INTRODUCCION AL FLUJO TURBULENTO

INTRODUCCION AL FLUJO TURBULENTO

Preparado por Ing. Esteban L. Ibarrola Mecánica de los Fluidos UNCor

1. Características físicas de los flujos turbulentos.

Antes de definir en una forma precisa el significado de la turbulencia, resulta mas provechoso para comprender su naturaleza analizar de qué formas se manifiesta y las características esenciales de esas formas. Las soluciones clásicas de las ecuaciones de Navier-Stokes, corresponden a los flujos laminares, caracterizados por ser flujos perfectamente ordenados y regulares. Pero los flujos que se presentan en situaciones de la vida real no responden a esas soluciones porque manifiestan un comportamiento completamente diferente. Las manifestaciones típicas de la turbulencia se pueden resumir en tres efectos principales:

 Inestacionariedad de pequeña escala

 Un permanente y continuo proceso de mezcla.

 Un dominante efecto de la inercia del fluido Inestacionariedad

Aun cuando se encuentre confinado y limitado por contornos estacionarios el flujo turbulento presenta una progresiva sucesión de inestabilidades que causan e inducen fluctuaciones en las componentes de la velocidad que hacen que el movimiento se torne inestacionario. Este tipo de manifestaciones pueden ser observados en experimentos como la conocida experiencia de Reynolds, en chorros fluidos y capas límites.

Procesos de mezcla.

La turbulencia introduce componentes de velocidad transversales el movimiento principal que generan procesos de mezcla que aumentan notablemente el intercambio de masa, calor y cantidad de movimiento en la masa fluida.

Efecto dominante de la inercia del fluido.

La densidad del fluido tiene un papel mucho mas preponderante que el coeficiente de viscosidad molecular en el establecimiento de las tensiones tangenciales efectivas. Una remarcable característica de la turbulencia es que la disipación friccional es mucho menos dependiente de la viscosidad que de la densidad del fluido. Esto se debe a que la transferencia de energía mecánica desde la componente estacionaria del flujo a la energía cinética de la turbulencia es provocada por efectos inerciales.

Ciertos aspectos de los flujos turbulentos y su contraste con los laminares pueden observarse mediante la realización de experimentos en un conducto con flujo totalmente desarrollado .Algunas características relevantes que pueden apreciarse de las observaciones son las siguientes:

 Mientras un instrumento estándar para medir la velocidad como una sonda Pitot-estática revela una distribución de velocidades en cada punto que parece no cambiar, la utilización de un instrumento de respuesta rápida como un anemómetro de hilo caliente ( de muy pequeño diámetro y consecuentemente baja inercia térmica), mostrará que la velocidad en un punto variará en el tiempo, indicativo que la velocidad local en realidad es inestacionaria

 Los flujos laminares tienen una distribución de velocidades típicamente parabólica, mientras que los perfiles de velocidad medios en un flujo turbulento presentan un núcleo central más aplanado, debido a un rápido intercambio de cantidad de movimiento de las partículas, con un gradiente de velocidades sobre la pared mayor que provoca mayores tensiones tangenciales sobre la misma.

 Mientras que en los flujos laminares las tensiones tangenciales son producidas exclusivamente por la viscosidad molecular y ésta domina sobre los efectos de inercia, en los flujos turbulentos la viscosidad molecular tiene una muy débil influencia, y las tensiones tangenciales (de naturaleza diferente a la molecular) son gobernadas casi exclusivamente por los efectos inerciales, asociadas a esa inestacionariedad de pequeña escala presente en los flujos turbulentos.

 Un alto grado de desorden en el flujo y movimientos inestacionarios e irregulares superpuestos a un flujo regular y ordenado que produce intercambio y mezcla de masa, cantidad de movimiento y energía entre las capas fluidas.

Fig.Nº1- Distribución de velocidades en flujos laminar y turbulento

El conjunto de fenómenos antes descriptos es lo que caracteriza a lo que genéricamente llamamos turbulencia, pudiendo resumirse los siguientes contrastes o diferencias entre un flujo laminar un turbulento:

FLUJO LAMINAR FLUJO TURBULENTO

El movimiento es ordenado y en conjunto es realmente estacionario.

Es estacionario en conjunto en valores medios, pero contiene inestacionariedades de pequeña escala

Las fuerzas viscosas de origen molecular

son predominantes. Las fuerzas viscosas son relativamente importantes

Las fuerzas de inercia son irrelevantes Las fuerzas de inercia son dominantes

Los primeros análisis teóricos detallados fueron encarados por O. Reynolds Con relación a su trabajo dos aspectos pueden ser analizados. Por un lado se puede demostrar, considerando las ecuaciones diferenciales de la Mecánica de los Fluidos que las oscilaciones espaciales y temporales presentes en las componentes de la velocidad afectan al movimiento promedio, y se manifiestan como una resistencia a la deformación del fluido de un

modo similar a la resistencia que produce la fricción molecular interna a través de la viscosidad



en los flujos laminares

.

La segunda consideración teórica tiene que ver con las condiciones bajo las cuales una perturbación del movimiento como los que ocurren en los flujos turbulentos puede incrementarse o amortiguarse en el tiempo.

Se abordará solamente el análisis del primer aspecto, considerando que el movimiento es estacionario con fluctuaciones que tienen valores temporales medios.

De acuerdo a la evidencia experimental los movimientos sujetos a fluctuaciones en el espacio y el tiempo pueden ser tratados considerándolos como integrado por un valor medio constante en el tiempo y de oscilaciones positivas y negativas alrededor de ese valor medio.

Los diferentes autores que estudiaron el problema difieren en la elección de ese valor medio .Algunos consideran un media espacial de valores promediados en un espacio definido de moderada extensión, en tanto que otros toman los valores promediados en un simple punto del espacio durante un tiempo suficientemente largo, y algunos hacen uso de un concepto combinado. El presente análisis, debido a Prandtl, considera a las componentes de la velocidad, presión etc en un punto del espacio como compuestas de un valor medio temporal constante tomado como promedio durante un período de tiempo suficientemente largo, y de fluctuaciones en el tiempo superpuestas a ese valor medio. Un movimiento de estas características se representa en la figura Nº 2.

Si por ejemplo la componente de la velocidad según la dirección "x" se designa con

u (t )

, su valor medio

u

^entre

el instante

t

₀ y el tiempo

T

se obtiene, aplicando el Teorema del Valor Medio:







T t

t

dt t T u u

0

0

) 1 (

(1)

el tiempo

T

debe tomarse lo suficientemente grande para que

u

se independiente tanto de

T

como de

t

₀. Movimientos con estas características existen en el mundo real , y se denominan movimientos turbulentos con valor medio estacionario.

2. Reglas de cálculo para valores medios temporales de magnitudes físicas

El tratamiento de ecuaciones con magnitudes físicas utilizando sus medias temporales implica el uso de ciertas reglas de cálculo elementales que determinan la validez de algunas operaciones aritméticas básicas que se presentan en las mismas. Las mas frecuentes son:

 El valor medio de las fluctuaciones en el tiempo

u (t )

es nulo:

Siendo.

u t u t

u  ( )  ( ) 

(2)

El valor medio de

u (t )

es:





 



T t

t

dt t T u

u

0

0

) 1 (

(3)

llevando la (2) a la (3) y haciendo por comodidad:





 ^{  }

 

T T

T

dt T u dt t T u dt u t T u u

0 0

0

) 1 1 (

) ) ( 1 (

(4)

Las integrales de la (4) resultan:

u dt t T u

T

 

0

) 1 (

(5)

T u u T T dt

u dt T u

T T





 



0 0

. 1

1

(6)

de donde se concluye que el valor medio de las fluctuaciones de una magnitud es siempre nulo:

0 )

 t ( 

u

(7)

Si A y B son dos magnitudes de un flujo turbulento y n es una coordenada espacial cualquiera se verifican las siguientes reglas para las operaciones elementales con valores medios temporales :

 Suma o diferencia de valores medios:

La suma de sus valores medios es igual al valor medio de la suma:

B A B

A   

. (8)

 Producto por una constante por un valor medio:

El producto de una constante por el valor medio de una magnitud es igual al valor medio del producto de la constante por la magnitud:

A const A

const   

(9)

 Derivada del valor medio según una dirección:

La derivada según una dirección "n" del valor medio es igual al valor medio de la derivada:

n A n A



 





(10)

 Valores medio de un producto

Si los valores medios de dos magnitudes A y B son nulos el valor medio del producto es en general distinto de cero:

 ^



T

dt t T A A

0

0 ) 1 (

 ^



T

dt t T B B

0

0 ) 1 (

 ^



T

dt t B t T A B A

0

0 ) ( ).

1 (

.

(11)

Para ilustrar la regla anterior , si se supone que las magnitudes A y B varían en el tiempo según una ley senoidal el gráfico siguiente muestra que el valor medio del producto es distinto de cero:

3. Aplicación del Teorema de la Cantidad de Movimiento al flujo turbulento.

Antes de trabajar con las ecuaciones de Navier-Stokes como lo hizo Reynolds para establecer las ecuaciones que manejan los flujos turbulentos, se puede arribar a conclusiones de un modo mas directo y obtener algunas conclusiones referidas a la mecánica de este tipo de flujo utilizando el Teorema de la Cantidad de Movimiento.

Si las componentes de la velocidad según un sistema de referencia cartesiano xyz son

u , , v w

respectivamente, y se está ante la presencia de un movimiento turbulento estacionario, ellas se pueden expresar como la suma de un valor medio y sus correspondientes fluctuaciones en el tiempo del siguiente modo:

w w w

v v v

u u u

 



 



 



(12)

y similarmente para la presión:

p p

p   

(13)

los valores medios se indican con los términos en barras y son los correspondientes a la parte del flujo regular y perfectamente ordenado que pueden ser medidos por un observador con un instrumento estándar como una sonda de presión Pitot-estática, y las fluctuaciones en el tiempo se representan con las letras con tildes. El caudal en masa que pasa por una superficie elemental perpendicular al eje "x" en un instante se expresa como:

dt udA

dq   .

(14)

la cantidad de movimiento elemental asociada a ese caudal en dirección "x" es:

dt dA u

dQx  

²

.

(15)

y las componentes en dirección "y" y "z" son:

dt uvdA

dQy   .

(16)

dt uwdA

dQz   .

(17)

El primer paso consiste en evaluar los valores medios de las (15), (16) y (17):





T

dt u T dA dQx

0

1

2



 

T

uvdt T dA

dQy

0

1 

(18)





T

uwdt T dA

dQz

0

1 

En las anteriores se hizo

t

₀

 0

por simplicidad, y se supone que el tiempo

T

es suficientemente grande.

Considerando la componente

u

y elevándola al cuadrado:

2 2 2

2

( u u ) u 2 u . u u

u        

y reemplazando en la primera de las (18):

 

 ^{   }



T T

T

dt u T dA dt u u T dA

dt u T dA dQx

0 0

2 0

2

1

. 1 2

1   

Aplicando las reglas del punto 2 la segunda integral se anula por ser producto de una constante

u

por el valor medio de una fluctuación que es cero, y luego de evaluar las restante integrales se tiene para el flujo de cantidad de movimiento medio elemental en dirección "x":

dA u u

dQx  ( 

²

  

²

)

(19)

Es importante señalar que

u

² es el valor medio de los cuadrados de

u

, y no el cuadrado del valor medio de

u

,indicado como

u

²que es nulo de acuerdo a las reglas y definiciones anteriormente vistas. La (19) es válida para un flujo incompresible, ya que cuando están presentes cambios de densidad debe introducirse también a esta como suma de un valor medio y su fluctuación. Aplicando un procedimiento similar a la segunda y tercera integrales de las (18) se determinan las cantidades de movimientos medios elementales en las otras dos direcciones las que resultan:

dA v u v u

dQy  (  .    .  )

(20)

dA w u w u

dQz  (  .    .  )

(21)

Dividiendo las ecuaciones anteriores por el área elemental, se obtiene, desde un punto de vista dimensional una relación fuerza/área, es decir una tensión:

) ( u

²

u

²

dA

dQx      

) . .

( u v u v dA

dQy       

(22)

) . .

( u w u w

dA

dQz       

En las ecuaciones (22) se han cambiado los signos de los segundos miembros para tener en cuenta que la ecuación de la cantidad de movimiento da la fuerza que actúa desde los alrededores sobre el sistema, y así obtener las tensiones que actúan sobre el elemento fluido. Puede notarse que las componentes del cambio de la cantidad de movimiento elemental contiene nuevos términos formados por productos y cuadrados de las fluctuaciones

( u  , v  , w  )

sumados a términos que provienen de productos de valores medios

( u , v , w )

. Estos últimos son exactamente los mismos que se obtienen cuando se considera el caso estacionario.

El término

 u 

² representa tensiones normales, en tanto que

 u   v

y

 u  w 

denotan tensiones tangenciales en las direcciones "y" y "z" respectivamente. El análisis permite ver claramente que los valores temporales medios de las fluctuaciones de la velocidad introducen componentes de tensión adicionales que no están presentes en los flujos laminares. Un estudio mas pormenorizado que conduce a idénticas conclusiones se hará en el próximo punto.

4. Tensiones de aparentes, tensor de tensiones de Reynolds

Las leyes de la viscosidad de Stokes y las ecuaciones de Navier-Stokes son aplicables a un flujo turbulento si se usan las velocidades y magnitudes reales .Pero se mencionó anteriormente que desde un punto de vista físico resulta más práctico obtener expresiones a partir de valores temporales medios, ya que estas son magnitudes que pueden ser medidas por un observador con instrumentos convencionales como las sondas de presión. A continuación se derivarán las ecuaciones aplicables a movimientos turbulentos con valores temporales medios de magnitudes. Por simplicidad y sin pérdida de generalidad se considerará un movimiento incompresible definido por la condición

 V .  0

a partir de las ecuaciones de Navier–Stokes, las que se escriben :

x u Kx p z

w u y v u x u u t

u

₂



 

 

 





 





 



 



 



  



y v Ky p z

w v y v v x u v t

v

₂



 

 

 





 





 



 



 



  



(23)

z w Kz p z

w w y v w x u w t

w

2



 

 

 





 





 



 



 



  



El primer paso consiste en sustituir todas las variables que aparecen en las ecuaciones (23 ) por la suma de las medias temporales y de las componentes debidas a las fluctuaciones. Como ejemplo, en la primera ecuación haciendo

u  u  u 

el término

u  u  x

resulta:

 

x u u x u u x u u x u u x

u u u

u 

 

 



 

 

 

 

 



 

 

 ( ) . . . .

.

(24)

Tomando valores medios temporales y haciendo uso de las reglas antes vistas, el segundo y tercer término del segundo miembro se anulan porque son productos de constantes (

u

y

 u  x

) por valores medios de fluctuaciones (

u

y de

 u   x

) que se hacen cero. El primer término

u .  u  x

permanece invariable al calcular la media, porque la expresión es constante con el tiempo. Finalmente el último termino es el producto de dos magnitudes variables, y como se vio su valor medio

u .  u   x

no debe anularse necesariamente.

Resumiendo al tomar valores medios temporales del producto analizado se obtiene:

 

x u u x u u x

u u u

u 

 

 



 



 

 

 ( ) . .

.

Realizando operaciones similares con todos los términos de las tres ecuaciones de NS se arriba a las siguientes expresiones válidas para un movimiento turbulento con valores temporales medios en sus magnitudes :

 





 







 

 



 

 



 

 



 

 

 







 







 



 





z w u y v u x u u x u

Kx p z

w u y v u x

u . u . .  . 

²

 . . .



 





 







 

 



 

 



 

 



 

 

 







 







 



 





z w v y v v x u v y v

Ky p z

w v y v v x

u . v . .  . 

²

 . . .



(25)

 





 







 

 



 

 



 

 



 

 

 







 







 



 





z w w y v w x u w z w

Kz p z

w w y v w x

u . w . .  . 

²

 . . .



Estas ecuaciones luego de algunas sustituciones y operaciones algebraicas se pueden escribir en forma mas compacta como:

 





 









 

 



 

 

 





 

 

 z

w u y

v u x

u u x

Kx p t

D u

D

2

( )

²

( . ) ( . )









 





 









 

 

 

 



 





 

 

 z

w v y

v x

u v v

y Ky p t

D v

D

2

( ) (. )

²

( . )









(27)

 





 







 

 



 

 



 





 

 

 z

w y

v w x

u w w

z Kz p t

D w

D

2

( . ) ( . ) (. )

²









Una comparación de las ecuaciones anteriores con las correspondientes al flujo laminar, muestra que ambas son formalmente idénticas, a excepción de aquellos términos que surgen de productos de las fluctuaciones de las componentes de la velocidad. El análisis dimensional de esos términos da como unidad fuerza/superficie, y en consecuencia esto sugiere que una forma apropiada es considerar al flujo turbulento con valores medios temporales como un flujo laminar con la presencia de fuerzas adicionales que tienen su origen en la turbulencia. Estas fuerzas son llamadas fuerzas aparentes y tienen las siguientes expresiones:

. ) . . ( ) . ( ) ) (

(

2

z dVol w u y

v u x

ap u

dfx  





 









 

 



 

 

 



 

. . .

( ) (.

) . (

) (

2

z dVol w v y

v x

u ap v

dfy  





 









 

 

 

 



 



 

(28)

. ) .

(.

) . ( ) . . (

) (

2

z dVol w y

v w x

u ap w

dfz  





 







 

 



 

 



 



 

Las 9 tensiones asociadas a estas fuerzas se denominan tensiones aparentes o tensiones de Reynolds, y conforman las componentes de un tensor denominado tensor de tensiones aparentes de Reynolds,

 









 





































































) ( )

( )

(

) ( )

( )

(

) ( )

( )

( .

w w v

w u

w

w v v

v u

v

w u v

u u

u ap

ZZ ZY ZX

YZ YY YX

XZ XY XX





































(29)

5. Manifestación de la tensión aparente, viscosidad turbulenta o de remolino.

Aunque así planteado el concepto de tensión aparente del flujo turbulento pareciera en cierto modo arbitrario y carente de sustento físico, un análisis comparativo de los mecanismos que generan las tensiones debidas a la fricción en el flujo laminar permite descubrir algunas analogías entre ambos tipos de tensiones. En los flujos laminares existe un movimiento molecular aleatorio que macroscópicamente se observa como un movimiento de moléculas perfectamente ordenado sobre el que se superpone un movimiento o fluctuaciones moleculares al azar.

Esto sumado a las fuerzas de cohesión molecular que son acciones microscópicas se manifiesta o se hacen sentir como una tensión tangencial entre las capas fluidas. La relación entre la tensión tangencial y los gradientes del campo de velocidades lleva a introducir el concepto de viscosidad absoluta o dinámica que es de origen esencialmente molecular.

En un flujo turbulento existe también un flujo medio temporal bien ordenado al que se superpone una fluctuación al azar de partículas o elementos fluidos de carácter macroscópico, cuyo efecto es similar a la acción molecular de los flujos laminares. Esto provoca también un efecto macroscópico pero de naturaleza diferente y de carácter mas grosero que se manifiesta como un valor medio temporal que llamamos tensión aparente. A igual que en el flujo laminar, la tensión aparente se puede relacionar con el campo de velocidades y obtener una propiedad media temporal análoga a la viscosidad molecular. Dicha analogía conduce a la definición de un coeficiente de intercambio turbulento de cantidad de movimiento llamado también viscosidad turbulenta o de remolino Para determinar la viscosidad turbulenta se puede partir de las ecuaciones de NS, considerando un flujo turbulento estacionario y bidimensional cuya componente “x” se escribe:

 





 









 

 



 

 

 



 

 

 





y u v x

u u y

u x

p y

v u x

u u ( . ) ( )









(30)

Usualmente se ignora la variación longitudinal de la intensidad turbulenta,

 u   u

, y la (30) se escribe:

) (

_{l t}

y

x u p

y v u y x p y

v u x

u u     

 



 



 

 







 



   







 



 

 

 





(31)

Siendo

y u

l



  



la fricción laminar o molecular y



_t

   v  u 

la fricción turbulenta. Por analogía con la ecuación que define la fricción laminar, se define un coeficiente de intercambio turbulento de cantidad de movimiento viscosidad turbulenta como :

y u u

v

_t

t



 



 

  



de donde resulta

y u

u v

t

 



 

 



(32)

Debe señalarse que mientras la viscosidad molecular es una propiedad constitutiva que depende de las propiedades termodinámicas locales del fluido, la viscosidad turbulenta viene determinada por las condiciones locales del flujo mismo (

u

,

v

y

 u  y

) y la densidad



del fluido. En un flujo turbulento próximo a una pared sólida estacionaria, se pueden identificar varias regiones gobernadas por diferentes fenómenos. En la zona muy cercana a la pared denominada subcapa laminar, la pared amortigua las fluctuaciones de las partículas y la fricción molecular es predominante. En esta región el perfil de velocidades es lineal lo que implica que:

y cte u  









(33)

Entre esta y el flujo irrotacional se desarrolla el flujo turbulento propiamente dicho donde resulta posible diferenciar tres regiones con distinto comportamiento, denominadas región interna, región de transición y región externa.

Figura Nº4- Regiones de una capa límite turbulenta.

6.

Concepto físico de las tensiones de Reynolds

.

El mecanismo físico asociado a las tensiones de Reynolds puede ser explicado del siguiente modo Un flujo de corte turbulento tiene une distribución de velocidades media temporal que no es uniforme. Debido a la turbulencia de la corriente, pequeñas masas fluidas M1 y N1 intercambian su posición en dirección transversal a la corriente principal, y cada una de ellas tienda a conservar su cantidad de movimiento. Luego del intercambio M2 tiende a acelerar al fluido en el que está inmerso y que se mueve mas lentamente, e inversamente N2 trata de decelerar al fluido en que está inmerso y que se mueve mas rápidamente. El resultado neto de este intercambio de cantidad de movimiento es una tensión tangencial



_XYen la coordenada ”y” actuando en dirección “x

Bibliografía:

1. Fluid Dynamics-_MIT Courses- Ascher H. Shapiro.

2. Aerodynanics Theory – W. F. Durand, Vol III, Division G-The mechanicas of Viscous Flow- L. Prandtl.

3. La mecánica de los Fluidos -Irving. H. Shames