Ejemplo Como 5 > 2 y 2 > -1 entonces 5 > -1 Como 3<5 y 5<9 entonces 3<9

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INECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES DESIGUALDADES

Una desigualdad son dos expresiones aritméticas relacionadas con los operadores de relación: <, >, ≤, ≥

Ley de la tricotomía:

Para cada par de números reales a y b, es verdadera una, y solamente una, de las proposiciones: a < b ó a > b ó a=b

Existen dos clases de desigualdades: las absolutas y las condicionales.

· Desigualdad absoluta es aquella que es válida para cualquier valor que se atribuya a las variables definidas en ella. Por ejemplo: x2 +1 > x

· Desigualdad condicional es aquella que sólo se verifica para ciertos valores de las variables. Por ejemplo: 4x -12 > 0 que solamente satisface para x > 3.

Propiedades de las desigualdades Si (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑) ∈ 𝑅:

Propiedad Descripción Transitiva Si 𝑎 > 𝑏 𝑦 𝑏 > 𝑐, entonces 𝑎 > 𝑐 Si 𝑎 < 𝑏 𝑦 𝑏 < 𝑐, entonces 𝑎 < 𝑐 Ejemplo Como 5 > 2 y 2 > -1 entonces 5 > -1 Como 3<5 y 5<9 entonces 3<9 Suma Si 𝑎 > 𝑏 entonces 𝑎 + 𝑐 > 𝑏 + 𝑐 Ejemplo Como 7 > 2 entonces 7 + 3 > 2 + 3, 10 > 5 Si 𝑎 > 𝑏 𝑦 𝑐 > 𝑑 entonces 𝑎 + 𝑐 > 𝑏 + 𝑑 Si 𝑎 < 𝑏 𝑦 𝑐 < 𝑑 entonces 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑑 Ejemplo Como 6>2 y 7>3 entonces 6+7>2+3 Como 5<7 y 2<6 entonces 5+2<7+6 Multiplicación por un número positivo Si a > b y c > 0 entonces 𝑎𝑐 > 𝑏𝑐 Ejemplo Como 8>4 entonces 8*2>4*2, 16>8 Multiplicación por un número negativo Si a > b y c < 0 entonces 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐 Como 9>5 entonces 9*(-2)<5*(-2),-18<-10

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Mis Notas de Clase Lic. José F. Barros Troncoso 2 Taller de Lógica División por un número positivo Si 𝑎 > 𝑏 𝑦 𝑐 > 0 entonces 𝑎 𝑐 > 𝑏 𝑐 Como 8>6 entonces 8 2> 6 2 , 4 > 3 División por un número negativo Si 𝑎 > 𝑏 𝑦 𝑐 < 0 entonces 𝑎 𝑐 < 𝑏 𝑐 Si 𝑎 < 𝑏 𝑦 𝑐 < 0 entonces 𝑎 𝑐 > 𝑏 𝑐 Como 8>4 entonces −28 > 4 −2 , - 4 <-2 Como 6<9 entonces 6 −3> 9 −3 , -2>-3 𝑎 > 0 si y solamente si, – 𝑎 < 0 𝑎 > 0 si y solamente si, 1 𝑎> 0

Cambio de signo Si 𝑎 > 𝑏 entonces – 𝑎 < −𝑏 Como 5>3 entonces -5<-3 Si 𝑎 ≠ 0 entonces 𝑎2 > 0

INTERVALOS

Subconjunto de los números reales y se clasifican en:

Tipo Definición Grafica

Abierto (𝑎 , 𝑏) = {x 𝜖 𝑅/ 𝑎 < x < 𝑏} Cerrado [𝑎 , 𝑏] = {x 𝜖 𝑅/ 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏} Mixtos [𝑎 , 𝑏)= {x 𝜖 𝑅/ 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏} (𝑎 , 𝑏]= {x 𝜖 𝑅/ 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏} In fin it os (𝑎, ∞) = {𝑥 ∈ 𝑅/𝑥 > 𝑎} − ∞ 𝑎 𝑏 ∞ − ∞ ∞ 𝑎 𝑏 ∞ − ∞ 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 − ∞ ∞ 𝑎 𝑎 𝑏 𝑏 ∞ −∞ 𝑎

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Mis Notas de Clase Lic. José F. Barros Troncoso 3 Taller de Lógica [𝑎, ∞) = {𝑥 ∈ 𝑅/𝑥 ≥ 𝑎} (−∞, 𝑎) = {𝑥 ∈ 𝑅/𝑥 < 𝑎} (−∞, 𝑎] = {𝑥 ∈ 𝑅/𝑥 ≤ 𝑎} INECUACIONES LINEALES

Una inecuación es una desigualdad en la que aparece una incógnita. Si el grado de la inecuación es uno, se dice que la inecuación es lineal.

Resolver una inecuación es encontrar los valores de la incógnita para los cuales se cumple la desigualdad. La solución de una inecuación es, por lo general, un intervalo o una unión de intervalos de números reales.

El método para resolver una inecuación es similar al utilizado para resolver ecuaciones, pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades.

Es conveniente ilustrar la solución de una inecuación con una gráfica. Si la solución incluye algún extremo del intervalo, en la gráfica representamos dicho extremo con un círculo en negrita; en cambio, si la solución no incluye el extremo, lo representamos mediante un círculo blanco (transparente).

Ejercicios: Resolver cada inecuación justificando cada uno de los pasos y expresando el resultado en forma de intervalo y gráficamente

1. 𝑥 + 3 > 7

𝑥 + 3 − 3 > 7 − 3: Por Igualación 𝑥 + 0 > 7 − 3: Inverso aditivo

𝑥 > 7 − 3: Propiedad Modulativa de la suma 𝑥 > 4: Operando

En notación de intervalos, la solución es 𝑥 ∈ (4, ∞) es decir todos los valores reales mayores que 4. Gráficamente ∞ −∞ 𝑎 𝑎 −∞ ∞ 𝑎 −∞ ∞ 𝑎 4 ∞ -∞

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Taller de Lógica

2. 2𝑥 − 4 < 6

2𝑥 − 4 + 4 < 6 + 4: Por igualación 2𝑥 + 0 < 6 + 4: Inverso Aditivo

2𝑥 < 6 + 4: Propiedad Modulativa de la suma 2𝑥 < 10: Operando 2 2𝑥 < 10 2: Por igualación 1𝑥 <10 2: Inverso Multiplicativo 𝑥 <10

2: Propiedad Modulativa de la multiplicación

𝑥 < 5: Operando

En notación de intervalos, la solución es 𝑥 ∈ (−∞, 5), es decir todos los valores reales menores que 5.

Gráficamente 3. 2𝑥−1 3 + 1−2𝑥 2 ≥ 0 2(2𝑥−1)+3(1−2𝑥) 6 ≥ 0 Operando 4𝑥 − 2 + 3 − 6𝑥 ≥ 0(6) Operando 1 − 2𝑥 ≥ 0 Operando 1 − 2𝑥 + 2𝑥 ≥ 0 + 2𝑥 Igualando 1 + 0 ≥ 0 + 2𝑥 Inverso Aditivo

1 ≥ 2𝑥 Propiedad modulativa de la suma 1 2≥ 2𝑥 2 Por igualación 1 2≥ 1. 𝑥 Inverso multiplicativo 1

2≥ 𝑥 Propiedad modulativa de la multiplicación

Gráficamente En forma de intervalo (−∞, 1/2) 5 ∞ -∞ 1/2 ∞ -∞

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Mis Notas de Clase Lic. José F. Barros Troncoso 5 Taller de Lógica 4. 5 >−3𝑥−1 2 > 4 5 ∗ 2 >(−3𝑥−1) 2 ∗ 2 > 4 ∗ 2 Por igualación 10 > −3𝑥 − 1 > 8 Inverso Multiplicativo 10 + 1 > −3𝑥 − 1 + 1 > 8 + 1 Por igualación 11 > −3𝑥 > 9 Inverso aditivo 11 −3 < −3𝑥 −3 < 9 −3 Por igualación −11 3 < 𝑥 < −3 Inverso multiplicativo 5. 𝑥+3 𝑥−1> 0

Inicialmente hallamos los valores críticos igualando el numerador y el denominador a cero

𝑥 + 3 = 0, 𝑥 = −3 𝑥 − 1 = 0, 𝑥 = 1

Los valores críticos son 𝑥 = −3 y 𝑥 = 1. Evaluamos esos valores críticos en la inecuación para ver si satisfacen la inecuación, si la satisfacen pertenecen al conjunto solución de lo contrario no pertenece, veamos

Si 𝑥 = −3 , (−3)+3

(−3)−1= 0

−4= 0, no pertenece al conjunto solución

Si 𝑥 = 1, (1)+3

(1)−1= 4

0= ∞, no pertenece al conjunto solución

En una recta real representamos los valores críticos. Tomamos valores arbitrarios a derecha e izquierda de los valores críticos y lo evaluamos en la desigualdad. Si el valora remplazado satisface la desigualdad, el intervalo al cual pertenece el valor es conjunto solución, veamos

Si 𝑥 = −4, (−4)+3

(−4)−1= −1 −5=

1

5> 0, el intervalo (-∞, −3) es conjunto solución

Si 𝑥 = 0, (0)+3

(0)−1= 3

−1= −3 < 0, el intervalo (-3,1) no es conjunto solución

∞ -∞

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Mis Notas de Clase Lic. José F. Barros Troncoso 6

Taller de Lógica

Si 𝑥 = 2, (2)+3

(2)−1= 5

1= 5 > 0, el intervalo (1,∞) es conjunto solución

Por tanto el conjunto solución de la inecuación 𝑥+3

𝑥−1> 0 es (−∞, −3) ∪ (1, ∞) 6. 3𝑥 + 1 > 5 7.2𝑥 − 3 ≥ 3𝑥 + 1 8. 1 − 2𝑥 ≤ 9 9.𝑥−3 2 < 1 10. 2𝑥 + 1 < 𝑥 11.3𝑥2+ 2𝑥 ≥ 4𝑥 + 2𝑥2 12. 2𝑥(𝑥 + 3) < 3(𝑥2+ 3) 13. 3(𝑥−1) 2 ≤ 𝑥 − 1 14. 𝑥+2 3 > −𝑥 + 2 15. 𝑥−3 2 < 1 16. 𝑥−1 2 + 1 ≥ 𝑥 + 1 17. 10𝑥−15 3𝑥−6 ≤ 3 18. 𝑥+3 𝑥−2< 2 19. Aplicaciones

1. Para un producto determinado la función del ingreso está dada por 𝑅(𝑥) = 40𝑥 y la del costo 𝐶(𝑥) = 20𝑥 + 1600, donde 𝑥 son las unidades vendidas. Para obtener utilidad, el ingreso tiene que ser mayor al costo ¿para qué valores habrá utilidad? Grafique.

𝑅(𝑥) > 𝐶(𝑥) 40𝑥 > 20𝑥 + 1600 40𝑥 − 20𝑥 > 1600

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Mis Notas de Clase Lic. José F. Barros Troncoso 7

Taller de Lógica

𝑥 > 80

En notación de intervalos la solución es (80, ∞) es decir habrá utilidad cuando se venden más de 80 unidades

2. Una compañía de alquiler de vehículos renta un tipo de vehículo en US$33 por día y otro en US$20 día más una tarifa inicial de US$78 ¿Por cuántos días sería más barato rentar el segundo tipo de vehículo? Graficar.

Sea 𝑻𝟏 la tarifa del primer tipo de vehículo es decir:𝑇1 = 33𝑥

Sea 𝑻𝟐 la tarifa del segundo tipo de vehículo es decir 𝑇2 = 20𝑥 + 78

Como vamos a indagar por cuántos días el tipo dos es más barato que el tipo uno 𝑇2 < 𝑇1 20𝑥 + 78 < 33𝑥 78 < 33𝑥 − 20𝑥 78 < 13𝑥 78 13< 𝑥 6 < 𝑥

La solución en forma de intervalo es (𝟔, ∞) es decir que la renta del vehículo tipo 2 es más barata que el tipo uno después del sexto día

3. Una fábrica de camisetas produce N camisetas con un costo de mano de obra total (en dólares) de 1.2N y un costo total por material de 0.3N. Los gastos generales para la planta son de $6000. Si cada camiseta se vende en $3, ¿cuántas camisetas deben venderse para que la compañía obtenga utilidades?

Para obtener utilidad se tiene que cumplir: Ingreso – Costo > 0

Por datos el costo de producción es: 1.2𝑁 + 0.3𝑁 + 6000, y los ingresos 3𝑁 Remplazando 3𝑁 − (1.2𝑁 + 0.3𝑁 + 6000) > 0 3𝑁 − (1.5𝑁 + 6000) > 0 3𝑁 − 1.5𝑁 − 6000 > 0 1.5𝑁 > 6000 ∞ 80 -∞ ∞ 6 -∞

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Mis Notas de Clase Lic. José F. Barros Troncoso 8 Taller de Lógica 𝑁 > 6000 1.5 𝑁 > 4000 Veámoslo

El costo de producir 𝑁 camisetas es: 1.2(4000) + 0.3(4000) + 6000 = 12000 El ingreso por la venta de 𝑁 camisetas es: 3(4000)=12000

Por tanto para obtener utilidad se tienen que vender más de 4000 camisetas

4. El ingreso mensual logrado por vender 𝑥 relojes de pulsera se calcula como 𝑥(40 − 0.2𝑥) U.M. El precio de costo de cada reloj es de 32 U.M. ¿Cuántas unidades deben venderse cada mes para obtener una utilidad de por lo menos 50 U.M.?

Inicialmente hallamos la expresión de la utilidad.

Por datos el ingreso es 𝐼 = 𝑥(40 − 0.2𝑥) y la ecuación de costo 𝐶 = 32𝑥. Como la utilidad es 𝑈 = 𝐼 − 𝐶 , remplazamos

𝑈 = 𝑥(40 − 0.2𝑥) − 32𝑥 Por tanto

𝑈 = 8𝑥 − 0.2𝑥2

La condición es 𝑈 ≥ 50, luego debemos resolver la inecuación 8𝑥 − 0.2𝑥2 ≥ 50

Resolvemos la ecuación 8𝑥 − 0.2𝑥2 = 50, para hallar los valores críticos

8𝑥 − 0.2𝑥2 = 50 8𝑥 − 0.2𝑥2− 50 = 0 Resolviendo por fórmula general

𝑥 = −8 ± √64 − 40 −0.4 𝑥 = −8 ± √64 − 40 −0.4 𝑥 =−8 ± 4.89 −0.4 Tenemos dos raíces

𝑥1 =−8 + 4.89 −0.4 = 7.77 ≅ 8 , y 𝑥2 = −8 − 4.89 −0.4 = 32.2 ≅ 32

Los valores críticos son 8 y 32, los representamos en la recta real y evaluamos valores arbitrarios en los intervalos comprendidos entre los valores críticos en la inecuación original ∞ 8 -∞ 32 10 33 7

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Mis Notas de Clase Lic. José F. Barros Troncoso 9

Taller de Lógica

Si 𝑥 = 7, 8(7) − 0.2(7)2 = 46.8 < 50, no cumple con la desigualdad. Si 𝑥 = 10, 8(10) − 0.2(10)2 = 60 > 50, si cumple con la desigualdad. Si 𝑥 = 33, 8(33) − 0.2(33)2 = 46.2 < 50, no cumple con la desigualdad.

Por tanto el conjunto solución es el intervalo (8,32), es decir que para vender por lo menos 50 U.M. deben venderse entre 8 a 32 relojes al mes

5. Una vendedora tiene un ingreso mensual 𝐼 que se determina por medio de 𝐼 = 1 000 + 0.062𝑆, donde 𝑆 es el volumen de ventas mensuales. ¿Cuánto debe vender para reunir por lo menos $3 500 en un mes?

6. Se pueden gastar máximo $900 en una cámara de video y algunas cintas de video. Planea comprar la cámara en $695 y las cintas en $5.75 cada una. Escriba una desigualdad que se pueda utilizar para encontrar el número de cintas 𝑥 que se podrían comprar ¿Cuántas cintas se podrían comprar? Grafique.

7. Sea 𝑓(𝑥) =3𝑥−6

𝑥+2 una función que representa los beneficios que obtiene una empresa,

siendo x los años de vida de la misma. ¿a partir de qué año la empresa deja de tener pérdidas?

8. Los ingresos mensuales logrados al vender 𝑥 cajas de dulces se calcula como 𝑥(50 − 0.05𝑥) U.M. El precio de costo de cada caja de dulce es de 1.5 ¿Cuántas cajas deben venderse cada mes para lograr una utilidad de por lo menos 60 U.M.?

9. Un vendedor recibe una cantidad fija al mes de 600 €, además de un 5% de las ventas que realice ¿Qué cantidad debe vender para tener un sueldo entre 1200 € y 1500 €? DESIGUALDADES PARA DOS VARIABLES

Si 𝑦 < 𝑥 las soluciones para esta desigualdad son los pares ordenados (𝑥, 𝑦) que satisfacen la desigualdad, como (2,1), (−1, −3), (0, −1) (3

2, 1 2) pero (1,2), (−4, −3), (−1,0) (1 4, 3 4) no lo son.

La gráfica de la desigualdad 𝑦 < 𝑥 consta de los puntos cuya coordenada 𝑦 es menor que la coordenada 𝑥.

Ejercicio. Trace la gráfica de cada desigualdad 1. 𝑦 ≤ 2𝑥 − 1

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Mis Notas de Clase Lic. José F. Barros Troncoso 1 0

Taller de Lógica

Inicialmente graficamos 𝑦 = 2𝑥 − 1

Tenemos dos áreas una que está por encima y la otra por debajo de la gráfica. Tomamos dos valores arbitrarios de cada una de las áreas y lo evaluamos en la desigualdad. La solución de la desigualdad es del área al que pertenece el punto que satisface la desigualdad.

Tomamos un punto por encima de la gráfica, el (0,0), es decir 𝑥 = 0 𝑦 𝑦 = 0, evaluamos en 𝑦 ≤ 2𝑥 − 1

0 ≤ 2(0) − 1 0 ≤ −1 No satisface la desigualdad.

Tomamos un punto por debajo de la gráfica, el (2,1), es decir 𝑥 = 2 𝑦 𝑦 = 1, evaluamos en 𝑦 ≤ 2𝑥 − 1

1 ≤ 2(2) − 1 1 ≤ 3 Si satisface la desigualdad.

Por tanto la solución de la desigualdad son aquellas parejas ordenadas ubicadas en el área donde se encuentra el punto (2,1), es decir aquellas que están por debajo de la gráfica, gráficamente      x y      x y

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Mis Notas de Clase Lic. José F. Barros Troncoso 1 1 Taller de Lógica 2. 𝑥 2+ 𝑦 4< 1 Trazamos 𝑥 2+ 𝑦 4 = 1

Tomamos un punto por debajo de la gráfica, el (1,1), es decir 𝑥 = 1 𝑦 𝑦 = 1, evaluamos en 𝑥 2+ 𝑦 4 < 1 1 2+ 1 4< 1 3 4< 1 Si satisface la desigualdad.

Tomamos un punto por encima de la gráfica, el (2,2), es decir 𝑥 = 2 𝑦 𝑦 = 2, evaluamos en 𝑥 2+ 𝑦 4 < 1 𝟐 𝟐+ 𝟐 𝟒< 𝟏 1 +1 2< 1 1.5 < 1 No satisface la desigualdad.

Por tanto la solución de la desigualdad son aquellas parejas ordenadas ubicadas en el área donde se encuentra el punto (1,1), es decir aquellas que están por debajo de la gráfica, gráficamente            x y

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Mis Notas de Clase Lic. José F. Barros Troncoso 1 2

Taller de Lógica

3. 2(𝑥 − 𝑦) < 𝑦 + 3

Graficamos 𝟐(𝒙 − 𝒚) = 𝒚 + 𝟑

Tomamos un punto

por encima de la gráfica, el (𝟏, 𝟐), es decir 𝒙 = 𝟏 𝒚 𝒚 = 𝟐, evaluamos en 𝟐(𝒙 − 𝒚) < 𝒚 + 𝟑

𝟐(𝟏 − 𝟐) < 𝟐 + 𝟑 𝟐(−𝟏) < 𝟓

−𝟐 < 𝟓 Si satisface la desigualdad.

Tomamos un punto por debajo de la gráfica, el (2, −1), es decir 𝑥 = 2 𝑦 𝑦 = −1, evaluamos en 2(𝑥 − 𝑦) < 𝑦 + 3

2(2 − (−1)) < −1 + 3 2(3) < 2

6 < 2 No satisface la desigualdad.

Por tanto la solución de la desigualdad son aquellas parejas ordenadas ubicadas en el área donde se encuentra el punto (1,2), es decir aquellas que están por encima de la gráfica, gráficamente            x y            x y

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Mis Notas de Clase Lic. José F. Barros Troncoso 1 3 Taller de Lógica 4. 𝑦 ≥ 4𝑥 − 5 5. 𝑥 −4 3 < − 3 2 6. 2(𝑥 − 𝑦) ≥ 𝑥 + 4

SOLUCIÓN GRÁFICA DE UN SISTEMA DE DESIGUALDADES

Para resolver gráficamente un sistema de desigualdades se siguen los siguientes pasos:

 Se grafican las inecuaciones en un solo plano.

 Se evalúan un punto arbitrario de cada región.

 Aquella región en la cual el punto satisfaga las dos inecuaciones es el conjunto solución

Ejercicios. Resuelva gráficamente cada sistema de desigualdades 1. 𝑦 < 2𝑥

𝑦 > 𝑥 + 1

Trazamos las dos graficas

Tenemos 4 áreas, entonces evaluamos un punto de cada área en la desigualdad: Del área 1: tomamos (2,1) es decir 𝑥 = 2 y 𝑦 = 1

           x y                    x y Area 1 Area 2 Area 3 Area 4

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Mis Notas de Clase Lic. José F. Barros Troncoso 1 4

Taller de Lógica

En 𝑦 < 2𝑥:1 < 2(2): 1 < 4 Satisface

En 𝑦 > 𝑥 + 1: 1 > 2 + 1: 1 > 3 No satisface

Del área 2: tomemos (−2, −2) es decir 𝑥 = −2 y 𝑦 = −2 En 𝑦 < 2𝑥: −2 < 2(−2): −2 < −4 No Satisface

En 𝑦 > 𝑥 + 1: −2 > −2 + 1: −2 > −1 No satisface Del área 3: tomemos (−1,1) es decir 𝑥 = −1 y 𝑦 = 1 En 𝑦 < 2𝑥: 1 < 2(−1) :1 < −2 No Satisface

En 𝑦 > 𝑥 + 1: 1 > −1 + 1: 1 > 0 satisface Del área 4: tomemos (3,5) es decir 𝑥 = 3 y 𝑦 = 5 En 𝑦 < 2𝑥:5 < 2(3): 5 < 6 Satisface

En 𝑦 > 𝑥 + 1: 5 > 3 + 1: 5 > 4 satisface

Por tanto la solución al sistema de desigualdad es el conjunto de parejas ordenadas ubicadas en el área 4

2. 2𝑥 + 𝑦 < 3 𝑥 − 2𝑦 ≥ −1 Graficamos

Evaluamos cada una de las áreas

Del área 1: tomamos (2,1) es decir 𝑥 = 2 y 𝑦 = 1

                   x y y = x+1 y = 2x Area 1 Area 2 Area 3 Area 4                    x y Area 1 Area 2 Area 3 Area 4 2x+y<3 x-2y>=-1

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Mis Notas de Clase Lic. José F. Barros Troncoso 1 5

Taller de Lógica

En 2𝑥 + 𝑦 < 3: 2(2) + 1 < 3 5 < 3 No Satisface Del área 2: tomemos (1,0) es decir 𝑥 = 1 y 𝑦 = 0 En 2𝑥 + 𝑦 < 3: 2(1) + 0 < 3: 2 < 3 Satisface En 𝑥 − 2𝑦 ≥ −1: 1 − 2(0) ≥ −1: 1 ≥ −1 Satisface Del área 3: tomemos (−2,0) es decir 𝑥 = −2 y 𝑦 = 0 En 2𝑥 + 𝑦 < 3: 2(−2) + 0 < 3: −4 < 3 Satisface

En 𝑥 − 2𝑦 ≥ −1: −2 − 2(0) ≥ −1: −2 ≥ −1 No Satisface Del área 4: tomemos (1,2) es decir 𝑥 = 1 y 𝑦 = 2

En 2𝑥 + 𝑦 < 3: 2(1) + 2 < 3: 4 < 3 No Satisface

Por tanto la solución al sistema de desigualdad es el conjunto de parejas ordenadas ubicadas en el área 2 3. 𝑥 + 2𝑦 ≤ 48 𝑥 + 𝑦 ≤ 30 2𝑥 + 𝑦 ≤ 50 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0 Graficamos                    x y Area 1 Area 2 Area 3 Area 4 2x+y<3 x-2y>=-1

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Mis Notas de Clase Lic. José F. Barros Troncoso 1 6

Taller de Lógica

Evaluamos cada una de las áreas

Del área 1: tomamos (0,26) es decir 𝑥 = 0 y 𝑦 = 26 En 𝑥 + 2𝑦 ≤ 48: 0 + 2(26) ≤ 48: 52 ≤ 48 No satisface Del área 2: tomemos (0,32) es decir 𝑥 = 0 y 𝑦 = 32 En 𝑥 + 2𝑦 ≤ 48: 0 + 2(32) ≤ 48: 64 ≤ 48 No satisface Del área 3: tomemos (0,52) es decir 𝑥 = 0 y 𝑦 = 52 En 𝑥 + 2𝑦 ≤ 48: 0 + 2(52) ≤ 48: 104 ≤ 48 No satisface Del área 4: tomemos (32,0) es decir 𝑥 = 32 y 𝑦 = 0 En 𝑥 + 2𝑦 ≤ 48: 32 + 2(0) ≤ 48: 32 ≤ 48 Si satisface En 𝑥 + 𝑦 ≤ 30: 32 + 0 ≤ 30: 32 ≤ 30 No Satisface Del área 5: tomemos (28,0) es decir 𝑥 = 28 y 𝑦 = 0 En 𝑥 + 2𝑦 ≤ 48: 28 + 2(0) ≤ 48: 28 ≤ 48 Satisface En 𝑥 + 𝑦 ≤ 30: 28 + 0 ≤ 30: 28 ≤ 30 Satisface

En 2𝑥 + 𝑦 ≤ 50: 2(28) + 0 ≤ 50: 56 ≤ 50 No satisface Del área 6: tomemos (2,2) es decir 𝑥 = 2 y 𝑦 = 2 En 𝑥 + 2𝑦 ≤ 48: 2 + 2(2) ≤ 48: 6 ≤ 48 Satisface En 𝑥 + 𝑦 ≤ 30: 2 + 2 ≤ 30: 4 ≤ 30 Satisface En 2𝑥 + 𝑦 ≤ 50: 2(2) + 2 ≤ 50: 6 ≤ 50 satisface

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Mis Notas de Clase Lic. José F. Barros Troncoso 1 7

Taller de Lógica

Por tanto la solución al sistema de desigualdad es el conjunto de parejas ordenadas ubicadas en el área 6 4. 𝑦 > 3𝑥 − 4 𝑦 < 2𝑥 + 3 5. 3𝑥 + 𝑦 > 4 𝑥 − 2𝑦 < −1 6. 2𝑥 + 𝑦 − 4 > 0 𝑥 − 𝑦 + 1 > 0 7. 6𝑥 − 5𝑦 ≤ 30 4𝑥 + 3𝑦 ≤ 0 8. −𝑥 + 𝑦 ≤ 2 𝑥 + 2𝑦 ≤ 10 3𝑥 + 𝑦 ≤ 15 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0 9. 𝑥 − 𝑦 ≥ 0 𝑦 − 2 ≤ 0 2𝑥 + 𝑦 ≤ 10 𝑦 ≥ 0 10. 𝑦 ≤ 2 𝑥 + 𝑦 ≤ 3 𝑥 ≥ 0 𝑦 ≥ 0 11. 𝑥 ≥ 0 𝑦 ≥ 0 𝑥 + 𝑦 ≥ 2 𝑦 + 𝑦 ≤ 5 Ejercicios

Determine el sistema de inecuaciones que representa la región sombreada

Inicialmente hallamos las ecuaciones de las rectas, identifiquemos como 𝐿1 la recta azul

y 𝐿2 la recta roja. Para hallara las ecuaciones debemos hallar la pendientes.

Para 𝐿1, la recta pasa por los puntos (0,1) y (5/4,3/4) remplazando en la ecuación de la pendiente: 𝑚1 = 𝑦2− 𝑦1 𝑥2 − 𝑥1 = 3 4 − 1 5 4 = −1 5 , remplazando en la ecuación punto pendiente:

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

𝑦 − 1 = −1

5(𝑥 − 0) , luego la ecuación de 𝐿1 es:

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Mis Notas de Clase Lic. José F. Barros Troncoso 1 8

Taller de Lógica

𝑦 = −1 5𝑥 + 1 Realizamos el mismo procedimiento para 𝐿2: , la pendiente es 𝑚2 = 3

, y la ecuación será 𝑦 = 3𝑥 − 3

Consideramos el sistema de inecuación lineal 𝑦 < −1

5𝑥 + 1 ①

𝑦 < 3𝑥 − 3 ②

Lo evaluamos en un punto del área, consideremos el punto (0.5, 0), veámoslo: En ① : 0 < −1

5(0.5) + 1, si se cumple.

En ②: 0 < 3(0.5) − 3, no se cumple

Evaluemos el mismo punto en el sistema de inecuación lineal 𝑦 < −1 5𝑥 + 1 ① 𝑦 > 3𝑥 − 3 ② En ①: 0 < −1 5(0.5) + 1, si se cumple. En ②: 0 > 3(0.5) − 3, si se cumple

Por tanto el sistema de inecuaciones que representa la región sombreada es 𝑦 < −1

5𝑥 + 1 𝑦 > 3𝑥 − 3 Ejercicios

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Mis Notas de Clase Lic. José F. Barros Troncoso 1 9

Taller de Lógica

Ejercicios

Calcule el valor máximo de la función objetivo Z sujeto a las restricciones dadas. 1. Z 3x4y

𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0 2𝑥 + 𝑦 ≤ 5

Graficamos las restricciones

Evaluamos los valores los valores extremos en el objetivo Z: Si 𝑥 = 0 y 𝑦 = 5: 𝑍 = 3(0) + 4(5) = 20

Si 𝑥 = 2.5 y 𝑦 = 0: 𝑍 = 3(2.5) + 4(0) = 7.5 Los valores máximos son 20 y 7.5

2. 𝑧 = 2(𝑥 + 𝑦) 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0 6𝑥 + 5𝑦 ≤ 17 4𝑥 + 9𝑦 ≤ 17

Graficamos las restricciones y tomamos los puntos que cortan los ejes coordenados

Evaluamos los puntos de corte en la función objetivo

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Mis Notas de Clase Lic. José F. Barros Troncoso 2 0

Taller de Lógica  (4.25, 0) ⟹ 𝑧 = 2(4.25 + 0) = 8.5 Máximo

 (0, 1.88) ⟹ 𝑧 = 2(0 + 1.88) = 3.76

 (0, 3.4) ⟹ 𝑧 = 2(0 + 3.4) = 6.88 Máximo La solución se alcanza en los puntos (4.25, 0) y (0, 3.4) 3. 𝑧 = 𝑥 + 3𝑦

𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0 2𝑥 + 3𝑦 ≤ 6 2𝑥 + 𝑦 ≤ 5 𝑥 + 4𝑦 ≤ 6

Graficamos las restricciones

Evaluamos los puntos de corte en la función objetivo 𝑧 = 𝑥 + 3𝑦

 (2.5, 0) ⟹ 𝑧 = 2.5 + 3(0) = 2.5  (3, 0) ⟹ 𝑧 = 3 + 3(0) = 3  (6, 0) ⟹ 𝑧 = 6 + 3(0) = 6 Máximo  (0, 5) ⟹ 𝑧 = 0 + 3(5) = 15 Máximo  (0, 2) ⟹ 𝑧 = 0 + 3(2) = 6  (0, 1.5) ⟹ 𝑧 = 0 + 3(1.5) = 4.5

Los valores máximos se encuentran en los puntos (6,0) y (0, 15) Ejercicios

Determine los valores mínimos de la función objetivo Z sujeta a las restricciones dadas. 1. Z  x 2y

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Mis Notas de Clase Lic. José F. Barros Troncoso 2 1 Taller de Lógica 0, 0 5 4 8 x y x y x y       Graficamos

Evaluamos los puntos de corte en la función objetivo 𝑧 = 𝑥 + 2𝑦

 (8, 0) ⟹ 𝑧 = 8 + 2(0) = 8

 (5, 0) ⟹ 𝑧 = 5 + 2(0) = 5

 (0, 2) ⟹ 𝑧 = 0 + 2(2) = 4

 (0, 5) ⟹ 𝑧 = 0 + 2(5) = 10

Los valores mínimos se encuentran en los puntos (5,0) y (0, 2) 2. 𝑧 = 𝑥 − 3𝑦 0 ≤ 𝑥 ≤ 3 𝑦 ≥ 0 𝑥 + 2𝑦 ≤ 6 𝑥 + 𝑦 ≥ 5 3. 𝑧 = 𝑥 − 𝑦 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0 𝑥 + 𝑦 ≥ 4 𝑥 + 2𝑦 ≤ 10 Problemas de Aplicación

1. Una compañía produce 2 tipos de trituradores de madera, económico y de lujo. El modelo de lujo requiere 3 horas de ensamble y ½ hora de pintura y el modelo

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Mis Notas de Clase Lic. José F. Barros Troncoso 2 2

Taller de Lógica

económico requiere 2 horas de ensamble y 1 de pintura. El número máximo de horas de ensamble disponible es 24 horas por día y el número máximo de horas de pintura disponible es de 8 horas al día.

Organizamos la información en una tabla Económico De Lujo

Ensamble 2 3 ≤ 𝟐𝟒

Pintura 1 1/2 ≤ 𝟖

Escribimos el sistema de desigualdades, consideremos 𝒙 el tiempo requerido por las trituradoras económicas y 𝒚 el tiempo requerido por las trituradoras de lujo

 2𝑥 + 3𝑦 ≤ 24

 𝑥 +1

2𝑦 ≤ 8

Graficamos

Evaluamos las áreas

Del área 1: tomemos (𝟎, 𝟎) es decir 𝒙 = 𝟎 y 𝒚 = 𝟎 En 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 ≤ 𝟐𝟒: 𝟐(𝟎) + 𝟑(𝟎) ≤ 𝟐𝟒: 𝟎 ≤ 𝟐𝟒 Satisface En 𝒙 +𝟏

𝟐𝒚 ≤ 𝟖: 𝟎 + 𝟏

𝟐𝟎 ≤ 𝟖: 𝟎 ≤ 𝟖 Satisface

Del área 2: tomemos (𝟎, 𝟏𝟐) es decir 𝒙 = 𝟎 y 𝒚 = 𝟏𝟐

En 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 ≤ 𝟐𝟒: 𝟐(𝟎) + 𝟑(𝟏𝟐) ≤ 𝟐𝟒: 𝟑𝟔 ≤ 𝟐𝟒 No Satisface Del área 3: tomemos (𝟎, 𝟏𝟖) es decir 𝒙 = 𝟎 y 𝒚 = 𝟏𝟖

En 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 ≤ 𝟐𝟒: 𝟐(𝟎) + 𝟑(𝟏𝟖) ≤ 𝟐𝟒: 𝟓𝟒 ≤ 𝟐𝟒 No Satisface Del área 4: tomemos (𝟎, 𝟎) es decir 𝒙 = 𝟏𝟎 y 𝒚 = 𝟎

En 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 ≤ 𝟐𝟒: 𝟐(𝟏𝟎) + 𝟑(𝟎) ≤ 𝟐𝟒: 𝟐𝟎 ≤ 𝟐𝟒 Satisface En 𝒙 +𝟏 𝟐𝒚 ≤ 𝟖: 𝟏𝟎 + 𝟏 𝟐(𝟎) ≤ 𝟖: 𝟏𝟎 ≤ 𝟖 No Satisface                x y 2x+3y<=24 x+1/2y<=8 Area 1 Area 2 Area 3 Area 4

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Mis Notas de Clase Lic. José F. Barros Troncoso 2 3

Taller de Lógica

Por tanto la solución al sistema de desigualdad es el conjunto de parejas ordenadas ubicadas en el área 1. Indica que con las restricciones dadas máximo se puede 8 unidades por cada tipo de triturador.

2. Una empresa fabrica dos tipos de reguladores eléctricos, uno de los cuales es inalámbrico. El regulador con cableado requiere 2 horas de fabricación y el inalámbrico necesita 4 horas. La compañía solo tiene 800 horas hábiles para utilizarlas en producción y el departamento de empaque puede empacar solo 300 reguladores por día.

a. Escriba las desigualdades que describen las restricciones de producción

b. Trace la gráfica de la región determinada por las restricciones de la producción Organizamos la información en una tabla

Tipo de Reguladores

Con Cableado Inalámbrico

Producción 2 4 ≤ 800

Empaque 1 1 ≤ 300

Escribimos el sistema de desigualdades, consideremos 𝒙 el número de reguladores Con cableado que se producen y 𝒚 el número de reguladores inalámbricos que se producen 2𝑥 + 4𝑦 ≤ 800 𝑥 + 𝑦 ≤ 300 Graficamos                 x y 2x+3y<=24 x+1/2y<=8 Area 1 Area 2 Area 3 Area 4

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Mis Notas de Clase Lic. José F. Barros Troncoso 2 4

Taller de Lógica

Evaluamos las áreas

Del área 1: tomemos (𝟎, 𝟎) es decir 𝒙 = 𝟎 y 𝒚 = 𝟎

En 𝟐𝒙 + 𝟒𝒚 ≤ 𝟖𝟎𝟎: 𝟐(𝟎) + 𝟒(𝟎) ≤ 𝟖𝟎𝟎: 𝟎 ≤ 𝟖𝟎𝟎 Satisface En 𝒙 + 𝒚 ≤ 𝟑𝟎𝟎: 𝟎 + 𝟎 ≤ 𝟑𝟎𝟎: 𝟎 ≤ 𝟑𝟎𝟎 Satisface

Del área 2: tomemos (𝟎, 𝟑𝟓𝟎) es decir 𝒙 = 𝟎 y 𝒚 = 𝟑𝟓𝟎

En 𝟐𝒙 + 𝟒𝒚 ≤ 𝟖𝟎𝟎: 𝟐(𝟎) + 𝟒(𝟑𝟓𝟎) ≤ 𝟖𝟎𝟎: 𝟏𝟒𝟎𝟎 ≤ 𝟖𝟎𝟎 No Satisface En 𝒙 + 𝒚 ≤ 𝟑𝟎𝟎: 𝟎 + 𝟑𝟓𝟎 ≤ 𝟑𝟎𝟎: 𝟑𝟓𝟎 ≤ 𝟑𝟎𝟎 No Satisface

Del área 3: tomemos (𝟎, 𝟒𝟓𝟎) es decir 𝒙 = 𝟎 y 𝒚 = 𝟒𝟓𝟎

En 𝟐𝒙 + 𝟒𝒚 ≤ 𝟖𝟎𝟎: 𝟐(𝟎) + 𝟒(𝟒𝟓𝟎) ≤ 𝟖𝟎𝟎: 𝟏𝟖𝟎𝟎 ≤ 𝟖𝟎𝟎 No Satisface En 𝒙 + 𝒚 ≤ 𝟑𝟎𝟎: 𝟎 + 𝟒𝟓𝟎 ≤ 𝟑𝟎𝟎: 𝟒𝟓𝟎 ≤ 𝟑𝟎𝟎 No Satisface

Del área 4: tomemos (𝟐𝟒𝟎, 𝟎) es decir 𝒙 = 𝟐𝟒𝟎 y 𝒚 = 𝟎

En 𝟐𝒙 + 𝟒𝒚 ≤ 𝟖𝟎𝟎: 𝟐(𝟐𝟒𝟎) + 𝟒(𝟎) ≤ 𝟖𝟎𝟎: 𝟒𝟖𝟎 ≤ 𝟖𝟎𝟎 Satisface En 𝒙 + 𝒚 ≤ 𝟑𝟎𝟎: 𝟐𝟒𝟎 + 𝟎 ≤ 𝟑𝟎𝟎: 𝟐𝟒𝟎 ≤ 𝟑𝟎𝟎 Satisface

Por tanto la solución al sistema de desigualdad es el conjunto de parejas ordenadas ubicadas en el área 1. Indica que con las restricciones dadas, máximo se pueden producir 300 unidades de cada equipo

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Mis Notas de Clase Lic. José F. Barros Troncoso 2 5

Taller de Lógica

3. Una fábrica produce dos tipos de sillas, estándar y afelpadas. Las estándar requieren 2 horas de fabricación y acabado y las afelpadas 3 horas. El tapizado se lleva 1 hora las estándar y 3 las afelpadas. Hay 240 horas al mes disponibles para la fabricación y acabado, y 150 horas para el tapizado.

a. Escriba las desigualdades que describen las restricciones de producción

b. Trace la gráfica de la región determinada por las restricciones de la producción Organizamos la información en una tabla

Tipo de Sillas

Estándar Afelpadas

Fabricación 2 3 ≤ 240

Tapizado 1 3 ≤ 150

Escribimos el sistema de desigualdades, consideremos 𝒙 el número de sillas estándar y 𝒚 el número de sillas afelpadas

2𝑥 + 3𝑦 ≤ 240 𝑥 + 3𝑦 ≤ 150 Graficamos

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Mis Notas de Clase Lic. José F. Barros Troncoso 2 6

Taller de Lógica

Evaluamos las áreas

Del área 1: tomemos (𝟎, 𝟎) es decir 𝒙 = 𝟎 y 𝒚 = 𝟎

En 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 ≤ 𝟐𝟒𝟎: 𝟐(𝟎) + 𝟑(𝟎) ≤ 𝟐𝟒𝟎: 𝟎 ≤ 𝟐𝟒𝟎 Satisface En 𝒙 + 𝟑𝒚 ≤ 𝟏𝟓𝟎: (𝟎) + 𝟑(𝟎) ≤ 𝟏𝟓𝟎: 𝟎 ≤ 𝟏𝟓𝟎 Satisface Del área 2: tomemos (𝟎, 𝟔𝟎) es decir 𝒙 = 𝟎 y 𝒚 = 𝟔𝟎

En 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 ≤ 𝟐𝟒𝟎: 𝟐(𝟎) + 𝟑(𝟔𝟎) ≤ 𝟐𝟒𝟎: 𝟏𝟖𝟎 ≤ 𝟐𝟒𝟎 Satisface En 𝒙 + 𝟑𝒚 ≤ 𝟏𝟓𝟎: (𝟎) + 𝟑(𝟔𝟎) ≤ 𝟏𝟓𝟎: 𝟏𝟖𝟎 ≤ 𝟏𝟓𝟎 No Satisface Del área 3: tomemos (𝟎, 𝟗𝟎) es decir 𝒙 = 𝟎 y 𝒚 = 𝟗𝟎

En 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 ≤ 𝟐𝟒𝟎: 𝟐(𝟎) + 𝟑(𝟗𝟎) ≤ 𝟐𝟒𝟎: 𝟐𝟕𝟎 ≤ 𝟐𝟒𝟎 No Satisface

Del área 4: tomemos (𝟏𝟒𝟎, 𝟎) es decir 𝒙 = 𝟏𝟒𝟎 y 𝒚 = 𝟎

En 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 ≤ 𝟐𝟒𝟎: 𝟐(𝟏𝟒𝟎) + 𝟑(𝟎) ≤ 𝟐𝟒𝟎: 𝟐𝟖𝟎 ≤ 𝟐𝟒𝟎 No Satisface

Por tanto la solución al sistema de desigualdad es el conjunto de parejas ordenadas ubicadas en el área 1. Indica que con las restricciones dadas, máximo se pueden producir 120 sillas estándar y 50 afelpadas.

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Mis Notas de Clase Lic. José F. Barros Troncoso 2 7

Taller de Lógica

4. Una compañía de sillas produce dos modelos de sillas. El modelo Secuoya toma 3 horas de trabajo para ensamblarlo y hora de trabajo para pintarlo. El modelo Saratoga toma 2 horas de trabajo para ensamblarlo y 1 hora de trabajo para pintarlo. El número máximo de horas de trabajo disponibles para ensamblar es de 160 por día, y el número máximo de horas de trabajo disponibles para pintar sillas es de 80 diarias.

a. Escriba las desigualdades que describen las restricciones de producción

b. Trace la gráfica de la región determinada por las restricciones de la producción c. Indique el número máximo de cada silla que se pueden fabricar

5. Una fábrica produce dos tipos de sillas, estándar y afelpadas. Las estándar requieren 2 horas de fabricación y acabado y las afelpadas 3 horas. El tapizado se lleva 1 hora las estándar y 3 las afelpadas. Hay 240 horas al mes disponibles para la fabricación y acabado, y 150 horas para el tapizado.

a. Escriba las desigualdades que describen las restricciones de producción

b. Trace la gráfica de la región determinada por las restricciones de la producción c. Indique el número máximo de cada silla que se pueden fabricar

6. Un fabricante vende sillas y mesas. Para su fabricación, necesita 2 y 5 horas,

respectivamente, de trabajo manual y 1 y 2 horas para pintarlas. Si el fabricante no puede sobrepasar las 200 horas de trabajo manual y 90 horas de pintura, se solicita

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Mis Notas de Clase Lic. José F. Barros Troncoso 2 8

Taller de Lógica

b. Trace la gráfica de la región determinada por las restricciones de la fabricación c. Indique el número máximo de silla y mesas que se pueden fabricar

7. Un comerciante desea comprar enfriadores y lavadoras, que cuestan 500 € y 400 €, respectivamente. Si solo dispone de un sitio para almacenar 50 electrodomésticos, y de 22000 € para invertir, se solicita

a. Escriba las desigualdades que describen las restricciones de fabricación

b. Trace la gráfica de la región determinada por las restricciones de la fabricación c. ¿Qué encuentra?

8. Un pastelero produce dos tipos de bollo. El tipo A lleve 400 g de harina y 100 g de azúcar, mientras que los del tipo B llevan 300 g de harina y 200 g de azúcar, Si el pastelero tiene para cada día 30 Kg de harina y 10 Kg de azúcar. Se solicita: a. Escriba las desigualdades que describen las restricciones de producción. b. Trace la gráfica de la región determinada por las restricciones de producción. c. ¿Cuánto bollos de cada tipo puede producir?

9. En un almacén se guarda aceite de girasol y de oliva. El número de bidones (recipiente hermético utilizado para contener, transportar y almacenar líquidos) de aceite de oliva no debe ser inferior a la mitad del número de bidones de girasol. La capacidad total del almacén es de 150 bidones ¿máximo cuántos bidones de cada tipo se pueden almacenar?

10. Una oficina quiere renovar su mobiliario. Por ello decide adquirir, como mínimo, dos mesas y 8 computadores. Teniendo en cuenta que una mesa cuesta $236 000 y cada computador $1 298 000, y que el presupuesto máximo para estas compras es de 15 000€. Se solicita

a. Escriba las desigualdades que describen las restricciones de producción. b. Trace la gráfica de la región determinada por las restricciones de producción. c. ¿Máximo cuántas mesas y cuántos computadores puede comprar?

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