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Hidrodinámica: Teorema de Bernoulli y conservación de la energía

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Academic year: 2022

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(1)

Hidrodinámica: Teorema de Bernoulli y conservación de

la energía

Profesor: Francisco Muñoz Q Boston College Maipú

Departamento de Ciencias NM4 Física

(2)

Objetivo: Comprender y aplicar el teorema de Bernoulli en situaciones de la vida cotidiana.

1. Conservación de la energía en un fluido y teorema de Bernoulli El teorema de Bernoulli constituye una expresión del principio de conservación de la energía. Se considera que en el flujo existen tres tipos de energía: la energía cinética debida al movimiento del fluido, la energía de presión debida a la fuerza ejercida por el fluido sobre las paredes internas de la tubería y la energía potencial gravitatoria debida a la elevación que presentan las tuberías respecto de un nivel de referencia.

(3)

La expresión matemática que evidencia la conservación de la energía de un fluido corresponde a la ecuación de Bernoulli y corresponde a la ecuación fundamental de la mecánica de los fluidos ideales.

2 2

2 2

1 2

1

1

2

1 2

1 v g h P v g h

P                 

La ecuación de Bernoulli señala que, la suma de la presión, la energía cinética por unidad de volumen y la energía potencial gravitatoria por unidad de volumen, es una constante a lo largo de la línea del flujo.

𝐸

𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙

= 𝐸

𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙

(4)

Aplicación matemática

Ejercicio 1

SOLUCIÓN

1. Reconocer los datos y la incógnita

2. Identificar ecuación y despejar variable Por una tubería horizontal de sección transversal variable circula agua.

En un punto donde la rapidez es 4 [m/s], la presión es 90 [kPa].

Sabiendo que la densidad del agua es 1.000 [kg/m3], ¿cuál es la presión que experimenta el agua en cierto punto donde su rapidez alcanza los 6 [m/s]?

12

𝑣1 = 4 𝑚/𝑠 𝑃1 = 90 𝑘𝑃𝑎 𝑃2 =? 𝑣2 = 6 𝑚/𝑠 𝑣1 = 4𝑚

𝑃1 = 90 𝑘𝑃𝑎 𝑠 𝑣2 = 6𝑚

𝑠 𝜌 = 1.000 𝑘𝑔

𝑚3

𝑃2 =? Se puede observar que en la tubería existe un cambio en la velocidad del flujo y además un cambio de presión, por ende, se utiliza el teorema de Bernoulli.

(5)

3. Reemplazar los datos en la ecuación y resolver 𝑃1 + 1

2 ∙ 𝜌 ∙ 𝑣12 + 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ1 = 𝑃2 + 1

2 ∙ 𝜌 ∙ 𝑣22 + 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ2 𝑐𝑜𝑚𝑜 ℎ1 = ℎ2

(𝑡𝑢𝑏𝑒𝑟í𝑎 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙) 90.000 𝑃𝑎 + 1

2 ∙ 1.000(𝑘𝑔

𝑚3) ∙ (4 𝑚/𝑠)2= 𝑃2 + 1

2∙ 1.000(𝑘𝑔

𝑚3) ∙ (6 𝑚/𝑠)2 90.000 𝑃𝑎 + 500 𝑘𝑔

𝑚3 ∙ 16 (𝑚2

𝑠2 ) = 𝑃2 + 500 𝑘𝑔

𝑚3 ∙ 36 (𝑚2 𝑠2 )

90.000 𝑃𝑎 + 8.000 𝑘𝑔

𝑚 ∙ 𝑠2 = 𝑃2 + 18.000 𝑘𝑔 𝑚 ∙ 𝑠2

Observación

𝑘𝑔

𝑚 ∙ 𝑠2 = (𝑃𝑎) 90.000 𝑃𝑎 + 8.000 𝑃𝑎 = 𝑃2 + 18.000 𝑃𝑎

90.000 𝑃𝑎 + 8.000 𝑃𝑎 − 18.000 𝑃𝑎 = 𝑃2 80.000 𝑃𝑎 = 𝑃2

𝑷𝟐 = 𝟖𝟎 𝒌𝑷𝒂

(6)

Ejercicio 2

Por una tubería horizontal de área variable circula agua, cuya densidad es 1.000 [kg/m3]. En un punto A al interior de la tubería, que se encuentra a 2 [m], la presión es de 200 [Pa] y la rapidez del agua es de 6 [m/s]. Si se considera un segundo punto B, a una altura de 2 [m]

y en donde la rapidez del agua es de 3 [m/s], ¿cuál es la presión en ese punto?

SOLUCIÓN

1. Reconocer los datos y la incógnita

2. Identificar ecuación y despejar variable

1 = 2 𝑚 ℎ2 = 2 𝑚

𝑣1 = 6 𝑚/𝑠 𝑃1 = 200 𝑃𝑎 𝑃2 =? 𝑣2 = 3 𝑚/𝑠 𝑣1 = 6𝑚

𝑃1 = 200 𝑃𝑎 𝑠 𝑣2 = 3𝑚

𝑠 𝜌 = 1.000 𝑘𝑔

𝑚31 = 2 𝑚 ℎ2 = 2 𝑚

𝑃2 =?

Se puede observar que en la tubería existe un cambio en la velocidad del flujo y además un cambio de presión, por ende, se utiliza el teorema de Bernoulli.

∎ 𝐴 ∎ 𝐵

(7)

3. Reemplazar los datos en la ecuación y resolver 𝑃1 + 1

2 ∙ 𝜌 ∙ 𝑣12 + 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ1 = 𝑃2 + 1

2 ∙ 𝜌 ∙ 𝑣22 + 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ2 𝑐𝑜𝑚𝑜 ℎ1 = ℎ2

(𝑡𝑢𝑏𝑒𝑟í𝑎 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙) 200 𝑃𝑎 + 1

2 ∙ 1.000(𝑘𝑔

𝑚3) ∙ (6 𝑚/𝑠)2= 𝑃2 + 1

2 ∙ 1.000(𝑘𝑔

𝑚3) ∙ (3 𝑚/𝑠)2 200 𝑃𝑎 + 500 𝑘𝑔

𝑚3 ∙ 36 (𝑚2

𝑠2 ) = 𝑃2 + 500 𝑘𝑔

𝑚3 ∙ 9 (𝑚2 𝑠2 )

200 𝑃𝑎 + 18.000 𝑘𝑔

𝑚 ∙ 𝑠2 = 𝑃2 + 4.500 𝑘𝑔 𝑚 ∙ 𝑠2

Observación

𝑘𝑔

𝑚 ∙ 𝑠2 = (𝑃𝑎) 200 𝑃𝑎 + 18.000 𝑃𝑎 = 𝑃2 + 4.500 𝑃𝑎

200 𝑃𝑎 + 18.000 𝑃𝑎 − 4.500 𝑃𝑎 = 𝑃2 13.700 𝑃𝑎 = 𝑃2

𝑷𝟐 = 𝟏𝟑, 𝟕 𝒌𝑷𝒂

(8)

Ejercicio 3

Por el tubo que se muestra en la siguiente figura circula agua, cuya densidad es 1.000 [kg/m3]. La sección angosta está a 4,5 [m] más abajo que la sección ancha. La presión en el punto 1 es 17.500 [Pa] y las velocidades en cada punto son las que se indican en la figura.

Determina la presión en el punto 2, considerando que no existen pérdidas de energía.

SOLUCIÓN

1. Reconocer los datos y la incógnita

𝑣1 = 1,5𝑚 𝑃1 = 17.500 𝑃𝑎 𝑠

𝑣2 = 10,7𝑚 𝑠 𝜌 = 1.000 𝑘𝑔

𝑚31 = 4,5 𝑚

2 = 0 𝑚 𝑃2 =?

1 = 4,5 𝑚

∎ 𝐵

∎ 𝐴

𝑃1 = 17.500 𝑃𝑎

𝑣1 = 1,5 𝑚/𝑠

𝑣2 = 10,7 𝑚/𝑠

2. Identificar ecuación y despejar variable

Se puede observar que en la tubería existe un cambio en la velocidad del flujo y además un cambio de presión, por ende, se utiliza el teorema de Bernoulli.

(9)

3. Reemplazar los datos en la ecuación y resolver 𝑃1 + 1

2 ∙ 𝜌 ∙ 𝑣12 + 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ1 = 𝑃2 + 1

2 ∙ 𝜌 ∙ 𝑣22 + 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ2 𝑐𝑜𝑚𝑜 ℎ2 = 0

17.500 𝑃𝑎 +1

2 ∙ 1.000 𝑘𝑔

𝑚3 ∙ 1,5𝑚 𝑠

2

+ 1.000 𝑘𝑔

𝑚3 ∙ 10 𝑚

𝑠2 ∙ 4,5(𝑚) = 𝑃2 +1

2 ∙ 1.000(𝑘𝑔

𝑚3) ∙ (10,7 𝑚/𝑠)2 17.500 𝑃𝑎 + 500 𝑘𝑔

𝑚3 ∙ 2,25 𝑚2

𝑠2 + 45.000 𝑘𝑔

𝑚 ∙ 𝑠2 = 𝑃2 + 500 𝑘𝑔

𝑚3 ∙ 114,49 (𝑚2 𝑠2 )

17.500 𝑃𝑎 + 1.125 𝑘𝑔

𝑚 ∙ 𝑠2 + 45.000 𝑘𝑔

𝑚 ∙ 𝑠2 = 𝑃2 + 57.245 𝑘𝑔 𝑚 ∙ 𝑠2 17.500 𝑃𝑎 + 1.125 𝑃𝑎 + 45.000 (𝑃𝑎) = 𝑃2 + 57.245 𝑃𝑎

17.500 𝑃𝑎 + 1.125 𝑃𝑎 + 45.000 𝑃𝑎 − 57.245 𝑃𝑎 = 𝑃2 6.380 𝑃𝑎 = 𝑃2

𝑷𝟐 = 𝟔, 𝟑𝟖 𝒌𝑷𝒂

Observación 𝑘𝑔

𝑚 ∙ 𝑠2 = (𝑃𝑎)

(10)

Ejercicio 4

Fluye agua continuamente de un tanque abierto como se muestra en la figura. La altura del punto 1 es de 10 [m], y la de los puntos 2 y 3 es de 2 [m]. El área transversal en el punto 2 es de 0,048 [m2]; en el punto 3 es de 0,016 [m2]. El área del tanque es muy grande en comparación con el área transversal del tubo. Suponiendo que puede aplicarse la ecuación de Bernoulli, calcule:

a) El caudal descarga en m3/s.

b) la presión manométrica en el punto 2.

SOLUCIÓN a)

1. Reconocer los datos y la incógnita

𝑄3 =?

1 = 10 𝑚 ℎ2 = 2 𝑚 𝐴2 = 0,048 𝑚2

𝐴3 = 0,016 𝑚2 2. Identificar ecuación y despejar variable

Para calcular el caudal en el punto 3, se necesita el área

(11)

Sin embargo, falta encontrar la rapidez en el punto 3 𝑣3, para ello se utiliza la ecuación de Bernoulli, y se debe trabajar con otro punto. En este caso, se trabajará con el punto 1, ya qué al tener un área tan grande, la rapidez con la que baja el fluido es tan baja respecto a la velocidad de salida en el punto 3, por lo tanto se puede despreciar (𝑣1 ≈ 0).

𝑃1 + 1

2 ∙ 𝜌 ∙ 𝑣12 + 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ1 = 𝑃3 + 1

2 ∙ 𝜌 ∙ 𝑣32 + 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ3 3. Reemplazar los datos en la ecuación y resolver

𝑃1 + 1

2 ∙ 𝜌 ∙ 𝑣12 + 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ1 = 𝑃3 + 1

2 ∙ 𝜌 ∙ 𝑣32 + 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ3 𝑃1 = 𝑃3 = 𝑃0 (𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜)

101.300 𝑃𝑎 + 1.000 𝑘𝑔

𝑚3 ∙ 10 𝑚

𝑠2 ∙ 10 𝑚 = 101.300 𝑃𝑎 +1

2∙ 1.000 𝑘𝑔

𝑚3 ∙ 𝑣3 2 + 1.000 𝑚𝑘𝑔3 ∙ 10 𝑚

𝑠2 ∙ 2 𝑚 101.300 𝑃𝑎 + 100.000 𝑘𝑔

𝑚∙𝑠2 = 101.300 𝑃𝑎 + 500 𝑘𝑔

𝑚3 ∙ 𝑣3 2+ 20.000 𝑚∙𝑠𝑘𝑔2 101.300 𝑃𝑎 + 100.000 𝑃𝑎 − 101.300 𝑃𝑎 − 20.000 𝑃𝑎 = 500 𝑘𝑔

𝑚3 ∙ 𝑣3 2 80.000 𝑃𝑎 = 500 𝑘𝑔

𝑚3 ∙ 𝑣3 2 80.000 𝑃𝑎

500 𝑘𝑔 𝑚3

= 𝑣32

𝑣32 = 160𝑚

𝑠 /√ 𝒗𝟑 = 𝟏𝟐, 𝟔𝟓 𝒎/𝒔

Observación 𝑘𝑔

𝑚 ∙ 𝑠2 = (𝑃𝑎)

(12)

Por lo tanto, el caudal en el punto 3 será:

𝑄3 = 𝐴3 ∙ 𝑣3 = 0,016 𝑚2 ∙ 12,65 𝑚

𝑠 = 0,20 𝑚3 𝑠

SOLUCIÓN b)

1. Reconocer los datos y la incógnita 𝑃2 =?

1 = 10 𝑚 ℎ2 = 2 𝑚 𝐴2 = 0,048 𝑚2 𝐴3 = 0,016 𝑚2

2. Identificar ecuación y despejar variable

Para encontrar la presión en el punto 2, se usa la ecuación de Bernoulli, para ello además se trabajará con el punto 1.

𝑃1 + 1

2 ∙ 𝜌 ∙ 𝑣12 + 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ1 = 𝑃2 + 1

2 ∙ 𝜌 ∙ 𝑣22 + 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ2

Sin embargo, para calcular la presión en el punto 2, se necesita la rapidez en dicho punto, por ello, se utiliza la ecuación de continuidad, usando el punto 3.

𝐴 ∙ 𝑣 = 𝐴 ∙ 𝑣

(13)

3. Reemplazar los datos en la ecuación y resolver 𝐴2 ∙ 𝑣2 = 𝐴3 ∙ 𝑣3 𝑣2 = 𝐴3 ∙ 𝑣3

𝐴2 = 0,016 𝑚2 ∙ 12,65 𝑚/𝑠

0,048 𝑚2 = 4,22 𝑚/𝑠

Ahora con la rapidez en el punto 2 y usando la ecuación de Bernoulli se determinará la presión en dicho punto:

𝑃1 + 1

2 ∙ 𝜌 ∙ 𝑣12 + 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ1 = 𝑃2 + 1

2 ∙ 𝜌 ∙ 𝑣22 + 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ2 𝑃1 = 𝑃0

(𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜)

Además, la 𝑣1 ≈ 0, ya que el fluido baja muy lentamente

𝑃1 + 1

2 ∙ 𝜌 ∙ 𝑣12 + 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ1 = 𝑃2 + 1

2 ∙ 𝜌 ∙ 𝑣22 + 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ2

101.300 𝑃𝑎 + 1.000 𝑘𝑔

𝑚3 ∙ 10 𝑚

𝑠2 ∙ 10 𝑚 = 𝑃2+1

2∙ 1.000 𝑘𝑔

𝑚3 ∙ 4,22 𝑚/𝑠 2+ 1.000 𝑚𝑘𝑔3 ∙ 10 𝑚

𝑠2 ∙ 2 𝑚 101.300 𝑃𝑎 + 100.000 𝑘𝑔

𝑚∙𝑠2 = 𝑃2 + 500 𝑘𝑔

𝑚3 ∙ 17,81 (𝑚2

𝑠2) + 20.000 𝑚∙𝑠𝑘𝑔2 101.300 𝑃𝑎 + 100.000 𝑘𝑔

𝑚 ∙ 𝑠2 = 𝑃2+ 8.905 𝑘𝑔

𝑚 ∙ 𝑠2 + 20.000 𝑘𝑔 𝑚 ∙ 𝑠2 101.300 𝑃𝑎 + 100.000 𝑃𝑎 − 8.905 𝑃𝑎 − 20.000 𝑃𝑎 = 𝑃2

𝑷𝟐 = 𝟏𝟕𝟐. 𝟑𝟗𝟓 (𝑷𝒂)

Observación 𝑘𝑔

𝑚 ∙ 𝑠2 = (𝑃𝑎)

𝑷𝟐 = 𝟏𝟕𝟐, 𝟑𝟗 𝒌𝑷𝒂

(14)

2. Aplicaciones del teorema de Bernoulli

2.1 El teorema o principio de Bernoulli explica el vuelo de los aviones, ya que la forma y la orientación de las alas permiten que el aire pase con mayor rapidez por la parte superior que la inferior de éstas. Luego, la presión encima del ala es menor que la presión debajo de ella, produciendo una fuerza resultante dirigida hacia arriba, llamada fuerza ascensional o de sustentación (S).

Alta velocidad Baja presión Fuerza de

sustentación (S)

S

P

(15)

2.2 Teorema de Torricelli: La rapidez de salida de un fluido por un orificio, es la misma que adquiere un cuerpo que cae libremente, partiendo del reposo desde una altura h.

1 𝑃1 + 1

2 ∙ 𝜌 ∙ 𝑣12 + 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ1 = 𝑃2 + 1

2 ∙ 𝜌 ∙ 𝑣22 + 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ2

2

0 𝑃1 = 𝑃2 = 𝑃0

(𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜)

𝑃0 + 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ1 = 𝑃0 + 1

2 ∙ 𝜌 ∙ 𝑣22 + 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ2 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ1 = 1

2∙ 𝜌 ∙ 𝑣22 + 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ2 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ1 = 𝜌 ∙ (1

2 ∙ 𝑣22 + 𝑔 ∙ ℎ2) 𝑔 ∙ ℎ1 = 1

2 ∙ 𝑣22 + 𝑔 ∙ ℎ2 𝑔 ∙ ℎ1 − 𝑔 ∙ ℎ2 = 1

2 ∙ 𝑣22 𝑔 ∙ ℎ1 − 𝑔 ∙ ℎ2 = 1

2 ∙ 𝑣22 𝑔 ∙ (ℎ1 − ℎ2) = 1

2 ∙ 𝑣22 𝑔 ∙ ∆ℎ = 1

2 ∙ 𝑣22 2 ∙ 𝑔 ∙ ∆ℎ = 𝑣22

𝒗𝟐 = 𝟐 ∙ 𝒈 ∙ ∆𝒉

• (1)

• (2)

(16)

2.3 Tubo Venturi: Consiste en un tubo horizontal al cual se le ha hecho un estrechamiento en forma gradual. Se utiliza para medir la rapidez dentro de un fluido, a partir de las diferencias de presión entre el sector más ancho y más angosto del tubo.

𝑃1 + 1

2 ∙ 𝜌 ∙ 𝑣12 + 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ1 = 𝑃2 + 1

2 ∙ 𝜌 ∙ 𝑣22 + 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ2 𝑃1 = 𝑃2 = 𝑃0

(𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜)

𝑃0 + 1

2∙ 𝜌 ∙ 𝑣12 + 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ1 = 𝑃0 + 1

2 ∙ 𝜌 ∙ 𝑣22 + 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ2 1

2 ∙ 𝜌 ∙ 𝑣12 + 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ1 = 1

2 ∙ 𝜌 ∙ 𝑣22 + 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ2 1

2 ∙ 𝜌 ∙ 𝑣12 − 1

2 ∙ 𝜌 ∙ 𝑣22 = 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ2 − 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ1 1

2 ∙ 𝜌 ∙ (𝑣12 − 𝑣22) = 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ (ℎ2 − ℎ1) 1

2 ∙ (𝑣12 − 𝑣22) = 𝑔 ∙ ∆ℎ (𝒗𝟏𝟐 − 𝒗𝟐𝟐) = 𝟐 ∙ 𝒈 ∙ ∆𝒉

∆h

(17)

La física de los fluidos tiene muchas aplicaciones en los sistemas biológicos, como por ejemplo, en la estimación de la presión sanguínea, donde se puede utilizar la ecuación de Bernoulli.

El instrumento para medir la presión sanguínea se llama esfigmomanómetro, y utiliza el principio de pascal.

Las presión aplicada en el brazo se transmite a través de los tubos de aire que lo conecta a la base de la columna de mercurio, que se elevará indicándonos la presión medida.

2.3 Sistema cardiovascular

(18)

Siempre debemos tener cuidado de que el manguito del esfigmomanómetro que está en el brazo (B) esté a una altura similar al corazón (C), ya que así la presión por altura sería igual y no influye. Por otro lado, la velocidad de la sangre es casi la misma en el brazo que la que salió a través de la aorta, por lo que la presión sanguínea tomada en la arteria braquial en el brazo será aproximadamente igual a la presión cardiaca.

B B

B C

C

C

v g h P v g h

P    

2

        

2

    2

1 2

1

B

C

P

P

Referencias

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