ESTABILIZAÇÃO DE VOO DE UM VAANT BASEADO NA TEORIA DE LYAPUNOV
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(2) ESTABILIZAÇÃO DE VOO DE UM VAANT BASEADO NA TEORIA DE LYAPUNOV 1. INTRODUÇÃO Veículo aéreo autônomo não tripulado (VAANT) é todo o tipo de aeronave que não necessita de pilotos embarcados para ser guiada (NETO, 2008). Existem diferentes tipos e aplicações de VAANTs tanto no uso civil como militar: reconhecimento, combate, transporte de cargas, lazer, entrega de mercadorias, inspeção de linhas de transmissão e também os utilizados para localização e primeiros socorros de pessoas em lugares de difícil acesso. Entre os diversos tipos de VAANTs os mais comuns são os de asa fixa, os quais são muito utilizados para a monitoração e medição de grandes áreas. Os de asas móveis, tais como helicópteros e multicópteros, possuem boa manobrabilidade e precisão (COSTA et al., 2013). Para este trabalho foi escolhido um modelo de asas móveis com quatro hélices (quadcóptero), modelo mais comum em aplicações civis por possuir uma estrutura robusta e de simples manutenção. O objetivo deste trabalho é a obtenção de um controlador para a estabilização de voo de um quadcóptero empregando a teoria da estabilidade de Lyapunov (COSTA et al., 2013). 2. METODOLOGIA Para a realização desse trabalho, fez-se uma revisão bibliográfica para modelagem do dispositivo e obtenção da matriz de conversão de coordenadas. A partir disso, o modelo do controlador obtido baseado na teoria da estabilidade de Lyapunov foi implementado em diagrama de blocos em ambiente de simulação no MATLAB e foram coletados os dados da simulação, sobre os quais as conclusões do trabalho estão baseadas. 3. RESULTADOS e DISCUSSÃO A avaliação clássica da estabilidade de sistemas via ferramentas como o critério de Routh-Hurwitz e o diagrama de Nyquist não podem ser aplicados a sistemas não lineares (CAVALCANTI, 2012). Uma abordagem para determinar a estabilidade de sistemas não lineares e/ou sistemas variantes no tempo é o segundo método de Lyapunov. Seja o sistema descrito por x. x. f ( x, t ) com 0. f (0, t ). (1). onde x é um vetor de n estados e f(x,t) um conjunto de n funções de x e t. Assume-se que o sistema da equação tem uma única solução dada uma condição inicial, essa denotada por )(t; x0 , t0 ) , onde x = x0 em t = t0 e t é o tempo observado. Logo,. )(t; x0 , t0 ). x0. No sistema da Equação 1 define-se um estado de equilíbrio xe onde. (2).
(3) f ( xe , t ) 0 para qualquer t Se o sistema for linear invariante no tempo, ou seja, se f ( x, t ). Ax , há um número. infinito de estados de equilíbrio se A é singular e apenas um estado de equilíbrio se A é não singular, neste caso a origem (CAVALCANTI, 2012). Seja uma região esférica de raio k ao redor de um estado de equilíbrio xe. || x xe ||d k. (3). e seja S (G ) o conjunto de todos os pontos tais que. || x xe ||d G. (4). sendo S (H ) o conjunto de todos os pontos tais que. || )(t; x0 , t0 ) xe ||d H .. (5). Então, um sistema é dito estável no sentido de Lyapunov se uma trajetória iniciada em S (G ) não sai de S (H ) quando t o f . Caso a trajetória deixe as regiões, independente do tamanho de S (G ) ou S (H ) o sistema é dito instável. Porém, se a trajetória não deixa uma região S (H ) e convirja assintoticamente para xe, então o sistema será assintoticamente estável. a. Segundo Método de Lyapunov: O Teorema de Estabilidade de Lyapunov apresenta uma abstração física para qualquer tipo de sistema, criando uma função V ( x) e analisando o x. comportamento de sua derivada V ( x) . Caso seja possível determinar uma função escalar. V ( x) positiva definida e sua derivada negativa definida, o sistema é assintoticamente estável (LYAPUNOV, 1992). Se um sistema tem um estado de equilíbrio assintoticamente estável, então a energia armazenada do sistema deslocado dentro do domínio de atração decresce com o passar do tempo, até que finalmente assume um valor mínimo no estado de equilíbrio (CAVALCANTI, 2012). A escolha da função V ( x) pode ser trabalhosa, normalmente são utilizadas funções quadráticas e funções logarítmicas (COSTA, 2013). Neste caso, será usada a forma quadrática. V ( x). xT Px. (6). onde x são os estados, e P uma matriz positiva definida. Deseja-se controlar a posição angular, isso é feito por um referencial r que a planta deve atingir. Neste caso, r será considerado constante, conhecido na bibliografia como ajuste de setpoint (SPOONER et al., 2002). Seja definido o vetor de erro H como. H. § H1 · § r · § x1 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © H 2 ¹ © 0 ¹ © x2 ¹. onde r é a posição e a velocidade é 0. A função de Lyapunov pode ser definida como. (7).
(4) (8). V (H ) H T PH onde P é uma matriz positiva definida, por exemplo. §p P ¨ 11 © 0. (9). 0 · ¸ p22 ¹. onde p11 , p22 ! 0 . Dessa forma, a função de Lyapunov torna-se. V (H ). p11 (r x1 )2. (10). p22 (0 x2 )2 .. A derivada no tempo de V (H ) é dada por x. x. x. V (H ) 2 p11 (r x1 )( x1 ) 2 p22 (0 x2 )( x 2 ) x. V (H ). 2 p11 x2 (r x1 ) 2 p22 x2. 1 u. jD. (11) (12). Note que x. x. x1. x2. e. x2. 1 u jD. x. Para que V (H ) seja negativa definida, a entrada de controle é escolhida como. u. jD ( p11r p22. p11 x1 x2 ) .. (13). x. Então V (H ) torna-se x. V (H ). (14). 2 x22 .. x. Como V (H ) é negativa definida, isso garante a estabilidade assintótica do sistema. b. Sintonia dos Ganhos de P: Para garantir que o sistema possua um bom desempenho, é feita a escolha adequada dos ganhos p11 e p22 aplicando a entrada (13) ao sistema que representa o espaço de estados (OGATA, 1997), é obtida a expressão. ªxº « x1 » «x» ¬ x2 ¼. ª 0 « p « 11 «¬ p22. 1 º ª x1 º 1 »» « » x p22 »¼ ¬ 2 ¼. ª 0 º « p »r « 11 » «¬ p22 »¼. (15). Para a escolha destes valores, iguala-se os valores a um sistema desejado, fazendo.
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(6) 4. CONSIDERAÇÕES FINAIS Percebe-se da figura 1 que, apesar da presença de ruído, o controlador mostrou um bom desempenho, pois o sistema responde bem ao degrau na entrada. Por se tratar de um sistema que resulta em sistemas desacoplados para cada ângulo (COSTA et al., 2013), o método para obtenção do controlador é de simples aplicação, como foi apresentado ao decorrer do trabalho. Os próximos passos do trabalho são a obtenção de controle automático de todos os graus de liberdade. 5. REFERÊNCIAS ASTROM, K.; WITTENMARK, B. Adaptative control. 2.ed. New York, Addison - Wesley Longman Publishing Co., 1995. 574p. CAVALCANTI, A. S. Estudo e Aplicação de Técnicas de Controle Aplicadas em Veículos Aéreos Não-Tripulados. 121f. 2012. Tese (Doutorado em Sistemas de Energia), Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica, Universidade Federal de Juiz de Fora, Juiz de Fora, 2012. COSTA, E. B. Algoritmos de Controle Aplicados a Estabilização do Voo de um Quadrotor. 133f. 2012. Dissertação (Mestrado em Sistemas de Energia), Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica, Universidade Federal de Juiz de Fora, Juiz de Fora, 2012. COSTA, E. B.; HONÓRIO, L. M.; MARCATO, A. L. M. Controlador Baseado em Estabilidade de Lyapunov para Estabilização do Voo de um Quadrotor. In: 11º Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente. Fortaleza, 2013. Anais. Fortaleza: Sociedade Brasileira de Automática, 2013. LYAPUNOV, A. M. The General Problem of the Stability of Motion. 1.ed. London, Taylor & Francis Ltd, 1992. 270p. NETO, A. A. Geração de Trajetórias para Veículos Aéreos Autônomos Não-Tripulados.124f. 2008. Dissertação (Mestrado em Ciência da Computação), Programa de Pós-Graduação em Ciência da Computação, Universidade Federal de Minas Gerais, Belo Horizonte, 2008. OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno. 5.ed. São Paulo, Pearson Prentice Hall, 2010. 801p..
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