3.1 Ejercicios. En qué punto de la curva y e x es paralela la recta tangente a la recta

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(1)

SECCIÓN 3.1 DERIVADAS DE FUNCIONES POLINOMIALES Y EXPONENCIALES 181

3.1

Ejercicios

1. (a) ¿Cómo está definido el númeroe?

(b) Use una calculadora para estimar los valores de los límites

y

correctos a dos posiciones decimales. ¿Qué se puede concluir acerca del valor dee?

2. (a) Trace manualmente la gráfica de la función , poniendo especial atención a la forma en que la gráfica cruza el eje y. ¿Qué es lo que permite hacer esto? (b) ¿Qué tipos de funciones son y ?

Compare las fórmulas de derivación para fyt. (c) ¿Cuál de las dos funciones del inciso (b) crece más

rápidamente cuando xes grande?

3–26 Derive la función. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. yaev b v c v2 y42 tus2us3u y x 24x3 sx fx x 2 3x1 x2 Fx

(

12x

)

5 ysxx1 y3ex 4 s3 x hts4t4et tt2t34 Bycy6 As12 s5 hxx22x3 ft14t 4 8 ft12t 6 3t4 t fxx3 4x6 Fx34x 8 ft223t fxs30 fx186.5 txxe fxex fxex lim hl0 2.8h 1 h lim hl0 2.7h 1 h 23. 24. 25. 26.

27–28 Encuentre una ecuación de la recta tangente a la curva en el punto dado.

27. , 28. ,

29–30 Encuentre ecuaciones de la recta tangente y recta normal a la curva en el punto dado.

29. , 30. ,

;

31–32 Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto dado. Ilústrela al graficar la curva y la recta tangente en la misma pantalla.

31. , 32. ,

;

33–36 Encuentre f(x). Compare las gráficas de fy fy úselas para explicar por qué su respuesta es razonable.

33. 34.

35. 36.

;

37–38 Estime el valor de f(a) al hacer acercamiento (zoom) en la gráfica de f. A continuación derive fpara hallar el valor exacto de f(a) y compare con su estimación.

37. fx3x2 , a1 38. fx1sx, a4 x3 fxx 1 x fx3x15 5x3 3 fx3x520x350x fxex5x 1, 0 yxsx 1, 2 y3x2 x3 1, 9 y12x2 0, 2 yx42ex 1, 2 yx4 2x2 x 1, 1 ys4 x yex1 1 z yA10 Be y v

sx 1 s3 x

2 us5 t 4st 5

¿En qué punto de la curva

es paralela la recta tangente a la recta

?

SOLUCIÓN

Como

, tenemos

. Sea

a

la coordenada

x

del punto en cuestión.

Entonces la pendiente de la recta tangente en ese punto es

. Esta recta tangente será

paralela a la recta

si tiene la misma pendiente, es decir, 2. Al igualar las

pendien-tes, tenemos

Por lo tanto, el punto requerido es

a

,

e

a

. (Véase Figura 9.)

ln 2, 2

a

ln 2

?

e

a

2

y

2

x

e

a

y

e

x

y

e

x

y

2

x

y

e

x EJEMPLO 9 FIGURA 9 1 1 0 x 2 3 y y=´ y=2x (ln 2, 2)

;

Se requiere calculadora graficadora o computadora con 1. Tareas sugeridas disponibles en TEC software de gráficas

(2)

182 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN

;

39. (a) Use una calculadora graficadora o computadora para graficar la función f(x) x43x36x27x30 en

el rectángulo de observación [3, 5] por [10, 50]. (b) Usando la gráfica del inciso (a) para calcular pendientes,

haga manualmente un dibujo aproximado de la gráfica de f. (Véase Ejemplo 1 en la Sección 2.7.)

(c) Calcule f(x) y use esta expresión, con una calculadora graficadora, para graficar f. Compare con su trazo del inciso (b).

;

40. (a) Use una calculadora graficadora o computadora para graficar la función en el rectángulo de observación [1, 4] por [8, 8].

(b) Usando la gráfica del inciso (a) para calcular pendientes, haga manualmente un dibujo aproximado de la gráfica de t. (Véase Ejemplo 1 en la Sección 2.7.)

(c) Calcule t(x) y use esta expresión, con una calculadora graficadora, para graficar t. Compare con su trazo del inciso (b).

41– 42 Encuentre la primera y segunda derivadas de la función.

41. 42.

;

43– 44 Encuentre la primera y segunda derivadas de la función. Compruebe para ver que sus respuestas sean razonables al comparar las gráficas de f, fy f.

43. 44.

45. La ecuación de movimiento de una partícula es st33t,

donde sestá en metros y testá en segundos. Encuentre (a) la velocidad y aceleración como funciones de t, (b) la aceleración después de 2 s, y

(c) la aceleración cuando la velocidad es 0.

46. La ecuación de movimiento de una partícula es st42t3t2t, donde sestá en metros y testá

en segundos.

(a) Encuentre la velocidad y aceleración como funciones de t.

(b) Encuentre la aceleración después de 1 s.

;

(c) Grafique las funciones de posición, velocidad y aceleración en la misma pantalla.

47. ¿En qué intervalo es creciente la función ?

48. ¿En qué intervalo es cóncava hacia arriba la función ?

49. Encuentre los puntos en la curva donde la tangente es horizontal.

50. ¿Para qué valores de xla gráfica de f(x) x33x2x3

tiene una tangente horizontal?

51. Demuestre que la curva y6x35x3 no tiene recta

tan-gente con pendiente 4.

52. Encuentre una ecuación de la recta tangente a la curva que es paralela a la recta y1 3x.

53. Encuentre ecuaciones de ambas rectas que son tangentes a la curva y1 x3y paralelas a la recta 12xy1. yxsx y2x33x212x1 fxx34x25x fx5xex fxexx3 fx2x5x34 Grsr s3 r fx10x10 5x5 x txex 3x2

;

54. ¿En qué punto en la curva es la recta tangente paralela a la recta ? Ilustre al graficar la curva y ambas rectas.

55. Encuentre una ecuación de la recta normal a la parábola que es paralela a la recta . 56. ¿En qué lugar la recta normal a la parábola yxx2en el

punto (1, 0) interseca a la parábola por segunda vez? Ilustre con un dibujo.

57. Trace un diagrama para demostrar que hay dos rectas tangentes a la parábola yx2que pasa por el punto (0, 4).

Encuentre las coordenadas de los puntos donde estas rectas tangentes intersecan la parábola.

58. (a) Encuentre ecuaciones de ambas rectas que pasan por el punto (2, 3) que son tangentes a la parábola yx2x.

(b) Demuestre que no hay una recta que pase por el punto (2, 7) que sea tangente a la parábola. A continuación trace un diagrama para ver por qué.

59. Use la definición de una derivada para demostrar que si , entonces . (Esto demuestra la Regla de potencias para el caso .)

60. Encuentre la n-ésima derivada de cada función al calcular las primeras derivadas y observando el modelo que se presenta.

(a) (b)

61. Encuentre un polinomio Pde segundo grado tal que ,

, y .

62. La ecuación y y 2yx2se denomina ecuación dife-rencialporque contiene un función desconocida yy sus deri-vadas yy y. Encuentre las constantes A, By Ctales que la función yAx2BxCsatisface esta ecuación. (Las

ecua-ciones diferenciales se estudiarán en detalle en el Capítulo 7.)

63. (a) En la Sección 2.8 definimos una antiderivada de fcomo una función Ftal que . Trate de idear una fórmula para una antiderivada de . A continuación compruebe su respuesta al derivarla. ¿Cuántas antiderivadas tiene f? (b) Encuentre antiderivadas para y . (c) Encuentre una antiderivada para , donde

. Compruebe por derivación.

64. Use el resultado del Ejercicio 63(c) para hallar una antiderivada de cada función.

(a) (b)

65. Encuentre la parábola con ecuación cuya recta tangente en (1, 1) tiene ecuación .

66. Suponga que la curva yx4ax3bx2cxdtiene

una recta tangente cuando x0 con ecuación y2x1 y una recta tangente cuando x1 con ecuación y2 3x. Encuentre los valores de a, b, cy d.

67. Encuentre una función cúbica yax3bx2cxdcuya

gráfica tiene tangentes horizontales en los puntos (2, 6) y (2, 0).

68. Encuentre el valor de ctal que la recta es tangente a la curva .

69. ¿Para qué valores de ay bla recta 2xybes tangente a la parábola yax2cuando x2? ycsx y32x6 y3x2 yax2 bx fxex 8x3 fxsx n1 fxxn fxx4 fxx3 fxx2 Ff P22 P23 P25 fx1x fxxn n1 fx1x2 fx1x x3y5 yx25x4 3xy5 y12ex3x 57425_03_ch03_p182-191.qk 10/26/09 9:28 PM Page 182

(3)

188 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN

1. Encuentre la derivada de f(x) (1 2x2)(xx2) en dos

formas: usando la Regla del producto y realizando primero la multiplicación. ¿Sus respuestas concuerdan?

2. Encuentre la derivada de la función

en dos formas: usando la Regla del cociente y primero simplifi-cando. Demuestre que sus respuestas son equivalentes. ¿Cuál método prefiere usted?

3–24 Derive. 3. fxx32xex 4. txsx ex Fx x 45x3sx x2 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. y t t12 y t 2 2 t43t21 y x1 x3 x2 y x 3 1x2 Rttet

(

3st

)

Fy

1 y2 3 y4

y5y 3 ft 2t 4t2 tx 3x1 2x1 y e x 1x y e x x2

3.2

Ejercicios

Entonces la pendiente de la recta tangente en

es

Esto significa que la recta tangente en

es horizontal y su ecuación es

. [Véase

la Figura 4. Observe que la función es creciente y cruza su recta tangente en

.]

Nota:

No use la Regla del cociente

cada vez

que vea un cociente. A veces es más fácil

reescribir primero un cociente para ponerlo en forma que sea más sencillo para fines de

derivación. Por ejemplo, aun cuando es posible derivar la función

usando la Regla del cociente, es mucho más fácil efectuar primero la división y escribir la

función como

antes de derivar.

Resumimos las fórmulas de derivación que hemos aprendido hasta este punto, como

sigue:

Tabla de Fórmulas de derivación

f

t

t

f

t

2

f

t

f

t

f

t

t

f

f

t

f

t

f

t

f

t

cf

cf

d

dx

e

x

e

x

d

dx

x

n

nx

n1

d

dx

c

0

F

x

3

x

2

x

12

F

x

3

x

2

2

s

x

x

(

1,

12

e

)

y

12

e

(

1,

12

e

)

dy

dx

x1

0

(

1,

12

e

)

2.5 0 _2 3.5 y= ´ 1+≈ FIGURA 4 y= e21

;

Se requiere calculadora graficadora o computadora con 1. Tareas sugeridas disponibles en TEC software de gráficas

(4)

SECCIÓN 3.2 LAS REGLAS DEL PRODUCTO Y EL COCIENTE 189 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25–28 Encuentre y . 25. 26. 27. 28.

29–30 Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva dada en el punto especificado.

29. , 30. ,

31–32 Encuentre ecuaciones de la recta tangente y recta normal a la curva dada en el punto especificado.

31. , 32. ,

33. (a) La curva se denomina bruja de María Agnesi. Encuentre la ecuación de la recta tangente a esta curva en el punto .

;

(b) Ilustre el inciso (a) al graficar la curva y la recta tangente en la misma pantalla.

34. (a) La curva se llama serpentinao caracol. Encuentre una ecuación de la recta tangente a esta curva en el punto (3, 0.3).

;

(b) Ilustre el inciso (a) graficando la curva y la recta tangente en la misma pantalla.

35. (a) Si , encuentre .

;

(b) Compruebe que su respuesta al inciso (a) sea razonable al comparar las gráficas de y .

36. (a) Si , encuentre .

;

(b) Compruebe que su respuesta al inciso (a) sea razonable al comparar las gráficas def y .f

fx fxex2x2x1 f f fx fxx3 xex yx1x2

(

1, 12

)

y11x2 4, 0.4 y sx x1 0, 0 y2xex 1, e y e x x 1, 1 y 2x x1 fx x x21 fx x 2 12x fxx52 ex fxx4 ex fx fx fx axb cxd fx x x c x fx 1xe x xex fx A BCex tt tst t13 ft 2t 2st zw32 wcew y v 3 2vsv v y 1 skes yr2 2rer 37. (a) Si , encuentre y .

;

(b) Compruebe que su respuesta al inciso (a) sea razonable al comparar las gráficas de , , y .

38. (a) Si , encuentre y .

;

(b) Compruebe que su respuesta al inciso (a) sea razonable al comparar las gráficas de , , y .

39. Si , encuentre .

40. Si , encuentre .

41. Suponga que , , , y .

Encuentre los siguientes valores.

(a) (b) (c) 42. Suponga que , , , y . Encuentre . (a) (b) (c) (d) 43. Si , donde y , encuentre . 44. Si y , encuentre

45. Si y tson funciones cuyas gráficas se muestran, sea y .

(a) Encuentre (b) Encuentre

46. Sea y , donde y son

las funciones cuyas gráficas se muestran.

(a) Encuentre . (b) Encuentre .

F G x y 0 1 1 Q7 P2 G F QxFxGx PxFxGx f g x y 0 1 1 v5. u1. vxfxtx uxfxtx f d dx

hx x

x2 h23 h24 f0 t05 t02 fxext x hx tx 1fx hx fx tx hxfxtx hx5fx4tx h2 t27 f22 t24 f23 tf5 ft5 ft5 t52 t53 f56 f51 tnx txxex f1 fxx21x f f f fx fx fxx2 1ex f f f fx fx fxx2 1x2 1 57425_03_ch03_p182-191.qk 10/26/09 9:28 PM Page 189

(5)

190 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN

47. Si tes una función derivable, encuentre una expresión para la derivada de cada una de las siguientes funciones.

(a) (b) (c)

48. Si fes una función derivable, encuentre una expresión para la derivada de cada una de las siguientes funciones.

(a) (b)

(c) (d)

49. En este ejercicio estimamos la proporción en la que el ingreso total personal está aumentando en el área metropolitana de Rich-mond-Petersburg, Virginia. En 1999, la población de esta zona era de 961,400 y la población estaba incrementándose en casi 9200 personas por año. El ingreso promedio anual era de $30,593 por persona y este promedio estaba aumentando en alrededor de $1400 por año (un poco arriba del promedio nacional de unos $1225 por año). Use la Regla del producto y estas cifras para estimar la proporción a la que el ingreso total personal estaba subiendo en el área de Richmond-Petersburg en 1999. Explique el significado de cada término de la Regla del producto. 50. Un fabricante produce rollos de una tela con un ancho fijo. La

cantidad qde esta tela (medida en yardas) que se vende es una función del precio de venta p(en dólares por yarda), de modo que podemos escribir . Entonces el ingreso total ganado con un precio de venta pes .

(a) ¿Qué significa decir que y ?

(b) Suponiendo los valores del inciso (a), encuentre R(20) e interprete su respuesta.

51. ¿En qué intervalo es creciente la función ? 52. ¿En qué intervalo es cóncava hacia abajo la función

?

53. ¿Cuántas rectas tangentes a la curva ) pasan por el punto ? ¿En qué puntos estas rectas tangentes tocan la curva?

54. Encuentre ecuaciones de las rectas tangentes a la curva

que son paralelas a la rectax2y2. y x1 x1 1, 2 yxx1 fxx2ex fxx3ex f20350 f2010,000 Rppfp qfp y 1x fx sx y x 2 fx y fx x2 yx2 fx y tx x y x tx yxtx 55. Encuentre R(0), donde

Sugerencia:En lugar de hallar primero, sea f(x) el nume-rador y t(x) el denominador de R(x) y calcule R(0) de f(0),

, t(0) y t(0).

56. Use el método del Ejercicio 55 para calcular , donde

57. (a) Use la Regla del producto dos veces para demostrar que sif,

t, y hson derivables, entonces .

(b) Tomando del inciso (a), demuestre que

(c) Use el inciso (b) para derivar .

58. (a) Si , dondef y ttienen derivadas de todos

los órdenes, demuestre que .

(b) Encuentre fórmulas similares para y . (c) Invente una fórmula para .

59. Encuentre expresiones para las primeras cinco derivadas de . ¿Se ve un patrón en estas expresiones? Invente una fórmula para y demuéstrela usando inducción matemática.

60. (a) Si tes derivable, la Regla del recíproco dice que

Use la Regla del cociente para demostrar la Regla del recíproco.

(b) Use la Regla del recíproco para derivar la función del Ejercicio 16.

(c) Use la Regla del recíproco para verificar que la Regla de potencias es válida para enteros negativos, es decir,

para todos los enteros positivos n. d dx x n nxn1 d dx

1 tx

tx tx2 fnx fxx2 ex Fn F 4 F Fft2ft ft Fxfxtx ye3x d dx fx 3 3 fx2 fx fth fthfthfthfth Qx 1xx 2 xex 1xx2 xex Q0 f0 Rx Rx x3x 3 5x5 13x3 6x6 9x9

Antes de iniciar esta sección, usted podría necesitar dar un repaso a funciones

trigonomé-tricas. En particular, es importante recordar que cuando hablamos de la función

f

definida

para todos los números reales

x

por

se entiende que sen

x

significa el seno del ángulo cuya medida en

radianes

es

x

. Una

conven-ción similar se cumple para las otras funciones trigonométricas de cos, tan, csc, sec y cot.

f x

sen

x

3.3

Derivadas de funciones trigonométricas

Un repaso de las funciones trigonométricas se da en el Apéndice C.

(6)

SECCIÓN 3.3 DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 195

Encuentre la velocidad y aceleración en el tiempo

t

y úselas para analizar el movimiento

del objeto.

SOLUCIÓN

La velocidad y aceleración son

El objeto oscila del punto más bajo (

s

4 cm) al punto más alto (

s

4 cm). El

periodo de oscilación es 2

p

, el periodo de cos

t

.

La velocidad es

v

4

sen

t

, que es máxima cuando

sen

t

1, es decir, cuando

cos

t

0. Entonces el objeto se mueve con máxima rapidez cuando pasa por su posición

de equilibrio (

s

0). Su velocidad es 0 cuando sen

t

0, esto es, en los puntos alto

y bajo.

La aceleración

a

4 cos

t

0 cuando

s

0. Tiene su magnitud máxima en los

puntos alto y bajo. Véanse las gráficas de la Figura 6.

Hallar una derivada de orden superior a partir de un patrón

Encuentre la 27ava derivada de cos

x

.

SOLUCIÓN

Las primeras derivadas de

f

(

x

)

cos

x

son como sigue:

f

(

x

)

sen

x

f

(

x

)

cos

x

f

(

x

)

sen

x

f

(4)

(

x

)

cos

x

f

(5)

(

x

)

sen

x

Vemos que las derivadas sucesivas se presentan en un ciclo de longitud 4 y, en particular,

f

(n)

(

x

)

cos

x

siempre que

n

sea múltiplo de 4. Por tanto,

f

(24)

(

x

)

cos

x

y, derivando tres veces más, tenemos

f

(27)

(

x

)

sen

x

EJEMPLO 4

a

d

v

dt

d

dt

4 sen

t

4

d

dt

sen

t

4 cos

t

v

ds

dt

d

dt

4 cos

t

4

d

dt

cos

t

4 sen

t

FIGURA 6 2 _2 √ s a π 2π t 0 Busque un patrón. RP

3.3

Ejercicios

1–14 Derive. 11. 12. 13. 14. yx2sen xtan x 15. Demuestre que . 16. Demuestre que d .

dx sec xsec x tan x d dx csc xcsc xcot x fxxex csc x y 1sec x tan x f sec 1sec 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. y 1 sen x xcos x y x 2tan x ft cot t et yccos tt2 sen t tetan ysec tan fxsx sen x fxsen x1 2cot x y2 csc x5 cos x fx3x2 2 cos x

;

Se requiere calculadora graficadora o computadora con 1. Tareas sugeridas disponibles en TEC software de gráficas

(7)

196 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN

17. Demuestre que .

18. Demuestre, usando la definición de derivada, que si f(x) cos x, entonces f(x) sen x.

19–22 Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto dado.

19. ysec x, (p3, 2) 20. (0, 1) 21. yxcos x, (0, 1) 22.

23. (a) Encuentre una ecuación de la recta tangente a la curva y2xsen xen el punto (p2, p).

;

(b) Ilustre el inciso (a) graficando la curva y la recta tangente en la misma pantalla.

24. (a) Encuentre una ecuación de la recta tangente a la curva y3x6 cos xen el punto (p3, p3).

;

(b) Ilustre el inciso (a) graficando la curva y la recta tangente en la misma pantalla.

25. (a) Si f(x) sec xx, encuentre f(x).

;

(b) Compruebe para ver que su respuesta al inciso (a) es razonable al graficar fy fpara xp2.

26. (a) Si f(x) excos x, encuentre f(x) y f(x).

;

(b) Compruebe que sus respuestas al inciso (a) son

razonables al graficar f, fy f.

27. Si H(u) usen u, encuentre H(u) y H(u). 28. Si f(t) csc t, encuentre f(p6).

29. (a) Use la Regla del cociente para derivar la función

(b) Simplifique la expresión para f(x) al escribirla en términos de sen xy cos x, y luego encuentre f(x). (c) Demuestre que sus respuestas a los incisos (a) y (b) son

equivalentes.

30. Suponga que f(p3) 4 y f(p3) 2, y sea t(x) f(x) sen xy h(x) (cos x)f(x). Encuentre (a) t(p3) (b) h(p3)

31–32 ¿Para qué valores de xla gráfica de ftiene una tangente horizontal?

31. f(x) x2 sen x 32. f(x) excos x 33. Sea f(x) x2 sen x, 0 x2p. ¿En qué intervalo es f

creciente?

34. Sea f(x) 2xtan x, p2 xp2. ¿En qué intervalo es fcóncava hacia abajo?

fx tan x1 sec x , 0, 1 y 1 sen x cos x yex cos x, d dx cot xcsc 2

x 35. Una masa en un resorte vibra horizontalmente en una superfi-cie lisa nivelada (véase la figura). Su ecuación de movimiento es x(t) 8 sen t, donde testá en segundos y xen centímetros. (a) Encuentre la velocidad y aceleración en el tiempo t. (b) Encuentre la posición, velocidad y aceleración de la masa

en el tiempo t2p3. ¿En qué dirección se está moviendo en este tiempo?

;

36. Una banda elástica se cuelga en un gancho y una masa se cuelga del extremo inferior de la banda. Cuando la masa es jalada hacia abajo y luego soltada, vibra verticalmente. La ecuación de movimiento es s2 cos t3 sen t, t0, donde sse mide en centímetros y ten segundos. (Tome la dirección positiva hacia abajo.)

(a) Encuentre la velocidad y aceleración en el tiempo t. (b) Grafique las funciones de velocidad y aceleración. (c) ¿Cuándo pasa la masa por la posición de equilibrio por

primera vez?

(d) ¿Qué distancia se desplaza la masa desde su posición de equilibrio?

(e) ¿Cuándo es máxima la rapidez?

37. Una escalera de 10 ft de largo se apoya contra una pared vertical. Sea uel ángulo entre la parte superior de la escalera y la pared, y sea xla distancia desde la parte inferior de la escalera a la pared. Si la parte inferior de la escalera se desliza y se aleja de la pared, ¿con qué rapidez cambia xcon respecto a ucuando up3?

38. Un objeto con peso Wes arrastrado a lo largo de un plano horizontal por una fuerza que actúa a lo largo de una cuerda unida al objeto. Si la cuerda forma un ángulo ucon el plano, entonces la magnitud de la fuerza es

donde mes una constante denominada coeficiente de fricción. (a) Encuentre la rapidez de cambio de Fcon respecto a

u

. (b) ¿Cuándo es igual a 0 esta rapidez de cambio?

;

(c) Si W50 lb y

m

0.6, trace la gráfica de Fcomo función de

u

y úsela para localizar el valor de

u

para el cual dFd

u

0. ¿El valor es consistente con su respuesta al inciso (b)?

39–40 Encuentre la derivada dada al hallar las primeras derivadas y observar el patrón que se presenta.

39. 40. d 35 dx35 xsen x d99 dx99 sen x F W sen cos x x 0 posición de equilibrio 57425_03_ch03_p192-201.qk 10/26/09 9:30 PM Page 196

(8)

SECCIÓN 3.4 LA REGLA DE LA CADENA 205

Por lo tanto,

Esto demuestra la Regla de la cadena.

f

b

t

a

f

t

a

t

a

dy

dx

lim

xl0

y

x

lim

xl0

f

b

2

t

a

1

3.4

Ejercicios

1–6 Escriba la función compuesta en la forma f(t(x)). [Identifique la función interior ut(x) y la función exterior yf(u).] Entonces encuentre la derivada dydx.

1. 2.

3. 4. ysen(cotx)

5. 6.

7–36 Encuentre la derivada de la función.

7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. ysen(tan 2x) 30. 31. y2sen px 32. ysen(sen(sen x)) 33. ycot2(senu) 34. 35. 36. 37–40 Encuentre yy y. 37. 38. ycos2 x ycosx2 y23x2

y cosssen tan x

y

s

xsxsx ft

t t2 4 yek tan sx y r sr21 y e ueu eueu ysec2 xtan2 x Gy

y 2 y1

5 y

x 21 x21

3 y101x2 yexcosx htt4 13 t3 14 y2x54 8x2 53 ye2t cos 4t yxek x y3 cotn htt3 3t ya3 cos3 x ycosa3 x3 fts3 1tan t fz 1 z2 1 fx1x423 Fxs12x Fx4xx2100 Fxx4 3x2 25 ys2ex yesx ytan x y2x3 54 ys3 14x 39. yeaxsen bx 40.

41–44 Encuentre una ecuación de la recta tangente a la curva en el punto dado.

41. , 42. ,

43. ysen(senx), 44. ysenx sen2 x, 45. (a) Encuentre una ecuación de la recta tangente a la curva

en el punto (0, 1).

;

(b) Ilustre el inciso (a) al graficar la curva y la recta tangente en la misma pantalla.

46. (a) La curva recibe el nombre de curva de nariz de bala. Encuentre una ecuación de la recta tangente a esta curva en el punto .

;

(b) Ilustre el inciso (a) graficando la curva y la recta tangente en la misma pantalla.

47. (a) Si , encuentre f(x).

;

(b) Compruebe que su respuesta al inciso (a) es razonable al comparar las gráficas de fy f.

;

48. La función f(x) sen(xsen 2x), , aparece en aplicaciones de síntesis de frecuencia modulada (FM). (a) Use una gráfica de fproducida por una calculadora

grafica-dora para hacer un dibujo aproximado de la gráfica de f. (b) Calcule f(x) y use esta expresión, con una calculadora

graficadora, para graficar f. Compare con su dibujo del inciso (a).

49. Encuentre todos los puntos en la gráfica de la función f(x) 2 sen xsen2xen la que la recta tangente es horizontal. 50. Encuentre las coordenadas xde todos los puntos en la curva

ysen 2x2 sen xen la que la recta tangente es horizontal.

51. Si F(x) f(t(x)), donde , , , t(5) 2, y t(5) 6, encuentre F(5). 52. Si , donde f(1) 7 y f(1) 4, encuentre . h1 hxs43fx f53 f24 f28 0x fxxs2x2 1, 1 y

x

s2x2 y21ex 0, 0 , 0 2, 3 ys1x3 0, 1 y12x10 yeex

;

Se requiere calculadora graficadora o computadora con Se requiere de un sistema 1.Tareas sugeridas disponibles en TEC software de gráficas computarizado de álgebra

CAS 57425_03_ch03_p202-211.qk 12/9/09 12:42 PM Página 205

(9)

206 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN

53. A continuación veamos una tabla de valores para f, t, fy t.

(a) Si h(x) f(t(x)), encuentre h(1). (b) Si H(x) t(f(x)), encuentre H(1). 54. Sean fy tlas funciones del Ejercicio 53.

(a) Si F(x) f(f(x)), encuentre F(2). (b) Si G(x) t(t(x)), encuentre G(3).

55. Si fy tson las funciones cuyas gráficas se muestran, sean u(x) f(t(x)), v(x) t( f(x)), y w(x) t(t(x)). Encuentre cada derivada, si existe; si no existe, explique por qué.

(a) (b) (c)

56. Si fes la función cuya gráfica se muestra, sean h(x) f(f(x)) y t(x) f(x2). Use la gráfica de fpara calcular el valor de cada

derivada.

(a) (b)

57. Use la tabla para calcular el valor de h(0.5), donde h(x) f(t(x)).

58. Si t(x) f(f(x)), use la tabla para calcular el valor de t(1).

59. Suponga que fes derivable en . Sea y

. Encuentre expresiones para (a) F(x) y (b) G(x).

Gxefx Fxfe x ⺢ x y 0 1 y=ƒ 1 t2 h2 x y 0 f g 1 1 w1 v1 u1

60. Suponga que fes derivable en y es un número real. Sea y . Encuentre expresiones para (a) F(x) y (b) G(x).

61. Sea , donde h(1) 2, t(2) 3, h(1) 4, t(2) 5 y f(3) 6. Encuentre r(1).

62. Si tes una función doblemente derivable y f(x) xt(x2),

encuentre fen términos de t, ty t.

63. Si F(x) f(3f(4f(x))), donde f(0) 0 y f(0) 2, encuentre F(0).

64. Si F(x) f(xf(xf(x))), donde f(1) 2, f(2) 3, f(1) 4, f(2) 5, y f(3) 6, encuentre F(1).

65. Demuestre que la función ye2x(Acos 3xBsen 3x)

satis-face la ecuación diferencial .

66. ¿Para qué valores de rla función satisface la ecuación diferencial ?

67. Encuentre la 50ava derivada de . 68. Encuentre la 1000ésima derivada de .

69. El desplazamiento de una partícula en una cuerda en vibración está dado por la ecuación

donde sse mide en centímetros y ten segundos. Encuentre la velocidad de la partícula después de tsegundos.

70. Si la ecuación de movimiento de una partícula está dada por , se dice que la partícula experimenta movi-miento armónico simple.

(a) Encuentre la velocidad de la partícula en el tiempo t. (b) ¿Cuándo es 0 la velocidad?

71. Una estrella variable Cefeida es aquella cuya brillantez alternativamente aumenta y disminuye. Una de estas estrellas, la que se ve con más facilidad, es Delta Cefeida, para la cual el intervalo entre tiempos de máxima brillantez es 5.4 días. La brillantez promedio de esta estrella es 4.0 y su brillantez cambia en . En vista de estos datos, la brillantez de Delta Cefeida en el tiempo t, donde tse mide en días, ha sido modelada por la función

(a) Encuentre la rapidez de cambio de la brillantez después de t días.

(b) Encuentre, correcta a dos posiciones decimales, la rapidez de aumento después de un día.

72. En el Ejemplo 4 de la Sección 1.3 llegamos a un modelo para la duración de luz diurna (en horas) en Filadelfia en el t-ésimo día del año:

Use este modelo para comparar en qué forma el número de horas de luz diurna está aumentando en Filadelfia el 21 de marzo y el 21 de mayo. L t 12 2.8 sen 2 365 t 80 B t 4.0 0.35 sen 2 t 5.4 0.35 sA cost s t 10 1 4sen 10 t fxxex ycos 2x y 4y y0 yer x y 4y 13y0 rxfthx Gx fx Fxfxx 1 3 2 4 6 2 1 8 5 7 3 7 2 7 9 tx fx tx fx x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 12.6 14.8 18.4 23.0 25.9 27.5 29.1 0.58 0.40 0.37 0.26 0.17 0.10 0.05 tx fx x 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 1.7 1.8 2.0 2.4 3.1 4.4 fx 57425_03_ch03_p202-211.qk 10/26/09 9:31 PM Page 206

(10)

SECCIÓN 3.4 LA REGLA DE LA CADENA 207

;

73. El movimiento de un resorte que está sometido a una fuerza

de fricción o una fuerza de amortiguamiento, por ejemplo un amortiguador en un automóvil, a veces está modelado por el producto de una función exponencial y una función seno o coseno. Suponga que la ecuación de movimiento de un punto en ese resorte es

s(t) 2e1.5tsen 2pt

donde sse mide en centímetros y ten segundos. Encuentre la velocidad después de tsegundos y grafique las funciones de

posición y velocidad para .

74. Bajo ciertas circunstancias un rumor se extiende de acuerdo con la ecuación

donde p(t) es la proporción de la población que sabe del rumor en el tiempo ty ay kson constantes positivas. [En la Sección 7.5 veremos que ésta es una ecuación razonable para

p(t).]

(a) Encuentre .

(b) Encuentre la rapidez de dispersión del rumor.

;

(c) Grafique ppara el caso a10, k0.5 con tmedido en horas. Use la gráfica para calcular cuánto tardará el 80% de la población en enterarse del rumor.

75. Una partícula se mueve a lo largo de una recta con desplaza-miento s(t), velocidad v(t), y aceleración a(t). Demuestre que

Explique la diferencia entre los significados de las derivadas

dvdty dvds.

76. Se bombea aire hacia un globo meteorológico esférico. En cualquier tiempo t, el volumen del globo es V(t) y su radio es

r(t).

(a) ¿Qué representan las derivadas dVdry dVdt? (b) Exprese dVdten términos de drdt.

;

77. El flashde una cámara opera al almacenar carga en un condensador y liberándola de súbito cuando el flashse acciona. Los datos siguientes describen la carga Qrestante en el condensador (medida en microcoulombs, C) en el tiempo t(medido en segundos).

(a) Use una calculadora graficadora o computadora para hallar un modelo exponencial para la carga.

(b) La derivada Q(t) representa la corriente eléctrica (medida en microamperes, A) que sale del condensador hacia la bombilla del flash. Use el inciso (a) para calcular la corriente cuando t0.04 s. Compare con el resultado del Ejemplo 2 de la Sección 2.1. atvt dv ds limtl pt pt 1 1aek t 0t2

;

78. La tabla siguiente da la población de Estados Unidos de 1790 a 1860.

(a) Use una calculadora graficadora o computadora para ajustar una función exponencial a los datos. Grafique los datos y el modelo exponencial. ¿Qué tan bueno es el ajuste?

(b) Calcule las tasas de crecimiento poblacional en 1800 y en 1850 al promediar pendientes y rectas secantes. (c) Use el modelo exponencial del inciso (a) para calcular

las tasas de crecimiento en 1800 y 1850. Compare estas estimaciones con las del inciso (b).

(d) Use el modelo exponencial para predecir la población en 1870. Compare con la población real de 38,558,000. ¿Puede explicar la discrepancia?

79–81 Encuentre una ecuación de la recta tangente a la curva en el punto correspondiente al valor dado del parámetro.

79. , ;

80.

81. , ;

82–83 Encuentre los puntos en la curva donde la tangente es horizontal o vertical. Si cuenta con calculadora graficadora, gra-fique la curva para comprobar su trabajo.

82. ,

83. ,

;

84. Demuestre que la curva con ecuaciones paramétricas

xsen t, ysen(tsen t) tiene dos rectas tangentes en el origen y encuentre sus ecuaciones. Ilustre al graficar la curva y sus tangentes.

85. Una curva Cestá definida por las ecuaciones paramétricas

xt2, yt33t.

(a) Demuestre que Ctiene dos tangentes en el punto (3, 0) y encuentre sus ecuaciones.

(b) Encuentre los puntos en Cdonde la tangente es horizon-tal o vertical.

;

(c) Ilustre los incisos (a) y (b) al graficar Cy las rectas tangentes.

86. El cicloide se estudió en

el Ejemplo 7 de la Sección 1.7.

(a) Encuentre una ecuación de la tangente al cicloide en el

punto donde .

(b) ¿En qué puntos es horizontal la tangente? ¿En dónde es vertical?

;

(c) Grafique el cicloide y sus rectas tangentes para el caso

r1. 3 xr sin , yr1cos yt3 12t x10t2 y2t3 3t2 1 x2t3 3t2 12t t1 ytln t2 xest , y sen cos 2 ; 0 x cos sen 2 t1 yt3t xt41 t 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 Q 100.00 81.87 67.03 54.88 44.93 36.76

Año Población Año Población

1790 3,929,000 1830 12,861,000 1800 5,308,000 1840 17,063,000 1810 7,240,000 1850 23,192,000 1820 9,639,000 1860 31,443,000 sen 57425_03_ch03_p202-211.qk 10/26/09 9:31 PM Page 207

(11)

208 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN

87. Los sistemas computarizados de álgebra tienen comandos que derivan funciones, pero la forma de la respuesta puede no ser conveniente y por ello se requieren más comandos para simplificar la respuesta.

(a) Use un sistema computarizado de álgebra (CAS) para hallar la derivada en el Ejemplo 5 y compare con la res-puesta en ese ejemplo. A continuación use el comando de simplificar y compare de nuevo.

(b) Use un CAS para hallar la derivada del Ejemplo 6. ¿Qué ocurre si se usa el comando de simplificar? ¿Qué ocurre si se usa el comando de factorizar? ¿Qué forma de la res-puesta sería mejor para localizar tangentes horizontales?

88. (a) Use un CAS para derivar la función

y simplifique el resultado.

(b) ¿Dónde es que la gráfica de ftiene tangentes horizontales? (c) Grafique fy fen la misma pantalla. ¿Las gráficas son

consistentes con su respuesta al inciso (b)?

89. (a) Si nes un entero positivo, demuestre que

(b) Encuentre una fórmula para la derivada de ycosnxcos nxque sea semejante a la del inciso (a).

90. Encuentre ecuaciones de las tangentes a la curva x3t21, y2t31 que pasa por el punto (4, 3).

d dx sen n xcos nx nsenn 1 xcosn 1x fx

x 4x1 x4x1 CAS

CAS 91. Use la Regla de la cadena para demostrar que si se mide en

grados, entonces

(Esto da una razón para la convención de que la medida en radianes se usa siempre cuando se trabaje con funciones trigonométricas en cálculo: las fórmulas de derivación no serían tan sencillas si usamos medidas en grados.)

92. (a) Escriba y use la Regla de la cadena para demostrar que

(b) Si f(x) sen x, encuentre f(x) y trace las gráficas de f

y f. ¿En dónde no es derivable f?

(c) Si t(x) senx, encuentre t(x) y trace las gráficas de t y t. ¿En dónde no es derivable t?

93. Si yf(u) y ut(x), donde fy tson funciones doblemente derivables, demuestre que

94. Suponga que una bola de nieve se derrite de modo que su volumen disminuye con rapidez proporcional a su área de superficie. Si se requiere de tres horas para que la bola de nieve se reduzca a la mitad de su volumen original, ¿cuánto tiempo más tardará la bola de nieve en derretirse por completo?

d2y dx2 d2y du2

du dx

2 dy du d2u dx2 d dx

x

x

x

x

sx2 d d sen 180cos

PROYECTO DE LABORATORIO

;

Curvas de Bézier

Las curvas de Bézierse usan en diseño asistido por computadora y se llaman así en honor al matemático francés Pierre Bézier (1910-1999), que trabajó en la industria automotriz. Una curva cúbica de Bézier está determinada por cuatro puntos de control, P0(x0, y0), P1(x1, y1), P2(x2, y2) y

P3(x3, y3), y está definida por las ecuaciones paramétricas

donde 0 t1. Observe que cuando t0 tenemos (x, y) (x0, y0) y cuando t1 tenemos (x, y) (x3, y3), de modo que la curva se inicia en P0y termina en P3.

1. Grafique la curva de Bézier con puntos de control P0(4, 1), P1(28, 48), P2(50, 42) y P3(40, 5). A continuación, en la misma pantalla, grafique los segmentos de recta P0P1, P1P2y P2P3. (Ejercicio 29 en la Sección 1.7 muestra cómo hacer esto.) Observe que los puntos de control intermedios P1y P2no se encuentran en la curva; la curva se inicia en P0, se dirige hacia P1

y P2sin llegar a ellos y termina en P3.

2. De la gráfica del Problema 1, parece que la tangente en P0pasa por P1y la tangente en P3

pasa por P2. Demuéstrelo.

yy01t33y1t1t23y2t21ty3t3

xx01t33x1t1t23x2t21tx3t3

;

Se requiere calculadora graficadora o computadora con software de gráficas

(12)

214 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN

1–2

(a) Encuentre ypor derivación implícita.

(b) De la ecuación, despeje explícitamente yy derive para obtener yen términos de x.

(c) Compruebe que sus soluciones a los incisos (a) y (b) son consis-tentes al sustituir la expresión de yen su solución del inciso (a).

1. 2.

3–16 Encuentre dydxpor derivación implícita.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. x2y2xsen y4 10. 1 xsen(xy2)

11. 4 cos xsen y1 12. ysen(x2) xsen(y2)

13. 14.

15. eycos x1 sen(xy) 16. sen xcos ysen xcos y 17. Si f(x) x2 f(x)310 y f(1) 2, encuentre f(1). 18. Si t(x) xsen t(x) x2, encuentre t(0). tanxy y 1x2 exy xy y5 x2 y3 1yex2 x4 xyy2 3xy 2x3x2yxy32 x2xyy24 2sx sy 3 x3 y3 1 cos xsy 5 xy2x3x2 4

19–20 Considere ycomo la variable independiente y xcomo la variable dependiente y use derivación implícita para hallar dxdy.

19. 20.

21–28 Use derivación implícita para hallar una ecuación de la recta tangente a la curva en el punto dado.

21. ysen 2xxcos 2y, 22. sen(xy) 2x2y, (p, p) 23. , (1, 1) (elipse) 24. , (1, 2) (hipérbola) 25. 26. (cardioide) (astroide) x y 0 8 x y

(

3s3, 1

)

(

0, 12

)

x23y234 x2y22x22y2x2 x22xyy2x2 x2xyy23 2, 4 y sec xx tan y x4 y2 x3 y2xy3 0

3.5

Ejercicios

Para hallar

y

derivamos

y

de esta expresión usando la Regla del cociente y recordando

que

y

es una función de

x

:

Si ahora sustituimos la Ecuación 3 en esta expresión, tenemos

Pero los valores de

x

y de

y

deben satisfacer la ecuación original

x

4

y

4

16, por lo

cual la respuesta se simplifica a

y

3

x

2

16

y

7

48

x

2

y

7

3

x

2

y

4

x

6

y

7

3

x

2

y

4

x

4

y

7

y

3

x

2

y

3

3

x

3

y

2

x

3

y

3

y

6

y

3

3

x

2

x

3

3

y

2

y

y

6

y

d

dx

x

3

y

3

y

3

d

dx

x

3

x

3

d

dx

y

3

y

3

2

La Figura 10 muestra la gráfica de la curva x4y416del Ejemplo 4. Observe que es una versión estirada y aplanada de la circunfe-rencia x2y24. Por esta razón a veces se denomina circunferencia ensanchada. Se inicia muy empinado a la izquierda pero rápida-mente se hace muy plano. Esto se puede ver de la expresión yx 3 y3

x y

3 FIGURA 10 x 2 y 2 0 x $+y$ =16

;

Se requiere calculadora graficadora o computadora con Se requiere de un sistema 1.Tareas sugeridas disponibles en TEC

software de gráficas computarizado de álgebra

CAS 57425_03_ch03_p212-221.qk 12/9/09 12:47 PM Página 214

(13)

SECCIÓN 3.5 DERIVACIÓN IMPLÍCITA 215

27. 28. y2(y24) x2(x25)

(3, 1) (0, 2)

(lemniscata) (curva del diablo)

29. (a) La curva con ecuación y25x4x2se denomina

kampila de Eudoxio. Encuentre la ecuación de la recta tangente a esta curva en el punto (1, 2).

;

(b) Ilustre el inciso (a) al graficar la curva y la recta tangente en una pantalla común. (Si su calculadora graficadora grafica implícitamente curvas definidas, entonces use esa función; si no es así, todavía puede graficar esta curva al graficar por separado sus mitades superior e inferior.) 30. (a) La curva con ecuación y2x33x2recibe el nombre de

cúbica de Tschirnhausen. Encuentre una ecuación de la recta tangente a esta curva en el punto (1, 2).

(b) ¿En qué puntos esta curva tiene tangentes horizontales?

;

(c) Ilustre los incisos (a) y (b) al graficar la curva y las rectas

tangentes en una pantalla común. 31–34 Encuentre ypor derivación implícita.

31. 32.

33. 34.

35. Si xyeye, encuentre el valor de yen el punto donde x0.

36. Si x2xyy31, encuentre el valor de yen el punto

donde x1.

37. Se pueden crear figuras fantásticas si se usan funciones de graficación implícita de sistemas computarizados de álgebra. (a) Grafique la curva con ecuación

¿En cuántos puntos tiene tangentes horizontales esta curva? Estime las coordenadas xde estos puntos. (b) Encuentre ecuaciones de las rectas tangentes en los

puntos (0, 1) y (0, 2).

(c) Encuentre las coordenadas xexactas de los puntos del inciso (a).

(d) Cree curvas incluso más fantásticas al modificar la ecuación del inciso (a).

38. (a) La curva con ecuación

se ha hecho a semejanza de un vagón robusto. Use un sistema computarizado de álgebra para graficar esta curva y descubrir por qué.

(b) ¿En cuántos puntos es que esta curva tiene rectas tangentes horizontales? Encuentre las coordenadas x de estos puntos. 2y3y2y5x42x3x2 CAS yy21y2xx1x2 CAS x4 y4 a4 x3 y3 1 sx sy 1 9x2y29 x y x y 0 2x2 y2 2 25x2 y2

39. Encuentre los puntos en la lemniscata del Ejercicio 27 donde la tangente es horizontal.

40. Demuestre por derivación implícita que la tangente a la elipse

en el punto (x0, y0) es

41– 44 Dos curvas son ortogonalessi sus rectas tangentes son perpendiculares en cada punto de intersección. Demuestre que las familias dadas de curvas son trayectorias ortogonalesentre sí, esto es, toda curva de una familia es ortogonal a toda curva de la otra familia. Trace ambas familias de curvas en los mismos ejes.

41. 42. 43. 44.

45. Demuestre que la elipse x2a2y2b21 y la hipérbola

x2A2y2B21 son trayectorias ortogonales si A2a2

y a2b2A2B2(de manera que la elipse y la hipérbola

tienen los mismos focos).

46. Encuentre el valor del número atal que las familias de curvas y(xc)1y ya(xk)13son trayectorias ortogonales.

47. (a) La ecuación de van der Waalspara nmoles de un gas es

donde Pes la presión, Ves el volumen y Tes la tempera-tura del gas. La constante Res la constante universal del gas y ay bson constantes positivas que son características de un gas en particular. Si Tpermanece constante, use derivación implícita para hallar dVdP.

(b) Encuentre la rapidez de cambio del volumen con respecto a la presión de 1 mol de dióxido de carbono a un volumen de V10 L y presión de P2.5 atm. Use a3.592 L2-atm/mol2y b0.04267 L/mol.

48. (a) Use derivación implícita para hallar ysi x2xyy21 0.

(b) Trace la curva del inciso (a). ¿Qué ve? Demuestre que lo que ve es correcto.

(c) En vista del inciso (b), ¿qué puede decir acerca de la expresión para yque encontró en el inciso (a)? 49. Demuestre, usando derivación implícita, que cualquier recta

tangente en un punto Pa una circunferencia con centro Oes perpendicular al radio OP. CAS

P n 2a V2

VnbnRT x23y2b yax3, x22y2k ycx2, x2y2by x2y2ax, axby0 x2y2r2, x0x a2 y0y b2 1 x2 a2 y2 b2 1 57425_03_ch03_p212-221.qk 10/26/09 9:31 PM Page 215

(14)

216 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN

50. Demuestre que la suma de las intersecciones xy yde cualquier recta tangente a la curva es igual a c. 51. La ecuación x2xyy23 representa una “elipse girada”,

es decir, una elipse cuyos ejes no son paralelos a los ejes de coordenadas. Encuentre los puntos en los que esta elipse interseca el eje xy demuestre que las rectas tangentes a estos puntos son paralelas.

52. (a) ¿Dónde interseca la recta normal a la elipse x2xyy23 en el punto (1, 1) por segunda

vez?

;

(b) Ilustre el inciso (a) al graficar la elipse y la recta normal.

53. Encuentre todos los puntos en la curva x2y2xy2 donde

la pendiente de la recta tangente es 1.

54. Encuentre ecuaciones de las dos rectas tangentes a la elipse x24y236 que pasan por el punto (12, 3).

sx sy sc

55. La función de Besselde orden 0, yJ(x), satisface la ecua-ción diferencial xy y xy0 para todos los valores de xy su valor en 0 es J(0) 1.

(a) Encuentre J(0).

(b) Use derivación implícita para hallar J(0).

56. La figura siguiente muestra una lámpara colocada tres unida-des a la derecha del eje yy una sombra creada por la región elíptica x24y25. Si el punto (5, 0) está en el borde

de la sombra, ¿a qué distancia sobre el eje xestá colocada la lámpara? ? x y 3 0 _5 ≈+4¥=5

Recuerde de la Sección 1.6 que las únicas funciones que tienen funciones inversas son

funciones biunívocas. Las funciones trigonométricas, sin embargo, no son biunívocas y no

tienen funciones inversas, pero podemos hacerlas biunívocas al restringir sus dominios y

veremos que las inversas de estas funciones trigonométricas restringidas desempeñan un

importante papel en cálculo integral.

Se puede ver de la Figura 1 que la función seno

y

sen

x

no es biunívoca (use la Prueba

de la Recta Horizontal). Pero la función

f

(

x

)

sen

x

,

p

2

x

p

2,

es

biunívoca

(véase Figura 2). La función inversa de esta función seno restringida

f

existe y está

deno-tada por sen

1

o arcsen. Se denomina

función seno inversa

o

función arcoseno

.

Como la definición de una función inversa dice que

f

1

(

x

)

y

f

(

y

)

x

tenemos

sen

1

x

y

sen

y

x

y

|

sen 1

Entonces, si

1

x

1, sen

1

x

es el número entre

p

2 y

p

2 cuyo seno es

x

.

x 1 sen x

2

y

2

&?

&?

y 0 _π π π x 2 y=sen x FIGURA 1 0 y x _π2 π 2 FIGURA 2 y=sen x, _ ¯x¯π2 π2

3.6

Funciones trigonométricas inversas y sus derivadas

Figure

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