Título"Fórmulas analíticas de integración para el cálculo de tomas de tierra mediante el método de elementos de contorno

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(1)Preprint of the paper "Fórmulas analíticas de integración para el cálculo de tomas de tierra mediante el Método de Elementos de Contorno" I. Colominas, F. Navarrina, M. Casteleiro (1993) En "Métodos Numéricos en Ingeniería", Sección: "Métodos Numéricos", pp. 855--864; F. Navarrina y M. Casteleiro (Editores); Sociedad Española de Métodos Numéricos en Ingeniería SEMNI, Barcelona (ISBN: 84-87867-23-5) http://caminos.udc.es/gmni.

(2) FORMULAS ANALITICAS DE INTEGRACION PARA EL CALCULO DE TOMAS DE TIERRA MEDIANTE EL METODO DE ELEMENTOS DE CONTORNO (BEM) I. Colominas, F. Navarrina y M. Casteleiro E. T. S. de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos, Universidad de La Coru~ na, Campus de Elvi~ na S/N, 15192 La Coru~ na, ~ ESPANA. RESUMEN La resolucion de problemas en Teora del Potencial, y en particular, el calculo de tomas de tierra en instalaciones electricas, ha adquirido nuevas perspectivas mediante la aplicacion del Metodo de Elementos de Contorno [4,5]. Este ha permitido la obtencion de formulaciones generalistas que incluyen a los distintos procedimientos intuitivos de calculo empleados hasta el momento [2,3]. El desarrollo de la formulacion completa basada en el Metodo de Elementos de Contorno, y su discusion, pueden encontrarse en trabajos recientes [4,5,6], en tanto que en este artculo se presentan las tecnicas de integracion analtica desarrolladas para el tratamiento de sus ecuaciones discretizadas. En primer lugar se deriva el calculo del potencial generado por un electrodo en un punto del espacio, que es la base para los calculos de las contribuciones elementales (integrales) del sistema de ecuaciones lineales obtenido de la discretizacion del problema en elementos de contorno [6]. Estas contribuciones, que pueden interpretarse como medidas ponderadas de los potenciales generados por un electrodo sobre otro en el espacio, se analizan para distintas posiciones relativas caractersticas de los electrodos.. 1. INTRODUCCION Sucesivas simpli caciones aplicadas a la formulacion general de elementos de contorno [6] permiten reducir paulatinamente la complejidad del problema de calculo de una toma de tierra. Finalmente, cada uno de los conductores cilndricos que conforman la toma de tierra puede modelizarse mediante un segmento de recta en el espacio |el eje de la barra cilndrica| de nido por sus puntos extremos, y dotado de una propiedad geometrica adicional |el diametro de la barra| que se tiene en cuenta en los calculos. El potencial generado por un electrodo en un punto del espacio x puede obtenerse como suma de las contribuciones de cada uno de los conductores que componen la toma de tierra [6]. De este modo, en la formulacion simpli cada 1D de elementos de contorno es preciso determinar terminos de la forma Z b b ) Nbi (b ) dL k(x ; b (1) Vi (x ) = 4 b2L donde Vbi (x) es la contribucion de la funcion de prueba i-esima al potencial generado por el elemento recto L que forma parte del electrodo L (que ha sido.

(3) discretizado en m elementos de contorno 1D fL g) en un punto del espacio x . fNbi(b )g es un conjunto dado de n funciones de prueba de nidas en L, es el diametro del electrodo cilndrico que se asume constante en cada elemento y es la conductividad aparente del terreno en el que se encuentra el sistema de tomas de tierra. Siendo b un punto de la recta L y b0 su simetrico respecto a ) viene dado por la super cie del terreno, el nucleo de integracion bk(x ; b 1. bk(x; b) =. ) rb(x ; b. +. 1. !. rb(x ; b0 ). ; rb(x ; b) =. q. jx 0 b j2 + (. =2)2. (2). Por otra parte, la discretizacion simpli cada en elementos de contorno 1D del problema [6], conduce a un sistema lineal cuyos coe cientes son. bji = R. . Z. 4. bj (b) N. b 2L . "Z. b2L. bbk(b; b)Nb (b ) dL i. #. dL. . (3). donde Rbji es la contribucion de la funcion de prueba i-esima al potencial generado por el elemento L sobre otro elemento L de diametro , promediado bk(b; b), por la funcion de test j -esima. En este caso el nucleo de integracion b b un punto de la recta L , es siendo . bbk(b; b ) =. 1. 1. !. brb(b; b) + brb(b; b0 ). 2. FORMULACION. DEL. ;. q bbr(b; b ) = jb 0 b j2 + (. POTENCIAL. =2)2 + ( =2)2 (4). GENERADO. POR. UN. ELECTRODO EN UN PUNTO DEL ESPACIO. 2.1. C alculo de la integral de l nea en el electrodo. La lnea de un elemento L queda perfectamente de nida por las coordenadas cartesianas de sus puntos extremos b 1 y b 2 . Haciendo uso del punto medio b 0 , la longitud L , y el versor director bs cualquier punto b del elemento se expresa como:. b = b 0 + L bs 2. ;. b 0 = b 2 + b 1 ;. L. = jb 2 0 b 1 j;. bs. =. b 2 0 b 1. 2 L (5) para un valor del parametro escalar comprendido entre 01 y 1, (dominio de las funciones de forma isoparametricas). Efectuando este cambio de la variable en la ecuacion del potencial elemental (1) se obtiene Z =1 L bk(x; b()) Nbi (b ()) d (6) Vbi (x ) = 8 =01 Las funciones de prueba Nbi (b ( )) se denotaran, en lo sucesivo, como ei() haciendo referencia a las funciones de forma comunmente empleadas en N elementos nitos, por lo que, teniendo en cuenta (2), Z =1 Ne () Z =1 Ne () L L i i d (7) Vbi (x ) = d + b 8 8 =01 rb(x ; ( )) =01 rb(x ; b0 ( )).

(4) Por otra parte, el desarrollo en serie de potencias hasta el termino de segundo grado de la funcion Nei () alrededor del punto permite expresar esta en terminos de valores conocidos de la funcion, su primera y segunda derivadas, como 2 1 nb0i = Nei () 0 Nei0 () + Nei00 (); nb1i = Nei0 () 0 Nei00 (); nb2i = Nei00 () 2 2 2 e Ni ( ) = nb0i + nb1i + nb2i (8) 2.2. Analisis geometrico. Sean p0 la distancia del punto x a su proyeccion ortogonal sobre la direccion del electrodo; y q la distancia desde dicha proyeccion al punto medio b 0. La distancia desde cualquier punto x a un punto b del electrodo es igual a. jx 0 b j = L. 2. q. pb20 + (qb 0 )2 ;. p0 L =2 ;. pb0 =. qb =. q L =2. (9). Analizando el primero de los sumandos integrales de (7), el termino rb(x; b()) se puede escribir en terminos de parametros constantes para un elemento y un punto x dados, siendo unicamente funcion de la variable escalar . Es decir q L =2 b rb(x ; ( )) = pb2 + (qb 0 )2 ; pb2 = pb20 + b2; b = 2 L =2 (10) Mediante la substitucion de las funciones (8) y la expresion de rb(x; b()) en el primer termino de (7) se obtienen . 8. L. Z. =1. Nbi ( ) d = b 4 =01 rb(x ; ( )). Z. =1. nb0q b1i + nb2i 2 i+n d: 2 2 pb + (qb 0 ) =01. (11). Si se efectua un cambio en la variable para facilitar la integracion, esta expresion se reescribe como . 8. L. Z. =1 =01. Nbi ( ) d rb(x ; b ( )). + (nb1i + 2qbnb2i). Z. t=10qb t=010qb. . . = 4 q. t t + pb 2. 2. nb0i + nb1i qb + nb2i qb. 2. dt + nb2i. Z. t=10qb. t=010qb. . Z. t=10qb. t=010qb. q. t2 t + pb 2. 2. 1 dt t2 + pb2. q. dt. . (12) La resolucion analtica de estas tres integrales conduce a las expresiones nales: Z =1 1 Nb () d = 8(pb; qb) L b ( )) i 8 4 (13) x r b ( ; =01 8(pb; qb) = V (0) '(0) + V (1) '(1) + V (2) '(2).

(5) . . V (0) = nb0i + nb1i qb + nb2i qb2 0 (pb2=2) ; V (1) = nb1i + 2 qbnb2i; V (2) = nb2i=2 1 + qb 1 0 qb + argsh pb ' = argsh pb q q '(1) = (1 0 qb)2 + pb2 0 (1 + qb)2 + pb2 . (0). '. (2). q. (14) q. = (1 0 qb) (1 0 qb) + p + (1 + qb) (1 + qb)2 + pb2 2. b2. El calculo se completa aplicando el resultado de la ecuacion (13) al segundo termino de los sumandos integrales de (7). Si se denominan pb y qb los parametros geometricos de los puntos (x; b), y pb0 y qb0 los parametros geometricos de los puntos (x; b0), el potencial del elemento se obtiene de Vbi (x ) =. . 4. 2. 8(pb; qb) + 8(pb0 ; qb0 ). 3. (15). 3. POTENCIAL DE DOS ELECTRODOS EN EL ESPACIO. 3.1. C alculo de las integrales de l nea sobre los electrodos. La lnea de un elemento L queda de nida por las coordenadas cartesianas de sus puntos extremos b1 y b2. El punto medio b0, la longitud del elemento L , y el versor director bs permiten expresar un punto cualquiera b del elemento como b2 0 b1 = 2 L (16) para valores del parametro escalar comprendido entre 01 y 1, (dominio de las funciones de forma isoparametricas). Introduciendo este cambio de variable b, junto con el cambio de b de (5) en la expresion (3), b = b 0 + . Rbji =. L sb ; 2. . 16. b 0 =. L L. Z. b2 + b1. =1 =01. L = jb2 0 b1j;. ;. Nbj (b ()). "Z. =1 =01. b s. #. . ( (); b())Nbi (b ()) d d (17). b b k b. Al igual que en el caso de Nbi (b ()) en la ecuacion del potencial (6), las funciones Nbj (b()) se denotaran, en lo sucesivo, como Nej (). Desarrollando en serie de potencias hasta el termino de segundo grado de las funciones Nej () alrededor del punto , resulta nb0j = j ( ) 0 Ne. 2 e 00 1 e 00 () e 0 ( ) 0 N e 00 ( ); n b1j = N b2j = N j j j j ( ) + Nj ( ); n. Ne 0. 2. Nej () = nb0j + nb1j + nb2j 2. 2. (18).

(6) siendo Nej (), Nej0 () y Nej00 () la funcion, primera y segunda derivadas evaluadas en el punto . Si se substituyen en (17) estas expresiones, las de (8) y el nucleo de integracion (4) resulta Rb. ji. =. . 16. . LL. Z. =1 . =01 Z =1 =01. Z. nb0j + nb1j + nb2j 2. . nb0i + nb1i + nb2i 2. r. jb() 0 b ()j + 2. . . 2. 2. +. . . 2. d. (19). 2. =1. . . nb0i + nb1i + nb2i 2 r + d d 2 2 2 0 =01 j b() 0 b ( )j + 2 + 2. Esta expresion es el resultado de la integracion de unas integrales analogas a las del potencial (11) y por tanto puede hacerse uso de los resultados (14) y (15) rede niendo de forma conveniente los coe cientes, es decir, Rb. ji. =. . 8. R b. 2 ; b1 ; b2 ) ji (b 1 ; b. . L. =. R b. 1 ; b 2 ; b1 ; b2 ) ji (b. Z =1 . =01. + Rji b. (b 0 ; b 0 ; b 1. 2. b2 1; . ). . (20). . nb0j + nb1j + nb2j 2 8(pb(b()); qb(b()))d q. pb2 (b()) = pb20 (b()) + b2 ;. b =. 0. 12. ( =2) + =2 L =2 2. (21) (22). Rb ji (b 1; b 2; b1; b2) es la integracion entre dos barras cilndricas que se. de nen por las coordenadas cartesianas de los puntos extremos de sus ejes. As se analizara el primero de los sumandos de (20), y el segundo se considerara como la integracion entre otras dos barras con coordenadas distintas (las de los puntos simetricos a b 1 y b 2) y a la que se aplicaran los mismos resultados. 3.2. Analisis geometrico de dos rectas en el espacio. Dos rectas cualesquiera en el espacio siempre pueden orientarse, efectuando las oportunas traslaciones, de forma tal que el origen de coordenadas este situado en el centro de una de las dos rectas y que por ella pase uno de los ejes cartesianos. Sean la recta aquella de nida por los puntos extremos (b 1; b 2) y la recta aquella de nida por los puntos (b1; b2). Si se situa el origen en el centro de la recta y se hace coincidir dicha barra con el eje Y , las rectas estaran de nidas por unas nuevas coordenadas de sus puntos extremos referidos a este nuevo sistema que se denominaran (e 1; e2) y (e1; e2). Haciendo uso de las relaciones (5), las nuevas coordenadas de la recta y el versor director son e . 1. = (0; 0 L2 ; 0);. e . 0. = (0; 0; 0);. e . 2. = (0; L2 ; 0);. e s. = (0; 1; 0).

(7) A su vez, la recta queda ahora de nida por los nuevos puntos (e1; e2) y caracterizada por las coordenadas del punto medio e0 y el versor director es . Las distancias p0 y q (9) de un punto e de la recta a un punto de la recta son, en funcion de las coordenadas cartesianas de e p20 = e2 x + e2 z. q 2 = e2 y. (23). y dado que cualquier punto de la recta se puede determinar con (16), haciendo uso de (22), las distancias adimensionales pb y qb resultan pb = . L = ; L . q. . C 2 + 2 D + E 2 2 ;. . . . 2. A = e0y ; L =2 2. qb = fA + B g . B = esy ; 0q. . D = e0x sex + L =2 12 12. 0. ( =2) + =2 C 2 = e0x + e0z + @ L =2 L =2 L =2 2. A. . (24) . e0z se L =2 z. E 2 = es2x + es2z. ;. (25) Estos coe cientes son la clave de todo el desarrollo que sigue a continuacion ya que en ellos esta contenida toda la informacion para calcular las distancias entre dos puntos de dos rectas y en cualquier disposicion espacial. 3.3. Calculo de las integrales elementales. La substitucion en (21) de las formulas analticas 8(pb; qb) deducidas en la ecuacion del potencial (14) conduce a una expresion que es funcion unicamente de las funciones de forma y de los parametros geometricos adimensionales pb y qb, es decir,. Rb ji (b 1; b2; b1; b2) = . Z =1 . =01 . nb0i + nb1i qb + nb2i qb. + (nb1i + 2 qbnb2i ). q. 2. nb0j + nb1j + nb2j 2. t2 + pb2. t=10qb. . 0 (pb =2) 2. t=10qb. . argsh pbt. t=010qb. nb2i. (26). t=010qb. q. + 2 t t2 + pb2. t=10qb . t=010qb. d. Si en este punto se substituyen las expresiones obtenidas en el apartado (3.2) para las distancias adimensionales, se reordenan los terminos y se de nen unos coe cientes que permitan separar los parametros geometricos de las funciones de forma y de las integrales, (26) se reescribe como. R b. 1 ; b 2 ; b1 ; b2 ) ji (b. =. =4 uX =2 w X. u=0 w=0. K(wu) '(wu). (27).

(8) u. donde los coe cientes Kw se calculan como ( ). 0 B B B B B B B B B B @ 0 B B B B B B B B B B @. 1 0 C K(0) 0 C b0j C Bn K(0) Bn 1 C C B b 1j (0) C = nb K2 C B B 2j C B 0 C @ K(0) 3 C 0 A K(0) 4. 1 0. 10. 0. 1 C K(1) 0 C b0j C Bn K(1) B 1 C b1j C Bn C = Bn b K(1) B 2j 2 C B 0 (1) C @ K3 C C 0 (1) A K4. 1. 0 0 C 1 A 2 (A2 0 C 2 =2) C B n nb0j 0 C b0i C CB B CB C 2 nb1j nb0j C 0 B (2 AB 0 D ) n b1i C B C B C@ A @ A nb2j nb1j C n b2i 0 0 2 (B2 0 E 2 =2) A 0 n b2j. 1. 0. 1 10 0 C0 C nb0j C B 1 2A C B n b1i C nb1j C A; A@ C@0 n b2i 2 B nb2j C A 0. B B B B B B B B B B @. 1 1 0 C K(2) 0 C b 0j C C Bn K(2) C B 1 C b 1j C C Bn 1 (2) C nb C n b2i K2 C = B B 2j C B 0 C 2 (2) C A @ K3 C C 0 (2) A K4. (28) Como puede observarse, los coe cientes K(wu) se expresan como el producto de tres matrices (o vectores) que contienen de forma separada las funciones de forma del nodo j (n b0j ; n b1j ; n b2j ), las propiedades geom etricas de las dos rectas 2 2 (A; B; C ; D ; E ; ) y las funciones de forma del nodo i (n b0i ; n b1i ; n b2i ). Los terminos '(wu) son los coe cientes integrales, y que en su forma mas general se pueden escribir como las funciones w-esimas siguientes (0). 'w = (1). 'w =. (2). 'w =. Z. =1. =01 Z =1 =01 Z. =1. =01. . . t w argsh. 0qb. t=1. pb. w. q. . w t. Sean Ifmg[a; b; c; d](x) y. t2 + pb2. t=010qb t=10q b t=010qb. q. t +p 2. b2. d. d. 0qb. t=1. t=010qb. w = 0; 1; 2; 3; 4 w = 0; 1; 2; 3; 4. d. (29). w = 0; 1; 2; 3; 4. J fmg[a; b; c; d](x) primitivas genericas tales que. Z x=1 x=1 Ifmg[a; b; c; d](x) x=01 = x=01 Z x=1 x=1 J fmg[a; b; c; d](x) x=01 = x=01. . xm ln a + bx + xm. p. p. . x2 + 2dx + c2 dx. (30). x2 + 2dx + c2 dx. para valores dados de los parametros a; b; c; d y del exponente m 2 f0; 1; 2; 3; 4g..

(9) Entonces los coe cientes integrales (29) pueden expresarse en la forma B 0 '(0) w (1)A B '(1) 0 '(1) w = 'w w (1)A (1)A (1)B = (1 0 A) 'w 0 B 'w+1 + (1 + A) 'w (0)A '(0) w = 'w. '(2) w 8 > < > :. 8 > < > :. A '(0) = w (1)A. 'w. =. B '(0) = w (1)B. 'w. =. x=1. 9 > =. Ifwg[a; b; c; d](x) x=01 x=1 > ; J fwg[a; b; c; d](x) x=01 x=1. 9 > =. Ifwg[a; b; c; d](x) x=01 x=1 > ; J fwg[a; b; c; d](x) x=01. con. con. 8 > > > > > < > > > > > :. 8 > > > > > < > > > > > :. . (31) + B 'w+1. (1)A. . a = 1 0 A b = 0B 2 c2 = C 2 + 1 0 A . . d=D0 0A B a = 0 1 + A b = 0B 2 c2 = C 2 + 1 + A . 1. d=D+ +A 1. . (32). B. El objetivo es la obtencion de expresiones analticas de las primitivas genericas Ifmg[a; b; c; d](x) y J fmg[a; b; c; d](x) para los distintos valores del exponente m 2 f0; 1; 2; 3; 4g y de los parametros [a; b; c; d] que dependen de las propiedades geometricas de las dos rectas en el espacio. Se analizaran en primer lugar las dos disposiciones de barras mas frecuentes, que son rectas perpendiculares (B = 0) y rectas paralelas (B 2 = 1).. 3.3.1 Calculo de las Integrales Genericas en el Caso de Barras Perpendiculares. Las expresiones siguientes han sido desarrolladas pensando en facilitar la posterior implementacion de la formulacion, y en la medida de lo posible efectuando las menores operaciones que involucren funciones logartmicas y trigonometricas. A tal n, se han derivado formulas analticas recurrentes, para b mg[a; b; c; d](x), I fmg[a; b; c; d](x), lo que se han introducido las funciones If 1 Ib1fmg[a; b; c; d](x), y I 2fmg[a; b; c; d](x), y los parametros auxiliares R2 = c2 0 d2 y q 2 = R2 0 a2 , obteniendo las expresiones q 1 m +1 b m + 1g Ifmg = m + 1 x ln a + (x + d)2 + R2 0 If b mg = 0aI fmg + I fmg If 1 2 b b I 1fmg = I 1fm 0 1g + d I 1fm 0 2g 0 2dI 1fm 0 1g 0 (d2 + q2) I 1fm 0 2g m+1 q Ib1fmg = x m (x + d)2 + R2 0 2mm0 1 d Ib1fm 0 1g0 mm0 1 c2 Ib1fm 0 2g xm d I 2fmg = m + m 0 1 xm01 0 2d I 2fm 0 1g 0 (d2 + q2) I 2fm 0 2g J fmg = Ib1fm + 2g + 2d Ib1fm + 1g + c2 Ib1fmg En el Anexo 1 se incluyen las integrales que completan las formulas anteriores y que permiten iniciar los calculos recurrentes..

(10) 3.3.2 Calculo de las Integrales Genericas en el Caso de Barras Paralelas. En el caso de una disposicon paralela de las barras en el espacio, la resolucion es mas sencilla que en el caso de las perpendiculares. En este caso se han introducido las funciones Ibfmg[a; b; c; d](x), Ib1 fmg[a; b; c; d](x), y Jb fmg[a; b; c; d](x), y el parametro auxiliar R2 = c2 0 d2 , obteniendo las expresiones. If g = m. . =m X. j. m. =0. j. j. (0d)m0j Ib fj g. q. . . 1 m (x + d)m+1 ln b (x + d) + (x + d)2 + R2 0 b Ibfm + 1g m+1 q bI 1fmg = 1 (x + d)m01 (x + d)2 + R2 0 (m 0 1) R2 Ib1fm 0 2g. Ibf g =. m. Jf g = m. Jb f g m. =m X. j. m j. (0d)m0j Jb fj g. =0 = Ib1 fm + 2g + R2 Ib1 fmg j. En el Anexo 2 se especi can las expresiones que inician la recurrencia.. 4. CONCLUSIONES Se ha presentado el desarrollo de la formulacion de integracion analtica para el calculo de sistemas de tomas de tierra en instalaciones electricas basada en el Metodo de Elementos de Contorno, y se han derivado las expresiones para el calculo de las contribuciones al potencial segun la disposicion de los electrodos que forman la toma de tierra en los casos mas frecuentes (perpendiculares y paralelos). Asmismo se ha comprobado que las formulas obtenidas incluyen como caso particular al Metodo de Howe [1], propuesto por UNESA para la aplicacion del Reglamento sobre Condiciones Tecnicas y Garantas de Seguridad en Centrales Electricas, Subestaciones y Centros de Transformacion. Tanto en el caso de barras paralelas como el de perpendiculares la correcta implementacion de esta formulacion analtica simpli ca notablemente ha sido incorporada las expresiones y el numero de calculos que se realizan. Esta a un Sistema de Dise~no Asistido por Ordenador para calculo de tomas de tierra en subestaciones electricas obteniendose unos excelentes resultados por cuanto al desaparecer casi por completo la integracion numerica (solo es necesaria en aquellos casos que las barras no sean ni paralelas ni perpendiculares) los tiempos de computacion se reducen drasticamente [6].. 5. AGRADECIMIENTOS Este trabajo ha sido parcialmente nanciado por el Departamento de Protecciones y Medidas de la \Subdireccion General de Produccion Hidraulica, Transporte y Transformacion" de UNION FENOSA, as como por la ~ UNIVERSIDAD DE LA CORUNA, en concepto de Becas para realizacion de Tesis Doctorales..

(11) REFERENCIAS 1.. UNESA { \M etodo de C alculo y Proyecto de Instalaciones de Puesta a Tierra para Centros de Transformaci on conectados a Redes de Tercera Categor a", Comisi on de Reglamentos del Comit e de Distribuci on (1989).. 2.. HEPPE, R.J. { \Computation of Potential at Surface Above an Energized Grid or Other Electrode, Allowing for Non-Uniform Current Distribution",. IEEE Trans. on Power App. and Systems , 3.. 98 (6), 1978{89, (1979).. GARRETT, D.L. and PRUITT, J.G. { \Problems Encountered with the Average Potential Method of Analyzing Substation Grounding Systems",. IEEE Trans. on Power App. and Systems , 4.. NAVARRINA,. 104 (12), 3586{96, (1985).. F. COLOMINAS, I. y CASTELEIRO, M. { \Analytical. Integration Techniques for. Earthind Grid. Computation by. BEM", Int.. Cong. Num. Met. Eng. App. Sci.,Concepci on, (1992). 5.. COLOMINAS, I. NAVARRINA, F. y CASTELEIRO, M. { \A Validation of. the. Boundary. Element. Method. for. Grounding. Grid. Design. and. Computation", Int. Cong. Num. Met. Eng. App. Sci., Concepci on, (1992). 6.. NAVARRINA,. F.. COLOMINAS,. I.. y. CASTELEIRO,. M.. {. \Una. formulaci on aproximada mediante el M etodo de Elementos de Contorno para la soluci on de problemas en Teor a del Potencial", II Congreso de M etodos. Num ericos en Ingenier a , La Coru~ na, (1993).. ANEXO 1 : BARRAS PERPENDICULARES !. If0g = (x + d) ln a + (x + d)2 + R2 0 x 0 q arctan p a(x + 2d) 2 q (x + d) + R p x +d 2 2 +a ln x + d + (x + d) + R + q arctan q # " h i p I 1f1g = 0 aq arctan p a(x + 2d) 2 + ln x + d + (x + d)2 + R2 0 d I1f0g q (x + d) + R ! p p (x + d)2 + R2 1 a 0 b 1 f0g b 1f1g = (x + d)2 + R2 0 d I p I 1f0g = 2a ln ; I a + (x + d)2 + R2 x +d x +d b I 1f0g = argsh R ; I 2f1g = x 0 d I 2f0g 0 q arctan q . 0. 1. x + d)2 + q2 2 2 p 1 R x +d 2 2 (x + d) (x + d) + R + argsh 2 2 R I 2f0g =. J f0g =. . p. 1. ln (. ANEXO 2 : BARRAS PARALELAS . If0g = (x + d) ln b (x + d) + b 0g = If0g; If. J f0g =. p. x d. . p. R2 0 b (x + d)2 + R2 p x +d 2 2 b b I 1f1g = (x + d) + R ; I 1f0g = argsh R p x +d 1 2 2 2 (x + d) (x + d) + R + R argsh 2 R ( + )2 +.

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