Herramientas para la manipulación de formatos de datos científicos espaciotemporales en SIGs

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(1)BI BLIOGRAFIA. Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas Facultad Matemática, Física y Computación Centro de Estudios de Informática Departamento de Ciencia de la Computación. Simulaciones para los métodos de Investigación de Operaciones Trabajo de Diploma. Autor: Daniel Alejandro Pérez Álvarez Tutores: MSc. Beatriz María Méndez Hernández Dra. Yailén Martínez Jiménez. Santa Clara, 2014.. 1.

(2) Dictamen El que suscribe, Daniel Alejandro Pérez Álvarez, hago constar que el trabajo titulado Simulaciones para los métodos de Investigación de Operaciones fue realizado en la Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas como parte de la culminación de los estudios de la especialidad de Licenciatura en Ciencia de la Computación, autorizando a que el mismo sea utilizado por la institución, para los fines que estime conveniente, tanto de forma parcial como total y que además no podrá ser presentado en eventos ni publicado sin la autorización de la Universidad.. ______________________ Firma del Autor. Los abajo firmantes, certificamos que el presente trabajo ha sido realizado según acuerdos de la dirección de nuestro centro y el mismo cumple con los requisitos que debe tener un trabajo de esta envergadura referido a la temática señalada.. ________________________________ Firma del Tutor. ______________________________ Firma del Jefe del Laboratorio.

(3) Estudia para que seas alguien en esta vida… Frase del habla popular.

(4) DEDICATORIA. A mis abuelos maternos Roberto y Meñita A mi papá y mamá por todo lo que me han dado A ti, a petición de mi madre A mi familia por preocuparse tanto por mí A todos mis amigos.

(5) AGRADECIMIENTOS. A mis tutoras, Beatriz y Yailén por ser tan comprensivas conmigo A Erick por estar siempre ahí cuando lo necesité A Daynier, Yuney, Rainer, Yairon, Ernest… y toda la gente de la ACM por darme un lugar entre ellos A los muchachos de la Cañasanta por tantas cosas compartidas A mis compañeros de carrera A todo aquel que me ofreció de una manera u otra su apoyo y aliento.. RESUMEN. La Investigación de Operaciones es uno de los campos de la Matemática Aplicada que mayor desarrollo ha tenido en los últimos tiempos. Con frecuencia encontramos en empresas y centros de investigación problemáticas que pueden resolverse haciendo uso de algoritmos pertenecientes a esta disciplina, evidenciando la gran aplicabilidad de la misma. Existen diferentes herramientas para resolver problemas de optimización, como el Storm y el Lingo, los cuales han sido utilizados para la enseñanza de las asignaturas Modelos de Optimización, de la carrera Licenciatura en Ciencia de la Computación e Investigación de Operaciones, de la carrera Ingeniería Informática. Una limitante de estos programas es que no permiten resolver los problemas paso a paso, solo proveen la solución final al modelo previamente definido. De ahí que ha sido del interés de los profesores de estas asignaturas realizar una investigación sobre las necesidades actuales de las asignaturas mencionadas, de cuyo resultado ha surgido la necesidad de contar con un software que resuelva paso a paso los métodos que se estudian en estas asignaturas con una interfaz agradable al usuario que permita una mayor comprensión de los métodos por parte de los estudiantes..

(6) Palabras Clave: Optimización, Simulaciones, Investigación de Operaciones, Ejecución paso a paso.. ABSTRACT Operations Research is one of the fields of Applied Mathematics which has had the biggest development in recent times. Several companies and research centers often present problems that can be solved using algorithms belonging to this discipline, demonstrating its wide applicability. There are different tools for solving optimization problems, such as Storm and Lingo, which have been used for teaching the subjects Optimization Models, in the Computer Science career and Operations Research in Computer Engineering. One limitation of these programs is that they do not solve the problems step by step. They just provide the final solution to the previously defined model. Hence, it has been of interest for the teachers of these subjects to research on the current needs of the mentioned subjects, which outcome is the need of a software product to solve, step by step, the methods studied in these subjects with a nice interface that allows a greater understanding by the students. Keywords: Optimization, Simulations, Operations Research, Step by step execution.. TABLA DE CONTENIDOS INTRODUCCIÓN.......................................................................................................................1 CAPÍTULO 1.FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA......................................................................1 1.1Enseñanza asistida por computadoras. Simulaciones.........................................................1 1.2Programación lineal. Forma estándar del modelo matemático. Conceptos relevantes.......2 1.2.1 Método Simplex..........................................................................................................2.

(7) 1.2.2 Árbol de expansión mínimo........................................................................................3 1.2.3 Caminos mínimos desde una fuente............................................................................3 1.2.4 Algoritmo de asignación..............................................................................................4 1.2.5 Flujo máximo...............................................................................................................4 1.2.6 Problema de transporte................................................................................................5 1.2.7 Flujo de costo mínimo.................................................................................................5 1.3 Conclusiones parciales.......................................................................................................6 CAPÍTULO 2. Implementación de SimIO, software educativo para Investigación de Operaciones..................................................................................................................................6 2.1 Detalles de una ejecución paso a paso...............................................................................6 2.2 Biblioteca JGraphX............................................................................................................6 2.3 Diagrama de clases, casos de uso y actividades.................................................................7 2.3.1 Diagrama de casos de uso............................................................................................7 2.3.2 Diagrama de actividades..............................................................................................8 2.3.3 Diagrama de clases......................................................................................................8 2.4 Paquete de métodos............................................................................................................8 2.5 Paquete útil.........................................................................................................................8 2.6 Uso del lenguaje de programación Java.............................................................................9 2.7 Conclusiones parciales.......................................................................................................9 CAPÍTULO 3. Caracterización del software SimIO...................................................................9 3.1 Características del software................................................................................................9 3.2 Trabajo con la aplicación....................................................................................................9 3.3 Conclusiones parciales.....................................................................................................10 CONCLUSIONES.....................................................................................................................10 RECOMENDACIONES............................................................................................................10 BIBLIOGRAFÍA.......................................................................................................................10 INTRODUCCIÓN La enseñanza del actual siglo ha estado matizada por el uso de los medios técnicos auxiliares, dentro de los cuales la computadora ha desempeñado una función preponderante por las ventajas que incorporó, tanto para la explicación de los conceptos como para su apropiación..

(8) En la medida que ha ido avanzando la tecnología se han buscado métodos que resulten efectivos para el proceso docente-educativo. Se puede afirmar que a cada paradigma de la informática ha estado asociada una versión didáctica que apoye a la docencia en los contenidos más diversos (Almeida Campos et al., 1997). La simulación de sistemas y situaciones existentes en el mundo juega un importante papel en las investigaciones científicas. En la educación es cada vez más utilizada para la enseñanza de procesos, procedimientos y en el entrenamiento de situaciones prácticas. Sirven como base de muchos juegos instructivos y de entretenimiento en general (Chávez and Quesada). La Investigación de Operaciones es uno de los campos de la Matemática Aplicada que mayor desarrollo ha tenido en los últimos tiempos. Esto se debe a la gran cantidad de aplicaciones prácticas que poseen los algoritmos de optimización. En efecto, problemas como el de transporte, asignación o caminos mínimos se presentan con regularidad en empresas, centros de investigación y demás instituciones. Con evidente acierto el plan de estudio de la carrera Licenciatura en Ciencia de la Computación contempla la asignatura Modelos de Optimización destinando dos semestres en cuarto año al estudio de la misma y la carrera Ingeniería Informática destina todo un semestre a la asignatura Investigación de Operaciones. Ha sido del interés de los profesores de la facultad incluir la enseñanza asistida por computadora como una manera de estimular a los estudiantes al aprendizaje por vías alternativas. Estas asignaturas no están exentas de este proceder, software como el Lingo o el Storm han contribuido en su momento con el proceso de enseñanza pero actualmente resultan ineficientes. Ha sido entonces preciso realizar una investigación sobre las necesidades actuales de estas asignaturas de cuyo resultado ha surgido la necesidad de contar con un software que resuelva paso a paso los métodos que se estudian en estas asignaturas con una interfaz agradable al usuario que permita una mayor comprensión de los métodos por parte de los estudiantes. Para dar solución al problema científico se plantea como objetivo general de esta tesis: . Implementar simulaciones que faciliten la comprensión de los algoritmos estudiados en las asignaturas Modelos de Optimización I y II e Investigación de Operaciones.. Este objetivo se desglosa en los siguientes objetivos específicos: . Analizar la teoría que sustenta los métodos estudiados en las asignaturas Modelos de Optimización I y II e Investigación de Operaciones..

(9) . Implementar simulaciones que ayuden a los profesores a impartir las clases con una mayor calidad.. . Proporcionar una interfaz sencilla pero completa que muestre paso a paso el funcionamiento de estos métodos permitiendo a los estudiantes una mejor comprensión de los mismos.. Para dar solución al problema de investigación y a los objetivos específicos de esta tesis se dará respuesta a las siguientes preguntas de investigación: . ¿Cómo agrupar los métodos que serán implementados de acuerdo a las diferentes temáticas de las asignaturas?. . ¿Qué herramientas computacionales deben utilizarse en aras de implementar simulaciones que ayuden a los profesores a impartir las clases con una mayor calidad?. . ¿Cómo lograr que el funcionamiento de los métodos en cuestión sea mostrado paso a paso de una manera sencilla y fácil de comprender por los estudiantes?. El software que se utiliza actualmente en la asignatura (Lingo) no muestra las soluciones o iteraciones intermedias de los algoritmos, solo el resultado final. Además usar este software precisa de un conocimiento del lenguaje del mismo y también se debe tener en cuenta que es un software propietario y la política de la universidad es la migración a software libre. Con el nuevo software que se desea implementar se brindará a los usuarios que aprenden Investigación de Operaciones un producto sencillo de manejar desde la entrada misma y que puede convertirse en una herramienta de aprendizaje, consulta y comprobación de conocimientos. El valor práctico que posee un software de este tipo es innegable, así como su utilidad metodológica. También ostenta valor social, sobre todo entre los estudiantes y profesores del área de Investigación de Operaciones. Incluso puede manejarse la idea de ampliar su uso a otras universidades del país. La tesis está estructurada en 3 capítulos, en el capítulo uno se realiza un análisis de los principales aspectos de la enseñanza asistida por computadora. Además se hace una breve reseña teórica de los principales algoritmos que se estudian en Investigación de Operaciones. Seguidamente, en el capítulo 2 se hace un acercamiento al funcionamiento del sistema de ejecución paso a paso, se presentan los principales diagramas de ingeniería de software de la aplicación propuesta, se describen algunos de los métodos utilizados y se exponen aspectos fundamentales de la biblioteca JGraphX. Posteriormente, en el capítulo 3 se muestran una.

(10) serie de especificaciones sobre el software y se realiza una especie de manual de usuario que sirve de guía para los futuros usuarios de la aplicación. El documento termina con las conclusiones y recomendaciones del autor.. CAPÍTULO 1.. FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA. En el presente capítulo se describe la importancia de la enseñanza asistida por computadora en el mundo moderno y se hace una breve reseña de los conceptos más importantes relativos a las simulaciones para la enseñanza, además se hace un acercamiento teórico a los métodos de optimización a simular. 1.1 Enseñanza asistida por computadoras. Simulaciones. La televisión por cable, el video, el amplio uso de las computadoras y el acceso a redes de información constituyen nuevos formatos de información que implican cambio en la educación y provocan una "crisis". Los estudiosos de la tecnología educacional realizan una importante función en transformar estas tecnologías modernas en potentes herramientas educativas (Almeida Campos et al., 1997). Por enseñanza asistida por computadora (EAC) se puede considerar toda la maquinaria y programas informáticos diseñados para ayudar al profesor y a los alumnos en el proceso de enseñanza-aprendizaje. Se incluye también el uso de programas creados para otros usos, pero aplicados a esta tarea (Cabero et al., 2000). La idea detrás de la EAC es facilitar el aprendizaje e incentivar en el alumno un impulso para aprender, despertando su curiosidad natural. Sin embargo debe tenerse en cuenta que la EAC no sustituye al profesor. Es el profesor quien crea o diseña la aplicación de la EAC y debe aportar sus habilidades, experiencias, conocimientos y la motivación necesaria para guiar al alumno(Cabero et al., 2000). Un programa de EAC debe cumplir ciertos requisitos que resultan indispensables para lograr un desempeño de calidad consecuente con las necesidades del proceso de enseñanzaaprendizaje. Un aspecto muy influyente es el diseño de la interfaz visual, o sea, la forma y contenido de todos aquellos componentes que el usuario observa por pantalla. Es necesario que la interfaz sea atractiva y organizada propiciando así una mayor motivación en el usuario, (en este caso el estudiante). Además resulta muy importante que se le añada al programa un sistema de ayuda que guíe al usuario en aquellos tópicos que puedan resultarle dudosos..

(11) El uso de los sistemas de EAC puede resultar muy ventajoso en los tiempos actuales puesto que normalmente estos resultan interesantes como medio de enseñanza además de cubrir las limitaciones de tiempo de los profesores. Como complemento al proceso educativo tradicional estas herramientas son cada día mas utilizadas. Esto se demuestra en el desarrollo experimentado por los sistemas de enseñanza-aprendizaje, desde los programas lineales creados a partir de la segunda mitad del pasado siglo, pasando por los programas ramificados y los sistemas generativos de los años 60-70, hasta llegar a los sistemas tutores inteligentes de la actualidad, los cuales combinan técnicas de inteligencia artificial (IA), modelos psicológicos del estudiante y del experto y teorías de la educación (Almeida Campos et al., 1997). Entre los diversos tipos de herramientas de EAC adaptadas a diferentes metodologías de aprendizaje se abordará solamente el tema de las simulaciones puesto que es el que se relaciona directamente con el objetivo de este trabajo. La simulación es el proceso de diseñar un modelo de un sistema real y llevar a término experiencias con él, con la finalidad de comprender el comportamiento del sistema o evaluar nuevas estrategias —dentro de los límites impuestos por un cierto criterio, o un conjunto de ellos— para el funcionamiento del sistema (Chávez and Quesada). Las simulaciones por computadoras son programas que sostienen modelos de sistemas reales. El comportamiento de estos sistemas se expresa mediante cambios en las variables que lo describen. La experimentación con las simulaciones se realiza dando entradas al modelo y analizando sus salidas. El sistema real puede ser físico, artificial o hipotético. Las simulaciones por computadora se han convertido en una parte útil del modelado de muchos sistemas naturales en Física, Química y Biología, y de sistemas humanos como el económico, entre otros. En la enseñanza, esta posibilidad de ensayar, probar teorías y entrenarse en un ambiente controlable y sin riesgos es una gran oportunidad (Chávez and Quesada). Una simulación educativa es una poderosa técnica que enseña algunos aspectos del mundo mediante su imitación o réplica. Está basada en un modelo de un sistema o fenómeno del mundo real en el que se han simplificado u omitido algunos elementos para facilitar el aprendizaje. Las simulaciones educativas son consideradas como el tipo de software que hace.

(12) posible la aplicación de las teorías de aprendizaje centradas en el estudiante (Chávez and Quesada). La mayoría de los estudiantes encuentran la interacción con simulaciones más motivadora y cercana a las experiencias con el mundo, el sistema o fenómeno real, que otros tipos de software educativo. Las simulaciones bien diseñadas pueden contribuir a la eficiencia del aprendizaje, ya que al estudiante le puede tomar menor tiempo entender una materia cuando ha visto su contenido a través de la interacción con una simulación (Chávez and Quesada). 1.2 Programación lineal. Forma estándar del modelo matemático. Conceptos relevantes. La programación lineal (PL) tiene sus raíces en el estudio de las desigualdades lineales, que se remonta al trabajo de Fourier en 1826. El campo de aplicaciones del tema inició en 1939 cuando el científico soviético L. V. Kantorovich observó la importancia práctica de cierta clase de problemas de programación lineal y dio un algoritmo para su solución (Vanderbei, 2001a). Muchas personas clasifican el desarrollo de la programación lineal entre los avances científicos más importantes de mediados del siglo XX, y es cierto que su impacto desde 1950 ha sido extraordinario. En la actualidad es una herramienta de uso normal que ha ahorrado millones de dólares a muchas compañías y negocios, incluyendo empresas medianas en los distintos países industrializados del mundo; su aplicación a otros sectores de la sociedad se está ampliando con rapidez. Una proporción muy grande de los cálculos científicos en computadoras está dedicada al uso de la programación lineal (Ayuso, 2007). A menudo, las situaciones que se modelan son en realidad no lineales pero resulta atrayente aplicar PL debido al estado avanzado del software en esta rama, la garantía de convergencia a un mínimo global, y el hecho de que la incertidumbre en los datos puede hacer muy complicados los modelos no lineales (Nocedal and Wright, 2006). La programación lineal utiliza un modelo matemático para describir el problema y trata exclusivamente con funciones objetivos y restricciones. La palabra programación no se refiere a programación en computadoras; en esencia es un sinónimo de planeación. El adjetivo lineal significa que todas las funciones matemáticas del modelo deben ser funciones lineales (Ayuso, 2007). Así, la programación lineal trata la planeación de las actividades para obtener un resultado óptimo, esto es, el resultado que mejor alcance la meta especificada (según el modelo matemático) entre todas las alternativas de solución (Ayuso, 2007)..

(13) El tipo más común de aplicación abarca el problema general de asignar recursos limitados entre actividades competitivas de la mejor manera posible (es decir, de forma óptima). La variedad de situaciones a las que se puede aplicar esta descripción es sin duda muy grande, y va desde la asignación de instalaciones de producción a los productos, hasta asignación de los recursos nacionales a las necesidades de un país; desde la selección de una cartera de inversiones, hasta la selección de los patrones de envío; desde la planeación agrícola, hasta el diseño de una terapia de radiación, etc. (Ayuso, 2007). La forma estándar del modelo de programación lineal es la siguiente (Bartels and Golub, 1969):. Maximizar Z = c1x1 + ... + c n x n sujeto a. a i,1x1 + a i,2 x 2 + ... + a i,n x n ≤ bi , i = 1...m x j ≥ 0, j = 1...n. Los términos clave son recursos y actividades, en donde m denota el número de distintos tipos de recursos que se pueden usar y n denota el número de actividades bajo consideración. Identificaremos ahora los principales componentes del modelo (Ayuso, 2007). Z: valor de la función objetivo o también el valor de la medida global de efectividad. xj: variables de decisión puesto que deciden el nivel de la actividad j (para j = 1,2,..., n). Son las incógnitas del problema. cj: incrementos en Z que resultan al aumentar una unidad en el nivel de la actividad j. bi: cantidad de recurso i disponible para asignar a las actividades (para i = 1,2,..., m). aij: cantidad del recurso i consumido por cada unidad de la actividad j. Todos los problemas que puedan ser modelados de esta forma se consideran problemas de programación lineal. Un problema de PL que posea restricciones de tipo = ó ≥ puede ser llevado a un problema equivalente que sólo contenga restricciones de tipo ≤. Además, un problema de maximización puede ser trasladado a un problema semejante de minimización y viceversa. Cualquier problema de programación lineal requiere identificar cuatro componentes básicos (Castillo et al., 2002): 1. El conjunto de datos..

(14) 2. El conjunto de variables involucradas en el problema, junto con sus dominios respectivos de definición. 3. El conjunto de restricciones lineales del problema que definen el conjunto de soluciones admisibles. 4. La función lineal que debe ser optimizada (minimizada o maximizada). Esto lo veremos más claro en el siguiente ejemplo (Dasgupta et al., 2006): Una boutique de chocolates vende dos productos: un surtido de chocolates triangulares llamados Pyramide, y los más lujosos, Pyramide Nuit. ¿Cuánto de cada uno debe producirse para maximizar las ganancias? Digamos que se hacen x 1 cajas de Pyramide por día, con una ganancia de $1 por cada una, y x 2 cajas de Nuit, con una ganancia más sustancial de $6 por pieza; x1 y x2 son valores desconocidos que deseamos determinar. Pero esto no es todo; existen también algunas restricciones para x1 y x2 que deben ser complacidas (además del obvio x1, x2 ≥ 0). Primero, la demanda diaria de estos chocolates exclusivos está limitada a 200 cajas de Pyramide y 300 cajas de Nuit. Además, la fuerza de trabajo actual no puede producir más de 400 cajas de chocolate por día. ¿Cuáles son los niveles óptimos de la producción? Las actividades a realizar son dos: fabricar chocolates Pyramide y fabricar Nuit. Las ganancias por unidad de cada actividad (c1 y c2), son $1 y $6 respectivamente. La cantidad de recursos disponibles para cada actividad (b1, b2) son 200 y 300 cajas respectivamente y 400 cajas si ambas actividades se realizan simultáneamente. Las incógnitas involucradas son x1 y x2 y representan la cantidad de cajas de cada producto que deben fabricarse. Es imposible que alguna de estas variables tome un valor negativo por lo tanto: x1, x2 ≥ 0. Además no tiene sentido fabricar, digamos, 3 cuartos de caja de Nuit. Por lo tanto el dominio. de las variables se reduce a los enteros positivos: x1, x2 Las restricciones del problema son: x1 ≤ 200 x2 ≤ 300 x1 + x2 ≤ 400 Y la función objetivo:. Maximizar Z = x1 + 6x2.

(15) Una propuesta de valores específicos para las variables de decisión es llamada una solución. Una solución (x1, x2. . . xn) es llamada factible si satisface todas las restricciones. La solución factible es óptima si, adicionalmente, consigue el máximo deseado (Vanderbei, 2001a). Por otra parte, una solución no factible es una solución para la que al menos una restricción se viola (Ayuso, 2007).. Figura 1.1 Crecimiento paulatino del valor de la función objetivo (Dasgupta et al., 2006).. Para el problema anterior (x1 = 100; x2 = 100) es una solución factible, en cambio (x1 = 400; x2 = 0) es no factible puesto que viola la primera restricción enunciada. La solución óptima la veremos apoyándonos en el gráfico de la figura 1.1, esto puede hacerse cuando la cantidad de variables es pequeña (2 o 3 variables). Ya que la actividad que más ganancia produce por unidad es fabricar Nuit pudiéramos pensar en aumentar la correspondiente variable x2 tanto como nos sea posible y la producción restante asignarla a x 1. Esta idea intuitiva resulta correcta en este caso: asignamos x2 = 300, esto es, el número máximo de cajas que la segunda restricción permite y como diariamente pueden producirse 100 cajas más asignamos entonces este valor a x1. La solución hallada (100, 300) produce una ganancia total (Z) de $1900 al día. Las líneas discontinuas del gráfico anterior muestran el crecimiento paulatino de Z a medida que x1 y x2 aumentan. Es necesario ahora establecer algunos conceptos que serán usados posteriormente. Una región factible es la colección de todas las soluciones factibles (Ayuso, 2007). La región factible para este problema se muestra en la figura 1.2 representada por el área sombreada. Una frontera de restricción es una recta delimitada por el conjunto de restricciones (Ayuso, 2007)..

(16) La solución factible en un vértice (FEV) es la solución que está en un vértice de la región factible (Ayuso, 2007). A, B, C, D y E son soluciones factibles en un vértice. Existe una fuerte relación entre las soluciones óptimas y las soluciones FEV. Considere cualquier problema de programación lineal con soluciones factibles y una región factible acotada. El problema debe poseer soluciones FEV y al menos una solución óptima. Más aún, la mejor solución FEV debe ser una solución óptima. Así, si un problema tiene exactamente una solución óptima, ésta debe ser una solución FEV. Si el problema tiene múltiples soluciones óptimas, al menos dos deben ser soluciones FEV (Ayuso, 2007). Puede comprobarse que la solución óptima obtenida anteriormente x1 = 100, x2 = 300 es FEV.. Figura 1.2 Región factible del problema.. Para cualquier problema de programación lineal con n variables de decisión, dos soluciones FEV son adyacentes entre sí si comparten n – 1 fronteras de restricciones. Dos soluciones FEV adyacentes están conectadas por un segmento de recta que está en estas mismas fronteras de restricciones compartidas. Este segmento de recta recibe el nombre de orilla o arista de la región factible (Ayuso, 2007). Por ejemplo, C y D son soluciones FEV adyacentes y el segmento C-D es una arista de la región factible. Para saber si una solución es óptima es necesario realizar una prueba de optimalidad. Si una solución FEV no tiene soluciones FEV adyacentes que sean mejores (según el valor de Z), entonces esa debe ser una solución óptima (Ayuso, 2007). La solución óptima de nuestro problema es D con ZD = $1900, las soluciones FEV adyacentes a D son C con Z C = $1400 y E con ZE = $1800. Se cumple que ZD ≥ ZC, ZE. Otra acotación importante: cualquier problema que tenga múltiples soluciones óptimas tendrá un número infinito de ellas, todas con el mismo valor de la función objetivo (Ayuso, 2007). Por ejemplo, supongamos que deseamos maximizar 3x1 + 3x2, sujeto a x1 + x2 ≤ 1. La región.

(17) factible se indica en la figura 1.3 en color gris. Todos los puntos sobre la recta x 1 + x2 = 1 son soluciones óptimas con Z = 3. Dos de las soluciones obtenidas son FEV: (1, 0) y (0,1).. Figura 1.3 Problema con soluciones óptimas múltiples.. Algunos problemas de programación lineal resultan imposibles de resolver ya sea porque su región factible no está acotada o porque carecen de región factible por completo. Existen una serie de propiedades que cumplen los problemas de programación lineal (Ayuso, 2007). La proporcionalidad es una de estas. La contribución de cada actividad al valor de la función objetivo Z es proporcional al nivel de actividad x i como lo representa el término cjxj en la función objetivo. De manera similar, la contribución de cada actividad al lado izquierdo de cada restricción funcional es proporcional al nivel de la actividad x j, en la forma en que lo representa el término aijxj en la restricción. En consecuencia, esta suposición elimina cualquier exponente diferente a 1 para las variables en cualquier término de las funciones (ya sea la función objetivo o la función en el lado izquierdo de las restricciones funcionales) en un modelo de programación lineal. Cada función en un modelo de programación lineal (ya sea la función objetivo o el lado izquierdo de las restricciones funcionales) es la suma de las contribuciones individuales de las actividades respectivas. Esta propiedad se conoce como aditividad. Las variables de decisión en un modelo de programación lineal pueden tomar cualquier valor, incluyendo valores no enteros, que satisfagan las restricciones funcionales y de no negatividad. Así, estas variables no están restringidas a sólo valores enteros. Como cada variable de decisión representa el nivel de alguna actividad, se supondrá que las actividades se pueden realizar a niveles fraccionales; de ahí que las variables cumplan la propiedad de divisibilidad..

(18) Se supone que los valores asignados a cada parámetro de un modelo de programación lineal son constantes conocidas, es decir, existe certidumbre. Todos los problemas de optimización a los que se hará referencia son instancias del modelo fundamental de la programación lineal. Debido a sus características especiales cada uno de estos problemas cuenta con algoritmos específicos para su resolución. Se expondrá en primer término el método simplex, el cual resuelve el problema asociado al modelo general de PL y luego se expondrán otros problemas señalando en cada caso un algoritmo que permite solucionarlos. 1.2.1 Método Simplex El método simplex (MS) es el procedimiento más general y más conocido para resolver problemas de programación lineal. Fue desarrollado por George Dantzig en 1947 (Vanderbei, 2001a). Desde entonces muchos investigadores han profundizado en sus ideas y han hecho de la programación lineal la técnica de optimización de uso más frecuente en la ciencia y la industria. (Nocedal. and. Wright,. 2006).. Está. comprobado. que. es. un. método. extraordinariamente eficiente y se usa en forma rutinaria para resolver problemas grandes en las computadoras de hoy en día (Ayuso, 2007). La mejora ininterrumpida de sus técnicas algorítmicas y computacionales es probablemente la razón principal del éxito del método simplex (Nocedal and Wright, 2006). También se usan extensiones y variaciones del método simplex para realizar análisis pos óptimo, (incluyendo el análisis de sensibilidad), sobre el modelo (Ayuso, 2007). El método simplex es un procedimiento algebraico. Sin embargo, sus conceptos fundamentales son geométricos (Ayuso, 2007): -. El método simplex analiza solo las soluciones FEV.. -. Siempre que sea posible, la inicialización de método simplex elige el origen (todas las variables de decisión iguales a cero) como solución FEV inicial. En otro caso, existen métodos para hallar la solución FEV inicial.. -. Cada vez que el método simplex realiza una iteración para moverse de la solución FEV actual a una mejor, siempre escoge una solución FEV adyacente a la actual. Toda la trayectoria que sigue hasta alcanzar, eventualmente, una solución óptima es a lo largo de las aristas de la región factible..

(19) -. Después de identificar la solución FEV actual, el método simplex examina cada una de las aristas de la región factible que salen de esta solución.. -. Entre las aristas con una tasa de mejoramiento en Z positiva, selecciona moverse por aquella con la tasa de mejoramiento en Z más grande.. -. Si ninguna arista posee una tasa de mejoramiento en Z positiva la solución FEV actual es óptima.. Figura 1.4 Funcionamiento del método simplex visto geométricamente (Dasgupta et al., 2006).. Lo dicho anteriormente se ilustra en la figura 1.4. El gráfico corresponde al problema enunciado el epígrafe anterior. Se hace ahora necesario trasladar los conceptos geométricos vistos al lenguaje algebraico. El primer paso es convertir las restricciones funcionales de desigualdad en restricciones de igualdad equivalentes. Esto se logra mediante la introducción de variables de holgura (Ayuso, 2007). La forma aumentada del modelo surge cuando se introducen variables de holgura en todas las restricciones del modelo. La forma aumentada del problema del epígrafe anterior es: Maximizar. Z,. Sujeto a. Z - x1 - 6x2 = 0 x1 + x3 = 200 x2 + x4 = 300 x1 + x2 + x5 = 400. Una solución aumentada es una solución para las variables de decisión originales que se ha aumentado con las variables de holgura (Ayuso, 2007). Una solución básica es una solución en un vértice aumentada (Ayuso, 2007). Una solución básica factible es una solución factible en un vértice (FEV) aumentada (Ayuso, 2007). Para el problema aumentado anterior (0, 300, 200, 0, 100) es una solución básica factible..

(20) Un problema en la forma aumentada posee n variables más que ecuaciones donde n es la cantidad de variables de decisión en el problema original. Es posible elegir n variables cualesquiera y otorgarles cualquier valor arbitrario, (el método simplex usa el valor cero) y resolver el conjunto de ecuaciones en términos de las demás variables eliminando así las redundancias. Las variables que se igualan a cero son denominadas variables no básicas, el resto son llamadas variables básicas. La solución simultánea de las ecuaciones en las variables básicas es una solución básica. Si al resolver el sistema de ecuaciones todas las variables básicas satisfacen las restricciones de no negatividad entonces la solución básica es una solución básica factible (Ayuso, 2007). Ahora es posible hacer un resumen del funcionamiento del método simplex desde el punto de vista algebraico. El MS genera una sucesión ordenada de soluciones básicas factibles que progresivamente mejoran el valor de la función objetivo. El MS opera en dos fases (Castillo et al., 2002): 1. Una etapa de iniciación en la que (a) El conjunto inicial de restricciones se transforma en otro equivalente asociado a una solución básica. (b) Los valores de las variables básicas se transforman en valores no negativos (se obtiene así una solución básica factible). Este proceso se llamará fase de regulación. 2. Una etapa iterativa estándar, en la que los coeﬁcientes de la función objetivo se transforman en valores no negativos y el valor de Z se mejora progresivamente hasta que se obtiene la solución óptima, no se detecta ninguna solución factible, o aparecen soluciones no acotadas. En este proceso iterativo, se calculan distintas soluciones básicas factibles. Para este fin se usa una operación que se conoce por pivotación. Para moverse de una solución básica factible a otra se utiliza el siguiente criterio: Dos soluciones básicas factibles son adyacentes si todas menos una de sus variables no básicas son las mismas. En consecuencia, trasladarse de la solución básica factible actual a una adyacente significa cambiar una variable de no básica a básica y viceversa y después ajustar los valores de las variables básicas para que sigan satisfaciendo el sistema de ecuaciones (Ayuso, 2007). Las definiciones geométricas y algebraicas que sustentan al método simplex y que hemos visto reflejadas en ejemplos de dos dimensiones pueden replantearse para problemas de tres o más dimensiones. Conceptos como región factible o solución FEV deben ser redefinidos al.

(21) aumentar el número de variables de decisión pero la idea geométrica del método simplex de moverse de una solución FEV a otra hasta alcanzar el óptimo no varía. 1.2.2 Árbol de expansión mínimo Dado un grafo G(V, A) no dirigido y con pesos positivos en sus aristas queremos hallar un árbol que conecte todos los vértices de G y que cumpla además que la suma total de pesos en sus aristas sea mínima, o sea (Nocedal and Wright, 2006):. Minimizar ∑ A x x ∈T. s.a. T es el Árbol de recubrimie nto mínimo de G Existen varias aproximaciones para resolver problemas de este tipo como pueden ser el algoritmo de Prim y el algoritmo de Kruskal. En las asignaturas Modelos de Optimización e Investigación de Operaciones se estudia este último. El algoritmo de Kruskal va tomando las aristas del grafo de menor a mayor y en cada paso usa un criterio de pertenencia para determinar cuáles aristas son agregadas al árbol de expansión y cuáles no. El algoritmo desarrolla una estrategia voraz para su funcionamiento. Usando un método de ordenamiento eficiente así como la estructura de datos Conjuntos Disjuntos puede implementarse en O(A log A) donde A es la cantidad de aristas del grafo (Cormen et al., 2001a). Si la cantidad de vértices V es mayor que A entonces la complejidad computacional es O(A log V). Este algoritmo fue creado por Joseph Kruskal en 1956. Si el grafo es conexo el resultado final es el árbol requerido con n-1 aristas de peso total mínimo. Si por el contrario el grafo no cumple la conectividad el algoritmo hallará el árbol de expansión de cada componente aislada del grafo..

(22) Figura 1.3 Ejemplo de ejecución del algoritmo de Kruskal (Cormen et al., 2001a).. De acuerdo al algoritmo en cada paso se analiza la arista marcada por una flecha, las aristas sombreadas pertenecen al árbol de expansión. Nótese que el método está inconcluso. El próximo paso sería analizar las aristas a-h y b-c, (debe añadirse la primera de ellas), y luego añadir también la arista d-e. El árbol de recubrimiento mínimo (ARM) es único si los pesos de todos los arcos son distintos. En otro caso, pueden haber varios árboles de recubrimiento (los algoritmos usualmente devuelven solo uno de ellos). Un ARM hallado mediante el algoritmo de Kruskal cumple que el producto de los pesos de sus aristas es mínimo, (esto puede probarse reemplazando los pesos en los arcos por sus logaritmos), además es una estructura con peso mínimo en su mayor arista. El árbol de recubrimiento máximo puede hallarse de manera análoga al ARM, solo es necesario cambiar el signo de los pesos en todas las aristas y ejecutar el algoritmo con los nuevos valores (Villalobos, 2006). La formulación del ARM ha sido aplicada para hallar soluciones en diversas áreas (diseño de redes de transporte, diseño de redes de telecomunicaciones - TV por cable, sistemas.

(23) distribuidos, interpretación de datos climatológicos, visión artificial - análisis de imágenes extracción de rasgos de parentesco, análisis de clusters y búsqueda de superestructuras de quasar, plegamiento de proteínas, reconocimiento de células cancerosas) (Villalobos, 2006). 1.2.3 Caminos mínimos desde una fuente Sea G un grafo con pesos y dirigido con N vértices y M aristas. Los pesos de todas las aristas son no negativos. Se indica un vértice de inicio S. Se requiere encontrar la longitud de los caminos más cortos desde S hasta los demás vértices y determinar los propios caminos mínimos. Este problema es llamado “El problema de las trayectorias mínimas desde una fuente única” (Stern et al., 2005). El problema de la ruta más corta se puede resolver utilizando el método general simplex, sin embargo, debido a que el método simplex es de complejidad exponencial, se prefiere utilizar algoritmos que aprovechen la estructura en red que se tiene para estos problemas (Dijkstra, 1959). El propio Dijkstra enunció un algoritmo mucho más eficaz que es, en definitiva, el que se estudia en la carrera. Para comprender mejor el desenvolvimiento del método Dijkstra es necesario introducir el concepto de relajación. “Relajación” a través de un arco: Sea d[v] la estimación para la distancia más corta desde el nodo fuente hasta el vértice v y w[u, v] el peso de la arista (u, v). Al estudiar el arco (u, v) podemos mejorar la estimación dependiendo si la ruta vía u es mejor (Cormen et al., 2001b).. Figura 1.4 Procedimiento de relajación (Cormen et al., 2001b).. El valor estimado de la distancia del camino más corto de cada vértice es mostrado dentro del vértice. (a) Como d[v] > d[u] + w(u, v), el valor de d[v] se decrementa, (b) Aquí, d[v] <= d[u] + w(u, v), por lo tanto d[v] se mantiene igual (Cormen et al., 2001b). El algoritmo de Dijkstra realiza N iteraciones, una por cada vértice. Para la primera iteración se escoge el nodo fuente. En cada iteración se toma el vértice con menor distancia hasta la.

(24) fuente entre los que no han sido visitados y se calcula la relajación de los vértices adyacentes a él. Un procedimiento de marcado nos evita visitar dos veces un mismo nodo y permite controlar el método de manera general.. Figura 1.5 Funcionamiento del algoritmo de Dijkstra paso a paso (Cormen et al., 2001b).. El algoritmo de Dijkstra parte del nodo fuente (etiquetado con la letra S). El valor estimado de la distancia del camino más corto de cada vértice es mostrado dentro del vértice. Las aristas sombreadas indican de donde proviene el camino mínimo actual, si la arista (u, v) está sombreada entonces el vértice que antecede a v en el camino mínimo es u. Los vértices en negro ya han sido visitados y los demás están por visitar. La figura (a) muestra las precondiciones necesarias para correr el método. Las figuras de la (b) a la (f) muestran cada iteración del método, nótese como los valores dentro de los vértices van disminuyendo (Cormen et al., 2001b). Las principales aplicaciones de este algoritmo son: . Encaminamiento de paquetes por los routers, para minimizar el costo de llegar desde un origen a un destino.. . Aplicaciones para sistemas de información geográficos, para la extracción de características curvilíneas de imágenes usando técnicas de minimización del camino.. . Reconocimiento de lenguaje hablado, un problema que se presenta es el distinguir entre palabras que suenan de manera similar.. Otras aplicaciones que se pueden mencionar son el enrutamiento de aviones y tráfico aéreo y el tratamiento de imágenes médicas..

(25) 1.2.4 Algoritmo de asignación Sea P un conjunto de n personas y A un conjunto de n actividades. Se conoce el costo de asignación de cada actividad a cada persona, o sea Cij es el costo de asignar la actividad i a la persona j. Cada persona puede desempeñar cualquier actividad. El problema de asignación consiste en asignar cada persona a una sola actividad de manera que todas las actividades sean realizadas y el costo total de asignación sea mínimo (Vanderbei, 2001b). El problema de asignación se considera un caso especial del problema de transporte y clasifica entre los temas de estudio de la programación lineal entera binaria. Si consideramos la solución como una matriz binaria X de tamaño n.. x ij=. {. 1,si seasignalaactividad i ala persona j 0,enotros casos. La función objetivo puede ser escrita como:. minimizar ∑ ∑ cij x ij. i∈ S j∈D La restricción de que cada persona es asignada exactamente a una actividad puede ser expresada por:. ∑ xij=1, paratodoi∈P. j∈ D Asimismo la restricción de que cada actividad es cubierta por alguien se denota:. ∑ xij=1, paratodo j∈ A i∈ S. También es posible reformular el problema en términos de Teoría de Grafos. Esto se logra viendo a las actividades y las personas como un grafo bipartido, donde cada arista entre la iésima persona y la j-ésima actividad tiene peso de Cij. Ahora nuestra tarea es encontrar el matching de peso mínimo en dicho grafo, (el matching posee n aristas porque nuestro grafo bipartido es completo). Un pequeño ejemplo que ilustra lo anterior:.

(26) Figura 1.6 Ejemplo de grafo creado mediante una matriz de asignación (Kuhn, 2005).. En general para n personas y n actividades el número posible de asignaciones es igual al número de permutaciones Pn = n! (Valdés et al., 1978). Para un valor de n elevado se hace imposible analizar todas las soluciones en aras de encontrar la configuración óptima, es por eso que se buscan métodos que resuelvan este problema de manera más elegante. Los problemas de asignación aunque pueden resolverse a través del algoritmo de transporte también se resuelven aplicando un procedimiento más efectivo llamado algoritmo húngaro (Valdés et al., 1978), el cual basa su funcionamiento en el siguiente teorema. Teorema: No se modifica la o las soluciones óptimas de un problema de asignación, disminuyendo o aumentando una misma cantidad λ a todos los elementos de una misma fila o columna de la matriz de costos C. Tal operación disminuye o aumenta en λ el valor total, pero no cambia la solución óptima (Valdés et al., 1978). La idea principal del método es la siguiente: supóngase que se encuentra el matching de peso mínimo usando solamente aristas de peso 0. Obviamente, estas aristas serán la solución del problema de asignación. Si no podemos encontrar el matching en el paso actual, entonces el algoritmo húngaro modifica los pesos de las aristas disponibles de manera que nuevas aristas de peso 0 aparecen y estos cambios no influyen en la solución óptima. 1.2.5 Flujo máximo Una compañía posee una fábrica ubicada en la ciudad S, los productos allí fabricados deben ser transportados al centro de distribución en la ciudad T. Dados los caminos unidireccionales que conectan pares de ciudades en el país y el número máximo de camiones que se pueden conducir a lo largo de cada camino. ¿Cuál es el número máximo de camiones que la compañía puede enviar al centro de distribución?.

(27) Una primera observación es que no tiene sentido enviar un camión a cualquier otra ciudad que no sea T así que cada camión que entra en una ciudad diferente de T debe salir de esta. Debido a esto, el número de camiones que dejan S es igual al número de camiones que llegan a T. Reformulando la declaración anterior en términos de teoría de grafos. Sea G un grafo dirigido en el cual cada arista tiene cierta capacidad c asociada, S un vértice inicial, (la ciudad que posee la fábrica) y sea T un vértice final. Debemos asociar un valor f que satisfaga f ≤ c a cada arista de manera que para cada vértice V distinto de S y T la suma de los valores asociados a las aristas que entran en V debe ser igual a la suma de los valores de las aristas que salen de V, esta propiedad se conoce como preservación de flujo. El valor f no es más que el flujo a lo largo de cada arista. Necesitamos maximizar la suma de los valores asociados a las aristas que salen de la fuente S (Ahuja et al., 1993).. Figura 1.7 Ejemplo de solución óptima de Flujo Máximo.. La imagen muestra la solución óptima de una instancia de este problema, cada arco está etiquetado con los valores f/c asociados a él. El valor de flujo máximo en este caso es 3. El modelo puede formularse matemáticamente como:. maximizar ∑ f S i∈V. i. Sujeto a:. 0 ≤ fij ≤ cij ∀ i, j∈ V. ∑ f ij=0∀i, j∈V ,i≠S,i≠T. i, j∈V.

(28) Los investigadores Lester Ford y Delbert Ray Fulkerson fueron pioneros en la investigación de flujos en grafos. En 1956 publicaron un artículo con un primer acercamiento al problema de Flujo Máximo. De este se derivó el método básico que todavía se usa para resolver este tipo de problemas. Para comprender el desenvolvimiento del método es necesario establecer algunas definiciones. Definición 1: Dado cualquier nodo i todos los arcos que salen del nodo i se denominan arcos hacia delante con respecto al nodo i. Definición 2: Dado cualquier nodo i todos los arcos que entran al nodo i se denominan arcos hacia atrás para el nodo i. Definición 3: Un corte que separa el nodo fuente del nodo destino es una partición de los nodos de la red en dos subconjuntos D y D* tal que el nodo fuente está en D y el nodo destino está en D*.. Figura 1.8 Ejemplo de un corte.. Definición 4: La capacidad de un corte es la suma de todas las capacidades de los arcos procedentes de los nodos de D a los nodos en D*. Se denota C(D, D*). La capacidad del corte anterior es:. c. C(D, D*) = S1 + + Definición 5: El corte con la capacidad más pequeña se denomina corte mínimo. Lema: Para cualquier red dirigida, si f es el flujo desde el nodo fuente al nodo destino, y (S, S*) es un corte, entonces el valor de f es menor o igual que la capacidad de ese corte C(S, S*). Cualquier flujo de S a T debe atravesar los arcos en el corte, y por consiguiente, el flujo f estará limitado por la capacidad de ese corte..

(29) Teorema de flujo máximo-corte mínimo (Ford-Fulkerson): Para cualquier red el flujo máximo desde el nodo fuente al nodo destino es igual a la capacidad del corte mínimo (Vanderbei, 2001b). De acuerdo con este teorema la solución del problema de flujo máximo se reduce a encontrar entre todos los cortes aquel que tenga la mínima capacidad. Sin embargo este método es poco recomendable ya que la cantidad de cortes crece de manera exponencial respecto al número de vértices del grafo. Definición 6: Dada una red G=(V,A) se denomina Red Residual o Incremental R(f), a aquella red formada a partir de G, con el mismo conjunto de nodos que ésta que cumple lo siguiente: dado cada arco dirigido (i, j) ∈ A en la red original que no tiene arco en la dirección opuesta (es decir, (j, i) ∉ A), tal que 0 ≤ fij ≤ cij, se consideran en la Red Incremental dos arcos (i, j) y (j, i) con capacidades rij = cij – fij y rji = fij, respectivamente. A dichas capacidades se las denomina capacidades residuales o incrementales. Definición 7: Se denomina camino incremental o camino de aumento a todo camino dirigido desde el nodo fuente al nodo destino en la red incremental. Definición 8: Se denota por δ la menor capacidad residual de los arcos en un camino incremental.. Figura 1.9 Ejemplo de camino de aumento.. En el ejemplo anterior S-a-b-T es un camino incremental y el valor δ es igual a 2. El algoritmo de flujo máximo comienza con un flujo viable f=0 y tiene dos partes, las cuales Ford y Fulkerson llamaron rutina A y rutina B. La primera es un proceso de etiquetado que busca un camino incremental en la red. Si la rutina A encuentra el camino de aumento la rutina B envía tanto flujo como sea posible (δ) desde S a T modificando la red residual. Si no existen caminos de aumento la optimalidad del flujo actual es asegurada por el siguiente teorema: Teorema: Un flujo f tiene valor máximo si y solo si no existe un camino de aumento de flujo con respecto a f (Greenberg, 1998). Existen otras aproximaciones muy usadas a la hora de resolver el problema de flujo máximo, entre ellas el algoritmo de Dinic y el algoritmo de Edmond-Karp. En nuestra aplicación hemos.

(30) optado por este último ya que posee una complejidad temporal y espacial aceptable y es sencillo de implementar. Su funcionamiento es muy similar al método de Ford-Fulkerson, la única diferencia es que usa una búsqueda en anchura para hallar el camino de aumento en la rutina A. Este algoritmo tiene una complejidad computacional O(VE 2), donde V es el número de nodos o vértices, y E el número de arcos del grafo (Villalobos, 2006). La búsqueda del flujo máximo es fundamental para resolver modelos de: transporte de mercancías (logística de aprovisionamiento y distribución), flujo de gases y líquidos por tuberías, componentes o piezas en líneas de montaje, corriente en redes eléctricas, paquetes de información en redes de comunicaciones, tráfico ferroviario, sistema de regadíos, etc. (Villalobos, 2006). 1.2.6 Problema de transporte Consideremos que debemos transportar un único producto homogéneo desde m orígenes o puntos de embarque hasta n destinos que pueden ser almacenes o fábricas. Denotemos por a1,…, am las ofertas o cantidades del producto disponible en cada origen y por b1,…, bn las demandas o necesidades existentes en los n destinos. Es posible transportar dicho producto desde cualquier origen hasta cualquier destino siendo c ij el costo de transportación de una unidad del producto desde el origen i hasta el destino j. Nuestro objetivo será determinar las cantidades del producto que deberán ser enviadas desde cada origen hasta cada destino, de tal manera que se satisfagan las demandas de los destinos, respetando las ofertas de los orígenes y que el costo total de transportación sea mínimo (Valdés et al., 1978)..

(31) Figura 1.10 Representación visual del problema de transporte.. El problema de transporte es un caso especial del problema de flujo costo mínimo donde el grafo es completo y además existen m nodos fuente y n nodos sumidero. El ejemplo anterior representa una instancia del problema con 3 orígenes y 2 destinos, como puede observarse la representación del modelo se corresponde con un grafo bipartido ya que las aristas sólo van del conjunto de nodos oferta al conjunto de nodos demanda. Las cantidades de oferta y demanda se visualizan sobre los correspondientes vértices. Los costos de transportación se especifican sobre las aristas. Si por algún motivo no se permite transportar el producto de un nodo oferta i a un nodo demanda j se considera el costo cij como infinito. Usualmente es más cómodo representar un problema de transporte mediante una tabla, la figura 3.9 muestra como luce una tabla de transporte. Un modelo de transporte se considera balanceado si la suma total de las ofertas coincide con la suma total de las demandas, o sea: m. n. ∑ a = ∑b. i j i =1 j=1 Volviendo al ejemplo anterior puede observarse que el sistema está efectivamente balanceado.. Es importante que el criterio de balance se cumpla para poder aplicar los métodos de resolución conocidos. Se asume que el sistema siempre está balanceado y que los valores a i y bj son no negativos como ocurre en la mayoría de las aplicaciones. Matemáticamente el modelo de transporte puede escribirse como (Valdés et al., 1978): m n. Min ∑∑ cij xij i =1 j=1.

(32) s.a. m. ∑x. ij. = b j , j = 1..n. i =1 n. ∑x. ij. = ai , i = 1..m. j=1. xij ≥ 0, xij ∈ Z. El modelo anteriormente planeado es de Programación Lineal por las siguientes razones (Valdés et al., 1978): -. Las restricciones son lineales. Las variables del problema cumplen con la restricción de no negatividad. La función objetivo que representa el costo total de transportación es lineal.. El problema de transporte se resuelve mediante el método simplex de transporte, una adaptación del método general simplex que aprovecha las características especiales del modelo de transporte. Lo primero que debe hacerse es hallar una solución inicial o solución. x. básica factible (SBF). El siguiente teorema establece el número de variables básicas ij > 0 que deberá tener esta SBF. Teorema: Un problema de transporte siempre tiene solución, pero hay exactamente una restricción de igualdad redundante. Cuando se elimina cualquier restricción de igualdad, el sistema restante de n+m-1 restricciones de igualdad es linealmente independiente (Ahuja et al., 1993). A continuación se describe un procedimiento general para construir una solución inicial BF (Ayuso, 2007). Al iniciar, todos los renglones de los orígenes y las columnas de destinos de la tabla simplex de transporte se toman en cuenta para proporcionar una variable básica (asignar a esta variable un valor positivo). 1) Se selecciona la siguiente variable básica (asignación) entre los renglones y columnas en que todavía se puede hacer una asignación de acuerdo a algún criterio..

(33) 2) Se hace una asignación lo suficientemente grande como para que use el resto de los recursos en ese renglón o la demanda restante en esa columna (cualquiera que sea la cantidad más pequeña). 3) Se elimina ese renglón o columna (la que tenía la cantidad más pequeña en los recursos o demandas restantes) para las nuevas asignaciones. (Si el renglón y la columna tienen la misma cantidad de recursos y demanda restantes, entonces arbitrariamente se elimina el renglón. La columna se usará después para proporcionar una variable básica degenerada, es decir, una asignación con 0 unidades encerradas en un círculo.) 4) Si sólo queda un renglón o un columna dentro de las posibilidades, entonces el procedimiento termina eligiendo como básicas cada una de las variables restantes (es decir, aquellas variables que no se han elegido ni se han eliminado al quitar su renglón o columna) asociadas con ese renglón o columna que tiene la única asignación posible. De otra manera se regresa al paso 1. Existen varios métodos para hallar una SBF, el más sencillo de todos se denomina regla de la esquina noroeste, pues en cada paso se selecciona la celda de la esquina superior izquierda de la submatriz formada por los requerimientos de fila y columna distintos de cero(Ahuja et al., 1993). Al resolver cualquier problema de programación lineal debemos en general esperar que el número total de iteraciones requeridas dependa de lo próximo que se encuentre el valor de la función objetivo en la solución posible. inicial del mínimo real. Como el método de la. esquina noroeste no considera los coeficientes c ij no podemos esperar que el valor de la función objetivo en una solución inicial por el método de la esquina noroeste se acerque al mínimo (Valdés et al., 1978). Los métodos de Russell, Voguel o Mínimo por filas sí toman en cuenta los valores c ij para hallar una solución básica factible. Estos métodos brindan una solución inicial mejor que la del método de la esquina noroeste aunque son un poco más complejos que este. Los métodos anteriormente explicados se caracterizan por: 1) La suma de las variables básicas que aparecen en una fila i es igual al valor ai (oferta correspondiente al origen i) 2) La suma de las variables básicas que aparecen en una columna j es igual al valor b j (demanda correspondiente al destino j)..

(34) 3) A lo sumo hay m+n-1 variables básicas ya que cuando colocamos una variable básica en un escaque (i, j) entonces no es posible colocar simultáneamente más variables básicas en la fila y columna correspondiente a dicho escaque. Estas tres propiedades hacen que la solución obtenida sea básica y factible (Valdés et al., 1978). Luego de encontrar la SBF es posible aplicar los conceptos válidos para el método simplex al problema de transporte. Así, la segunda parte del algoritmo modifica la distribución inicial iterativamente hasta encontrar la distribución óptima que minimiza el costo total. 1.2.7 Flujo de costo mínimo Sea G un grafo dirigido, en el cual seleccionamos un vértice fuente S y un sumidero T. Denotamos el conjunto de vértices por V y denotamos el conjunto de aristas por E. Cada arista (i, j) ∈ E posee una capacidad uij ≥ 0 y un costo por unidad de flujo c ij. Si una arista (i, j) no existe en el grafo entonces asumimos que uij = cij = 0. El flujo en la red G es una función real F que asigna a cada par de vértices (i, j) un flujo fij entre ellos y satisface las tres condiciones:  . Restricciones de capacidad, (para todo i, j ∈ V): fij ≤ uij Antisimetría, (para todo i, j ∈ V): fij = -fji. . Conservación de flujo, (válido para todo i, j ∈ V excepto i = S e i = T): j ∈V. ∑f. ij. =. 0 El flujo es la cantidad:. |f| =. ∑f. Si. i ∈V Se traduce como la sumatoria de los flujos que parten del vértice fuente S. El coste del patrón. de flujo viene dado por (Ahuja et al., 1993):. cf ∑ Z (f) =. ij ij. i, j∈V.

(35) Dado el valor K de flujo requerido se necesita encontrar un flujo |f| de esa magnitud (K = |f|) que minimice el total de costos Z (f).. Figura 1.11 Ejemplo de red para el problema de flujo de costo mínimo.. Para tener una idea aproximada de cómo luce el modelo fijémonos en la imagen anterior. Se han resaltado los vértices fuente y destino. Sobre los arcos pueden observarse dos valores, el primero de ellos es la capacidad de flujo que permite, el segundo es el costo por unidad de flujo a transportar. El valor de flujo en esta red es cero (|f| = 0). El caso más simple de este problema ocurre cuando el grafo es orientado, y entre cada par de vértices hay cuando más una arista, (si existe la arista (i, j), entonces la arista (j, i) no puede existir). Sea fij el valor de flujo a través de la arista (i, j), inicialmente igual a cero. Se modifica la red de la siguiente manera: por cada arista (i, j) adicionamos una arista en reversa (j, i) con capacidad uij=0 y costo cij = -cij. Por la suposición, las aristas (j, i) no estaban antes en la red, entonces luego de modificada la red todavía no será un grafo múltiple. Además, desde el principio hasta el fin el algoritmo mantendrá la condición verdadera: fij=-fij. La red residual R(f) correspondiente a un flujo f se define como sigue: la red residual considera sólo los arcos con capacidad positiva (en los cuales fij < uij), la capacidad residual de cada una de estas aristas es rij = uij-fij. El tratamiento es muy parecido al problema del flujo máximo de la sección anterior. El algoritmo de los caminos mínimos sucesivos busca el flujo máximo y optimiza la función objetivo Z(f) simultáneamente (Greenberg, 1998). En cada iteración el algoritmo encuentra el camino de costo mínimo de S a T en la red residual. Si el camino no se encuentra el algoritmo termina. En otro caso encontramos la capacidad residual mínima δ entre las aristas del camino.

(36) e incrementamos el flujo actual sumándole δ. Luego modificamos la red incrementando el flujo en cada arista del camino en un valor de δ y reduciendo la misma cantidad en las aristas en reversa. El algoritmo se detiene cuando el flujo actual alcanza el valor K de flujo requerido cuando los pesos de todas las aristas son idénticos el modelo es equivalente al problema encontrar el flujo máximo. Si establecemos K igual a infinito el algoritmo encuentra un flujo máximo de mínimo costo, o sea, el algoritmo sin modificaciones resuelve ambos problemas (Ahuja et al., 1993). El algoritmo de los caminos mínimos sucesivos puede ser usado cuando G no contiene ciclos de costo negativo (Greenberg, 1998). Debe probarse que un ciclo de este tipo no aparece en el transcurso del algoritmo. Cuando el flujo actual tiene valor 0 la red G no contiene ciclos de costo negativo por hipótesis. Supóngase que luego de algunas iteraciones tenemos un flujo actual de x y Gx aún no contiene ciclos negativos. Se denotan los caminos próximos encontrados satisfactoriamente en Gx por P.. Figura 1.12 ¿Cómo podría aparecer un ciclo negativo en una red residual?. Supóngase que después de aumentar el flujo actual x a través del camino P aparece un ciclo W de costo negativo en la red residual. Antes de las modificaciones no había ciclos negativos. Esto significa que había una arco (i, j) en P (o un subcamino (i,…, j) en P) cuyo arco reverso (j, i) cerró el ciclo W después del aumento de flujo. Sin embargo se podía escoger otra ruta de S a T, que fuera de S a i, luego de i a j a través de las aristas de W y por último de j a T. El costo de este nuevo camino es menor que el costo de P. Surge una contradicción en la suposición de que P es el mínimo (Greenberg, 1998). En conclusión, se descarta la posibilidad de que aparezca un ciclo de costo negativo en el grafo. Existen otras vías para encontrar el flujo de costo mínimo, podemos citar el algoritmo de cancelación de ciclos y el método simplex de redes (Ayuso, 2007). Por comodidad hemos escogido para nuestra aplicación el algoritmo expuesto en la página anterior por su similitud con el método de Edmonds-Karp usado en el problema de flujo máximo. Para la tarea de encontrar un camino mínimo con pesos negativos usamos el algoritmo de Bellman-Ford estudiado en la asignatura Estructura de Datos..

(37) El problema de flujo de costo mínimo es muy abarcador. Tareas de optimización como la asignación, el transporte, el trasbordo y la ruta más corta, se ajustan al formato de este problema (Ayuso, 2007). Entre las aplicaciones del flujo máximo de costo mínimo se puede encontrar el direccionamiento de la acción del ferrocarril y el enrutamiento de aviones de carga vacíos (Schrijver, 2000). 1.3 Conclusiones parciales En este capítulo se hizo un estudio de la teoría de los principales métodos que se estudian en las asignaturas Modelos de Optimización e Investigación de Operaciones. Se hizo un estudio de cómo sería mejor el agrupamiento de los mismos para el diseño de la interfaz quedando de la siguiente forma: -. El método Simplex aparece independiente de los demás métodos puesto que resuelve el problema asociado al modelo estándar de la programación lineal.. -. En optimización de redes se agruparon los algoritmos árbol de recubrimiento mínimo, camino mínimo desde una fuente, y los métodos de flujo; en esta última categoría se ubican el algoritmo de flujo máximo y el de flujo de costo mínimo.. -. En otros métodos se ubicaron el algoritmo de transporte y el de asignación.. CAPÍTULO 2. Implementación de SimIO, software educativo para Investigación de Operaciones. En este capítulo se hace una breve descripción sobre los aspectos a tomar en cuenta para lograr la correcta visualización de una ejecución paso a paso. Se describen algunos elementos de la ingeniería de software de la aplicación y se exponen los elementos más interesantes utilizados para la implementación de la misma. 2.1 Detalles de una ejecución paso a paso Todos los algoritmos de programación lineal estudiados e implementados son iterativos. A partir de una configuración inicial factible van optimizando en cada iteración el valor de la solución actual. El algoritmo de flujo máximo, por ejemplo, parte de un flujo inicial igual a.

(38) cero y en cada iteración añade más flujo maximizando la función objetivo. El método de transporte, por su parte, identifica una solución básica factible y luego, en cada iteración del paso 2 localiza una variable no básica que entra a formar parte de la solución actual y una variable básica que sale de esta optimizando también la función objetivo. Entonces, ¿en qué consiste un paso? Un paso es el equivalente a una iteración. Moverse un paso atrás o adelante es lo mismo que ir a la iteración anterior o posterior del método escogido. Lo que cambia para cada método es el conjunto de elementos que se visualizan. Por ejemplo, la interfaz del Árbol de recubrimiento muestra un grafo con las aristas que se van añadiendo, la interfaz del simplex, en cambio, muestra una tabla con la función objetivo y demás componentes que necesita el usuario para comprender lo que va sucediendo en el transcurso de este método. Entonces es preciso identificar para cada método los elementos que el usuario necesita observar por pantalla. Luego, necesitamos encontrar una vía eficiente, desde el punto de vista de la implementación, de guardar esos elementos y poder acceder a ellos cuando el usuario así lo pida. Supongamos que el método actual consta de n pasos o iteraciones. Es posible, para cada iteración, guardar el estado de los elementos a visualizar. Si el elemento a visualizar es, digamos, una tabla, entonces el estado a guardar es el conjunto de los valores presentes en esa tabla, si el elemento es un grafo, entonces se guardan los vértices y las aristas que posea el grafo en la iteración actual. El resultado es que por cada elemento se tiene un arreglo de tamaño n, donde n es la cantidad de iteraciones del método. En cada posición del arreglo se guarda el estado del elemento en la iteración actual. A la hora de visualizar el elemento una variable de control nos indica la iteración actual y funciona como un índice dentro del arreglo de estados. Cuando el usuario solicita moverse un paso adelante la variable de control aumenta su valor en uno, entonces se extrae de cada arreglo la configuración actual del elemento y se muestra por pantalla. Los arreglos de estados se crean y completan cuando el usuario ordena ejecutar el método al finalizar la entrada de datos. En el siguiente ejemplo se observa cómo funcionan estos procedimientos desde el punto de vista del usuario. Se muestra la ejecución paso a paso de una instancia muy sencilla del problema ARM..