Tema 1: 1 MAT E M ÁT ICA DI SCRE T A Pedro Reyes
Tema 1: Introducción a la Teoría de Grafos
•
Nociones básicas
•
Formas de definir un grafo
•
Subgrafos. Operaciones con grafos
•
Isomorfismo de grafos
Tema 1: 2 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afosNociones básicas:
Grafo: G = (V,A) V conjunto de vértices A conjunto de aristas E D A F C B vértices aristas G = (V,A) V = {A,B,C,D,E,F}A = {{A,B}, {A,D}, {A,F}, {B,F}, {C,E}, {D,E}, {E,F}}
Tema 1: 3 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos
Nociones básicas:
Grafo: G = (V,A) V = {1,2,3,4,5,6} A = {{1,2},{1,3},{1,5},{1,6},{2,4},{2,6},{3,4},{3,5}} 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6Representación gráfica Inmersión Grafo plano Tema 1: 4 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos
Nociones básicas:
Variantes de grafos:
1 2 3 4 {2,4} arista múltiple
multigrafo
Tema 1: 5 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos
Nociones básicas:
Variantes de grafos:
{2,4} arista múltiple 1 2 3 4 {3,3} lazo o bucle
seudografo
grafo simple
(no admite aristas múltiples ni lazos)Tema 1: 6 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos
Nociones básicas:
Variantes de grafos:
1 2
3
4 5
grafo dirigido o digrafo
(las aristas son pares “ordenados” de vértices)
(1,2) es arista, pero (2,1) no lo es
digrafo múltiple o multigrafo
dirigido
(digrafo con aristas múltiples)seudo digrafo o seudografo dirigido
(digrafo con aristas múltiples y/o lazos)
Tema 1: 7 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos
Nociones básicas:
Variantes de grafos:
grafo ponderado
(las aristas llevan asignadas un peso)
H SE CA CO GR AL M A 94 125 187 219 265 129 166 256 219 138 166 JA 104 99 Tema 1: 8 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos
Nociones básicas:
vértices adyacentes
v
1, v
2∈
V, v
1~ v
2e ={v
1, v
2}
∈A
1 2 3 4 5 6valencia o grado de un vértice v
δ
(v)
v
1y v
2inciden en la arista e
δ
(1)=4,
δ(2)=3,
δ(3)=3,
δ
(4)=2,
δ(5)=2,
δ(6)=2
δ
: V N
vértices pares e impares
aristas incidentes
Tema 1: 9 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos
Nociones básicas:
Propiedades de la valencia:
G = (V,A) n=|V|
1 2 3 4 5 61) 0
≤
δ(v)
≤n-1
2) Un grafo no puede tener simultáneamente
vértices de valencia 0 y de valencia n-1
3) La suma de las valencias de los vértices es
igual al doble del número de aristas:
∑
v∈V
δ
(v) = 2 |A|
(lema del apretón de manos) Tema 1: 10
Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos
Nociones básicas:
Adyacencia en digrafos
valencia o grado de entrada
δe
(v)
δe(1)=2,
δs(1)=2,
δ
e(2)=1,
δs(2)=1,
δ
e(3)=1,
δs(3)=2,
δ
e(4)=2,
δs(4)=2,
δ
e(5)=1,
δs(5)=0
1 2 3 4 5valencia o grado de salida
δs
(v)
Tema 1: 11 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afosNociones básicas:
Algunos grafos
especiales
Grafo regular:
Todos los vértices tienen la misma valencia.δ(v)=k (∀v∈V) grafo k-valente o k-regular
Si k=n-1 se llama grafo completo (K
n)
K
2K
3K
4K
5grafo ciclo
C
5grafo camino
P
3Grafo trivial:
No tiene ninguna arista.Tema 1: 12 V2 V1 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos
Nociones básicas:
Algunos grafos
especiales
Grafo bipartito:
V = V1∪V2
∀e∈A : e = {v1,v2} , v1 ∈V1, v2 ∈V2
G = (V,A)
Grafo bipartito completo: (K
n,m)
Tema 1: 13 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos
Subgrafos. Operaciones con grafos:
G’ es subgrafo de G
G = (V,A) y G’=(V ’,A’)
G’
⊆
G
V ’
⊆V
A’
⊆A
G
G’
Tema 1: 14 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afosSubgrafos. Operaciones con grafos:
S
G
G(S)
G(S): subgrafo inducido por S
G = (V,A) y S
⊆V
Tema 1: 15 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afosSubgrafos. Operaciones con grafos:
G’ subgrafo recubridor de G si V ’=V
G = (V,A) y G’ =(V’,A’) un subgrafo de G
G
G’
Tema 1: 16 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afosSubgrafos. Operaciones con grafos:
Eliminación de vértice
G
v
Tema 1: 17 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos
Subgrafos. Operaciones con grafos:
Eliminación de vértice
G-v = G(V-{v})
G =(V,A), v
∈V
G-v
Tema 1: 18 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afosSubgrafos. Operaciones con grafos:
Eliminación de arista
G
e
G =(V,A), e
∈A
Tema 1: 19 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afosSubgrafos. Operaciones con grafos:
Eliminación de arista
G-e = (V,A-{e})
G =(V,A), e
∈A
G-e
Tema 1: 20 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afosSubgrafos. Operaciones con grafos:
G = (V,A)
Grafo complementario G = (V, A )
e
∉A
e
∈A
G G
Tema 1: 21 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos
Subgrafos. Operaciones con grafos:
a b d e G b d e c G’
G = (V,A)
G’ = (V’,A’)
Unión de grafos
G
∪
G’ = (V
∪V’,A
∪A’)
b d e c a G ∪G’Intersección de grafos
G
∩G’ = (V
∩V’, A
∩A’)
b d e G ∩G’ Tema 1: 22 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afosSubgrafos. Operaciones con grafos:
G = (V,A) y G’ = (V’,A’) disjuntos (V
∩V’=
φ
)
Suma de grafos:
G G’Aristas:
A
∪
A’
∪{{v,v’} / v
∈V, v’
∈V’}
G + G’Vértices: V
∪
V’
Tema 1: 23 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afosSubgrafos. Operaciones con grafos:
Grafo rueda
W
n= K
1+ C
n K1+
C12=
W12 Tema 1: 24 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afosOperaciones con grafos: Grafo de línea
{ai,aj}∈L(A) si, en el grafo G, las
aristas aiy ajson incidentes en
un vértice. Dado G = (V,A) V = {v1, v2, … , vn} A = {a1, a2, … , am} L(G) = (L(V), L(A)) L(V) = A = {a1, a2, … , am} L(A)
G
a7 a1 a2 a9 a10 a3 a4 a11 a8 a5 a6L(G)
a7 a1 a2 a9 a10 a3 a4 a11 a8 a 5 a6Tema 1: 25 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos
Formas de definir un grafo:
G = (V,A)
V={1,2,3,4,5,6} A={
{1,2},{1,3},{1,5},{1,6}, {2,4},{2,6},{3,4},{3,5}}
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 Tema 1: 26 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afosFormas de definir un grafo:
G = (V,A)
V={1,2,3,4,5,6} A={
{1,2},{1,3},{1,5},{1,6}, {2,4},{2,6},{3,4},{3,5}}
1 2 3 4 5 6Lista de adyacencias o lista de listas
Lista formada por nvlistas.{{2,3,5,6},{1,4,6},{1,4,5},{2,3},{1,3},{1,2}} nvvértices, naaristas Tema 1: 27 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos
Formas de definir un grafo:
G = (V,A)
V={1,2,3,4,5,6} A={
{1,2},{1,3},{1,5},{1,6}, {2,4},{2,6},{3,4},{3,5}}
1 2 3 4 5 6Matriz de adyacencia
Ad: Matriz de orden nv×nvnvvértices, naaristas aij= 1 si vies adyacente a vj 0 en caso contrario 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 Ad = Tema 1: 28 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos
Formas de definir un grafo:
G = (V,A)
V={1,2,3,4,5,6} A={
{1,2},{1,3},{1,5},{1,6}, {2,4},{2,6},{3,4},{3,5}}
1 2 3 4 5 6Matriz de adyacencia
Propiedades: nvvértices, naaristas 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 Ad = Es cuadrada y simétricaLa suma de cada fila (o columna) es el grado del vértice correspondiente La diagonal es nula
Tema 1: 29 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos
Formas de definir un grafo:
G = (V,A)
V={1,2,3,4,5,6} A={
{1,2},{1,3},{1,5},{1,6}, {2,4},{2,6},{3,4},{3,5}}
1 2 3 4 5 6Matriz de incidencia
In: Matriz de orden nv×nanvvértices, naaristas bij= 1 si vies vértice de la arista aj 0 en caso contrario 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 In = Tema 1: 30 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos
Formas de definir un grafo:
G = (V,A)
V={1,2,3,4,5,6} A={
{1,2},{1,3},{1,5},{1,6}, {2,4},{2,6},{3,4},{3,5}}
1 2 3 4 5 6Matriz de incidencia
Propiedades: nvvértices, naaristasNo tiene por qué ser ni cuadrada ni simétrica
La suma de cada fila es el grado del vértice correspondiente
La suma de cada columna vale 2
1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 In = Tema 1: 31 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos
Formas de definir un grafo:
Matriz de adyacencia de un digrafo
G = (V,A)
V={1,2,3,4,5} A={(
1,2),(1,4),(2,3),(3,1), (3,4),(4,1),(4,5)}
1 2 3 4 5 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 Ad = Ad: Matriz de orden nv×nvaij= 1 si (vi, vj) es una arista 0 en caso contrario Tema 1: 32 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos
Formas de definir un grafo:
Matriz de adyacencia de un digrafo
G = (V,A)
V={1,2,3,4,5} A={(
1,2),(1,4),(2,3),(3,1), (3,4),(4,1),(4,5)}
1 2 3 4 5 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 Ad = Propiedades:Es cuadrada pero no tiene por qué ser simétrica
La suma de cada fila es el grado de salida del vértice correspondiente
La diagonal es nula
La suma de cada columna es el grado de entrada del vértice correspondiente
Tema 1: 33 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos
Formas de definir un grafo:
Matriz de adyacencia de un seudografo
0 1 1 0 1 0 0 2 1 0 4 1 0 2 1 2
Ad = Ad: Matriz de orden nv×nv
aij=
número de veces que aparece la arista {vi ,vj}
doble del número de veces que aparece el lazo {vi,vi}
i≠j i=j
G = (V,A)
V={1,2,3,4} A={
{1,2},{1,3},{2,4},{2,4}, {3,3},{3,3},{3,4},{4,4}}
1 2 3 4 Tema 1: 34 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afosFormas de definir un grafo:
Matriz de adyacencia de un seudografo
G = (V,A)
V={1,2,3,4} A={
{1,2},{1,3},{2,4},{2,4}, {3,3},{3,3},{3,4},{4,4}}
0 1 1 0 1 0 0 2 1 0 4 1 0 2 1 2 Ad = 1 2 3 4 Propiedades: Es cuadrada y simétricaLa suma de cada fila (o columna) es el grado del vértice correspondiente La diagonal no tiene por qué ser nula
Tema 1: 35 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos
Formas de definir un grafo:
Matriz de adyacencia de un grafo ponderado
Ad: Matriz de orden nv×nvaij= peso de la arista {vi, vj} 0 7 3 0 9 7 7 0 0 5 0 8 3 0 0 3 7 0 0 5 3 0 0 0 9 0 7 0 0 0 7 8 0 0 0 0 Ad = 1 2 3 4 5 6 7 8 7 5 3 7 9 3 Tema 1: 36 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos
Isomorfismo de grafos
1 2 3 4 5 c e a d bG = (V,A) y G’=(V ’,A’) son isomorfos (G
∼
G’)
f : V V ’ biyectiva | {u,v}
∈A
{f(u),f(v)}
∈A’
f(1) = c
f(2) = e
f(3) = a
f(4) = d
Tema 1: 37 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos
Isomorfismo de grafos
Invariantes: Si G y G’ son isomorfos (G
∼G’) deben
tener en común:
número de vértices número de aristas grados de los vértices
número de ciclos de igual longitud número de componentes conexas
etc. Tema 1: 38 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos
Isomorfismo de grafos
Grafo autocomplementario: Si G
∼
G
G 1 2 3 4 5 6 8 7 e b g d a c f h G f(1)=a, f(2)=b, …. f(8)=h Tema 1: 39 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afosIsomorfismo de grafos
Lista de grados de un grafo
1 2 3 4 5 Relación de adyacencias {2,4,3,3,4} δ(1)=2, δ(2)=4, δ(3)=3, δ(4)=3, δ(5)=4 Lista de grados (4,4,3,3,2) Tema 1: 40 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos
Isomorfismo de grafos
Lista de grados de un grafo
Dos grafos pueden tener la misma lista de grados y no ser isomorfos.
1 6 5 4 3 2 f e d c b a Listas de grados (3,3,3,3,3,3)
Tema 1: 41 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos
Isomorfismo de grafos
Lista de grados de un grafo
No siempre una secuencia numérica decreciente representa una lista de grados de un grafo. Cuando esto ocurre se dice que la secuencia numérica es una secuencia gráfica.
La secuencia numérica decreciente (a1,a2,...,ap)
(con a1>0,p>1) es una secuencia gráfica si, y sólo
si, también lo es la que resulta de efectuar las siguientes operaciones:
1) Eliminar el primer elemento (a1) de la lista.
2) Restar una unidad a los primeros a1elementos
de la nueva lista.
3) Ordenar en sentido decreciente la nueva lista.
Teorema de Havel-Hakimi Tema 1: 42 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos
Isomorfismo de grafos
Lista de grados de un grafo
Una secuencia numérica decreciente representa una lista de grados de un grafo si el siguiente algoritmo devuelve una lista de ceros:
Algoritmo de Havel-Hakimi P.1 Leer la lista decreciente (a1,a2,...,ap).
P.4 Restar 1 a los primeros a1elementos de la
nueva lista.
P.5 Ordenar (decreciente) la nueva lista. P.2 Mientras el primer elemento sea a1>0
P.3 Eliminar el elemento a1 de la lista.
P.6 Retornar la lista (a1,a2,...). Tema 1: 43 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos
Isomorfismo de grafos
Algoritmo de Havel-Hakimi P.1 Leer la lista decreciente (a1,a2,...,ap).P.4 Restar 1 a los primeros a1elementos de la nueva lista.
P.5 Ordenar (decreciente) la nueva lista. P.2 Mientras el primer elemento sea a1>0
P.3 Eliminar el elemento a1 de la lista.
P.6 Retornar la lista (a1,a2,...). (5,4,4,4,2,1) (4,4,4,2,1) (3,3,3,1,0) (3,3,1,0) (2,2,0,0) (2,0,0) (1,-1,0) (-1,-1) P.3 P.4 P.3 P.4 P.3 P.4 P.4
(5,4,4,4,2,1) no es una secuencia gráfica
(1,0,-1) P.5 (0,-1) P.3 Tema 1: 44 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos
Isomorfismo de grafos
(1,2,2,3,4) (4,3,2,2,1) (3,2,2,1) (2,1,1,0) (1,1,0) (0,0,0) P.3 P.4 P.3 P.4(1,2,2,3,4) es una secuencia gráfica
Algoritmo de Havel-Hakimi P.1 Leer la lista decreciente (a1,a2,...,ap).
P.4 Restar 1 a los primeros a1elementos de la nueva lista.
P.5 Ordenar (decreciente) la nueva lista. P.2 Mientras el primer elemento sea a1>0
P.3 Eliminar el elemento a1 de la lista.
Tema 1: 45 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos
Isomorfismo de grafos
(1,2,2,3,4) (4,3,2,2,1) (3,2,2,1) (2,1,1,0) (1,1,0) (0,0,0) P.3 P.4 P.3 P.4 Algoritmo de Havel-HakimiP.1 Leer la lista decreciente (a1,a2,...,ap).
P.4 Restar 1 a los primeros a1elementos de la nueva lista.
P.5 Ordenar (decreciente) la nueva lista. P.2 Mientras el primer elemento sea a1>0
P.3 Eliminar el elemento a1 de la lista.
P.6 Retornar la lista (a1,a2,...). Tema 1: 46 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos
Isomorfismo de grafos
(1,2,2,3,4) (4,3,2,2,1) (3,2,2,1) (2,1,1,0) (1,1,0) (0,0,0) P.3 P.4 P.3 P.4 Algoritmo de Havel-HakimiP.1 Leer la lista decreciente (a1,a2,...,ap).
P.4 Restar 1 a los primeros a1elementos de la nueva lista.
P.5 Ordenar (decreciente) la nueva lista. P.2 Mientras el primer elemento sea a1>0
P.3 Eliminar el elemento a1 de la lista.
P.6 Retornar la lista (a1,a2,...). Tema 1: 47 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos
Isomorfismo de grafos
(1,2,2,3,4) (4,3,2,2,1) (3,2,2,1) (2,1,1,0) (1,1,0) (0,0,0) P.3 P.4 P.3 P.4 Algoritmo de Havel-HakimiP.1 Leer la lista decreciente (a1,a2,...,ap).
P.4 Restar 1 a los primeros a1elementos de la nueva lista.
P.5 Ordenar (decreciente) la nueva lista. P.2 Mientras el primer elemento sea a1>0
P.3 Eliminar el elemento a1 de la lista.