Estadística. Examen Final. Convocatoria extraordinaria
26 de junio de 2017
Nombre______________________________________________
Grupo________________________ Número de Examen_______
1. La probabilidad de que un determinado componente dure más de 50 meses es 0.6. ¿Cuántos componentes sería necesario colocar en paralelo para que la probabilidad de que el sistema resultante funcione al cabo de 50 meses sea superior a 0.95? Justifique su respuesta. (2 puntos)
P(funcione)= 1-P(no funcione) = 1-0.4n > 0.95 0.05 > 0.4n
log(0.05) > nlog(0.4) log(0.05)/log(0.4) < n 3.2694 < n
(también se puede resolver probando ns)
2. El 20% de los estudiantes de una clase suspenden matemáticas, el 10% suspenden física y el 25% suspenden matemáticas o física. ¿Cuál es la probabilidad que un estudiante que ha suspendido matemáticas, también haya suspendido física? (2 puntos)
P(matemáticas o física)= P(matemáticas) + P(física) - P(matemáticas y física) 0.25= 0.20 + 0.10 - P(matemáticas y física)
P(matemáticas y física)= 0.05
Entonces:
3. Sea X una variable aleatoria con función de densidad 𝑓(𝑥) = { 𝑘 𝑥3 0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑠𝑖 𝑥 > 1
a) Halle el valor de k que hace que f sea una función de densidad (1 punto) k= 2
b) ¿Cuál es la probabilidad que X sea mayor que 50? (1 punto) Solución: 0.0004
c) ¿Cuál es la esperanza de X? (1 punto) E(X)= 2
d) ¿Cuál es la mediana de X? (1 punto) MED(X)= Sqrt(2)=1.4142
4. Sabemos que la probabilidad de obtener exactamente una cara en cinco lanzamientos de moneda trucada es 0.3955. También sabemos que la probabilidad de obtener exactamente dos caras en cinco lanzamientos de la misma moneda trucada es 0.2637. ¿Cuál es el número medio de caras en cinco lanzamientos de esta moneda trucada? (2 puntos)
P(X=1)=(51)𝑝1𝑝4 = 5 ∗ 𝑝1∗ (1 − 𝑝)4 = 0.395507 P(X=2)=(52)𝑝2𝑝3 = 10 ∗ 𝑝2∗ (1 − 𝑝)3= 0.263718
Dividiendo la segunda entre la primera: 2 ∗ 𝑝1∗ (1 − 𝑝)−1=0.666666 3p= 1-p
4p= 1
5. Sean X e Y dos variables aleatorias normales independientes. X tiene media 10 y desviación estándar 5 e Y tiene media 8 y desviación estándar 7. Utilizando los siguientes resultados obtenidos con Statgraphics calcule:
a. P( 6 ≤ X < 9) (0,5 puntos) 0.420738 - 0.211854 = 0,2089 b. P( X > 9 | Y > 9) (0,5 puntos) 1 - 0.420738 = 0.5793 c. P( X < 9 | X > 4) (0,5 puntos) P( 4< X < 9 |X > 4 )=(0.420738-0.115069)/(1-0.115069)= 0.3454 d. P( X = 9 | X > 4) (0,5 puntos) 0
6. Un partido político obtuvo el 30% de los votos en las últimas elecciones. Los responsables de este partido quieren averiguar si sus últimas campañas publicitarias han aumentado el número de votantes de su partido. En una encuesta realizada a 500 personas, 165 personas afirmaron que votarían a este partido. Según estos resultados ¿podemos afirmar que el porcentaje de votantes ha aumentado? Utilice los siguientes resultados obtenidos con Statgraphics.
Datos de la muestra H0 H1 Tipo p-valor Conclusiones
Solución:
Datos de la muestra H0 H1 Tipo p-valor Conclusiones
n= 500 𝑝̂ = 0.33
p = 0.3 p > 0.3 1 población. Contraste para una proporción. Unilateral 0.0785259 Como p-valor es mayor que 0.05 no podemos rechazar la hipótesis nula. Por tanto no podemos afirmar que la campaña haya aumentado el número de votantes
7. Una empresa quiere implementar un sistema de control de calidad para garantizar la longitud de sus piezas. Para ello ha obtenido 12 muestras con 5 piezas cada una. La siguiente tabla muestra la media y el rango (en mm) de cada una de las muestras.
Número Muestra 1 2 3 4 5 6 Media 307 301 301 299 315 304 Rango 26 28 25 23 17 26 Número Muestra 7 8 9 10 11 12 Media 306 298 312 298 324 314 Rango 28 26 22 21 24 25 𝑋̿ = 306.5833 𝑅̅ = 24.25 Se pide:
a) Calcular la capacidad del proceso. Explica y justifica todos los pasos intermedios. (3 puntos)
𝑋̿ = 306.5833 𝑅̅ = 24.25 𝜎̂ = 𝑅̅ 𝑑2 =
24.25
Entonces los límites de control para la media son: 𝑋̿ ± 3 𝜎̂ √𝑛= 306.5833 ± 3 10.4256 √5 = [292.5959, 320.5707] Y para el rango: [𝐷3𝑅̅, 𝐷4𝑅̅] = [0 ∗ 24.25, 2.114 ∗ 24.25] = [0, 51.2645]
Se sale la muestra 11 por medias, recalculamos:
𝑋̿ = 305 𝑅̅ = 24.2727 𝜎̂ = 𝑅̅ 𝑑2 ̅̅̅=
24.2727
2.326 = 10.4354
Entonces los límites de control para la media son:
𝑋̿ ± 3 𝜎̂ √𝑛= 305 ± 3 10.4354 √5 = [290.9994, 319.0006] Y para el rango: [𝐷3𝑅̅, 𝐷4𝑅̅] = [0 ∗ 24.2727, 2.114 ∗ 24.2727] = [0, 51.3125]
Como todas las muestras están bajo control la capacidad es: 6 ∗ 𝜎̂ = 6 ∗ 10.4354 = 62.6124
b) Basándose en los resultados del apartado anterior, explique detalladamente cuando la compañía tendría sospechas de que hay un fallo en la calidad de sus piezas. (2 puntos)
Cuando al coger una muestra de tamaño 5 su media se salga de [290.9994, 319.0006] o su rango se salga de [0,51.3125]
c) Si la empresa quisiera monitorizar el proceso con muestras de tamaño 3 ¿cuáles serían los nuevos límites de control de medias y rangos? (3 puntos)
Para la media,
𝑋̿ ± 3 𝜎̂
√𝑛= 305 ± 3
10.4354
Para el rango
𝜎̂ = 𝑅̅
𝑑2, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑅̅ = 𝜎̂𝑑2 = 10.4354 ∗ 1.693 = 17.6671 Por lo que sus límites de control son:
[𝐷3𝑅̅, 𝐷4𝑅̅] = [0.136 ∗ 17.6671, 1.864 ∗ 17.6671] = [2.4027, 32.9315]
8. Se sabe que una variable Y está relacionada con las variables explicativas X según el siguiente modelo de regresión (entre paréntesis se muestran los es tadísticos t del modelo)
Y = 1.2 +0.83 log(X1) + 0.77*X2 + 0.9*X3 (5.1) (3.1) (0.95)
Si todas las variables están medidas en las mismas unidades, se pide:
a. Si X1 se incrementa en un 10% (con las demás variables constantes), ¿cuánto se incrementa la Y? (0,5 puntos)
Incremento (Y) = 0.83*Incremento(X1) Incremento (Y) = 0.83*0.1= 0.083 €
b. Si X2 se incrementa en 10 unidades (con las demás variables constantes), ¿cuánto se incrementa la Y? (0,5 puntos)
Incremento (Y) = 0.77*Incremento(X1) Incremento (Y) = 0.77*10= 7.7 €
c. Si el incremento de 10 unidades se produjese en la variable X3, ¿cuánto variaría la Y? (0,5 puntos)
No varia, ya que la variable no es significativa.
d. ¿Qué le sucedería al coeficiente R2 si se eliminase del modelo la variable X3? ¿Y si se elimina la variable X2? Razone ambas respuestas (0,5 puntos)
SI se suprime X3 la variación sería muy pequeña o inexistente, mientras que si lo hace
9. El gerente de un centro comercial está interesado en conocer cómo influye en las compras la renta de sus clientes (expresada en euros) y su edad (1 si el cliente es menor de 25 y 0 si es mayor). Para ello ajusta un modelo y obtiene:
log(𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑎𝑠̂ ) = 0,4 + 0.016 log(𝑅𝑒𝑛𝑡𝑎) − 0,064𝐸𝑑𝑎𝑑
¿Cuál es la diferencia media entre las compras de las personas según su Edad si ambas variables son significativas? (1 punto)
Al ser menor de 25 años (Edad=1) las compras disminuirán en un 0.064*100= 6,4%
10. Se realiza un análisis de regresión entre una variable respuesta y tres variables explicativas. Se estiman varios modelos cuyos resultados se presentan en la tabla adjunta: Modelo X1 X2 X3 R2 M1 t>2 0.30 M2 t>2 0.50 M3 t>2 0.70 M4 t<2 t>2 0.52 M5 t<2 t>2 0.75 M6 t>2 t>2 0.87 M7 t<2 t>2 t>2 0.88
Marque las respuestas correctas (Cada respuesta correcta suma 0,5 puntos. Cada respuesta equivocada restará 0,5 puntos. Las respuestas no contestadas valen 0 puntos)
o Las variables X1, X2, X3 son significativas SI NO
o La variable que mejor explica la variable respuesta es X3 SI NO
o Existe multicolinealidad entre las variables SI NO
o El mejor modelo es M6
