SEGUNDO PARCIAL DE TÉCNICAS CUANTITATIVAS I. Doble Grado ADE-Derecho. 8/1/2021

SEGUNDO PARCIAL DE TÉCNICAS CUANTITATIVAS I. Doble Grado ADE-Derecho. 8/1/2021

APELLIDOS: NOMBRE:

DNI: GRUPO:

A

Cada pregunta tipo test vale 0,3 puntos. Cada pregunta tipo test incorrecta resta 0,1 puntos. Pueden dejarse preguntas sin responder (0 puntos). Haga una circunferencia alrededor de la letra de la respuesta elegida. Cada apartado de los problemas vale 1 punto.

1. ¿Cuál de las siguientes igualdades es cierta? A) A B− = AB

B) A B− = AB C) A B− = AB D) A B− = AB

2. Si A⊂ B son dos sucesos con diferentes probabilidades no nulas, entonces:

A) P A( )≥P B( ) B) P A( B)=P A( ) C) P A B( / )=0 D) P A B( / ) 1= 3. La probabilidad de A B C es: A) P A P B A P C B( ) ( / ) ( / ) B) P A P A B P A( ) ( / ) ( B C/ ) C) P C P B C P A C( ) ( / ) ( / B) D) P A P B A P C A( ) ( / ) ( / B) 4. P(X)=0,5 P(Y)=p P(X Y )=0,9 . Si X e Y son incompatibles: A) p=0,4 B) p=0,6667 C) p=0,8 D) p=0,3333

5. Señale la igualdad correcta:

A) A

(

BC

) (

= AB

) (

 AC

)

B) A

(

BC

) (

= AB

) (

 AC

)

C) A

(

BC

) (

= AB

) (

 AC

)

D) A

(

BC

) (

= AB

) (

 AC

)

6. Si X e Y son variables aleatorias independientes es falso que: A) Cov[X,Y]=0 B) Var[X+Y]=Var[X]+Var[Y] C) E[XY]=E[X]E[Y] D) Var[X-Y]=Var[X]-Var[Y] 7. El momento μ 4 es igual a: Α) 𝛼𝛼4−4𝛼𝛼3𝛼𝛼2 + 6𝛼𝛼2𝛼𝛼12 −3𝛼𝛼14 B) 𝛼𝛼₄−4𝛼𝛼₃𝛼𝛼₁+ 6𝛼𝛼₂𝛼𝛼₁2−3𝛼𝛼₁4 C) 𝛼𝛼₄−4𝛼𝛼₃𝛼𝛼₁+ 6𝛼𝛼₂𝛼𝛼₁2−3𝛼𝛼₂4 D) 𝛼𝛼₄−4𝛼𝛼₃𝛼𝛼₁+ 6𝛼𝛼₃𝛼𝛼₁2−3𝛼𝛼₁4

8. ¿Cuál de las siguientes propiedades de la esperanza matemática no es siempre cierta?

A) 2 2

[ ]

0 E X_  −_ E X ≥ B) E aX

[

− =b

]

aE X

[ ]

−b C) E XY

[ ]

=E X E Y

[ ] [ ]

D) E X

[

−Y

]

=E X

[ ] [ ]

−E Y

9. Si X es una variable B(4; 0,1): A) E X

[ ]

=0, 4 σ

[ ]

X =0, 6 B) E X

[ ]

=0,1 σ

[ ]

X =0, 3 C) E X

[ ]

=0, 4 σ

[ ]

X =0,36 D) E X

[ ]

=0,1 σ

[ ]

X =0,09 10. Si X es una variable P(9): A) E X

[ ]

=9 Var X

[ ]

=81 B) E X

[ ]

=9 Var X

[ ]

=3 C) E X

[ ]

=3 Var X

[ ]

=9 D) E X

[ ]

=9 Var X

[ ]

=9 11. Sean X, Y y Z tres sucesos tales que: P(X)=0,53 P(Y)=0,55 P(Z)=0,50

P(X∩Y)=0,27 P(X∩Z)=0,25 P(Y∩Z)=0,22 P(X∩Y∩Z)=0,10 a) Probabilidad de que no ocurra ninguno.

b) Probabilidad de que no ocurra X ni Y pero si Z. 12. Dada la siguiente función de densidad:

0 0 1 0 2 18 ( ) 2 6 18 0 6 x x f x x x x ≤    < ≤  =   _{< ≤}   _<  Calcule: a) Media. b) Función de distribución. c) Mediana.

13.Una empresa recibe cada día un promedio de 4 llamadas de clientes insatisfechos.

a) Probabilidad de que en un día se reciban exactamente 4 llamadas de clientes insatisfechos.

b) Probabilidad de que en 2 o más días de una semana se reciban exactamente 4 llamadas de clientes insatisfechos cada día. Considerando que una semana son sólo 5 días laborables.

SEGUNDO PARCIAL DE TÉCNICAS CUANTITATIVAS I. Doble Grado ADE-Derecho. 8/1/2021

APELLIDOS: NOMBRE:

DNI: GRUPO:

B

Cada pregunta tipo test vale 0,3 puntos. Cada pregunta tipo test incorrecta resta 0,1 puntos. Pueden dejarse preguntas sin responder (0 puntos). Haga una circunferencia alrededor de la letra de la respuesta elegida. Cada apartado de los problemas vale 1 punto.

1. ¿Cuál de las siguientes igualdades es cierta? A) A⊆B ⇒ B⊆A

B) A⊆B ⇒ A⊆B C) A⊆B ⇒ B⊆A D) A⊆B ⇒ B⊆A

2. Si A⊂ B son dos sucesos con diferentes probabilidades no nulas, entonces es falso:

A) P A( )≤P B( ) B) P A( B)=P A( ) C) P B A( / ) 1= D) P A B( / ) 1= 3. P(X)=0,5 P(Y)=p P(XY )=0,9 . Si X e Y son independientes: A) p=0,8 B) p=0,4 C) p=0,6667 D) p=0,3333

4. Señale la igualdad correcta:

A) A

(

BC

) (

= AB

) (

 AC

)

B) A

(

BC

) (

= AB

) (

 AC

)

C) A

(

BC

) (

= AB

) (

 AC

)

D) A

(

BC

) (

= AB

) (

 AC

)

5. Si X e Y son variables aleatorias dependientes con Cov[X,Y]≠0 es falso que:

A)E[X+Y]= E[X]+ E[Y] B)Var[X+Y]=Var[X]+Var[Y] C)E[X-Y]=E[X]-E[Y] D)Var[aX]=a2 Var[X] 6. El momento μ3 es igual a: A) 𝛼𝛼₃+ 3𝛼𝛼₂𝛼𝛼₁−2𝛼𝛼₁3 B) 𝛼𝛼₃ −3𝛼𝛼₂𝛼𝛼₁+ 2𝛼𝛼₁3 C) 𝛼𝛼₃ −2𝛼𝛼₂𝛼𝛼₁+ 3𝛼𝛼₁3 D) 𝛼𝛼₃+ 2𝛼𝛼₂𝛼𝛼₁−3𝛼𝛼₁3

7. Sean X e Y variables aleatorias independientes con varianzas no nulas. Es falso:

A) Var X

[

+ =c

]

Var X

[ ]

B) Var cX

[ ]

=c Var X2

[ ]

C) Var X

[

+Y

]

=Var X

[ ]

+Var Y

[ ]

D) Var X

[

−Y

]

=Var X

[ ]

−Var Y

[ ]

8. Si X es una variable B(4; 0,8):

A) E X

[ ]

=0,8 σ

[ ]

X =0, 4 B) E X

[ ]

=3, 2 σ

[ ]

X =0,64 C) E X

[ ]

=3, 2 σ

[ ]

X =0,8 D) E X

[ ]

=0,8 σ

[ ]

X =0,16

9. Si X es una variable P(3): A) E X

[ ]

=3 Var X

[ ]

=9 B) E X

[ ]

=3 Var X

[ ]

=3 C) E X

[ ]

=3 Var X

[ ]

= 3 D) E X

[ ]

= 3 Var X

[ ]

=3 10.La probabilidad de A B C es: A) P A( )+P B( )+P C( )+P A( B)+P B( C)+P A C(  )−P A(  B C) B) P A( )+P B( )+P C( )−P A( B)−P B( C)−P A C(  )−P A(  B C) C) P A( )+P B( )+P C( )−P A( B)−P B( C)−P A C(  )+P A(  B C) D) P A( )+P B( )+P C( )−P A( B)−P B( C)−P A C(  )+P A(  B C)

11.Las piezas de una factoría se realizan en cuatro máquinas: M1, M2, M3 y M4. La primera máquina produce el 10% de todas las piezas, la segunda produce el 20%, la tercera produce el 30% y la cuarta produce el 40%. Las piezas se almacenan juntas. Sabemos que los porcentajes de piezas defectuosas producidas por cada una de las máquinas son: 1% para M1, 2% para M2, 3% para M3 y 4% para M4.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar una pieza al azar ésta no sea defectuosa y no haya sido producida por la máquina M1?

b) Se ha seleccionado una pieza no defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que no haya sido producida por la máquina M1?

12. La demanda de un producto tiene la siguiente función de distribución:

2 0 0 0 5 20 ( ) 5 10 100 1 10 x x x F x x x x ≤    _{< ≤}  =   _{< ≤}   _<  Obtenga: a) Mediana. b) Función de densidad. c) Media.

13.En las máquinas de un taller se producen 3 averías por término medio a la semana. a) Probabilidad de que en una semana se produzcan exactamente 3 averías.

b) Probabilidad de que en 2 o más semanas de un mes se produzcan exactamente 3 averías cada semana. Considerando que un mes son 4 semanas.

SOLUCIONES. GRUPO A.

11.- a) P X(  Y Z)=P X(  Y Z) 1= −P X(  Y Z) 1 0, 94= − =0, 06 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0, 53 0, 55 0, 50 0, 27 0, 25 0, 22 0,10 0, 94 P X Y Z =P X +P Y +P Z −P X Y −P X Z −P Y Z +P X Y Z = = + + − − − + =        b) P X

(

 Y Z

)

=P Z

( )

−P X

(

Z

)

−P Y

(

Z

)

+P X(  Y Z)=0, 50 0, 25 0, 22 0,10− − + =0,13

O de esta segunda forma:

(

)

(

)

(

)

0, 94 0,81 0,13

P X Y Z =P X Y Z −P X Y = − =

(

)

( ) ( ) ( ) 0, 53 0, 55 0, 27 0,81

P XY =P X +P Y −P X Y = + − =

La justificación gráfica es la siguiente, donde debemos calcular la probabilidad del suceso marcado con líneas horizontales-negras y verticales-azules:

12.- a)

[ ]

2 6 2 6 2 0 2 0 2 1 1 1 ( ) 18 18 18 18 x E X ∞ x f x dx x dx x dx x dx x dx −∞ =

∫

=

∫

+

∫

=

∫

+

∫

= 2 6 2 3 0 2 1 1 2 208 214 3, 96296 18 2 18 3 18 54 54 x x     = _{ } + _{ } = + = =     b) Si x<0 F x( ) x f t dt( ) 0 −∞ =

∫

= Si 0< ≤x 2 0 0 1 ( ) ( ) 18 18 18 x x x t x F x f t dt dt −∞   = = =_{ } =  

∫

∫

Si 2< ≤x 6 2 _{2 2 2 2} 2 0 2 0 2 1 2 2 ( ) ( ) 18 18 18 36 18 36 36 36 x x x _{t t t x x} F x f t dt dt dt −∞     = = + =_{ } +_{ } = + − =    

∫

∫

∫

Si 6<x 6 2 ₂ 2 6 0 2 0 2 1 ( ) ( ) 1 18 18 18 36 x t t t F x f t dt dt dt −∞     = = + =_{ } +_{ } =   _{ }

∫

∫

∫

2 0 0 0 2 18 ( ) 2 6 36 1 6 x x x F x x x x ≤    < ≤  =   _{< ≤}   _<  c)

( )

2

( )

2 0, 5 6 1 0, 5 2 6 18 F = < F = > ⇒ <Me<

( )

2 2 0, 5 18 4, 24264 36 Me F Me Me Me = = ⇔ = ⇔ =

13.-a) X = número de llamadas de clientes insatisfechos/día (Poisson: λ=4)

[

]

444 4 0,19537 4! e P X − = = =

b) Y= número de días con cuatro llamadas de clientes insatisfechos en los 5 días laborables de la semana (Binomial: n=5, p=0,19537)

[

]

[

] [

]

5 0 5 5 1 4 2 1 0 1 1 0,19537 0,80463 0,19537 0,80463 0 1 1 0, 33727 0, 40946 0, 25327 P Y ≥ = −P Y = −P Y = = − _{ } × − _{ } × =     = − − =

SOLUCIONES. GRUPO B.

11.-

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

( )

( )

( )

( 1) 0,10 ( 2) 0, 20 ( 3) 0, 30 ( 4) 0, 40 0, 01 0, 02 0, 03 0, 04 1 2 3 4 : 0, 99 0, 98 0, 97 0, 96 1 2 3 4 P M P M P M P M D D D D P P P P M M M M por el complementario D D D D P P P P M M M M = = = = = = = = = = = = a)

(

)

(

)

(

(

) (

) (

)

)

(

) (

) (

)

( 1) 2 3 4 2 3 4 2 3 4 0,196 0, 291 0, 384 0,871 P D M P D M M M P D M D M D M P D M P D M P D M = = = = + + = + + =            

( )

( )

( )

( 2) ( 2) 0, 20 0, 98 0,196 2 ( 3) ( 3) 0, 30 0, 97 0, 291 3 ( 4) ( 4) 0, 40 0, 96 0, 384 4 D P D M P M P M D P D M P M P M D P D M P M P M = = × = = = × = = = × =   

O de esta segunda forma, usando resultados del apartado b:

( )

1 ( 1) ( ) M 0, 97 0,89794 0,871 P D M P D P D = = × =  b)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

) (

) (

)

( ) ( 1) ( 2) ( 3) ( 4) 1 2 3 4 0,10 0, 01 0, 20 0, 02 0, 30 0, 03 0, 40 0, 04 0, 001 0, 004 0, 009 0, 016 0, 03 D D D D P D P M P P M P P M P P M P M M M M = + + + = = × + × + × + × = + + + = ( ) 1 ( ) 0, 97 P D = −P D =

( )

( )

( )

( 1) 0, 99 0,10 1 1 ₁ 1 _{1 1 1 0,10206 0,89794} 0, 97 ( ) D P P M M M M P P D D P D × = − = − = − = − = 12.- a)

( )

5 5 0, 5

( )

10 1 0, 5 5 10 20 F = < F = > ⇒ <Me<

( )

2 2 0, 5 50 7, 0711 100 Me F Me Me Me = = ⇔ = ⇔ =

b) 0 0 1 0 5 20 ( ) '( ) 2 5 10 100 50 0 10 x x f x F x x x x x ≤    < ≤  = _{= }  _{= < ≤}   _<  c)

[ ]

5 10 5 10 2 0 5 0 5 1 1 1 ( ) 20 50 20 50 x E X ∞ x f x dx x dx x dx x dx x dx −∞ =

∫

=

∫

+

∫

=

∫

+

∫

= 5 10 2 3 0 5 1 1 25 875 155 6, 458333 20 2 50 3 40 150 24 x x     = _{ } + _{ } = + = =     13.-

a) X = número de averías/semana (Poisson: λ=3)

[

]

333 3 0, 22404 3! e P X − = = =

b) Y= número de semanas con tres averías en las 4 semanas del mes (Binomial: n=4, p=0,22404)

[

]

[

] [

]

4 0 4 4 1 3 2 1 0 1 1 0, 22404 0, 77596 0, 22404 0, 77596 0 1 1 0, 36254 0, 41870 0, 21876 P Y ≥ = −P Y = −P Y = = − _{ } × − _{ } × =     = − − =