SISTEMA DE APRENDIZAJE REMOTO
ASIGNATURA Diferenciado de Matemática DOCENTE Carlos García Escuti
CURSO IV° Medio
UNIDAD SEMANA
1. Procesos infinitos 3
GUÍA DE APRENDIZAJE N° 2
NOMBRE CURSO FECHA / /2020
O.A.
Identifican patrones sobre sucesiones numéricas.INSTRUCCIONES
Es importante que sea ordenado.
Para resolver los problemas planteados utilice una hoja, donde debe plasmar y evidenciar cada uno de los pasos utilizado en su desarrollo. Esto le servirá para poder analizar y comparar con el solucionario.
90’
APRENDIZAJES PREVIOS: ¿QUÉ NECESITO SABER PARA REALIZAR ESTA GUÍA?
Comprender el concepto de sucesión numérica de números reales
Resolver operaciones numéricas que involucran números reales
PASO
1 INCORPORO NUEVOS CONOCIMIENTOS
Tomando como base la guía 1, sabemos que una sucesión es una función definida de ℕ → ℝ que se acostumbra a denotar por 𝑎𝑛 en lugar de 𝑓(𝑛), así:
𝑎𝑛∈ ℝ , ∀ 𝑛 ∈ ℕ , la expresión 𝑎𝑛 se llama término n - esimo o término de lugar n.
𝑎1 : es el primer término de la sucesión.
𝑎2 : es el primer término de la sucesión.
𝑎𝑘 : es el k - esimo término de la sucesión.
Las sucesiones se encuentran presentes en casi todos los tópicos de las matemáticas, de ahí su importancia.
Dada la sucesión 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … . , 𝑎𝑛 , su k - esimo término es 𝑎𝑘 , el siguiente término es 𝑎𝑘+1
también llamado sucesor, el anterior al k - esimo término es 𝑎𝑘−1 también llamado antecesor.
SISTEMA DE APRENDIZAJE REMOTO Ejemplo:
Dada la sucesión 𝑎𝑛= (2𝑛−1
𝑛 )𝑛 , determine el sucesor y antecesor del k - esimo término.
Solución
El sucesor y antecesor del k - esimo término, son respectivamente 𝑎𝑘+1 y 𝑎𝑘−1 , donde:
𝑎𝑘+1= (2(𝑘+1)−1
(𝑘+1) )(𝑘+1)= (2𝑘+2−1
𝑘+1 )(𝑘+1) = (2𝑘+1𝑘+1)(𝑘+1)
𝑎𝑘−1= (2(𝑘−1)−1
(𝑘−1) )(𝑘−1)= (2𝑘−2−1
𝑘−1 )(𝑘−1) = (2𝑘−3𝑘−1)(𝑘−1)
Sucesiones definidas en forma recursiva:
Definir una sucesión de manera recursiva, es una forma que permite presentar una sucesión.
Consiste en relacionar su término n-esimo con algunos términos anteriores dados de forma explícita.
Los términos dados en forma explícita, por lo general, se les llama condiciones iniciales de la sucesión.
Ejemplo
Consideremos la siguiente sucesión numérica: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ….
Lo primero que te pediré, es por tu cuenta, que intentes hallar su patrón.
Una forma de definir esta sucesión por medio de símbolos matemáticos adecuados es de manera recursiva, es decir, dando las condiciones iniciales (valores explícitos) y el termino n - esimo.
La clave será hallar el patrón: cada término de la sucesión corresponde a la suma de los dos anteriores, tomando como base los dos primeros términos (1 y 1)
Esto significa que el termino n - esimo será
𝑎𝑛= 𝑎𝑛−2+ 𝑎𝑛−1
y los valores base serán 𝑎1 = 1 y 𝑎2= 1 y 𝑛 toma todos los valores naturales a partir del 2 ( 𝑛 = 2, 3, 4, 5, 6, …) ¿por qué?
Esto significa que para hallar un término cualquiera de la sucesión necesito saber los dos anteriores. Por ejemplo, para hallar el 5° termino hacemos los siguiente:
Sabemos que la sucesión está definida por
𝑎𝑛= 𝑎𝑛−2+ 𝑎𝑛−1 con valores iniciales 𝑎1= 1 y 𝑎2= 1
SISTEMA DE APRENDIZAJE REMOTO Por lo tanto, 𝑎5= 𝑎4+ 𝑎3 .
Podemos observar que para hallar 𝑎5 hay que conocer el valor de 𝑎3 y 𝑎4 . Aplicando la relación recursiva, tenemos
𝑎3= 𝑎2+ 𝑎1= 1 + 1 = 2 𝑎4= 𝑎3+ 𝑎2= 2 + 1 = 3 𝑎5= 𝑎4+ 𝑎3= 3 + 2 = 5
La sucesión 𝑎𝑛= 𝑎𝑛−2+ 𝑎𝑛−1 con valores iniciales 𝑎1= 1 y 𝑎2= 1 , corresponde a la sucesión de Fibonacci.
La sucesión de Fibonacci tiene muchísimas aplicaciones, hay que investigarla. Existen muchos textos y páginas web que hablan de ellas. Te sugiero que inicies con esta página
https://es.wikipedia.org/wiki/Sucesi%C3%B3n_de_Fibonacci
Observa la siguiente imagen (triángulo de Pascal)
Intenta encontrar la sucesión de Fibonacci que está presente (escondida) en este triángulo.
PASO
2 PONGO EN PRÁCTICA
Ahora necesito que pongas en práctica lo plasmado en la guía (Identificar patrones). Para ello resuelve los siguientes ejercicios:
SISTEMA DE APRENDIZAJE REMOTO
I. Para cada una de las siguientes sucesiones numéricas, hallar el antecesor y sucesor del k - esimo término.
1) 2, 4, 6, 8, 10, …
2) 5, 8, 11, 14, 17, …
3) 1 1,1
2,1 3,1
4,1 5,1
6, …
4) 1
1 ∙ 4, 1
2 ∙ 16, 1
3 ∙ 64, 1
4 ∙ 256, …
5) 2 ∙ cos 3° , 4 ∙ cos 9° , 8 ∙ cos 27° , 16 ∙ cos 81° , …
5) 3√𝑙𝑜𝑔10
−1 , √𝑙𝑜𝑔1005
2 , 7√𝑙𝑜𝑔1000
−3 , 9√𝑙𝑜𝑔10000
4 , √𝑙𝑜𝑔1000003
−5 , …
II. Resuelve cada uno de los siguientes problemas
1) Cuál es el doble del triple de la suma entre el sucesor y el antecesor del k-esimo término de la sucesión
𝑎𝑛=2𝑛 − 1 𝑛
2) Cuál es el cociente entre de antecesor y el doble de sucesor del k-esimo término de la sucesión
𝑎𝑛= 1 1 +1
𝑛
III. Para cada una de las siguientes sucesiones numéricas, hallar sus primeros 5 términos.
1) 𝑎𝑛= 𝑎𝑛−2+ 𝑎𝑛−1 con valores iniciales 𝑎1= 2 y 𝑎2= 5 2) 𝑎𝑛= 3 ∙ 𝑎𝑛−2− 𝑎𝑛−1 con valores iniciales 𝑎1= 1 y 𝑎2 = 10
3) 𝑎𝑛= 𝑎𝑛−3+ 𝑎𝑛−2+ 𝑎𝑛−1 con valores iniciales 𝑎1= 1 , 𝑎2= 1 y 𝑎3= 1 4) 𝑎𝑛=𝑎𝑎𝑛−2
𝑛−1
con valores iniciales 𝑎1= 1 y 𝑎2 = 2
SISTEMA DE APRENDIZAJE REMOTO
