1. Calcule la distancia entre los puntos T œ Ð"ß? "ß? #Ñ y U œ Ð$ß? #ß %Ñ. b) ángulo entre. es decir, el ángulo entre

16 

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(1)

1. Calcule la distancia entre los puntos T œ Ð"ß "ß #Ñ U œ Ð$ß #ß %Ñy

Solución

.ÐT ß UÑ œ # Ð "Ñ ' œ %"È # # # È

2. Sean los vectores →? œ Ð"ß &ß #Ñ y →@ œ Ð%ß 'ß $Ñ. Determine: a) m ? m→ à → →? @† b) ángulo entre →? y →@ à ? ‚ @→ → ; m#Ð ? ‚ @ Ñ % ? $ @ m→ → → → Solución a) m ? m œ " #& % œ $!→ È È → →? @ œ % $! ' œ %! b) como → →? @† œ m m † m m † -9=Ð Ñ→? →@ ! se tiene que : %! œ È$!†È'"† -9=Ð Ñ!

es decir, el ángulo entre →? y →@ es ! œ #!ß ('º

→ → → → → ? ‚ @ œ "3 &4 #5 œ Ð $ß &ß "%Ñ % ' $ â â â â â â â â â â â â m#Ð ? ‚ @ Ñ % ? $ @ m→ → → → œ m#Ð $ß &ß "%Ñ %Ð"ß &ß #Ñ $Ð%ß 'ß $Ñm œ mÐ#ß 'ß #*m œ % $' )%" œ ))"È È 3. Determine:

(2)

a) un vector unitario y que sea paralelo, con sentido opuesto, al vector # 3 % 4 $ 5→ → →.

b) un vector de norma igual a y que sea paralelo al vector& $ 3 # 4 5→ → →.

Solución

a) como : # 3 % 4 $ 5 œ Ð#ß %ß $Ñ œ ? Cm ? m œ #*→ → → → → È se tiene que el vector buscado es : →@ œ " Ð#ß %ß $Ñ

#* È

b) como : $ 3 # 4 5 œ Ð$ß #ß "Ñ œ ? C m ? m œ "%→ → → → → È se tiene que el vector buscado es : →@ œ „ & Ð$ß #ß "Ñ

"% È

4. Determine un vector perpendicular al vector →? œ Ð#ß $ Ñ.

Solución

se tiene que el vector pedido es →?¼ œ Ð$ß # Ñ , tambien →@ œ Ð 'ß %Ñ 5. Considere el triángulo de vértices E œ Ð"ß $ß #Ñ F œ Ð$ß #ß %Ñ, y

G œ Ð%ß #ß $Ñ. Determine el valor del ángulo EFG.

Solución

sean →? œ →FE œ Ð #ß &ß #Ñ à →@ œ →FG œ Ð"ß %ß "Ñ como : → →? @† œ m m † m m † -9=Ð Ñ→? →@ !

se tiene que : #! œ $$ † ") † -9=Ð ÑÈ È !

es decir el valor del ángulo EFG : ! œ $%ß )&%º

6. Determine - − ‘, si existe, tal que los vectores →+ œ Ð"ß #-ß "Ñ y →

(3)

Solución

como : →+ ,†→ œ m m † m m † -9=Ð%&Ñ→+ →, se tiene que : #- " œ # %- † # †È # È È## es decir el valor del ángulo EFG : ! œ $%ß )&%º

7. Determine un vector de norma que sea perpendicular a los vectores$ →? œ Ð"ß %ß &Ñ y @ œ Ð#ß %ß $Ñ. Solución Sea → → → → → → A œ ? ‚ @ œ "3 %4 5& œ Ð )ß (ß %Ñ # % $ â â â â â â â â â â â â se tiene que → →A ¼ ? y → →A ¼ @ pero m m œ "#*→A È

por lo tanto el vector buscado es : →+ œ „ " Ð )ß (ß %Ñ "#*

È

8. Si m + m œ m , m→ → ¿son los vectores →+ ,→ y →+ ,→perpendiculares ?

Solución Se tiene que Ð + , Ñ † Ð + , Ñ œ + † Ð + , Ñ , † Ð + , Ñ→ → → → → → → → → → œ + † + + † Ð , Ñ , † + , † Ð , Ñ→ → → → → → → → œ + † + + † , , † + , † ,→ → → → → → → → œ m + m + † , , † + m , m→ # → → → → → # œ + † , + † , œ !→ → → → luego Ð + , Ñ ¼ Ð + , Ñ→ → → →

9. Determine un vector perpendicular a la recta que pasa por los puntos : E œ Ð"ß $Ñ F œ Ð$ß &Ñy .

(4)

Solución

se tiene que →? œ EF œ Ð#ß #Ñ→ es un vector director de la recta por lo tanto, un vector perpendicular a ella es : →?¼ œ Ð #ß #Ñ

10. Determine un vector perpendicular a la recta de ecuación C œ #B $.

Solución

se tiene que E œ Ð!ß $Ñ ß F œ Ð ß !Ñ$# son puntos de la recta

con lo cual →? œ EF œ Ð ß $Ñ→ $# es un vector director de la recta por lo tanto, un vector perpendicular a ella es : →?¼ œ Ð$ß Ñ$#

11. Determine un vector unitario que sea perpendicular a una recta de pendiente igual a $&.

Solución

como la pendiente es 7 œ ß$& se tiene que un vector director de la recta es y como por lo tanto, un vector unitario que sea →? œ Ð "ß Ñ$ m ? m œ

& &$% È

perpendicular a ella es : →?¼ & ß " $%

œ È Ð $& Ñ

12. Determine un vector de norma igual a y que sea perpendicular a la recta& .

$B #Cœ &

Solución

como la pendiente es 7 œ ß$# se tiene que un vector director de la recta es →? œ Ð "ß Ñ $# y como m ? m œ→ È#"$ por lo tanto, un vector de norma igual a y que sea perpendicular a ella es : & →¼? œ 10 Ð ß "Ñ

13

È $#

13. Determine un vector perpendicular a la recta de ecuación C œ 7B 8 , .

(5)

Solución

como la pendiente es 7 ß se tiene que un vector director de la recta

es →? œ Ð "ß 7 Ñ por lo tanto, un vector que sea perpendicular a ella es : →?¼ œ Ð 7ß "Ñ

14. Sean → →? y @ vectores no nulos de ‘$.

¿ son los vectores m ? m @ m @ m ?→ → → → y m ? m @ m @ m ?→ → → → perpendiculares ?

Solución Ð m ? m @ m @ m ? Ñ † Ð m ? m @ m @ m ? Ñ→ → → → → → → → œ m ? m @ † Ð m ? m @ m @ m ? Ñ m @ m ? † Ð m ? m @ m @ m ? Ñ→ → → → → → → → → → → → œ m ? m Ð @ † @ Ñ m ? m @ † m @ m ? m ? m ? † m @ m @ m @ m Ð ? † ? Ñ→ → →# → → → → → → → → → → →# œ m ? m m @ m m ? m m @ mÐ @ † ? Ñ m @ m m ? mÐ ? † @ Ñ m @ m m ? m→ # → # → → → → → → → → → # → # œ !

es decir, son perpendiculares

15. Sean → →+ ,, dos vectores tales que:

la magnitud de →, es # "(È , el ángulo formado por →+ y →, es y el vector1$+ , es perpendicular a , . Calcule la magnitud del vector +.

Solución

considerando los datos, se tiene que , con los vectores →+ , + , , →,→ → es posible formar un triangulo rectángulo de hipotenusa →+

se tiene : -9=Ð=Ñ œ m , mm + m Í œ"# # "(m + m con lo cual : m + m œ % "(

(6)

16. Sean los vectores → →? œ + $ ,→ y → →@ œ + & ,→, tales que →? es

perpendicular a →@ m + m œ % m , m œ " y → , → . Determine el ángulo formado por los vectores → →+ y ,.

Solución

como →? ¼ @→ se tiene que → →? † @ œ ! Í Ð→+ $ ,→Ñ † Ð→+ & ,→Ñ œ ! Í →+ † Ð→+ & , $ ,→Ñ → † Ð→+ & ,→Ñ œ ! Í Ð→ →+ + Ñ &Ð +† → †→, $Ð ,Ñ → †→+ Ñ "&Ð ,→ →† Ñ œ !, Í m + m→ # #Ð +→ →† , Ñ "&m , m→ # œ ! Í "' #Ð +→ →† , Ñ "& œ ! Í → →+ † , œ " #

por otro lado,si es el angulo formado por los vectores, se tiene que :! →+ ,†→ œ m m † m m † -9=Ð Ñ→+ →, !

Í "# œ % † -9=Ð Ñ!

Í ! œ E<--9=Ð Ñ œ *(ß ")!(") º

17. Dados →+ œ Ð#ß $Ñ , œ Ð"ß #Ñy → determine dos vectores → →? y @ que cumplan simultáneamente:

i) →? tenga la dirección de →+. ii) →@ sea perpendicular a →+.

iii) →? @ œ , .→ →

Solución

De las condiciones, se puede concluir que : →+ œ Ð $ß #Ѽ →? œ :<9C , œÐ#ß $Ñ + → → → , † + ) m + m# † + œ→ "$ † →@ œ :<9C, œ → → →+ œ Ð $ß #Ñ → + ++ ¼ ¼ ¼ ¼ → , † " m m# † "$ †

(7)

18. Sean →+ , -, →, → tres vectores no nulos de ‘$. Si , uÐ + - Ñ œ Ð , - Ñ→ → u →, → .

¿ es el vector m , m + m + m ,→ → → → perpendicular al vector →- ?

Solución

como uÐ + - Ñ œ Ð , - Ñ→ →, u →, → se tiene que :

→ →- + œ m m † m m † -9=Ð Ñ-+ ! y - ,œ m m † m m † -9=Ð Ñ-, ! con lo cual ,dado que :

- † Ðm , m + m + m ,→ → → →Ñ œ- m , m + - m + m , → → → → → œ m , m -→ → →† + m + m - ,→ →†→

œ m , m -→ m m † m m † -9=Ð Ñ→ →+ ! m + m -→ →m m † m m † -9=Ð Ñ→, !

œ !

con lo cual : Ð m , m + m + m , Ñ ¼ -→ → → → →

19. Sean → →+ y , dos vectores no nulos. Determine ! ‘− tal que : sea perpendicular a . →+ ,!→ →, Solución se tiene que : →, † Ð→+ ,!→Ñ œ ! Í→, † →+ ,→†(!→, Ñ œ ! Í→, † →+ (! → →, ,† Ñ œ ! Í ! œ → →→ →, + , , † † Í ! œ → →, + , † m m#

(8)

20. Sean → → → →+ œ 3 4 5

→ → → →

, œ 3 $ 4 5

-→- œ # 3 4 5→ → →

Calcule, si es posible, el valor de tal que el ángulo formado por - → →+ ‚ - y → ,es igual a .1% Solución se tiene que À + œ Ð"ß "ß "Ñ à , œ Ð "ß $ß Ñ à - œ Ð#ß "ß "Ñ→ → - → y como : → → → → → + ‚ - œ "3 4" "5 œ Ð!ß $ß $Ñ # " " â â â â â â â â â â â â

con lo cual, ya que Ð→ →+ ‚ -Ñ †→, œ m→ →+ ‚ - m † m m † -9=Ð Ñ→, 1% se debe cumplir que À * $- œ $ # "! È È -# #È#

Í $ - œ È"! -# Í Ð$ -Ñ œ "! # -#

Í * '- -# œ "! -# Í - œ " '

(9)

21. Determine el área del triángulo de vértices :

, y .

EÐ"ß #ß %Ñ FÐ "ß $ß &Ñ GÐ$ß #ß $Ñ

Solución

Dados los puntos Eß Fß G considertemos los vectores →+ œ EF œ Ð #ß "ß "Ñ à , œ EG œ Ð#ß %ß "Ñ→ → → se tendra que : E><3+Þ œ m , m †"# m + m m:<9C+ m# # , → É → pero : m , m œ #" ß m + m œ ' ß→ È → È :<9C+ œ→ Ð#ß %ß "Ñ œ Ð #ß %ß "Ñ , → → → → + † , * $ m , m# † , œ #" † ( † →

con lo cual: E><3+Þ œ "#È#" †É' %** † #" œ $ &È#

otra forma, es considerando el producto cruz E><3+Þ œ m + ‚ , m"# → → donde →+ ‚ , œ → â â â â â â â â â â â â → → → 3 4 5 # " " # % " œ Ð$ß !ß 'Ñ luego E><3+Þ œ m"# Ð$ß !ß 'Ñm œ $ &È#

(10)

22. Sean → →+ y , dos vectores de ‘$, pruebe que el área del paralelógramo generado por →+ y →, +-→ es igual al área del paralelógramo generado por → →+ y .,

Solución

el área del paralelógramo generado por → →+ y , esta dado por : E:+<+6Þ œ m + ‚ , m→ →

con lo cual, se tendra que :

el área del paralelógramo generado por →+ y →, +-→ esta dado por : E:+<+6Þ œ m + ‚ Ð→ →, +-→Ñm

œ m + ‚→ →, →+ ‚ Ð-→+Ñm œ m + ‚→ →, Ð- →+ ‚ Ñm→+ œ m + ‚→ →, m

(11)

23. de Sean →+ y →, vectores ‘$ tales que →+ ,→ es perpendicular a →+ ,→, m + , m œ #(→ → È , el ángulo formado por →+ y →, es '!o. Determine el área del paralelógramo generado por los vectores →+ y →, & +→.

Solución

el área del paralelógramo generado por →+ y →, & +→ es la misma que el área del paralelógramo generado por → →+ y ,, luego

E:+<+6Þ œ m + ‚→ →, m œ m + m † m , m † =/8Ð Ñ→ → ! º œ m + m † m , m † =/8Ð'! Ñ œ→ → È#$m + m † m , m→ → pero →+ ,→ es perpendicular a →+ ,→ luego : Ð + , Ñ Ð + , Ñ œ !→ → † → → Í → →+ + , , œ !† → →† Í m + m m , m œ ! Í m + m œ m , m→ # → # → → luego se tiene que : E:+<+6Þ œ È#$m + m→ #

por otro lado,como :

m + , m œ #(→ → È Í m + , m œ #(→ → # Í Ð + , Ñ Ð + , Ñ œ #(→ → † → → Í m + m #→ # → →+, m , m→ # œ #( Í #m + m #→ # → →+, œ #( pero → →+ † , œ m + m † m , m † -9=Ð'! Ñ→ → º œ "#m + m→ # luego : #m + m #→ # → →+ † , œ #( Í #m + m m + m→ # → # œ #( 9 Í m + m→ # œ por lo tanto : E:+<+6Þ œ È#$m + m œ→ # 9È#$

(12)

24. Sean → →+ y , vectores no nulos de ‘$, que satisfacen las condiciones → →+ , œ # , m + m œ " m , m œ % , . Considere - œ #Ð + ‚ , Ñ $ ,→ → →.

a) Determine → →+ Ð , † →- Ñ

b) Expresar →- como combinación lineal de →+ y →, Solución a) →+ Ð , † → →- Ñ œ →+ † →, +→† →- œ →+ † →, + Ð→† #Ð + ‚ , Ñ $ ,→ → →Ñ œ →+ † →, +#→† Ð + ‚ , Ñ→ → $ +→†→, œ # ' œ %! b) →, ‚ - œ , ‚ Ð → → #Ð + ‚ , Ñ $ ,→ → →Ñ œ # , ‚→ Ð + ‚ , Ñ $Ð→ → →, ‚ Ñ→, œ # , ‚→ Ð + ‚ , Ñ œ #→ → Ð , † , Ñ + #Ð , † + Ñ ,→ → → → → → œ $# →+ % ,→ 25. Dada la recta P À ÐBß C ß DÑ œ Ð"ß #ß !Ñ Ð #ß "ß #Ñ à −- - ‘,

los puntos T ß V − Pque están a una distancia del punto $ W œ Ð"ß #ß !Ñ y el punto U œ Ð"ß !ß "Ñ. Calcular el área del triangulo de vértices :T ß Uß V

Solución

sea X œ ÐBß C ß DÑ − P Í X œ Ð" # ß # ß # Ñ-

tal que À .ÐX ß WÑ œ $ Í Ð # Ñ Ð Ñ Ð# ÑÈ - # - # - # œ $ Í $¸ ¸- œ $ Í- œ " ” œ "

-con lo cual : T œ Ð "ß $ß # Ñ ß V œ Ð$ß "ß # Ñ

consideremos los vectores : →T U œ Ð#ß $ß $Ñ à T V œ Ð%ß #ß %Ñ→ se tiene que E><3+Þ œ m"# →T U ‚ →T Vm œ m"# Ð 'ß %ß )Ñm œ #*È ya que → → → → → T U T V #3 $4 $5 œ Ð 'ß %ß )Ñ % # % ‚ œ â â â â â â â â â â â â

(13)

26. Dada la recta P À B"" œ C"" œ œD# - y el plano :

1

À

B œ # Determinar : C œ # D œ " # - . - . - .

a.- T − P tal que .ÐT ß Ñ œ

1

# b.- P 9

1

$

È

c.-

1

"

plano tal que :

P ©

1

"

1

"

¼

1

Solución

a.- se tiene que P À B œ " con lo cual , T − Psi se cumple que C œ " D œ # -T œ Ð " ß " ß # Ñ-

-por otro lado como

1

À

B œ # se tiene que

C œ # D œ " # - . - . - .

1

À

â â â â â â â â â â â â B C # D " # " " " " # œ ! Í $B $ÐC #Ñ $ÐD "Ñ œ ! Í

1

À

B C D œ " luego .ÐT ß Ñ œ

1

# Í œ # $ $ $ Ð" ß" ß# цР"ß"ß"Ñ" È È È ¸ - - - ¸ Í # " œ # ͸ - ¸ - œ " ” - œ $ # #

por lo tanto : T œ Ð ß ß "Ñ à T œ Ð ß ß $Ñ" " "# # # & &# # b.- sea T œ Ð " ß " ß # Ñ − P-

si

T

1

Í " -" - #- œ " Í - œ "# luego P 9

1

œ Ö

Ð ß ß "Ñ$ $# #

×

c.-

1

"

:

1

"

:

â â â â â â â â â â â â B " C " D " " # " " " œ ! Í B $ C #D œ %

(14)

27. Dadas la recta y el plano ,donde :P 1 B œ " #

-P C œ " : - à −- ‘ ; : 1 %B C $D œ "' D œ $

-Determinar:

a.- L91 b.- 1" tal que P © 1" • 1" ¼ 1 c.- 1" 91 d.- T − P tal que .ÐT, )1 œ #'È Solución a.- sea T œ Ð " # ß " ß $ Ñ − P- -

si

T

1

Í %Ð " #-Ñ Ð" -Ñ $Ð$ -Ñ œ "' Í - œ $ luego P 9

1

œ Ö

Ð&ß %ß !Ñ

×

b.-

1

"

:

1

"

:

â â â â â â â â â â â â B " C " D $ # " " % " $ œ ! Í # B "! C ' D œ "! c.- hay que resolver el sistema :

# B "! C ' D œ "! %B C $D œ "' Í &B % C œ "" Í C œ Í C œ %B C $D œ "' %B C $D œ "' %B $D œ "' ""&B ""&B % % ""&B % Í C œ ""&B Í B œ Í B œ % ""%C& ""%C& #"B "#D œ (& B œ œ (&"#D #" (&"#D #" luego 1" 1 #"(&"# -"# 9 œ P À# B!" œ C œ D œ "" % & % d.- T œ Ð " # ß " ß $ Ñ − P- - -.ÐT ß Ñ œ

1

È#' Í ¸Ð"# ß" ß$ цР%ß"ß$Ñ"'- -È#'- ¸ œ È#' Í ' # œ¸ -¸ "$ Í - œ "*# ” - œ (#

(15)

28. Dadas la recta L y el plano ,donde :1 L: B œ " # à − ; : B œ % à ß − C œ " C œ $ # D œ $ D œ " # - - ‘ 1 - . - . ‘ - - . - - . Determinar:

a.- L91 b.- 1" tal que L © 1" • 1" ¼ 1 c.- 1" 91 d.- P − L tal que .ÐP, )1 œ #'È Solución se tiene que : 1 - . 1: - . - . B œ % Í œ ! C œ $ # D œ " # B % C $ D " " " " " # # â â â â â â â â â â â â : Í 1 %B $C D œ #' sea T œ Ð " # ß " ß $ Ñ − P- -

si

T

1

Í %Ð " #-Ñ $Ð" -Ñ Ð$ -Ñ œ #'Í - œ "#& luego P 9

1

œ Ö

Ð ß ß Ñ"* "( $& & &

×

b.-

1

"

:

1

"

:

â â â â â â â â â â â â B " C " D $ # " " % $ " œ ! Í #B $C D œ #

c.- hay que resolver el sistema :

%B $C D œ #' Í D œ "# $B %B $C D œ #' #B $C D œ # Í D œ "# $B Í B œ Í B œ B $C œ "% "#D "#D $ $ B œ "% $C "% $Cœ luego 1" 9 œ P À1 # B!" œ C"%$ œ D"#$ œ -" $ d.- T œ Ð " # ß " ß $ Ñ − P- - -.ÐT ß Ñ œ

1

È#' Í ¸Ð"# ß" ß$ цР%ß$ß"Ñ#'- -È#'- ¸ œ È#' Í "# & œ¸ -¸ "$ Í - œ & ” - œ " & por lo tanto : T œ Ð*ß 'ß #Ñ à T œ Ð ß ß Ñ" # ( % "'& & &

(16)

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