• No se han encontrado resultados

Ley de Fourier. dt k dy. y = Y. t < 0. t = 0. x y = 0 T 0 T 1. t > 0. y Q

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "Ley de Fourier. dt k dy. y = Y. t < 0. t = 0. x y = 0 T 0 T 1. t > 0. y Q"

Copied!
47
0
0

Texto completo

(1)
(2)

Ley de Fourier

t < 0

x y

y = Y

y = 0 T0

t = 0

T0 T1

t > 0 T t y( , )

T0 T1

t   T y( )

T0 T1

y

q k dT

  dy

Q

Q

Q

Y T t

A

Q  

*

Y T k T

t A

Q ( )

*

1 0

(3)

CONDUCCION

UNIDIMENSIONAL EN ESTADO

ESTACIONARIO

(4)

Consideremos la

conducción de calor a

través de las paredes de una casa durante un día de invierno. Se sabe que se pierde calor de forma

continua hacia el exterior a través de la pared en forma normal a su

superficie y no tiene lugar alguna transferencia de calor significativa en ella en otras direcciones.

(5)

El espesor pequeño de la pared hace que el

gradiente de temperatura en esa dirección sea

grande. Además, si las temperaturas dentro y fuera de la casa

permanecen constantes, entonces la transferencia de calor a través de la

pared de una casa se puede considerar como estacionaria y

unidimensional.

(6)

Pared rectangular plana

Distribución de temperatura

T1

T2

e x

Flujo de calor

q

dx

k dT q

k (ctte)

)

( 1 2

e T k T

q

(7)

Pared rectangular plana

Resistencia térmica por conducción

T1

T2

e x

q

(k =ctte)

e T Ak T

q ( )

' 1 2

Reordenando

Ak e

T q (T )

' 1 2

Resistencia Termica

RTC

q' T

Ak RTC e

RTC

q’

(8)

h2

Pared rectangular plana con convección

Resistencia térmica por convección

Tα1

Tα2

e x

q

(k =ctte) q' Ah(T1 T1)

Reordenando

Ah T q T

1

) ' ( 1 1

Resistencia Termica

RTC

q' T

RTC Ah1

R2

q’

h1

R1 R3

(9)

h2

Pared rectangular plana con convección

Resistencia térmica total

Tα1

Tα2

e x

q

(k =ctte) RT R1 R2 R3

Flujo se calor

3 2

1

2

1 )

' (

R R

R

T q T

Resistencias termicas

1 1

1 R Ah

Ak R2 e

R2

q’

h1

R1 R3

2 3

1 R Ah

(10)

El lado exterior de un muro de ladrillo de 0,1 m de espesor (k = 0,7 W/mK) se expone a un viento frio a 270 K con un coeficiente de transferencia de calor por convección de 40 W/m2 K. En el lado interior del muro el aire esta a 330 K, con un coeficiente de

transferencia de calor por convección de 10 W/m2 K.

Determine el flujo de calor en estado estable, así como las temperaturas de las superficies interior y exterior del muro.

(11)

h2

Paredes en serie

Resistencia térmica total

Tα1

Tα2

e1 x

q

(k =ctte) RT R1 R2 R3 R4

Flujo se calor

4 3

2 1

2

1 )

' (

R R

R R

T q T

R2

q’

h1

R1 R4

e2

R3

(12)

h2

Coeficiente global de transferencia

Resistencia térmica total

Tα1

Tα2

e1 x

q’

(k =ctte)

2 2

2 1

1 1

1 1

Ah Ak

e Ak

e

Ri Ah

Flujo se calor

T UA

q '  

R2

q’

h1

R1 R4

e2

R3

Cuando el área es constante

1 ) ( 1

1

2 2

2 1

1

1 k h

e k

e h

Ri A

Ri

U 1

Coeficiente global de transferencia

(13)

La pared compuesta de un horno, consiste en tres

materiales, dos de los cuales son de conductividad térmica conocida, kA =20 W/mºK y kC =50W/mºK. De espesores

conocidos e1=0.20 m y e3=0.15 m. el tercer material B que se intercala entre A y C tiene espesor conocido e2=0.15 m,

pero conductividad kB desconocida. En condiciones de estado estable, las mediciones indican que la pared de la superficie externa en el material C es de 20ºC y la superficie interna del horno está a 600ºC, con una temperatura del aire en el horno de 800ºC. Se sabe que el coeficiente

convectivo en el interior del horno es de 25 w/m2 ºK.

Calcular el valor de kB.

(14)

Consideremos la conducción estacionaria de calor a través de un tubo que fluye agua caliente. Se sabe que se pierde calor de forma continua hacia el exterior a través de la pared del tubo en forma normal a su superficie y no tiene lugar alguna transferencia de calor significativa en ella en otras direcciones.

Recuerde que la transferencia de calor en cierta dirección es impulsada por el gradiente de temperatura en esa dirección.

Sistemas Radiales : Tubo

(15)

Sistemas Radiales: Tubo

Distribución de temperatura

Ctte qr ) 

(

T2

T1

r1

r2

dr kA dT

q '  

1 2

2 1

ln

) (

' 2

r r

T T

L

q k

L

(16)

2 )

) (ln(

) ' (

1 2

2 1

Lk r r

T q T

 

Lk r R

TC

r

2

) ln(

2 1

Sistemas Radiales: Tubo

T2

T1

r1

r2

RTC L

(17)

Considerando convección

2 2 1

2 1

1

2 1

2 ) 1

2

) (ln(

2

1

) ' (

h Lr Lk

r r

h Lr

T q T

T1 r1

r2

R2

Tα1 Tα2

h1

h2

R1 R3

3 2

1

2

1 )

' (

R R

R

T q T

(18)

Paredes compuestas

2 4 3

4 2

3 1

2 1

1

2 1

2 ) 1

2

) (ln(

2 )

) (ln(

2 )

) (ln(

2 1

) ' (

h Lr Lk

r r Lk

r r Lk

r r h

Lr

T q T

C B

A

5 4

3 2

1

2

1 )

' (

R R

R R

R

T q T

h1

h2

(19)

2 4 1 3

4 1

2 3 1

1 2 1

1

1 1

) ln(

) ln(

) 1 ln(

1

h r r r

k r r r

k r r r

k r r h

U

C B

A

) ) (

' ( 1 2 U1A1 T1 T 2 R

T q T

i

 

 

Referida al área interior En general:

1 4

4 3

3 2

2 1

1AU AU AU A  ( Ri ) U

(20)

 Se tiene un tubo de acero(k=60.7 W/mºK) de 48 mm de diámetro exterior y 34mm de diámetro interior que transporta un refrigerante. La

temperatura de la pared interior del tubo es de - 15ºC. Se desea que la ganancia de calor que tiene el refrigerante a través del tubo desnudo se

reduzca en un 25%, forrando la tubería con un

aislante de conductividad térmica 0.74 W/mºK. La temperatura del aire ambiente es de 21ºC y el

coeficiente convectivo 20 W/m2 ºK. Calcular el espesor de aislante requerido.

EJEMPLO

(21)

Sistemas Radiales: Esfera

Consideremos la conducción

estacionaria de calor a través

de una capa esférica que

contiene. Si la temperatura

del interior de la esfera es

mayor a la temperatura

exterior, se sabe que se

pierde calor de forma

continua hacia el exterior a

través de la capa de la esfera

en forma normal a su

superficie.

(22)

El espesor pequeño de la capa de la esfera hace que el gradiente de temperatura en esa dirección sea grande. Además, si las

temperaturas dentro y fuera de la esfera permanecen constantes,

entonces la transferencia de calor a través de la pared esférica se puede considerar como

estacionaria y unidimensional.

En este caso, la temperatura de la pared de la esfera presentara

dependencia solo en una dirección (es decir la dirección r) y se puede expresar como T(r).

Sistemas Radiales: Esfera

(23)

Ctte qr ) 

(

2

dr kA dT

q '  

T2

T1

r1

r2

4 r

2

A  

2 1

2 1

1 1

) (

' 4

r r

T T

q k

  

Sistemas Radiales: Esfera

(24)

4 )

1 (1

) ' (

2 1

2 1

k r r

T q T

 

2 1

1 2

4 kr r r R

TC

r

 

Sistemas Radiales: Esfera

T2

T1

r1

r2

RTC

(25)

Considerando convección

2 2 2 2

1 1 2

1 2 1

2 1

4 ) 1

(4 4

1

) ' (

h r k

r r

r r

h r

T q T

T1 r1

r2

R2

Tα1 Tα2

h1

h2

R1 R3

3 2

1

2

1 )

' (

R R

R

T q T

Sistemas Radiales: Esfera

(26)

Sistemas Radiales: Tubo

Area Media Logarítmica:

T2

T1

r1

r2

1 2

2 1

ln

) (

' 2

r r

T T

L

qk

L

2 1

2 1

ln

ln A A

A Am A

(27)

T2

T1

r1

r2 1 2

2 1

1 1

) (

' 4

r r

T T

q k

  

Sistemas Radiales: Esfera

2 1

A A A

mG

Area Media Geométrica:

(28)

Sistemas con área variable

 

A dx A

m

x

Area Media:

(29)
(30)

Espesor Económico

 Obtener el coste total mínimo cuando se aísla una pared para disminuir el flujo de calor.

 COSTOS:

Costo de pérdida (o ganancia) de calor

Costo del sistema de aislamiento

Coste por perdida de energía

Espesor Coste por aislamiento

Perdida o

Aislamient

Total

C C

C  

Coste total

Espesor optimo de aislamiento

(31)

Espesor Económico

 Consideraciones para la selección de un aislante:

 Superficies CALIENTES -> Evitar pérdidas de calor :

 Selección de la forma física

 Temperatura lado caliente

 Conductividad térmica

 Resistencia al deterioro mecánico

 Resistencia a la absorción de humedad

 Inflamabilidad

 Eliminación y/o reutilización

 Riesgos a la salud

(32)

Espesor Económico

 Superficies FRIAS -> Evitar ganancia de calor

 Disminuir el calor que ingresa, que podría

eliminarse refrigerando la instalación ó donde exista líquidos sometidos a su propia presión de

vapor saturado, para disminuir el incremento de su presión

 Para impedir ó disminuir la condensación superficial

 Para evitar que un fluido cambie de estado por bajas temperaturas

(33)

Espesor Económico

 Consideraciones para la selección de un aislante:

 Superficies FRIAS -> Evitar ganancia de calor

 Selección de la forma física

 Temperatura de los lados frio y caliente

 Dilatación y contracción térmica

 Conductividad térmica

 Permeabilidad

 Riesgos a la salud

(34)

Criterios para elegir espesor de aislamiento

SUPERFICIE CALIENTE SUPERFICIE FRIA

 Pérdida Térmica máxima permisible

 Espesor económico

 Razones de seguridad

Máximo incremento de calor permisible

Espesor económico

Limitación de la

condensación

superficial

(35)

Superficies extendidas

(36)

Superficies extendidas

 Se usan superficies extendidas o aletas con el fin de incrementar la razón de transferencia de calor de una superficie, aumentando el área total disponible para la transferencia de calor.

 En el análisis de las aletas, se considera estado

estacionario sin generación de energía en la aleta y se supone que la conductividad térmica (k) del material permanece constante.

(37)

Superficies extendidas

Area de treansferencia

) (

' hA T T

q

s

Ts

Ta h

(38)

Superficies extendidas

(39)

Superficies extendidas

(40)

0 )

( )

(  TT

dx dA k

h dx

A dT dx

d S

C

Superficies extendidas

0 )

1 )(

( 1 )

2 (

2   TT

dx dA k

h A dx

dT dx

dA A

dx T

d S

C C

C

Ecuación de energía para conducción

unidimensional en una superficie extendida.

(41)

Superficies extendidas

0 )

2 (

2TTkA

hP dx

T d

C

Aleta con área uniforme

kAC

m2hP

mx mx

C e

e C T

T

1

2

0 )

1 )(

( 1 )

2 (

2   TT

dx dA k

h A dx

dT dx

dA A

dx T

d S

C C

C

(42)

Superficies extendidas

0 )

2 (

2TTkA

hP dx

T d

C

Condiciones frontera

mx mx

C e e

C T

T

1

2

Tb

x

L

x=0 T=Tb x=L ?

(43)

Condiciones frontera

) cosh(

)) (

cosh(

mL x L

m T

T

T T

b

 

 A)Extremo adiabático

(44)

Flujo de calor

0

'

x C

b

dx

kA dT

q’b

q

) tanh(

) (

' hPkA T T mL

q

b

C b

(45)

Efectividad de una aleta

) (

'

hA T T

q

b C

b

f

 

q’b

Se justifica el uso de aleta si la efectividad es mayor a 2

Estudiar: Eficiencia de aletas

(46)

Ejemplo

Una aleta de cobre (k = 386 W/mºK) de 15 cm de largo, 5 cm de ancho y 1cm. de espesor, tiene una temperatura en la pared de 204ºC. La aleta se encuentra en un cuarto cuya temperatura del aire es de 21ºC. Calcule el calor perdido por la aleta, (considerar frontera adiabática) si el coeficiente de transferencia de calor entre su superficie y el aire que la rodea es igual a 27,7 W/m2 ºK . Calcular la efectividad de la aleta.

(47)

Referencias

Documento similar