Matemáticas

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Introducci´on al M´etodo Simplex [email protected]

Introducci´on

Forma Estándar Definición Conversión Ejemplo

Solución Básica Definición Ejemplo 1 Ejemplo 2 Solución Básica Factible

Definici´on Ejemplo 1 Correspondencia

Adyacencia Definici´on Ejemplo 1

Simplex Ejemplo 1

Introducci´ on al M´ etodo Simplex

[email protected]

Matem´aticas

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Introducci´on

Simplex Ejemplo 1

Introducci´ on

En esta lectura daremos una introducción al método Simplex desarrollado por George Bernard Dantzig (8 de noviembre de 1914 - 13 de mayo de 2005) en 1947. Este método se basa en la conversión del problema con restricciones con

desigualdades en un problema cuyas restricciones son ecuaciones lineales. Es un m´etodo matricial.

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Introducci´on

Simplex Ejemplo 1

Forma Est´ andar

Definici´on 1.1

Un modelo de PL se dice que está en suforma estándarsi cada restricción es una igualdad y las restricciones de signo para cada variable son del tipo mayor o igual que cero.

Muchos de nuestros modelos recién construidos no están en su forma matricial. No está en la forma estándar:

Max z = 3 x + 2 y sujeto a

2 x + y ≤ 100

x + y ≤ 80

x ≤ 40

x ≥ 0

y ≥ 0

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Introducci´on

Simplex Ejemplo 1

Conversi´ on

El algoritmo Simplex para resolver modelos de programación lineal requiere que el modelo esté en su forma estándar. Lo que se hace es convertir el modelo a la forma estándar. Esto se logra introduciendo nuevas variables, algunas de las cuales reemplazarán a las variables originales.

I Para cada restricción del tipo ≤ se introduce una nueva variable de holgura (slack variable) s_i que se suma al primer miembro y la desigualdad se convierte en igualdad; se añade la restricción de signo a la nueva variable s_i ≥ 0.

I Para cada restricción del tipo ≥ se introduce una nueva variable de exceso (excess variable) e_i que se resta al primer miembro y la desigualdad se convierte en igualdad; se añade la restricción de signo a la nueva variable e_i ≥ 0.

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Introducci´on

Simplex Ejemplo 1

Continuando con la conversi´on:

I Para cada variable x_i que tiene restricción de signo del tipo ≤ 0, se cambian todas las apariciones de xi en el modelo por la expresión −x_i⁰ donde x_i⁰ es una nueva variable con restricción de signo x_i⁰≥ 0.

I Para cada variable x_i que no tiene restricción de signo se cambian todas las apariciones de ella en el modelo por la expresión x_i⁰− x_i⁰⁰ donde x_i⁰ y x_i⁰⁰ son dos nuevas variables con restricción de signo x_i⁰ ≥ 0 y x_i⁰⁰ ≥ 0.

Las conversi´on se realiza en dos fases: en la primera se convierten las desigualdades y en la segunda se aplican las reglas para las variables que en el modelo original tiene signo no positivo o no tienen restricci´on de signo.

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Introducci´on

Simplex Ejemplo 1

Ejemplo

Convierta a la forma est´andar:

2 x + y ≤ 100 : R₁ x + y ≥ 80 : R₂ x ≤ 40 : R₃ y ≤ 0 : R4

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Introducci´on

Simplex Ejemplo 1

En la primera fase (despu´es de aplicar las reglas relacionadas con restricciones del tipo ≤ o ≥) queda:

2 x + y + s1 = 100

x + y − e₁ = 80

x + s₁ = 40

con x sin restricci´on de signo, y ≤ 0, s1 ≥ 0, e₁ ≥ 0, y s₂≥ 0.

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Introducci´on

Simplex Ejemplo 1

Para la segunda fase obtenemos:

Max z = 3 x⁰− 3 x⁰⁰− 2 y⁰ sujeto a

2 x⁰ − 2 x⁰⁰ − y⁰ + s1 = 100

x⁰ − x⁰⁰ − y⁰ − e₁ = 80

x⁰ − x⁰⁰ + s1 = 40

con x⁰≥ 0, x⁰⁰≥ 0, y⁰ ≥ 0, s₁ ≥ 0, e₁≥ 0, y s₂ ≥ 0.

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Introducci´on

Simplex Ejemplo 1

Soluci´ on b´ asica

Definici´on 1.2

Unasoluci´on b´asica(SB) a un sistema de ecuaciones

A x = b con m ecuaciones y con n incógnitas, es decir m × n (n ≥ m) es una solución al sistema que se obtiene haciendo cero n − m variables y que resulta en un sistema con solución única. A una variable de decisión que

deliberadamente se hace cero se le llama variables no básica (VNB) y mientras que a aquélla que se conserva dentro del nuevo sistema se le llamavariable básica (VB).

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Introducci´on

Simplex Ejemplo 1

En términos de Algebra Lineal, este concepto equivale a seleccionar m columnas de A y que éstas formen una base para R^m. Las columnas no seleccionadas corresponden a aquellas variables que se hacen cero deliberadamente. Una vez seleccionadas las columnas el nuevo sistema con el mismo vector de constantes debe resolverse. La solución obtenida se llama solución básica. En términos de matrices, tiene el significado que las variables que no se hacen cero deliberadamente forman una matriz invertible. El proceso para obtener una solución factible corresponde a tomar de A columnas para formar una matriz cuadrada que resulte invertible.

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Introducci´on

Simplex Ejemplo 1

Determine las soluciones b´asicas al sistema:

x₁ + x₂ = 3

− x₂ + x3 = −1 En este caso: m = 2 =n´umero de ecuaciones y

n = 3 =número de incógnitas. Por tanto, las soluciones básicas se obtienen haciendo cero n − m = 3 − 2 = 1 variable. Siendo n = 3 el número de variables, tenemos:

n

n − m

= n!

m! · (n − m)! =

3 1

= 3!

1! × (3 − 1)! = 1 · 2 · 3 1 × 1 · 2 es decir, que en nuestro sistema se tienen 3 posibles

soluciones básicas. Observe que da lo mismo seleccionar qué variables serán básicas (qué columnas se conservarán) o qué variables serán no básicas (columnas se borrarán).

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Revisemos cada alternativa:

I VNBs = {x1}. Haciendo x1= 0 el sistema original queda:

+ x₂ = 3

− x₂ + x₃ = −1 dando como soluci´on :x₁= 0,x₂= 3 yx₃= 2.

I VNBs = {x₂}. Haciendo x₂= 0 el sistema original queda:

+ x1 = 3

+ x3 = −1 dando como soluci´on :x₁= 3,x₂= 0 yx₃= −1.

+ x1 + x2 = 3

− x2 = −1 dando como soluci´on :x1= 2,x2= 1 yx3= 0.

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Introducci´on

Simplex Ejemplo 1

Ejemplo 2

Determine las soluciones b´asicas al sistema:

x₁ + 2 x₂ + x₃ = 1 2 x₁ + 4 x₂ + x₃ = 3 En este ejemplo hay 3!/(1! × (3 − 1)!) = 3 posibles soluciones b´asicas.

I VNBs = {x1}. Haciendo x₁ = 0 el sistema original queda:

+ 2 x₂ + x₃ = 1 + 4 x₂ + x₃ = 3

dando como soluci´on : x₁= 0, x₂ = 1 yx₃ = −1.

I VNBs = {x₂}. Haciendo x₂ = 0 el sistema original queda:

+ x1 + x3 = 1 + 2 x1 + x3 = 3

dando como soluci´on :x1= 2, x2 = 0 y x3 = −1.

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x₁ + 2 x₂ = 1 2 x₁ + 4 x₂ = 3

este sistema es inconsistente. Por tanto, no hay soluci´on b´asica correspondiente a VNBs = {x₃}.

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Introducci´on

Simplex Ejemplo 1

Soluci´ on b´ asica

Definici´on 1.3

Unasolución básica factible (SBF) a un sistema de ecuaciones A x = b m × n (n ≥ m) es una solución básica con valores no negativos para las variables de decisión.

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Introducci´on

Simplex Ejemplo 1

Determina las soluciones básicas factibles del sistema estándar correspondiente a la región que definen las restricciones

x₁ + x₂ ≤ 40 2 x1 + x2 ≤ 60 y x1, x2≥ 0.

La forma est´andar es:

x₁ + x₂ + s₁ = 40

2 x1 + x2 + s2 = 60

y cumpliendo x1, x2, s1, s2≥ 0. Y en la forma estándar n = 4 (número de variables) y m = 2 (número de ecuacion es), y por consiguiente el número de posibles soluciones básicas es:

n m

= 4!

2! · (4 − 2)! = 1 · 2 · 3 · 4 1 · 2 · 1 · 2 = 6

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En este caso desaparecemos 4 − 2 variables para obtener las SB:

I VNBs {x1= 0, x2= 0} → VB {s1= 40, s2= 60}A(0,0)

I VNBs {x1= 0, s1= 0} → VB {x2= 40, s2= 20}B(0,40)

I VNBs {x1= 0, s2= 0} → VB {x2= 60, s1= −20}C(0,60), no es soluci´on b´asica factible

I VNBs {x2= 0, s1= 0} → VB {x1= 40, s2= −20}D(40,0), no es soluci´on b´asica factible

I VNBs {x₂= 0, s₂= 0} → VB {x₁= 30, s₁= 10}E(30,0)

I VNBs {s₁= 0, s₂= 0} → VB {x₁= 20, x₂= 20}F(20,20)

A(0, 0) E (30, 0)

F (20, 20) B(0, 40)

C (0, 60)

D(40, 0)

Figura :Relaci´on entre SBFs y extremos de la RF

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Introducci´on

Simplex Ejemplo 1

Correspondencia

Un punto clave que relaciona la parte geom´etrica con la parte algebraica es el siguiente resultado te´orico:

Teorema

La región factible a un modelo lineal corresponde a un conjunto convexo, y a cada extremo de la región le corresponde una SBF de su forma estándar y a cada SBF le corresponde un extremo de la región factible.

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Introducci´on

Simplex Ejemplo 1

SBF Adyacentes

Definici´on 1.4

Para un modelo PL con m restricciones, dos soluciones básicas factibles se dicen sersoluciones básicas factibles adyacentessi acaso tienen m − 1 variables básicas en común.

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Introducci´on

Simplex Ejemplo 1

Ejemplo

Determine las SBFs y encuentre sus relaciones de adyacencia al siguiente PL:

Maximice z = 4 x₁+ 3 x₂ sujeto a:

x1 + x2 + s1 = 40

2 x₁ + x₂ + s₂ = 60

y cumpliendo x1, x2, s1, s2≥ 0.

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Este problema tiene como FBS:

I NB {x₁ = 0, x₂ = 0} → B {s₁ = 40,s₂ = 60} A(0,0)

I NB {x1 = 0, s1 = 0} → B {x2 = 40,s2 = 20} B(0,40)

I NB {x2 = 0, s2 = 0} → B {x1 = 30,s1 = 10} E(30,0)

I NBs {s1 = 0, s2 = 0} → B {x1 = 20,x2 = 20} F(20,20)

Son adyacentes: A(0,0) y B(0,40), A(0,0) y E(30,0), B(0,40) y F(20,20), y E(30,0) y F(20,20).

A(0, 0) B(0, 40)

E (30, 0) F (20, 20)

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Introducci´on

Simplex Ejemplo 1

Algoritmo Simplex

El algoritmo Simplex procede de la siguiente manera:

1. Convierta el modelo PL a su forma est´andar.

2. Obtenga una SBF a la forma est´andar.

3. Determine si la SBF es óptima: Si hay una variable no básica cuyo aumento hace que el valor actual de la función a maximizar suba, entonces la solución actual no es óptima.

4. Si la SBF no es óptima, determine la variable no-básica que deber´ıa convertise en básica (la de mayor impacto en la función objetivo) y cuál variable básica deber´ıa convertise en una no-básica (la que impone una restricción mayor a la variable de mayor impacto). Con la selección anterior y usando operaciones elementales de renglón determine una SBF nueva adyacente a la anterior.

5. Reinicie con el paso 3 con la nueva SBF.

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Introducci´on

Simplex Ejemplo 1

Ejemplo 1

Muebles Dakota construye escritorios, mesas y sillas. La construcci´on de cada tipo de mueble requiere madera, mano de obra en carpinter´ıa y mano de obra en terminado.

Recurso Escritorio Mesa Silla

Madera(pies) 8 6 1

Terminado (horas) 4 2 1.5

Carpinter´ıa (horas) 2 1.5 0.5 Actualmente se tiene disponibles 48 pies de madera, 20 horas de terminado y 8 horas de carpinter´ıa. Un escritorio se vende en $60, una mesa en $30 y una silla en $20. La compa˜n´ıa cree que la demanda por escritorios y sillas es il´ımitada, pero que a lo m´as 5 mesas se pueden vender.

Como los recursos están disponibles, la compañia sólo desea maximizar las ventas.

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Introducci´on

Simplex Ejemplo 1

El modelo PL se formula como:

I Variables de decisi´on:

I x1= N´umero de escritorios a producirse

I x2= N´umero de mesas a producirse

I x₃= N´umero de sillas a producirse

I Objetivo:

Maximizar ventas z = 60 x₁+ 30 x₂+ 20 x₃

I Restricciones:

I Por madera disponible (pies): 8 x₁+ 6 x₂+ x₃≤ 48

I Por horas de terminado disponibles:

4 x₁+ 2 x₂+ 1,5 x₃≤ 20

I Por horas de carpinter´ıa disponibles:

2 x1+ 1,5 x2+ 0,5 x3≤ 8

I Por demanda: x2≤ 5

I De signo: x1, x2, x3≥ 0

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En la forma estándar con la función objetivo vista a su vez como ecuación queda:

z − 60 x₁ − 30 x₂ − 20 x₃ = 0

8 x₁ + 6 x₂ + x₃ + s₁ = 48

4 x₁ + 2 x₂ + 1,5 x₃ + s₂ = 20

2 x₁ + 1,5 x₂ + 0,5 x₃ + s₃ = 8

x₂ + s₄ = 5