¿Qué son los bonos?
Act ivo financier o que concede a un inversor ciert os
der echos que deber án ser sat isfechos en el fut uro
a cargo del emisor (Estado o empresas).
Esos der echos son la devolución del capit al y los
intereses.
Represent a una alt ernat iva de financiación fr ent e a
ot r as
for m as
t radicionales
com o
pr ést am os
bancar ios, em isión de acciones ( em pr esas) o el
cobro de impuestos (Estado)
Emisores de Bonos
Gobie r n o n a cion a l, pr ov in cia l o m u n icipa l
“Títulos públicos”
Condiciones de emisión establecidas por ley
Em pr e sa s, or ga n ism os n o gu be r n a m e n t a le s,
a socia cion e s,
coope r a t iv a s
o
e n t ida de s
financieras
“Títulos privados”
Condiciones cont r act uales en el “pr ospe ct o de
emisión”
Características
Liquidez: depender á del m ont o de la em isión. A
m ayor m ont o, m ayor ofert a, m as operaciones y
por lo tanto el precio será mas transparente
Garantías
Con garantía (secured bonds)
Sin garantías (unsecured bonds)
Forma de emisión
Cartulares (BONEX), laminas de cartulina
Características
Tasa de interés: conocida como tasa de renta o cupón.
Fija
Flotante
Amortización
I nt er eses per iódicos y am or t ización al final ( sist em a americano) se denominan Bullet
I nt er eses y am or t izaciones per iódicas ( sist em a Alemán o Francés) Balloon
Sin int er eses per iódicos y am or t ización al final se denominan Cupón cero
Plazo (Maturity)
Tasa Flotante
Los pagos de los cupones son var iables. Los aj ust es a los pagos de cupones est án vinculados a un ín dice de
tasa de interé s:
LIBOR: tasa interbancaria del mercado de Londres
PRI ME: t asa preferencial par a pr ést am os en el mercado norteamericano
BAI BOR: Tasa interbancaria del m er cado de Buenos Aires
BADLAR: Tasa pr om edio pagada por los bancos por plazos fijos en dólares a 30 días.
Un bono con t asa flot ant e paga apr ox im adam ent e las tasas corrientes en el mercado.
Otros tipos de bonos
Bon os de in gr e so: son sim ilar es a los convencionales,
except o que los pagos de los cupones dependen de las ut ilidades de la em pr esa. Est o significa que los cupones se pagan a los t enedor es sólo si las ut ilidades de la empresa son suficientes.
Bon os con v e r t ible s: son aquellos que se pueden int er cam biar por un núm er o convenido de acciones en cualquier m om ent o ant es de que se pr oduzca su vencimiento, a elección del tenedor.
Bon os con r e de n ción a n t icipa da ( Putable) : son los
que per m it en al t enedor obligar al em isor a recomprarle el bono a un pr ecio est ablecido y con fecha ant er ior al vencimiento del mismo ( bond plus put option).
Los bonos pueden r edim ir se o r escat ar se ( Callable) a su vencim ient o o bien en for m a par cial o t ot al ant es de esa fecha a opción del emisor
Esta Clá u su la de r e de n ción a n t icipa da per m it e a la em pr esa em isor a volv er a com pr ar o " r edim ir " de for m a par cial o t ot al los bonos a pr ecios pr eviam ent e pact ados y luego de t r anscurr ido un cier t o per íodo desde la emisión (Refund provision)
La diferencia entre el precio de redención anticipada y el valor nom inal se denom ina pr im a de r e sca t e anticipado. Gener alm ent e, son r escat ables con una
Riesgo de invertir en bonos
Riesgo crediticio: pr obabilidad que el em isor
pr esent e dificult ades financier as que le im pidan
cumplir con sus obligaciones
Rie sgo de r e in v e r sión : el inver sor enfr ent a el
riesgo de t ener que r einvert ir los int er eses
periódicos y am ort izaciones a una t asa de int er és
m enor , result ando un rendim ient o final inferior al
prometido.
Rie sgo de in fla ción
Rie sgo de r e sca t e : algunos bonos habilit an al
em isor a cancelar su deuda en form a ant icipada
devolviendo
el
capit al
a
los
t enedor es.
Gener alm ent e se ej er ce est e der echo cuando las
Rie sgo de t a sa de in t e r é s: si las t asas suben el
pr ecio de los bonos caen y por lo t ant o el inver sor
experimenta una pérdida de capital.
Rie sgo de t ipo de ca m bio: par a aquellos t ít ulos
denom inados en m oneda ext r anj er a exist e la
posibilidad que la cot ización r esult e desfav or able
debido a una depr eciación de la divisa, al
momento de liquidación
Rie sgo sobe r a n o: riesgo inher ent e al país donde
r eside el em isor . I ncluye no solo la sit uación
económica sino también político e institucional
Rie sgo por in cu m plim ie n t o o default
Est e riesgo se r efiere a la incert idum bre de pago
de los cupones de renta o amortización del bono.
Las grandes consultoras financieras internacionales
como Moody’s y St a n da r d a n d Poor ’s estiman
el Riesgo de Default im plícit o en los papeles
mediante la calificación ( rating) que le otorgan
Par a est o ut ilizan infor m ación pública, de los
est ados financier os que m iden la ca pa cida d pa r a
pa ga r su s de u da s y ge n e r a r fon dos de m aner a
Calificaciones de riesgo
Las em isiones de t ít ulos de deuda baj o el ROP
deben
pr esent ar
en
for m a
obligatoria
dos
calificaciones de riesgo de calificadoras autorizadas
Se califica la emisión y no la empresa.
Una em presa puede t ener dist int as calificaciones
para distintas emisiones que depende de:
el plazo
la moneda
estructura de las garantías
En Ar gent ina se califica la deuda de la em pr esa en
forma general.
Estimando calificaciones
Ant es de cada em isión, el em isor debe solicit ar su calificación de r iesgo a fin de asegur ar le al fut uro inversor, información mas transparente y objetiva.
Con esta calificación (rating) que le ot or gan las agencias especializadas se int ent a m edir el r iesgo de incumplimiento de las obligaciones de la firma
La calificación es est im ada a t r avés de sus indicador es financier os. El r at io m ás ut ilizado es la t asa de cobertura de intereses (interest coverage ratio)
GAIT
TCI
Rie sgo por in cu m plim ie n t o o default
Los pr est at ar ios que gener an un m a y or r ie sgo de incum plim ient o deber ían pagar t a sa s de in t e r é s m a s
altas que aquellos con uno menor.
El r iesgo de incum plim ient o puede ex pr esar se com o una función que depende de dos variables:
Su capacidad para generar fondos operativos y Sus obliga cion e s fin a n cie r a s, incluyendo el pago de intereses y principal.
Rie sgo por in cu m plim ie n t o o default
Por lo tanto:
Las em pr esas que gener an fluj os de fondos elevados en r elación a sus obligaciones financier as t ienen un menor riesgo de default.
Mient r as m ás est ables sean esos fluj os de fondos, menor es el riesgo de incumplimiento de la empresa. Las fir m a s con a ct iv ida de s e st a ble s son m e n os
riesgosas que ot r as con negocios m ás fluct uant es,
Rie sgo por in cu m plim ie n t o o default
Las calificador as r ealizan un seguim ient o per iódico del deudor , pudiendo m odificar la calificación or iginal durante la vida del bono.
Las dos pr incipales agencias calificador as de bonos son
St a n da r d a n d Poor ´ s ( S& P) y M oody ´ s ( M d) y aunque sus r at ings son sim ilar es, exist en las difer encias que se muestran en la Tabla 1.
Las calificaciones se dividen en dos grupos:
Investment grade o grado de inversión
H igh y ie ld bon d o inver siones especulat ivas o de
Standard and Poor´s Moody´s
Tabla 1
Ca lifica dor a s de r ie sgo e n Ar ge n t in a
Duff & Phelps de Ar gent ina Soc. Calificador a de
Riesgo S.A.
Evaluador a Lat inoam ericana S.A. Calificador a de
Riesgo
Fitch Argentina Calificadora de Riesgo S.A.
Humphreys Argentina Calificadora de Riesgo S.A.
Magíster / Bankwatch Calificadora de Riesgo S.A.
Standard & Poor's International Ratings, Ltd.
Descripción
Tabla 2
Rie sgo por in cu m plim ie n t o o default
La Tabla 3 pr esent a la m e dia n a de los coe ficie n t e s cor r espondient es a em pr esas de la indust r ia m anufact urer a de Est ados Unidos em pleados por S&P para asignar las calificaciones.
La calificación de las firmas en gran medida depende que: gener en fluj os de fondos m ayor es que los compromisos derivados de su deuda,
tengan una buena rentabilidad y exhiban un bajo endeudamiento
Es evident e que las em pr esas con alt a r ent abilidad y bajo endeudamiento obtienen mejores calificaciones que las demás.
Rie sgo por in cu m plim ie n t o o default
A veces las calificaciones no son consist ent es con los r at ios financier os debido a que las agencias en sus decisiones finales emplean criterios subjetivos.
La r ent abilidad de un bono cor por at iv o est á en función de su riesgo de default medido por su calificación,
Por lo t ant o las obliga cion e s con u n r a t in g e le v a do deber ían v aluar se de m odo que gener en una menor
tasa de interés que las que tengan uno menor.
Esta pr im a de r ie sgo ( default spr ead) var ía con el plazo del bono y puede cam biar per íodo a per íodo conforme lo haga la situación económica general.
Rie sgo por in cu m plim ie n t o o default
La Tabla 4 presenta el rating que propone S&P
la pr im er a colum na m uest r a difer ent es niveles de
TCI en base a los que se confeccionan intervalos.
la segunda las calificaciones asignadas que var ían ent r e AAA y D par a las que t ienen m ayor y m enor capacidad de pago de intereses.
la últ im a la t a sa de in t e r é s dif e r e n cia l ( spr e a d) que pagan por encim a del r endim ient o de un bono del gobierno con el mismo período de maduración.
La tasa de cobertura de intereses
Si una em pr esa t iene Ganancias ant es de int er eses e im puest os ( GAI T) por $ 1 m illón y paga I nt ereses por $ 250 mil, la tasa de cobertura de intereses (TCI) sería:
De acuerdo a la Tabla 4 S&P le asignaría una calificación A- y por lo tanto:
Costo de la deuda = Rf + PRE = 6% + 2% = 8%.
4 250 0 1 , Intereses en Gastos GAIT TCI
La tasa de cobertura de intereses
La t a sa de cobe r t u r a de in t e r e se s TCI es el indicador m ás im por t ant e que em plean S&P y Moody ’s par a det er m inar los r at ings de los bonos cor por at ivos por que es una m uy buena m edida de la ca pa cida d de
la firma para atender sus pagos de intereses.
La TCI ca m bia cu a n do lo h a ce la e st r u ct u r a de l
fin a n cia m ie n t o de la e m pr e sa y dism inuye cuando
aum ent a el coeficient e de Endeudam ient o ( definido como la relación D / PN).
Ejemplo
La Tabla 5 pr esent a el Est ado de Result ados de una empresa de servicios en diferentes escenarios:
En el primero no tiene deuda,
en el segundo el coeficient e de Endeudam ient o es 0,10 ( su deuda r epr esent a el 10% de sus act ivos totales, pues E = PT / AT = 0,10),
en el tercero se eleva a 0,50 indicando que su pasivo es igual a su patrimonio neto, y
en el últ im o se supone un caso ext r em o en el que llega a 0,90.
Ganancia antes de intereses e impuestos 5.559 5.559 5.559 5.559
Ganancia final 3.558 3.272 1.522 - 1.090 Coeficiente Endeudamiento (E) 0 0,10 0,50 0,90 Tasa cobertura intereses (TCI) - > 12.44 1,75 0,77
i
t
Resultados
La t asa de cober t ur a de int er eses TCI dism inuye a m edida que el coeficient e de endeudam ient o E crece pues desde el alt o nivel de 12,44 cae a 0,77 cuando E aumenta de 0,10 a 0,90.
En est e últ im o caso los int er eses de la deuda absor ben casi la t ot alidad de las ganancias ant es de int er eses e impuestos de la empresa.
A m edida que E aum ent a t am bién lo hace el r iesgo de default , m ient r as que por el ot r o lado la caída en TCI reduce la calificación de AAA a CC.
Est o significa que los int er eses que t endr á que pagar la fir m a a m edida que se endeuda cr ecen debido al aum ent o en la pr im a de r iesgo, elevándose de 7,20% al
D e t e r m in a ción de l pr e cio de u n bon o
El precio o valor de un bono de pe n de de l flu j o
de in gr e sos qu e pr opor cion a r á
h a st a su
vencimiento, o maduración.
Par a
det erm inarlo
es necesar io
conocer
sus
característ icas, que se det allan en el cont rat o de
emisión.
Supongam os un bono con un valor nom inal de $
100, plazo de vencim ient o T = 30 años y paga un
cupón anual de $10, la t asa de int er és vigent e en
el mercado para operaciones similares es r = 10%.
D e t e r m in a ción de l pr e cio de u n bon o
Para determinar el valor de mercado se suma:
El Valor pr esent e de los cupones VPC que el
em isor pagar á al t enedor en cada uno de los 30
años hasta el vencimiento y
El Valor pr esent e de su valor nom inal VPN, que
es el que pagará a su tenedor al vencimiento:
D e t e r m in a ción de l pr e cio de u n bon o
El valor pr esent e del nom inal ( VPN) es el valor
act ual de un m ont o I , que se coloca a una t asa de
interés r por un plazo de T períodos:
3 , 94 $ 10 , 0 ) 10 , 0 1 ( 1 1 10 r ) r 1 ( 1 1 cupón Valor VPC 30 T 7 , 5 $ ) 10 , 0 1 ( 100 ) r 1 ( bono nominal Valor VPN 30 T
D e t e r m in a ción de l pr e cio de u n bon o
Por lo t ant o VPB = $94,3 + $5,7 = $100 e
indica que este bono se emitirá a la par.
Est e es el pr ecio que est á dispuest o a pagar
hoy un inv er sor por el der echo a per cibir ese
flujo de fondos en el futuro.
T 1 t t T B
)
r
1
(
bono
nominal
Valor
)
r
1
(
cupón
del
Valor
P
Paridad
Los bonos en gener al se negocian por su pr ecio
expresado com o par idad. Los pr ecios se expr esan
como porcentaje del valor nominal o principal.
Cuando el pr ecio coincide con su valor
al
vencim ient o es decir su pr ecio es el 100% del VN,
el bono cotiza a la par. Su paridad es del 100%
Si el pr ecio es inferior a su VN, el bono cot iza bajo
la par o también se dice que cotiza a descuento
Si el pr ecio es superior a su VN, el bono cot iza
D e t e r m in a ción de l pr e cio de u n bon o
Cuando se em it en bonos gener alm ent e se lo hace
a la t asa de int er és vigent e en el m er cado, lo que
implica que son emitidos a la par.
Por lo t ant o, la t asa del cupón es igual a su
rendimiento.
Per o cuando después esos bonos se com ercializan
en los m er cados de valor es su pr ecio fluct úa
inversamente con la tasa de interés del mercado.
La s flu ct u a cion e s e n la t a sa de in t e r é s son la
pr in cipa l
fu e n t e
de
r ie sgo
de
v a lor e s
qu e
I m pa ct o de l ca m bio e n la t a sa de in t e r é s
Detalles Emisión (a la par) Escenario 1 (bajo la par) Escenario 2 (sobre la par)Valor nominal del bono 100 100 100
Tasa de interés anual 10% 14% 6%
Valor nominal del cupón 10 10 10
Años de maduración 30 30 30
Precio del bono 100 72 155
Valor presente cupones 94,3 70 137,6
Plazo maduración
4% 6% 8% Interés 10%
12% 14% 16%
5 años 126,7 116,8 108,0 100 92,8 86,3 80,4 10 años 148,7 129,4 113,4 100 88,7 79,1 71,0 30 años 203,8 155,1 122,5 100 83,9 72,0 62,9
I m pa ct o de l ca m bio e n la t a sa de in t e r é s
D e t e r m in a ción de l pr e cio de u n bon o
El r iesgo de inv er t ir en bonos m edido por las var iaciones en sus pr ecios es m ayor m ient r as m ay or sea el plazo de maduración del bono
Mayor es la sensibilidad del pr ecio a fluct uaciones en la tasa de interés.
Intuición: si uno com pr a un bono a la par con un
cupón del 10% y luego la t asa de m er cado aum ent a sufr e una pér dida por que pensaba t ener un r endim ient o del 10% cuando ex ist en inver siones alt er nat iv as que ofrecen una tasa mas alta.
Est o se r eflej a en una pér dida de capit al en el bono, es decir, una caída en el precio.
D e t e r m in a ción de l pr e cio de u n bon o
Mient r as m ayor sea el per íodo que se m ant iene ese bono, m ay or es la pér dida y por consiguient e m ayor la caída en su precio.
Además, m ient r as m ayor sea la t asa de int er és m enor será el pr ecio de los bonos por que el v alor pr esent e de los ingresos futuros será menor.
La Figur a siguiente m uest r a la r elación ent r e el pr ecio de los bonos y la tasa de interés y también muestra que la fluct uación de los pr ecios es m ayor m ient r as m ay or sea el período de maduración.
Relación precio- tasa de interés
0 50 100 150 200 250 4% 6% 8% 10% 12% 14% 16% Ta sa de int e ré s (%)D e t e r m in a ción de l pr e cio de u n bon o
La cur va es convexa con r espet o al origen por que
a m edida que la t asa de int er és aum ent a en
cant idades iguales la r educción en el pr ecio del
bono es cada vez menor.
Est a pr opiedad del pr ecio de los bonos se llam a
convexidad debido a esa for m a de la cur va de
precios.
Indicadores básicos
VALOR RESIDUAL.
MONTO EN CIRCULACION.
RENTA ANNUAL.
Rendimiento
sobre
el valor
nominal. (Coupon Yield).
YIELD ANNUAL (Current Yield): Cupón/precio.
Valor Residual
Es la parte del título que aún no amortizó.
Valor residual = Valor nominal - amortizaciones
Necesario para el cálculo del valor técnico.
Se ut iliza par a calcular el m ont o efect ivo de la
inversión en caso que se t om e la cot ización de la
BCBA.
Ejemplo
Pr ecio del PRE 2 al 31/ 3/ 2000 US$ 131,20. Valor
residual al 31/3/2000 25,12%
Monto efectivo de la inversión= US$ 32,96
Valor Residual
Cot iz a ción de bon os e in t e r e se s cor r idos
Pr e cio su cio ( dirty price): es el pr ecio del bono
calculado com o el valor act ual de los fluj os de
fondos futuros que promete el bono.
Pr e cio lim pio ( clean price) : es igual al pr ecio
sucio m enos los int er eses devengados del cupón
de renta vigente denominados intereses corridos
Los bonos t ípicam ent e t ienen períodos fr accionales
de tiempo.
Cuando se com pr a un bono, se paga el pr ecio de
cotización m ás una part e pr opor cional de los
int ereses del últ im o cupón ( int er eses acum ulados
o corridos; “ accrued interest” ).
La for m a de com put ar los días influye en cóm o los
precios y el yield son calculados.
El precio pagado ( invoice price) es igual al pr ecio
de cotización mas los intereses acumulados.
Detalles de cálculo
Precio = Precio de cotización + Intereses acumulados
u = días desde el último cupón
v = días hasta el próximo cupón
período
del
interés
v
u
u
acumulado
Interés
Intereses corridos
Ejemplo
Calculam os los int er eses cor ridos del Bonte 2002,
120 días después del últ im o vencim ient o del
cupón.
I nt erés del período: 8,75% * 100/ 2= 4,375
Días corridos=120
Días del período corriente= 180
Valor técnico
Una form a com ún de indicar la par idad de un bono
es en función de su valor técnico en lugar de VN
El valor t écnico es el valor de r escat e del t ít ulo al
momento actual.
Valor técnico = Valor residual + Intereses corridos
Ejemplo
Bonte 2002:
Valor residual= 100 ; Intereses corridos=2,91
Valor técnico= 102,91
Paridad técnica
Es la r elación del pr ecio del bono con su valor
técnico.
Si la Paridad = 100% cotiza a la par.
Si la Paridad > 100% cotiza sobre la par
Si la Paridad < 100% cotiza bajo la par
100
*
técnico
Valor
Sucio
Precio
(%)
técnica
Paridad
Paridad técnica
Ejemplo
Precio del Bonte 2002 = 101,20
El bono cotiza bajo la par.
98
102,91
101,20
Paridad
El rendimiento de los bonos
I ndependient em ent e de la paridad a la que cot iza
un bono el inver sor debe elegir ent r e var ios bonos
por su tasa de rentabilidad y no por su precio.
Un bono puede est ar cot izando a prim a y ofr ecer
un rendim ient o m ayor que ot r o que se negocia a
descuento.
A igual plazo y riesgo elegirá aquel que pr om et a
m a y or r e n dim ie n t o ( no confundir con la t asa de
cupón).
Current yield
Current yield ( r e n dim ie n t o cor r ie n t e ) : es una
m edida de r endim ient o que r elaciona el cupón
anual con el precio de mercado del bono.
Perm it e una apr oxim ación r ápida de la r ent abilidad
del bono per o no t iene en cuent a la ganancia o
pérdida de capital entre la compra y la venta.
Tam poco t iene en cuent a la r einver sión de los
corrido
Int.
-VR(%)
bolsa
de
Precio
anual
Cupón
yield
Current
Current yield
Ejemplo
Bonte 2002
Desventajas:
el valor del diner o en el t iem po no es t enido en
cuenta
sólo consider a el rendim ient o del pr óxim o
cupón.
%
90
,
8
2,91
-100%
101,20
8,75
yield
Current
La t a sa de r e n dim ie n t o h a st a e l ve n cim ie n t o
TRV (o yield to maturity YTM) de un bono es la que
se obt iene desde que se com pra hast a su
amortización final o rescate.
El rendimiento de un bono hasta su vencimiento es
la t a sa in t e r n a de r e t or n o (TIR) de la inver sión
en ese valor suponiendo que los cupones cobr ados
se reinvierten a la misma tasa de interés.
Tasa interna de rendimiento
El rendimiento de un bono con cupones satisface la
siguiente ecuación:
Precio=90
TIR=17,3%
Precio=100
TIR= 9,5%
Precio=110
TIR= 2,6%
3 2)
y
1
(
75
,
104
)
y
1
(
75
,
4
)
y
1
(
75
,
4
100
n n 2 2 1y
1
C
...
y
1
C
y
1
C
ecio
Pr
Ventajas:
No sólo t iene en cuent a el cupón cor rient e sino
también las ganancias y pérdidas de capital
Tiene en cuenta el valor tiempo del dinero
Dos condiciones:
Se debe m ant ener el bono hast a el vencim ient o
-RIESGO DE TASA DE INTERES
Todos los cupones deben ser reinvert idos a la
misma tasa - RIESGO DE REINVERSION
Cuando los bonos hacen m uchos pagos es út il cont ar con el pr om edio de m adur ación de t odos esos fluj os de fondos com o una apr ox im ación a su m adur ación efectiva (o media).
Est a m edida t am bién puede em plear se par a m edir la sensibilidad del pr ecio de un bono ant e cam bios en la tasa de interés,
Aquella t iende a aum ent ar con el t iem po que falt a par a la maduración.
Est a m edida se denom ina Duration de u n bon o y se calcula com o un pr om edio ponder ado del t iem po de pago de cada cupón y del principal.
Pr e cio de los bon os, pe r iodo de m a du r a ción
y tasas de interés
Tasa de Interés T = 1 año T = 10 años T = 20 años
Con Cupón 8% 100,00 100,00 100,00 9% 99,06 93,49 90,79 Cambio en el precio (%) 0,94% 6,50% 9,20% Cupón Cero 8% 92,45 45,63 20,82 9% 91,57 41,46 17,19 Cambio en el precio (%) 0,96% 9,15% 17,46%
Duration
El ponder ador wt asociado con cada pago es el valor presente del pago VPFt dividido por el precio del bono.
Se calcula el pr om edio ponder ado del t iem po hast a el cobr o de cada uno de los pagos que hace el bono hast a su rescate, obteniéndose la duración media:
B t t t P ) y 1 ( VPF W T 1 t t
W
t
D
Duration de un bono
Tasa anual Período de tiempo hasta el pago (t) Pagos ($) Pagos ($) descontados 4% semestralmente wt D = t wtPB Bono A 10% 0,5 5 4,807 0,0464 0,0232 10% 1,0 5 4,622 0,0446 0,0446 10% 1,5 5 4,445 0,0429 0,0643 10% 2,0 105 89,754 0,8661 1,7322 Total 103,63 1,0000 1,8644
PB Bono B Cupón cero 0,5 – 1,5 0 0 0 0 Cupón cero 2,0 100 82,27 1,0 2 Total 82,27 1,0 2
Como se obtiene la Duration?
El cam bio en el pr ecio del bono pr ovocado por un pequeño cambio en el rendimiento se calcula
r eor denando y div idiendo am bos m iem br os por P se obtiene el cambio porcentual en el precio
1 n 1 n 3 2
)
y
1
(
VNB
)
n
(
)
y
1
(
C
)
n
(
....
)
y
1
(
C
)
2
(
)
y
1
(
C
)
1
(
dy
dP
P
1
)
y
1
(
nVNB
)
y
1
(
nC
....
)
y
1
(
C
2
)
y
1
(
C
1
y
1
1
P
1
dy
dP
n n 2Como se obtiene la Duration?
La ex pr esión ent r e par ént esis div idida por el pr ecio es comúnmente conocida como Macaulay duration (D)
si se r eem plaza est e r esult ado en la ecuación ant er ior resulta:
Donde DM = D / (1+y) se denomina duración modificada.
P
)
y
1
(
nVNP
)
y
1
(
tC
D
T 1 t t ndy
D
)
y
1
(
dy
D
P
dP
MComo se obtiene la Duration?
Ese result ado dice que el cam bio por cent ual en el pr ecio del bono ( dP/ P) es igual a su du r a ción m odifica da m ult iplicado por el cam bio en el YTM o rendim ient o del bono.
Est e r esult ado m uest r a que la se n sibilida d de los
bon os a ca m bios e n la t a sa de in t e r é s depende
principalmente de tres factores:
1) El tiempo hasta el vencimiento del bono t, 2) La tasa del cupón C y
Duration ( D ) se gú n r e n dim ie n t o, cu pón y
t ie m po de m a du r a ción
Años hasta el vencimiento 6% Tasa del cupón 8% 10%1 0,985 0,980 0,976 2 1,913 1,888 1,864 5 4,361 4,218 4,095 10 7,454 7,067 6,772 20 10,922 10,292 9,870 Infinito (perpetuidad) 13,000 13,000 13,000
Conclusiones
La duration de un bono cupón cer o es igual a su t iem po hasta la maduración.
Si se m ant iene const ant e el plazo de m adur ación, la duration de un bono es m ayor cuando la t asa del cupón es menor.
Si se m ant iene const ant e la t asa del cupón, la duration se incrementa con el tiempo hasta el vencimiento.
Si los otros factores se mantienen constantes, la duration de un bono con cupón es m ayor m ient r as m enor sea su YTM.
Convexidad
La duration es sólo una apr oxim ación de la volat ilidad en el pr ecio de un bono par a pequeños cam bios en el yield o tasa de interés,
El pr oblem a que se pr esent a es que la duration intenta est im ar una r elación convexa ( pr ecio – yield) con una línea recta (la línea tangente).
Por lo t ant o puede ser suplem ent ada con una m edida adicional que capt ur a la cur vat ur a o convex idad de un bono.
Generalmente, se calcula la derivada segunda del precio con r espect o a la yield, com o apr oxim ación a la convexidad precio del bono.
Convexidad
La convexidad C se representa por:
y el cambio porcentual debido a la convexidad es
P
1
dy
P
d
C
2 2 2dy
C
2
1
P
dP
n 1 t t 2 n 2 2 2)
y
1
(
VNB
)
1
n
(
n
)
y
1
(
Cupón
)
1
t
(
t
dy
P
d
Re la ción e n t r e pr e cio de u n bon o y t a sa de
rendimiento
Período (t) Flujo de fondos (C, VNB) VP = 1/(1+y)t+2 t (1+t) C t(t+1)C / (1+y)t+2 1 4,50 0,876296 9 7,89 2 4,50 0,838561 27 22,64 3 4,50 0,802451 54 43,33 4 4,50 0,767895 90 69,11 5 4,50 0,734828 135 99,20 6 4,50 0,703185 189 132,90 7 4,50 0,672904 252 169,57 8 4,50 0,643927 324 208,63 9 4,50 0,616198 405 249,56 10 104,50 0,589663 11.495 6.778,19 Totales 12.980 7.781,02Conclusiones
Por lo t ant o ut ilizando la duration y convexidad
j unt as se obt iene una m ej or apr oxim ación al
cam bio act ual en el pr ecio del bono debido a un
movimiento considerable en el yield
Lo que significa que la convexidad m ej or a la
est im ación del cam bio en el pr ecio de un bono
para un determinado cambio en la tasa de interés.
2
dy
C
2
1
)
y
1
(
dy
D
P
dP
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