Esperanzacondicionadadeunafunci´ondeunavariablealeatoria GrupoCDPYE-UGR ThisworkislicensedunderaCreativeCommonsAttribution-NonCommercial-NoDerivs2.5License.BY:

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 2.5 License.

BY: Grupo CDPYE-UGR

Esperanza condicionada de una funci´ on de una variable aleatoria

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 2.5 License.

BY: Grupo CDPYE-UGR

Esperanza condicionada de una funci´ on de una variable aleatoria

Sean X e Y variables aleatorias sobre el mismo espacio de probabilidad y h : (R, B) → (R, B) una funci´on medible. La esperanza condicionada de h(X) a Y, E [h(X)/Y] , es la variable aleatoria que toma el valor E [h(X)/Y = y] cuando Y = y, siendo

E [h(X)/Y = y] =













 X

x∈EX

h(x)P(X = x/Y = y) si (X, Y) es de tipo discreto y P(Y = y) 6= 0

Z

R

h(x)f (x/y)dx si (X, Y) es de tipo continuo y f_Y(y) 6= 0,

y suponiendo que tales sumas o integrales son absolutamente convergentes.

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 2.5 License.

BY: Grupo CDPYE-UGR

Esperanza condicionada de una funci´ on de una variable aleatoria

Sean X e Y variables aleatorias sobre el mismo espacio de probabilidad y h : (R, B) → (R, B) una funci´on medible. La esperanza condicionada de h(X) a Y, E [h(X)/Y] , es la variable aleatoria que toma el valor E [h(X)/Y = y] cuando Y = y, siendo

E [h(X)/Y = y] =













 X

x∈EX

h(x)P(X = x/Y = y) si (X, Y) es de tipo discreto y P(Y = y) 6= 0

Z

R

h(x)f (x/y)dx si (X, Y) es de tipo continuo y f_Y(y) 6= 0,

y suponiendo que tales sumas o integrales son absolutamente convergentes.

Nota: La existencia de E [h(X)] garantiza la existencia E [h(X)/Y = y] , ∀y ∈ E_Y, lo que se prueba de forma totalmente an´aloga a como se ha probado la existencia de E [X/Y = y]. Adem´as, ya que E [h(X)/Y = y] es la esperanza de h(X) considerando la distribuci´on condicionada de X a Y = y, las expresiones se siguen de las correspondientes a laesperanza de una funci´on de una variable aleatoria.

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 2.5 License.

BY: Grupo CDPYE-UGR

Esperanza condicionada de una funci´ on de una variable aleatoria

Sean X e Y variables aleatorias sobre el mismo espacio de probabilidad y h : (R, B) → (R, B) una funci´on medible. La esperanza condicionada de h(X) a Y, E [h(X)/Y] , es la variable aleatoria que toma el valor E [h(X)/Y = y] cuando Y = y, siendo

E [h(X)/Y = y] =













 X

x∈EX

h(x)P(X = x/Y = y) si (X, Y) es de tipo discreto y P(Y = y) 6= 0

Z

R

h(x)f (x/y)dx si (X, Y) es de tipo continuo y f_Y(y) 6= 0,

y suponiendo que tales sumas o integrales son absolutamente convergentes.

Nota: La existencia de E [h(X)] garantiza la existencia E [h(X)/Y = y] , ∀y ∈ E_Y, lo que se prueba de forma totalmente an´aloga a como se ha probado la existencia de E [X/Y = y]. Adem´as, ya que E [h(X)/Y = y] es la esperanza de h(X) considerando la distribuci´on condicionada de X a Y = y, las expresiones se siguen de las correspondientes a laesperanza de una funci´on de una variable aleatoria.

Ejemplo 1: En el experimento aleatorio del lanzamiento de tres monedas se consideran las variables X: N´umero de caras.

Y : Diferencia, en valor absoluto, entre el n´umero de caras y el n´umero de cruces.

Calcular E [X²/Y ].

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 2.5 License.

BY: Grupo CDPYE-UGR

Las funciones masa de probabilidad conjunta y marginales de X e Y se presentan en la siguiente tabla (ver ejemplo de funciones masa de probabilidad marginales):

Y

X 1 3 P (X = xi)

0 0 1/8 1/8

1 3/8 0 3/8

2 3/8 0 3/8

3 0 1/8 1/8

P (Y = y_j) 6/8 2/8

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 2.5 License.

BY: Grupo CDPYE-UGR

Las funciones masa de probabilidad conjunta y marginales de X e Y se presentan en la siguiente tabla (ver ejemplo de funciones masa de probabilidad marginales):

Y

X 1 3 P (X = xi)

0 0 1/8 1/8

1 3/8 0 3/8

2 3/8 0 3/8

3 0 1/8 1/8

P (Y = y_j) 6/8 2/8

Ya que la variable Y toma los valores 1 y 3, la variable aleatoria E [X²/Y ] tomar´a, en principio, dos valores, E [X²/Y = 1] y E [X²/Y = 3], que calculamos a continuaci´on, teniendo en cuenta que si Y = 1, X s´olo toma los valores 1 y 2, mientras que si Y = 3, X s´olo toma los valores 0 y 3:

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 2.5 License.

BY: Grupo CDPYE-UGR

Las funciones masa de probabilidad conjunta y marginales de X e Y se presentan en la siguiente tabla (ver ejemplo de funciones masa de probabilidad marginales):

Y

X 1 3 P (X = xi)

0 0 1/8 1/8

1 3/8 0 3/8

2 3/8 0 3/8

3 0 1/8 1/8

P (Y = y_j) 6/8 2/8

Ya que la variable Y toma los valores 1 y 3, la variable aleatoria E [X²/Y ] tomar´a, en principio, dos valores, E [X²/Y = 1] y E [X²/Y = 3], que calculamos a continuaci´on, teniendo en cuenta que si Y = 1, X s´olo toma los valores 1 y 2, mientras que si Y = 3, X s´olo toma los valores 0 y 3:

 E [X²/Y = 1]

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 2.5 License.

BY: Grupo CDPYE-UGR

Las funciones masa de probabilidad conjunta y marginales de X e Y se presentan en la siguiente tabla (ver ejemplo de funciones masa de probabilidad marginales):

Y

X 1 3 P (X = xi)

0 0 1/8 1/8

1 3/8 0 3/8

2 3/8 0 3/8

3 0 1/8 1/8

P (Y = y_j) 6/8 2/8

Ya que la variable Y toma los valores 1 y 3, la variable aleatoria E [X²/Y ] tomar´a, en principio, dos valores, E [X²/Y = 1] y E [X²/Y = 3], que calculamos a continuaci´on, teniendo en cuenta que si Y = 1, X s´olo toma los valores 1 y 2, mientras que si Y = 3, X s´olo toma los valores 0 y 3:

 E [X²/Y = 1] = (1²× P (X = 1/Y = 1)) + (2² × P (X = 2/Y = 1))

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 2.5 License.

BY: Grupo CDPYE-UGR

Las funciones masa de probabilidad conjunta y marginales de X e Y se presentan en la siguiente tabla (ver ejemplo de funciones masa de probabilidad marginales):

Y

X 1 3 P (X = xi)

0 0 1/8 1/8

1 3/8 0 3/8

2 3/8 0 3/8

3 0 1/8 1/8

P (Y = y_j) 6/8 2/8

Ya que la variable Y toma los valores 1 y 3, la variable aleatoria E [X²/Y ] tomar´a, en principio, dos valores, E [X²/Y = 1] y E [X²/Y = 3], que calculamos a continuaci´on, teniendo en cuenta que si Y = 1, X s´olo toma los valores 1 y 2, mientras que si Y = 3, X s´olo toma los valores 0 y 3:

 E [X²/Y = 1] = (1²× P (X = 1/Y = 1)) + (2² × P (X = 2/Y = 1)) =

 1 ×1

2

 +

 4 × 1

2



This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 2.5 License.

BY: Grupo CDPYE-UGR

Las funciones masa de probabilidad conjunta y marginales de X e Y se presentan en la siguiente tabla (ver ejemplo de funciones masa de probabilidad marginales):

Y

X 1 3 P (X = xi)

0 0 1/8 1/8

1 3/8 0 3/8

2 3/8 0 3/8

3 0 1/8 1/8

P (Y = y_j) 6/8 2/8

Ya que la variable Y toma los valores 1 y 3, la variable aleatoria E [X²/Y ] tomar´a, en principio, dos valores, E [X²/Y = 1] y E [X²/Y = 3], que calculamos a continuaci´on, teniendo en cuenta que si Y = 1, X s´olo toma los valores 1 y 2, mientras que si Y = 3, X s´olo toma los valores 0 y 3:

 E [X²/Y = 1] = (1²× P (X = 1/Y = 1)) + (2² × P (X = 2/Y = 1)) =

 1 ×1

2

 +

 4 × 1

2



= 5 2·

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 2.5 License.

BY: Grupo CDPYE-UGR

Las funciones masa de probabilidad conjunta y marginales de X e Y se presentan en la siguiente tabla (ver ejemplo de funciones masa de probabilidad marginales):

Y

X 1 3 P (X = xi)

0 0 1/8 1/8

1 3/8 0 3/8

2 3/8 0 3/8

3 0 1/8 1/8

P (Y = y_j) 6/8 2/8

Ya que la variable Y toma los valores 1 y 3, la variable aleatoria E [X²/Y ] tomar´a, en principio, dos valores, E [X²/Y = 1] y E [X²/Y = 3], que calculamos a continuaci´on, teniendo en cuenta que si Y = 1, X s´olo toma los valores 1 y 2, mientras que si Y = 3, X s´olo toma los valores 0 y 3:

 E [X²/Y = 1] = (1²× P (X = 1/Y = 1)) + (2² × P (X = 2/Y = 1)) =

 1 ×1

2

 +

 4 × 1

2



= 5 2·

 E [X²/Y = 3]

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 2.5 License.

BY: Grupo CDPYE-UGR

Las funciones masa de probabilidad conjunta y marginales de X e Y se presentan en la siguiente tabla (ver ejemplo de funciones masa de probabilidad marginales):

Y

X 1 3 P (X = xi)

0 0 1/8 1/8

1 3/8 0 3/8

2 3/8 0 3/8

3 0 1/8 1/8

P (Y = y_j) 6/8 2/8

Ya que la variable Y toma los valores 1 y 3, la variable aleatoria E [X²/Y ] tomar´a, en principio, dos valores, E [X²/Y = 1] y E [X²/Y = 3], que calculamos a continuaci´on, teniendo en cuenta que si Y = 1, X s´olo toma los valores 1 y 2, mientras que si Y = 3, X s´olo toma los valores 0 y 3:

 E [X²/Y = 1] = (1²× P (X = 1/Y = 1)) + (2² × P (X = 2/Y = 1)) =

 1 ×1

2

 +

 4 × 1

2



= 5 2·

 E [X²/Y = 3] = (0²× P (X = 0/Y = 3)) + (3² × P (X = 3/Y = 3))

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 2.5 License.

BY: Grupo CDPYE-UGR

Las funciones masa de probabilidad conjunta y marginales de X e Y se presentan en la siguiente tabla (ver ejemplo de funciones masa de probabilidad marginales):

Y

X 1 3 P (X = xi)

0 0 1/8 1/8

1 3/8 0 3/8

2 3/8 0 3/8

3 0 1/8 1/8

P (Y = y_j) 6/8 2/8

Ya que la variable Y toma los valores 1 y 3, la variable aleatoria E [X²/Y ] tomar´a, en principio, dos valores, E [X²/Y = 1] y E [X²/Y = 3], que calculamos a continuaci´on, teniendo en cuenta que si Y = 1, X s´olo toma los valores 1 y 2, mientras que si Y = 3, X s´olo toma los valores 0 y 3:

 E [X²/Y = 1] = (1²× P (X = 1/Y = 1)) + (2² × P (X = 2/Y = 1)) =

 1 ×1

2

 +

 4 × 1

2



= 5 2·

 E [X²/Y = 3] = (0²× P (X = 0/Y = 3)) + (3² × P (X = 3/Y = 3)) = 9 ×1 2

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 2.5 License.

BY: Grupo CDPYE-UGR

Las funciones masa de probabilidad conjunta y marginales de X e Y se presentan en la siguiente tabla (ver ejemplo de funciones masa de probabilidad marginales):

Y

X 1 3 P (X = xi)

0 0 1/8 1/8

1 3/8 0 3/8

2 3/8 0 3/8

3 0 1/8 1/8

P (Y = y_j) 6/8 2/8

Ya que la variable Y toma los valores 1 y 3, la variable aleatoria E [X²/Y ] tomar´a, en principio, dos valores, E [X²/Y = 1] y E [X²/Y = 3], que calculamos a continuaci´on, teniendo en cuenta que si Y = 1, X s´olo toma los valores 1 y 2, mientras que si Y = 3, X s´olo toma los valores 0 y 3:

 E [X²/Y = 1] = (1²× P (X = 1/Y = 1)) + (2² × P (X = 2/Y = 1)) =

 1 ×1

2

 +

 4 × 1

2



= 5 2·

 E [X²/Y = 3] = (0²× P (X = 0/Y = 3)) + (3² × P (X = 3/Y = 3)) = 9 ×1 2 = 9

2·

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 2.5 License.

BY: Grupo CDPYE-UGR

Las funciones masa de probabilidad conjunta y marginales de X e Y se presentan en la siguiente tabla (ver ejemplo de funciones masa de probabilidad marginales):

Y

X 1 3 P (X = xi)

0 0 1/8 1/8

1 3/8 0 3/8

2 3/8 0 3/8

3 0 1/8 1/8

P (Y = y_j) 6/8 2/8

Ya que la variable Y toma los valores 1 y 3, la variable aleatoria E [X²/Y ] tomar´a, en principio, dos valores, E [X²/Y = 1] y E [X²/Y = 3], que calculamos a continuaci´on, teniendo en cuenta que si Y = 1, X s´olo toma los valores 1 y 2, mientras que si Y = 3, X s´olo toma los valores 0 y 3:

 E [X²/Y = 1] = (1²× P (X = 1/Y = 1)) + (2² × P (X = 2/Y = 1)) =

 1 ×1

2

 +

 4 × 1

2



= 5 2·

 E [X²/Y = 3] = (0²× P (X = 0/Y = 3)) + (3² × P (X = 3/Y = 3)) = 9 ×1 2 = 9

2· Por tanto, se deduce que

E [X²/Y ] =









 5

2 Y = 1

9

2 Y = 3,

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 2.5 License.

BY: Grupo CDPYE-UGR

lo que significa que E [X²/Y ] es una variable aleatoria que toma el valor 5/2 con probabilidad 6/8 (P (Y = 1)) y el

valor 9/2 con probabilidad 2/8 (P (Y = 3)). 

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 2.5 License.

BY: Grupo CDPYE-UGR

lo que significa que E [X²/Y ] es una variable aleatoria que toma el valor 5/2 con probabilidad 6/8 (P (Y = 1)) y el

valor 9/2 con probabilidad 2/8 (P (Y = 3)). 

Ejemplo 2: Sea (X, Y ) un vector aleatorio con funci´on de densidad f (x, y) = 2, 0 < x < y < 1. Calcular E [X³/Y ].

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 2.5 License.

BY: Grupo CDPYE-UGR

lo que significa que E [X²/Y ] es una variable aleatoria que toma el valor 5/2 con probabilidad 6/8 (P (Y = 1)) y el

valor 9/2 con probabilidad 2/8 (P (Y = 3)). 

Ejemplo 2: Sea (X, Y ) un vector aleatorio con funci´on de densidad f (x, y) = 2, 0 < x < y < 1. Calcular E [X³/Y ].

Calculamos en primer lugar la funci´on de densidad de X condicionada a un valor arbitrario de Y y, para ello, la marginal de Y :

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 2.5 License.

BY: Grupo CDPYE-UGR

lo que significa que E [X²/Y ] es una variable aleatoria que toma el valor 5/2 con probabilidad 6/8 (P (Y = 1)) y el

valor 9/2 con probabilidad 2/8 (P (Y = 3)). 

Ejemplo 2: Sea (X, Y ) un vector aleatorio con funci´on de densidad f (x, y) = 2, 0 < x < y < 1. Calcular E [X³/Y ].

Calculamos en primer lugar la funci´on de densidad de X condicionada a un valor arbitrario de Y y, para ello, la marginal de Y :

f_Y(y) = Z y

0

2dx = 2y, y ∈ (0, 1)

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 2.5 License.

BY: Grupo CDPYE-UGR

lo que significa que E [X²/Y ] es una variable aleatoria que toma el valor 5/2 con probabilidad 6/8 (P (Y = 1)) y el

valor 9/2 con probabilidad 2/8 (P (Y = 3)). 

Ejemplo 2: Sea (X, Y ) un vector aleatorio con funci´on de densidad f (x, y) = 2, 0 < x < y < 1. Calcular E [X³/Y ].

Calculamos en primer lugar la funci´on de densidad de X condicionada a un valor arbitrario de Y y, para ello, la marginal de Y :

f_Y(y) = Z y

0

2dx = 2y, y ∈ (0, 1) → ∀y ∈ (0, 1), f (x/y) = f (x, y) fY(y) = 1

y, x ∈ (0, y).

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 2.5 License.

BY: Grupo CDPYE-UGR

lo que significa que E [X²/Y ] es una variable aleatoria que toma el valor 5/2 con probabilidad 6/8 (P (Y = 1)) y el

valor 9/2 con probabilidad 2/8 (P (Y = 3)). 

Ejemplo 2: Sea (X, Y ) un vector aleatorio con funci´on de densidad f (x, y) = 2, 0 < x < y < 1. Calcular E [X³/Y ].

Calculamos en primer lugar la funci´on de densidad de X condicionada a un valor arbitrario de Y y, para ello, la marginal de Y :

f_Y(y) = Z y

0

2dx = 2y, y ∈ (0, 1) → ∀y ∈ (0, 1), f (x/y) = f (x, y) fY(y) = 1

y, x ∈ (0, y).

A partir de estas densidades se deduce que

E [X³/Y = y] = Z y

0

x³

y dx y ∈ (0, 1)

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 2.5 License.

BY: Grupo CDPYE-UGR

lo que significa que E [X²/Y ] es una variable aleatoria que toma el valor 5/2 con probabilidad 6/8 (P (Y = 1)) y el

valor 9/2 con probabilidad 2/8 (P (Y = 3)). 

Ejemplo 2: Sea (X, Y ) un vector aleatorio con funci´on de densidad f (x, y) = 2, 0 < x < y < 1. Calcular E [X³/Y ].

Calculamos en primer lugar la funci´on de densidad de X condicionada a un valor arbitrario de Y y, para ello, la marginal de Y :

f_Y(y) = Z y

0

2dx = 2y, y ∈ (0, 1) → ∀y ∈ (0, 1), f (x/y) = f (x, y) fY(y) = 1

y, x ∈ (0, y).

A partir de estas densidades se deduce que

E [X³/Y = y] = Z y

0

x³

y dx = y³

4, y ∈ (0, 1)

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 2.5 License.

BY: Grupo CDPYE-UGR

lo que significa que E [X²/Y ] es una variable aleatoria que toma el valor 5/2 con probabilidad 6/8 (P (Y = 1)) y el

valor 9/2 con probabilidad 2/8 (P (Y = 3)). 

Ejemplo 2: Sea (X, Y ) un vector aleatorio con funci´on de densidad f (x, y) = 2, 0 < x < y < 1. Calcular E [X³/Y ].

Calculamos en primer lugar la funci´on de densidad de X condicionada a un valor arbitrario de Y y, para ello, la marginal de Y :

f_Y(y) = Z y

0

2dx = 2y, y ∈ (0, 1) → ∀y ∈ (0, 1), f (x/y) = f (x, y) fY(y) = 1

y, x ∈ (0, y).

A partir de estas densidades se deduce que

E [X³/Y = y] = Z y

0

x³

y dx = y³

4, y ∈ (0, 1) ⇒ EX³/Y = Y³

4 ·