Competencia matemática M1 Paes forma:

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Competencia matemática M1

Paes

forma: 3727464

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RESPUESTAS

Número Clave Eje PAES Unidad Temática PAES

1 A Números Conjunto de los números reales

2 D Números Potencias y raíces enésimas

3 D Números Conjunto de los números reales

6 D Números Porcentaje

7 B Números Porcentaje

8 C Números Porcentaje

9 A Números Porcentaje

12 A Números Potencias y raíces enésimas

13 B Números Potencias y raíces enésimas

14 C Álgebra y funciones Expresiones algebráicas

15 C Álgebra y funciones Expresiones algebráicas

16 B Álgebra y funciones Expresiones algebráicas

17 B Álgebra y funciones Expresiones algebráicas

18 A Álgebra y funciones Expresiones algebráicas

19 B Álgebra y funciones Proporcionalidad

20 A Álgebra y funciones Proporcionalidad

21 A Álgebra y funciones Ecuaciones e inecuaciones de primer grado

23 B Álgebra y funciones Ecuaciones e inecuaciones de primer grado

24 C Álgebra y funciones Ecuaciones e inecuaciones de primer grado

26 C Álgebra y funciones Sistemas de ecuaciones lineales (2x2)

27 A Álgebra y funciones Sistemas de ecuaciones lineales (2x2)

28 A Álgebra y funciones Función lineal y afín

29 B Álgebra y funciones Función lineal y afín

30 A Álgebra y funciones Función lineal y afín

31 C Álgebra y funciones Función lineal y afín

32 B Álgebra y funciones Función cuadrática

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33 D Álgebra y funciones Función cuadrática

34 C Álgebra y funciones Función cuadrática

35 C Álgebra y funciones Función cuadrática

36 A Geometría Figuras geométricas

37 D Geometría Figuras geométricas

38 B Geometría Figuras geométricas

39 D Geometría Figuras geométricas

42 D Geometría Semejanza y proporcionalidad de

figuras planas

43 B Geometría Semejanza y proporcionalidad de

figuras planas

46 B Geometría Semejanza y proporcionalidad de

figuras planas

47 C Geometría Transformaciones isométricas

48 C Geometría Transformaciones isométricas

49 B Geometría Transformaciones isométricas

50 D Geometría Transformaciones isométricas

51 D Geometría Transformaciones isométricas

52 D Probabilidad y estadística Representación de datos a través de tablas y gráficos

53 C Probabilidad y estadística Representación de datos a través de tablas y gráficos

54 D Probabilidad y estadística Representación de datos a través de tablas y gráficos

55 C Probabilidad y estadística Medidas de tendencia central y rango

56 A Probabilidad y estadística Medidas de tendencia central y rango

57 A Probabilidad y estadística Medidas de tendencia central y rango

58 A Probabilidad y estadística Medidas de posición 59 D Probabilidad y estadística Medidas de posición 60 D Probabilidad y estadística Medidas de posición

61 B Probabilidad y estadística Reglas de las probabilidades 62 C Probabilidad y estadística Reglas de las probabilidades 63 D Probabilidad y estadística Reglas de las probabilidades

(4)

64 B Probabilidad y estadística Reglas de las probabilidades 65 A Probabilidad y estadística Reglas de las probabilidades

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1.- ¿Cuál es el valor de ˆ 1 ´ 1

2

˙ ˆ1 2 ´

1 3

˙ ˆ1 3 ´

1 4

˙

?

A) 1

144 B) 143 144 C) 23

24 D) 11 12

Pregunta ID: 1375403 Autor: Puntaje Nacional ..

SOLUCIÓN

Este ejercicio nos pide multiplicar una serie de expresiones que se presentan dentro de paréntesis.

Por el orden de operaciones, se debe resolver primero lo que encontramos dentro de los paréntesis, antes de pasar a la multiplicación.

En el primer paréntesis, se resta una fracción de un número entero. Una manera efectiva de hacer esta resta es convertir el número entero en una fracción, para luego hacer la resta.

Así, 1 es igual a 2

2, con lo cual 2 2 ´

1 2 “

1 2.

Para las demás expresiones entre paréntesis, se obtiene un denominador común entre las fracciones, antes de restar. En este caso, es fácil hacerlo si multiplicamos los denominadores entre sí: el multiplicador que se necesite para llegar al denominador común se usa para multiplicar también el numerador.

Así, en la segunda expresión 1 2 ´ 1

3 el denominador común es el resultado del producto de los dos denominadores, el cual es 6, por lo tanto, en la primera fracción para obtener el denominador 6 se debe multiplicar tanto numerador como denominador por 3, es decir, 1

2 ˆ 3 3 “ 3

6 y en la segunda fracción se tiene que 1 3 ˆ 2

2 “ 2 6. Luego se restan estos dos resultados 3

6 ´ 2 6 “

1 6.

En la tercera expresión, el denominador común es 12. Para pasar de 3 (el denominador de la fracción 1

3) a 12, se multiplica por 4, así 1 ˆ 4 3 ˆ 4 “

4 12.

Haciendo lo mismo con la segunda fracción, la tercera expresión entre paréntesis se convierte en 4

12 ´ 3 12 “ 1

12.

Por lo tanto, expresamos los términos entre paréntesis como: ˆ1 2˙ ˆ1

6˙ ˆ 1 12

˙.

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Ahora tenemos tres fracciones que debemos multiplicar entre sí. Para multiplicar fracciones, no necesitamos tener un denominador común, solo multiplicamos los términos del numerador entre sí y los términos del denominador entre sí.

Luego, vemos que la respuesta 1

144, que corresponde a la opción A.

2.- ¿Cuál es el valor de 1 + ˆ1 3

˙_´2

?

A) 8 9 B) 10

9 C) 9 D) 10

SOLUCIÓN

Este ejercicio pide evaluar una expresión algebraica. Por el orden de operaciones, resolvemos primero la potencia y luego realizamos la suma.

La potencia es un valor negativo (-2). La potencia negativa se define como el inverso multiplicativo de la base (en otras palabras, el recíproco de la fracción), elevado al valor de la potencia positiva.

En este caso, el recíproco de 1 3 es 3

1 = 3. Elevamos este valor, 3, a la potencia 2, tratándola como una potencia positiva (porque ya obtuvimos el recíproco de la base), obteniendo así 3² = 9.

Sumamos esto al número 1 que encabeza la expresión: 1 + 9 = 10. La respuesta correcta es, por lo tanto, D.

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3.- Lucas, Gabriel, Ana y Fernando deciden comprar un billete de lotería, dejando en claro que, de ganar el premio, cada uno recibirá la parte correspondiente del aporte realizado para la compra del billete. Lucas parte aportando 1

8 del costo del billete, le sigue Gabriel con 1

4 del dinero, Fernando decide aportar 2

5 de lo que falta y Ana, el dinero faltante. Si el premio asciende a una suma de $1.500.000, ¿cuánto dinero recibiría Ana?

A) $187.000 B) $225.000 C) $375.000 D) $562.500

SOLUCIÓN Observemos que:

Lucas aporta 1

8, quedando por aportar 7 8. Gabriel le sigue aportando 1

4 que, expresado en el mismo total de Lucas, equivale a 2

8, por lo tanto, quedan por aportar 5 8. Fernando aporta 2

5 de lo que falta, lo que es equivalente2 5¨

5 8 = 2

8del total, quedando por aportar 3

8.

Ana, por su parte, completa el dinero faltante, aportando entonces 3 8. Entonces, como sabemos que Ana aporta 3

8, buscamos la equivalencia en dinero de 3

8 de 1.500.000:

3

8¨1.500.000 = 4.500.000

8 = 562.500 Por lo tanto, la alternativa correcta es la opción D.

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4.- Una suscripción a un servicio de información científica cuesta $s mensuales. Diego tiene $(t+500) en su tarjeta para suscribirse. ¿Con cuál de las siguientes condiciones no se puede asegurar que Diego se pueda suscribir al servicio durante tres meses?

A) s † t 3 B) s = t 3

C) 3s = t + 500 D) 3s † 3(t + 500) Pregunta ID: 1375545 Autor: Puntaje Nacional ..

SOLUCIÓN

La clave con este ejercicio es entender la relación entre las variables (s,t) y la constante (500). No conocemos el valor de las variables, pero sabemos la relación que se espera que exista entre ellas, que está mediada por la constante. Por lo que sabemos de la vida cotidiana, si quiero suscribirme a un servicio, y cuesta cierto valor, necesito tener por lo menos tanto dinero como cuesta el servicio para poder suscribirme. Es importante tener en cuenta en este ejercicio que se nos da el valor de una suscripción mensual ($ s), pero la pregunta se refiere a tres meses de suscripción: $ 3s. El dinero que Diego tiene disponible para este servicio es una combinación de una parte variable (t) y una parte fija (500). Buscamos una opción que no asegure que Diego pueda suscribirse.

— Opción A: Esta opción plantea que el precio del servicio (s) es inferior a un tercio de t (que es una parte del dinero que tiene Diego en su tarjeta). En ese caso, si multiplicamos ambos lados de la desigualdad por 3, el pago de tres meses (3s) va a ser inferior a la cantidad variable (t) que tiene Diego en su tarjeta: 3s † t.

Usemos valores concretos para facilitar el análisis. Supongamos que la suscripción mensual cuesta $ 1000: tres meses cuestan $ 3000 y la opción A nos dice que esta cantidad es inferior a t (puede que t = $ 3001, puede que t = $ 10.001). En cualquier caso, el dinero que tiene disponible Diego sería suficiente para suscribirse tres meses, y esta opción lo asegura. La podemos eliminar como respuesta.

— Opción B: Esta opción es muy semejante a la anterior, solo que el valor de 3s termina siendo igual a t. En ese caso, también es suficiente para que Diego se suscriba. Si s = $ 1.000, entonces 3s = $ 3.000 y t = $ 3.000. Diego tiene suficiente dinero en la tarjeta para hacer una suscripción de tres meses. Esta condición lo asegura. Por lo tanto, eliminamos la opción B.

— Opción C: Según esta condición, el precio de tres meses de suscripción (3s) es igual al valor total que tiene disponible Diego en su tarjeta (t+500). Supongamos que los tres meses de suscripción cuestan $ 3.000; según esta condición, Diego ten-

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dría $ 2.500 + $500 = $ 3.000 en su tarjeta. No le sobraría dinero, pero le alcanzaría para suscribirse tres meses al servicio. Esta condición lo asegura. Podemos eliminar la opción C.

— Opción D: Si tenemos confianza plena en las opciones que ya eliminamos, y estamos cortos de tiempo en la prueba, podríamos marcar la opción D y continuar con la próxima pregunta. Pero lo ideal es poder analizar todas las opciones.

Aquí, el valor de tres meses de suscripción ($3s) es menor que tres veces lo que tiene Diego disponible en su tarjeta: $3(t+500). Dada que esta es una desigualdad, no tenemos un solo valor exacto para las variables, así que debemos considerar distintos escenarios. Existen muchos valores que cumplen la desigualdad (como s =

$ 1.000 y t = $10.000) y que permitirían que Diego contrate la suscripción.

Sin embargo, analicemos el siguiente caso: supongamos que los tres meses de sus- cripción cuestan 3s = $ 3.000 y Diego tiene disponible $1.001 en la tarjeta (en ese caso, t = $ 501). Tres veces esa cantidad de la tarjeta es igual a 3(t + 500) = 3($ 501 + $ 500) = $3.003. Aquí, se cumple la condición de la opción D, pero recordemos que en realidad lo que tiene Diego disponible es $ (t + 500) y no $ 3(t + 500). Con los valores que hemos asignado, Diego tendría $ (t + 500) = $ 1.001 en la tarjeta, pero los tres meses de suscripción cuestan $ 3.000. No le alcanza el dinero. Esta condición no asegura que Diego pueda contratar el servicio durante tres meses. Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción D.

5.- Un canasto tiene una masa de 600 g. Si se le agregan 8 paquetes de 2

5 kg cada uno y 5 paquetes de 11

5 kg cada uno, ¿cuáles es la masa total del canasto con los paquetes?

A) 21 5 kg B) 34

5 kg C) 44

5 kg D) 94

5 kg

SOLUCIÓN

Primero debemos darnos cuenta de que la unidad de medida de las alternativas es en kg y que la masa del canasto esta expresada en g, por lo que debemos convertirla a kg. Sabemos que 1000 g “ 1 kg luego:

(10)

1000 g Ñ 1 kg 600 g Ñ x kg

Así la masa del canasto es x “ 1 kg ¨ 600 g

1000 g “ 600

1000 kg “ 6

10 kg “ 3

5 kg, simplifi- cando la fracción. Ahora veamos cuántos kilos son 8 paquetes de 2

5 kg cada uno.

Por principio multiplicativo esto es 8 ¨ 2

5 kg “ 16

5 kg, pues se echa al canasto 8 paquetes y cada uno de estos tiene una masa de 2

5 kg.

Después tenemos que ver cuántos kilos son 5 paquetes de 11

5 kgcada uno. Para esto primero debemos transformar el número mixto 11

5 kg a fracción, esto es 11 5 kg=

p1 ¨ 5 ` 1q

5 kg = 6

5 kg, y luego, como son 5 paquetes de 6

5 kg cada uno, tenemos que se le agrega al canasto p5 ¨ 6q

5 kg= 30

5 kg. En este caso no simplificamos la fracción debido que se observa en las alternativas que todas las fracciones tiene como denominador al 5.

Luego la masa total del canasto con los paquetes es:

3

5 kg`16

5 kg` 30 5 kg

“ p3 ` 16 ` 30q

5 kg

“ 49 5 kg

“ p45 ` 4q

5 kg

“ p9 ¨ 5 ` 4q

5 kg

“ 94 5 kg, correspondiente a la alternativa D.

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6.- ¿Cuál de las siguientes cantidades corresponde al 15 % de la capacidad de personas en un restaurante?

A) 1

15 de la capacidad de personas en el restaurante.

B) La capacidad de personas multiplicado por quince décimos.

C) La capacidad de personas dividido en 15 y multiplicado por 100.

D) La capacidad de personas dividida en 100 y luego multiplicada por 15.

SOLUCIÓN

Para resolver este problema, debes saber cómo transformar de un porcentaje a una fracción. Es decir, saber que el 15 % es idéntico a 15

100, número que es equivalente a 0,15.

Por lo que, si llamamos C a la capacidad de personas en un restaurante, para ob- tener el 15 % necesitamos realizar el siguiente cálculo:

15 % ¨ C = 15

100 ¨C = 0,15 ¨C Lo que es equivalente a la alternativa D.

7.- Si 640 corresponde a un número aumentado en su 60 %, ¿cuál es el número?

A) 448 B) 400 C) 384 D) 1.024

SOLUCIÓN

Analicemos la situación para plantearla como ecuación.

Nos dicen que 640 corresponde a un número aumentado en su 60 %, por lo que po- demos escribir el enunciado tomando x como el número original y este aumentado

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en su 60 % debe ser igual 640. Lo anterior se refleja en la siguiente ecuación:

x` 60

100x“ 640

Ahora, debemos despejar la x para poder encontrar su valor, como se plantea a continuación:

x` 60

100x“ 640 x` 0, 6x “ 640

1, 6x “ 640 x“ 640

1, 6 x“ 640 16 10 x“ 640 ¨ 10

16 x“ 400

Por lo que, el número que buscamos corresponde a la alternativa B.

8.- Un vendedor revisó una caja de ampolletas y notó que el 10 % de éstas eran defectuosas. Si el 20 % de la diferencia entre el total y las ampolletas defectuosas es igual a 36 ampolletas, ¿cuántas ampolletas contenía la caja?

A) 100 B) 180 C) 200 D) 360

SOLUCIÓN

Las ampolletas defectuosas (D) son el 10 % del total (T) que contiene la caja. Esto

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D“ 10 100 ¨T

Por otra parte, el 20 % de la diferencia entre el total y las ampolletas defectuosas es igual a 36. Esto se puede expresar como:

20

100 ¨ pT ´ Dq “ 36

Al reemplazar la primera igualdad en la segunda, resulta:

20 100 ¨

ˆ

T ´ 10 100 ¨T

˙

= 36 20

100 ¨ ˆ

T ¨ ˆ

1 ´ 10 100

˙˙

= 36 20

100 ¨ ˆ

T ¨ˆ100 ´ 10 100

˙˙

= 36 20

100 ¨ ˆ

T ¨ˆ 90 100

˙˙

= 36

T 20 100 ¨ 90

100 = 36 T ¨ 18

100 = 36 T = 100

18 ¨36 = 200

Podemos concluir que, en la caja, inicialmente, había 200 ampolletas. De esta forma, la alternativa correcta es C.

Si es que tu respuesta no fue correcta quizás interpretaste mal el enunciado, espe- cíficamente: “el 20 % de la diferencia entre el total y las ampolletas defectuosas es igual a 36 ampolletas”. No debes confundir esta afirmación con: 20

100 ¨T ´ D “ 36, pues el 20 % se debe aplicar a la diferencia entre las magnitudes y no solamente al total de ampolletas.

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9.- Tras una desconfiguración de un programa en la página de un banco, todos los clientes aumentaron su saldo en su cuenta en un 20 %. Si Esteban, cliente del banco desde hace 7 años, tenía $P en su cuenta antes del fallo del programa, ¿cuál de las siguientes expresiones permite obtener el saldo de Esteban después de la desconfiguración de la página?

A) $P(1 + 0,2) B) $ 20

100P C) $ 80

100P D) $1,02P

SOLUCIÓN

“Aumentaron su saldo en un 20 %” con esa oración se debe pensar en que el resultado final debe ser más grande que P, pues P que es la cantidad inicial, está aumentando su valor en un 20 %, matemáticamente eso se debe escribir como:

P + 20 %P El 20 % de P se puede expresar como 20

100P. Sumando esa cantidad a P se obtiene que el saldo de Esteban después del fallo del programa es de:

P + 20

100 P = P(1 + 20

100) = P(1 + 0,2) Por lo tanto, la alternativa correcta es la opción A.

10.- ¿Cuál es el resultado de?

75 `?

48 ´? 3?

A) ? 3 B) 41?

3 C) 3?

41 D) 8?

3

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SOLUCIÓN

Para resolver este problema, tenemos que usar la descomposición de las raíces y las siguientes propiedades: ?ⁿ

a¨ b “ ?ⁿ a¨ ?ⁿ

b y ?ⁿ

aⁿ“ a , para darnos cuenta que:

?75 = ?

25 ¨ 3 = ? 25 ¨?

3 = 5?

? 3

48 = ?

16 ¨ 3 = 4? 3

Luego, se aplica la operatoria con las raíces semejantes:

?75 `?

48 ´?

3 = 5?

3 ` 4? 3 ´?

3 = 8? 3 Según lo anterior, la respuesta correcta es la opción D.

11.- Observa el siguiente procedimiento de racionalización de la expresión 2^´1² Paso 1:

2^´1² = ˆ1 2

˙¹₂

Paso 2:

ˆ1 2

˙¹₂

= 1

?2 Paso 3:

?1

2 = 1

?2 ¨

?2

?2 Paso 4:

?1 2 ¨

?2

?2 =

?2

?4

4

¿En qué paso se cometió el primer error?

A) Paso 1 B) Paso 2 C) Paso 3 D) Paso 4

SOLUCIÓN

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Antes de comenzar el ejercicio, debemos recordar el concepto de racionalización de una expresión fraccionaria que se refiere a encontrar una expresión equivalente, pero que no contenga una raíz en el denominador. Con esto, podemos notar que hubo un error en el procedimiento puesto que el resultado incluye una raíz en el denominador.

Al analizar la resolución, notamos que el error se cometió en el último paso (paso 4) ya que ?

2 ¨? 2 “ ?

4 = 2. Recordemos que, al multiplicar raíces de igual índice, se conserva el índice y se multiplican las cantidades subradicales. Así, el procedimiento correcto es:

?1 2 ¨

?2

?2 =

?2

?4 =

?2 2 De esta forma, la alternativa correcta es D.

12.- La distancia de una ciudad a dos atractivos turísticos son de 240.000 m y 570.000 m.Considera que la velocidad media de un tren bala, que conecta la ciudad con ambos atractivos, es de v “ 600^km_h y que v “ ^distancia_tiempo .

¿Cuál de los siguientes valores corresponde a la diferencia entre los tiempos, en h, que se demora el tren bala en llegar desde cada uno de los atractivos turísticos a la ciudad?

A) 1

6 ¨10^´1¨ p57 ´ 24q B) 6 ¨ 10 ¨ p57 ´ 24q C) 6 ¨ 10⁶¨ p57 ´ 24q D) 10⁴¨ p57 ´ 24q Pregunta ID: 1364533 Autor: Puntaje Nacional ..

SOLUCIÓN

La primera observación es darse cuenta que nos piden la diferencia entre los tiempos en horas (h), y que la unidad de medida de la velocidad media del tren bala está en km

h . Por otra parte, la distancia entre la ciudad y los atractivos turísticos está medida en metros (m), por lo que debemos convertir esas distancias a km para así conservar la unidad de medida y calcular el tiempo en h.

También es importante darse cuenta que los valores de las alternativas tienen potencias de 10, lo que nos orienta a que trabajemos con esas potencias. Es así que 240.000 m = 24 ¨ 10⁴ m , 570.000 m = 57 ¨ 10⁴ m y 600 km

= 6 ¨ 10² km .

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Ahora es importante expresar esas distancias en km, donde sabemos que 1000 m = 1 km lo es que es equivalente a 1 m = 1

1000 km que es lo mismo que 1 m = 1 10³ km y por la siguiente propiedad de las potencias a^´1 “ 1

a nos queda que 1m = 10^´3 km.

Ahora convirtiendo la distancia de m a km y usando que a^m ¨ aⁿ “ a^m^`n tenemos que:

24 ¨ 10⁴ m = 24 ¨ 10⁴ ¨ 10^´3 km = 24 ¨ 10^4´3km = 24 ¨ 10¹ km = 24 ¨ 10 km y que 57 ¨ 10⁴ m = 57 ¨ 10⁴ ¨ 10^´3 km = 57 ¨ 10^4´3 km = 57 ¨ 10¹ km = 57 ¨ 10km.

Luego sabemos que v “ d

t, donde d es la distancia y t es el tiempo, y como nos piden la diferencia entre los tiempos, entonces tenemos que despejar t de nuestra ecuación, así t “ d

v.

Llamemos t1 al tiempo que se demora el tren bala desde la ciudad al atractivo turístico ubicado a 570.000m y t2 al tiempo que se demora el tren bala desde la ciudad al atractivo turístico ubicado a 240.000 m, luego la diferencia entre los tiempos que buscamos estará dada por la expresión:

t “ t1´t2 “ 57 ¨ 10

6 ¨ 10²´24 ¨ 10

6 ¨ 10² “ 57 ¨ 10 ´ 24 ¨ 10

6 ¨ 10² “ 10 ¨ p57 ´ 24q 6 ¨ 10² “ 1

6¨10^´1¨p57´24q donde ocupamos la propiedad de potencia que dice a^m

aⁿ “ a^m^´npara 10

10² “ 10^1´2“ 10^´1 y factorizamos por 10 la expresión p57 ¨ 10 ´ 24 ¨ 10q. Es así que la alternativa correcta es la A.

13.- Una calculadora que transforma un número decimal a un número binario se demora 2ⁿ milisegundos en realizar la transformación si el número decimal ingresado está compuesto por n dígitos. Cuando se ingresó un número decimal de 2 dígitos, la calculadora demoró T milisegundos en transformar este número. Si la calculadora hizo cálculos durante 2T, ¿cuántos dígitos tenía el número decimal ingresado?

A) 4 B) 3 C) 3n D) 2

SOLUCIÓN

Podemos representar la situación a través de la siguiente tabla:

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#dígitos Milisegundos

n 2ⁿ

2 T

x 2T

Donde x representa el número de dígitos que andamos buscando.

Como sabemos que la calculadora transforma un número decimal a un número binario en 2ⁿ milisegundos si el número decimal ingresado está compuesto por n dígitos, entonces, si se ingresó un número decimal de 2 dígitos, el sistema se demora 2² milisegundos en hacer la transformación.

Pero el enunciado nos dice que cuando se ingresa un número decimal de 2 dígitos, la calculadora se demoró T milisegundos en hacer la transformación. Por lo que tenemos que T = 2², y necesitamos saber x, que representa el número de dígitos que tiene el número decimal si la calculadora se demoró 2T milisegundos en hacer la transformación, de modo que podemos multiplicar a cada lado de la igualdad por 2, así nos queda que 2T= 2¨2² y por la siguiente propiedad de las potencias a^m¨aⁿ=a^m^`n tenemos que 2T = 2¨2² = 2^1`2 = 2³. Luego, la cantidad de dígitos x que buscábamos es 3, pues el exponente de la potencia representa esa cantidad, de este modo la alternativa correcta es la B.

14.- ¿Cuál de las siguientes expresiones es igual a x¹⁰` x⁴` x²? A) x¹⁶

B) 3x¹⁶

C) x²px⁸` x²` x⁰q D) x²px⁸` x²` x¹q Pregunta ID: 1349973 Autor: Puntaje Nacional ..

SOLUCIÓN

Para este tipo de ejercicios necesitamos conocer las siguientes propiedades de las potencias:

a^m¨ aⁿ“ a^m`n y a⁰ “ 1,

de esta manera nos damos cuenta que

x¹⁰ “ x^2`8 “ x²¨ x⁸ , x⁴ “ x^2`2“ x²¨ x² y x² “ x^2`0 “ x²¨ x⁰,

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así los elementos de la expresión algebraica x¹⁰` x⁴ ` x² tienen como factor co- mún x², de esta forma podemos factorizar la expresión por ese monomio, resultando

x¹⁰` x⁴ ` x² “ x²¨ x⁸` x² ¨ x²` x²¨ x⁰ “ x²px⁸` x²` x⁰q Siendo la alternativa correcta, la opción C.

15.- ¿Cuál de las siguientes expresiones es igual a p²` p2 ´ qq²´ q²` 4q ´ 4?

A) p²´ 2pq ´ 2q² B) p²´ 2q²` 4q C) p²

D) p²` 4q

SOLUCIÓN

para enfrentar este tipo de ejercicio es útil conocer el producto notable cuadrado de binomio, el cual es pa˘b)² “ a²˘2ab+b² y que nos sirve para resolver p2 ´ qq², o bien saber calcular (2 - q)(2 - q).

Usando el desarrollo del cuadrado de binomio tenemos que si a “ 2 y b “ q entonces:

p2 ´ qq² “ 2²´ 2 ¨ 2 ¨ q ` q² “ 4 ´ 4q ` q² De esta forma:

p²` p2 ´ qq²´ q²` 4q ´ 4 “ p²` 4 ´ 4q ` q²´ q²` 4q ´ 4

“ p² ` p4 ´ 4q ` p4q ´ 4qq ` pq²´ q²q “ p² Así, la alternativa correcta es C.

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16.- En una cuenta bancaria compartida por dos hermanas se hacen los siguientes retiros de dinero: Valentina saca p´2 ` 3cq

3 pesos de la cuenta y Javiera 3pd ´ 2q.

¿Cuál de las siguientes expresiones representa la cantidad total de dinero que las hermanas retiraron de la cuenta bancaria?

A) c ` 3d ´ 8 3 B) c ` 3d ´ 20

3 C) c ` 3d ´ 6 D) c ` 3d ´ 8

SOLUCIÓN

Como se trata de una cuenta compartida por dos personas, ambas estarán sacando dinero de una misma fuente, razón por la que la suma de los retiros realizados será el total de pesos que la cuenta ya no posee. Entonces lo anterior se expresa de la siguiente forma:

Dinero retirado = p´2 ` 3cq

3 ` 3pd ´ 2q Dinero retirado = p´2q

3 ` 3c

3 `3d´3¨2 “ ´2

3 `c`3d´6 “ c`3d´2 3´

18

3 “c`3d´20 3 Por tanto, la alternativa B es la correcta.

(21)

17.- En la siguiente imagen se puede observar una piscina de lados px`2qm y p5´xqm, la cual está ubicada en un terreno de lados p2x ` 5qm y px ´ 1qm.

¿Cuál es la expresión equivalente al área del terreno menos el área de la piscina?

A) 3x²` 6x ` 20 B) 3x²´ 15 C) ´x²´ 6x ` 20 D) 2x²` 6x ` 20 Pregunta ID: 1124637 Autor: Puntaje Nacional ..

SOLUCIÓN

Calculando el área de la piscina, luego el área del terreno completo, y haciendo la resta de estas obtenemos:

área de la piscina: px ` 2qp5 ´ xq “ 5x ´ x²` 10 ´ 2x “ ´x² ` 3x ` 10 área del terreno completo: p2x ` 5qpx ´ 1q “ 2x²´ 2x ` 5x ´ 5 “ 2x²` 3x ´ 5 Luego, haciendo la resta del área del terreno completo menos el área de la piscina:

p2x²` 3x ´ 5q ´ p´x²` 3x ` 10q “ 2x²` 3x ´ 5 ` x²´ 3x ´ 10 “ 3x²´ 15 Así, la alternativa correcta es la opción B.

(22)

18.- Sea a “ 3bc

b³` c³ con b y c enteros positivos distintos entre sí. Si b y c se reducen cada uno a su tercera parte, entonces el valor de a:

A) Aumenta a 9a.

B) Aumenta a 81a.

C) Se reduce a a 27. D) Se reduce a a

3. Pregunta ID: 1427309 Autor: Puntaje Nacional ..

SOLUCIÓN

Para saber que sucede con el valor de a cuando b y c se reducen a su tercera parte, en la expresión para a debes reemplazar b y c por sus valores reducidos a su tercera parte, es decir, b

3 y c

3 respectivamente, como se muestra a continuación:

a“ 3ˆ

b 3

˙ ´c 3

¯ ˆb

3

˙3

`´ c 3

¯3 “ 3bc

9 b³ 27 `

c³ 27

“ 3pq

9 b³` c³

27

“ 9bc b³` c³

Puedes notar que el valor de a aumenta a 9a. Por lo tanto, la alternativa correcta es la opción A.

(23)

19.- La velocidad media de un objeto se define como la razón entre la distancia recorrida por el objeto y el tiempo en que tarda en recorrer dicha distancia.

velocidad“ distancia

tiempo que tarda en recorrer dicha distancia

Respecto a la definición mencionada anteriormente, ¿cuál de las siguientes opciones es FALSA?

A) Si la distancia se mantiene constante, entonces la velocidad es inversamente proporcional al tiempo.

B) Si la distancia se mantiene constante y la velocidad disminuye a la mitad, entonces el tiempo también disminuye a la mitad.

C) Si el tiempo se mantiene constante, entonces la distancia es directamente proporcional a la velocidad.

D) Si el tiempo se mantiene constante y la velocidad se triplica, entonces la distancia también se triplica.

SOLUCIÓN

Para este ejercicio, debes recordar la definición de relaciones inversa y directamente proporcional y además, debes analizar cada una de las afirmaciones que aparecen en las opciones y comprobar su veracidad.

Si X e Y son variables inversamente proporcionales con constante K, entonces, se cumple que X ¨ Y “ K.

Si X e Y son variables directamente proporcionales con constante K, entonces, se cumple que X

Y “ K.

Además, puedes asignar la variable v para la velocidad, la variable d para la distan- cia y la variable t para el tiempo y así, se tiene que v “ d

t. De esta última igualdad se pueden obtener las siguientes igualdades:

d“ v ¨ t t“ d

v

La afirmación en A es verdadera, ya que si la distancia se mantiene constante, en- tonces v ¨ t será constante y así, por definición, se podrá asegurar que las variables

(24)

v y t son inversamente proporcionales.

Como v y t son inversamente proporcionales, si una variable disminuye a la mitad, entonces la otra variable debe aumentar el doble. Por lo que la afirmación en B es falsa.

Para comprobar que la afirmación en C es verdadera, debes notar que si el tiempo es constante, entonces d

v será constante y así, por definición, las variables d y v serán directamente proporcionales. Con esto último se asegura que si d se triplica, entonces v se debe triplicar, por lo que la afirmación en D es verdadera.

De esta manera, la alternativa correcta es la opción B.

20.- Sean A “ x ´ y, B “ x ´ 5 y C “ 3 ´ y. Si A es directamente proporcional a B y C con constantes de proporcionalidad 2 y 4 respectivamente, ¿cuál es el valor de y?

A) 1 B) 3 C) 5 D) 9

SOLUCIÓN

Para responder a esta pregunta, debes recordar que si M y N son variables direc- tamente proporcionales con constante K, entonces se cumple que M

N “ K. Con esto, podrás relacionar las variables x e y y así, formar un sistema de ecuaciones que debes resolver para encontrar el valor de x.

Según el enunciado, A es directamente proporcional con B con constante es 2. De esta manera se cumple que A

B “ 2. Al reemplazar A y B por las expresiones dadas en el enunciado se obtiene la siguiente igualdad:

x´ y x´ 5 “ 2

Al multiplicar por la expresión x ´ 5 a ambos lados de la igualdad se obtiene lo siguiente:

(25)

x´ y “ 2px ´ 5q x´ y “ 2x ´ 10

´x ´ y “ ´10 x` y “ 10

Ahora, como A y C también son directamente proporcionales pero con constante igual a 3, entonces con las expresiones dadas en el enunciado se puede plantear la siguiente igualdad:

x´ y 3 ´ y “4

Al multiplicar a ambos lados de la igualdad por la expresión 3 ´ y resulta la si- guiente igualdad:

x´ y “ 4p3 ´ yq x´ y “ 12 ´ 4y

x` 3y “ 12

Por lo que se forma un sistema de ecuaciones lineales.

x` 3y “ 12 x` y “ 10

Puedes notar que si a la primera ecuación se le resta la segunda ecuación de la forma en que están, se obtiene la siguiente igualdad:

2y “ 2 y“ 1

Por lo tanto, la alternativa correcta es la opción A.

21.- ¿Cuál es el valor de y en la ecuación 0,3 + 30y = 1,2?

A) 0,03 B) 0,05 C) 27 D) 45

(26)

SOLUCIÓN

Teniendo la expresión del enunciado:

0,3 + 30y = 1,2 Se resta 0,3 a ambos lados de la igualdad:

30y = 1,2 - 0,3 30y = 0,9

Y luego se divide por 30 a ambos lados de la igualdad:

y = 0, 9 30

Amplificamos por 10 el numerador y denominador para expresar el numerador como entero:

y = 9 300 Dividimos por 3 el numerador y denominador:

y = 3 100 Tres centésimos es equivalente a 0,03. Así:

y = 0,03 Por tanto, la alternativa A es la correcta.

(27)

22.- Sofía y Jorge hicieron una apuesta para ver quién podría ahorrar más dinero en un mes. A una semana de terminar la apuesta, Sofía sabe que tiene el triple de dinero que su hermano, por lo que decide entregarle $8.000.

Después de la donación, Sofía decide comprarse un libro de $5.000, por lo que sus ahorros ahora son el doble de los de su hermano. Considerando x = pesos iniciales de Jorge, ¿cuál de las siguientes ecuaciones modela mejor la situación planteada hasta el momento?

A) 3x ´ 13.000 “ 2px ` 8.000q B) 2p3x ´ 13.000q “ px ` 8.000q C) 3x ´ 5.000 “ 2px ` 8.000q D) 2p3x ´ 8.000q “ px ` 5.000q Pregunta ID: 1345536

Autor: Puntaje Nacional ..

SOLUCIÓN

Una estrategia para dar solución a este ejercicio es modelar la ecuación lineal de primer grado descrita a lo largo del problema. En primer lugar, nos mencionan que debemos considerar x “ pesos iniciales de Jorge, por lo tanto:

Jorge tenía x pesos, y como nos menciona que “Sofía sabe que tiene el triple de dinero que su hermano”, entonces Sofía en este punto tiene 3x pesos.

Dada esta situación, Sofía decide entregarle $8.000 pesos a su hermano, por lo que ahora:

Jorge tiene x ` 8.000 y Sofía tiene 3x ´ 8.000.

Luego, se menciona que Sofía va a comprar un libro de $5.000, por lo que gasta esta cantidad, quedando entonces con 3x ´ 8.000 ´ 5.000 “ 3x ´ 13.000.

Finalmente, se menciona que, una vez comprado el libro, los ahorros de Sofía son el doble de la cantidad de ahorros de su hermano, es decir, lo que tiene actualmente Sofía es dos veces lo que tiene actualmente Jorge [esto es Ahorros Sofía = 2 (Ahorros Jorge)].

Esto, modelado por medio de una ecuación, sería

3x ´ 13.000 “ 2px ` 8.000q, siendo la alternativa correcta la A.

(28)

23.- Un dentista cobra $50.000 por la instalación de frenillos, más $26.000 por cada mes de control. Una familia cuenta con un presupuesto total de $500.000 para hacer el tratamiento de su hija.

¿Cuál es la cantidad máxima de controles mensuales que puede pagar?

A) 18 meses B) 17 meses C) 7 meses D) 6 meses

SOLUCIÓN

Notemos que la familia tiene un presupuesto de $500.000 y en una primera instan- cia debe pagar $50.000 por la instalación de los frenillos, para luego, costear los controles mensuales de $26.000 cada uno, la cantidad de controles la denotaremos por la letra c. Entonces, podemos plantear la siguiente ecuación para representar la situación:

500.000 “ 50.000 ` 26.000 ¨ c Resolviendo, obtenemos

500.000 ´ 50.000 “ 26.000 ¨ c 450.000 “ 26.000 ¨ c

450.000 26.000 “c

17, 3 “ c

Cabe destacar que no es posible costear una fracción de un control, por tanto, el resultado obtenido se aproxima al entero inferior. Por lo tanto, como nos piden la cantidad máxima de controles mensuales que se pueden costear, estos serían 17, alternativa B.

(29)

24.- Dos personas quieren pasar simultáneamente por un puente que puede resistir como máximo 200 kg. La diferencia entre las masas de las dos personas es de 50 kg.

¿Cuál es la masa máxima que puede tener la persona de menor masa para que el puente resista a ambos?

A) 50 kg B) 74 kg C) 75 kg D) 125 kg

SOLUCIÓN

Primero debemos analizar lo planteado en el enunciado.

Por una parte, sabemos que el puente puede resistir como máximo 200 kg. Supon- gamos que la masa de la persona de mayor masa es x y la masa de la persona con menor masa es y. Entonces podemos plantear lo siguiente:

x` y § 200 (1)

Ahora, también se plantea que la diferencia entre las masas de las dos personas es de 50 kg, lo que podemos expresar como:

x´ y “ 50 (2) Entonces, si despejamos x en (2), obtenemos que:

x“ 50 ` y Y reemplazando en (1):

p50 ` yq ` y § 200 50 ` 2y § 200

2y § 150

(30)

y§ 150 2 y§ 75

Como nos preguntan por la masa máxima de la persona de menor masa, entonces consideramos el valor más grande que y puede tomar, es decir, 75. Así, la alterna- tiva correcta es C.

25.- El entrenador personal le recomendó a Juan que en su alimentación diaria consuma no más de 1.800 Kcal y no menos de 1.500 Kcal incluyendo proteínas.

Durante el primer día, Juan ha consumido 1.200 Kcal y aún debe ingerir una porción de proteínas.

En su casa tiene dos tipos de proteínas, cuya información nutricional es presentada de la siguiente manera:

PROTEÍNA 1:

Porción: 2 unidades (200g) Porciones por envase: 4

100g 1 porción

Energía Kcal 200 400

PROTEÍNA 2:

100g 1 porción

¿Cuál de las siguientes opciones le permite a esta persona cumplir con el requeri- miento de Kcal sugerido por el entrenador personal?

A) Comer un mínimo de 2 unidades y un máximo de 4 unidades del tipo 2.

B) Comer 1 porción del tipo 1 y 1 porción del tipo 2.

C) Comer 1 unidad del tipo 1 y 4 unidades del tipo 2.

D) Comer un mínimo de 3 unidades y un máximo de 5 unidades del tipo 1.

SOLUCIÓN

Notemos que Juan ha consumido 1.200 Kcal y su alimentación debe estar entre 1.500 Kcal y 1.800 Kcal. Por lo que al menos le faltan 300 Kcal y como máximo

(31)

puede consumir 600 Kcal.

Ahora analicemos la primera tabla:

PROTEÍNA 1:

100g 1 porción

De la tabla se observa que 1 porción de la proteína 1 aportará 400 Kcal, entonces 2 porciones aportarán 800 Kcal y así sucesivamente. Además 2 unidades son 200 g y 1 porción aporta 400 Kcal, por lo que cada unidad contiene 200 Kcal.

PROTEÍNA 2:

100g 1 porción

En este caso, 1 porción aportará 450 Kcal, 2 porciones aportarán 900 Kcal y así sucesivamente.

Además, 3 unidades tienen una masa de 150 g, por lo que cada unidad son 50 g. Si una porción aporta 450 Kcal, entonces cada unidad contribuye con 150 Kcal.

A partir del análisis anterior, es posible concluir que Juan necesita 2 unidades de la proteína 2 (300 Kcal) y como máximo 4 unidades de la proteína 2 (600 Kcal), lo que corresponde a la alternativa A.

La alternativa B propone una ingesta de 850 Kcal.

La alternativa C propone una ingesta de 800 Kcal.

La alternativa D propone una ingesta de mínimo 600 Kcal y máximo 1.000 Kcal.

(32)

26.- La suma entre la edad de Paola (p) y la edad de Nicolás (n) actualmente es de 56.

Si el doble de la edad actual de Paola menos la tercera parte de la edad actual de Nicolás es igual a la edad de Paola en dos años más. ¿Cuál de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales permite determinar la edad actual de Paola y de Nicolás?

A)

p“ 56 ´ n p

2 ´3n “ p ` 2 B)

p` n “ 56 2p ` 3n “ p ` 2 C)

p` n “ 56 2p ´ n

3 ´2 “ p D)

p“ 56 ´ n 2p ` n

3 “p´ 2 Pregunta ID: 1389214 Autor: Puntaje Nacional ..

SOLUCIÓN

Una forma de abordar esta pregunta es formar un sistema de ecuaciones lineales con la información que entrega el enunciado, considerando que p representa la edad de Paola y n la edad de Nicolás.

Lo primero que se explica se menciona es que la suma de las edades actuales de Paola y Nicolás es 56, por lo tanto, podemos formar la ecuación p ` n “ 56.

Por otro lado, nos dicen que el doble de la edad actual de Paola menos la tercera parte de la edad actual de Nicolás es igual a la edad de Paola en dos años más. El doble de la edad actual de Paola se representa como 2p, la tercera parte de la edad actual de Nicolás se representa como n

3, y la edad de Paola en dos años más se representa como p ` 2. De esta forma, la segunda ecuación se puede escribir como 2p ´ n

3 “p` 2 que es equivalente a 2p ´n

3 ´2 “ p.

Así, se puede formar el sistema

(33)

p` n “ 56 2p ´ n

3 ´2 “ p Por lo tanto, la alternativa correcta es la C.

27.- Una bolsa contiene un total de 52 panes del tipo M y N. Cada pan del tipo M tiene una masa de 30 g y cada pan de tipo N 110 g. Si la masa total de los panes en la bolsa es de 1.960 g, ¿cuántos panes son del tipo N?

A) 5 B) 12 C) 26 D) 47

SOLUCIÓN

Notamos que tenemos un problema con dos incógnitas (M y N) y cuyo enunciado permite plantear dos ecuaciones, creando un sistema de ecuaciones.

Pasos 1: Podemos plantear las siguientes ecuaciones

(1) M ` N “ 52 Ñ Pues nos dicen que hay una bolsa que contiene en total 52 panes de dos tipos, M y N.

(2) 30 g ¨M + 110 g N = 1.960 g Ñ Esta ecuación iguala la masa total de panes en la bolsa (1.960) con la suma entre la masa total del tipo M (30¨M) y con la masa total de panes del tipo N (110¨N).

Paso 2: Hacemos un sistema de ecuaciones y reemplazamos En (1) despejamos M Ñ M “ 52 ´ Np3q

En (2) 1.960 g = 30 g ¨p52 ´ Nq ` 110 g ¨N Ñ reemplazo M de (1) en (2) 1.960 g

= 30 g ¨52 ´ 30 g N ` 110 g ¨N Ñ distribución en la mult.

1.960 g = 1.560 g ´ 30 g ¨N ` 110 g ¨N Ñ multiplicación en los enteros.

1.960 g = 1.560 g + 80 g ¨N Ñ suma en los enteros.

400 g = 80 g N Ñ inverso aditivo del 1.560 g.

5 = N Ñ inverso multiplicativo 80 g.

Por lo tanto, hay 5 panes del tipo N. Así, la alternativa correcta es la opción A.

(34)

28.- El centro de estudiantes de un colegio de Arica decide arrendar una fotocopiadora para imprimir material para los estudiantes que lo necesiten. El costo, en pesos, por arrendar la impresora se modela mediante la función f(x) = 10¨x + 20.000, donde x es la cantidad de páginas impresas en un mes.

¿Cuántas páginas como máximo es posible imprimir en un mes si el presupuesto del cual se dispone es $35.000?

A) 1.500 hojas B) 2.000 hojas C) 3.500 hojas D) 5.500 hojas

SOLUCIÓN

La función que modela el costo en función de las páginas impresas es f(x) = 10¨x + 20.000. Ésta es una función afín porque al reemplazar por x = 0, el valor de la función es distinto de 0.

Para encontrar el valor máximo de hojas a imprimir se debe igualar la función del costo con el presupuesto mensual que dispone el centro de estudiantes ($35.000).

Luego de lo anterior, despejamos la incógnita (número de hojas a imprimir).

35.000 = 10¨x + 20.000 15.000 = 10¨x

1.500 = x

De esta forma, la respuesta correcta es la alternativa A, 1.500 hojas.

(35)

29.- Considera la función g, cuyo dominio es el conjunto de los números reales, definida por gpxq “ 5x ´ 2. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa a la gráfica de g?

A)

B)

C)

D)

SOLUCIÓN Paso 1:

Sabemos que el gráfico representa una función afín de la forma fpxq “ mx`n, donde m representa la pendiente, es decir si m ° 0 la función es creciente y si m † 0 es decreciente; por otra parte, n representa el punto de corte de la función con el eje y.

Paso 2:

(36)

En este caso m “ 5 ° 0 y n “ ´2, lo que nos dice que la función es cre- ciente y el punto de corte con el eje y es (0,´2). Por lo que nos quedan las opciones A y B, pues en C y en D corta en (´2,0) no en (0,´2).

Paso 3:

Ahora, notemos que en ambos casos se evalúa la función en 1, por lo que vea- mos cuál es el valor de y cuando x = 1.

fpxq “ 5x ´ 2 fp1q “ 5 ¨ 1 ´ 2

fp1q “ 5 ´ 2 fp1q “ 3

Esto nos dice que, cuando la función se evalúa en x “ 1, el valor de y es 3. Por lo tanto, el gráfico correcto es el B.

30.- Una compañía telefónica ofrece un plan mensual cuyo cargo fijo es de $4.500. Este plan solo incluye llamadas y $78 por GB de internet de consumo, pero si se superan los 100 GB de internet al mes, se aplica un recargo de $42 por cada GB de exceso.

¿Cuál de las siguientes funciones permite calcular el total que se debe pagar en un mes si utilizan x GB y además x supera los 100?

A) fpxq “ 4.500 ` p100 ¨ 78q ` 120px-100q B) fpxq “ 4.500 ` 120x

C) fpxq “ 4.500 ` p100 ¨ 78q ` 120x D) fpxq “ 4.500 ` p100 ¨ 78q ` 42x Pregunta ID: 1351021

Autor: Puntaje Nacional ..

SOLUCIÓN

Realicemos una tabla para ordenar los datos

Cobro Valor Justificación

Cargo fijo plan $4.500 Se cobra de forma fija todos los meses, independiente de los GB.

Consumo x §

100 GB $78 por GB normal La compañía cobra $78 por GB de internet.

Consumo x °

100 GB $78 por GB normal o

$78 + $42 = $120 por Si se superan los 100 GB de internet al mes, se aplica un recargo de

(37)

Ahora para poder armar nuestra función con x GB de consumo x ° 100 GB (1) Tenemos $4.500 de cargo fijo por el plan que incluye solo llamadas.

(2) Luego tenemos de base $78 ¨ 100 pues en la pregunta nos dicen que se superan los 100 GB de consumo.

(3) Por lo mismo, se le aplica el recargo y nos quedan $120(x - 100) que son los GB que nos faltan para cumplir el consumo del mes, pues ya estamos cubriendo los primeros 100 GB con su respectivo valor en (2).

Por lo que nuestra función final sería fpxq “ 4.500 ` p100 ¨ 78q ` 120px ´ 100q, la alternativa A.

31.- Una tienda de zapatos tiene un sistema de acumulación de puntos que está en relación con la cantidad de dinero que gastan los clientes, de tal forma que estos pueden cambiar los puntos acumuladas por un modelo de zapato que se venda en el local.

Por cada $x el cliente acumula x

20 puntos y, además, se obtienen 2.000 puntos mensuales adicionales si se compra al menos una vez en el mes.

Si al comenzar octubre un cliente ha acumulado 50.000 puntos y compra la primera semana unas botas en $24.000 y la semana siguiente compra unas zapatillas en

$16.000.

¿Cuántas puntos tendrá acumulados al final de este mes para canjearlos por un producto de esa sucursal?

A) 4.000 B) 52.000 C) 54.000 D) 93.000

SOLUCIÓN

Primero calculemos los puntos obtenidos por la compra de $24.000 son:

24,000

20 “1200

Luego, los puntos obtenidos por la compra de $16.000 son:

16.000

20 “800

(38)

También es posible sumar los montos de las dos compras y dividir esta cantidad por 20.

Ahora, notemos que el cliente obtiene los 2.000 puntos mensuales adicionales pues compró 2 veces en octubre.

Finalmente, los puntos se verían así:

Acumulado hasta octubre 50.000

Compra $24.000 1.200

Compra $16.000 800

Puntos mensuales por comprar al

menos 1 vez 2.000

Al sumarlos vemos que los puntos que tendrá acumulados al final de este mes son 54.000. De esta forma, la alternativa correcta es la opción C.

32.- Un deportista lanzador de la “bala” ha descubierto que la trayectoria del lanza- miento está modelada por la función fpxq “ ´px ´ 2q² ` 4. ¿Cuál es la altura máxima en metros que alcanza la bala en el aire?

A) 2 metros B) 4 metros C) 8 metros D) 12 metros

SOLUCIÓN

Para resolver este problema, primero desarrollamos la función fpxq.

fpxq “ ´px ´ 2q²` 4 “ ´px²´ 4 ¨ x ` 4q ` 4 “ ´x²` 4 ¨ x ´ 4 ` 4 “ ´x²` 4 ¨ x Luego podemos identificar los coeficientes que acompañan a cada número en la función cuadrática: a “ ´1, b “ 4 y c “ 0. Como el coeficiente a es negativo, entonces podemos concluir que la función tiene concavidad negativa y presenta un valor máximo en su vértice.

La altura máxima estará dada por la ordenada del vértice, por lo tanto, buscamos las coordendas:

Primero buscamos la abscisa del punto: ´b ´4

(39)

Luego reemplazamos la abscisa (coordenada “x”) en la función:

fp2q “ ´x²` 4 ¨ x “ ´p2q²` 4 ¨ 2 “ 4

Así, obtenemos que la bala alcanza una altura máxima de 4 metros.

De esta forma, la alternativa correcta es la letra B.

33.- Un proyectil es lanzado desde el suelo y su desplazamiento es modelado mediante la función fptq “ ´6t² ` 45t, en donde t es el tiempo. ¿Cuánto tiempo tarda el proyectil en impactar al suelo?

A) 4, 5 seg B) 5, 5 seg C) 6, 5 seg D) 7, 5 seg

SOLUCIÓN

Para calcular el tiempo que tarda en impactar al suelo, basta con calcular los ceros de la función, en este caso:

´6t²` 45t “ 0 tp´6t ` 45q “ 0 t“ 0 _ ´6t ` 45 “ 0

t“ 0 _ ´6t “ ´45

t “ 0 _ t “ ´45

´6 t“ 0 _ t “ 7, 5 Así, la alternativa correcta es la opción D.

(40)

34.- En la gráfica adjunta se muestra una función cuadrática, ¿cuál de las siguientes alternativas representa mejor esa función?

A) fpxq “ x²` 4x ´ 4 B) fpxq “ 2x²` x ´ 1 C) fpxq “ x²` x ´ 6 D) fpxq “ ´x² ´ x ` 6 Pregunta ID: 1044825 Autor: Puntaje Nacional ..

SOLUCIÓN

En la gráfica es posible notar que la función corta al eje X en los puntos x1 “ ´3 y x2 “ 2, de esta forma podemos hallar la función resultante aplicando:

x` 3 “ 0 y x ´ 2 “ 0 A partir de ello, formamos:

px ` 3qpx ´ 2q “ 0 Donde obtenemos que:

x²` x ´ 6 “ 0 De tal forma, la función es:

fpxq “ x²` x ´ 6 Por lo tanto, la alternativa correcta es la opción C.

(41)

35.- Ana debe resolver un ejercicio de función cuadrática y lo que ella necesita es saber la ecuación del eje de simetría de la parábola fpxq “ 4x²`15

8 x´ 1. Su profesor le dice que la ecuación del eje de simetría es x “ ´b

2a. Entonces Ana realiza el siguiente procedimiento:

Paso 1:

x“ ´b

2a Øx“ ´15 2 ¨ 48 Paso 2:

x“ ´15 88 Paso 3:

x“ ´15 8 ¨8 Paso 4:

x“ ´15

Cuando le muestra el desarrollo al profesor, este le dice que hay un error en uno de los pasos hechos por Ana. ¿En qué paso cometió el error Ana?

A) Paso 1 B) Paso 2 C) Paso 3 D) Paso 4

SOLUCIÓN

El error cometido por Ana está en el paso 3, y es porque aplica de mal forma la propiedad de la división de números racionales. El procedimiento correcto es el siguiente:

x“ ´b 2a

x“ ´15 2 ¨ 48

(42)

x“ ´15 88

x“ ´15 8 : 8

x“ ´15 64

De esta manera, puedes notar que en el “Paso 3” está el error. Así la opción correcta es C.

36.- Durante un incendio en un edificio, la compañía de bomberos que acude a extin- guirlo cuenta con una escalera de 25 metros. Si el pie de la escalera debe estar a una distancia mínima de 15 metros del edifico y la distancia entre pisos del edifico es 3 metros. ¿Hasta cuál piso podría subir el cuerpo de bomberos utilizando la escalera?

A) Piso 6^˝ B) Piso 7^˝ C) Piso 8^˝ D) Piso 20^˝

SOLUCIÓN

Para resolver este problema, podemos hacer un bosquejo de la situación:

Si observamos bien, se forma un triángulo rectángulo, por lo tanto, podemos aplicar el teorema de Pitágoras. Por otra parte, como se busca alcanzar el piso más alto posible, el cateto horizontal debe ser lo más pequeño posible, es decir, de 15 metros de acuerdo con la restricción del enunciado.

Luego de este análisis, calculamos el valor del cateto vertical con el teorema de Pitágoras:

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15² + x² = 25² 225 + x² = 625

x² = 400 x = 20

Así, resulta que el cateto vertical mide 20 metros. Si la distancia entre los pisos es de 3 metros, entonces podemos dividir 20 en 3 para averiguar hasta que piso puede subir el cuerpo de bomberos a través de la escalera.

20

3 = 6,6 pisos

De esta forma los bomberos pueden llegar hasta el piso 6 a través de la escalera, es decir, la alternativa correcta es A.

37.- Una escalera de 10 m de longitud se apoya en la pared. La distancia desde el piso hasta la escalera mide 6 m.

La posición de la escalera se desplaza horizontalmente 3 m hacia la muralla, como muestra la figura:

¿Cuántos metros se deslizó hacia arriba la escalera?

A) 3 m B) 5?

3 m C) 9 m D) 5?

3 ´ 6 m

(44)

SOLUCIÓN

Para enfrentar el ejercicio, se puede notar que en ambas situaciones se forma un triángulo rectángulo, por lo que como conocemos la hipotenusa (10 metros) y que un cateto en la primera posición era de 6 metros, por teorema de Pitágoras conoceremos el otro lado:

x²` 6² “ 10² x“?100 ´ 36 x“?

64 “ 8m

Entonces como se desplazó 3 metros a la izquierda, la medida de ese lado será 5 metros, por lo que se puede conocer la medida del otro lado aplicando Pitágoras nuevamente:

y²` 5² “ 10²

y“?100 ´ 25 “ ?75 “ 5?3

Como nos preguntan por los metros que se deslizó hacia arriba la escalera, debemos restar la altura incial de esta, que son 6 metros. Por lo tanto, la respuesta es 5?

3 ´ 6. De esta forma la alternativa D es la correcta.

(45)

38.- Si en la figura AO “ 3PC y OP “ 24cm

¿Cuál es la resta entre la mayor y la menor de las áreas de los dos semicírculos de centro O y P?

A) 72fi cm² B) 144fi cm² C) 180fi cm² D) 288fi cm²

SOLUCIÓN

Para obtener las áreas de los semicírculos y luego restarlas, se necesita conseguir primero el radio de ambas. Para ello el enunciado dice que el radio del semicírculo de centro O es 3 veces al de centro P y que OP , que es en realidad la suma de los radios, es igual a 24 cm. Con esas dos informaciones se pueden conocer los respectivos radios:

AO` P C “ OP 3P C ` PC “ 24

4P C “ 24

P C “ 6cm

Con lo anterior se puede concluir que el radio grande, es decir, AO “ 18 cm. Así la resta de áreas, donde la fórmula para un semicírculo es 1

2ﬁr², es la que sigue:

1

2ﬁp18q²´ 1

2ﬁp6q² “ 324

2 ﬁ´36

2 ﬁ “ 288

2 ﬁ“ 144ﬁcm²

(46)

Entonces la respuesta correcta es B.

39.- A Nicolás le enviaron como tarea para la clase de matemáticas encontrar objetos de la vida cotidiana a los cuales se les pueda calcular el área por medio de triángulos, paralelogramos, trapecios o círculos y representar por medio de una ecuación cómo calcularán dicha área. Para esto, él decide ir a la plaza a buscar algo a lo que le pueda calcular el área y se encuentra con un luche de la siguiente forma:

Nicolás logró darse cuenta de que la figura consta de 9 cuadrados de igual tamaño y un semi círculo. Si la medida del lado de un cuadrado es de 5 cm, ¿cuál de las siguientes alternativas representa el área del luche?

A) 9 ¨ 5 ` 2 ¨ fi ¨ 5 B) 9 ¨ 5 ¨ 5 ` fi ¨ 5 C) 9 ¨ 5 ` fi ¨ 5² D) 9 ¨ 5 ¨ 5 ` fi¨ 5²

2 Pregunta ID: 1345636 Autor: Puntaje Nacional ..

SOLUCIÓN

Una manera de dar solución a este ejercicio es organizar la información qué este nos entrega, así sabremos con mayor claridad que nos están preguntando y qué debemos calcular para responder de manera correcta.

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Entonces, como primera observación podemos organizar la información que nos entrega el enunciado en la siguiente tabla:

¿Qué nos piden

calcular? ¿De qué figuras

está compuesto? ¿Cuáles son las medidas que co- nozco?

¿Qué fórmulas debo ocupar?

El área del luche 9 cuadrados y un

semi círculo Los cuadrados

son de lado 5 cm Área del cuadrado Área del círculo

Una vez que tengamos clara la información, podemos calcular utilizando las fórmu- las necesarias, que en este caso serían:

Área del cuadrado lado ¨ lado Área del círculo ﬁ (radio)² Entonces, cada cuadrado del luche tiene área 5 ¨ 5 = 25 cm²

Sumado a esto, dado que es un semicírculo la otra figura que forma parte del luche debemos dividir en dos el resultado al que lleguemos, es decir, utilizaremos como fórmula ﬁ¨ pradioq²

2 . Reemplazando con los datos del ejercicio y dado que el semicírculo tiene radio = lado del cuadrado, obtenemos ﬁ¨ p5q²

2 .

Finalmente, dado que la figura está compuesta de 9 cuadrados iguales y un se- micírculo, la ecuación que representa el área del luche es 9 ¨ 5 ¨ 5 + ﬁ¨ p5q²

2 . La primera parte por los 9 cuadrados y la segunda por el área del semicírculo.

Por lo tanto, la alternativa correcta es la D.

(48)

40.- En el colegio, Javier debe confeccionar un perro como el siguiente:

Está compuesto de cuadrados congruentes entre sí, dibujados uno al lado del otro como en la figura anterior.

Javier calculó el área total de los cuadrados, y le dio 176cm², luego debe calcular el perímetro de la figura del perro compuesta por los cuadrados para saber cuánta lana necesita colocar en los bordes para decorarlo. ¿Cuál es la longitud de la lana que debe usar Javier?

A) 160cm B) 88cm C) 68cm D) 40cm

SOLUCIÓN

Primero, como tenemos el área total, podemos calcular el área de cada cuadrado Si contamos, son 11 los cuadrados los que constituyen al perro. Por lo tanto, cada cuadrado tiene un área de:

176cm²

11 “ 16cm²

Por otra parte, sabemos que el área de un cuadrado de lado a corresponde a la

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Entonces podemos calcular el lado de los cuadrados a partir de la siguiente ecuación:

a² “ 16cm² a“ ˘?

16cm² a“ ˘4cm

Como estamos considerando una distancia, nos quedamos con la solución a “ 4cm.

De esta forma, para conocer el perímetro de la figura ya tenemos la medida de los lados y, por tanto, nos falta contar cuántos lados hay en la figura, porque no todos los cuadrados van de vértice a vértice.

Podemos notar que hay 21 lados completos y 2 mitades de lados, por lo que son un total de 21 + 1 = 22 lados.

Finalmente, multiplicamos la longitud de cada lado por 22.

4 cm ¨ 22 = 88 cm

Por lo que Javier necesita 88 cm de lana para cubrir toda la figura, es decir, la alternativa correcta es B.

41.- El profesor de matemáticas de un curso de enseñanza media le pide a sus estudiantes expresar que las siguientes figuras tienen igual área. ¿Cuál alternativa expresa lo anterior correctamente?

A) 2x ` 2y ´ 4 “ 20 B) 2x ´ 4

2 ¨ 4 “ 24 C) 2x ´ 4 ` y “ 10 D) 4x “ 24

SOLUCIÓN

En este caso, nos piden expresar que el área del trapecio (AT) izquierdo es igual al área del rectángulo derecho (AR). Recordemos como calcular estas áreas: