INGENIERIA de TELECOMUNICACION

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INGENIERIA de TELECOMUNICACION

ESTADISTICA

2010-2011

PRACTICA 2. PROBABILIDAD Y VARIABLES ALEATORIAS

OBJETIVOS: Introducci´on a la probabilidad mediante experimentos aleatorios. Introducci´on a las variables aleatorias

1. Probabilidad

1. Simular 1000 lanzamientos de una moneda cuya probabilidad de obtener cara (codificada como 1) es de 0.4 y la de obtener cruz (codificada como 0) es de 0.6.¿Cómo se podr´ıa ver que la simulación está funcionando según lo esperado?

>> n=1000; p=0.4; >> u=rand(n,1);

>> m=1*(u<=p)+0*(u>p); >> mean(m) % aprox. 0.40

2. Simular 10 lanzamientos de una moneda cuya probabilidad de obtener cara (codificada como 1) es de 0.4 y la de obtener cruz (codificada como 0) es de 0.6 y localizar en un vector los lanzamientos que son cara.

>> n=10; p=0.4; >> u=rand(n,1); >> m=1*(u<=p)+0*(u>p); >> lanzamiento=(1:n)’ >> datos=[lanzamiento m]; >> localiza=datos(find(datos(:,2)==1))

3. La probabilidad de lluvia en un d´ıa es de p= 0.5. Indicar el código MATLAB/Octave para saber cuál es la probabilidad de que llueva el fin de semana (asumiendo independencia de lluvia entre d´ıas) Compararla con la teórica.

>> p=0.5;

>> prob_teorica = 0.5+0.5-0.5*0.5 prob_teorica =

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% mediante simulacion:

>> u=rand(10000,2) ; % simulamos 2 columnas (s´abado y domingo) >> x=(u<=p); % si u<=p, toma valor 1 y 0 en caso contrario >> w=(x(:,1)==1 | x(:,2)==1); % si llueve el s´abado

% domingo o ambos, w=1 y w=0 en caso

% contrario

>> prob = sum(w)/10000; % aprox. 0.75

4. Indicar el c´odigo MATLAB para calcular la fiabilidad de un sistema de 5 componentes en serie cuya probabilidad de fallo es de 0.05 para cada uno de ellos y donde se supone que los fallos se producen de forma independiente entre s´ı. Compararla con la fiabilidad te´orica.

>> p=1-0.05;

>> prob_fiabilidad_teorica=p^5; prob_fiabilidad_teorica=

0.7738 % mediante simulaci´on:

>> u=rand(1000,5); >> x=(u<=p);

>> w=(x(:,1)==1 & x(:,2)==1 & x(:,3)==1 & x(:,4)==1 & x(:,5)==1); >> prob=sum(w)/1000; % aprox. 0.7738

5. La empresa “Aikon” tiene una planta de fabricación de teléfonos móviles. Se sabe que el 30 % de los teléfonos fabricados en dicha planta son defectuosos. Si un teléfono es defectuoso, la probabilidad de que un robot del Departamento de Calidad de la empresa lo detecte es 0.9 y si no es defectuoso, la probabilidad de que el robot lo considere defectuoso y lo saque de producción es de 0.2. Si un cliente compra dos teléfonos que no han sido sacados de la cadena de producción, ¿cuál es la probabilidad de que sean ambos no defectuosos?

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La soluci´on te´orica es la siguiente: Sean los sucesos A = “ser defectuos”, ¯A = “no ser defectuos”, R =“el robot dice que es defectuoso”, y ¯R = “el robot dice que no es defectuoso”. Los datos del problema nos dicen que:

P(A) = 0.3, P(R|A) = 0.9 y que P(R|A¯) = 0.2, por lo que P( ¯A) = 1−P(A) = 0.7, P( ¯R|A) = 0.1 yP( ¯R|A¯) = 0,8. Se tiene por tanto que la probabilidad de que un tel´efono que no haya sido sacado de la cadena de producci´on sea no defectuoso es:

En MATLAB, podemos calcular la probabilidad, sin necesidad de aplicar el teorema de Bayes. Mediante simulación y a partir de las probabilidades dadas en el problema: 1. Simulamos la fabricación de n móviles (por ej:n = 10000). Sabiendo que el 30 % son defectuosos (el 70 % no son defectuosos).

>> n=10000;

>> n_def=0.3*n; % no de defectuosos

>> n_no_def=0.7*n; % no de no defectuosos

2. Crearemos el vector M, formado por los vectores DEF, y N DEF, que toma valor 1 si el m´ovil fabricado es defectuoso y 0 si no lo es.

>> DEF = repmat(1,n_def,1) ; >> NDEF = repmat(0,n_no_def,1) ; >> M = [DEF ; NDEF];

3. Generamos n´umeros aleatorios mediante el comando rand, de tama˜no n_def y

n_no_def.

>> u_def=rand(n_def,1);

>> u_no_def=rand(n_no_def,1);

4. Mediante la condici´on booleana, y con las probabilidades P(R|A) = 0.9 y P(R|A¯) = 0.2, generamos un vectorR, que indica que el Robot detecta que el m´ovil es defectouso y en efecto lo es (1) y toma valor 0 si lo detecta cuando no lo es.

>> R_DEF = 1*(u_def<=0.9) + 0*(u_def>0.9);

>> R_NDEF = 1*(u_no_def<=0.2) + 0*(u_no_def>0.2); >> R =[ R_DEF ; R_NDEF ];

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5. Finalmente creamos un matriz datos, que contiene en la primera columna el vector M y en la segunda el vector R. Por tanto la probabilidad P( ¯A|R¯), se puede aproximar contando las veces queR = 0 yM = 0, para ello utilizamos en comando find.

>> datos = [ M R ];

>> AIKON = datos(find(datos(:,2)==0)); % finalmente con tabulate

>> tabulate(AIKON) Value Count Percent

0 5631 94.80%

1 309 5.20%

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2. Variables aleatorias

La siguienta tabla resume algunas de las funciones más importantes para la generación de números aleatorios en MATLAB/Octave:

Funci´on Descripci´on Sintaxis

rand no aleatorios∈[0,1] rand(m,n)

unifrnd no aleatorios ∈[a, b] unifrnd(a,b,m,n)

unidrnd no aleatorios discretos∈ {1,2, ..., N} unidrnd(N,m,n)

donde myn, son respectivamente en no de filas y columnas a generar.

2.1. Funciones preliminares ´utiles

1. Genera 100 datos de la distribuci´on uniforme cont´ınuaU(0,1).

>> x=rand(100,1) % ´o x=unifrnd(0,1,100,1)

2. Genera con MATLAB/Octave, 5 lanzamientos de un dado.

>> x=unidrnd(6,5,1) % generamos los 5 lanzamientos

% a partir de una uniforme discreta entre 1 y 6 % otra manera:

>> u=rand(6,1) >> x=floor(6*u+1)

3. Genera con MATLAB/Octave, 5 lanzamientos de 3 dados.

>> x=unidrnd(6,5,3) % generamos los 5 lanzamientos de los 3 dados % a partir de una uniforme discreta entre 1 y 6 % otra manera:

>> u=rand(5,3) >> x=floor(6*u+1)

2.2. Generaci´on de variables aleatorias

1. Supongamos el experimento del lanzamiento de dos monedas. Sea X, la variable aleatoria “n´umero de cruces”. Determina con MATLAB/Octave la funci´on de probabilidad de X.

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>> n=10000; >> u1=rand(n,1); >> u2=rand(n,1);

>> m1=1*(u1<=1/2)+0*(u1>1/2); % generamos los n lanzamientos de las >> m2=1*(u2<=1/2)+0*(u2>1/2); % monedas 1 y 2, con probabilidad

% 1/2 de cruz (=1) y de cara (=0) >> x=m1+m2; % x es la suma de las cruces de ambas monedas

>> tabulate(x) % con tabulate, obtenemos la tabla de frecuencias % absoluta y relativa

Value Count Percent

0 2483 24.83%

1 5006 50.06%

2 2511 25.11%

De este modo hemos aproximado la funci´on de probabilidad te´orica: p(x) =P(X=x)

>> tab=tabulate(x) % guardamos la tabla en una matriz tab

>> bar(tab(:,3)) % representamos el diagrama de barras de las % frecuencias relativas 1 2 3 0 10 20 30 40 50 60 X p(x) 0 1/4 1 1/2 2 1/4

2. Dada la variable aleatoria X, del ejercicio anterior, comprueba los valores te´oricos E[X] y Var[X]. SOLUCI ´ON: XLa esperanza deX es: µ=E[X] = n X i=1 xi×P(X =xi) = 0× 1 4+ 1 1 2+ 2× 1 4 = 1

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Y la varianza: σ2 =Var[X] = n X i=1 (xi−µ)2P(X =xi) = (0−1)2×1 4 + (1−1) 2_×1 2 + (2−1) 2_×1 4 = 1 2 Recuerda: Var[X] =E[X2]−(E[X])2 >> mean(x) % es aproximadamente 1 >> var(x) % es aproximadamente 0.5

3. Elmétodo de la inversa1 de la función de distribución,FX(x), afirma que “si una variable

aletoria X tiene una funci´on de distribuci´on FX(x) que admite inversa, entonces se verifica

que la variable transformada U =FX(X) sigue siempre una distribuci´on uniforme continua

U”.

Este resultado se aplica en la vida real considerando la igualdad u =FX(x) y despejando x en función deu, que vendrá dado porx=F_X−1(u), con lo que si se generau∼ U(0,1) se tiene quex=F_X−1(u) sigue la distribución de X.

Para generaru∼ U con MATLAB/Octave podemos utilizarrand ó unifrnd. a) Sea X una variable aleatoria con función de distribuciónFX(x), dada por:

FX(x) =

0 x <0 1−e−2x 0≤x

¿C´omo simular´ıas valores de la v.a. X?

b) Comprueba con MATLAB/Octave los valores de E[X] y de Var[X].

SOLUCI ´ON:

a) Por el m´etodo de la inversa tenemos que considerando la igualdad u =FX(x), tenemos que para 0≤x, se verifica que:

1−e−2x =u 1−u=e−2x

−1

2log(1−u) =x

Con lo que si generamos u∼ U(0,1), obtendremos quex∼f(x). El pseudoc´odigo ser´ıa:

1: Fijar n= 100

2: Generar n datos u∼ U(0,1)

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4: Tenemos que x∼f(x)

En MATLAB, sobre el Command Window:

>> n=100000; >> u=rand(n,1); >> x = (-1/2)*log(1-u); >> hist(x) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

NOTA:El método de la inversa permite simular variables aleatorias de manera sencilla a partir de v.a.’s uniformes. En este ejercicio se han simulado v.a.’s Exponenciales de parámetroλ= 2. b) Dada la función de distribución deX,FX(x), podemos obtener la función de densidad f(x), sabiendo que f(x) = dFX(x) dx y por tanto: f(x) = 2e−2x x≥0 0 en otro caso µ=E[X] = Z ∞ −∞ xf(x)dx= 1 2 σ2 =Var[X] = Z ∞ −∞ (x−µ)2f(x)dx= Z ∞ −∞ x− 1 2 2 f(x)dx= 1 4 >> mean(x) % es aprox. 0.5 >> var(x) % es aprox. 0.25

NOTA: como se indic´o en el apartado anterior, X ∼ Exp(λ = 2), donde E[X] = 1/λ y Var[X] = 1/λ2.

4. Sea X una variable aleatoria Rayleigh de par´ametro α cuya funci´on de densidad f(x) viene dada por f(x) = αxexp −α 2x 2 x >0 0 resto con media y varianza dadas por

µ=E[X] =

r

π 2α

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σ2 =V [X] = 4−π 2α

a) ¿Cu´al ser´ıa el c´odigo para generar 50 valoresX conα= 0,17?

b) ¿Qu´e procedimientos num´ericos se podr´ıa usar para ver que se ha generado de forma correcta la v.a.X en el apartado anterior?

SOLUCI ´ON:

a) La forma de generarXes a través del método de la función inversa de la función de distribución. Para ello en primer lugar hay que calcular la función de distribución.

F(x) = Rx −∞0dt= 0 x≤0 Rx −∞αtexp − α 2t2 dt=R₀xαtexp −α₂t2dt x >0 con lo que F(x) = ₀ _x_≤₀ α −_α21₂exp −α 2t 2t 0=− exp − α 2x 2 −1= 1−exp −α 2x 2 x >0

que cumple las cuatro propiedades para ser funci´on de distribuci´on (F(−∞) = 0, F(+∞) = 1,

mon´otona no decreciente y continua por la derecha).

En segundo lugar se utiliza el resultado teórico de queY =F(X)sigue, siempre queF admita inversa, una U(0,1). A efectos prácticos este resultado se utiliza generando una u según una

U(0,1) igualando aF(x) y despejandox en función deu. Dado que u >0 se invierte F según la expresión: 1−exp−α 2x 2₌_u 1−u= exp−α 2x 2 x2= −2 α Ln(1−u) x=± r −2 α Ln(1−u)

De la expresi´on anterior se toma la ra´ız positiva para quex > 0 que es donde se ha invertido

F. El pseudoc´odigo ser´ıa: - Generar u seg´un una U(0,1).

- Concluir quex=

q

−2

αLn(1−u) sigue la v.a. requerida (en este caso Rayleigh).

>> y=rand(50,1); >> alpha=0.17;

>> x=sqrt((-2/alpha)*log(1-y));

b) Podemos comprobar que la media observada y la desviaci´on t´ıpica obervada para losxgenerados son parecidos a los valores te´oricos:

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>> media_teorica = sqrt(pi/(2*alpha)); >> media_teorica = 3.0397 >> var_teorica = (4-pi)/(2*alpha); >> var_teorica = 2.5247 >> mean(x) % aprox. 3.0397 >> var(x) % aprox. 2.5247

5. Decir si es verdadera o falsa la siguiente afirmaci´on. En caso de que sea verdadera demostrarlo y en caso de que sea falsa dar un contraejemplo o su valor correcto:

El código en MATLAB/Octave para generar 100 valores de una v.a “ Gompertz generalizada” con función de distribución

F(x) = 1−exp (−exp (x)) 0< x 0 resto es >> x=rand(100,1);

>> g=-log(1-x); % log es logaritmo neperiano SOLUCI ´ON:

X Es falsa. Para generar una v.a. continua cuya funci´on de distribuci´on admita inversa, se considera

F(x) =u

conu∼U(0,1)y se despeja lax. Por lo que

F(x) = 1−exp (−exp (x)) =u 1−u= exp (−exp (x))

ln (1−u) =−exp (x) x= ln (−ln (1−u)) Por tanto el c´odigo en MATLAB ser´ıa:

>> u=rand(1000,1); >> x=log(-log(1-u));

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6. En una caseta de una feria se nos propone el siguiente juego. Hay que elegir un número del 1 al 6. El feriante lanzará tres dados. Si sale el número elegido en los tres dados recibiremos 3 euros, si sale en dos recibiremos 2 euros, si sale en uno recibiremos 1 euro y si no sale en ninguno, pagaremos 1 euro. ¿Es ventajoso el juego para nosotros? Resolverlo con una función MATLAB/Octave.

SOLUCI ´ON:

XCreamos la funci´onjuego3dados.m:

%%% *.m file

function esperanza = juego3dados(n,k) u=unidrnd(6,n,3); a=(u==k); s=sum(a,2); g=-1*(s==0)+1*(s==1)+2*(s==2)+3*(s==3); esperanza=sum(g)/n; %%%

Utilizando esta la funci´onjuego3dados.m, observamos que para cualquier valor dek, la esper-anza es negativa, y por tanto el juego no es ventajoso. Se puede observar que el valor obtenido es aproximadamente el valor te´orico −0.08.

>> esperanza = juego3dados(1000,k)

2.3. Ejercicios propuestos

1. Utiliza el método de la transformación inversa de la función de distribución para generar una variable aleatoria continua cuya función de densidad sea

f(x) = 0 resto 1 18x 0< x <6 a) Calcular E [X].

b) Aplicar el m´etodo de la transformaci´on inversa para generar valores de la v.a.X.PISTA:

determinar en primer lugar la funci´on de distribuci´on FX(x).

c) Escribir el PSEUDOC ´ODIGO para generar valores de la v.a. X.

d) Escribir el c´odigo MATLAB/Octave para genera valores de la v.a.X.

e) Dada la v.a.Y = 1/X, determinar fY (y) por el teorema de la transformaci´on. Verificar quefY (y) cumple las dos propiedades para ser funci´on de densidad.

f) Determinar FY (y) a partir de fY (y) y directamente a partir de la definición FY (y) = P(Y ≤y). Verificar que FY (y) cumple las cuatro propiedades para ser función de dis-tribución.

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h) Comprobar con MATLAB/Octave el valor te´orico de E[Y] por el m´etodo de la inversa aplicado aFY (y).

i) Comprobar con MATLAB/Octave el valor te´orico deE[Y] generando directamenteY = 1/X, con valoresX a partir del apartado c).

j) Comprobar con MATLAB/Octave, utilizando las v.a. X eY anteriores que E 1 X 6 = 1 E[X] (es decir que la esperanza no es un operador no lineal).