Ley de Fourier
t < 0
x y
y = Y
y = 0 T0
t = 0
T0 T1
t > 0 T t y( , )
T0 T1
t T y( )
T0 T1
y
q k dT
dy
Q
Q
Q
Y T t
A
Q
*
Y T k T
t A
Q ( )
*
1 0
CONDUCCION
UNIDIMENSIONAL EN ESTADO
ESTACIONARIO
Consideremos la
conducción de calor a
través de las paredes de una casa durante un día de invierno. Se sabe que se pierde calor de forma
continua hacia el exterior a través de la pared en forma normal a su
superficie y no tiene lugar alguna transferencia de calor significativa en ella en otras direcciones.
El espesor pequeño de la pared hace que el
gradiente de temperatura en esa dirección sea
grande. Además, si las temperaturas dentro y fuera de la casa
permanecen constantes, entonces la transferencia de calor a través de la
pared de una casa se puede considerar como estacionaria y
unidimensional.
Pared rectangular plana
Distribución de temperatura
T1
T2
e x
Flujo de calor
q
dxk dT q
k (ctte)
)
( 1 2
e T k T
q
Pared rectangular plana
Resistencia térmica por conducción
T1
T2
e x
q
(k =ctte)
e T Ak T
q ( )
' 1 2
Reordenando
Ak e
T q (T )
' 1 2
Resistencia Termica
RTC
q' T
Ak RTC e
RTC
q’
h2
Pared rectangular plana con convección
Resistencia térmica por convección
Tα1
Tα2
e x
q
(k =ctte) q' Ah(T1 T1)
Reordenando
Ah T q T
1
) ' ( 1 1
Resistencia Termica
RTC
q' T
RTC Ah1
R2
q’
h1
R1 R3
h2
Pared rectangular plana con convección
Resistencia térmica total
Tα1
Tα2
e x
q
(k =ctte) RT R1 R2 R3
Flujo se calor
3 2
1
2
1 )
' (
R R
R
T q T
Resistencias termicas
1 1
1 R Ah
Ak R2 e
R2
q’
h1
R1 R3
2 3
1 R Ah
El lado exterior de un muro de ladrillo de 0,1 m de espesor (k = 0,7 W/mK) se expone a un viento frio a 270 K con un coeficiente de transferencia de calor por convección de 40 W/m2 K. En el lado interior del muro el aire esta a 330 K, con un coeficiente de
transferencia de calor por convección de 10 W/m2 K.
Determine el flujo de calor en estado estable, así como las temperaturas de las superficies interior y exterior del muro.
h2
Paredes en serie
Resistencia térmica total
Tα1
Tα2
e1 x
q
(k =ctte) RT R1 R2 R3 R4
Flujo se calor
4 3
2 1
2
1 )
' (
R R
R R
T q T
R2
q’
h1
R1 R4
e2
R3
h2
Coeficiente global de transferencia
Resistencia térmica total
Tα1
Tα2
e1 x
q’
(k =ctte)
2 2
2 1
1 1
1 1
Ah Ak
e Ak
e
Ri Ah
Flujo se calor
T UA
q '
R2
q’
h1
R1 R4
e2
R3
Cuando el área es constante
1 ) ( 1
1
2 2
2 1
1
1 k h
e k
e h
Ri A
Ri
U 1
Coeficiente global de transferencia
La pared compuesta de un horno, consiste en tres
materiales, dos de los cuales son de conductividad térmica conocida, kA =20 W/mºK y kC =50W/mºK. De espesores
conocidos e1=0.20 m y e3=0.15 m. el tercer material B que se intercala entre A y C tiene espesor conocido e2=0.15 m,
pero conductividad kB desconocida. En condiciones de estado estable, las mediciones indican que la pared de la superficie externa en el material C es de 20ºC y la superficie interna del horno está a 600ºC, con una temperatura del aire en el horno de 800ºC. Se sabe que el coeficiente
convectivo en el interior del horno es de 25 w/m2 ºK.
Calcular el valor de kB.
Consideremos la conducción estacionaria de calor a través de un tubo que fluye agua caliente. Se sabe que se pierde calor de forma continua hacia el exterior a través de la pared del tubo en forma normal a su superficie y no tiene lugar alguna transferencia de calor significativa en ella en otras direcciones.
Recuerde que la transferencia de calor en cierta dirección es impulsada por el gradiente de temperatura en esa dirección.
Sistemas Radiales : Tubo
Sistemas Radiales: Tubo
Distribución de temperatura
Ctte qr )
(
T2
T1
r1
r2
dr kA dT
q '
1 2
2 1
ln
) (
' 2
r r
T T
L
q k
L
2 )
) (ln(
) ' (
1 2
2 1
Lk r r
T q T
Lk r R
TCr
2
) ln(
2 1
Sistemas Radiales: Tubo
T2
T1
r1
r2
RTC L
Considerando convección
2 2 1
2 1
1
2 1
2 ) 1
2
) (ln(
2
1
) ' (
h Lr Lk
r r
h Lr
T q T
T1 r1
r2
R2
Tα1 Tα2
h1
h2
R1 R3
3 2
1
2
1 )
' (
R R
R
T q T
Paredes compuestas
2 4 3
4 2
3 1
2 1
1
2 1
2 ) 1
2
) (ln(
2 )
) (ln(
2 )
) (ln(
2 1
) ' (
h Lr Lk
r r Lk
r r Lk
r r h
Lr
T q T
C B
A
5 4
3 2
1
2
1 )
' (
R R
R R
R
T q T
h1
h2
2 4 1 3
4 1
2 3 1
1 2 1
1
1 1
) ln(
) ln(
) 1 ln(
1
h r r r
k r r r
k r r r
k r r h
U
C B
A
) ) (
' ( 1 2 U1A1 T1 T 2 R
T q T
i
Referida al área interior En general:
1 4
4 3
3 2
2 1
1A U A U A U A ( Ri ) U
Se tiene un tubo de acero(k=60.7 W/mºK) de 48 mm de diámetro exterior y 34mm de diámetro interior que transporta un refrigerante. La
temperatura de la pared interior del tubo es de - 15ºC. Se desea que la ganancia de calor que tiene el refrigerante a través del tubo desnudo se
reduzca en un 25%, forrando la tubería con un
aislante de conductividad térmica 0.74 W/mºK. La temperatura del aire ambiente es de 21ºC y el
coeficiente convectivo 20 W/m2 ºK. Calcular el espesor de aislante requerido.
EJEMPLO
Sistemas Radiales: Esfera
Consideremos la conducción
estacionaria de calor a través
de una capa esférica que
contiene. Si la temperatura
del interior de la esfera es
mayor a la temperatura
exterior, se sabe que se
pierde calor de forma
continua hacia el exterior a
través de la capa de la esfera
en forma normal a su
superficie.
El espesor pequeño de la capa de la esfera hace que el gradiente de temperatura en esa dirección sea grande. Además, si las
temperaturas dentro y fuera de la esfera permanecen constantes,
entonces la transferencia de calor a través de la pared esférica se puede considerar como
estacionaria y unidimensional.
En este caso, la temperatura de la pared de la esfera presentara
dependencia solo en una dirección (es decir la dirección r) y se puede expresar como T(r).
Sistemas Radiales: Esfera
Ctte qr )
(
2dr kA dT
q '
T2
T1
r1
r2
4 r
2A
2 1
2 1
1 1
) (
' 4
r r
T T
q k
Sistemas Radiales: Esfera
4 )
1 (1
) ' (
2 1
2 1
k r r
T q T
2 1
1 2
4 kr r r R
TCr
Sistemas Radiales: Esfera
T2
T1
r1
r2
RTC
Considerando convección
2 2 2 2
1 1 2
1 2 1
2 1
4 ) 1
(4 4
1
) ' (
h r k
r r
r r
h r
T q T
T1 r1
r2
R2
Tα1 Tα2
h1
h2
R1 R3
3 2
1
2
1 )
' (
R R
R
T q T
Sistemas Radiales: Esfera
Sistemas Radiales: Tubo
Area Media Logarítmica:
T2
T1
r1
r2
1 2
2 1
ln
) (
' 2
r r
T T
L
q k
L
2 1
2 1
ln
ln A A
A Am A
T2
T1
r1
r2 1 2
2 1
1 1
) (
' 4
r r
T T
q k
Sistemas Radiales: Esfera
2 1
A A A
mG
Area Media Geométrica:
Sistemas con área variable
A dx A
mx
Area Media:
Espesor Económico
Obtener el coste total mínimo cuando se aísla una pared para disminuir el flujo de calor.
COSTOS:
Costo de pérdida (o ganancia) de calor
Costo del sistema de aislamiento
Coste por perdida de energía
Espesor Coste por aislamiento
Perdida o
Aislamient
Total
C C
C
Coste total
Espesor optimo de aislamiento
Espesor Económico
Consideraciones para la selección de un aislante:
Superficies CALIENTES -> Evitar pérdidas de calor :
Selección de la forma física
Temperatura lado caliente
Conductividad térmica
Resistencia al deterioro mecánico
Resistencia a la absorción de humedad
Inflamabilidad
Eliminación y/o reutilización
Riesgos a la salud
Espesor Económico
Superficies FRIAS -> Evitar ganancia de calor
Disminuir el calor que ingresa, que podría
eliminarse refrigerando la instalación ó donde exista líquidos sometidos a su propia presión de
vapor saturado, para disminuir el incremento de su presión
Para impedir ó disminuir la condensación superficial
Para evitar que un fluido cambie de estado por bajas temperaturas
Espesor Económico
Consideraciones para la selección de un aislante:
Superficies FRIAS -> Evitar ganancia de calor
Selección de la forma física
Temperatura de los lados frio y caliente
Dilatación y contracción térmica
Conductividad térmica
Permeabilidad
Riesgos a la salud
Criterios para elegir espesor de aislamiento
SUPERFICIE CALIENTE SUPERFICIE FRIA
Pérdida Térmica máxima permisible
Espesor económico
Razones de seguridad
Máximo incremento de calor permisible
Espesor económico
Limitación de la
condensación
superficial
Superficies extendidas
Superficies extendidas
Se usan superficies extendidas o aletas con el fin de incrementar la razón de transferencia de calor de una superficie, aumentando el área total disponible para la transferencia de calor.
En el análisis de las aletas, se considera estado
estacionario sin generación de energía en la aleta y se supone que la conductividad térmica (k) del material permanece constante.
Superficies extendidas
Area de treansferencia
) (
' hA T T
q
s
Ts
Ta h
Superficies extendidas
Superficies extendidas
0 )
( )
( T T
dx dA k
h dx
A dT dx
d S
C
Superficies extendidas
0 )
1 )(
( 1 )
2 (
2 T T
dx dA k
h A dx
dT dx
dA A
dx T
d S
C C
C
Ecuación de energía para conducción
unidimensional en una superficie extendida.
Superficies extendidas
0 )
2 (
2 T T kA
hP dx
T d
C
Aleta con área uniforme
kAC
m2 hP
mx mx
C e
e C T
T
1
2 0 )
1 )(
( 1 )
2 (
2 T T
dx dA k
h A dx
dT dx
dA A
dx T
d S
C C
C
Superficies extendidas
0 )
2 (
2 T T kA
hP dx
T d
C
Condiciones frontera
mx mx
C e e
C T
T
1
2 Tb
x
L
x=0 T=Tb x=L ?
Condiciones frontera
) cosh(
)) (
cosh(
mL x L
m T
T
T T
b
A)Extremo adiabático
Flujo de calor
0
'
x C
b
dx
kA dT
q’b
q
) tanh(
) (
' hPkA T T mL
q
b
C b
Efectividad de una aleta
) (
'
hA T T
q
b C
b
f
q’b
Se justifica el uso de aleta si la efectividad es mayor a 2
Estudiar: Eficiencia de aletas
Ejemplo
Una aleta de cobre (k = 386 W/mºK) de 15 cm de largo, 5 cm de ancho y 1cm. de espesor, tiene una temperatura en la pared de 204ºC. La aleta se encuentra en un cuarto cuya temperatura del aire es de 21ºC. Calcule el calor perdido por la aleta, (considerar frontera adiabática) si el coeficiente de transferencia de calor entre su superficie y el aire que la rodea es igual a 27,7 W/m2 ºK . Calcular la efectividad de la aleta.