos en este cap´ıtulo, es que dicho cambio de coordenadas haga que los conos de de luz de nuestras soluciones sean como en el espacio de Minkowski y formen 45 grados con los ejes coordenados en todo punto del espacio. Adem´as, queremos que el car´acter de nuestras coordenadas no cambie en toda la variedad y permanezcan siendo temporales o espaciales en todo punto.

La estructura de este cap´ıtulo ser´a, por tanto, ver primero qu´e propiedades tie- nen las m´etricas relacionadas a trav´es de una transformaci´on conforme o de Weyl, para pasar a construir unas coordenadas globales que nos remuevan las singulari- dades de coordenadas que presentan nuestras soluciones y, tras ello, compactificar

17

nuestras coordenadas realizando la transformaci´on de Weyl que nos llevar´a nues- tras coordenadas a un intervalo finito. Finalmente, como ejemplo, construiremos el diagrama de Penrose del espacio de Minkowski en el cual definiremos los con- ceptos necesarios para la elaboraci´on del resto de los diagramas que realizaremos a lo largo de los siguientes cap´ıtulos de este proyecto.

2.1. Transformaciones de Weyl

Comenzaremos esta secci´on del proyecto definiendo las herramientas matem´aticas que necesitaremos estudiar para poder entender los resultados obtenidos este a˜no acerca de las soluciones de Schwarzschild De Sitter y Schwarzschild anti-De Sitter.

Definici´on 17. Dada una m´etrica N -dimensional arbitraria g_ij(x), se dice que es conforme a otra m´etrica ˜g_ij(x), si y solamente si, existe una funci´on escalar de las coordenadas x^µ, Ω (x)∈ C^∞(M ) verific´andose

˜

g_ij(x) = e^2Ω(x)g_ij(x) . (2.1)

Las m´etricas relacionadas mediante una transformaci´on conforme son f´ısicamente diferentes, puesto que una transformaci´on de este tipo cambia la norma de los vectores definidos sobre T_pM (aunque los ´angulos se preservan, hecho clave para nosotros), suponiendo que el vector mismo no cambie con dicha transformaci´on, de la forma

|| ˜V||² = ˜g_ijVⁱV^j = e^2Ωg_ijVⁱV^j = e^2Ω||V ||². (2.2) Aunque hay que apreciar un factor importante, y es el hecho de que el factor de escala es positivo y por ende se preserva el car´acter causal de los vectores 11.

A continuaci´on demostremos que las geod´esicas nulas se preservan bajo una trans- formaci´on de Weyl:

Demostraci´on. Por un lado, sabemos de la Definici´on 12, que una geod´esica para la m´etrica ˜g_µν = verificar´a

d²x^µ

d˜σ² + ˜Γ^µ_νρdx^ν d˜σ

dx^ρ

d˜σ = 0, ¹ (2.3)

junto con la condici´on de que sea nula

˜ g_µνdx^µ

d˜σ dx^ν

d˜σ = 0. (2.4)

1La curva est´a parametrizada respecto de ˜σ debido al hecho de que no es una curva temporal y no tiene sentido hablar de tiempo propio ˜τ .

2.1. TRANSFORMACIONES DE WEYL 19 Haciendo uso del Ap´endice B, y sustituyendo en 2.3, se llega f´acilmente a

d²x^µ

d˜σ² + Γ^µ_νρdx^ν d˜σ

dx^ρ

d˜σ + 2dΩ d˜σ

dx^µ

d˜σ − e^−2Ω∂^µΩ˜gνρ

dx^ν d˜σ

dx^ρ

d˜σ = 0. (2.5) El ´ultimo sumando es nulo por la Ecuaci´on 2.4, por lo que tenemos

d²x^µ

d˜σ² + Γ^µ_νρdx^ν d˜σ

dx^ρ

d˜σ + 2dΩ d˜σ

dx^µ

d˜σ = 0. (2.6)

A continuaci´on, reparametrizamos la curva respecto de un nuevo par´ametro σ (˜σ) y aplicamos la regla de la cadena para obtener

d²x^µ dσ²

 dσ d˜σ

2

+dx^µ dσ

d²σ

d˜σ² + Γ^µ_νρdx^ν dσ

dx^ρ dσ

 dσ d˜σ

2

+ 2dΩ dσ

dx^µ dσ

 dσ d˜σ

2

= 0 (2.7) Si queremos que las geod´esicas nulas de la m´etrica ˜g_µν sean geod´esicas nulas tam- bi´en para la m´etrica gµν, debe verificarse

d²σ

d˜σ² + 2dΩ dσ

 dσ d˜σ

2

= d²σ

d˜σ² + 2dΩ d˜σ

dσ

d˜σ = 0 (2.8)

donde en el ´ultimo paso hemos usado la regla de la cadena. Esta ecuaci´on admite un factor integrante del tipo e^2Ω(˜σ) que nos permite escribirla

d d˜σ



e^2Ω(˜σ)dσ d˜σ



= 0, (2.9)

que integrando y tomando la constante de integraci´on igual a uno, nos dice que la relaci´on entre σ y ˜σ es

σ = ˆ

e^{−2Ω(˜σ)}d˜σ. (2.10)

Eligiendo σ de esa forma, tendremos que las geod´esicas nulas de una m´etrica son las mismas que las de su m´etrica conforme puesto que sabemos que se verifica la Ecuaci´on 2.2.

Entonces, podemos estudiar la estructura causal inducida por la m´etrica conforme en lugar de la inducida por la m´etrica original, ya que sabemos que para estudiar una estructura causal s´olo necesitamos su diagrama de conos de luz. Pero hay que tener en cuenta un hecho: debemos tener en cuenta el rango de validez de las coordenadas nuevas, que es lo que va a distinguir la estructura causal de una y de otra. Dicho en otras palabras, adem´as de tener una ecuaci´on tipo la que aparece en la Definici´on 17 que relacione ambas m´etricas, tendremos a su vez restricciones sobre las coordenadas, lo que nos distingue la estructura causal de una m´etrica

y la de su m´etrica conforme. Como ejemplo, podemos destacar que el espacio de Minkowski ser´a conforme al universo est´atico de Einstein (ver Ap´endice C) como veremos m´as hacia delante, pero las coordenadas a las que llegaremos cumplen las condiciones

−π < ˜t− ˜r < π, −π < ˜t+ ˜r < π, ˜r > 0.

Adem´as, el hecho de que sean f´ısicamente diferentes tambi´en influir´a en que las geod´esicas que no sean nulas no se preservar´an, como hemos dicho anteriormente, dado que es un hecho clave de la demostraci´on que se verifique ˜g_µν˙x^µ˙x^ν = 0.

Como aclaraci´on, nosotros no estaremos interesados en estudiar el rango de validez de las coordenadas que distinguir´a a una m´etrica de su m´etrica conforme, sino solamente ver a qu´e m´etrica (en caso de que podamos calcularla) es conforme la m´etrica que estemos estudiando.

2.2. Construcci´ on de las coordenadas de Kruskal

Un diagrama de Penrose no es m´as que la representaci´on en un espacio finito de toda la soluci´on de las ecuaciones de Einstein considerada. Es por lo tanto clave, la obtenci´on de unas coordenadas que cubran la variedad completa, ya que sabemos que nuestras m´etricas degeneran en varios puntos y m´as all´a de esos lugares las coordenadas empleadas no son fiables. Por lo tanto, en esta secci´on construiremos unas coordenadas que har´an que la m´etrica sea regular en todos los puntos, care- ciendo por ende de singularidades de coordenadas, para ello tendremos que ver el comportamiento de la m´etrica en un entorno de las singularidades y absorberlas dentro de las coordenadas².

Sea la m´etrica esf´ericamente sim´etrica y est´atica siguiente

ds² = A (r) dt²− A⁻¹(r) dr²− r²dΩ²₂, (2.11) donde la funci´on A (r) posee una ra´ız simple en r = r₀, pudi´endose escribir de la forma

A (r) =

 1− r

r₀



F (r) , (2.12)

con F (r) una funci´on perfectamente regular en r = r₀. Consideremos ahora el cambio de coordenadas al que le vamos a exigir que nos lleve la m´etrica a una forma en la que s´olo haya t´erminos cruzados, haciendo que al final tengamos una misma

2Recordemos que el cambio de unas coordenadas que no son regulares en un punto de la variedad a otras que s´ı lo son, diverge en alg´un punto.

2.2. CONSTRUCCI ´ON DE LAS COORDENADAS DE KRUSKAL 21 funci´on multiplicativa para las partes temporal y radial en las nuevas coordenadas y que los conos de luz formen en todo punto 45^o con los ejes

(t = t(u, v)

r = r(u, v) , (2.13)

donde u y v son nuestras coordenadas. Este cambio de coordenadas supondremos que es, al menos, C². En todo lo que resta, aprovechando la simetr´ıa esf´erica que tenemos en nuestro Ansatz, omitiremos las componentes angulares de la m´etrica ya que nos bastar´a mirar el plano ˜t− ˜r para conocer la estructura causal de la soluci´on. Teniendo esto en cuenta, la m´etrica nos queda de la forma

ds² = 4A (r) ∂t

∂u

∂t

∂vdudv, (2.14)

junto con las condiciones











∂r

∂u =−A (r) ∂t

∂u

∂r

∂v = A (r) ∂t

∂v

, (2.15)

que nos dan las relaciones para que la m´etrica quede de la forma 2.14. Este cambio de coordenadas no ser´ıa tal, sino se satisface la regla de Schwarz³ para las derivadas cruzadas

∂²r

∂u∂v = ∂²r

∂v∂u

que insertando 2.15 y suponiendo que se verifica la regla de Schwarz para t nos lleva a la conclusi´on de que t debe de verificar adem´as

∂²t

∂u∂v = 0,

y que por tanto, la dependencia de t en u y v desacopla en sumandos

t = f (u) + g(v). (2.16)

De la Ecuaci´on 2.15, podemos a su vez despejar y escribir r en t´erminos de u y v ˆ

A⁻¹(r)dr = g(v)− f(u). (2.17)

3Una funci´on f : R²→ R verifica la regla de Schwarz para las derivadas parciales cruzadas si es, al menos, C². Como queremos que nuestro cambio de coordenadas sea, al menos, C², debemos imponer que se cumpla, aunque esto en principio no nos asegure que lo sea. Recordemos que esta condici´on es necesaria pero no suficiente.

Lo que hacemos ahora es despejar f (u) y g(v) en t´erminos de las coordenadas iniciales t y r











g(v) = 1 2 t +´

A⁻¹(r)dr

f (u) = 1 2 t−´

A⁻¹(r)dr

, (2.18)

Para encontrar la forma expl´ıcita de las funciones inc´ognita de 2.18, vamos a ver lo que ocurre en el l´ımite r→ r0 teniendo en cuenta la Ecuaci´on 2.12















g(v) = 1 2t + 1

2

´

r₀

−1

F⁻¹(r₀)dr ≈ 1 2t− 1

2r₀F⁻¹(r₀) log    

1− r r₀

f (u) = 1 2t−1

2

´

r₀

−1

F⁻¹(r₀)dr≈ 1 2t + 1

2r₀F⁻¹(r₀) log    

1− r r₀    

,

(2.19) donde podemos despejar el t´ermino

1− r r₀

en t´erminos de u y v de una forma en que factorice la dependencia en ambas variables

1− r r₀

= e^{F (r0)r0} (f (u)−g(v))

. (2.20)

Todo lo que hagamos a continuaci´on depender´a de la zona de la variedad en la que nos situemos.

Zona r < r₀

En esta zona en l´ımite en el que r → r⁰, y sustituyendo en la m´etrica 2.14 tenemos ds² ≈ 4e^{F (r0)r0} (f (u)−g(v))

F (r₀)f⁰(u)g⁰(v)dudv. (2.21) Para eliminar la singularidad, debemos hacer que se verifiquen las ecuaciones















g⁰(v) = e^{F (r0)r0 g(v)}→ g(v) = −r⁰F⁻¹(r₀) log

−v r₀ F (r₀)



f⁰(u) = e^{−F (r0)r0 f (u)}→ f(u) = r⁰F⁻¹(r₀) log u r0

F (r₀)



. (2.22)

Con lo cual, nuestras variables u y v en funci´on de las iniciales t y r son











v =−r0F⁻¹(r₀)e^{−F (r0)2r0 (t+}

´A⁻¹(r)dr)

u = r₀F⁻¹(r₀)e^{F (r0)2r0 (t−}

´A⁻¹(r)dr)

. (2.23)

2.2. CONSTRUCCI ´ON DE LAS COORDENADAS DE KRUSKAL 23 Con esta elecci´on para las funciones u y v nos queda

4A(r)f⁰(u)g⁰(v) = −4A(r) r₀²

F²(r₀)uv = 4A(r)e^{F (r0)r0}

´A⁻¹(r)dr

, (2.24)

haciendo que este t´ermino tenga el mismo signo de A(r). Teniendo en cuenta que queremos que nuestra m´etrica sea diagonal y que el car´acter de nuestras nuevas variables sea el mismo en toda la variedad, definimos unas nuevas variables T y R, de forma que T sea temporal y R espacial. Esto se hace de la forma











T = ¹₂(u + v) = r₀F⁻¹(r₀)e^{−F (r0)2r0}

´A⁻¹(r)dr

sinh_{F (r}

0) 2r0



R =±¹₂(v− u) = ±r0F⁻¹(r₀)e^{−F (r0)2r0}

´A⁻¹(r)dr

cosh_{F (r}

0) 2r0



, (2.25)

verific´andose

T²− R² =−r²0F⁻²(r₀)e^{−F (r0)r0}

´A⁻¹(r)dr

, (2.26)

si A(r) es positiva en esta zona ´o











T =±¹₂(v− u) = ±r0F⁻¹(r₀)e^{−F (r0)2r0}

´A⁻¹(r)dr

cosh_{F (r}

0) 2r0



R = ¹₂(v + u) = r₀F⁻¹(r₀)e^{−F (r0)2r0}

´A⁻¹(r)dr

sinh_{F (r}

0) 2r0



, (2.27)

verific´andose

T²− R² = r²₀F⁻²(r₀)e^{−F (r0)r0}

´A⁻¹(r)dr

, (2.28)

en el caso en que A(r) sea negativa. Operando, obtenemos que la forma de la m´etrica en ambos casos es la misma

ds² = 4A(r)r²₀F⁻²(r₀)

R² − T² (dT²− dR²). (2.29) Como vemos, hemos podido introducir un signo ”±”debido a la simetr´ıa que pre- senta la forma de la m´etrica con estas coordenadas. Lo que hacemos con ello, es descubrir una nueva regi´on de la variedad que no pod´ıamos ver con las coordenadas de Eddington-Finkelstein, empleadas el curso anterior en [1].

Zona r > r₀

En esta zona en l´ımite en el que r → r⁰, y sustituyendo en la m´etrica 2.14 tenemos ds² ≈ −4e^{F (r0)r0} (f (u)−g(v))

F (r₀)f⁰(u)g⁰(v)dudv. (2.30)

Para eliminar la singularidad, debemos hacer que se verifiquen, en este caso, las ecuaciones















g⁰(v) = −e^{F (r0)r0 g(v)}→ g(v) = −r0F⁻¹(r₀) log v r₀F (r₀)



f⁰(u) = e^{−F (r0)r0 f (u)}→ f(u) = r0F⁻¹(r₀) log u r₀F (r₀)



. (2.31)

Con lo cual, nuestras variables u y v en funci´on de las iniciales t y r son











v = r₀F⁻¹(r₀)e^{−F (r0)2r0 (t+}

´A⁻¹(r)dr)

u = r0F⁻¹(r0)e^{F (r0)2r0 (t−}

´A⁻¹(r)dr)

. (2.32)

Con esta elecci´on para las funciones u y v nos queda 4A(r)f⁰(u)g⁰(v) =−4A(r) r²₀

F²(r₀)uv =−4A(r)e^{F (r0)r0 ´A−1(r)dr}, (2.33) haciendo que este t´ermino tenga el signo contrario de A(r). Por los mismos mo- tivos que antes, y teniendo en cuenta el signo negativo que aparece en este caso multiplicando a la m´etrica, tenemos que construir las coordenadas T y R de la forma











T = ±¹₂(v + u) =±r⁰F⁻¹(r0)e^{−F (r0)2r0}

´A⁻¹(r)dr

cosh

F (r0) 2r0



R = ¹₂(u− v) = r0F⁻¹(r₀)e^{−F (r0)2r0}

´A⁻¹(r)dr

sinh_{F (r}

0) 2r0



, (2.34)

verific´andose

T²− R² = r₀²F⁻²(r₀)e^{−F (r0)r0}

´A⁻¹(r)dr

, (2.35)

en el caso en que A(r) sea negativa en esta zona ´o











T = ¹₂(u− v) = r⁰F⁻¹(r0)e^{−F (r0)2r0}

´A⁻¹(r)dr

sinh

F (r0) 2r0



R =±¹₂(v + u) =±r0F⁻¹(r₀)e^{−F (r0)2r0}

´A⁻¹(r)dr

cosh_{F (r}

0) 2r0



, (2.36)

verific´andose

T²− R² =−r0²F⁻²(r₀)e^{−F (r0)r0}

´A⁻¹(r)dr

, (2.37)

2.2. CONSTRUCCI ´ON DE LAS COORDENADAS DE KRUSKAL 25 en el caso en que A(r) sea positiva en esta zona. Operando de nuevo, la forma de la m´etrica en ambos casos es

ds² = 4A(r)r²₀F⁻²(r₀)

R² − T² (dT²− dR²). (2.38) Cambio de coordenadas que, al igual que antes, nos descubre una nueva regi´on de la variedad, debido a la simetr´ıa que presenta la m´etrica en estas coordenadas, ya que nos permite a˜nadir un signo ± en el cambio de coordenadas.

Si nos fijamos, el cambio de coordenadas s´olo depende del signo que adopte la funci´on A(r) en cada una de las zonas, a pesar de que en el an´alisis hemos tenido que tener en cuenta el signo de

1− _r^r₀ 

, por lo tanto, el resultado al que hemos llegado es



































Zona A(r) > 0











T = r₀F⁻¹(r₀)e^{−F (r0)2r0}

´A⁻¹(r)dr

sinh_{F (r}

0) 2r0



R =±r⁰F⁻¹(r₀)e^{−F (r0)2r0}

´A⁻¹(r)dr

cosh

F (r0) 2r0



Zona A(r) < 0











T =±r0F⁻¹(r₀)e^{−F (r0)2r0}

´A⁻¹(r)dr

cosh

F (r0) 2r0



R = r₀F⁻¹(r₀)e^{−F (r0)2r0}

´A⁻¹(r)dr

sinh_{F (r}

0) 2r0



. (2.39)

Como vemos la forma de la m´etrica en 2.29 y 2.38 es la misma y eso es justo lo que deseamos. Adem´as, la coordenada T es temporal en toda la variedad y la coordenada R es espacial. Otra cualidad que presentan estas coordenadas, es que los conos de luz van a formar 45^o con los ejes independientemente del punto de la variedad considerado, debido a que la funci´on multiplicativa a la parte temporal y radial es ahora la misma. Adem´as, queda patente una nueva simetr´ıa que no pose´ıamos al principio: sab´ıamos que por ser la m´etrica est´atica, deb´ıa tener la simetr´ıa t↔ −t, pero ahora vemos que, adem´as de presentar la simetr´ıa T ↔ −T , tenemos una nueva simetr´ıa R ↔ −R que no ten´ıamos al principio. Con estas coordenadas tendremos una f´acil interpretaci´on de la estructura causal de nuestro espacio-tiempo.

Con este m´etodo construiremos la mayor parte de los diagrama de Penrose que presentamos en este proyecto, para el caso en que A(r) sea de la forma 2.12, es decir, el caso en que el cero de la funci´on A(r) sea de orden uno. Podemos extender

f´acilmente este procedimiento en el caso en que la m´etrica tenga m´as singularidades de este tipo, para ello aplicamos estos pasos en cada una de las regiones teniendo en cuenta qu´e singularidad queremos eliminar y el signo de A(r) en esa zona ya que, como vemos, con un cambio de coordenadas de este tipo s´olo cubrimos un

´

unico horizonte de todos lo que pueda presentar nuestra soluci´on.

2.3. Compactificaci´ on conforme

Hagamos un resumen de lo que hemos conseguido hasta ahora: hemos encontrado un m´etodo general para construir unas coordenadas globales que nos cubren la variedad completa, tienen el mismo car´acter en todo punto de la variedad y que nos remueven la singularidad de coordenadas en r = r₀, por lo que nuestra m´etrica ya no es degenerada en ning´un punto, adem´as, los conos de luz en estas coordena- das forman un ´angulo de 45^o con los ejes coordenados. Lo que ahora deseamos es construir unas nuevas coordenadas que cumplan estos mismos requisitos pero que se muevan en un rango finito para poder dibujar nuestro diagrama de Penrose, esto es lo que denominamos compactificaci´on conforme. El procedimiento es, por tanto, usar una funci´on cuyo dominio sea R, su imagen sea un conjunto acotado y que sea biyectiva. Una funci´on que verifique estos requisitos es, por ejemplo, la funci´on arcotangente, que ser´a la que usaremos de aqu´ı en adelante.

Al igual que antes, el cambio de coordenadas que debemos realizar, depender´a de en qu´e zona de la variedad nos encontremos, por lo que volvemos a dividir el cambio de coordenadas en dos zonas.

Zona en la que A(r) > 0

Es f´acil comprobar, que el cambio adecuado en esta zona viene dado por











˜t = arctan

T +R r0F⁻¹(r0)



+ arctan

T −R r0F⁻¹(r0)



˜

r = arctan

T +R r0F⁻¹(r0)

− arctan

T −R r0F⁻¹(r0)



, (2.40)

que en funci´on de las antiguas variables t y r queda como











˜t = arctan

±e^{r0F −1(r0)1 (±t+}

´A⁻¹(r)dr)

+ arctan

∓e^{r0F −1(r0)1 (∓t+}

´A⁻¹(r)dr)

˜

r = arctan

±e^{r0F −1(r0)1 (±t+}

´A⁻¹(r)dr)

− arctan

∓e^{r0F −1(r0)1 (∓t+}

´A⁻¹(r)dr) ,

(2.41)

2.3. COMPACTIFICACI ´ON CONFORME 27 dejando la m´etrica de la forma

ds² = 4A(r) r²₀F⁻²(r₀)

sin²(˜r)− sin²(˜t)(d˜t²− d˜r²) (2.42) Zona en la que A(r) < 0

En esta zona, el cambio de coordenadas es











t = arctan˜ 

T +R r0F⁻¹(r0)



+ arctan

T −R r0F⁻¹(r0)



˜

r = arctan

T +R r0F⁻¹(r0)

− arctan

T −R r0F⁻¹(r0)



, (2.43)

que en funci´on de las antiguas variables t y r queda como











˜t = arctan

±e^{r0F −1(r0)1 (±t+}

´A⁻¹(r)dr)

+ arctan

±e^{r0F −1(r0)1 (∓t+}

´A⁻¹(r)dr)

˜

r = arctan

±e^{r0F −1(r0)1 (±t+}

´A⁻¹(r)dr)

− arctan

±e^{r0F −1(r0)1 (∓t+}

´A⁻¹(r)dr) ,

(2.44) dejando la m´etrica de la forma

ds² = 4A(r) r₀²F⁻²(r₀)

sin²(˜r)− sin²(˜t)(d˜t²− d˜r²), (2.45) al igual que en el caso anterior.

Como vemos, preservamos las principales propiedades que deseamos: una m´etrica diagonal, que mantiene el car´acter temporal y espacial de las variables ˜t y ˜r, las simetr´ıas ˜t ↔ −˜t y ˜r ↔ −˜r y, adem´as, sus conos de luz van a formar 45^o con los ejes coordenados debido al hecho de que las componentes temporal y espacial de dicha m´etrica son las mismas. Adem´as, con esta compactificaci´on que hemos realizado, tenemos el rango de nuestras coordenadas en un intervalo finito, por lo que podemos dibujar nuestra soluci´on en un diagrama compacto, que ser´a nuestro diagrama de Penrose.

Finalmente mencionar, que en la mayor´ıa de los casos, la coordenada inicial r vendr´a definida impl´ıcitamente en funci´on de ˜t y ˜r y por ende no podremos des- pejarla. Es por ello que omitimos la dependencia angular de la m´etrica adem´as de por la simetr´ıa esf´erica que posee.

2.4. Diagrama de Penrose del espacio de Min- kowski

El espacio de Minkowski es el m´as sencillo que se puede estudiar, ya que modela un espacio plano, homog´eneo e is´otropo. Esto nos dice que todos los observado- res inerciales ser´an equivalentes puesto que no hay ning´un punto privilegiado en nuestra variedad. Para comenzar, presentamos la m´etrica de este espacio. Dicha m´etrica se obtiene de las ecuaciones de Einstein en el vac´ıo con una constante cosmol´ogica nula, y tiene el siguiente aspecto en el Ansatz esf´ericamente sim´etrico y est´atico

ds² = dt²− dr²− r²dΩ²₂. (2.46) Para comprobar que este espacio es efectivamente plano, calculamos el tensor de Riemann previo c´alculo de los s´ımbolos de Cristoffel y vemos que podemos expre- sarlo de la forma 10

Rµνρλ= 0, donde, obviamente, la constante C es nula.

Dado que esta soluci´on es la m´as sencilla que podemos encontrarnos, vamos a aprovecharlo para definir sobre ella los conceptos que necesitaremos a la hora de dibujar nuestro diagrama de Penrose, previa definici´on de las coordenadas que vamos a emplear, ya que no usaremos nuestro m´etodo para dibujar el diagrama de Penrose. Esto es debido a que nuestras coordenadas iniciales t y r s´ı nos cubren por completo la variedad ya que, como vemos en 2.46, el espacio de Minkowski no presenta ninguna singularidad en la m´etrica (salvo la de coordenadas en r = 0, que no representa nada f´ısico, de hecho, un cambio a coordenadas cartesianas la elimina). En este caso, el cambio de coordenadas, atendiendo a 2.40, viene dado por











˜t = arctan

t+r r0



+ arctan

t−r r0



˜

r = arctan

t+r r0

− arctan

t−r r0



. (2.47)

donde r₀ es una distancia de referencia para hacernos los argumentos de las fun- ciones adimensionales Este cambio de coordenadas, nos lleva la m´etrica 2.46 a la forma

ds² = r²₀ 4 cos²_˜

t+˜r 2



cos²_˜

t+˜r 2

 (d˜t²− d˜r²− sin²r dΩ˜ ²₂)

2.4. DIAGRAMA DE PENROSE DEL ESPACIO DE MINKOWSKI 29 que es conforme al universo est´atico de Einstein (ver [2] y Ap´endice C).

Una vez definidas las coordenadas, pasamos a definir los siguientes conceptos:

1. Origen de coordenadas, r = 0.

2. Infinito temporal futuro, i⁺, es la proyecci´on de todos los puntos a una dis- tancia finita del origen en el l´ımite t→ +∞.

3. Infinito temporal pasado, i⁻, es la proyecci´on de todos los puntos a una distancia finita del origen en el l´ımite t→ −∞.

4. Infinito espacial, i⁰, es la proyecci´on de todos los puntos a una distancia temporal finita en el l´ımite r → ∞.

5. Infinito nulo futuro, J⁺, es el conjunto de puntos en el l´ımite t → +∞ y r→ ∞.

5. Infinito nulo futuro, J⁻, es el conjunto de puntos en el l´ımite t → −∞ y r→ ∞.

Figura 2.1: Diagrama de Penrose del espacio de Minkowski. Todos los puntos del diagrama representan 2-esferas salvo la singularidad de coordenadas r = 0. Las geod´esicas no mueren en r = 0, sino que rebotan, debido al hecho de que la coor- denada radial se mueve en el intervalo r∈ (0, +∞).

y r = 0 no representa nada f´ısico.

Calculando las ecuaciones par´ametricas de estos elementos a partir de 2.47, lle- gamos al diagrama de Penrose del espacio de Minkowski 2.1. Con este diagrama,

podemos interpretar f´acilmente la estructura causal de nuestra soluci´on. En este diagrama las geod´esicas radiales nulas son rectas que forman un ´angulo de 45^o con los ejes coordenados (de hecho uno de los prop´ositos todo el trabajo que hemos hecho hasta ahora es que esto se verifique) y van desde infinito nulo pasado J⁻ al infinito nulo futuro J⁺ previo rebote en r = 0. Esto se debe al hecho de que la coordenada radial r s´olo toma valores positivos y hemos suprimido las coor- denadas angulares para poder dibujar el diagrama. De hecho, todos los puntos de este diagrama son esferas excepto r = 0. El hecho de que i^± sean puntuales y bordeados a ambos lados por J^±, nos dice que las influencias causales pueden viajar una distancia tan arbitrariamente grande como se desee e influir a cualquier observador inercial despu´es de un tiempo suficientemente grande. Es por lo tanto clave la forma que tengan i^± e i⁰, pues esto determina las propiedades que va a tener nuestra soluci´on. Veremos en secciones siguientes que estos elementos en otras soluciones no tienen esta estructura y, por ende dichas soluciones tensr´an una estructura causal totalmente diferente y desde luego bastante m´as compleja.

Esta estructura que vemos en 2.1 es caracter´ıstica de un espacio plano o asint´oti- camente plano, es decir, su curvatura tiende a cero en el infinito, por lo que vi- sualmente podremos reconocer f´acilmente qu´e espacios son asint´oticamente planos y cu´ales no, ya que para serlo, la estructura de su diagrama de Penrose en infinito debe ser exactamente ´esta que presentamos.