1.2 Multiplicación de Polinomios. 1.3 División de Polinomios

Clase 1: Divisi´

on de polinomios

• Identificar el grado, coeficiente principal y constante en un polinomio.

• Calcular suma, resta y producto entre polinomios.

• Calcular el cociente y resto aplicando el algoritmo de la divisi´on de polinomios.

• Determinar el grado del cociente en la divisi´on de polinomios.

• Estimar el grado del resto en la divisi´on de polinomios.

1

Polinomios

Un polinomio de gradones una funci´on de la forma

an a0

Coeficiente principal Coeficiente constante

P(x) = an x n

+an₋1x n₋1

+. . .+a1x+ a0

dondenes un n´umero entero no negativo y an6= 0. El grado deP ser´a denotado grad(P).

Ejemplo.

principal 3 constante−6

grado 5

P(x) = 3 x5+ 6x4−23+x2+ 7x −6

1.1

Suma y Resta de Polinomios

Parasumar polinomios se agrupan, sumando o restando, los t´erminos semejantes. Ejemplo. Consideremos los polinomios

P(x) = 4x3+ 5x−6, Q(x) = 3x3−2x2+ 7x, R(x) = 6x3+ 4x2−x+ 5.

Luego,

P(x)−Q(x) +R(x) = (4x3+ 5x−6)−(3x3−2x2+ 7x) + (6x3+ 4x2−x+ 5)

= (4x3−3x3+ 6x3) + (2x2+ 4x2) + (5x−7x−x) + (−6 + 5) agrupar term. semejantes

= 7x3+ 6x2−3x−1 sumar o restar

1.2

Multiplicaci´

on de Polinomios

Paramultiplicar se utiliza la propiedad distributiva del producto y las propiedades de la potenciaci´on. Luego se suman o restan los t´erminos semejantes.

Ejemplo. Consideremos los polinomios

P(x) = 2x2+ 5x−6, Q(x) = 3x2−2x+ 3 Luego,

P(x)·Q(x) = (2x2+ 5x−6)·(3x2−2x+ 3) distributiva = 2x2·(3x2−2x+ 3) + 5x·(3x2−2x+ 3)−6·(3x2−2x+ 3) distributiva

= 6x4−4x3+ 6x2+ 15x3−10x2+ 15x−18x2+ 12x−18 agrupar, sumar o restar = 6x4+ 11x3−22x2+ 27x−18

Ejercicio. SeanP(x) =−x2+x+ 3 yQ(x) =x2+ 5. Calcule

1. P(x) +Q(x) 2. P(x)−Q(x) 3. P(x)·Q(x)

1.3

Divisi´

on de Polinomios

Si P(x),D(x) son polinomios, con grad(P)≥grad(D), entonces existenQ(x),R(x) polinomios tales que

P(x) =D(x)·Q(x) +R(x) dividendo divisor cociente resto ⇐⇒ _DP(₍x_x)₎ =Q(x) +R_D(₍x_x)₎

con 0≤grad(R)<grad(D). Algoritmo de la divisi´on

Elalgoritmopara la divisi´on de polinomios es similar al algoritmo que utilizamos para la divisi´on entre n´umeros naturales. A continuaci´on exhibiremos un ejemplo de divisi´on entre n´umeros naturales, que nos servir´a de modelo para aprender el algoritmo de la divisi´on entre polinomios.

Ejemplo. Para determinar 3415 : 12 debemos tener presente que el algoritmo de la divisi´on sobre los nmeros naturales nos permite determinar n´umeros naturales q y r (cociente y resto, respectivamente) tales que q es el mayor n´umero natural que satisface

12·q <3415 y 0≤r <12

El siguiente algoritmo permite determinarq buscando el mayor d´ıgito, que multiplicado por una potencia de 10 adecuada, no supera dividendo.

3415 : 12 = 200 multiplicar: 200·12 = 2400

−2400 restar

1015 nuevo dividendo

3415 : 12 = 200 + 80 multiplicar: 80·12 = 960

−2400 1015

−960 restar

55 nuevo dividendo

Ahora hemos determinado la mayorunidad (el n´umero 80) tal que 12·80<1015. Finalmente, dividimos 55 en 12 3415 : 12 = 200 + 80 + 4 multiplicar: 4·12 = 48 −2400 1015 −960 55 −48 restar 7 resto Por lo tanto, 3415 = 12·284 + 7 o equivalentemente 3415 12 = 284 + 7 12

grad(P·Q) = grad(P) + grad(Q) Teorema

Ejemplo. SiP(x) = 3x2+x−1,Q(x) =x+ 1 entonces

grad(P·Q) = grad(P) + grad(Q) = 2 + 1 = 3 Calculado el producto entre ambos polinomios se tiene

P(x)·Q(x) = (3x2+x−1)·(x+ 1) = 3x3+ 4x2−1

polinomio de grado 3.

En el algoritmo de la divisi´on para n´umeros naturales, el producto entre el divisor y el cociente no debe superar al dividendo. En el caso de los polinomios, el grado del polinomio resultante al multiplicar el divisor y el cociente no debe superar al grado del dividendo.

Ejemplo. Sean P(x) = 6x2−26x+ 12 yD(x) =x−4. Debemos determinar polinomiosQ(x) yR(x) tales que 6x2−26x+ 12 = (x−4)·Q(x) +R(x)

con 0 ≤ grad(R) ≤ grad(D). Dado que grad(D) = 1 se deduce que grad(R) = 0. Adem´as, grad(Q) debe ser 1 para que

D(x)·Q(x) +R(x) (que es igual aP(x)) sea un polinomio de grado 2. Con esta informaci´on procedemos con la divisi´on 6x2−26x+ 12 : x−4 = 6x multiplicar: 6x(x₋4) = 6x2₋24

−6x2−24x restar

−2x+ 12 nuevo dividendo

6x2−26x+ 12 : x−4 = 6x multiplicar: 6x(x₋4) = 6x2₋24 −6x2−24x −2x+ 12 − −2x+ 8 restar 4 resto As´ı, 6x2−26x+ 12 = (x−4)(6x−2) + 4 ⇐⇒ 6x 2_{−26x+ 12} x−4 = 6x−2 + 4 x−4

Ejercicio. Dados los polinomiosP(x) = 2x4−x3+ 3x+ 4 yQ(x) =x+ 1. 1. Determine el grado del cociente que resulta al dividirP enQ.

2. Determine los posibles grados del resto que resulta al dividirP enQ. 3. Calcule el cociente y resto que resultan al dividirP enQ.

Ejemplo. Sean P(x) = 8x4+ 6x2−3x+ 1 yD(x) = 2x2−x+ 2. Debemos determinar polinomiosQ(x) yR(x) tales que 8x4+ 6x2−3x+ 1 = (2x2−x+ 2)·Q(x) +R(x)

con 0 ≤ grad(R) ≤ grad(D). Dado que grad(D) = 2 se deduce que grad(R) = 0,1. Adem´as, grad(Q) debe ser 2 para que

D(x)·Q(x) +R(x) (que es igual aP(x)) sea un polinomio de grado 4. Con esta informaci´on procedemos con la divisi´on 8x4+ 6x2−3x+ 1 : 2x2−x+ 2 = 4x2 multiplicar: 4x2(2x2₋x+ 2) = 4x3₋2x2₋3x+ 1

−8x4−4x3+ 8x2 restar

4x3−2x2−3x+ 1 nuevo dividendo

Repetimos el proceso usando la ´ultima fila 4x3−2x2−3x+ 1 como dividendo,

8x4+ 6x2−3x+ 1 : 2x2−x+ 2 = 4x2 +2x multiplicar: 6x(x₋4) = 6x2₋24 −8x4−4x3+ 8x2 4x3−2x2−3x+ 1 −4x3−2x2+ 4x restar −7x+ 1 resto As´ı, 8x4+ 6x2−3x+ 1 = (2x2−x+ 2)(4x2+ 2x) + (−7x+ 1) ⇐⇒ 8x 4_{+ 6x}2_{−3x+ 1} 2x2_{−x+ 2} = 4x 2_{+ 2x+} −7x+ 1 2x2_{−x+ 2}

Ejercicio. Dados los polinomiosP(x) = 2x3+ 3x2−4x+ 1 yQ(x) =x2+x+ 1. 1. Determine el grado del cociente que resulta al dividirP enQ.

2. Determine los posibles grados del resto que resulta al dividirP enQ. 3. Calcule el cociente y resto que resultan al dividirP enQ.

Ejercicios

1. Calcule el cociente y el resto en cada una de las siguientes divisiones. Deducir el grado del cociente y posibles grados del resto antes de proceder con la divisi´on.

(a) x4+ 3x3−2x+ 1 dividido enx2−1 (b) x4−3x3+ 3x2−2x+ 1 dividido enx2+ 1

(c) 4x3+ 7x+ 9 dividido en 2x+ 1

(d) x4−x3+ 4x+ 2 dividido enx2+ 3

(e) x5+x4−2x3+x+ 1 dividido enx2+x−1 2. Realizar la operaci´on divisi´on en cada una de las siguientes expresiones, escribiendo su resultado en la forma

P(x) Q(x)=D(x) + R(x) Q(x) (a) x 3_+x2_{−13x+ 10} x−3 (b) x 3_−x2_−4x−1 x+ 2 (c) x 3_−x2_−4x−1 x+ 2 (d) 3x 4_−5x3_−20x−5 x2_{+x+ 3} (e) 2x 4_−x3_{+ 9x}2 x2_{+ 4} (f) 3x 4_−5x3_−20x−5 x2_{+x+ 3} (g) 2x 4_−x3_{+ 9x}2 x2_{+ 4}

3. Determine un polinomio de grado 1 queP(−1) = 1 yP(2) = 0.

4. Determine las constantesayb, en los reales, de modo que el polinomioP(x) =x2+ax+bsatisfaceP(1) = 6 yP(−1) = 3.

Referencia bibliogr´

afica

• Prec´alculo: Matem´aticas para el c´alculo, James Stewart 5ed.

• Prec´alculo: Matem´aticas para el c´alculo, James Stewart 6ed.