Modelo didáctico para la implementación de los métodos numéricos en el proceso docente educativo de la física general en la especialidad de profesor de Ciencias Exactas

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(1)INSTITUTO SUPERIOR PEDAGÓGICO “Félix Varela” Facultad de Enseñanza Media Superior Departamento de Ciencias Exactas. MODELO DIDÁCTICO PARA LA IMPLEMENTACIÓN DE LOS MÉTODOS NUMÉRICOS EN EL PROCESO DOCENTE EDUCATIVO DE LA FÍSICA GENERAL EN LA ESPECIALIDAD DE PROFESOR DE CIENCIAS EXACTAS. Tesis presentada en opción al grado científico de Doctor en ciencias Pedagógicas. Autora: M. Sc. Yusimí Guerra Véliz Tutor: Dr. C. Julio Leyva Haza. Santa Clara, 2008.

(2) En estas páginas va parte de mi vida, trabajo, sacrificio, tristezas, esperanzas... y sobre todas las cosas Amor. Me son muy preciadas, porque en cada una he ido dejando un pedazo de mí. Creo que no las hubiera escrito, al menos no salidas del alma, Si no hubiera contado siempre con él.. 2.

(3) Por enseñarme tantas cosas, por amarme... y por todo lo que significa para mí Dedico estas páginas a mi esposo, mi mejor maestro.. 3.

(4) A mis niños Rafael y Alberto. Que un día estos sueños sean los suyos... 4.

(5) 5.

(6) A mi maestra Adelfa, de preescolar, por inspirarme a buscar las nubes cuadradas. A mi maestro Lázaro, de quinto grado, por despertarme el bichito de la matemática. A mi maestro Carlos, de Física en séptimo grado, por responder mis interminables preguntas. A mis profesoras, de Literatura en décimo y onceno grados, Magali y Liset por enseñarme a leer con los sentimientos. A mis profesores de Filosofía de preuniversitario Quirino y Raúl, por hacer de sus clases la vida misma. A mi profesor de Electromagnetismo, Carlos Sánchez por su exigencia y amor. A mi profesor y esposo Julio por aquellas integrales de fuerzas variables; por su ejemplo.. 6.

(7) A mi profesor de Análisis Matemático, Norli por plantearme un problema difícil cada día. A mi maestro Rivas, por su Mecánica Teórica que me dio tanto gusto. A mi profesor, Eberto, por hacer del Álgebra una ciencia mágica. A mi profesor de pedagogía, Rodolfo, por su acertada sabiduría. A mi profesor atemporal Tomás Crespo, por confiar en mi. A todos los que han marcado mi camino. Gracias por las flores que encontré en el borde, y por el árbol lleno de hojas verdes que vislumbro al final.. 7.

(8) SÍNTESIS Existen varias razones para que esta investigación, encaminada a la implementación de los métodos numéricos en el proceso docente educativo de la Física, se haya realizado: la primera radica en que tales métodos al sustituir el problema original por otro aproximado evidencian la relatividad de los conocimientos que comportan; la segunda en que los métodos numéricos al sustituir operaciones matemáticas complejas por simples operaciones algebraicas permiten que el razonamiento del estudiante, que recién ingresa a la educación superior, transite de forma gradual del razonamiento numérico formado en la enseñanza media al razonamiento funcional que debe formarse en la educación superior; la tercera razón se debe al uso intenso que se le da a dichos métodos para modelar problemas contemporáneos. Así, los métodos numéricos son parte de la cultura que necesariamente debe asimilar el ciudadano común. Sin embargo, tradicionalmente se ha relegado su uso en el estudio de las ciencias que aplican la matemática como una herramienta, convirtiéndose su implementación didáctica en una dificultad. En nuestros días muchos pedagogos se ocupan de investigar en está temática, ofreciendo propuestas que pueden clasificarse en dos grandes grupos: uno dirigido a la formación de científicos e ingenieros, y otro a los niveles de enseñanza en que se estudian las ciencias con menos profundidad. Las propuestas dirigidas a la enseñanza de las ciencias en las carreras de formación de profesores de ciencias exactas para la enseñanza media se ubican en el segundo grupo, pero las existentes no responden completamente a las razones abordadas, por ello la búsqueda de una que las tenga en cuenta adquiere la cualidad de problema científico a resolver en la presente investigación. Para tal solución se propone un modelo didáctico fundamentado en el modelo de aprendizaje Histórico Cultural, la didáctica de Álvarez de Zayas y que toma como guía metodológica la filosofía Marxista Leninista. Tal modelo concibe la introducción de los métodos numéricos en el proceso docente educativo de la Física General que es una de las disciplinas incluidas en el plan de estudio de dicha carrera. Conjuntamente con la solución del problema científico fueron develados varios aspectos particulares que enriquecen la didáctica de la Física y que se explican en el informe. Para probar que el modelo propuesto es realizable desde el punto de vista teórico se hizo un experimento de modelo consistente en el diseñar sobre la base de dicho modelo asignatura Mecánica, que forma parte de la disciplina Física General. Para probarlo desde el punto de vista práctico se ejecutó un preexperimento pedagógico que se complementó con el criterio de experto. Cada uno de ellos arrojó resultados que avalan la calidad del modelo propuesto.. 8.

(9) ÍNDICE CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS. TEÓRICOS PARA LA IMPLEMENTACIÓN DE LOS MÉTODOS NUMÉRICOS EN EL PROCESO DOCENTE EDUCATIVO DE LA FÍSICA GENERAL EN LA ESPECIALIDAD DE PROFESOR DE CIENCIAS EXACTAS ........... 23. 1.1. FUNDAMENTACIÓN DEL PROBLEMA CIENTÍFICO ................................................................................. 23 1.1.1.. Lugar de los métodos numéricos en la matematización de la Física .............................. 23. 1.1.2.. Los métodos numéricos como objeto capaz de satisfacer la necesidad psicológica de transitar gradualmente del razonamiento numérico al funcional. ............................... 28. 1.1.3.. Los métodos numéricos como componente de la cultura que es imprescindible asimilar en el presente .................................................................................................. 30. 1.1.4.. El tratamiento de los métodos numéricos en los planes de estudio de formación de profesores de Ciencias Exactas..................................................................................... 31. 1.1.5.. Formulación del problema ............................................................................................. 35. 1.2. FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA PARA LA SOLUCIÓN DEL PROBLEMA CIENTÍFICO ....................................... 36 1.2.1.. La concepción científica del mundo ............................................................................... 36. 1.2.2.. La teoría histórico – cultural, la actividad y la comunicación en la concepción del modelo de aprendizaje .................................................................................................. 43. 1.2.3.. Carácter interdisciplinario de la aspiración social y su concreción en la escuela............. 50. 1.2.4.. El sistema proceso docente educativo ........................................................................... 55. CAPÍTULO 2. LA. PROPUESTA DEL MODELO DIDÁCTICO PARA LA IMPLEMENTACIÓN DE LOS MÉTODOS NUMÉRICOS EN EL PROCESO DOCENTE EDUCATIVO DE LA FÍSICA GENERAL EN LA ESPECIALIDAD DE PROFESOR DE CIENCIAS EXACTAS ...................................................................................................................................................... 71. 2.1. LA REPRESENTACIÓN DEL SISTEMA A TRAVÉS DEL MODELO Y SU CONFORMACIÓN ................................ 71 2.2. ELABORACIÓN DEL MODELO DIDÁCTICO ........................................................................................... 73 2.2.1. El objeto ........................................................................................................................ 73. 2.2.2. El problema ................................................................................................................... 74. 2.2.3. El objetivo ..................................................................................................................... 75. 2.2.4. El contenido .................................................................................................................. 77. 2.2.5. El sistema de métodos, los medios y las formas ............................................................ 87. 2.2.6. La dinámica del proceso docente educativo en el modelo que se propone................... 100. 2.2.7. El profesor y el colectivo pedagógico ........................................................................... 103. 2.2.8. El alumno .................................................................................................................... 104. 2.2.9. El resultado ................................................................................................................. 105. 9.

(10) CAPÍTULO 3. LA VALORACIÓN DEL MODELO DIDÁCTICO PARA LA IMPLEMENTACIÓN DE LOS MÉTODOS NUMÉRICOS EN EL PROCESO DOCENTE EDUCATIVO DE LA FÍSICA GENERAL EN LA ESPECIALIDAD DE PROFESOR DE CIENCIAS EXACTAS .................................................................................................................................................... 107 3.1 EL MÉTODO DE VALORACIÓN DEL MODELO SEGÚN LA METODOLOGÍA SEGUIDA ................................... 107 3.2 LA REALIZACIÓN DEL EXPERIMENTO............................................................................................... 108 3.2.1. La concepción, ejecución y valoración del experimento de modelo .............................. 108. 3.2.2. La concepción, ejecución y valoración de los resultados del experimento pedagógico . 110. CONCLUSIONES................................ ................................ ................................ .................... 128 RECOMENDACIONES ................................ ................................ ................................ ........... 130 BIBLIOGRAFÍA................................ ................................ ................................ ....................... 131. ÍNDICE DE ANEXOS Anexo 1: Carácter binario de los métodos de enseñanza problémica que se proponen para la modelación del componente método ........................................................................... 137 Anexo 2: Estructura del método de solución de tareas teóricas y tareas experimentales de Física .......................................................................................................................... 138 Anexo 3: Métodos numéricos cuya introducción se propone a través del proceso docente educativo de la Física General .................................................................................... 139 Anexo 4: Matriz interobjeto para la asignatura Mecánica ............................................................. 143 Anexo 5: Matriz resultado para cada tema de la asignatura Mecánica ......................................... 146 Anexo 6: Casos particulares para cada tema de la asignatura Mecánica ..................................... 155 Anexo 7: Clasificación de las tareas docentes genéricas de Física.............................................. 157 Anexo 8: Estructura de las TD1 y esquema de su procedimiento de solución .............................. 158 Anexo 9: Concreción de la estructura del método de solución de tareas teóricas de Física para las TD1 a partir de su procedimiento de solución ......................................................... 159 Anexo 10: Ejemplo de una TD1 y análisis de su solución según el procedimiento propuesto ....... 160 Anexo 11: Estructura de las TD2 y esquema de su procedimiento de solución ............................ 165 Anexo 12: Concreción de la estructura del método de solución de tareas teóricas de Física para las TD2 a partir de su procedimiento de solución ................................................. 166 Anexo 13: Ejemplo de una TD2 y análisis de su solución según el procedimiento propuesto ....... 167 Anexo 14: Estructura de las TD3 y esquema de su procedimiento de solución ............................ 173 Anexo 15: Concreción de la estructura del método de solución de tareas teóricas de Física con procesamiento informático de los datos en la estructura del procedimiento de solución de las TD3 ..................................................................................................... 174. 10.

(11) Anexo 16: Ejemplo de una TD3 y análisis de su solución según el procedimiento propuesto ....... 175 Anexo 17: La estructura del método de solución de tareas experimentales de Física con procesamiento informático de los datos y la estructura del método de solución de las TDG2 experimentales.................................................................................................. 182 Anexo 18: Ejemplo de guía de estudio de Mecánica ................................................................... 183 Anexo 19: Programa del curso de postgrado: “Aplicación de la Matemática Numérica en la solución de tareas docentes de Física” ........................................................................ 198 Anexo 20: Programa del curso de postgrado: “Implementación de los métodos numéricos en el proceso docente educativo de la Física General” ..................................................... 202 Anexo 21: Esquema del modelo didáctico ................................................................................... 205 Anexo 22: Preprueba para medir el componente intelectual ........................................................ 206 Anexo 23: Guía de observación para medir el componente práctico............................................ 208 Anexo 24: Postprueba para medir el componente intelectual ...................................................... 209 Anexo 25: Tabla de valores de la variable dependiente para el componente intelectual .............. 210 Anexo 26: Tabla de valores de la variable dependiente para el componente personal ................. 211 Anexo 27: Tabla de valores de la variable dependiente para el componente práctico .................. 212 Anexo 28: Gráfico de cajas y pivotes para el componente intelectual .......................................... 213 Anexo 29: Gráfico de cajas y pivotes para el componente personal ............................................ 214 Anexo 30: Gráfico de cajas y pivotes para el componente práctico.............................................. 215 Anexo 31: Tabla de índices para el componente intelectual ........................................................ 216 Anexo 32: Tabla de índices para el componente personal........................................................... 217 Anexo 33: Tabla de índices para el componente práctico ............................................................ 218 Anexo 34: Gráfico de índices de cada componente por estudiante .............................................. 219 Anexo 35: Tabla de tasas de variación por estudiante para cada componente ............................ 220 Anexo 36: Caras de Chernoff para cada uno de los estudiantes sometidos al experimento ......... 221 Anexo 37: Cuestionario para el criterio de experto ...................................................................... 223 Anexo 38: Fuentes de argumentación para establecer el criterio de experto................................ 225 Anexo 39: Resultados de los encuestados en cada fuente de argumentación ............................. 226 Anexo 40: Nivel de competencia de los expertos ........................................................................ 227 Anexo 41 Procesamiento estadístico de la evaluación del modelo dada por los expertos a partir de los resultados de los indicadores del componente intelectual ......................... 228 Anexo 42: Procesamiento estadístico de la evaluación del modelo dada por los expertos a partir de los resultados de los indicadores del componente personal ........................... 230 Anexo 43: Procesamiento estadístico de la evaluación del modelo dada por los expertos a partir de los resultados de los indicadores del componente práctico ............................ 232. 11.

(12) INTRODUCCIÓN El desarrollo alcanzado por la sociedad actual repercute de manera decisiva en los sistemas educacionales. Fenómenos sociales como la globalización y el vertiginoso avance de la tecnología han sacado a la luz carencias de las ciencias pedagógicas que antes no se detectaban. Al respecto la Doctora Lesbia Cánovas señala “… la Pedagogía está emplazada también por la práctica social al no dar respuesta a las exigencias y necesidades de la época, al seguir empleando representaciones tradicionalistas para la solución de nuevos problemas…” (Cánovas, 2002, 51). Más adelante sentencia: “La Pedagogía tendrá que modelar la vida de la escuela a partir de revolucionar su sistema de actividades y relaciones con la participación activa de todos los que intervienen en el hecho educativo, jerarquizar su función formadora y educadora. La incorporación de las nuevas tecnologías de la información impactará el rol del maestro, exaltando su condición de mentor. En consecuencia, tendrán que revolucionarse las concepciones acerca de la formación de maestros…” (Cánovas, 2002, 53). Tal reto, aun cuando atañe a todas las ciencias pedagógicas, debe ser enfrentado, de acuerdo con sus características, por cada una de las disciplinas específicas que la integran; esto recae, en gran medida, en las didácticas particulares. Los especialistas de cada una de ellas han de realizar profundos análisis con dos fines fundamentales: primero, determinar cómo se manifiestan los problemas actuales en la didáctica de la ciencia que enseñan y segundo, buscarles soluciones científicas. Uno de tales problemas es el conocimiento de los métodos numéricos como parte de la cultura que debe asimilar el ciudadano común. Para ello hay razones de carácter gnoseológico, psicológico y social que exigen su inclusión en los currículos escolares como un encargo social. Seguidamente serán expuestas cada una de estas razones. La formación de la concepción del mundo de los ciudadanos es un problema cardinal de cualquier sociedad, que depende de la ideología imperante en ese momento. Así, en nuestro caso, la inclusión de las ciencias en los planes de estudio educacionales persigue el objetivo gnoseológico encaminado a la formación de la concepción científica del mundo de los estudiantes. 12.

(13) La Dra. Beatriz Macedo, representante de la UNESCO para la enseñanza de las ciencias en América Latina y el Caribe, planteó en la conferencia de apertura del II Congreso Internacional de Enseñanza de las Ciencias (La Habana, 2002) que en los currículos actuales la enseñanza de las ciencias se concibe de forma tal que provoca que el alumno se haga una representación de sus contenidos como algo acabado, como un conjunto de conocimientos que describen exactamente la realidad. Asumir los conocimientos científicos de este modo implica que no se tome una posición marxista leninista en cuanto a la posibilidad de conocer el mundo. De acuerdo con la gnoseología materialista dialéctica el mundo es cognoscible a través de la práctica siendo los conocimientos un reflejo aproximado de la realidad. Es decir, la verdad objetiva posee carácter relativo. Esta forma de manifestarse la verdad objetiva se hace más evidente en aquellas ciencias en las que la matemática es una herramienta para la conformación e interpretación de sus teorías. Los métodos matemáticos empleados pueden o no comportar el carácter aproximado de dichos conocimientos. Entre los que permiten valorar las aproximaciones se hallan los métodos numéricos. En otra clase se ubican los métodos exactos que no tienen en cuenta el carácter aproximado de los conocimientos respecto a la realidad que representan. En el hecho de que los métodos numéricos permitan juzgar acerca de la eficiencia del resultado radica su valor gnoseológico pues, al hacer evidente la naturaleza inexacta de las representaciones o conocimientos que se obtienen, las construcciones científicas se asumirán con el carácter aproximado que les es inherente y se entenderá que estas aunque correctas, son susceptibles de ser mejoradas. Durante la construcción del aparato teórico de las ciencias exactas los métodos numéricos y exactos son igualmente importantes, se excluyen y complementan conformando una unidad dialéctica. Mientras que los métodos exactos posibilitan arribar a importantes generalizaciones teóricas, los numéricos permiten pasar de los datos obtenidos en las mediciones al modelo matemático que expresa sus relaciones y comprobar en la práctica el modelo teórico propuesto.. 13.

(14) Sin embargo, actualmente en la enseñanza de las ciencias predominan los métodos exactos. En consecuencia, los estudiantes asumen los conocimientos científicos como una descripción exacta de la realidad y obvian el carácter relativo de dichos conocimientos, que tan importante es para estimular la inconformidad que lleva a la búsqueda de nuevos conocimientos y a la profundización de los existentes. Esta dificultad puede resolverse incluyendo en la enseñanza de las ciencias los métodos numéricos conjuntamente con los exactos. El desarrollo del pensamiento de los ciudadanos, es también un problema de cualquier sociedad que se transmite como encargo a la escuela. Este adquiere matices diferentes en cada nivel educacional y al cambiar de un nivel a otro. Durante la enseñanza media el razonamiento de los estudiantes, en lo que a matemática se refiere, se desarrolla sobre la base de las operaciones con números. Así, después de realizar cualquier operación matemática ellos esperan obtener como resultado un número; sin embargo, al comenzar en la educación superior se inician las operaciones sobre las funciones de modo que los estudiantes deben obtener como resultado una función pero lo que esperan es un número. Así, su razonamiento transita de forma muy brusca de numérico a funcional. Esta situación lleva a que comiencen a aparecer lagunas en el aprendizaje y que muchos de los conocimientos a asimilar no sean asequibles en el momento en que se estudian. Los métodos numéricos sustituyen operaciones tales como: la derivación, integración y solución de ecuaciones diferenciales, que son operaciones matemáticas complejas que se realizan sobre funciones, por operaciones algebraicas simples como suma, resta, multiplicación y división que se realizan sobre números. La integración sistémica de tales operaciones algebraicas representan la operación matemática compleja a realizar sobre la función y los propios conjuntos de números involucrados en dichas operaciones constituyen funciones expresadas en forma tabular. Luego, cuando los estudiantes están operando con conjuntos de números ya están operando con funciones; claro que para hacerlo evidente es preciso que interpreten el sistema de operaciones algebraicas como operaciones realizadas sobre funciones y los conjuntos de números como funciones. Esto propicia un tránsito gradual en su razonamiento de numérico a funcional con lo que se justifica desde el punto de vista psicológico la introducción de los métodos numéricos como una necesidad. 14.

(15) A pesar de que estas dos razones son suficientes para la introducción de los métodos numéricos en los currículos actuales, existe otra de carácter sociológico y es el hecho de que tales métodos se empleen cada vez con más frecuencia para resolver problemas en los ámbitos científico, técnico y práctico convirtiéndose en parte de los conocimientos que debe asimilar el ciudadano común para su inserción social. En los momentos actuales en que todo Nuestro Pueblo dirigido por el Partido Comunista está enfrascado en llevar adelante la Batalla de Ideas, la formación de una cultura general integral es elemento imprescindible para garantizar el mantenimiento y desarrollo de la Revolución, esto lo reafirman las palabras que dan título al discurso pronunciado por Nuestro Comandante en Jefe Fidel Castro en el Aula Magna de la Universidad de Caracas en Venezuela donde expresó que “Una revolución solo puede ser hija de la cultura y las ideas” (Castro, 1999, portada). La formación de la cultura general integral está estrechamente ligada al momento histórico concreto, a la dialéctica intrínseca en las ideas éticas, jurídicas, políticas, artísticas y científicas que prevalecen en las relaciones sociales de cada época. No basta con el conocimiento de la riqueza cultural heredada de nuestros ancestros, es preciso conocer los problemas actuales y participar en la toma de decisiones para orientarse en el mundo vertiginosamente cambiante que nos ha tocado vivir. La concepción de la ciencia ha mantenido relativa estabilidad respecto a la acelerada dinámica de las demás facetas que conforman la cultura; sin embargo, desde finales del siglo XX está ocurriendo un cambio en el concepto de madurez de la ciencia y en consecuencia en su forma de incorporarse a la cultura, en su valor teórico. Al referirse a este particular el Dr. Carlos Cabal expresó: “Hace algunas decenas de años se subrayaba que las ciencias eran maduras cuando lograban una formulación teórica, analítica, matemática, que podía expresar, en un conjunto limitado de teorías, todo un sistema de fenómenos que se ocupaba como objeto de estudio de esa ciencia. Yo pienso que ese concepto de madurez de la ciencia es un concepto en evolución y, de hecho, la descripción matemática y el conjunto de teorías que pueden surgir para descubrir los fenómenos objetos de una ciencia han ido cambiando con el propio cambio de los conceptos en la matemática. La matemática de antes de finales del siglo XIX es diferente 15.

(16) a la matemática actual, y eso ha sido en gran medida por el desarrollo de los métodos numéricos, por la simulación y la modelación de fenómenos a través de herramientas de la matemática. Y eso ha sido, más que todo, producto del desarrollo de la computación y de las herramientas de cálculo que al hombre le ha permitido ver las cosas no solamente desde un punto de vista analítico, de fórmulas que describen todos y cada uno de los procesos que ocurren en un fenómeno determinado” (Coloquio 2002 ,300). La participación que tiene hoy el ciudadano medio en la sociedad exige que su concepción acerca de la ciencia sea más dialéctica por la labor que realiza y por la necesidad de poder orientarse en una sociedad en que se ve “bombardeado” diariamente por un gran cúmulo de información de todo tipo y con contenidos e intenciones diversas. Entonces, el estudio de las ciencias en que se aplica la matemática ha de concebirse considerando la unidad dialéctica entre los métodos numéricos y exactos para dar una visión más adecuada de dicha ciencia en correspondencia con la cultura de masas que exige el mundo de hoy. Sobre la base de los razonamientos anteriores hemos determinado que los métodos numéricos se implementen en el proceso docente educativo de la Física para desarrollar las siguientes habilidades:  Realizar una operación matemática determinada sobre una función aplicando métodos numéricos.  Aplicar cada método numérico para explicar sistemas o fenómenos físicos.  Valorar el carácter aproximado de los conocimientos físicos. Estas son habilidades complejas que se componen de conocimientos, hábitos y otras habilidades más sencillas cuyo contenido debe ser asimilado por el estudiante, puesto que es resultado del quehacer de diversas ciencias. En este sentido constituyen significaciones objetivas (Brito, 1987, 62, t3). El desarrollo de la primera garantizará el tránsito gradual del razonamiento del estudiante del numérico al funcional. El desarrollo de la segunda propiciará su competitividad para operar con el contenido físico al nivel exigido por el programa. La tercera facilitará la apreciación de la diferencia entre conocimiento y realidad. Las dos primeras se formarán al unísono para cada método numérico específico y la tercera se asimila en la medida que se aprendan más métodos numéricos, pero una vez que se van formando se van individualizando (Brito, 1987, 62, t3), puesto que el sujeto 16.

(17) las asocia al mundo objetal sensible; es decir, las relaciona con fenómenos físicos concretos que explica a través de métodos numéricos concretos. Paralelo a ello va teniendo lugar la subjetivación de las significaciones puesto que el individuo las parcializa, les da sentido personal, según la relación que estas tienen con el motivo de su actividad (Brito, 1987, 63, t3) hasta lograr que dichas habilidades se integren en una más compleja consistente en resolver tareas docentes de Física aplicando métodos numéricos. Especialistas de diferentes países se han percatado de la necesidad de incluir los métodos numéricos en los cursos de Física en diversos niveles educacionales y constituye una tendencia en el ámbito internacional que se ha desarrollado en dos direcciones. La primera dirigida a la formación de científicos e ingenieros, y la segunda a los niveles de enseñanza en que se estudia la Física con menos profundidad. En el primer caso se propone usar métodos numéricos para resolver problemas complejos que no tienen solución por otra vía. La precisión que demanda la solución y el tiempo requerido para su convergencia exige métodos numéricos muy sofisticados y complejos, de aquí que las propuestas didácticas existentes para su enseñanza no sean aplicables a la formación de profesores de Ciencias Exactas de educación media superior. La segunda dirección, aunque concibe el trabajo con métodos numéricos más simples, tiene aun un desarrollo incipiente por lo que se limita a ofrecer ejemplos aislados de problemas físicos que se resuelven por métodos numéricos sin proporcionar orientaciones didácticas para aplicar de forma coherente dichos métodos en los cursos de Física. Las deficiencias señaladas en ambas direcciones hacen que las propuestas didácticas existentes no den respuesta a la exigencia social que se concreta en el desarrollo de la habilidad abordada más arriba. Ello nos ha llevado a considerar en la presente investigación el siguiente problema científico: No se dispone de una propuesta didáctica para implementar los métodos numéricos en el proceso docente educativo de la Física General en la especialidad de Profesor de Ciencias Exactas que lleve al desarrollo de la habilidad de resolver tareas docentes de Física aplicando métodos numéricos.. El objeto de estudio de esta investigación es: el proceso docente educativo de la Física General en la especialidad de Profesor de Ciencias Exactas y el campo de acción es: el. 17.

(18) proceso docente educativo de la Física General en la especialidad de Profesor de Ciencias Exactas, en el que se incluyan, conjuntamente con los exactos, los métodos numéricos.. El objetivo planteado es el siguiente: proponer un modelo didáctico para la implementación de los métodos numéricos en el proceso docente educativo de la Física General en la especialidad de Profesor de Ciencias Exactas que lleve al desarrollo de la habilidad de resolver tareas docentes de Física aplicando métodos numéricos.. La investigación estuvo dirigida a dar respuesta a las siguientes preguntas científicas: . ¿En qué estado se encuentra la implementación de los métodos numéricos en el proceso docente educativo de la Física General en la especialidad de Profesor de Ciencias Exactas?. . ¿Cuáles son los fundamentos que determinan teóricamente el modelo didáctico para la implementación de los métodos numéricos en el proceso docente educativo de la Física General en la especialidad de Profesor de Ciencias Exactas?. . ¿Cómo elaborar un modelo didáctico para la implementación de los métodos numéricos en el proceso docente educativo de la Física General en la especialidad de Profesor de Ciencias Exactas?. . ¿Qué resultados se obtienen al aplicar el modelo didáctico elaborado para la implementación de los métodos numéricos en el proceso docente educativo de la Física General en la especialidad de Profesor de Ciencias Exactas?. Las tareas realizadas en esta investigación fueron: . Diagnóstico del estado en que se encuentra la implementación de los métodos numéricos en el proceso docente educativo de la Física General en la especialidad de Profesor de Ciencias Exactas.. . Sistematización de la información bibliográfica acerca de la implementación de los métodos numéricos en el proceso docente educativo de la Física General en la especialidad de Profesor de Ciencias Exactas.. . Elaboración de un modelo didáctico para la implementación de los métodos numéricos en el proceso docente educativo de la Física General en la especialidad de Profesor de Ciencias Exactas.. . Valoración de los resultados que se obtienen al aplicar el modelo didáctico para la implementación los métodos numéricos en el proceso docente educativo de la Física General en la especialidad de Profesor de Ciencias Exactas.. 18.

(19) La variable independiente de esta investigación es: el modelo didáctico para la implementación los métodos numéricos en el proceso docente educativo de la Física General en la especialidad de Profesor de Ciencias Exactas y la variable dependiente es la habilidad resolver tareas docentes de Física empleando métodos numéricos. Métodos teóricos. . Modelación: aplicado a partir de la metodología empleada en la ejecución de la. investigación y centrada en el método de modelación de Boguslavski. . Histórico – Lógico: al analizar el problema científico en los planos filosófico, social,. psicológico y didáctico para determinar la influencia de su manifestación anterior en su manifestación actual y las particularidades de la proyección de su solución. . Enfoque Sistémico: al concebir el proceso docente educativo de la Física General. como un sistema autogestionado y tener en cuenta su estructura y dinámica de funcionamiento a partir de las relaciones entre sus componentes. . Analítico Sintético: aplicado al realizar la revisión bibliográfica para determinar los. fundamentos teóricos que sirven de base a la solución dada al problema científico, en la construcción del modelo y en la valoración de los resultados del experimento. . Inductivo Deductivo: aplicado para la determinación de las características de cada uno. de los componentes modelados sobre la base de los criterios teóricos que sustentan el modelo. . Ascensión de lo Abstracto a lo Concreto: aplicado para realizar las generalizaciones. que conforman el modelo y para diseñar y ejecutar el proceso docente educativo que permitió la valoración de los resultados del experimento. Métodos empíricos. . Observación: A través de la observación a clases aplicada como preprueba,. postprueba y durante los ensayos de relación variable independiente – variable dependiente para medir el componente práctico de la variable dependiente. A través de la observación del comportamiento de los estudiantes durante el desarrollo de las clases de la asignatura de Mecánica y durante el tiempo extradocente para medir el componente personal de la variable dependiente. 19.

(20) . Experimentación: Durante la realización del experimento de modelo al diseñar el. proceso docente educativo de la asignatura Mecánica con el modelo elaborado y en forma de preexperimento pedagógico al ejecutar el proceso docente educativo de dicha asignatura según el diseño realizado en el experimento de modelo. . Medición: Al asignarle valores a cada uno de los indicadores en que se operacionalizó. la variable dependiente y a cada una de las valoraciones realizadas por los expertos que evaluaron el modelo. . Análisis documental : Aplicado al estudio de los programas de las disciplinas de Física. General y Matemática de los diferentes planes de estudios a través de los cuales se han estado formado las diferentes generaciones de profesores de Física y Matemática. . Interrogación: Mediante las técnicas de prueba pedagógica aplicada como preprueba y. postprueba para medir el componente intelectual de la variable dependiente, composición aplicada como preprueba y postprueba para medir el componente. personal de la variable dependiente, conversación informal: aplicada para valorar cualitativamente el estado de la variable dependiente, entrevista: aplicada para investigar indirectamente a través de la opinión de los tutores el estado del componente práctico de la variable dependiente, criterio de experto: para valorar la aplicabilidad del modelo propuesto a otros contextos. . Estudio de casos: para investigar cada componente de la variable dependiente y la. correlación entre ellos. Métodos estadísticos: De la estadística descriptiva . Tablas de estadígrafos: para organizar los resultados de las mediciones directas y de. las valoraciones de los expertos. . Percentiles: para describir el comportamiento de cada componente de la variable. dependiente y para valorar el modelo a partir del criterio de experto. . Números índices simples: para realizar el análisis de cada uno de los componentes de. la variable dependiente a nivel individual. . Tasas de variación: para analizar la variación relativa en el estado de cada componente. de la variable dependiente producto de la intervención realizada.. 20.

(21) . Caras de Chernoff: para realizar el análisis de la correlación entre los diferentes. indicadores de cada componente de la variable dependiente y de correlación entre los propios componentes a nivel individual. . Tablas de contingencia para clasificar las valoraciones de los expertos.. . Medidas de tendencia central: para valorar el modelo a partir del criterio de experto.. . Desviaciones: para valorar el modelo a partir del criterio de experto.. De la estadística inferencial . Prueba de CHI CUADRADO a partir del coeficiente de Kendall : para probar la. confiabilidad del criterio de experto. Se usaron como fuentes teóricas de esta investigación la Filosofía Marxista Leninista, el modelo de aprendizaje fundamentado en la teoría histórico – cultural de Vygotsky y los continuadores de su escuela, así como la concepción didáctica de Carlos Álvarez y de otros autores recientes que la actualizan y enriquecen. Para dar solución al problema científico fue necesario realizar algunas elaboraciones novedosas que pueden ser consideradas como contribuciones a la teoría didáctica de la Física General y a su puesta en práctica.. Las contribuciones de carácter teórico consisten: en primer lugar, en la elaboración del modelo para la implementación de los métodos numéricos en el proceso docente educativo de la Física General encaminado a formar la habilidad resolver tareas docentes de Física y en segundo lugar, en la definición del concepto de función interobjeto como elemento integrador del contenido que sería tratado de forma interdisciplinaria así como en la determinación de la estructura del método de solución de las tareas docentes con procesamiento informático de los datos. Las contribuciones de carácter práctico son las siguientes: en primer lugar, el diseño del proceso docente educativo de la asignatura Mecánica según presupone el modelo elaborado que después de ser ajustado a partir del diagnóstico se llevó a la práctica y en segundo lugar, el diseño de dos cursos de postgrado dirigidos a la preparación de los profesores de Física General y de los tutores de las microuniversidades para impartir esta disciplina o asesorar a los estudiantes durante la realización del estudio independiente siguiendo el modelo que se propone.. 21.

(22) La novedad científica que se presenta en esta tesis consiste en haber elaborado un modelo didáctico para la implementación de los métodos numéricos en el proceso docente educativo de la Física General en la especialidad de Profesor de Ciencias Exactas.. La estructura del informe de esta investigación consta de tres capítulos. El primero se refiere a los Fundamentos teóricos para la implementación de los métodos numéricos en el proceso docente educativo de la Física General en la especialidad de Profesor de Ciencias Exactas y consta de dos epígrafes. Uno dedicado a fundamentar el problema científico y el otro a la determinación de los criterios teóricos que sirven de base para su solución. Con ellos se da respuesta a las dos primeras preguntas científicas. El segundo capítulo se titula: La propuesta del modelo didáctico para la implementación de los métodos numéricos en el proceso docente educativo de la Física General en la especialidad de Profesor de Ciencias Exactas y está constituido, de igual forma, por dos epígrafes. En el primero se expone la metodología seguida para la solución del problema científico, mientras que en el segundo se describe la estructura y dinámica de funcionamiento del modelo didáctico que se propone. Con esto se da respuesta tercera pregunta científica. El tercer capítulo titulado: La valoración del modelo didáctico la implementación de los métodos numéricos en el proceso docente educativo de la Física General en la especialidad de Profesor de Ciencias Exactas. Este capítulo consta de dos epígrafes el primero dedicado a exponer la última parte de la metodología seguida en la presente investigación y le segundo que se refiere a la concepción, ejecución y valoración del experimento al cual fue sometido el modelo. Al informe se añaden anexos que ilustran y complementan los estudios realizados.. 22.

(23) CAPÍTULO 1 FUNDAMENTOS TEÓRICOS PARA LA IMPLEMENTACIÓN DE LOS MÉTODOS NUMÉRICOS EN EL PROCESO DOCENTE EDUCATIVO DE LA FÍSICA GENERAL EN LA ESPECIALIDAD DE PROFESOR DE CIENCIAS EXACTAS “… la Pedagogía está emplazada también por la práctica social al no dar respuesta a las exigencias y necesidades de la época, al seguir empleando representaciones tradicionalistas para la solución de nuevos problemas…” Lesvia Cánovas. 1.1. FUNDAMENTACIÓN DEL PROBLEMA CIENTÍFICO 1.1.1. Lugar de los métodos numéricos en la matematización de la Física Los entes materiales y fenómenos naturales son objetivos. En el proceso de investigación científica el hombre interactúa con ellos convirtiéndolos en objeto de su actividad cognoscitiva como resultado de la cual “...asimila teóricamente el objeto y lo transforma” (Konstantinov, 1977, 214). Las construcciones de la ciencia Física constituyen el reflejo de la realidad estudiada. Tal reflejo es profundo, organizado, coherente y constituye el resultado de la actividad práctica de muchos científicos. El conocimiento de los objetos, procesos o fenómenos físicos se obtiene a partir de modelos de la parte de la realidad estudiada. La cuantificación de dichos modelos se logra con la definición de magnitudes y dependencias entre ellas que se concretan en modelos matemáticos. En estos, cada elemento (variable, constante, signo...) y cada parte (ecuación, función, sistema de ecuaciones o funciones...) tiene un sentido físico estricto. Al tránsito de un modelo matemático a otro o a la determinación del valor de las magnitudes presentes en el modelo dado se llega a partir de operaciones matemáticas que de igual modo tienen sentido físico estricto. También, puede irse desde las magnitudes cuantificadas hasta el establecimiento del modelo. En todo este proceso la física habla a través de la matemática. Se dice que la matemática es el lenguaje de la física, no una matemática que comporta solo las estrictas formas y relaciones cuantitativas de los objetos abordados sino portadora, además, de un estricto sentido físico..

(24) En la matemática existen dos grandes grupos de métodos: Los numéricos y los exactos. La matemática exacta se ocupa de demostrar la existencia de la solución de un problema y señalar el proceso que converge a la solución (Danílina, 1985, 10); sin embargo, para muchos problemas la segunda cuestión queda sin resolver, aun cuando se garantiza, desde el punto de vista teórico, que tal solución existe. Asimismo, puede ocurrir que se brinde el algoritmo del proceso al que converge la solución pero que este sea demasiado largo y en consecuencia, inutilizable desde el punto de vista práctico. En auxilio de tales dificultades aparece la matemática numérica que tiene como objetivo la búsqueda de algoritmos aproximados de cálculo para todos aquellos casos en que la existencia de la solución esté garantizada desde el punto de vista teórico, se conozca o no un algoritmo exacto para resolverlo. Para ello sustituye el problema inicial por otro más simple (Volkov, 1990, 10), de aquí que la solución encontrada por esta vía resulte aproximada respecto al problema original. La solución por vía numérica se reduce a la realización de operaciones aritméticas y lógicas sobre los números. El aspecto que diferencia gnoseológicamente los métodos numéricos de los exactos es que en los primeros conjuntamente con el resultado se puede juzgar acerca de la eficiencia. “La Matemática Numérica es la teoría y la práctica del cálculo eficiente y la determinación del error de la solución aproximada. El adjetivo eficiente es muy importante. Una de las diferencias primarias entre la Matemática y la Matemática Numérica es que la primera carece del concepto de eficiencia. Luego, la Matemática Numérica tiene entre sus objetivos la elección del procedimiento más adecuado (y su conveniente aplicación) para la solución de un problema particular” (Suárez, 1980, 8). La investigación en física tiene lugar a través de los métodos teórico y experimental. La matemática está presente en ambos. Unas veces predomina la exacta otras prevalece la numérica complementándose dialécticamente. Si se opera con el método teórico, partiendo de postulados iniciales, a través del proceso de. abstracción,. se. obtienen. como. resultado. leyes,. principios,. teorías. que. matemáticamente se modelan como funciones, ecuaciones, inecuaciones, sistemas de ecuaciones, conjunto de funciones, etc. “una vez que se han determinado algunas magnitudes, la tarea consiste en determinar las relaciones entre estas magnitudes y otras 24.

(25) mensurables con el fin de que unas puedan deducirse de las otras” (Migdal, 1990, 32), En estos modelos matemáticos se sustituye el objeto o proceso real por uno ideal, con propiedades definidas a través de magnitudes Físicas: constantes o variables. Las relaciones entre dichas magnitudes son descritas en términos lógicos matemáticos estrictos (priman los métodos exactos de las matemáticas). Hasta este momento el modelo matemático que describe la realidad Física forma parte del conocimiento científico solo en calidad de hipótesis. Luego corresponde aplicar el método experimental, que consiste en reproducir el objeto o proceso real para medir directamente las magnitudes y calcular otras a partir de los valores medidos. Como aquí el punto de partida son números, prevalecen los métodos numéricos. Por último, es preciso comparar los resultados obtenidos del experimento con los que predice la teoría para establecer el grado de correspondencia entre la hipótesis y la realidad. Si tal grado de correspondencia está entre determinados límites que se consideran aceptables para el problema que se resuelve, entonces la hipótesis será aceptada y pasará a formar parte del conocimiento científico en calidad de verdad objetiva. En la construcción de los conocimientos y teorías Físicas se puede comenzar también a partir del experimento. Así, una vez reproducido el fenómeno y realizadas las mediciones directas e indirectas, se proponen leyes que relacionen las magnitudes medidas, fundamentalmente usando métodos numéricos. Estas son leyes empíricas, que después deben ser deducidas de las teorías generales existentes usando, mayormente, métodos exactos. Tanto para el caso en que la hipótesis sea rechazada, ¡el experimento dio una respuesta inesperada!, como para cuando la ley empírica no sea deducible a partir de la teoría existente, se precisa de una teoría nueva. La búsqueda de tal teoría constituye un nuevo problema científico a resolver. El punto de contacto entre el mundo material y los conocimientos físicos ocurre a través del proceso de medición directa que tiene lugar durante la experimentación. El resultado de tal medición es siempre un valor aproximado porque está afectado por una incertidumbre que depende de múltiples factores como son: el carácter subjetivo de las percepciones del experimentador, la apreciación de los instrumentos de medición, la 25.

(26) influencia que dichos instrumentos ejercen al intervenir en el fenómeno que se reproduce, los factores casuales que participan durante la ocurrencia del fenómeno, entre otros. Claro está, en la concepción del método de medición la acción de tales factores se disminuye tanto como sea posible pero no puede eliminarse totalmente. La incertidumbre es, en esencia, inevitable. La selección del modelo es otro factor que provoca cierta discordancia entre conocimiento y realidad; pues el modelo, siempre está afectado por las propiedades que no fueron tenidas en cuenta en él y que sí están presentes en el fenómeno o sistema físico real. Para pasar de los números a las expresiones analíticas definitivas o para calcular el valor de otra que depende de las magnitudes medidas directamente, se realizan operaciones sobre el conjunto de números obtenido; es decir, se realizan mediciones indirectas. Tales operaciones van acompañadas de errores propios del método numérico empleado y errores de redondeo que se propagan al resultado conjuntamente con la incertidumbre de la medición directa y el carácter aproximado del modelo físico. Luego, por la inevitabilidad de las incertidumbres en las mediciones directas e indirectas y por el carácter de modelo de los conocimientos puede afirmarse que el mundo físico es cognoscible pero siempre con determinado grado de exactitud. Tanto la expresión analítica, como el valor obtenido, según sea el caso, poseen ya el criterio de la práctica pero ambas son aproximadas. Constituyen una verdad objetiva, por haberse corroborado en la práctica pero tienen carácter relativo. Su carácter aproximado es el que impide que los conocimientos se estanquen y hace que se encaminen a su futuro desarrollo. Su exactitud es la que dice que contiene conocimientos correctos sobre la realidad objetiva que describe y le da un lugar en el edificio del conocimiento científico. Según palabras de Lenin “... este criterio (la práctica) es lo bastante impreciso para impedir que los conocimientos del hombre se conviertan en algo absoluto; al mismo tiempo es lo bastante preciso para sostener una lucha implacable contra todas las variedades de idealismo y agnosticismo” (Lenin, 1976, 132). Además de las expuestas, existen otras dos razones que llevan a usar los métodos numéricos como parte del método científico, estas radican en la imposibilidad o el grado de dificultad tan elevado para resolver un problema concreto empleando métodos exactos. 26.

(27) Como en el caso de situaciones modeladas por la integral de Gauss que no integra por métodos exactos, u otras situaciones Físicas para cuyos modelos matemáticos, aun cuando exista la solución desde el punto de vista teórico, sea imposible obtener dicha solución en la práctica (incluso para una computadora, como al resolver un sistema de ecuaciones lineales de 10 ecuaciones con 10 variables cuya solución exacta se garantiza por el método de Kramer). En resumen, los métodos numéricos se aplican a la Física en alguno de los tres casos siguientes:  Para procesar los resultados de las mediciones.  Para determinar la solución cuando está existe desde el punto de vista teórico pero no existe el método exacto que permita obtenerla.  Para obtener la solución cuando esta se garantiza desde el punto de vista teórico, pero el método exacto que permite obtenerla, aunque existe, es inaplicable desde el punto de vista práctico. Cada uno de estos usos son razones que le dan un lugar a los métodos numéricos, conjuntamente con los exactos en el método científico. Por consiguiente, ambos métodos forman parte de la cultura que debe asimilar el ciudadano común si se pretende que tenga una idea acertada sobre la ciencia y su relación con la realidad. El hecho de enseñar Física usando solo métodos exactos da una visión limitada de la realidad y del proceso de su conocimiento. Primero porque solo se pueden abordar aquellas manifestaciones de los fenómenos físicos cuyos modelos matemáticos son operables con métodos exactos, y segundo porque muestra solo una arista del proceso de matemátización de la Física. Así, queda enmascarado, en gran medida, el carácter relativo de la verdad objetiva, llevando a que los estudiantes asuman la ciencia como una descripción exacta del mundo que puede intercambiar su rol de reflejo de la realidad con el de la realidad misma. Luego, la inclusión de los métodos numéricos en los currículos escolares ha de hacerse sobre la base de su lugar en el método científico y su valor gnoseológico puesto que cuando no se es conciente de tal valor no se ven sino como una herramienta matemática más y su aporte a la formación de la concepción científica del mundo es espontáneo.. 27.

(28) 1.1.2. Los métodos numéricos como objeto capaz de satisfacer la necesidad psicológica de transitar gradualmente del razonamiento numérico al funcional. Durante los primeros años de la enseñanza universitaria, en aquellas carreras en que se imparte la disciplina Matemática Superior, el pensamiento del estudiante debe sufrir un cambio muy profundo. Su razonamiento en Matemática debe transitar de un razonamiento fundamentalmente numérico a uno fundamentalmente funcional. Mientras que en la enseñanza media la mayoría de las operaciones se realizan con números, empleando la Matemática elemental, en la enseñanza superior predominan las operaciones sobre las funciones características de la Matemática Superior. Esto se refleja en las disciplinas particulares que emplean la matemática como herramienta, tal es el caso de Física General donde la mayoría de los contenidos se explican usando la Matemática Superior. En consecuencia, el enfrentamiento del estudiante al aprendizaje de las disciplinas particulares que hacen uso de la matemática resulta difícil en el sentido de que a cada momento se ve precisado de asimilar conocimientos modelados a través de conceptos matemáticos que él no está en condiciones de entender. Esto se debe a que no posee los conocimientos previos imprescindibles, sobre todo porque al final de cada operación espera como resultado un número. La situación referida lleva a la aparición de una necesidad, que “se refleja psíquicamente, en él, como una inquietud” (Brito, 1987, 11, T2). La aparición de las condiciones (herramientas matemáticas que el alumno domine o que pueda dominar con ayuda de otro) conforma el motivo que conduce a la satisfacción de tal necesidad. La selección de dichas herramientas debe hacerse pensando en que el cambio del razonamiento del estudiante de numérico a funcional ocurra de forma gradual, teniendo en cuenta los conocimientos que ya el estudiante domina y los que puede aprender con ayuda para facilitar la formación de nexos entre los contenidos aprendidos y la estructuración que de ellos, cada estudiante, se va formando en el plano mental hasta lograr el aprendizaje deseado.. 28.

(29) Los métodos numéricos por su particularidad de operar sobre las funciones a partir de operaciones con números se convierten en el objeto capaz de satisfacer la necesidad psicológica anteriormente declarada. Según palabras de Leontiev: “El encuentro de la necesidad con el objeto es un hecho extraordinario... de objetivación de la necesidad” (Leontiev, 1982, 71). Este objeto llena de contenido la necesidad y una vez que el estudiante se ponga en contacto con él, una vez que aprecie la utilidad de la herramienta matemática usada para entender el contenido físico, se convertirá en el motivo que conducirá su actividad de estudio. El hecho es que para que la necesidad cumpla su función rectora respecto a la actividad, tiene que encontrarse con el objeto y este tiene que ser asumido por el individuo como el objeto que realmente satisface su necesidad. (Brito, 1987, 17, T2). En otras palabras, puede haber otras herramientas matemáticas (como en el caso de los métodos exactos cuando se enseña la Física General) que explican correctamente el contenido físico y en ese sentido son objeto de la actividad pero le falta a ese objeto el ser asequible, por ello se afecta el motivo que conduce su actividad de estudio. Los métodos numéricos sustituyen la derivación, la integración, la solución de ecuaciones diferenciales, etc. (que son operaciones que se realizan sobre las funciones, y se definen como operaciones analíticas, nuevas para el estudiante) por múltiples operaciones algebraicas que son conocidas por él desde los primeros grados escolares. Al trabajar con métodos numéricos cada operación algebraica se realiza sobre números de forma similar a como se realiza en la Matemática elemental, por lo que el estudiante estaría usando aquello que ya conoce. Lo nuevo está en el análisis global que debe hacerse sobre el sentido de cada número o conjunto de números involucrado, de modo que se interprete el número como un valor que caracteriza de algún modo a una función o se asuma al conjunto de números como una función expresada en forma tabular. También es nueva la interpretación que se dé al conjunto de operaciones particulares; es decir, el conjunto de sumas, restas, multiplicaciones o divisiones o la combinación de algunas de ellas debe asumirse como una nueva operación cualitativamente diferente que se realizó sobre una función (sobre el conjunto de números) y dio como resultado un valor de alguna de las variables de la función, otra función e incluso un conjunto de funciones. 29.

(30) Para escoger las operaciones, para interpretarlas y para comprender el resultado obtenido se precisa de la ayuda del maestro que se apoya en lo que el estudiante conoce para ir ampliando su conocimiento en la medida que se definan y realicen nuevas operaciones sobre las funciones. El maestro debe lograr que el estudiante interprete la relación de cada operación algebraica con los números involucrados en ella y que a la vez entienda el modo en que se relacionan unas operaciones algebraicas con otras y unos números con otros para dar lugar a una operación cualitativamente diferente que se realiza sobre una función. A esto es a lo que nos referimos cuando hablamos de pasar gradualmente a un razonamiento funcional. 1.1.3. Los métodos numéricos como componente de la cultura que es imprescindible asimilar en el presente El lugar de los métodos numéricos en el proceso de matematización de la Física y su valor psicológico como objeto capaz de lograr el tránsito gradual del razonamiento del estudiante de numérico a funcional constituyen en sí mismos motivos para incluirlos como componente de la cultura que le es imprescindible asimilar al ciudadano actual y por ello su aprendizaje constituye una exigencia social. No obstante, existe otra razón que está en la propia esencia de la práctica ciudadana de nuestros días y es su uso cada vez más frecuente para resolver problemas característicos de las más disímiles esferas sociales. El surgimiento de los primeros métodos numéricos data, aproximadamente del año 2000 a.n.e. y la incorporación de nuevos métodos numéricos, así como el enriquecimiento de los ya existentes, ha estado ocurriendo durante todo el desarrollo de la matemática y la física. Sin embargo, hasta hace poco su uso estuvo limitado, casi exclusivamente, al plano científico producto del enorme volumen de cálculos que requiere su aplicación. En los últimos tiempos el uso de los métodos numéricos se ha intensificado debido al desarrollo de las nuevas tecnologías de la información y la comunicación, y específicamente de los paquetes matemáticos profesionales diseñados para las computadoras que permiten realizar los cálculos de forma automatizada. Por otra parte, el propio desarrollo científico y tecnológico alcanzado hace que cada vez sea más frecuente la modelación a través de métodos numéricos de los problemas prácticos que se deben. 30.

(31) resolver en función del desarrollo social. Resulta entonces imprescindible, el conocimiento de los métodos numéricos en un amplio círculo de profesionales de la ciencia y la técnica. A pesar de que en las ciencias la incorporación de los métodos numéricos ha experimentado un avance desde las últimas décadas, producto de la introducción en el ámbito científico de las diferentes generaciones de ordenadores, no ha sido posible su incorporación paralela de manera intensiva a la enseñanza, porque hasta hace muy poco tiempo las computadoras no estaban disponibles para el uso de las grandes masas sociales. Sin embargo, el impetuoso desarrollo que ha alcanzado la microelectrónica en los últimos tiempos ha llevado a la reducción del tamaño de los ordenadores y a la disminución de sus costos, a la par que aumenta vertiginosamente su capacidad para procesar la información. Estos aspectos han provocado que desde finales de los 90 los ordenadores estén al alcance, no solo de los científicos, sino también de técnicos, especialistas, profesores e incluso de estudiantes de todos los niveles convirtiéndose en una herramienta de uso cotidiano. Este hecho hace que cada día sean mejores las condiciones para incluir los métodos numéricos en la enseñanza. A pesar de ello, los métodos numéricos no se incluyen en los currículos, o se incluyen muy pocos de forma asistemática y parcializada. Al respecto, el Dr. Delgado Rubí señala “El uso de los métodos numéricos y de los modelos discretos desplaza cada vez más el uso de los métodos exactos y de modelos continuos en la llamada Matemática Aplicada, sin embargo la escuela (incluye las carreras universitarias) sigue bastante a la zaga en este terreno” (Delgado, 1996, 8). En la formación de profesores de ciencias exactas también se manifiesta esta dificultad. Los planes de estudio contemplan muy pocos métodos numéricos, además de no mostrar la aplicación que tienen en Física, aun cuando esta es una de las asignaturas de su especialidad. Esta dificultad aleja la escuela de la vida y entra en contradicción con su función social. A decir de Carlos Álvarez “el vínculo que se establece entre el proceso docente educativo y la sociedad, en que el papel dirigente lo tiene lo social, explica las características de la escuela en cada contexto social” (Álvarez, 1999, 174). 1.1.4. El tratamiento de los métodos numéricos en los planes de estudio de formación de profesores de Ciencias Exactas. 31.

(32) En los planes de estudio con los que se han formado los profesores de Matemática desde la creación de los destacamentos pedagógicos hasta el curso 1993 – 1994 (planes de estudio A; B y C) los métodos numéricos constituían una disciplina independiente. A partir de las diferentes modificaciones del plan C estos se incluyeron en una asignatura dentro de la disciplina Cursos y Seminarios Especiales hasta desaparecer completamente del plan de estudios en el curso 1996 – 1997. En el año 1998 el profesor Rubén Rodríguez, en su tesis presentada en opción al Título de Master en Matemática Aplicada, realizó un estudio sobre la concepción de los métodos numéricos en la especialidad Matemática – Computación que lo llevó a elaborar una estrategia organizativo – metodológica para su reinclusión en dicha carrera. En los planes de estudio que existían anteriormente para la formación de profesores de Física (especialidad Física y Astronomía: planes A y B y Física y Electrónica: plan C), no se incluía el estudio de los métodos numéricos ni en las disciplinas de Matemática, ni en Física General, excepto el método de los mínimos cuadrados para aproximar funciones, el cual se usaba solo durante el procesamiento de datos de algunas prácticas de laboratorio. En el curso 2003 – 2004 las especialidades Física – Electrónica y Matemática – Computación, se unieron dando lugar a la especialidad de Ciencias Exactas para la Enseñanza Media Superior, donde se forman los profesores de Física, Matemática y Computación para el antedicho nivel educativo. En los objetivos generales de la nueva especialidad se declara que el estudiante debe: 1. Dominar las asignaturas del área (Física, Matemática y Computación) con un enfoque interdisciplinario, conocer sus objetos de estudio, métodos, formas principales de trabajo, sus características distintivas, sus limitaciones así como su importancia para otras ciencias. 2. Utilizar métodos y formas habituales en la actividad científica. 3. Utilizar la computación como herramienta de trabajo para la resolución de problemas y tareas, realización de experimentos con modelos matemáticos, automatización de la actividad experimental y la elaboración de recursos para la preparación de sus clases. (CD Ciencias Exactas, 2003).. 32.

(33) Para el cumplimiento de tales objetivos es preciso introducir los métodos numéricos como contenidos en las asignaturas que se imparten en el ciclo Fundamentos Científicos de las Disciplinas del Área por ser este el contenido principal o complementario para: . Lograr el conocimiento del objeto de cada una de las asignaturas con sus limitaciones y sus métodos de trabajo, así como el uso de métodos y formas de la actividad científica. Exigencia, contemplada en el primero y segundo de los objetivos señalados, que no se cumpliría íntegramente sin los métodos numéricos dado su lugar en el método científico y su valor gnoseológico (ver epígrafe 1.1.1).. . Resolver problemas aplicando la Computación. Exigencia contenida en el tercer objetivo y cuyo cumplimiento es muy factible a través de métodos numéricos.. Sin embargo, en dichos objetivos generales no se tiene en cuenta: . Que los métodos numéricos tienen hoy un uso muy amplio en la solución de problemas prácticos lo que hace del conocimiento de tales métodos una exigencia social.. . El aspecto psicológico al no mencionar la necesidad de lograr un tránsito gradual del razonamiento numérico a funcional.. Al contener estas limitaciones, los objetivos, no describen de modo preciso el estado de desarrollo que se desea alcanzar en los estudiantes para resolver el encargo social en lo que a métodos numéricos se refiere provocando que dichos métodos no se enseñen o se enseñen de forma asistemática y espontánea tal y como se refleja en la concepción de cada una de las disciplinas del área. Por ejemplo: las disciplinas de Matemática Superior (Análisis Matemático, Álgebra, Geometría, Probabilidades y Estadística) y la disciplina de Computación no incluyen la enseñaza de métodos numéricos. En la disciplina Física General, por el contrario, se sugiere usarlos en Mecánica para la determinación de velocidades, para la solución de la ecuación diferencial que expresa la segunda ley del movimiento y para el ajuste de curvas pero no se dice qué métodos usar, ni de qué modo hacerlo. En estas circunstancias, en el caso de la Física General, la selección del método numérico y el recurso metodológico para lograr que el estudiante domine la habilidad de operar con dicho método queda en manos del profesor que imparte la asignatura. Este está limitado para hacerlo por: . Ser un profesor adjunto con poca experiencia en la educación superior. 33.