REPORTE DE EL CIRCUITO RLC CON TRANSFORMADAS DE LAPLACE ECUACIONES DIFERENCIALES

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REPORTE DE EL CIRCUITO RLC CON TRANSFORMADAS DE

LAPLACE

ECUACIONES DIFERENCIALES

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INTRODUCCIÓN

Como hemos visto la transformada de Laplace es de gran utilidad para poder resolver ecuaciones diferenciales o integro diferenciales, entre otras aplicaciones en las que también se utiliza este método es en las señales de transferencia.

Una señal de transferencia de un circuito eléctrico es: el cociente de las ecuaciones de entrada y salida que rigen al circuito en términos de Laplace. Dicha función de transferencia nos permite conocer el comportamiento del circuito, así como la estabilidad que este proporciona y su localización de sus polos en el plano S, que vienen siendo las raíces del polinomio, que es el denominador de la función de transferencia.

En este reporte podrá encontrar precisamente el circuito RLC, en seguida el análisis por medio de las ley de KVC, las operaciones correspondientes para encontrar dicha función de transferencia, enseguida se sustituirán los valores y se obtendrá el polinomio, para el cual se le calcularan sus raíces y determinaremos la estabilidad, de acuerdo a los criterios que se mencionaran en los resultados.

Al final de este reporte nos podremos dar cuenta de que con una sola expresión podemos determinar características de los circuitos RCL.

OBJETIVO

En esta aplicación práctica de circuitos RLC con transformada de Laplace tenemos como objetivo demostrar que podemos determinar la estabilidad de un sistema eléctrico mediante una función de trasferencia en términos de Laplace, y no solo eso sino también podemos encontrar sus polos de estabilidad en el plano S, esto suena demasiado sencillo, pero en realidad es un poco más complicado de lo que parece ya que hay que modelar un circuito que sea estable, haciendo uso del conocimiento de que estos circuitos son afectados por una impedancia y una reactancia, entonces al aplicarle un pulso unitario obtendremos en el capacitor el voltaje de la fuente, pero este no tendrá un comportamiento tal como lo hace la fuente, sino que tendrá un comportamiento subamortiguado, esto es precisamente lo que debemos comprobar que al excitarlo con la fuente de voltaje aumentara el voltaje y oscilara por un momento (ms) y después se estabilizara en el voltaje dado por la fuente, esta es la parte visible. Ahora para la parte analítica con las raíces del denominador de la trasformada de Laplace podemos obtener de cuanto es nuestra estabilidad.

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PROCEDIMIENTO

1. Mediante la ley de voltajes de Kirchhoff se establecerá la ecuación que determina el comportamiento del sistema. La ley de voltajes nos indica que la suma de voltajes en la malla será igual al voltaje suministrado por la fuente.

2. De acuerdo con el control clásico, la función de transferencia está definida como la relación que existe entre la señal de salida y la señal de entrada. Bajo este

concepto consideraremos que la señal de salida es el voltaje en el capacitor y la señal de salida es la suma de los voltajes de cada uno de los componentes del circuito.

3. Una vez bien definidas nuestras señales de entrada y salida se procede a aplicar la transformada de Laplace a ambas ecuaciones.

4. Ahora que las ecuaciones se encuentran el domino de Laplace, se obtendrá la función de transferencia.

5. Posteriormente se sustituirán los valores de R, L y C en la función de transferencia.

6. El siguiente paso es igualar el denominador de la función de tranfer. a cero y mediante la fórmula general encontrar los polos y ceros que determinan el comportamiento del circuito.

DESARROLLO

En el presente circuito se tiene como entrada de señal una función escalón unitario En dicho circuito se tiene una L de H una R de y una C de

Las ecuaciones que describen el comportamiento del voltaje en el capacitor y el inductor son respectivamente:

∫ ,

Aplicando la ley de voltajes de Kirchhoff se obtiene una ecuación integro-diferencial

Teniendo en cuenta que la transformada de Laplace de una integral es igual a y la transformada de una derivada es igual a “s” se sustituye en la ecuación y se obtiene:

( ) ( ) ( ) ( )

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Como se quiere observar el voltaje de salida del capacitor (Vo) se tiene que:

∫ Por lo tanto:

( ) ( )

Entonces como la función de transferencia es la relación entre la entrada y la salida se observa que:

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

Sustituyendo los valores en la ecuación nos queda:

( )( ) ( )( )

Entonces se sacan los polos de la ecuación que determinan que tan propenso es el sistema a estabilizarse tomando el polinomio del denominador y buscando sus raíces.

( )

√( ) ( )

De acuerdo al método de polos y ceros para la estabilidad se dice que un sistema es estable cuando los valores de las raíces están del lado izquierdo del plano de Laplace (lado negativo del eje real) y se dice que entre más alejado del eje “s” este dicho numero la estabilidad es mayor por lo que comprobamos que dicho circuito tiende a estabilizarse al ser excitado con una función escalón

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Fotos de práctica

CONCLUCIONES

La transformada de Laplace es útil en la gran mayoría de los campos de la matemática ya que esta nos permite simplificar (como en este caso) una ecuación integro-diferencial para manipularla más fácilmente.

Es también de fundamental importancia en el campo de la ingeniería de control ya que el comportamiento (definido por la función de transferencia) de cualquier sistema tanto eléctrico, mecánico, hidráulico, etc. Es más fácilmente analizado si la ecuación que define el comportamiento de dichos sistemas es transformado al domino de Laplace.

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