3 Fracciones ANTES DE COMENZAR LA UNIDAD... Entre la proporción divina y la humana

Texto completo

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COMPETENCIA LECTORA

La historia que presentamos se desarrolla en la corte del duque de Milán, Ludovico Sforza, a cuyo servicio estuvieron nuestros dos protagonistas en los últimos años del siglo XV.

Siendo muy conocida la vida de Leonardo da Vinci (1452-1519), nos proponemos en esta página hacer un breve repaso a la vida de Luca Pacioli, más discreta y desconocida que la de su amigo.

Los detalles de la vida de Luca Pacioli son prácticamente desconocidos hasta 1500. Se cree que nació en el año 1445 en el seno de una humilde familia, ingresó en la Orden Franciscana y recorrió diversas ciudades enseñando Matemáticas.

Destacó en contabilidad, disciplina que usa el sistema arábigo para computar y operar con cantidades, siendo sus aportaciones en este campo tan importantes que se le considera el padre de la contabilidad moderna, ya que fue el primero en usar y describir la partida doble contable, también conocida como Método veneciano de contabilidad.

En 1494 publicó una obra titulada: Summa di arithmetica, geometrica, proportione, et proportionalitá,que es un compendio del saber matemático conocido hasta entonces, y es uno de los primeros libros de Matemáticas que se publica

tras la invención de la imprenta.

En 1497 conoció a Leonardo da Vinci, al que le unió una gran amistad, y le enseñó proporcionalidad y perspectiva, mientras que Leonardo ilustró con cuerpos geométricos una de las obras de Pacioli, publicada en 1509 con el título de De divina proportione, en la que se hace referencia a los sólidos platónicos

y las proporciones arquitectónicas recogidas por Vitrubio, y las proporciones se muestran en forma de fracción.

La fecha de su muerte también es desconocida, si bien se supone que aconteció entre 1514 y 1517.

ANTES DE COMENZAR LA UNIDAD...

Entre la proporción divina y la humana

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CURIOSIDADES MATEMÁTICAS

Los números naturales fueron los primeros números utilizados por el hombre y han sido empleados por todas las culturas. Con la evolución del ser humano surgió la necesidad de considerar repartos, herencias, divisiones..., es decir, de hacer fracciones.

El uso de las fracciones es, sin duda, el rasgo más curioso de la Matemática egipcia. Los egipcios solo escribían de manera directa las fracciones unitarias, es decir, aquellas con numerador 1. Para ello ponían

el denominador con un punto encima o con el símbolo .

El sistema de numeración de los egipcios no era posicional y se limitaba a sumar los valores de los símbolos: = 1, = 10, = 100, etc.

= = = =

Para representar cualquier otra fracción, la expresaban como suma de fracciones unitarias, intentando poner el menor denominador posible.

Para poner escribían = +

Para poner escribían = +

Los sumandos tenían que ser diferentes. Así, Ahmes en el papiro Rhind escribe como + , y no como + .1

5 1 5 1

15 1 3 2

5

1 13 1 2 15 26 15

26

1 4 1 3 7 12 7

12

1 5 1

102 1

21 1

3

Fracciones en el antiguo Egipto

Las fracciones se conocen también con el nombre de «quebrados».

El origen de las fracciones o quebrados es muy remoto.

Ya eran conocidos por babilonios, egipcios y griegos. Pero el nombre de fracción se lo debemos a Juan de Luna, que tradujo al latín, en el siglo XII, el libro de Aritmética de Al-Khwarizmi.

De Luna empleó la palabra «fractio»

para traducir la palabra árabe «al-Kasr», que significa quebrar, romper.

Los quebrados

COMPETENCIA LECTORARECURSOS PARA EL AULA

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LEER Y COMPRENDER MATEMÁTICAS

CONTENIDOS PREVIOS

Recuerdes lo que es una fracción y cuáles son sus términos.

CONVIENE QUE…

Lo necesitarás como punto de partida para ampliar tus conocimientos.

PORQUE…

Sepas llevar a cabo la representación de fracciones con gráficos.

CONVIENE QUE…

Te ayudará a comprender algunas propiedades de las fracciones.

PORQUE…

Repases las prioridades en las operaciones combinadas.

CONVIENE QUE…

Tendrás que aplicarlas en las operaciones combinadas PORQUE…

Los términos de una fracción son el NUMERADOR

y el DENOMINADOR.

→ Se lee: tres octavos.

El denominador indica las partes iguales en que se divide la unidad.

El numerador indica las partes que se toman de la unidad.

3 5

25− (4 ⭈ 3 − 2) + 14 : (3 + 4) =

Primero se resuelven las operaciones entre paréntesis:

= 25 − (12 − 2) + 14 : 7 = 25 − 10 + 14 : 7 = Después, las multiplicaciones y divisiones:

= 25 − 10 + 2 = Y, por último, las sumas y restas:

= 17

Para representar fracciones se suelen utilizar figuras geométricas.

Las dividimos en tantas partes iguales como indique el denominador. Después, se marcan las partes que señale el numerador.

5 6

Sepas identificar cuándo una fracción es menor, mayor o igual que la unidad.

CONVIENE QUE…

Te servirá para clasificar las fracciones.

PORQUE…

Numerador Denominador

< 1 = 1 > 1

Numerador< Numerador= Numerador>

< Denominador = Denominador > Denominador 10

8 8

8 3

5

F

F

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o Indican la operación : .

o Indican la operación : 5.

o Indican la operación 3 : 6. 9 3

6 9/ 3 6 9

7 2 7 2

5 / 7 2 5

2 3 4 7 4 7

2 3 / / 4 7 2 3

Indica una fracción.

a/b Indica la misma fracción que la expresión anterior.

Indica una fracción de numerador a y denominador 2.

a/ 2 Indica la misma fracción que la expresión anterior.

a 2 a b

NOTACIÓN MATEMÁTICA

LEER Y COMPRENDER MATEMÁTICAS

¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS?

Una fracción se puede expresar en forma vertical, , u horizontal, 3/5.

Ambas expresiones definen la misma fracción.

3 5

¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS?

m.c.m. (a, b) Indica el mínimo común múltiplo de a y b.

m.c.d. (a, b) Indica el máximo común divisor de a y b.

m.c.m. (12, 21) = 84. El menor número natural que es múltiplo a la vez de 12 y 21 es 84.

m.c.d. (12, 21) = 3. El mayor número natural que es divisor común de 12 y 21 es 3.

¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS?

La línea de fracción horizontal más larga es la que determina el dividendo y el divisor de la operación.

a

b = a/b

RECURSOS PARA EL AULA

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COMPETENCIA MATEMÁTICA

EN LA VIDA COTIDIANA... Ley del oro. La fotografía

En este proyecto pretendemos que aprendas a:

• Emplear las fracciones para indicar la ley de una aleación de oro. • Reconocer la presencia de las fracciones en la fotografía. • Trabajar con fracciones en distintos contextos reales.

El oro es uno de los metales más antiguos conocidos por el hombre. Se han encontrado ornamentos de oro en tumbas egipcias, y su uso como medio de intercam- bio monetario se conoce desde los tiempos bíblicos.

Es este un metal muy escaso y se suele encontrar en yacimientos o filones, y también en pequeñas cantida- des; por ejemplo, las pepitas en la grava de los ríos.

Los principales yacimientos están en África, California, Alaska, Canadá y Sudamérica.

El oro, entre otras propiedades muy apreciadas, es dúc- til y maleable, es decir, con él podemos formar hilos muy finos y láminas extraordinariamente delgadas, por lo cual ha sido utilizado a lo largo de la historia para hacer jo- yas y, en la actualidad, se usa en diversos aparatos elec- trónicos, como los ordenadores.

En la práctica, para trabajar con el oro se le añaden una serie de metales, con objeto de darle mayor consisten- cia y poder utilizarlo más adecuadamente, creando una mezcla o aleación.

Según las aleaciones, la cantidad de oro presente será distinta. Para indicar la proporción de oro que hay en una aleación, llamada ley de la aleación, se utilizó du- rante mucho tiempo una unidad: el quilate.

Así, una joya de oro de 18 quilates quiere decir que los de esa joya son de oro, siendo el resto de otro metal.

De igual forma, una joya de 24 quilates sería una joya

Por tanto, una moneda de oro de 16 quilates y 3 gramos de peso, contendrá: ⭈ 3 = = 2 gramos de oro puro.

RESUELVE ESTAS ACTIVIDADES.

a) ¿Cuántos gramos de oro hay en un collar de 18 qui- lates que pesa en total 6 gramos?

b) ¿Cuántos gramos de oro habrá en un collar de 20 quilates que pesa 5 gramos?

En joyería la ley más usual es de 18 quilates. Al oro se le añaden distintos metales que le dan colores diferen- tes. Por ejemplo, el oro rojo es oro y cobre, y el blanco es oro, de paladio y el resto plata.

RESUELVE ESTAS ACTIVIDADES (suponemos oro de 18 quilates).

a) ¿Cuántos gramos de plata hay en un collar de oro blanco que pesa 10 gramos en total?

b) ¿Cuántos gramos de oro hay en unos pendientes de oro rojo si tienen 3 gramos de cobre?

c) ¿En cuál de estas dos pulseras hay más cantidad de oro? Justifica tu respuesta.

1 10

48 24 16

24

24 18

24

El oro y las fracciones

1

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Si comparas una fotografía actual con una fotografía an- tigua podrás comprobar que la técnica ha avanzado mu- cho. Uno de los aspectos en los que el avance ha sido considerable es la captación de objetos en movimien- to y de instantes que, incluso, no pueden ser aprecia- dos a simple vista.

Para conseguir fotografías que plasmen imágenes en movimiento o fenómenos que ocurran con gran rapidez, necesitamos que la luz incida en la película durante una cantidad de tiempo muy pequeña, durante fracciones de segundo.

El obturador es la ventana que deja pasar la luz para que incida en la película. Si observas una cámara, ve- rás que tiene marcados unos números: 2, 4, 8, 15, 30, 60, 125, 250, 500, 1.000, 2.000… referidos a esa ve- locidad del obturador.

El número 50 significa que el obturador se abre y se cie- rra en de segundo. Las cámaras más modernas tienen velocidades de hasta de segundo.

Cuanto mayor es el denominador de la fracción, pode- mos conseguir fotografiar, con apariencia estática, fe- nómenos que ocurren a gran velocidad.

REALIZA LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES.

a) Si tienes alguna cámara de fotos en tu casa, anota las posibles velocidades del obturador y explica su significado.

b) Algunas cámaras modernas pueden tomar velocida- des de obturador distintas a las señaladas anterior- mente.

Calcula la velocidad de obturador intermedia entre los valores 250 y 500. Para ello suma las fracciones correspondientes y divide entre 2.

c) Calcula la velocidad intermedia entre los valores 500 y 1.000.

Las cámaras más modernas, equipadas con motores, son capaces de hacer hasta 8 fotografías en un solo segundo. Esta velocidad es distinta a la velocidad de obturación, que afectará al resultado de cada una de las fotografías.

Date cuenta de que la velocidad de disparo de la cáma- ra limitará la velocidad de obturación, y viceversa. No podemos hacer en un segundo 8 fotografías con velo- cidad de obturación 2, ya que entonces tardaríamos en hacerlas 8⭈ = 4 segundos.

REALIZA ESTAS ACTIVIDADES.

a) Disparando 8 fotografías por segundo, ¿en cuánto tiempo gastaríamos un carrete de 24 fotos? ¿Y un carrete de 36?

b) Disparando 4 fotografías por segundo, ¿qué veloci- dad de obturación no podemos utilizar? ¿Cuánto tar- daríamos en gastar un carrete de 36 fotografías?

c) ¿Y disparando 2 fotografías por segundo?

Este número de fotografías (8) por segundo es muy alto. Piensa que en el cine se utilizan 24 fotografías, llamadas fotogramas, por segundo; es decir, cada foto- grama del cine es presentado ante nosotros de segundo.

RESPONDE A LAS PREGUNTAS.

a) En un minuto, ¿cuántas fotografías o fotogramas de cine hemos visto? ¿Y en hora y media?

b) Si tuviésemos que pasar todos esos fotogramas a ca- rretes de 36 fotografías, ¿cuántos necesitaríamos?

1 24 1

2

1 8 000. 1

50

Las fracciones en la fotografía

2

COMPETENCIA MATEMÁTICARECURSOS PARA EL AULA

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APLICACIÓN DE ESTRATEGIAS

Planteamiento y resolución

Empezamos resolviendo tres casos sencillos:

• Con 2 jugadores hay: 1 emparejamiento.

• Con 3 jugadores hay: 2 + 1 = 3 emparejamientos.

• Con 4 jugadores hay: 3 + 2 + 1 = 6 emparejamientos.

Siguiendo este procedimiento, con 8 jugadores habrá:

7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28 emparejamientos

Ocho jugadores de tenis participan en un sorteo para emparejarse entre sí en los cuartos de final.

¿De cuántas maneras se pueden hacer los emparejamientos?

Estrategia

Esta estrategia consiste en reducir el problema a casos más simples en los que podamos deducir el proceso para responder al problema planteado.

En una liga de fútbol juegan 20 equipos.

¿Cuántos partidos se jugarán en total sabiendo que cada pareja de equipos se enfrentan una vez en sus respectivos campos?

Este modelo está formado por azulejos blancos y azulejos azules. Su anchura es de 7 azulejos.

En el ayuntamiento hay un modelo como este con anchura de 11 azulejos.

¿Cuántos azulejos contendrá en total?

¿Cuánto valdrá esta suma?

+ + + +

+ + +

¿Puedes obtener su resultado sin efectuar todas las sumas?

Prueba sumando los dos primeros números, los tres primeros…, y comprueba si el resultado te indica el valor total.

1 7 8⋅ 1

6 7⋅ 1

5 6⋅

1 4 5⋅ 1

3 4⋅ 1

2 3⋅ 1

1 2⋅ 3

2 1

ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Método de ensayo y error

PROBLEMA RESUELTO

PROBLEMAS PROPUESTOS Si hay dos jugadores

A y B

1 emparejamiento

A B

A Sí

B

Si hay tres jugadores A, B y C

3 emparejamientos

A B C

A S í S í

B Sí

C

Si hay cuatro jugadores A, B, C y D

6 emparejamientos

A B C D

A S í S í S í

B S í S í

C Sí

D

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MATEMÁTICAS EN EL ORDENADOR

NUEVAS TECNOLOGÍAS

EJERCICIOS

APLICA: De manera análoga a como lo has hecho en la Práctica 1, y en la Unidad03_1a, resuelve los ejercicios 69 y 71 de la página 70.

Haz valer solamente la columna de las sumas.

APLICA: En la misma hoja, en la columna del producto, resuelve los ejercicios 73, 74, 75 y 76 de la página 70.

APLICA: De manera análoga a como lo has hecho en la Práctica 2, y en la Unidad03_2a, resuelve el ejercicio 88 de la página 71.

Guarda el libro con → .

3

2 1

Seleccionar la hoja completa

Contenido

Formato de nombres → fracciones

PRÁCTICA EXCEL

Abre el libro NUMEROS_1 e inserta la hoja Unidad03_1a. Prepara un for- mato especial para operar con fracciones. Selecciona la hoja (con la cruz entre las filas y las columnas) y pulsa el botón izquierdo del ratón.

Activa la opción → y en la ficha selecciona la

opción Fracción | Hasta 3 dígitos tal como se ve en el margen. Observa que EXCEL pone las fracciones en formato mixto, es decir, que si escribes 100/17 en una celda, el programa lo transforma en 5 15/17.

PRÁCTICA 1

(ejercicio 68, pág. 70)

1. Escribe los rótulos del contenido en A1, A2 y de A3 a E3, e introduce las fracciones del apartado a) del ejercicio en las celdas A4:C4.

2. Escribe en la celda D4 la fórmula: para hallar la suma.

3. Para calcular el producto, sitúate en la celda E4 y escribe la fórmula:

. Observa los resultados.

4. Para hacer operaciones combinadas con sumas y diferencias, ten en cuenta que . Por tanto, cuando escribas los valores del apartado b) en la quinta fila, hazlo como ves en el margen: con el valor de la columna B en signo negativo.

5. Copia las fórmulas en las celdas D5:D7 y E5:E7 para calcular la suma y el producto, y continúa hasta completar el ejercicio.

PRÁCTICA 2

(ejercicio 85, pág. 71)

1. Inserta la hoja Unidad03_2a y selecciona el formato de los números para trabajar con fracciones.

2. Escribe los rótulos del contenido de A1 a C3.

3. Introduce los números del apartado a) en las celdas A4:B4.

4. Escribe en la celda C4 la fórmula: . Observa el resultado.

5. Escribe los valores de los otros apartados y copia la fórmula a las celdas C5 a C7.

Escribe en tu cuaderno los resultados de los dos ejercicios.

RECURSOS PARA EL AULA

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