Instituto Politécnico Nacional
Centro de Investigación en Computación SECCIÓN DE GRADUADOS
OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES ESTOCÁSTICAS ALGORITMOS GENÉTICOS CON
DIRECTOR DE TESIS: Dr. ÁNGEL FERNANDO KURI MORALES CO DIRECTOR: M. en C. GILBERTO LORENZO MARTÍNEZ LUNA MÉXICO, D.F. MAYO, 2006
TESIS
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE:
MAESTRO EN CIENCIAS
CON ESPECIALIDAD EN COMPUTACIÓN ELECTRÓNICA PRESENTA:
EL LIC. GUILLERMO RAMOS QUINTANA
AGRADECIMIENTOS
Agradezco principalmente al Instituto Politécnico Nacional (IPN) por la preparación profesional de primer nivel que he recibido. Ser egresado de la Escuela Superior de Física y Matemáticas (ESFM) y ahora del Centro de Investigación en Computación (CIC) es para mi motivo de un gran orgullo y satisfacción, a la vez de representar un enorme compromiso para llevar dignamente los valores y objetivos de mi Alma Mater.
Quiero agradecer especialmente:
al Dr. Ángel F. Kuri Morales, por brindarme su tiempo, sus bastos conocimientos, su confianza y su apoyo incondicional para la culminación de este trabajo.
a mi compañero y amigo el M. en C. Gilberto Martínez Luna, por sus valiosas obser- vaciones y sus repetidas muestras de ánimo para alcanzar este objetivo.
Quiero expresar del mismo modo mi agradecimiento:
al Dr. Adolfo Guzmán Arenas, de quién agradezco no sólo sus cursos y seminarios de gran interés, sino además, la sencillez y el trato de un científico de su altura.
al Dr. Hugo César Coyote Estrada, por las valiosas y cruciales observaciones respecto de los objetivos de este trabajo.
al Dr. Jesús Manuel Olivares Ceja, por la oportunidad para presentar este trabajo en su seminario de investigación
al M. en C. Germán Téllez Castillo, por sus recomendaciones siempre puntuales y de una precisión matemática
al Dr. Juan Carlos Chimal Eguía, por su tiempo y su presencia para la revisión y validación de este trabajo.
Resumen
La minimización del costo de los inventarios estocásticos (IE) es un problema difícil de modelar matemáticamente debido a la naturaleza aleatoria de componentes como: la de- manda y el tiempo de reabastecimiento, presentes en los sistemas de inventarios reales. La investigación de operaciones (IO) propone modelos para tratar el problema imponiendo, generalmente, restricciones difíciles de asumir. Por su lado, los algoritmos de optimización estocástica (AOE), ampliamente usadas en funciones complejas, si bien permiten relajar las restricciones sobre las variables, también pueden llevar la convergencia hacia mínimos falsos, debido a la aleatoriedad presente en la función de desempeño. Los AOE, en general, enfrentan el problema de la aleatoriedad de dos formas: i) tratando previamente los datos para reducir la incertidumbre o ii) modificando la estrategia de búsqueda del propio algo- ritmo. Debido al alto costo computacional de la primera opción, la mayoría se dirige hacia la segunda. En este trabajo se muestra un algoritmo genético (AG) para el problema de los IE, que toma el promedio de la función de evaluación como una forma de evitar los mínimos falsos, combinando al mismo tiempo una modificación del operador de mutación y del incremento progresivo del tamaño de la población. El AG implementado hace una selección elitista completa y se basa en una función de contracción que asegura la conver- gencia hacia un mínimo. La función de evaluación, asociada a las variables de decisión, se simula usado el método de Monte Carlo, que permite, además de relajar las restricciones impuestas por otros métodos, representar la interrelación explicita entre estas variables y las variables aleatorias.
Palabras clave:
Funciones estocásticas, inventarios estocásticos, algoritmos genéticos, optimización.
Abstract
The cost minimization of the stochastic inventories (SI) is a problem difficult to model mathematically due to the random nature of components as: demand and time supply, present in the systems of real inventories. The operations research (OR) proposes models to treat the problem imposing, generally, restrictions difficult to assume. By their side, the stochastic optimization algorithms (SOA), broadly used in complex functions, although they allow to relax the restrictions on the variables, they can also take the convergence toward false minima, due to the present randomness in the evaluation function. The SOA, in general, faces the problem of the randomness in two ways: i) treating the data previously to reduce the uncertainty or ii) modifying the strategy of search of the own algorithm. Due to the high cost computacional of the first option, most goes toward second option. In this work a genetic algorithm (GA) is shown for the problem of the IE that takes the average of the evaluation function like a form of avoiding the false minima, combining a modification of the mutation operator at the same time and of the progressive increment of the population’s size. The AG implement a complete elitist selection and it is based on a contraction function that assures the convergence toward a minimum. The evaluation function, associated to the variables of decision, is simulated used the method of Mount Carlo that allows, besides relaxing the restrictions imposed by other methods, to represent the explicit interrelation between these variables and the random variables.
Key words:
Stochastic functions, stochastic inventories, genetic algorithms, optimization.
Índice general
I. INTRODUCCIÓN 1
I.1. Antecedentes y motivación . . . 1
I.2. Descripción del problema . . . 4
I.3. Metodología propuesta . . . 8
I.3.1. Objetivo general . . . 9
I.3.2. Objetivos específicos . . . 9
I.3.3. Limitaciones . . . 10
I.4. Organización de esta tesis . . . 10
1. INVENTARIOS ESTOCÁSTICOS 11 1.1. Introducción . . . 11
1.2. Investigación de operaciones e inventarios. . . 12
1.2.1. Modelos de Lote Económico (EOQ). . . 12
1.2.2. Modelos EOQ con faltante planeado (EOQF) . . . 15
1.2.3. Modelos con revisión continua (ERC) . . . 16
1.3. Programación dinámica . . . 17
1.3.1. Modelo con costo de preparación . . . 19
1.4. Conclusiones . . . 20
2. OPTIMIZACIÓN ESTOCÁSTICA 21 2.1. Introducción . . . 21
2.2. Función estocástica . . . 22
2.3. Optimización via simulación Monte Carlo . . . 22
2.4. Algoritmos de optimización estocástica (AOE) . . . 23
2.5. Efecto del ruido en los AOE . . . 25
2.5.1. Mínimos falsos . . . 25
2.5.2. Tratamiento de la aleatoriedad . . . 26
2.6. Principios de la búsqueda estocástica . . . 27
2.6.1. Eficiencia vía el número de iteraciones . . . 27
2.6.2. Error en la estimación de L(θ, Ω) . . . 28
2.6.3. Dimensionalidad del espacio de soluciones . . . 28
2.6.4. Restricciones . . . 28
2.6.5. Criterio de terminación . . . 29
2.6.6. Unicidad de la solución . . . 29
2.7. Métodos de búsqueda estocástica directa . . . 29
2.7.1. Método directo para L(θ) sin aleatoriedad . . . 29
2.7.2. Método directo para L(θ, Ω) con aleatoriedad . . . 30
2.8. Recocido simulado (RS) . . . 31
2.8.1. Algoritmo de Recocido Simulado (RS) . . . 32
2.8.2. Convergencia . . . 32
2.8.3. Modificaciones para funciones estocásticas . . . 33
3. ALGORITMOS GENÉTICOS 34 3.1. Introducción . . . 34
3.2. Antecedentes . . . 35
3.3. Funcionamiento . . . 35
3.4. Función de evaluación . . . 36
3.5. Espacio de soluciones . . . 36
3.6. Población inicial . . . 38
3.6.1. Selección . . . 40
3.7. Codificación . . . 43
3.8. Operadores genéticos . . . 45
3.8.1. Cruce . . . 45
3.8.2. Mutación . . . 48
3.9. AG Elitista . . . 51
3.10. AG elitista y funciones estocásticas . . . 51
3.11. Definición de parámetros . . . 52
3.12. Refinamiento local . . . 53
3.12.1. Mutación . . . 53
3.12.2. Cruza . . . 54
3.13. Convergencia . . . 54
3.13.1. Teoría del esquema . . . 54
3.13.2. Teorema del punto fijo de Banach . . . 56
4. ALGORITMO PROPUESTO 58 4.1. Descripción del algoritmo propuesto . . . 58
4.2. Análisis del problema . . . 59
4.2.1. Descripción del inventario estocástico . . . 60
4.2.2. Cálculo del costo total . . . 63
4.2.3. Problema a resolver . . . 63
4.2.4. Espacio de soluciones . . . 64
4.2.5. Función de Evaluación. . . 66
4.3. Aproximaciones al problema . . . 70
4.3.1. Investigación de operaciones . . . 70
4.3.2. Aproximación Local Hill Climbing . . . 72
4.4. Vasconcelos A . . . 74
4.4.1. Esquema general . . . 75
4.4.2. Población inicial . . . 76
4.4.3. Codificación . . . 77
4.4.4. Selección Elitista completa . . . 78
4.4.5. Cruza anular . . . 79
4.4.6. Mutación . . . 82
4.4.7. Intervalo de confianza de Θ∗ . . . 82
4.4.8. Criterio de terminación del Vasconcelos A . . . 85
4.5. AG Vasconcelos B . . . 86
4.5.1. Adaptación del desempeño promedio . . . 86
4.5.2. Adaptación de la población . . . 87
4.5.3. Adaptación de la búsqueda local . . . 88
5. PRUEBAS Y RESULTADOS 90 5.1. Primera etapa . . . 91
5.1.1. AG Canónico . . . 91
5.1.2. AG Elitista . . . 93
5.1.3. AG Vasconcelos A . . . 94
5.1.4. AG Vasconcelos B . . . 95
5.1.5. Comparación de resultados . . . 99
5.2. Segunda etapa . . . 100
5.2.1. Vasconcelo B sin función de adaptación . . . 100
5.3. Tercera etapa . . . 100
5.3.1. Vasconcelo B con funciones de adaptación . . . 100
CONCLUSIONES 103 5.4. Aplicación de promedios . . . 103
5.4.1. Algoritmo Canónico . . . 103
5.4.2. Algoritmo Elitista . . . 103
5.4.3. Algoritmo Vasconcelos A . . . 103
5.4.4. Resultados . . . 104
5.5. Vasconcelos B y otros métodos . . . 105
5.5.1. Respecto de las aproximaciones de la IO . . . 105
5.5.2. Respecto de las aproximaciones de Hooke Jeeves . . . 106
TRABAJOS FUTUROS 108 5.6. Prácticos . . . 108
5.7. Teóricos . . . 108
BIBLIOGRAFÍA 109 APÉNDICE 113 5.8. Función de evaluación (costo de inventario) . . . 114
5.8.1. Código C de costo_inv . . . 114
5.9. Algoritmo genético Vasconcelos adaptable . . . 117
5.9.1. Código C de Vasconcelos adaptativo . . . 119
Índice de figuras
1. Minimización por búsqueda estocástica . . . 6
2. Aleatoriedad de la función estocástica . . . 7
1.1. Evolución de modelos de inventarios . . . 13
1.2. Modelo EOQ básico . . . 14
1.3. Modelo EOQ con faltante . . . 15
2.1. Multimodalidad de L(θ) = −2 ∗ sin2(θ1) ∗ cos2(θ2) . . . 24
2.2. Mínimos locales . . . 25
3.1. Función x1 cuyo máximo no existe . . . 37
3.2. Función multimodal 1/senx2 . . . 37
3.3. Población inicial . . . 38
3.4. Función a optimizar . . . 39
3.5. Convergencia prematura . . . 42
3.6. Operador cruce de un punto . . . 45
3.7. Efecto del operador de cruce en la población . . . 46
3.8. Convergencia aplicando sólo el operador de cruza . . . 48
3.9. Operador de mutación . . . 49
3.10. Convergencia aplicando mutación y selección elitista . . . 50
4.1. Modelo estocástico con revisión periódica . . . 63
4.2. Crecimiento del espacio de soluciones Θ . . . 65
4.3. Decrecimiento de la probabilidad de encontrar uno de los 500 mejores vec- tores del espacio de soluciones . . . 65
4.4. Simulación del proceso del inventario . . . 66
4.5. Autómata de la función de evaluación . . . 67
4.6. Variación del costo_inv(θ), para 100 simulaciones . . . 69
4.7. Variaciones del costo_inv(θ) en deciles . . . 69
4.8. Función de probabilidad de la demanda . . . 70
4.9. Resultado de 36 simulaciones de la función de evaluación para el vector (49, 78, 57) . . . 71
4.10. Distribución en deciles de los resultados agrupados . . . 72
4.11. Algoritmo de Hooke y Jeeaves . . . 73 4.12. Resultados de la aplicación del algoritmo de Hooke y Jeeaves, con I=150 . 74
4.13. Esquema general del algoritmo propuesto . . . 76
4.14. Operador de cruzamiento del método Vasconcelos . . . 79
4.15. Representación anular . . . 80
4.16. Cruzamiento en: bit(x) = 27 , bit(y) = 19, longitud = 7 bits . . . 81
4.17. Cruzamiento en: bit(x) = 4 , bit(y) = 36, longitud = 36 bits . . . 82
4.18. Algoritmo de mutación . . . 83
4.19. Algoritmo de convergencia . . . 86
4.20. Función de adaptación del número de promedios de la función de evaluación 87 4.21. Función de adaptación del tamaño de la población . . . 88
4.22. Operador de mutación adaptativo . . . 89
5.1. Resultados del AG Canónico sin tomar promedios . . . 92
5.2. Resultado del AG Canónico tomando el promedio de 1000 evaluaciones . . . 93
5.3. Resultados de AG Elitista con y sin promedios . . . 94
5.4. Resultado de AG Vasconcelos A con y sin promedios . . . 95
5.5. Resultado de AG Vasconcelos B con y sin promedios . . . 96
5.6. Comportamiento de los algoritmos Elitista, Vasconcelos A y Vasconcelos B para n = 25 . . . 96
5.7. Comportamiento de los algoritmos Elitista, Vasconcelos A y Vasconcelos B para n = 50 . . . 97
5.8. Comportamiento de los algoritmos Elitista, Vasconcelos A y Vasconcelos B para n = 200 . . . 97
5.9. Comportamiento de los algoritmos Elitista, Vasconcelos A y Vasconcelos B para n = 500 . . . 98
5.10. Comportamiento de los algoritmos Elitista, Vasconcelos A y Vasconcelos B para n = 1000 . . . 98
5.11. Agrupamiento de los vectores mínimos y de sus costos correspondientes, calculados por el AG Vasconcelos B con funciones de adaptación . . . 102
5.12. Comprobación del resultado por medio de la IO . . . 106
5.13. Comprobación de resultados por el método de Hooke . . . 107
5.14. Proceso de optimización . . . 113
5.15. Estructura de almecenamiento de las generaciones . . . 118
Índice de tablas
3.1. Evaluación de la población inicial . . . 39
3.2. Efecto del operador selección . . . 43
3.3. Codificación de las posibles soluciones . . . 44
4.1. Variables y constantes del proceso de inventarios . . . 60
4.2. Demanda mensual . . . 61
4.3. Factores estacionales . . . 61
4.4. Distribución del tiempo de entrega . . . 62
4.5. Simulación manual del proceso de inventario . . . 62
4.6. Totales del proceso de inventario . . . 63
4.7. Variaciones de la función costo_inv() . . . 68
4.8. Costo total para I, Q y R distintos . . . 74
5.1. Minimización con el AG Canónico . . . 92
5.2. Minimización con el AG Elitista . . . 93
5.3. Minimización con el AG Vasconcelos A . . . 95
5.4. Minimización con el AG Vasconcelos B . . . 99
5.5. Validación de los resultados obtenidos por los AG’s con y sin promedios . . 99
5.6. Vasconcelos B sin promedios y sin funciones de adaptación . . . 100
5.7. Vasconcelos B con promedios y con funciones de adaptación . . . 101
INTRODUCCIÓN
I.1. Antecedentes y motivación
Los inventarios forman una parte importante de toda empresa que trata con productos ter- minados o materias primas para satisfacer la demanda externa de clientes o de la producción interna. Dadas las cuantiosas inversiones para su manejo y control 1 la minimización de los costosinvolucrados es un problema que permanece vigente en el mundo de los negocios.
La investigación de operaciones (IO) ha abordado este problema desarrollando modelos para una gran gama de sistemas de inventarios que permiten estimar, bajo ciertas condi- ciones, los niveles adecuados de artículos almacenados que minimicen el costo generado por la falta de existencias o de excedentes innecesarios [Churchman, 1957],[Hiller, 2001]. Por su parte, la modelación por medio de cadenas de Markov y procesos estocásticos, así co- mo de la programación dinámica, se ha ocupado de sistemas de inventarios más complejos [Girlich y Chikán, 1999], especialmente los de demanda (D) y tiempo de reabastecimiento (t) aleatorios.
Silver at all [Silver, 1998], han estudiado exhaustivamente este último tipo de inventarios y han reconocido la gran dificultad para determinar las políticas o estrategias apropiadas para la minimización de los costos involucrados, principalmente por la complejidad que ofrecen:
a) La técnica para el tratamiento óptimo de la aleatoriedad de la demanda.
b) La modelación de los tiempos variables de reabastecimiento.
Los modelos propuestos por la IO, en muchos casos, son imposibles de asumirse para sis- temas de inventarios reales. Por ejemplo, cuando la demanda es aleatoria, se maneja el va- lor esperado de ésta, con lo que se busca adaptar modelos estocásticos a modelos determi-
1En EU los gastos en el control de inventarios ascienden a miles de millones de dólares al año.
INTRODUCCIÓN Antecedente y motivación
nistas, más fáciles de resolver. Los resultados obtenidos no siempre son satisfactorios, de- bido a que el valor esperado puede no ser un buen estimador del comportamiento promedio de una variable aleatoria. Por otro lado, el tiempo de reabastecimiento variable, que es un evento normal en los sistemas de inventarios reales y que tiene un fuerte impacto en el costo por faltantes, no es considerado en la mayoría de los modelos propuestos, debido a la complejidad que esto implica.
El control de inventarios tiene como objetivo satisfacer a tiempo la demanda externa de clientes, o bien de la materia prima para la producción interna. Los costos implicados están constituidos por:
(CC) Costo por ordenar.- Integrado por los gastos operativos de preparación y envío de pedidos, más el costo de los artículos.
(CI) Costo por manejo de almacén.- Gastos de alquiler, electricidad, maquinaria, vigilancia, trabajos administrativos, gastos derivados de los seguros, depreciación, capital invertido, suel- dos de almacenistas, pérdidas físicas, depreciación, interés bancario que se deja de percibir por la inversión, etc.
(CF) Costo por faltante.- Generado cuando no es posible atender la demanda por falta de existencias, lo que implica pérdida de clientes e imagen.
A fin de reducir los costos anteriores, es determinante mantener una cantidad adecuada de artículos almacenados. Si la cantidad almacenada es mayor que la cantidad demandada, se generan excedentes que tienden a aumentar el costo de almacenamiento (CI), pero que disminuyen al mismo tiempo el costo por faltantes (CP). Inversamente, si la cantidad demandada es menor que la almacenada, se disminuye el costo CI, aunque al mismo tiempo se incrementa CP. Además, un número mayor de unidades faltantes requiere de más pedidos de reabastecimiento, lo que incrementa el gasto por ordenar (CC).
El objetivo es encontrar una conciliación entre estas tres cantidades de tal manera que se reduzca el costo total CT, dado por la ecuación 1.
CT = CO+ CI+ CF. (1)
La complejidad que encierra la minimización de los inventarios está fuertemente influida por la naturaleza de la demanda D y del tiempo t que el proveedor tarda en entregar los artículos pedidos para el reabasto, llamado tiempo de reabastecimiento.
Cuando la demanda es la misma a través del tiempo, los gestores de inventarios utilizan tradicionalmente metodologías de la IO, para determinar la cantidad a ordenar (Q) y el
INTRODUCCIÓN Antecedente y motivación
tiempo (T) que debe transcurrir entre pedidos. Sin embargo, cuando la demanda es variable se trata de mantener un tope mínimo de artículos almacenados, llamado punto de reorden (R) [Hiller, 2001] que, en caso de ser rebasado, indique la necesidad de hacer un pedido por una cantidad Q adecuada.
Las metodologías utilizadas por la IO para encontrar los valores óptimos (Q,T) o (Q,R), llevan los siguientes pasos:
1. Formulación de un modelo matemático que describa el comportamiento del sistema de inventarios.
2. Derivación de una política óptima respecto de este modelo.
3. Utilización del procesamiento computarizado de datos para mantener un registro de los niveles del inventario.
4. Determinación, a partir de los registros obtenidos y de la política óptima adoptada, cuándo y cuánto conviene reabastecer.
En seguida se describen a grandes rasgos los modelos utilizados para la minimización de los costos implicados, de acuerdo al tipo de demanda:
Demanda constante En este caso es posible conocer el tiempo T en el que la cantidad Q llega a cero, si el proveedor tarda un tiempo fijo en hacer una entrega, entonces se puede planear con anticipación el pedido. Mediante el modelo de lote económico (EOQ) se pueden encontrar los valores óptimos de T y Q que minimiza el costo de inventarios. El modelo calcula también la cantidad máxima permitida de faltantes que se puede manejar, si se requiere agregar esta variante a la política.
Demanda variable Cuando la demanda es variable en el tiempo, el modelo anterior es inoperante, debido a que no se puede saber con certeza el momento exacto en el que el nivel del inventario llegue a cero. Para este caso existen variantes que dependen de las políticas de comercialización de la empresa. Una política típica es la (Q,R), que significa, ordenar la cantidad Q sólo cuando el nivel de artículos existentes esté por debajo del punto de reorden R. Una de las restricciones comúnmente usadas, en este caso, es considerar el promedio de la demanda y aplicar el modelo EOQ con faltante, de demanda constante, para calcular Q y R. Esto convierte a un modelo estocástico en uno determinista. El modelo, si bien no puede ofrecer una solución exacta, si resulta útil para fines prácticos, sin embargo, se complica cuando se requiere considerar un tiempo de entrega variable.
INTRODUCCIÓN Descripción del problema
I.2. Descripción del problema
La IO ofrece solución para una amplia variedad de modelos de inventarios con distintos grados de restricciones sobre el comportamiento de la demanda, sin embargo, en la práctica estas restricciones no se ajustan a las situaciones reales. Por lo que la cuestión es deter- minar como se afectan las soluciones encontradas cuando estas restricciones se relajan.
Concretamente el problema se puede plantear como sigue:
Problema Encontrar los valores de los parámetros que minimicen el costo de inventarios, cuyos componentes de demanda y tiempo de reabastecimiento son variables aleatorias.
Una forma de medir las soluciones encontradas es reproducir el proceso un número n su- ficiente de veces, usando los parámetros de dicha solución y esperar que el resultado sea aproximadamente el mismo o bien que la desviación de los resultados no varíen significa- tivamente. Por ejemplo, si los resultados se distribuyen normalmente de tal manera que el 90 % o 95 % se alejan del valor medio y la desviación satisface las expectativas del usuario, entonces podemos confiar en estos parámetros para ser usados en el proceso real.
Los Inventarios estocásticos (IE) pertenecen a un grupo de problemas donde los compo- nentes aleatorios complican la expresión algebraica que representa el costo, para ser tratada por métodos como el de la derivación.
El tratamiento de problemas donde intervienen factores aleatorios, se ha realizado a través de algoritmos de búsqueda estocástica. El problema que estos algoritmos enfrentan es el de los mínimos falsos, que se producen cuando la búsqueda se basa en información imprecisa ocasiona, por ejemplo, cuando se tratan problemas con ruido en los datos de entrada, cuya variación sigue una distribución normal.
En estos casos se suele tomar el promedio de un cierto número de mediciones como el valor más acertado de la medición real, con el fin de proporcionar valores más cercanos a los valores reales. Sin embargo, la mayoría de las aproximaciones evitan esta opción, debido al alto costo computacional ocasionado por el recálculo para obtener el costo promedio. En su lugar optan por modificar el algoritmo de búsqueda, basados en la hipótesis de que la aleatoriedad suele ayudar a escapar de los mínimos locales y a que los promedios van en contra de la naturaleza misma del algoritmo. Las modificaciones, entonces, tratan de copar algún mínimo en una región y posteriormente hacer una búsqueda exhaustiva en élla En estos casos se reportan buenos resultados por lo que, en este trabajo, se pretende aplicar estas ideas en problemas donde la aleatoriedad es producida por una variable estocástica.
El problema de los mínimos falsos en la búsqueda estocástica se describe como sigue
INTRODUCCIÓN Descripción del problema
Optimización estocástica
Los algoritmos de optimización estocástica (AOE), son ampliamente utilizados para tratar problemas de optimización sin restricciones sobre el comportamiento de las variables in- volucradas y se aplican principalmente en casos donde:
i) La expresión matemática de la función es desconocida.
ii) No se cumplen los prerrequisitos de diferenciabilidad.
iii) La complejidad de la ecuación g(θ) = ∂L(θ)∂θ = 0 no puede ser tratada con los métodos tradicionales.
Dentro de las principales ventajas de los algoritmos AOE se pueden citar las siguientes:
a) Sólo se requiere conocer el resultado que arroja la función de evaluación para cualquier dato dado.
b) Permite relajar las restricciones sobre el comportamiento aleatorio de sus componentes.
Los AOE tienen como objetivo encontrar uno o más vectores θ, dentro de un conjunto Θ de vectores factibles, que optimicen una función escalar L(θ). Para esto, utilizan como guía de la búsqueda, el desempeño de los vectores evaluados por la función L. Generalmente el proceso se inicia eligiendo arbitrariamente un vector perteneciente a Θ, se obtiene su desempeño y en base a éste se ajustan sus componentes. Si el vector ajustado tiene un mejor desempeño2, se toma como punto de partida para la siguiente iteración; en caso contrario se reajusta y se vuelve a evaluar. El proceso se repite un número determinado de veces o bien las que sean necesarias para alcanzar una aproximación dada. Una de las bondades de estos métodos es que generalmente convergen, aunque no necesariamente hacia el mínimo global.
Existen vectores cuyos ajustes no mejoran el desempeño en cierta vecindad > 0, por lo que se proponen como mínimos3, por lo menos en la vecindad > 0 (mínimos locales).
Es factible, sin embargo, que exista un vector con mejor desempeño en una vecindad 1> . Una condición suficiente para garantizar la ubicación de un mínimo global es la explo- ración exhaustiva del espacio de soluciones; dado el alto costo computacional que esto
2El desempeño se refiere al valor mínimo de la función.
3En este trabajo hablaremos de minimización, lo cual no representa pérdida de generalidad dada la conversiónm´ın(f (x)) = m´ax(−f(x)).
INTRODUCCIÓN Descripción del problema
implica, las estrategias de los AOE se orientan en descubrir mínimos en el menor número de iteraciones posibles.
La figura 1 ilustra el método de AOE para un caso de dos variables θ1 y θ2, donde el objetivo es minimizar la función L.
El problema de la aplicación de los algoritmos AOE para la minimización de fun- ciones estocástica, tiene que ver con dos características que lo hacen suficientemente com- plejo. La primera es la aleatoriedad en la que basan su estrategia de búsqueda y la segunda, la aleatoriedad de la propia función. Ésta última se refiere a la no unicidad de L(θ), cuya variabilidad puede ser tal que lleve al AOE por una trayectoria alejada de un mínimo factible, invalidando así el método.
Figura 1: Minimización por búsqueda estocástica
En el siguiente ejemplo, citado por [Spall], figura 2. la función y(x) = L(x) + ψ() es mi- nimizada por medio de un AOE. L(x) = xe-0.5xsen(3x), está definida en el intervalo [0,7.0]
y ψ() es una función que proporciona una valor aleatorio con distribución normal cuya desviación estándar es de ±0.25.
INTRODUCCIÓN Descripción del problema
Figura 2: Aleatoriedad de la función estocástica
El mínimo de L(x) es único y ocurre en x u1.6, sin embargo, el mínimo de y(x), calculado por el AOE puede ocurrir en x =3.6, debido al valor extra de la función ψ(). El valor de y(3.6), en este caso, es igual a -0.65. Si esta información es tomada en cuenta para determinar los ajustes de los siguientes vectores, el resultado puede estar alejado de x =1.6.
Si el valor de x =3.6 se asume como mínimo, entonces se debe esperar que y(3.6) arroje aproximadamente -0.65 siempre que se evalúe. Si el error en la evaluación de y(3.6) se aleja demasiado de -0.65, entonces podemos rechazar la hipótesis de que este valor refleje la realidad de la función en este punto, i.e., este valor se considera como un mínimo falso.
De acuerdo a [Michalewics, 1996] no existen heurísticas efectivas para la elección de la medida adecuada del desempeño de un vector en medios con ruido o con aleatoriedad, a fin de que los AOE funcionen eficientemente, más aún, los efectos sobre la convergencia no se pueden generalizar. Sin embargo, experimentalmente, se han reconocido dos efectos importantes: uno es la reducción de la velocidad de convergencia y el otro, el error residual en la localización fina del valor óptimo. Este último se refiere a que sólo se puede llegar hasta cierta distancia del óptimo (mínimo o máximo) quedando pendiente un acercamiento mayor [Beyer,1995].
Las aproximaciones para disminuir los efectos del ruido que proviene de la función de evaluación generalmente se orientan a:
INTRODUCCIÓN Descripción del problema
a) Trata previamente la medida del desempeño. La forma más obvia es tomar el de- sempeño promedio. Sin embargo, se debe tomar en cuenta el alto costo computacional que esto implica, dado que el error disminuye como 1/√
n, donde n es el número de evaluaciones promediadas.
b) Modificar las estrategias de búsqueda. Por ejemplo, los AG´s pueden fortalecer la búsqueda en una vecindad, modificando los operadores genéticos de mutación, cruza y selección. Otra estrategia consiste en utilizar a un AG como localizador rápido áreas promisorias de mínimos y en relegar a otro tipo de algoritmo la aproximación local. Tal es el caso del AG híbrido desarrollado por [Blackmore,1997], que actúa en un medio con múltiples mínimos locales. En una primera etapa el AG conduce en paralelo a un grupo de vectores hasta cierta distancia de un valor mínimo y delega el refinamiento ulterior a un algoritmo basado en el gradiente descendente.
El tomar promedios ayuda al proceso de búsqueda a evitar dar información que no re- presente una medida probable del desempeño de un vector, sin embargo, aumenta el costo computacional. El propósito es ver hasta que punto se pueden evitar los promedios o de que forma se puede disminuir su aplicación sin sacrificar la convergencia hacia un mínimo válido.
Se debe enfatizar la diferencia que existe entre la incertidumbre por el ruido en la evaluación de una función, como el del ejemplo anterior, y la incertidumbre debida a la aleatoriedad presente en las funciones con componentes estocásticas, como la de los IE.
En el capítulo 1 se hace una descripción general de los modelos de la IO para el problema de la minimización del los IE’s y en el capítulo 4 se describe a detalle el problema a tratar. El propósito de este trabajo es la minimización de IE por medio de las aproximaciones usadas para el tratamiento de funciones con ruido y observar su validez en este caso, además se pretenden encontrar los lineamientos generales del diseño del AG aplicado a funciones estocásticas.
I.3. Metodología propuesta
Como caso de estudio y aplicación, se toma un caso específico de un inventario con demanda y tiempo de reabastecimiento aleatorios, con variables de decisión: I = inventario inicial, Q = cantidad a ordenar, R = nivel de reorden, que se analiza en el capitulo 4.
Como primera fase se aplican los AG’s Canónico y Elitista para encontrar los parámetros anteriores, primero sin tomar promedios sobre los vectores que participan en la búsqueda y posteriormente aplicando promedios, el objetivo es comparar cual de los dos caminos, en ambos, obtiene mínimos válidos.
INTRODUCCIÓN Descripción del problema
En una segunda face se aplica un algoritmo genético no trivial Vasconcelos propuesto por [Kuri,2002], que ofrece una rápida convergencia en problemas sin aleatoriedad. Al igual que en los AG´s anteriores, se evitan primero los promedios y posteriormente se aplican.
El objetivo es nuevamente encontrar cual de los dos caminos arroja mínimos válidos.
Finalmente se modifica el algoritmo Vasconcelos, de acuerdo a las aproximaciones para aleatoriedad por ruido y de igual manera se evitan los promedios y posteriormente se aplican, el objetivo es el mismo que en los casos anteriores.
En caso de resultar necesario el tomar promedios, una posible alternativa para disminuir el costo computacional que se propone es, variar el número de promedios, de mas a menos, conforme el algoritmo avanza generación a generación.
Para lo anterior se realizaran los siguientes puntos:
1. Simular, por el método de Monte Carlo, la función de evaluación que: i) acepte como entrada al vector (I, Q, R) y arroje como salida el costo del inventario correspon- diente y ii) que establezca explícitamente el comportamiento, sin restricciones, de las variables aleatorias de la demanda D y el tiempo t de reabastecimiento,
2. Implementar la función de evaluación para tomar o no promedios de n evaluaciones;
esto es sustituir L(θ) por L(θ) =Pn
i=1L(θ).
3. Implementar los AG’s: canónico, elitista y Vasconcelos, que se basa en una función de contracción para asegurar la convergencia.
4. Implementar las modificaciones, propuestas para el caso de aleatoriedad por ruido, al AG Vasconcelos para reducir el campo de acción del operador de mutación y aumentar el tamaño de la población en función del número de generaciones.
I.3.1. Objetivo general
Diseñar un AOE basado en un AG como medio alternativo para la optimización de funciones estocásticas. Se toma el problema del costo de los inventarios estocásticos como un caso de aplicación.
I.3.2. Objetivos específicos
El AG de minimización del costo de los IE persigue específicamente los siguientes objetivos:
1. Evitar la presencia de los mínimos falsos que se pueden obtener en el proceso de búsqueda en medios aleatorios..
INTRODUCCIÓN Descripción del problema
2. Disminuir el costo computacional que se presenta en caso de que el cálculo requiera del promedio de n evaluaciones de la función de evaluación.
3. Reducir el error residual de la localización del mínimo, implementado funciones de adaptación para el tamaño de la población y para el operador de mutación.
4. Relajar las restricciones de las variables de decisión, implementando una rutina que simule el proceso de inventarios estocásticos, basada en las técnicas de Monte Carlo, que ofrece la facilidad de representar el comportamiento implícito de las variables aleatorias evitando las restricciones sobre ellas.
I.3.3. Limitaciones
No se pretende mejorar las soluciones al problema de la minimización de los IE dadas por otros métodos, sino discutir los lineamientos generales de un AG que trate el problema de funciones estocásticas similares.
I.4 Organización de esta tesis
Este trabajo se integra de los siguientes capítulos:
Capítulo 1 INVENTARIOS ESTOCÁSTICOS - Se analiza el problema de los inventarios estocásticos por medio de los modelos tradicionales de la IO y de la programación dinámica y se comentan las restricciones impuestas en cada caso.
Capítulo 2 OPTIMIZACIÓN ESTOCÁSTICA.- Se presentan aquí los conceptos básicos de las técnicas de la búsqueda estocástica, desde la perspectiva de la aleatoriedad en la función de desempeño, específicamente lo que se relaciona con la presencia de mínimos falsos.
Capítulo 3 ALGORITMOS GENÉTICOS.- Se da un breve resumen de los conceptos básicos de los algoritmos genéticos y se hace énfasis en los puntos importantes del tratamiento de las funciones estocásticas.
Capítulo 4 ALGORITMO PROPUESTO.- Se describe el sistema de IE en cuestión, se analizan los detalles de la implementación del algoritmo genético Vasconcelos adap- table, de la simulación de la función objetivo y del criterio de terminación del algo- ritmo usado.
PRUEBAS Y RESULTADOS Se presentan los resultados obtenidos por los AG’s Ca- nónico, Elitista y Vasconcelos con y sin evaluaciones promediadas. Finalmente se muestran los resultados del Vasconcelos adaptable.
Capítulo 1
INVENTARIOS ESTOCÁSTICOS
En este capítulo se describen muy generalmente los conceptos básicos de la teoría de inven- tarios. No se pretende hacer una revisión exhaustiva de los modelos existentes, sino señalar las restricciones cometidas, por algunos de estos modelos y de la complejidad que estos métodos implican.
1.1. Introducción
La gestión de inventarios tiene por objeto mantener un nivel adecuado de existencias que satisfaga la demanda a un costo mínimo. Un nivel bajo de existencias genera demandas insatisfechas que se traducen en costos por perdidas de ventas y de clientes potenciales, mientras que un nivel alto, que exceda a la demanda, aumenta el costo de almacenamiento y manejo de inventario.
El costo de inventarios total (CT) queda expresado por la ecuación 1.1, mencionada en la introducción
CT = CO+ CI+ CF. (1.1)
INVENTARIOS ESTOCÁSTICOS Investigación de operaciones e inventarios.
donde:
CI= hQ CF = pυ CO= K + cQ
K = Costo de preparación del pedido c = Costo de cada artículo
h = Costo de inventario de un artículo por unidad de tiempo p = Costo por cada unidad faltante por unidad de tiempo Q = Cantidad de artículos pedidos
υ = Número de unidades faltante permitido
Para minimizar el costo CT de inventarios de la ecuación 1.1, se debe tomar en cuenta que los costos que lo integran no son independientes entre si. Existe una relación inversa entre el costo por faltantes y el costo por almacenamiento; a mayor número de unidades almacenadas menor número de faltantes y a menor número de unidades almacenas mayor número de faltantes. Los gestores de inventarios buscan estrategias o políticas que permitan mantener un equilibrio entre faltantes y excedentes.
En las siguientes secciones se describen los modelos de inventarios estocásticos, mencionados en la introducción de este trabajo
1.2. Investigación de operaciones e inventarios.
La IO resuelve el problema de minimización del costo de inventarios con demanda estocásti- ca partiendo de modelos determinísticos. La figura 1.1 muestra la evolución de los modelos básicos hacia los modelos más complejos.
Para el modelo de demanda estocástica con revisión periódica se utilizan los resultados del modelo con demanda constante que admite faltante, que a su vez se deriva del modelo con demanda conocida y constante. Para ajustar la demanda estocástica a una demanda con- stante se toma la demanda promedio o esperanza matemática de la función de distribución de la demanda estocástica.
A continuación mostramos los detalles de los cálculos de estos modelos
1.2.1. Modelos de Lote Económico (EOQ).
En este modelo se supone que los artículos salen del almacén en forma continua a tasa conocida denotada por a. El almacén se reabastece con una cantidad Q al colocarse una
INVENTARIOS ESTOCÁSTICOS Investigación de operaciones e inventarios.
Figura 1.1: Evolución de modelos de inventarios
orden, cuyo tiempo de entrega es nulo, es decir que llega inmediatamente en el momento en el que se vacía el almacén. Los costos de este modelo son:
1. K = costo de preparación para producir u ordenar en lote.
2. c = el costo de producir o comprar cada unidad.
3. h = el costo de mantener una unidad por unidad de tiempo T .
El objetivo consiste en determinar una política (Q, T ), es decir, con qué frecuencia y en qué cantidad se debe reordenar.
La figura 1.2 muestra como se reabastece el nivel del almacén con la cantidad Q en un tiempo T = Q/a fijo.
El punto de reorden R en este caso es cero, la cantidad Q es constante e igual al producto de la tasa de la demanda por el tiempo T .
El costo total por periodo T esta dado por la expresión 1.1, donde:
CO= K + cQ; costo por ordenar Qunidades.
CF = 0; no se manejan faltantes
INVENTARIOS ESTOCÁSTICOS Investigación de operaciones e inventarios.
Figura 1.2: Modelo EOQ básico
CI= hQ
³Q 2a
´
= hQ2a2; área del triangulo de la figura 1.2 por el costo de inventarioh.
Por lo tanto, el costo total de inventario en el periodo T se expresa en la ecuación 1.2.
CT = K + cQ + 0 + hQ2
2a (1.2)
El costo total por unidad de tiempo esta dado por la ecuación 1.3
CT = K + cQ + hQ2/(2a)
Q/a = aK
Q + ac +hQ
2a (1.3)
las cantidades a ordenar Q∗ y el tiempo del ciclo T∗ que minimizan el costo de inventarios para el caso determinista están dadas por las siguiente ecuaciones:
∂CT
∂Q = −aK Q2 +h
2 = 0 (1.4)
Q∗=
r2aK
h (1.5)
T∗= Q∗ a =
r2K
ah (1.6)
.
INVENTARIOS ESTOCÁSTICOS Investigación de operaciones e inventarios.
Figura 1.3: Modelo EOQ con faltante
1.2.2. Modelos EOQ con faltante planeado (EOQF)
En este modelo se permite manejar los faltantes que se generan cuando la demanda no es satisfecha. Los clientes pueden aceptar un retrazo razonable en la recepción de sus pedidos.
Si el costo de mantener inventario es alto en relación con el costo por manejar faltantes, entonces se deben permitir faltantes breves.
En éste modelo los faltantes se entregan en cuanto se reciben más artículos en el almacén.
La situación se muestra en la figura 1.3 Modelo EOQ con faltante
Los niveles del inventario pueden ser negativos, que señalan el número de unidades faltantes.
Los parámetros considerados en este modelo son:
p costo de faltante por unidad por unidad de tiempo
S nivel del inventario justo después de recibir un lote de Q unidades Q − S faltante en inventario justo antes de recibir un lote de Q unidades
El costo total en el periodo T está dado, nuevamente, por la expresión 1.1, donde:
CO= K + cQ, es el costo por ordenarQunidades.
INVENTARIOS ESTOCÁSTICOS Investigación de operaciones e inventarios.
CF = (Q−S)2a 2p, igual al área del triángulo superior de la figura 1.2 por el costo de inventario CI = hS¡S
2a
¢= hS2a2, es el área del triángulo inferior de la figura 1.2 por el costo de inventario h.
Así, el costo por mantener inventario por unidad de tiempo está dado por la ecuación 1.7
CT=K + cQ + hS2/(2a) + p(Q − S)2/(2a)
Q/a =aK
Q +ac+hS2
2Q +p(Q − S)2
2Q (1.7)
Para determinar los valores óptimos de S∗, T∗ y Q∗ se toman las derivadas parciales con respecto a S y Q, t∗ se obtiene de la relación aT∗ = Q∗. Las ecuaciones resultantes son:
S∗=
r2aK h
r p
p + h (1.8)
Q∗=
r2aK h
s p + h
p (1.9)
1.2.3. Modelos con revisión continua (ERC)
Los resultados obtenidos del modelo anterior suponen una demanda constante con faltante.
Cuando la demanda es estocástica con faltante y revisión continua, el modelo EOQ con faltante resulta ser útil en el cálculo de los parámetro (R,Q). El modelo estocástico tiene las siguientes características:
1. Cada aplicación se refiere a un sólo artículo.
2. El nivel de inventario está bajo revisión continua.
3. Debe usarse una política (R,Q).
4. El tiempo de entrega puede ser fijo o variable.
5. La demanda es conocida con cierta función de probabilidad.
6. Se manejan faltantes que se satisfacen en cuanto el inventario se reabastece.
7. Se incluye un costo de preparación (K) por cada orden de reabastecimiento.
INVENTARIOS ESTOCÁSTICOS Programación dinámica
8. El costo por ordenar es proporcional al número de artículos.
9. Se incurre en un costo por mantener inventario.
Para calcular Q∗ se usa la ecuación 1.9 y se adecua para la demanda promedio, la ecuación resultante es:
Q∗ =
r2AK h
s p + h
p (1.10)
Donde A es la demanda promedio por unidad de tiempo.
R se obtiene mediante políticas de la administración. Si la gerencia desea que no ocurran faltantes en el lapso entre colocar una orden y recibirla con una probabilidad L entonces R se despeja de P (D ≤ R) = L, es decir la probabilidad de que la demanda sea menor o igual al punto R, que implica que no sucederán faltantes. Si D tiene distribución normal entonces una aproximación del nivel de reorden esta dado por la siguiente ecuación 1.11:
R = A + Z1−Lσ (1.11)
Observación De acuerdo a [Hiller, 2001], esta Q∗ es sólo una aproximación de la canti- dad óptima a ordenar para el modelo estocástico, ya que no se dispone de una fórmula exacta de esta cantidad . Esta aproximación resulta sin embargo buena para fines prác- ticos. Para el nivel de reorden R no existen tampoco una fórmula que lo determine, esto se hace por estimaciones que propone la administración de acuerdo a ciertas heurísticas. Los cálculos anteriores suponen una demanda normalmente distribuida.
1.3. Programación dinámica
En los casos en que las decisiones de reabastecimiento se pueden hacer en varios periodos de tiempo y la demanda en cada uno de éstos es una variable aleatoria independiente, con idéntica distribución, lo óptimo es más complejo que repetir la misma política en todos los N periodos de tiempo. Una alternativa de solución es dada por la programación dinámica.
Las suposiciones sobre las que se basa el modelo son:
1. En cada periodo la demanda D tiene la misma función de densidad de probabilidad φD(ξ) y , consecuentemente, una misma función ΦD(ξ) de distribución acumulada.
INVENTARIOS ESTOCÁSTICOS Programación dinámica
2. El nivel del inventario al inicio de cada periodo es xi≥ 0.
3. Las variables de decisión que se desea encontrar son yi, el número de unidades a ordenar en cada periodo.
4. El objetivo es minimizar el costo total esperado para todos los periodos.
5. El costo tiene los siguientes componentes:
c costo unitario de comprar o producir una unidad h costo unitario de almacenamiento y manejo p costo por faltantes
Ci(xi) representa el costo total esperado para los n periodos cuando se sigue la política óptima, dado que xi es el nivel del inventario (antes de reabastecer) al principio del pe- riodo. La estrategia seguida por la programación dinámica es calcular Cn(xn) en función de y, la cantidad de artículos a adquirir y aplicar la derivada para obtener el mínimo y0n. Posteriormente calcular Cn−1(xn−1) y y0n−1, donde Cn−1(xn−1) es el costo esperado para los periodos n y n − 1 y así sucesivamente hasta calcular C1(x) y y01, el costo esperado para los periodos n, n − 1, ...,hasta el periodo 1.
Dado que la demanda es aleatoria, entonces el costo promedio n − esimo es también una variable aleatoria y por tanto se toma el promedio de todos los posibles costos que se generarían con cada una de los posibles valores de la demanda, como lo muestra la siguiente ecuación
Cn(D, yn) = E[C(D, yn)] = Xm d=0
(cy + p m´ax{0, d − yn} + h m´ax{0, yn− d})φD(d) =
= cy + Xm d=y
p(d − yn)φD(d) + Xy−1 d=0
h(yn− d)φD(d), el segundo término sólo se toma para la demanda d que supera la existencia ynya que para los valores de d que están por debajo de yn (d − yn) es cero. Análogamente el tercer término sólo se toma para valores donde (yn− d) es positivo. Por lo tanto
Xm d=y
p(d − yn)φD(d) representa la probabilidad de que
exista faltante mientran que
y−1X
d=0
h(yn− d)φD(d) representa la probabilidad de que exista excedente. El objetivo es minimizar el valor esperado de la suma de estos tres terminos. i.e., cy +
Xm d=y
p(d − yn)φD(d) + Xy−1 d=0
h(yn− d)φD(d). El valor de yn, que minimiza dicha expresión
INVENTARIOS ESTOCÁSTICOS Programación dinámica
esta dado por ΦD(yn0) = p+hp−c, esto es, la probabilidad de que la demanda sea menor o igual a p+hp−c.
Cuando la función de densidad φD(ξ) toma valores discretos y finitos y0 se puede estimar gráficamente, por el contrario cuando φD(ξ) es continua entonces
y0
Z
0
φD(ξ)d(ξ) = ΦD(yn0), a partir de la cual se resuelve y0. Finalmente si φD(ξ) toma un número infinito de valores o un número considerablemente grande, se puede aproximar φD(ξ) por medio de una función de probabilidad contínua, para facilitar los cálculos mediante la integral. De a [Hiller, 2001], cuando n tiende a ∞, Cn(D, yn) llega a la cantidad óptima del inventario.
Observación Una restricción práctica es aproximar la función de probabilidad discreta por medio de una función continua.
En el caso de una demanda discreta, la cantidad a ordenar, y0n, resulta ser el entero más pequeño tal que ΦD(y0n) ≥ p+hp−c
Entonces y0 es igual a la cantidad que se obtiene cuando ΦD(yn0) alcanza una cantidad igual a p+hp−c. Para el caso continuo se toma la igualdad de la expresión anterior.
Con el cálculo del valor y0n y con la cantidad existente xn, entonces la política óptima es:
Si xn
½ < yn0 se ordena yn0− xn para subir el nivel del inventario a yn0
≥ yn0 no ordenar en el periodo n
Observación Los valores de y0n−1 hasta y10, se puede considerar iguales a y0n cuando n es infinito. En caso de que n sea finito, también se puede asumir que yn0 es igual para todos los periodos, sólo si se agregan otras restricciones prácticas como: a) Que cada unidad sobrante en el último periodo se puede vender a su valor original y b) Si ocurre un faltante, entonces, que éste se puede enviar sin variar el costo original.
1.3.1. Modelo con costo de preparación
Si el costo de adquisición es lineal, la revisión es periódica y se realiza al inicio de cada periodo, y la demanda insatisfecha se puede diferir a los siguientes periodos, la política óptima es de la forma (K,Q). Lo anterior significa que si el nivel del inventario, al inicio de cada periodo es menor que K, entonces se ordena el mínimo múltiplo de Q que rebase a K unidades, en caso contrario no se ordena.
INVENTARIOS ESTOCÁSTICOS Conclusiones
El problema en este caso es encontrar los múltiplos en cada periodo. La determinación numérica es difícil de obtener, de acuerdo a [Hiller, 2001].
El punto K se determina igual que en el caso del modelo económico EOQ, es decir, la función del costo total esperado se deriva con respecto a Y (la cantidad a ordenar) para obtener el punto mínimo.
Observación Cuando se agrega un tiempo de reabastecimiento variable, se demuestra que el cálculo no puede darse en forma analítica, por lo que se requiere de un método iterativo.
1.4. Conclusiones
A menera de resumen se puede decir que el modelo EOQ con faltante aplica el promedio de la demanda, lo que puede significar una mala estimación del comportamiento real de la demanda, por otro lado, considera que el tiempo de entrega es inmediato, sin embargo, un tiempo de entrega aleatorio puede originar que el cálculo de los parámetros (Q,R) se invalide debido a que el retardo en la entrega origina faltantes y/o excedentes.
En el caso de la programación dinámica una de las resticciones es aproximar la función de densidad de la demada discreta por un función continua para facilitar los cálculos, ya que tomando la demanda discreta los cálculos para n periodos resultan ser muy complejos.
De igual manera la incoporación de un tiempo de entrega t de reabastecimiento aleatorio plantea una ecuación de la forma Cn(t, D, yn) más compleja, cuya minimización es más dificil de calcular.
Finalmente se observa que una consideración práctica es pedir una cantidad Q aproximada- mente igual en cada periodo, tanto si se tiene una distribución discreta infita, cuando ésta es continua o cuando se involucra un costo de por preparación del pedido.
Capítulo 2
OPTIMIZACIÓN ESTOCÁSTICA
2.1. Introducción
Los AOE son una alternativa ampliamente usada para enfrentar problemas de optimización difíciles o altamente irresolubles, caracterizados por una alta dimensionalidad, multimoda- lidad, fuerte no linealidad, no diferenciabilidad, presencia de ruido o incertidumbre.
Existen aproximaciones por medio de AOE orientadas a funciones donde existe ruido, oca- sionado por imprecisión de los datos que se manejan. Éstas consideran, además, que tal imprecisión tiene un comportamiento normal. Una forma obvia de tratar el ruido es medi- ante la estimación del valor esperado de n mediciones, que tiende a remover la incertidumbre de los datos.
La incertidumbre debida a componentes aleatorias, por el contrario, debe ser representada como parte fundamental del problema. Para este caso, es usada la simulación del sistema, que permite observar el comportamiento de las variables de interés.
Los AOE en presencia de aleatoriedad interna o externa, por ruido o aleatoriedad, pueden llevar a óptimos falsos, como en el ejemplo mostrado en la introducción de este traba- jo, pag.6. Los problemas de: ¿cómo detener la búsqueda? y de ¿cómo evitar los mínimos locales?, también se ven afectados en presencia de aleatoriedad.
Este trabajo está enfocado a la optimización en presencia de incertidumbre, debida a com- ponentes aleatorias internas. En este apartado se mencionan algunos de los aspectos que intervienen en su implementación, haciendo énfasis en las funciones estocásticas, particu- larmente en el manejo de la aleatoriedad.
OPTIMIZACIÓN ESTOCÁSTICA Función estocástica
2.2. Función estocástica
Una función estocástica se puede definir de la siguiente forma:
L(θ, Ω) : Θ ⇒ R
donde Θ ⊂ Rn es el conjunto de soluciones factibles θ y Ω es un conjunto de variables aleatorias ϕi con distribución conocida.
El problema de minimización se refiere a encontrar el subconjunto Θ∗ ⊂ Θ de vectores θ∗ tales que L(θ∗, Ω) sea un mínimo.
Cuando la función L está bien definida, se satisface la condición de unicidad 2.1, esto es, para todo θ0 ∈ Θ la evaluación L(θ0) arroja siempre el mismo valor. Esto permite definir el conjunto de vectores de Θ∗ como equivalentes, si producen la misma solución. Esto es, θ1, θ2 ∈ Θ∗, si se cumple que L(θ1) = L(θ2).
Por el contrario, en el caso de L(θ, Ω), la condición 2.1 no necesariamente se satisface, i.e, L(θ, Ω), en general, arroja distintos valores, debido a que los componentes de Ω interfieren.
La equivalencia en este caso se puede considerar como una relación de pertenencia. Esto es, si θ1, θ2 ∈ Θ∗ y L(θ1, Ω), L(θ2, Ω) ∈ (E(L(θ∗, Ω)) ± ε), donde E(L(θ∗, Ω)) es el valor esperado de un mínimo θ∗ y ε ≥ 0, entonces L(θ1) ≈ L(θ2). El problema en este caso es encontrar E(L(θ∗, Ω))
L(α) 6= L(β) ⇒ α 6= β, con α, β ∈ Θ (2.1)
2.3. Optimización via simulación Monte Carlo
La simulación por el método de Monte Carlo es una alternativa ampliamente usada para analizar y mejorar el desempeño de sistemas complejos, donde intervienen factores aleato- rios. Por este medio se monitorean las variables de interés que intervienen en el sistema y se seleccionan las que obtienen el valor óptimo.
Con la simulación se representa la función L(θ, Ω) : Θ ⊆ Rn ⇒ x ∈ R, donde θ ∈ Θ son las variables independientes del sistema; Ω las componentes aleatorias y x el resultado del sistema. Los procesos o estados intermedios para pasar de θ a x deben ser expresados explícitamente.
OPTIMIZACIÓN ESTOCÁSTICA Algoritmos de optimización estocástica (AOE)
Por ejemplo, se puede buscar el θ∗ que reduzca L(θ, Ω) aplicando los siguientes pasos:
i) Hacer t = 0. Seleccionar un θt ∈ Θ arbitrariamente, con θt = (θt1, θt2, ..., θtn). Hacer θα = θt.
ii) Aplicar la simulación n veces para θ0 y calcular el desempeño promedio por medio de L(θα) = 1
n Xn
i=1
L(θα).
iii) hacer t = t + 1. Seleccionar un θt∈ Θ arbitrariamente.
iv) Aplicar la simulación n veces para θt y calcular el desempeño promedio por medio de L(θt) = 1
n Xn i=1
L(θt)
v) Si L(θα) < L(θt), reajustar las componentes de θt, de tal manera θt ∈ Θ , e ir al paso (iv). En caso contrario hacer θα= θt.
vi) Si θα tiene el resultado esperado, utilizarlo como una aproximación a un mínimo. En caso contrario ir a (iii)
El problema en este procedimiento, está en que no se puede asegurar que se ha encontrado el vector θ con el mejor desempeño posible. Las técnicas de muestreo clásico, mejoran este procedimiento. De acuerdo a la ley de los grandes números el promedio del desempeño de los vectores de una muestra de tamaño n converge hacia el promedio real cuando n tiende a infito. No obstante, dado que la convergencia es muy lenta, a razón de 1/√
n, el costo computacional es muy alto [Spall]. Se requiere, por tanto, un método que dirija de mejor forma el ajuste de los vectores, de tal manera que se reduzca el número de simulaciones en el proceso.
2.4. Algoritmos de optimización estocástica (AOE)
La optimización de la función L(θ, Ω) tiene como objetivo encontrar al conjunto de vectores θ∗ ∈ Θ∗ ⊆ Θ; L(θ∗, Ω) ≤ L(θ, Ω), ∀ θ ∈ Θ. La cardinalidad de Θ∗ puede ser contable o no numerable, debido a la naturaleza de la función como la multimodalidad, figura 2.1.
Además, si la función es estocástica, entonces se impide que se pueda dar un valor óptimo preciso, los elementos θ∗ del conjunto solución Θ∗ son equivalentes en el sentido de que dan resultados aproximadamente iguales. En la práctica el propósito es encontrar alguno de los θ∗∈ Θ∗ que satisfaga las expectativas del analista.
OPTIMIZACIÓN ESTOCÁSTICA Algoritmos de optimización estocástica (AOE)
Figura 2.1: Multimodalidad de L(θ) = −2 ∗ sin2(θ1) ∗ cos2(θ2)
Para la minimización de L, los AOE buscan una sucesión finita de vectores Sn= {θi ∈ Θ|i = 0, .., n}, tales que L(θ0) > L(θ1) > · · · > L(θn) converja dentro de Θ. El procedimiento inicia eligiendo un vector θi ∈ Θ de forma aleatoria. Los subsecuentes vectores se buscan recursivamente, i.e., el siguiente vector θi+1 se busca en función del desempeño del vector actual θi. Los valores de θi+1no se pueden elegir determinísticamente, pues no se sabe nada acerca de la función que indique hacia donde se encuentra una mejor posición, por lo tanto, se eligen aleatoria o heurísticamente.
Existen, por lo tanto, más de una sucesión de esta forma. En caso de mltimodalidad el mínimo encontrado depende del vector inicial y del los posteriormente elegidos. El exito de los AOE radica en encontrar al mejor mínimo posible, i.e., el mínimo global.
De acuerdo al teorema de convergencia de Cauchy en espacios métricos euclideanos se tiene que, toda sucesión de Cauchy es converente [Apostol 1979]. Una sucesión es de Cauchy si sus términos avanzados se aproximan cada vez más entre si, formalmente se tiene que:
Definición Una sucesión {xn} en un espacio métrico es de Cauchy si satisface que: para cada > 0 existe un entero N tal que d(xn, xm) < ε siempre que n ≥ N y m ≥ N, donde d(xn, xm) es la distancia entre xny xm.
La forma en que los AOE construyen la sucesión permite asegurar que se cumple L(θi) ≥ L(θi+1), y que además que es acotada, sin embargo, no se puede asegurar que el punto de convergencia pertenezca a Θ. Dadas las limitaciones computacionales, no se puede tener un sucesión infinita, por lo tanto, los AOE en general no pueden garantizar la optimización, sino una aproximación al óptimio. Además toda sucesión convergente tiene un único límite, si se tienen varias sucesiones convergentes es posible que se tengan varios puntos limite
OPTIMIZACIÓN ESTOCÁSTICA Efecto del ruido en los AOE
(punto de acumulación) lo que nos llevaría a la conclusión de que en general los AOE convergen hacia un mínimo local. En general los AOE no garantizan la convergencia a un mínimo global. Por ejemplo: en la función −x3(sin(x − 3))3/1000 + 6, cuya gráfica se muestra en la figura 2.2, la sucesión puede converger hacia uno de los mínimos locales. El problema es como garantizar la convergencia hacia el mínimo global.
6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26
-10 -5 0 5 10 15
x
y
mínimos locales
mínimo global
Figura 2.2: Mínimos locales
2.5. Efecto del ruido en los AOE
2.5.1. Mínimos falsos
Cuando existe ruido en la evaluación de los vectores, entonces L(θ, Ω) tiene un margen de error, es posible que el primer vector θ0de la sucesión tome un valor dentro del intervalo L(θ0, Ω) ± ε, con ε ≥ 0. Si βi =
¯¯
¯L(θi, Ω) − L(θi, Ω)
¯¯
¯ es el error cometido por cada vector θi entonces el siguiente vector θi+1deberá obtener un desempeño menor a L(θi, Ω), lo que implica que este error se trasmitirá a lo largo del proceso, aún en el caso de que L(θi+1, Ω) no cometa un error grave. El problema de esta variabilidad, para encontrar el punto de convergencia por medio de los AOE, se puede expresar como sigue:
OPTIMIZACIÓN ESTOCÁSTICA Efecto del ruido en los AOE
Problema Sea L la función a minimizar, θ∗nel vector con mejor desempeño en la iteración n y θ∗n+1, el vector ajustado en la iteración n + 1, si L(θ∗n+1, Ω) < L(θ∗n, Ω), entonces se toma a θ∗n+1 como el vector siguiente en la sucesión. Sin embargo, dada la aleato- riedad, L(θ∗n+1, Ω) no arroja el mismo resultado siempre que se evalúa; puede incluso suceder que L(θ∗n+1, Ω) ≥ L(θ∗n, Ω). Esto lleva a la siguiente situación de incertidum- bre: si se toma a θ∗n+1 como el vector que mejora el desempeño, es posible que se esté dando información errónea al algoritmo de minimización, por el contrario, si no se toma, se podría perder información valiosa acerca de una mejor posición. En otras palabras, la variación puede ser tal que, unas evaluaciones del vector θn+1 sugieran que se está en la dirección correcta, mientras que otras evaluaciones del mismo vector, indique que se está en una dirección no conveniente.
El procedimiento de búsqueda descrito anteriormente corresponde al AOE del: método directo de búsqueda aleatoria. En general este método no converge en presencia de aleatoriedad, [Spall] pp 50. Otro algoritmo que utiliza un sólo punto para la búsqueda es el de recocido simulado, en el cual, si un vector muestra mejor desempeño, se toma como parte de la sucesión; de lo contrario, no se rechaza del todo, todavia es posible que se tome como parte de la sucesión, siempre que el resultado que arroje la función aleatoria 2.2 sea mayor a un número aleatorio uniformemente generado entre [0, 1] 1.
P (x) = cτexp(− x
cbT) (2.2)
donde, x = |L(θnuevo) − L(θactual)|
Sin embargo, tampoco es posible demostrar en general la convergencia de este último méto- do.
2.5.2. Tratamiento de la aleatoriedad
Uno de los investigadores que han tratado el problema de la optimización con AOE, en presencia de ruido, es [Rana,1996], que señala como uno de los efectos causado por la aleatoriedad a la introducción de óptimos locales falsos, descritos anteriormente.
Las aproximaciones para el tratamiento de la aleatoriedad se orientan en las siguientes direcciones:
1. Promediar la función de evaluación.- Una forma inmediata de intentar reducir la información ruidosa que arroja la función de evaluación en medios estocásticos es,
1Algoritmo descrito en el capítulo 2