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Matemática Discreta. Tema 1: 2. Pedro Reyes. Matemática Discreta. {2,4} arista múltiple Introducción a la Teoría de Grafos 1 2. Grafo plano Tema 1: 4

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(1)

Tema 1: 1 MAT E M ÁT ICA DI SCRE T A Pedro Reyes

Tema 1: Introducción a la Teoría de Grafos

Nociones básicas

Formas de definir un grafo

Subgrafos. Operaciones con grafos

Isomorfismo de grafos

Tema 1: 2 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos

Nociones básicas:

Grafo: G = (V,A) V conjunto de vértices A conjunto de aristas E D A F C B vértices aristas G = (V,A) V = {A,B,C,D,E,F}

A = {{A,B}, {A,D}, {A,F}, {B,F}, {C,E}, {D,E}, {E,F}}

Tema 1: 3 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos

Nociones básicas:

Grafo: G = (V,A) V = {1,2,3,4,5,6} A = {{1,2},{1,3},{1,5},{1,6},{2,4},{2,6},{3,4},{3,5}} 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6

Representación gráfica Inmersión Grafo plano Tema 1: 4 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos

Nociones básicas:

Variantes de grafos:

1 2 3 4 {2,4} arista múltiple

multigrafo

(2)

Tema 1: 5 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos

Nociones básicas:

Variantes de grafos:

{2,4} arista múltiple 1 2 3 4 {3,3} lazo o bucle

seudografo

grafo simple

(no admite aristas múltiples ni lazos)

Tema 1: 6 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos

Nociones básicas:

Variantes de grafos:

1 2

3

4 5

grafo dirigido o digrafo

(las aristas son pares “ordenados” de vértices)

(1,2) es arista, pero (2,1) no lo es

digrafo múltiple o multigrafo

dirigido

(digrafo con aristas múltiples)

seudo digrafo o seudografo dirigido

(digrafo con aristas múltiples y/o lazos)

Tema 1: 7 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos

Nociones básicas:

Variantes de grafos:

grafo ponderado

(las aristas llevan asignadas un peso)

H SE CA CO GR AL M A 94 125 187 219 265 129 166 256 219 138 166 JA 104 99 Tema 1: 8 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos

Nociones básicas:

vértices adyacentes

v

1

, v

2

V, v

1

~ v

2

e ={v

1

, v

2

}

A

1 2 3 4 5 6

valencia o grado de un vértice v

δ

(v)

v

1

y v

2

inciden en la arista e

δ

(1)=4,

δ

(2)=3,

δ

(3)=3,

δ

(4)=2,

δ

(5)=2,

δ

(6)=2

δ

: V N

vértices pares e impares

aristas incidentes

(3)

Tema 1: 9 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos

Nociones básicas:

Propiedades de la valencia:

G = (V,A) n=|V|

1 2 3 4 5 6

1) 0

δ

(v)

n-1

2) Un grafo no puede tener simultáneamente

vértices de valencia 0 y de valencia n-1

3) La suma de las valencias de los vértices es

igual al doble del número de aristas:

v∈V

δ

(v) = 2 |A|

(lema del apretón de manos) Tema 1: 10

Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos

Nociones básicas:

Adyacencia en digrafos

valencia o grado de entrada

δe

(v)

δe

(1)=2,

δs

(1)=2,

δ

e

(2)=1,

δs

(2)=1,

δ

e

(3)=1,

δs

(3)=2,

δ

e

(4)=2,

δs

(4)=2,

δ

e

(5)=1,

δs

(5)=0

1 2 3 4 5

valencia o grado de salida

δs

(v)

Tema 1: 11 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos

Nociones básicas:

Algunos grafos

especiales

Grafo regular:

Todos los vértices tienen la misma valencia.

δ(v)=k (vV) grafo k-valente o k-regular

Si k=n-1 se llama grafo completo (K

n

)

K

2

K

3

K

4

K

5

grafo ciclo

C

5

grafo camino

P

3

Grafo trivial:

No tiene ninguna arista.

Tema 1: 12 V2 V1 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos

Nociones básicas:

Algunos grafos

especiales

Grafo bipartito:

V = V1V2

eA : e = {v1,v2} , v1 V1, v2 V2

G = (V,A)

Grafo bipartito completo: (K

n,m

)

(4)

Tema 1: 13 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos

Subgrafos. Operaciones con grafos:

G’ es subgrafo de G

G = (V,A) y G’=(V ’,A’)

G’

G

V ’

V

A’

A

G

G’

Tema 1: 14 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos

Subgrafos. Operaciones con grafos:

S

G

G(S)

G(S): subgrafo inducido por S

G = (V,A) y S

V

Tema 1: 15 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos

Subgrafos. Operaciones con grafos:

G’ subgrafo recubridor de G si V ’=V

G = (V,A) y G’ =(V’,A’) un subgrafo de G

G

G’

Tema 1: 16 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos

Subgrafos. Operaciones con grafos:

Eliminación de vértice

G

v

(5)

Tema 1: 17 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos

Subgrafos. Operaciones con grafos:

Eliminación de vértice

G-v = G(V-{v})

G =(V,A), v

V

G-v

Tema 1: 18 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos

Subgrafos. Operaciones con grafos:

Eliminación de arista

G

e

G =(V,A), e

A

Tema 1: 19 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos

Subgrafos. Operaciones con grafos:

Eliminación de arista

G-e = (V,A-{e})

G =(V,A), e

A

G-e

Tema 1: 20 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos

Subgrafos. Operaciones con grafos:

G = (V,A)

Grafo complementario G = (V, A )

e

A

e

A

G G

(6)

Tema 1: 21 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos

Subgrafos. Operaciones con grafos:

a b d e G b d e c G

G = (V,A)

G’ = (V’,A’)

Unión de grafos

G

G’ = (V

V’,A

A’)

b d e c a G G’

Intersección de grafos

G

G’ = (V

V’, A

A’)

b d e G G’ Tema 1: 22 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos

Subgrafos. Operaciones con grafos:

G = (V,A) y G’ = (V’,A’) disjuntos (V

V’=

φ

)

Suma de grafos:

G G’

Aristas:

A

A’

{{v,v’} / v

V, v’

V’}

G + G’

Vértices: V

V’

Tema 1: 23 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos

Subgrafos. Operaciones con grafos:

Grafo rueda

W

n

= K

1

+ C

n K1

+

C12

=

W12 Tema 1: 24 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos

Operaciones con grafos: Grafo de línea

{ai,aj}L(A) si, en el grafo G, las

aristas aiy ajson incidentes en

un vértice. Dado G = (V,A) V = {v1, v2, … , vn} A = {a1, a2, … , am} L(G) = (L(V), L(A)) L(V) = A = {a1, a2, … , am} L(A)

G

a7 a1 a2 a9 a10 a3 a4 a11 a8 a5 a6

L(G)

a7 a1 a2 a9 a10 a3 a4 a11 a8 a 5 a6

(7)

Tema 1: 25 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos

Formas de definir un grafo:

G = (V,A)

V={1,2,3,4,5,6} A=

{

{1,2},{1,3},{1,5},{1,6}, {2,4},{2,6},{3,4},{3,5}

}

1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 Tema 1: 26 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos

Formas de definir un grafo:

G = (V,A)

V={1,2,3,4,5,6} A=

{

{1,2},{1,3},{1,5},{1,6}, {2,4},{2,6},{3,4},{3,5}

}

1 2 3 4 5 6

Lista de adyacencias o lista de listas

Lista formada por nvlistas.

{{2,3,5,6},{1,4,6},{1,4,5},{2,3},{1,3},{1,2}} nvvértices, naaristas Tema 1: 27 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos

Formas de definir un grafo:

G = (V,A)

V={1,2,3,4,5,6} A=

{

{1,2},{1,3},{1,5},{1,6}, {2,4},{2,6},{3,4},{3,5}

}

1 2 3 4 5 6

Matriz de adyacencia

Ad: Matriz de orden nv×nv

nvvértices, naaristas aij= 1 si vies adyacente a vj 0 en caso contrario 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 Ad = Tema 1: 28 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos

Formas de definir un grafo:

G = (V,A)

V={1,2,3,4,5,6} A=

{

{1,2},{1,3},{1,5},{1,6}, {2,4},{2,6},{3,4},{3,5}

}

1 2 3 4 5 6

Matriz de adyacencia

Propiedades: nvvértices, naaristas 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 Ad = Es cuadrada y simétrica

La suma de cada fila (o columna) es el grado del vértice correspondiente La diagonal es nula

(8)

Tema 1: 29 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos

Formas de definir un grafo:

G = (V,A)

V={1,2,3,4,5,6} A=

{

{1,2},{1,3},{1,5},{1,6}, {2,4},{2,6},{3,4},{3,5}

}

1 2 3 4 5 6

Matriz de incidencia

In: Matriz de orden nv×na

nvvértices, naaristas bij= 1 si vies vértice de la arista aj 0 en caso contrario 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 In = Tema 1: 30 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos

Formas de definir un grafo:

G = (V,A)

V={1,2,3,4,5,6} A=

{

{1,2},{1,3},{1,5},{1,6}, {2,4},{2,6},{3,4},{3,5}

}

1 2 3 4 5 6

Matriz de incidencia

Propiedades: nvvértices, naaristas

No tiene por qué ser ni cuadrada ni simétrica

La suma de cada fila es el grado del vértice correspondiente

La suma de cada columna vale 2

1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 In = Tema 1: 31 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos

Formas de definir un grafo:

Matriz de adyacencia de un digrafo

G = (V,A)

V={1,2,3,4,5} A=

{(

1,2),(1,4),(2,3),(3,1), (3,4),(4,1),(4,5)

}

1 2 3 4 5 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 Ad = Ad: Matriz de orden nv×nv

aij= 1 si (vi, vj) es una arista 0 en caso contrario Tema 1: 32 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos

Formas de definir un grafo:

Matriz de adyacencia de un digrafo

G = (V,A)

V={1,2,3,4,5} A=

{(

1,2),(1,4),(2,3),(3,1), (3,4),(4,1),(4,5)

}

1 2 3 4 5 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 Ad = Propiedades:

Es cuadrada pero no tiene por qué ser simétrica

La suma de cada fila es el grado de salida del vértice correspondiente

La diagonal es nula

La suma de cada columna es el grado de entrada del vértice correspondiente

(9)

Tema 1: 33 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos

Formas de definir un grafo:

Matriz de adyacencia de un seudografo

0 1 1 0 1 0 0 2 1 0 4 1 0 2 1 2

Ad = Ad: Matriz de orden nv×nv

aij=

número de veces que aparece la arista {vi ,vj}

doble del número de veces que aparece el lazo {vi,vi}

i≠j i=j

G = (V,A)

V={1,2,3,4} A=

{

{1,2},{1,3},{2,4},{2,4}, {3,3},{3,3},{3,4},{4,4}

}

1 2 3 4 Tema 1: 34 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos

Formas de definir un grafo:

Matriz de adyacencia de un seudografo

G = (V,A)

V={1,2,3,4} A=

{

{1,2},{1,3},{2,4},{2,4}, {3,3},{3,3},{3,4},{4,4}

}

0 1 1 0 1 0 0 2 1 0 4 1 0 2 1 2 Ad = 1 2 3 4 Propiedades: Es cuadrada y simétrica

La suma de cada fila (o columna) es el grado del vértice correspondiente La diagonal no tiene por qué ser nula

Tema 1: 35 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos

Formas de definir un grafo:

Matriz de adyacencia de un grafo ponderado

Ad: Matriz de orden nv×nv

aij= peso de la arista {vi, vj} 0 7 3 0 9 7 7 0 0 5 0 8 3 0 0 3 7 0 0 5 3 0 0 0 9 0 7 0 0 0 7 8 0 0 0 0 Ad = 1 2 3 4 5 6 7 8 7 5 3 7 9 3 Tema 1: 36 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos

Isomorfismo de grafos

1 2 3 4 5 c e a d b

G = (V,A) y G’=(V ’,A’) son isomorfos (G

G’)

f : V V ’ biyectiva | {u,v}

A

{f(u),f(v)}

A’

f(1) = c

f(2) = e

f(3) = a

f(4) = d

(10)

Tema 1: 37 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos

Isomorfismo de grafos

Invariantes: Si G y G’ son isomorfos (G

G’) deben

tener en común:

número de vértices número de aristas grados de los vértices

número de ciclos de igual longitud número de componentes conexas

etc. Tema 1: 38 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos

Isomorfismo de grafos

Grafo autocomplementario: Si G

G

G 1 2 3 4 5 6 8 7 e b g d a c f h G f(1)=a, f(2)=b, …. f(8)=h Tema 1: 39 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos

Isomorfismo de grafos

Lista de grados de un grafo

1 2 3 4 5 Relación de adyacencias {2,4,3,3,4} δ(1)=2, δ(2)=4, δ(3)=3, δ(4)=3, δ(5)=4 Lista de grados (4,4,3,3,2) Tema 1: 40 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos

Isomorfismo de grafos

Lista de grados de un grafo

Dos grafos pueden tener la misma lista de grados y no ser isomorfos.

1 6 5 4 3 2 f e d c b a Listas de grados (3,3,3,3,3,3)

(11)

Tema 1: 41 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos

Isomorfismo de grafos

Lista de grados de un grafo

No siempre una secuencia numérica decreciente representa una lista de grados de un grafo. Cuando esto ocurre se dice que la secuencia numérica es una secuencia gráfica.

La secuencia numérica decreciente (a1,a2,...,ap)

(con a1>0,p>1) es una secuencia gráfica si, y sólo

si, también lo es la que resulta de efectuar las siguientes operaciones:

1) Eliminar el primer elemento (a1) de la lista.

2) Restar una unidad a los primeros a1elementos

de la nueva lista.

3) Ordenar en sentido decreciente la nueva lista.

Teorema de Havel-Hakimi Tema 1: 42 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos

Isomorfismo de grafos

Lista de grados de un grafo

Una secuencia numérica decreciente representa una lista de grados de un grafo si el siguiente algoritmo devuelve una lista de ceros:

Algoritmo de Havel-Hakimi P.1 Leer la lista decreciente (a1,a2,...,ap).

P.4 Restar 1 a los primeros a1elementos de la

nueva lista.

P.5 Ordenar (decreciente) la nueva lista. P.2 Mientras el primer elemento sea a1>0

P.3 Eliminar el elemento a1 de la lista.

P.6 Retornar la lista (a1,a2,...). Tema 1: 43 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos

Isomorfismo de grafos

Algoritmo de Havel-Hakimi P.1 Leer la lista decreciente (a1,a2,...,ap).

P.4 Restar 1 a los primeros a1elementos de la nueva lista.

P.5 Ordenar (decreciente) la nueva lista. P.2 Mientras el primer elemento sea a1>0

P.3 Eliminar el elemento a1 de la lista.

P.6 Retornar la lista (a1,a2,...). (5,4,4,4,2,1) (4,4,4,2,1) (3,3,3,1,0) (3,3,1,0) (2,2,0,0) (2,0,0) (1,-1,0) (-1,-1) P.3 P.4 P.3 P.4 P.3 P.4 P.4

(5,4,4,4,2,1) no es una secuencia gráfica

(1,0,-1) P.5 (0,-1) P.3 Tema 1: 44 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos

Isomorfismo de grafos

(1,2,2,3,4) (4,3,2,2,1) (3,2,2,1) (2,1,1,0) (1,1,0) (0,0,0) P.3 P.4 P.3 P.4

(1,2,2,3,4) es una secuencia gráfica

Algoritmo de Havel-Hakimi P.1 Leer la lista decreciente (a1,a2,...,ap).

P.4 Restar 1 a los primeros a1elementos de la nueva lista.

P.5 Ordenar (decreciente) la nueva lista. P.2 Mientras el primer elemento sea a1>0

P.3 Eliminar el elemento a1 de la lista.

(12)

Tema 1: 45 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos

Isomorfismo de grafos

(1,2,2,3,4) (4,3,2,2,1) (3,2,2,1) (2,1,1,0) (1,1,0) (0,0,0) P.3 P.4 P.3 P.4 Algoritmo de Havel-Hakimi

P.1 Leer la lista decreciente (a1,a2,...,ap).

P.4 Restar 1 a los primeros a1elementos de la nueva lista.

P.5 Ordenar (decreciente) la nueva lista. P.2 Mientras el primer elemento sea a1>0

P.3 Eliminar el elemento a1 de la lista.

P.6 Retornar la lista (a1,a2,...). Tema 1: 46 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos

Isomorfismo de grafos

(1,2,2,3,4) (4,3,2,2,1) (3,2,2,1) (2,1,1,0) (1,1,0) (0,0,0) P.3 P.4 P.3 P.4 Algoritmo de Havel-Hakimi

P.1 Leer la lista decreciente (a1,a2,...,ap).

P.4 Restar 1 a los primeros a1elementos de la nueva lista.

P.5 Ordenar (decreciente) la nueva lista. P.2 Mientras el primer elemento sea a1>0

P.3 Eliminar el elemento a1 de la lista.

P.6 Retornar la lista (a1,a2,...). Tema 1: 47 Matemática Discreta Pedro Reyes Intr oduc ci ón a la T e or ía de Gr afos

Isomorfismo de grafos

(1,2,2,3,4) (4,3,2,2,1) (3,2,2,1) (2,1,1,0) (1,1,0) (0,0,0) P.3 P.4 P.3 P.4 Algoritmo de Havel-Hakimi

P.1 Leer la lista decreciente (a1,a2,...,ap).

P.4 Restar 1 a los primeros a1elementos de la nueva lista.

P.5 Ordenar (decreciente) la nueva lista. P.2 Mientras el primer elemento sea a1>0

P.3 Eliminar el elemento a1 de la lista.

Referencias

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